2015 AP 07Solidos

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

1/24

Universidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la Ingenierı́a

Instituto de Diseño y Métodos Industriales

DMIL131 - Estática y Mecánica SolidosIngenieŕıa Civil Mecánica

1. Mecánica de Solidos

1.1. Introducción

En toda construccíon de ingenieŕıa, a las partes componentes de una estructura o máquina se deben asignar tamaños

f́ısicos definidos. Estas partes deben ser adecuadamente proporcionadas para resistir a las fuerzas reales o probables que

puedan llegar a actuar sobre ellas. Aśı, las paredes de un recipiente a presión deben tener la resistencia adecuada para

soportar la presión interior; los pisos de un edificio deben ser lo suficientemente fuertes para el fin que est án destinados;

la flecha, árbol o eje de una máquina debe ser de tamaño adecuado para poder transmitir el par de torsi ón requerido.

De la misma manera las partes de una estructura compuesta deben ser lo suficientemente ŕıgidas para no desviarse exce-

sivamente al operar bajo las cargas impuestas. El piso de un edificio puede ser lo suficientemente fuerte y, sin embargo,

presentar deformaciones excesivas que en algunos casos pueden causar desalineamiento de equipos de manufactura u otros.

En la practica de ingenieŕıa, tales requisitos deben cumplirse con el mı́nimo gasto de materiales. Aparte del costo, a

veces, como el diseño de satélites, la factibilidad y el éxito de un proyecto puede depender del peso de una carga. El tema

de la mec ́anica de solidos o resistencia de materiales , implica métodos analı́ticos para determinar la resistencia, rigidez

y la estabilidad de diversos miembros sometidos a cargas. (Popov, 2000)

1.2. Método de las secciones

Uno de los problemas principales de la mecánica de solidos es la investigación de la resistencia interna de un cuerpo;

es decir, la naturaleza de las fuerzas que se generan dentro de un cuerpo para equilibrar el efecto de las fuerzas aplicadas

externamente . Para tal fin se emplea un método uniforme de enfoque. Se prepara un croquis completo del miembro bajo

investigación, sobre el cual se muestran todas las fuerzas externas que actúan sobre él en sus respectivos puntos de apli-cación. Tal croquis se conoce como diagrama de cuerpo libre. Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, incluidas las

fuerzas reactivas causadas por los soportes, ası́ como el peso propio del cuerpo debido a su masa, son consideradas como

fuerzas externas. Además, como un cuerpo estable en reposo está en equilibrio estático. Entonces, si las fuerzas que actúan

sobre un cuerpo como el mostrado en la Figura 1.1a satisfacen las ecuaciones de equilibrio y se muestran todas actuando

sobre el, el croquis representa un diagrama de cuerpo libre.

Luego, como la determinación de las fuerzas internas causadas por las fuerzas externas es uno de los fines principales

de esta ciencia, se pasa una sección arbitraria por el cuerpo separándolo completamente en dos partes. El resultado de

tal proceso se observa en las Figura 1.1b, donde un plano arbitrario ABCD separa el cuerpo original de la Figura 1.1a

en dos partes distintas, a este proceso se le denomina método de las secciones . Entonces, si todo el cuerpo el cuerpo está

en equilibrio, entonces cualquier parte de el también estará en equilibrio. Sin embargo, para tales partes de un cuerpo,

algunas fuerzas necesarias para mantener el equilibrio deben actúan en la sección cortada. Estas consideraciones conducen

a la siguiente conclusion fundamental: Las fuerzas aplicadas externamente a un lado de un corte arbitrario deben ser

equilibradas por las fuerzas internas desarrolladas en el corte o, brevemente, las fuerzas externas están equilibradas por

las fuerzas internas. (Popov, 2000)

04/06/2015 Profesor: Roberto Cárdenas P. Ayudante: Anibal Aguilera B. 2015-AP-07

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

2/24




(a) (b)

Figura 1.1: a) Cuerpo original seccionado por el plano ABCD, b) Cuerpos y fuerzas internas resultantes al seccionar el cuerpo.Fuente: ( Popov, 2000 )

1.3. Esfuerzos

1.3.1. Esfuerzo Normal

El método de las secciones genera las bases para el estudio de la mecánica de solidos, ahora se verán métodos para

determinar si los componentes pueden resistir una carga con seguridad. Por ejemplo, el que la varilla B C mostrada en la

Figura 1.2a pueda romperse o no hacerlo bajo esta carga depende no s ólo del valor encontrando para la fuerza interna

F BC en realidad representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas a los largo de toda el area A de la sección

transversal, y la intensidad de estas fuerzas distribuidas es igual a la fuerza por unidad de área, F BC /A, en la sección. El

hecho de que la varilla se rompa o no bajo la carga dada, depende claramente de la capacidad que tenga el material de

soportar el valor correspondiente F BC de las fuerzas internas distribuidas. Por lo tanto la resistencia a la fractura dependede la fuerza F BC del área transversal A y del material de la varilla. (Beer y cols., 2004)

(a) (b)

Figura 1.2: a) Fuerzas internas distribuidas en el area A, b) Miembro con carga axial. Fuente: ( Beer y cols., 2004)

La fuerza por unidad de área, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a través de una sección dada, se llama esfuerzo

normal sobre esa seccíon y se representa con la letra griega σ (sigma). El esfuerzo de un elemento con área transversal A

sometido a una carga axial P (Figura 1.2b) se obtiene, por lo tanto, al dividir la magnitud P de la carga entre el área A.

σ = P

A (1.1)

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

3/24




1.3.2. Esfuerzo Cortante

En el caso de los esfuerzos normales, tal como su nombre lo indica, se trabaja con las fuerzas normales a la secci ón

considerada. Un tipo muy diferente de esfuerzo se obtiene cuando se obtiene cuando se aplican cargas transversales P y

P a un elemento AB (Figura 1.4a). Al efectuar un corte en C entre los puntos de aplicación de las dos fuerzas (Figura

1.4b), se obtiene el diagrama de la porción AC que se muestra en la Figura 1.4c. Se concluye que deben existir fuerzas

internas en el palo de la sección, y que su resultante es igual a P . Estas fuerzas internas elementales se conocen como

fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante de la sección.

(a) (b) (c)

Figura 1.3: a) Miembro con cargas transversales, b) Secci´ on arbitraria en el miembro, c) DCL porci´ on seccionada AC . Fuente:( Beer y cols., 2004)

Al dividir el cortante P entre el área A de la sección transversal, se obtiene el esfuerzo cortante promedio de la secci ón.

Representado el esfuerzo cortante con la letra griega τ (tao), se escribe

τ prom = P

A (1.2)

Debe enfatizarse que el valor obtenido es un valor promedio para el esfuerzo cortante sobre toda la sección. Al contra-

rio de lo dicho con anterioridad sobre los esfuerzos normales, en este caso no puede suponerse que la distribuci ón de los

esfuerzos cortantes a través de una sección sea uniforme. El valor real τ del esfuerzo cortante varia de cero en la superficie

del elemento hasta un valor máximo τ max que puede ser mucho mayor al valor promedio τ prom.

Los esfuerzos cortantes se encuentra comúnmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar diversos

elementos estructurales y componentes de máquinas. Considere dos placas A y B conectadas por un perno CD (Figura

1.4a).Si las placas se les somete a fuerzas de tension de magnitud F , se desarrollaran esfuerzos en la sección del perno quecorresponde al plano E E .

Al dibujar los diagramas del perno y de la porci ón localizada sobre el plano EE (Figura 1.4c), se concluye que el

cortante P en la sección es igual a F . Se obtiene el esfuerzo cortante promedio de la sección de acuerdo a la ecuación (1.2),

dividiendo el cortante P = F entre el área A de la sección transversal. (Beer y cols., 2004)

τ prom = P

A =

F

A (1.3)

Este ejemplo se conoce como cortante simple . Sin embargo, pueden surgir diversas situaciones de carga.

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

4/24




(a) (b) (c)

Figura 1.4: a) Perno sometido a cortante simple, b) Secci´ on arbitraria en el perno, c) DCL porci´ on seccionada del perno CD .Fuente: ( Beer y cols., 2004)

Otra forma de cortante sucede en las placas de empalme, donde las placas C y D se emplean para conectar las placas

A y B (figura 1.5a), el corte tendrá lugar en el perno H J en cada uno de los planos K K y LL (al igual que el perno E G).

Se dice que los pernos están en corte doble . Para determinar el esfuerzo cortante promedio de cada plano, se dibujan losdiagrama de cuerpo libre del perno H J y de la porción del perno localizada entre los dos planos (Figura 1.5c). Observando

que el corte P en cada una de las secciones es P = F /2, se concluye que el esfuerzo cortante promedio es

τ prom = P

A =

F/2

A =

F

2A (1.4)

(a) (b) (c)

Figura 1.5: a) Pernos sometidos a cortante doble, b) Secci´ on arbitraria en el perno, c) DCL porci´ on seccionada del perno HJ .Fuente: ( Beer y cols., 2004)

1.3.3. Esfuerzo de apoyo en conexiones

Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de contacto de los elementosque conectan. Por ejemplo considere las dos placas A y B conectadas por un perno CD que se analizaron previamente

(Figura 1.4a). El perno ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el

perno (Figura 1.6a). La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en la superficie interior

de un medio cilindro de diámetro d y longitud t igual al espesor de la placa. Como la distribuci ón de estas fuerzas y los

esfuerzos correspondientes es muy complicada, en la practica se utiliza un valor fijo nominal promedio σ p para el esfuerzo,

llamado esfuerzo de apoyo, que se obtiene al dividir la carga P entre el área del rectángulo que representa la proyección

del perno sobre la sección de la placa (Figura 1.6b). Debido a que esta area es igual a td, donde t es el espesor de la placa

y d el diámetro del perno, se tiene que

σ p =

P

A =

P

td (1.5)

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

5/24

(a) (b)

Figura 1.6: a) Fuerza ejercida por el perno sobre la placa, b) Secci´ on del perno que afecta a la placa. Fuente: ( Beer y cols., 2004)

1.3.4. Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial

Anteriormente se encontraron las fuerzas axiales ejercidas en un elemento sometido a dos fuerzas (Figura 1.1a) causan

esfuerzos normales en ese elemento (Figura 1.1b), mientras que también se encontró que las fuerzas transversales ejercidas

sobre pernos y pasadores (Figura 1.4a) causan esfuerzos cortantes en esas conexiones (Figura 1.4c). La razón de que tal re-

lación observada entre las fuerzas axiales y los esfuerzos normales, por una parte, y las fuerzas transversales y los esfuerzos

cortantes, por la otra, fue que los esfuerzos se determinaron únicamente en los planos perpendiculares al eje del elemento

o conexión. Como se vera en esta sección, las fuerzas axiales causan esfuerzos tanto normales como cortantes en planos

que no son perpendiculares al eje del elemento. De manera similar, las fuerzas transversales ejercidas sobre un perno o

pasador producen esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del perno o pasador.

Considere el elemento de dos fuerzas de la Figura 1.7a, que se encuentra sometido a cargas axiales P y P . Si se realiza

un corte en dicho elemento, que forme un ángulo θ con un plano normal (Figura 1.7a) y se dibuja el DCL de la porción

de elemento localizada a la izquierda de ese corte (Figura 1.7b), se encuentra a partir de las condiciones de equilibrio del

cuerpo libre que las fuerzas distribuidas que actúan en la sección deben ser equivalentes a la fuerza P .

(a) (b)

Figura 1.7: a) Miembro sometido a carga axial con una sección transversal, b) Corte transversal del miembro. Fuente: ( Beer y cols., 2004)

Separando P en sus componentes F y V , que son, respectivamente normal y tangencial al corte (Figura 1.8a), se tiene

que

F = P · cos(θ) V = P · sen(θ) (1.6)

La fuerza N representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas a través de la sección, y la fuerza V la resultante

de las fuerzas cortante (Figura 1.8b). Los valores promedio de los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se

obtienen dividiendo, respectivamente, N y V entre el area Aθ de la sección:

σ = N

Aθτ =

V

Aθ(1.7)


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

6/24

(a) (b)

Figura 1.8: a) DCL miembro con corte transversal, b) Esfuerzos normal y de corte en la secci´ on transversal. Fuente: ( Beer y cols.,2004)

Al sustituir los valores de N y V de la ecuación (1.6) en la ecuación (1.7), y observando de la Figura 1.8a que

A0 = Aθcos(θ) o Aθ = A0/cos(θ), donde A0 denota el área de un sección perpendicular al eje del elemento, de lo que se

obtiene

σ = P · cos(θ)

A0/cos(θ) τ =

P · sen(0)

A0/cos(θ) (1.8)

Las ecuaciones (1.8) se pueden reescribir como

σ = P A0cos2(θ) = P 2A0

(1 + cos(2θ)) τ = P A0cos(θ) · sin(θ) = P 2A0

sen(2θ) (1.9)

De la primera de las ecuaciones (1.9) se observa que el valor del esfuerzo normal σ es el máximo cuando θ = 0, es decir,

cuando el plano de la sección es perpendicular al eje del elemento, y que se aproxima a cero al aproximarse θ a 90o. Se

verifica que el valor de σ cuando θ = 0 es

σm = P

A0(1.10)

La segunda de las ecuaciones (1.9) muestra que el esfuerzo cortante τ es cero para θ = 0 y para θ = 90o, y que para

θ = 45o alcanza su valor máximo.

τ m = P

A0cos(45o) · sin(45o) =

P

2A0(1.11)

La primera de las ecuaciones (1.9) indica que, cuando θ = 45o, el esfuerzo normal σ también es igual a P /2Aθ

σ = P

A0cos2(45o) =

P

2A0(1.12)

Los resultados obtenidos de las ultimas ecuaciones se muestran gráficamente en la Figura 1.9.

Figura 1.9: Esfuerzos normales y de corte para distintos ´ angulos, Fuente: ( Beer y cols., 2004)


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

7/24

8/15/2019 2015 AP 07Solidos

8/24

(a) (b) (c)

Figura 1.11: a) El ´ angulo de torsi´ on se incrementa conforme x aumenta, b) Deformaci´ on cortante unitaria del elemento, c)Elemento infinitesimal perteneciente a la flecha. Fuente: ( Hibbeler, 2006 )

Este ángulo, γ , está indicado sobre el elemento. Puede relacionarse con la longitud ∆x del elemento y con la diferencia

en el ángulo de rotación, ∆φ, entre las caras sombreadas. Si ∆x → dx y ∆φ → dφ, se tiene

BD = ρdφ = dxγ (1.14)

Por tanto,

γ = ρdφ

dx (1.15)

Puesto que dx y dφ son iguales para todos los elementos situados en puntos dentro de la sección transversal en

x, entonces dφ/dx es constante y la ecuación (1.15) establece que la magnitud de la deformación unitaria cortante para

cualquiera de estos elementos vaŕıa solo con su distancia radial ρ desde el eje de la flecha. En otras palabras, la deformación

unitaria cortante dentro de la flecha vaŕıa linealmente a lo largo de cualquier ĺınea radial, desde cero con el eje de la flecha

hasta un máximo γ máx en su periferia, Figura 1.12. Como dφ/dx = γ/ρ = γ máx/c, entonces

γ =ρ

c

γ máx (1.16)

Los resultados obtenidos aqúı también son válidos para tubos circulares. Dependen sólo de las hipótesis con respecto

a las deformaciones mencionadas arriba.

Figura 1.12: La deformaci´ on unitaria cortante del material crece linealmente con ρ, Fuente: ( Hibbeler , 2006 )


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

9/24

1.4.1. La fórmula de la torsión

Si una flecha está sometida a un par de torsión externo, entonces, por equilibrio debe desarrollarse un par de torsión

interno en la flecha. En esta sección se desarrollara una ecuación que relacione la distribución del esfuerzo cortante con el

par de torsión interno resultante en la sección de una flecha o tubo circular.

Si el material es elástico lineal, entonces es aplicable la ley de Hooke, τ = Gγ y en consecuencia, una variaci´ on lineal

de la deformaci´ on unitaria cortante . Por tanto, al igual que la variación de la deformación unitaria cortante en una flecha

solida, τ variará desde cero en el eje longitudinal de la flecha hasta un valor máximo, taumáx, en su periferia. Esta variación

se muestra en la Figura 1.13 sobre las caras frontales de un número selecto de elementos situados en una posición radia

intermedia ρ y en el radio exterior c. Debido a la proporcionalidad de los triángulos, o bien utilizando la ley de hooke y

la ecuación (1.16), se puede escribir

τ =ρ

c

τ máx (1.17)

Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante como una función de la posición radial ρ del elemento;

en otras palabras, define la distribución del esfuerzo en términos de la geometŕıa de la flecha. Usándola, se aplica la

condición que requiere que el par de torsión producido por la distribución del esfuerzo sobre toda la sección transversal

sea equivalente al par de torsión interno T en la sección, lo cual mantiene a la flecha en equilibrio, Figura 1.13.

Figura 1.13: El esfuerzo cortante vaŕıa linealmente a lo largo de toda la ĺınea radial de la secci´ on transversal, Fuente: ( Hibbeler ,2006 )

Espećıficamente, cada elemento de área dA, situado en ρ, está sometido a una fuerza dF = τ dA. El par de torsión

producido por esta fuerza es dT = ρ(τ dA). Por tanto, para la sección transversal entera:

T = A

ρ(τ dA) = A

τ

ρc

τ máxdA (1.18)

Puesto que τ máx/c es constante,

T = τ máx

c

A

ρ2dA (1.19)


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

10/24

La integral en esta ecuación depende sólo de la geometŕıa de la flecha. Representa el momento polar de inercia del área

de la sección transversal de la flecha calculado con respecto al eje longitudinal de la flecha. Este valor se simboliza como

J , y por lo tanto la ecuación anterior puede escribirse en una forma más compacta como

τ máx = T c

J (1.20)

Dondeτ máx = Esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la superficie exterior.

T = Par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal.

J = Momento polar de inercia del área transversal

c = Radio exterior de la flecha

Utilizando las ecuaciones (1.17) y (1.20), el esfuerzo cortante en la distancia intermedia ρ puede ser determinado a

partir de una ecuación similar:

τ = T ρ

J

(1.21)

Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse f´ ormula de la torsi´ on . Recordemos que se utiliza solamente

cuando la flecha es circular y el material homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal.

1.4.2. Flecha sólida

Si la flecha tiene una sección transversal circular solida, el momento de inercia polar J esta dado por

J = π

2c4 (1.22)

1.4.3. Flecha tubular

Si una flecha tiene una sección transversal tubular, con un radio interior ci y un radio exterior co, la inercia polar J

esta dada por

J = π

2(c4o − c

4io) (1.23)

En cualquier sección transversal dada de la flecha, el esfuerzo cortante máximo se presenta en la superficie

exterior.

Figura 1.14: Distribuci´ on del esfuerzo cortante en flechas circulares, Fuente: ( Beer y cols., 2004)


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

11/24

1.4.4. Ángulo de torsión

Se deducirá una relación entre el ángulo de giro φ de un eje circular y el par de torsión T ejercido sobre el eje. Se

supondrá que la totalidad del eje permanece elastica. Considerando primero el caso de un eje de longitud L y sección

transversal uniforme de radio c sujeto a un par de torsión T en su extremo libre, se sabe que el ángulo de giro φ y la

deformación máxima cortante τ máx se relacionan como sigue

γ máx = cφL

(1.24)

Pero, en el rango elástico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte del eje, se aplica la ley de Hooke y se

tiene que γ máx = τ máx/G, o a partir de la ecuación (1.20)

γ máx = τ máx

G =

T c

JG (1.25)

Igualando los miembros de la derecha de las ecuaciones ( 1.14) y (1.25), y despejando φ se tiene que

φ = T L

JG (1.26)

Donde φ se expresa en radianes. La relación obtenida muestra que, dentro del rango elástico, el ángulo de giro φ esproporcional al par de torsión T aplicado al eje. (Hibbeler, 2006)

1.4.5. Transmisión de potencia

Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares a menudo se utilizan para transmitir potencia

desarrollada por una máquina. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsi ón que dependen de la

potencia generada por la máquina y de la velocidad angular de la flecha. La potencia se define como el trabajo efectuado

por unidad de tiempo. El trabajo transmitido por una flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo

de rotación. Por tanto, si durante un instante de tiempo dt un par de torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un

ángulo dθ , entonces la potencia instantánea es:

P = T dθ

dt (1.27)

Puesto que la velocidad angular es ω = dθ/dt, la potencia se puede expresar como:

P = T ω (1.28)

Figura 1.15: Transmisi´ on de potencia desde una turbina a un generador mediante un eje, Fuente: ( Beer y cols., 2004)


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

12/24

1.5. Flexión

1.5.1. Deformación por flexión de un miembro recto

Se estudiaran las deformaciones que ocurren cuando una viga prismática recta de un material homogéneo está sometida

a flexión. El análisis se limitará a vigas con secciones transversales simétricas respecto a un eje y el momento flexionante

se encuentra aplicado con respecto a un perpendicular a este eje de simetŕıa, como se muestra en la Figura 1.16.

Figura 1.16: Momento flexionante aplicado sobre una viga, Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

Utilizando un material sumamente deformable como el hule, podemos ilustrar f́ısicamente qué sucede cuando un

miembro prismático recto esta sometido a un momento flexionante. Considerando, por ejemplo, la barra no deformada en la

Figura 1.17a que tiene una sección transversal cuadrada y está marcada con una reticula formada por ĺıneas longitudinales

y transversales. Al aplicar un momento flexionante, este tiende distorsionar estas ĺıneas según el patron mostrado en la

Figura 1.17b. Puede verse aqúı que las ĺıneas longitudinales se curvan y que las ĺıneas transversales permanecen rectas

pero sufren una rotación.

(a) (b)

Figura 1.17: a) Viga no deformada, b) Viga deformada al aplicar un momento flexionante. Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

El comportamiento de cualquier barra deformable sometida a un momento flexionante es tal que el material en la

porción inferior de la barra se alarga y el material en la porci ón superior se comprime. En consecuencia, entre esas dos

regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra o eje neutro, en la que las fibras longitudinales del material

no representa un cambio en la longitud, Figura 1.16.


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

13/24

Con base en estas observaciones, se realizan las siguientes tres hipótesis relativas a la manera en que el esfuerzo deforma

al material. La primera es que el eje longitudinal x, que se encuentra en la superficie neutra, Figura 1.18a, no experimenta

cambio de longitud. El momento tiende a deformar la viga en forma tal que esta lı́nea se vuelve una linea curva contenida

en el plano x − y de simetrı́a, Figura 1.18b. La segunda hipótesis es que todas las secciones transversales de la viga per-

manecen planas y perpendiculares al eje longitudinal durante la deformación de la sección transversal dentro de su propio

plano será despreciada, Figura 1.17b. En particular, el eje z , contenido en el plano de la sección transversal y respecto al

cual gira la sección se llama, eje neutro, Figura 1.18b.

(a) (b)

Figura 1.18: a) Viga no deformada , b)Viga deformada al aplicar un momento flexionante. Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

Para mostrar cómo esta distorsión deforma el material, se aı́sla un segmento de la viga localizado a una distancia x a

lo largo de la longitud de la viga y con un espesor no deformado ∆x, Figura 1.19a. Este elemento, tomado de la viga, se

muestra en vista de perfil en sus posiciones no deformada y deformada en la Figura 1.19 . Note que cualquier segmento

de ĺınea ∆x, localizado sobre la superficie neutra, no cambia de longitud, mientras que cualquier segmento de linea ∆ s

localizado a una distancia arbitraria y sobre la superficie neutra, se contraer á y tendrá la longitud ∆s después que la

deformación ha tenido lugar. Por definición, la deformación unitaria normal a lo largo de ∆s se determina con la ecuación

= ĺım∆x→0

∆s

−∆s∆s

(1.29)

Representando ahora esta deformación unitaria en términos de la posición y del segmento y del radio de curvatura ρ

del eje longitudinal del elemento. Antes de la deformación ∆x = ∆s, Figura 1.19a. Después de la deformación ∆x tiene

un radio de curvatura ρ, con centro de curvatura en el punto O, Figura 1.19b. Como ∆θ define el ángulo entre los dos

lados de la sección transversal del elemento ∆x = ∆s = ρ∆θ. De la misma manera, la longitud deformada de ∆s es

∆s‘ = (ρ − y)∆θ. Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene

= −y

ρ (1.30)

Este resultado indica que la deformación unitaria normal longitudinal de cualquier elemento dentro de la viga depende

de su localización y sobre la sección transversal y del radio de curvatura del eje longitudinal de la viga en el punto. En otras

palabras, para cualquier sección transversal espećıfica, la deformación unitaria normal longitudinal variará linealmente

con y desde el eje neutro. Una contracción (−) ocurrirá en fibras situadas arriba del eje neutro (+y), mientras que se

presentarán alargamientos (+) en fibras localizadas debajo del eje (−y).


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

14/24

(a) (b)

Figura 1.19: a) Elemento no deformado, b) Elemento deformado. Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

La deformación unitaria máxima ocurre en la fibra extrema, situada a una distancia c del eje neutro. Utilizando la

ecuación (1.30), como máx = c/ρ,entonces por division se tiene

máx = −y/ρ

c/ρ (1.31)

De manera que

= −y

c

máx (1.32)

1.5.2. La fórmula de la flexión

Se desarrollara una ecuación que relacione la distribución del esfuerzo longitudinal en una viga con el momento de

flexión interno resultante que actúa sobre la sección transversal de la viga. Para hacer esto, se supondrá que el material

se comporta de manera elástica lineal, por lo que es aplicable la ley de Hooke, esto es, σ = E. Una variación lineal de la

deformación unitaria normal, Figura 1.20a, debe ser entonces la consecuencia de un variación lineal de esfuerzo normal,

Figura 1.20c. Por tanto, igual que la variación de deformación unitaria normal, σ variará de cero en el eje neutro del

miembro a un valor máximo σmáx en puntos a la distancia c máxima desde el eje neutro. Por triángulos semejantes, Figura

1.20c, o utilizando la ley de hooke y la ecuación (1.32), se puede escribir

σ = −y

c

σmáx (1.33)

Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal. Para un M positivo actuando en la

dirección +z, valores positivos de y dan valores negativos para σ, esto significa que son esfuerzo de compresión, ya queactúa en la dirección negativa de x. Caso contrario, valores negativos de y darán valores positivos o de tensión para σ . Si

se selecciona un elemento de volumen de material en un punto especifico sobre la secci ón transversal, sólo esos esfuerzos

normales de tensión o compresión actuaran sobre él.


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

15/24

(a) (b) (c)

Figura 1.20: a) Variaci´ on de la deformaci´ on unitaria normal, b) Variaci´ on del esfuerzo de flexi´ on, c) Variaci´ on del esfuerzo de flexi´ on . Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

La posición del eje neutro sobre la sección transversal se puede localizar satisfaciendo la condición de que la fuerza

resultante producida por la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal debe ser igual a cero. Notando que la

fuerza dF = σdA actúa sobre el elemento arbitrario dA en la Figura 1.20b, se requiere que F R = ΣF x, entonces

0 =

A

dF =

A

σdA

=

A

−

yc

σmáxdA

= −σmáx

c

A

dA

Como σmáx/x es distinto a cero, entonces

A

ydA = 0 (1.34)

En otras palabras, el momento estático de la sección transversal del miembro respecto al eje neutro debe ser cero. Estacondición sólo puede ser satisfecha si el eje neutro es tambíen el eje centroidal de la sección transversal. En consecuencia,

una vez determinado el centroide de la sección transversal del miembro, se conoce tambíen la posición del eje neutro.

Se puede determinar el esfuerzo en la viga a partir del requisito de que el momento interno resultante M debe ser

igual al momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF en la Figura 1.20b

respecto al eje neutro es dM = ydF . Este momento es positivo ya que, por la regla de la mano derecha, el pulgar está

dirigido a lo largo del eje positivo z cuando los dedos se curvan según el sentido de rotación causado por dM . Como

dF = σdA, usando la ecuación 1.33, se tiene para la sección transversal total, (M R)z = ΣM z, entonces

M = A

ydF = A

y(σdA) = A

y yc

σmáx dA (1.35)o

M = σmáx

c

A

y2dA (1.36)

La integral en esta ecuación representa el momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto al eje neutro,

se denota con I . De la ecuación (1.36) se despeja σmáx y se escribe en forma general como


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

16/24

σmáx = Mc

I (1.37)

Donde

σmáx = Esfuerzo normal máximo en el miembro

M = Momento interno resultante, determinado con el método de las secciones

y las ecuaciones de equilibrio. Se calcula con respecto al eje neutro de la sección transversal.

I = Momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.

c = Distancia perpendicular del eje neutro al punto m ás alejado de este eje

y sobre el cual actúa σmáx.

1.6. Esfuerzo cortante transversal

La fuerza cortante V es el resultado de una distribución de esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección

transversal de la viga, figura 1.21 . Debido a la propiedad complementaria del cortante, note que los esfuerzos cortantes

longitudinales asociados actúan también a lo largo de planos longitudinales de la viga. Por ejemplo, un elemento t́ıpico

retirado del punto interior sobre la sección transversal está sometido a esfuerzos de cortante transversal y longitudinal

como se muestra en la figura 1.21.

Figura 1.21: Fuerzas cortantes sobre una viga, Fuente: ( Hibbeler, 2006 )

Se puede ilustrar f́ısicamente la razón por la cual se desarrolla el esfuerzo cortante en los planos longitudinales de una

viga que soporta una carga cortante interna, considerando que la viga se compone de tres tablones, figura 1.22a. Si las

superficies son lisas y éstos no están unidos entre sı́, entonces la aplicación de la carga P ocasionará que se deslicen uno

con respecto al otro, y aśı la viga se deflexionaŕa como se muestra. Por otra parte, si las tablas est án unidas entre śı,

entonces los esfuerzos cortante longitudinales entre ellos evitarán su deslizamiento relativo y, por consiguiente, la viga

actuara como una sola unidad, figura 1.22b .

(a) (b)

Figura 1.22: a) Tablas separadas entre si , b)Tablas unidas entre si. Fuente: ( Hibbeler , 2006 )


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

17/24

Como resultado del esfuerzo cortante interno, se desarrollarán deformaciones cortantes que tenderán a distorsionar

el sección transversal de manera una tanto completa. Por ejemplo, considere una barra hecha de un material altamente

deformable y marcada con lı́neas reticulares horizontales y verticales como se muestra en la figura . Cuando se aplica

una fuerza cortante V , ésta tiende a deformar las ĺıneas de la manera mostrada en la figura . En general, la distribución

de la deformación por cortante no uniforme sobre la sección transversal ocasionará que ésta se alabee, es decir, que no

permanezca plana.

(a) (b)

Figura 1.23: a) Viga antes de la deformaci´ on , b)Viga después de la deformaci´ on. Fuente: ( Hibbeler, 2006 )

1.6.1. Fórmula del esfuerzo cortante

El desarrollo de una relación entre la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de una

viga y la fuerza cortante resultante en la sección, se basa en el estudio del esfuerzo cortante longitudinal y el resultado de

la ecuación V = dM/dx. Para mostrar cómo se establece esta relación se considera un elemento tomado de la viga en la

figura 1.24a y mostrado en la figura 1.24b. Un diagrama de cuerpo libre del elemento que muestra sólo la distribución del

esfuerzo normal que actúa sobre él se observa en la figura 1.24b.

(a) (b) (c)

Figura 1.24: Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

Esta distribución es causada por los momentos flexionantes M y M + dM . Se han excluidos los efectos de V , V + dV

y w(x) debido a que estas cargas son verticales y no aparecen en la sumatoria de fuerzas horizontales. El elemento de la

figura 1.24c satisface la ecuación F x = 0 puesto que la distribución a cada lado del elementos forma sólo una par y portanto se tiene una fuerza resultante nula.

Considerando el segmento superior sombreado del elemento que ha sido seleccionado a una distancia y desde el eje

neutro, figura 1.24c. Este segmento tiene un ancho t en la sección y los lados transversales tienen cada uno un área A.

Puesto que los momentos resultantes a cada lado del elemento difieren en dM , puede verse en la figura que

F x = 0 no

será satisfecha a menos que actúe un esfuerzo longitudinal τ sobre la cara del fondo del segmento.


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

18/24

(a) (b)

Figura 1.25: a) Vista tridimensional , b)Vista de perfil. Fuente: ( Hibbeler , 2006 )

En el siguiente análisis se supondrá que este esfuerzo cortante es constante a través del ancho t de la cara del fondo.

Este esfuerzo actúa sobre el área t dx. Aplicando la ecuación del equilibrio de fuerzas horizontales y la f órmula de flexión,

ecuación (1.37), se tiene

+←F x = 0 :

A

σ dA − A

σ dA − τ (t dx) = 0

A

M + dM

I

y dA −

A

M

I

y dA − τ (t dx) = 0

dM

I

A

y dA = τ (t dx) (1.38)

Despejando τ , se obtiene

τ = 1

I t

dM

dx

A

y dA (1.39)

Esta ecuación puede simplificarse observando que V = dM/dx. La integral representa tambíen el primer momento de

área A

respecto al eje neutro. Denotaremos este momento con el śımbolo Q. Como la posición del centroide del área A

se determina con ȳ = A

y dA/A se puede escribir.

Q =

A

y dA = ȳA (1.40)

Por lo tanto, el resultado final es

τ = V Q

It (1.41)

Donde

τ = Esfuerzo cortante en el miembro en un punto situado a una distancia y del eje neutro.

V = Fuerza cortante interna resultante.

I = Momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro.

t = Ancho de la sección transversal del miembro en el punto que se va a determinar τ .

Q =

A

y dA = ȳA, donde A es la porción superior o inferior del área transversal del miembro

considerada desde la sección en que se mide t, ȳ es la distancia del centroide de A al eje neutro.


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

19/24

1.7. Ejemplos

I.- La barra mostrada en la figura 1.26 presenta una altura constante de 35 [mm] y 10 [mm] de espesor. Determine el

esfuerzo normal promedio máximo que se encuentra sometida la barra bajo el estado de carga mostrado.

Figura 1.26

Solución Primero se debe seccionar la barra en segmentos, estos segmentos coinciden con los intervalos donde las

cargas aplicadas sobre la barra cambian (figura 1.27).

Figura 1.27

Mediante las ecuaciones de equilibrio es posible determinar los valores de las fuerzas internas P AB, P BC y P CD

mostradas en la figura 1.27. Una vez determinadas las fuerzas internas, se recomienda realizar un gr áfico de fuerzas

internas vs posición (figura 1.28), que permite determinar cual es el punto o intervalo donde las fuerzas internas son

mayores.

Figura 1.28

De acuerdo a la figura 1.28, la mayor fuerza interna de la barra corresponde a P BC = 30 [kN ]. Al presentar la barra un

área constante en toda su longitud, el esfuerzo normal máximo está condicionado solamente por la fuerza interna máxima1 . Aplicando la formula de esfuerzo normal (ecuación (1.1)), se tiene

σBC = P BC

A =

30(103) [N ]

(0, 035 [m])(0, 010 [m]) = 85, 7 [MP a]

1En caso de que el área de la barra fuera variable, se debe evaluar el esfuerzo normal en cada intervalo.


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

20/24

II.- Determine el esfuerzo cortante en el pin de 20 [ mm] de diámetro ubicado en A y el pin de 30 [mm] de diámetro

ubicado en B que soportan la viga mostrada en la figura 1.29.

Figura 1.29

Solución Las fuerzas ejercidas sobre los pasadores se obtienen realizando el diagrama de cuerpo libre de la viga

(figura 1.30a) y aplicando las condiciones de equilibrio.

M A = 0 F B ·

4

5 · (6 [m]) − (30 [kN ])(2 [m]) = 0

F x = 0 12, 5 [kN ] −Ax = 0F y = 0 Ay + 12, 5 ·

3

5 [kN ] − 30 [kN ] = 0

Del sistema de ecuaciones se obtiene

Ay = 20 [kN ] Ax = 7, 5 [kN ] F B = 12, 5 [kN ]

De acuerdo a esto, la fuerza resultante sobre el pasador A es

F A =

A2x + A2y =

(7, 5 [kN ])2 + (20 [kN ])2 = 21, 36 [kN ]

(a) (b) (c)

Figura 1.30


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

21/24

El pasador A se encuentra sujeto mediante dos placas fijas, el diagrama de cuerpo libre del segmento central del pasador

se muestra en la figura 1.30b, este segmento presenta dos superficies de cizalladura entre la viga y cada placa. Este caso

se denomina cortante doble , por lo tanto la fuerza de corte en cada superficie est á dada por

V A = F A

2 =

21, 36 [kN ]

2 = 10, 68 [kN ]

En la figura 1.29 se observa que el pasador B se encuentra sometido a cortante simple , esto ocurre en la sección entre

el cable y la viga (figura 1.30c). Para este caso se tiene que la fuerza cortante es

V B = F B = 12, 5 [kN ]

Una vez conocidas las fuerzas que actúan sobre los pasadores, es posible utilizar la formula de esfuerzo cortante

(ecuación (1.3)).

τ A = V AAA

= 10, 68(103) [N ]π4

(0, 02 [m])2 = 30, 0 [MP a]

τ B = V BAB

= 12, 5(103) [N ]π4

(0, 03 [m])2 = 17, 7 [MP a]

III.- El eje mostrado en la figura 1.31a, está soportado por dos rodamientos y se encuentra sometido a tres torques.

Determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B , localizados en la sección a − a del eje (figura 1.31b).

(a) (b)

Solución El primer paso es determinar el torque interno en la sección a − a. Para ello se asume que las reacciones

en los rodamientos son cero, ya que se asume que el peso del eje es despreciable. Además, los torques aplicados satisfacen

el equilibrio de momentos en torno al eje x.

El torque interno de la sección a − a se determina mediante el diagrama de cuerpo libre del segmento de la izquierda

del eje, figura 1.31. Aplicando la ecuación de equilibrio de momentos se tiene

M x = 0 42, 5 [kp · in]− 30 [kp · in] − T = 0

T = 12, 5 [kip · in]


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

22/24

Figura 1.31

La inercia polar para un eje solido está dada por la ecuación (1.22), para este eje se tiene

J = π

2(0, 75)4 = 0, 497 [in4]

Para el esfuerzo cortante en el punto A, se aplica la formula (1.21) considerando ρ = 0, 75 [in].

τ A = T · ρJ

= (12, 5 [kip · in]) · (0, 75 [in])(0, 497 [in])2

= 18, 9 [ksi]

De forma similar se determina el esfuerzo cortante en el punto B , considerando ρ = 0, 15 [in] se tiene

τ B = T · ρ

J =

(12, 5 [kip · in]) · (0, 15 [in])

(0, 497 [in])2 = 3, 77 [ksi]

IV.- La barra de acero mostrada en la figura 1.32, tiene una sección rectangular de 0, 8 × 2, 5 [in]. La barra esta

sometida a dos pares iguales y opuestos que actúan en el plano de simetŕıa vertical de la barra. Determine el valor del

momento flexionante que causa la fluencia del material. Considere σf = 36 [ksi].

Figura 1.32

Solución Debido a que el eje neutro pasa a través del centroide C de la sección transversal de la barra, se tiene

c = 1, 25 [in] (figura 1.33). Por otro lado, el momento de inercia de área para una region rectangular está dado por

I = 1

12 · b · h3 =

1

12(0, 8 [in]) · (2, 5 [in])3 = 1, 042 [in4]


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

23/24

Figura 1.33

Utilizando la expresión de flexión (ecuación (1.37)), y sustituyendo con la información conocida es posible obtener el

momento flexionante que genera la fluencia del material.

M = I

c · σm =

1, 042 [in4]

1, 25 [in] · (36 [ksi])

M = 30 [kip · in]

V.- El eje solido y el tubo mostrados en las figuras 1.34a y 1.34b, respectivamente, se encuentran sometidos a una

fuerza cortante de 4 [kN ]. Determine el esfuerzo cortante que actúa sobre el diámetro de cada sección.

(a) (b)

Solución Utilizando la tabla ??, es posible determinar el momento de inercia para el solido y el tubo.

I solido = 1

4πr4 =

1

4π(0, 05 [m])4 = 4, 909(10−6) [m4]

I tubo = 1

4π(r4e − r

4i ) =

1

4π[(0, 05 [m])4 − (0, 02 [m])4] = 4.783(10−6) [m4]

Figura 1.34


8/15/2019 2015 AP 07Solidos

24/24

El área semicircular sombreada mostrada en la figura 1.34 sobre cada diámetro, representa Q, debido a que está área

es afectada por el esfuerzo cortante longitudinal a trav́es del diámetro. Determinando el valor Q para cada caso se tiene

Qsolido = ȳA =

4r

3π

πr2

2

=

4(0, 05 [m])

3π

π(0, 05)2

2

= 83, 33(10−6) [m3]

Qtubo =

ȳA = 4re

3π

πr2e

2

−

4ri3π

πr2i

2

= 4(0, 05 [m])3π

π(0, 05)2

2

−

4(0, 02 [m])3π

π(0, 02)2

2

= 78, 0(10−6) [m3]

Aplicando la formula de cortante (ecuación (1.41)) y considerando t = 0, 1 [m] para la sección solida, y t = 2(0, 03) [m] =

0, 06 [m] para el tubo, se tiene

τ solido = V Q

It =

4(103 [N ])(83, 33(10−6 [m3])

(4, 909(10−6) [m4])(0, 06 [m]) = 679 [kP a]

τ tubo = V Q

It =

4(103 [N ])(78, 0(10−6 [m3])

(4, 783(10−6) [m4])(0, 06 [m]) = 1, 09 [M P a]

Bibliograf́ıa

Beer, F., Johnston, R., Eisenberg, E., Mazurek, D., Cornwell, P., y cols. (2004). Mec´ anica de materiales (3.a ed.). Mexico:

Mc Graw Hill.

Beer, F., Johnston, R., Eisenberg, E., Mazurek, D., Cornwell, P., y cols. (2010). Vector mechanics for engineers, statics

and dynamics (Ninth ed.). New York: Mc Graw Hill.

Hibbeler, R. (2006). Mec´ anica de materiales (Sexta ed.). México: Pearson Educación.

Popov, E. P. (2000). Mec´ anica de s´ olidos (2, Ed.). Pearson Educación.

Documents

2015 AP 07Solidos