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josue-lopez-miranda
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20150629200638
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CLCULO DE REAS
REAS
Acotadas Por una Curva
Acotadas por ms de una curva
f(x) es positiva
f(x) no es positiva
( )
b
a
f xr a dxe
2
( )
b
a
f x drea x
x
y
x
y
f
g
( ) ( )b
a
fre x g xa dx
3
rea acotada por una curva
b,aen0)x(f
rea de la regin = b
a
dx)x(f
4
Ejemplo
2
2/3
7
3
2/3
7
3
7
3
2/1
78.10
33
27)5(
3
2
2/3
2
1)2(12
u
xx
dxxdxx
5
El recinto ser el limitado por la funcin f(x), el eje OX y dos recta
verticales x =a y x = b.
rea del recinto = - b
a
dx)x(f
( ) 0 ,f x en a bCaso 2
6
Ejemplo
2
5
2
5
2
5
2
5
2
75.5)2ln(32)5ln(35
ln33
1
313
32
u
xxdxx
dxx
dxx
x
7
rea:
2
3
0
33
0
2
3
3
3
3
22
24)039(2
32)1(2
)1()1(
u
xx
dxx
dxxdxx
Ejemplo
La funcin toma valores positivos y negativos
rea (R) = b
e
e
d
d
c
c
adx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
9
Hallar el rea de la regin limitada por la funcin , las rectas
x = 1 y x = 4.
21( ) 14
f x x
4 2 4
2 2 2
1 1 2
2 4
2 2
1 2
2 4
3 3
1 2
3 3 2
1 1 1rea 1 1 1
4 4 4
1 11 1
4 4
1 1
12 12
1 1 1 1 432 2 1 4 4 (2) 2
12 12 12 12 12
x dx x dx x dx
x dx x dx
x x x x
u
10
elemento diferencial de rea:
R
y = f(x)
y = g(x)
X
Y
b a x
b
a
dxg(x)f(x)A(R) ][
dARArea de la regin:
diferencial de rea: dA=[f(x)-g(x)]dx
dx
f(x)-g(x)
11
rea (R) =
235.0
2
3
38]1)1()32[( udxxx
Ejemplo
12
elemento diferencial de rea:
II. Si la regin es regular con respecto al eje Y:
diferencial de rea: dA=[h(y)-i(y)]dy
d
c
dyyiyhRA ][
dARArea de la regin:
x = h(y)
X
Y d
c
R x = i (y)
y dy
h(y)-i(y)
13
Encuentre el rea de la regin limitada por las
curvas 2 6
, 12
yx x y
Ejemplo 2
14
rea (R) = b
c
c
adx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[
reas Acotadas por Curvas que se Cortan
15
Hallar el rea de la regin limitada por las funciones y =
x2 e xy
y = x2 xy
rea (R) = 2
1
0
32
31
021
02
1
u3
1
3
xx
3
2dxxdxx
Ejemplo 3
16
Hallar el rea del recinto limitado por la parbola y = x2 ,
la recta y = -x + 2 y el eje OX positivo
rea (R) = 22
1
1
02 u
6
5dx)2x(dxx
y = x2 y = - x + 2
Ejemplo 4
17
SLIDOS DE REVOLUCIN MTODOS DE DISCOS Y ANILLOS
18
2[ ( )]b
af x dx
Mtodos para calcular volmenes de slidos de
revolucin
Del disco
De las secciones conocidas
De los anillos
De los casquetes cilndricos
2 ( )b
a
x f x dx
2 [ ( ) ( )]b
a
x f x g x dx 2 2[ ( )] [ ( )]b
af x g x dx
( )b
a
A x dx
19
Diferencial de volumen
xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
2 2
1
lim [ ( )] [ ( )]n b
i ian
i
V f x x f x dx
2i i iV f x x
MTODO DE LOS DISCOS
20
El volumen obtenido al girar la regin limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y ser igual a:
d
c
dyygV2
21
EJEMPLO Calcula el volumen del slido que se obtiene al girar la regin R, alrededor del eje Y.
y
xyyxR2
0;41/, 2
22
MTODO DE LOS ANILLOS
Cuando la regin a girar est limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
Diferencial de volumen
f(xi) g(xi)
xi
dxxgxfVb
a
22
a b x
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)
23
EJEMPLO Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y