システムと待ち行列の理論

1. システムと待ち行列

▫ 渋滞問題

▫ 高トラフィック設計

2. 到着・サービスの確率法則

1. 定間隔到着

2. ランダム到着

3. 一般的独立到着

4. サービス機構

5. 指数分布とアーラン分布

2015年 システム工学

1

3. 単一窓口と待ち行列

M/M/1(1) M/M/1 M/M/1(N)

4. 複数窓口の待ち行列

1. M/M/s2. トラフィックモデル

情報処理システムと待ち行列

• OSとTask処理 / プロセス管理

• 通信の転送バッファ

2015年 システム工学

2

CPU

tasktask

tasktask

task

network

msg

msg

msg

msg

msgmsg msg msg

システムと待ち行列 / 渋滞問題

• システムの共通概念▫ サービスを要求する客(customer)の流れ 単一窓口待ち行列(single server queue) 複数窓口待ち行列(many server queue)

▫ サービスにある制約 同時に一定数以下の客しかサービスを受けられない 順番を待つ・・・・渋滞(congestion)が発生する

• 渋滞を記述する方法▫ 到着の型▫ サービス機構▫ 待ち行列の規則

2015年 システム工学

3

システムと待ち行列 / 高トラフィック設計

1. システム研究2. システム設計3. 資料の蒐集4. システム解析

▫ 直接的実験（要因分析法，等）▫ 数学的解析▫ シミュレーション

5. 最適システムの選定6. 試作7. 実施

2015年 システム工学

4

システムと待ち行列 / 高トラフィック設計 / システム規定要因

• 到着の型▫ 全体の平均到着率を改善

▫ 定間隔到着，時刻指定制などによる到着時刻の制御

▫ 全期間を通じた到着率の平均化

▫ 待ち行列に対する客の意志の反映

• サービスの機構▫ 平均サービス時間の変更

▫ サービス時間の一定化

▫ システムの容量の変化

▫ 窓口の利用可能性を上げる

• 待ち行列の規則▫ 先取りの優先権

▫ 長い待ち行列が起こる確率を小さくする

▫ 複数窓口の場合の特別窓口の設置

2015年 システム工学

5

到着・サービスの確率法則

• 定間隔到着▫ 到着率 α=1/a, a:時間間隔

• ランダム到着▫ 定常性 一人が到着する確率 αΔt 一人も到着しない確率 1 - αΔt + o(Δt)

▫ 希少性 二人またはそれ以上の客が到着する確率 o(Δt)

▫ 残留効果なし 時間区間(t, t+Δt)で起こることは，この区間と重ならない任意の時間内で，客が到着するかしない確率は，統計的に独立

2015年 システム工学

6

note: ランダウの記号(small o – omicron”ο”)

• 無限大における漸近挙動▫ あるサイズ nの問題を解くのに掛かる時間あるいは手順数

T(n) = 4n2 - 2n + 2

• 無限小における漸近挙動

▫ ex − (1 + x + x2/2) という差（誤差）の絶対値が 0 の近くの xについては|x|3 の適当な定数倍よりも小さいということを意味する

• 定義

▫ f(x) と g(x) は実数からなるある集合上で定義されているとするとき、「f(x) が x→ ∞ のときO(g(x)) 程度である」

▫ g(x) が aの十分近くで 0 にならないならこれらの定義を上限値を使って統一的に記述できる。つまり「f(x) が x→ aのときO(g(x) の程度である」とは

2015年 システム工学

7

到着・サービスの確率法則 / 到着客数の確率分布

• ２項分布の確率法則により，全時間t0を通じてちょうどr人の客が到着する確率

• 時間t0内の到着数をXとする，これは確率変数である

2015年 システム工学

8

1.4

!

1lim!

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00

00

0

00

tr

rm

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rt

mt

mt

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2.4,...3,2,1!

000 re

rt

rXPtw tr

r

到着・サービスの確率法則 / 到着客数の確率分布

• 客は１人ずつ来る（希少性を仮定）

• 各人の到着時間間隔は確率法則に従う▫ 到着時間間隔 T1,T2,T3, ….は互いに独立な確率変数で分布は同一

▫ すぐ続く２人の到着時間間隔がt0以上であるから，t0時間間隔には１人も到着しない

▫ ある時間間隔に到着する客数がポアソン分布（指数分布）に従うことと，到着時間間隔が指数分布に従うこととは，同等である

2015年 システム工学

9

4.41

3.40

0

0

000

t

t

etTP

etwtTP

到着・サービスの確率法則 / 到着客数の確率分布

• ポアソン分布の平均と分散

• ランダム到着の場合の相続く客の到着時間間隔Tは指数分布である

2015年 システム工学

10

6.4

5.4

02

00

0222

000

tttwrXEXEXV

ttrwXE

rr

rr

10.41

9.42

8.417.4

222

20

22

0

TETETV

dtetTE

dteTE

dtedttTtP

t

t

t

未来を知るために

• ある時刻にシステムが正常であるとき，その後 t 時間内に故障を起こす確率は，今までどのくらい正常であったかということことに無関係

• ある時刻に正常なシステムは，その時刻から s 時間前から運用を始めたとして，その後 t 時間後に故障を起こす確率は，運用後 s+t 以下である条件付確率である

• これは， s に無関係であることを示している

2015年 システム工学

11

11.4111

|

ts

sts

ee

eeTsP

sTPtsTPTsP

tsTsPTstsTP

到着・サービスの確率法則 / サービス機構

• サービスの動作 サービス時間・・・・すべて同一の確率分布に従う独立な確率変数である システムの容量・・・単一窓口の容量は１，ｍ個の窓口の場合はｍ 利用可能性・・・・・いつ利用可能か，

同時にサービスを受ける客の数をシステムの容量以下にする制約

• サービスに要する時間の長さ▫ 一定サービス時間▫ 指数サービス時間

確率変数 T がサービス時間 サービス時間が区間Δt 内で終わる確率はどれほど長くサービスが続いているかとは独立に，微小時間区間に終わる確率は一定

▫ 一般的独立サービス 一定サービス時間 指数サービス時間

2015年 システム工学

12

13.41|

12.4

00

00

0

t

t

t

t

etTttTP

edtetTP

指数分布とアーラン分布

• ランダム到着の場合，相続く客の到着時間間隔 T が指数分布に従う

• 到着時間，サービス時間が指数分布とは思えない場合が多い確率密度関数は t=0 で最大

• t=o では小さく，t=a>0 付近で最大になる分布が現実には多い現実に近く，理論的に複雑にならない分布=アーラン分布が考えられた

• k=1 で指数分布kを増すと平均は変わらないが，分散は次第に減少するとがった分布

2015年 システム工学

13

dtedttTtP t

17.411

16.411

15.400

0!1

2221

1321

1

kkkSVSV

kkTETTTTESE

t

tek

tktg

k

iik

k

tink

tkkk

A. 単一窓口待ち行列 / M/M/1(1)

• 特徴 X/Y/s (Kendallの記号)▫ X:到着分布

▫ Y:サービス分布

▫ s:サービスステーション

M:指数分布 D:単位分布 E:アーラン分布 G:一般分布

• 待ち行列システムのモデル

2015年 システム工学

14

１

２

Ｓ行列の長さ

システム中の客の数

到着分布

サービス分布

A. 単一窓口待ち行列 / M/M/1(1)

▫ 到着率：λ▫ サービス率：μ

• 状態Ａにある確率PA(t)，Ｂにある確率PB(t)• 待ち行列過程の基本方程式

▫ Δtの間に客が到着して状態Ａ⇒状態Ｂ⇒状態Ａと戻る確率は無視できる

確率でしか起こらない．

2015年 システム工学

15

Ａ

Ｂ

19.4

1

18.411

tPtP

tPtPdttdP

tPtPdttdP

tottPtPtttPtottPtPtttP

BA

BAB

BAA

ABB

BAA

A. 単一窓口待ち行列 / M/M/1(1)

• 遷移確率図

• 平衡方程式

• 定常状態

2015年 システム工学

16

Ａ Ｂ

t1 t1

t

t

21.4

lim

lim

0,

20.401

01

tPPP

tPPP

et

ePetP

ePetP

BtBB

AtAA

t

tB

tB

tA

tA

22.41

BA

BA

PPPP

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1

• 客が到着したとき，▫ 先客がサービス中の場合は，行列を作って待つ

▫ 窓口が空くと直ちに行列の先頭の客がサービスを受け始める

• ポアソン分布，指数分布サービスの下で扱う

• 待ち行列の状態

▫ 待ち行列過程で状態n：システム中の客=行列で待っている客+サービス中の客

• 方程式

2015年 システム工学

17

0 1 n+1n-1 n

λ λ λ λ λ λ

μμ μ μ μ μ

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1

• 連立方程式

• 利用率

• トラフィック密度

• 入量率

2015年 システム工学

18

1

24.4.3,2,1

0

11

10

nn

nnn

P

nPPPPP

28.4

,2

,1

00

03

0

3

3

231

02

0

2

2

120

01

PPP

PPP

PPPn

PPP

PPPn

PP

nn

n

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1 平衡状態 例4.3

• 例4.3▫ 既にｋ人が行列を作って待っている

▫ 今来た客が自分のサービスを受けるまでの時間をTk

▫ この客が来てから r 番目の客が窓口を去る時間τrとおく

▫ 確率変数は互いに独立で，平均1/μの指数分布に従っている

▫ k人が窓口に並んでいるところに来た客は，k+1人が窓口を去れば，自分がサービスを受ける

2015年 システム工学

19

36.4

111

11

1

1

200

0

00

1

01

1

1

121

qk

k

k

kk

kkq

k

iik

kk

LPkP

kPTEPW

kXETE

XXXT

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1 例4.4, 4.5

• 例4.4▫ 順番が来るまで行列に並んで待っている待ち時間をT▫ サービス時間をS▫ システムのなかで費やされる

全時間の平均W

• 例4.5▫ 窓口に到着した客が自分のサー

ビスを受けるまで t 時間より多く待たされる確率P(T>t)

▫ 自分がサービスを受けるまでの待ち時間Tk

▫ Tkがt以上になる確率は時間t の間に多くともk-1人がサービスを受け終わる確率に等しい

2015年 システム工学

20

L

WSETESTEW q

1

111

1

1

38.411

11

1!

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!

11

011

1

1

01

1

1

0

11

1

011

tt

r

ttrr

t

rk

k

r

rt

k

k

r

rkt

k

r

rt

kk

kkk

ee

eePrteP

rteP

rteP

rteptTPptTP

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1 例4.6

• 例4.6▫ 市役所の窓口

住民の到着する時間間隔は平均５分のポアソン分布

手続き平均時間の平均は４分

(1) 住民が待たされる確率

(2) 事務手続きのために市役所に居る住民の平均の数

(3) 平均待ち時間

2015年 システム工学

21

16)2.025.0(25.0

2.0113

42.025.0

2.02

8.05411

154,25.0

41,2.0

51

2

0

qq LW

L

P

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1 例4.7

• 例4.7▫ ある駅の窓口

平均２分間に１人の割合のポアソン分布で乗客が到着する

１分間に２人の切符を指数分布で発売する

(1) 窓口に来た客が待たないで済む確率

(2) 待ち行列の平均の長さ

(3) システムなかの乗客数の平均

(4) 乗客の平均待ち時間

2015年 システム工学

22

61

121

5.0114

31

5.025.03

121

5.0225.02

75.011

125.0,2,5.021

22

0

qq

q

LW

L

L

P

B. 単一窓口待ち行列 / M/M/1 例4.8

• 例4.8▫ 機械の故障が１時間に平均３台の割合でポアッソン分布に従って起こる

応募者

Ａ 修復率μa: １時間に平均５台を修復する，５０００円/時間を要求

Ｂ 修復率μb:１時間に平均４台を修復する，４０００円/時間を要求

会社にとって10000円の損失になる

▫ Ａの場合

▫ Ｂの場合

2015年 システム工学

23

2000050001000023

23

353

A

AA

S

L

3400040001000013

13

343

B

BB

S

L

C. 単一窓口待ち行列 / M/M/1(N)

• 待ち行列に制限がある，即ちＮ人までしか入れない▫ Ａの場合は，N=1▫ Bの場合は，N=∞▫ n=Nの場合に修正が必要

2015年 システム工学

24

39.4

1

1,,2,1,

0

1

11

10

N

nn

NN

nnn

P

PPNnPPP

PP

43.4

1111

42.411

211

41.411

11

,,2,1,0,1

1

1

12

212

322212

1

1

1

N

NN

q

N

NNN

L

N

NN

nNn

NNL

NV

NNL

NnP

C. 単一窓口待ち行列 / M/M/1(N) 例4.9

•例4.9▫出荷所

車は単位時間当たりλ台でポアソン到着

積荷時間は平均1/μの指数分布

積荷のための単位時間当たりの経費はAμ円

車１台当りの利益はB円 駐車場には積載中の車を

含めてＮ台のみ

図4.6を参照

2015年 システム工学

25

45.41

11

1

44.411

111

11

1111

21

11

2112

111

11

1

1

1

11

N

NN

NN

NNNN

NN

NN

N

N

N

N

N

N

NN

NN

NNBA

ANNBddC

ABABC

BPB

P

通信トラフィック理論/ M/M/s(N)

サービス速度が，どれでも同じような窓口が s 個並列にある場合

窓口が１つの場合と異なるのは，nという状態からn-1の状態に移行する割合がμでなく，n≦sの場合はｎμ，ｎ＞sの場合はsμとなる

窓口が同時に終わる確率は無視できるので，全部ふさがっている場合はsμ，一部のn個がふさがっている場合はｎμの割合で，どれか一つのサービスが終わる

2015年 システム工学

26

0 1 s+1s-1 sλ λ λ λ λ λ

2μμ (s-1)μ sμ sμ sμ

通信トラフィック理論/ M/M/s(N)

サービス速度が，どれでも同じような窓口が s 個並列にある場合• 状態方程式

2015年 システム工学

27

46.4

1

,1,1,,2,11

0

11

11

10

nn

nnn

nnn

P

ssnPsPsPsnPnPnP

PP

49.4!1!

1,11

48.4,1,!!

;

47.41,,2,1,0!

,,46.4

,

1

00

0

00

001

assa

naPP

ssnPs

sPssaPsn

snPnaPaPPeq

sa

ss

n

n

nn

ns

sn

n

n

n

n

通信トラフィック理論/ M/M/s

2015年 システム工学

28

55.41

1

54.40!11!!

53.41!1

52.41

51.4!1

50.4

11

000

02

02

tsc

tss

sss

sn

ns

snnc

q

s

q

q

s

q

q

ePePtTP

TPssaP

sPs

sPsPP

LPssaW

WW

PssaL

aLL

システムの中の客数の平均L，行列の名がsの平均Lq，待ち時間の平均Wq，システムの中で費やされる全時間の平均W，窓口が全てふさがっている確率Pc，t 時間より多く待たされる確率P

B. トラフィックモデル

• 呼：接続要求（客）

• 保留時間：呼の継続時間（サービス時間）

• トラフィック T(t,s)：時間(t, t+s)における総保留時間

• 同時接続数 N(t)：ある時刻に接続中の呼数

• トラフィック密度(呼量)

2015年 システム工学

29

59/58.41

lim,lim

57.41,1,

56.4,

00tNdxxN

sstata

dxxNs

stTs

sta

dxxNstT

st

tss

st

t

st

t

呼損失

• 呼損失 M/M/1(1) 式(4.21) • アーランの損失率 / アーランB式 M/M/s• アーランの待ち合せ式 /アーランC式

2015年 システム工学

30

64.4

1,

63.4!1

,

62.411

61.4!!

0

01

0

aEasasE

asC

PPssaasC

aEaaEs

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aaEna

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s

s

c

ss

ss

s

s

n

ns

s

通信トラフィック理論/ M/G/1

現実のモデルでは，バッファサイズは有限である

実際のバッファ数は，N-s である

• 状態方程式

• システムの構成法▫ システムに入ってきた呼を何もしないで棄却する

▫ 呼を発生する側のシステムに情報を与え，これからの呼の発生をブロックさせる

2015年 システム工学

31