20151SMatDeber6

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S

CAPÍTULO: M A T R I C E S, D E T E R M I N A N T E S y

S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S D E B E R 6

5.1 Matrices 1) Defina:

a) Igualdad entre matrices. b) Matriz fila. c) Matriz columna. d) Matriz rectangular. e) Matriz cuadrada. f) Diagonal principal. g) Traza. h) Matriz triangular superior. i) Matriz triangular inferior. j) Matriz nula. k) Matriz diagonal. l) Matriz escalar. m) Matriz identidad. n) Matriz idempotente. o) Matriz periódica. p) Matriz involutiva. q) Matriz nilpotente. r) Matriz simétrica. s) Matriz antisimétrica. t) Inversa de una matriz.

2) Sean las matrices: A= 1 2 30 1 4

!

"##

$

%&& y B = 2 3 0

−1 2 5

"

#$$

%

&''

Obtenga las nuevas matrices: A+ B y A− B 3) Dadas las matrices:

A=1 23 45 6

!

"

###

$

%

&&& B =

−3 −21 −54 3

"

#

$$$

%

&

''' D =

p qr st u

!

"

####

$

%

&&&&

Obtenga la matriz D para que A+ B−D = 0

4) Siendo: A=1 2 −35 0 21 −1 1

"

#

$$$

%

&

''' B =

3 −1 24 2 52 0 3

"

#

$$$

%

&

''' C =

3 −1 20 3 21 −2 3

"

#

$$$

%

&

'''

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a) Obtenga: −2A b) Compruebe que: A+ B−C( ) = A+ B( )−C

c) Obtenga la matriz D de forma que: A+D = B d) Compruebe que D = B− A= − A− B( )

5) Sean las matrices A =1 2 30 −1 2−2 0 1

"

#

$$$

%

&

''', B = 2 0 −1

1 1 0

"

#$

%

&' y C = BA , el valor de la

suma de los elementos c11 y c22 , es igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Respuesta: e) 6) Sean A, B y C matrices tales que C = AB, siendo:

1 -1 2 04 0 2 1

A = 0 3 2 43 1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

1 -3 0 2 0 3

B = 1 1 -1-1 3 -1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El valor de c23 – c41 es igual a: a) –3 b) 5 c) 8 d) –9 e) 0

Respuesta: d)

7) Dadas las matrices: A=1 1 −12 0 33 −1 2

"

#

$$$

%

&

''' B =

1 30 2−1 4

"

#

$$$

%

&

''' C = 1 2 3 −4

2 0 −2 1

"

#$$

%

&''

Verifique si es que: AB( )C = A BC( )

8) Dadas: A=1 −3 22 1 −34 −3 −1

"

#

$$$

%

&

''' B =

1 4 1 02 1 1 11 −2 1 2

"

#

$$$

%

&

''' C =

2 1 −1 −23 −2 −1 −12 −5 −1 0

"

#

$$$

%

&

'''

Verifique si es que: AB = AC

9) Sean las matrices 𝐴 = 1 02 4 , 𝐵 = 2 4

6 1 y 𝐶 = 4 10 2 .

Obtenga la matriz: 𝐷 = 2𝐴! + 3𝐵𝐶

Respuesta: 𝐷 = 26 3472 32

10) Si 𝐴 = 1 20 1 , 𝐵 = 2 3 y 𝐶 = 1 3

2 4 , determine la matriz 𝐷 = 𝐴𝐶! + 𝐵!𝐵.

Respuesta: 𝐷 = 11 169 13

11) Sean las matrices 𝐴 = 1 3 02 0 −1 , 𝐵 = 1 2 3

−1 −2 1 , 𝐶 = 1 1 −11 1 −1 , determine

la traza de la matriz 𝐷 = (𝐴 + 2𝐵)𝐶!. Respuesta: 𝑡𝑟[ 𝐴 + 2𝐵 𝐶!] = −1

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12) Determine las matrices 𝐴 𝑦 𝐶 sabiendo que: 𝐴 − 2𝐶 = 3 21 3 𝑦 2𝐴 + 𝐶 = 0 2

1 −1

Respuesta: 𝐴 =!!

!!

!!

!!

𝐶 =− !!

− !!

− !!

− !!

13) Sean las matrices:

1 02 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

20

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y ( )0 1C =

Entonces el valor de k ∈ ! que cumple TkA BC I+ = es igual a: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

Respuesta: d)

14) Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de cada proposición. Considere M

al conjunto de matrices cuadradas de orden n×n .

a) ∀A,B,C ∈M AB = BA#$ %&

b) ∀A,B,C ∈M ATBC( )T=CTBT A#

$%&'(

Respuesta: a) 0, b) 1

15) Sean las matrices: A= 0 5 −31 2 6

"

#$$

%

&''

B =6 21 3−1 4

"

#

$$$

%

&

'''

De ser posible, obtenga la matriz: AB( )T− 2I2×2

Respuesta: 6 23 30

!

"##

$

%&&

16) Sean las matrices: A= 0 3 −51 2 6

"

#$$

%

&''

B =4 16 2−2 3

"

#

$$$

%

&

'''

De ser posible, obtenga la matriz: AB( )T−3I2×2

Respuesta: 25 4−9 20

"

#$$

%

&''

17) Sean las matrices: A=3 4 −28 5 76 −10 0

"

#

$$$

%

&

'''

B =1 7 0−1 8 45 15 −2

"

#

$$$

%

&

'''

Calcule el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz A+ 2B( )T.

Respuesta: –420

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A=

1 −1 2 34 5 7 10 9 2 43 1 1 0

"

#

$$$$

%

&

''''

B =

1 −3 42 0 51 1 −1−1 3 −10

"

#

$$$$

%

&

''''

De ser posible, obtenga la matriz: C = 3 AB( )T

19) Los elementos de la matriz A2×2

se determinan de la siguiente manera:

aij = i + j − 2 a) Obtenga la matriz A . b) Obtenga la matriz AT

y especifique a qué clase de matriz pertenece.

c) Calcule A2 .

20) Para que la matriz A=1 a+1 3b2 5 23 c−1 0

"

#

$$$

%

&

'''

sea simétrica, debe cumplirse que la suma

c− a−b( ) sea igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Respuesta: b)


0 2 14 1 3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 21 10 3

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 41 0

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

La traza de la matriz AB+CT( ) es igual a: a) 24 b) 12 c) –24 d) 18 e) –18

Respuesta: e)

22) Si A es una matriz cuadrada, demuestre que: a) A + AT es simétrica. b) A – AT es antisimétrica.


A= 1 2 32 1 4

!

"##

$

%&& B =

1 02 13 2

!

"

###

$

%

&&& C =

3 −1 34 1 52 1 3

"

#

$$$

%

&

'''

D = 3 −22 4

"

#$$

%

&'' E =

2 −4 50 1 43 2 1

"

#

$$$

%

&

'''

F = −4 52 3

"

#$$

%

&''

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De ser posible, calcule: a) (2 A)T b) (A – B)T c) (3BT – 5BT)T d) (–A)T y – (AT) e) (C + E + FT)T


1 2 35 0 21 1 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 1 24 2 52 0 3

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Obtenga los elementos de la matriz M , si 2B−M = AT + 12B

25) Sea A una matriz simétrica y B una matriz involutiva, el resultado de la operación

matricial ATB2( )T, es igual a:

a) A b) B c) AB d) BA e) −A Respuesta: a)

26) Si An×n es una matriz idempotente y Bn×n es una matriz involutiva, el resultado de la

operación matricial B2A2( ) es igual a:

a) A2 b) B c) I d) B2 e) A Respuesta: e)

27) Sean las matrices 𝐴 𝑦 𝐵, donde: 𝐴 = 1 46 5 𝐵 = 2 1

0 3

Obtenga la matriz 𝐶 que satisfaga la igualdad: 2𝐶 − 𝐴𝐵 = 𝐴!

Respuesta: 𝐶 =!"!

!"!

24 35

28) Sea X = m 00 2

!

"##

$

%&& , determine la suma de los valores de m , para los cuales se cumple

que: X 2 −52X + I = 0

a) –5 b) 3/2 c) ½ d) 5/2 e) 1 Respuesta: d)

29) Dadas las matrices: 𝐴 =−1 −1 0 0 −1 2 2 3 2

𝐵 =−2 0 13 2 −11 2 −3

Obtenga la matriz 𝐴 − 3𝐼 ! + 𝐵!

Respuesta: 𝐴 − 3𝐼 ! + 𝐵! =14 11 −14 24 −8−9 −18 4

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30) Los elementos de la matriz A2×2 se determinan de la siguiente manera:

aij = i + j − 2 a) Obtenga la matriz A . b) Obtenga la matriz AT

y especifique a qué clase de matriz pertenece.

c) Calcule A2 .

31) Sea la matriz A=2 3 0−1 2 51 0 1

"

#

$$$

%

&

''', determine la matriz A3 .

32) Sea la matriz 𝐴 =4 2 61 0 −25 1 0

, determine la matriz A3 .

Respuesta: 𝐴! =306 116 2606 −6 −36234 70 106

33) Sea la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1301

A , la matriz resultante de la operación: A350 − A250( ) , es igual a:

a) 0 0300 100

!

"#

$

%& b) 300 0

0 0

!

"#

$

%& c) 0 −100

−300 0

"

#$

%

&'

d) 0 0300 0

!

"#

$

%& e) 0 0

100 300

!

"#

$

%&

Respuesta: d) 34) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

∀A,B ∈Mn×n A+ B( )2= A2 + 2AB+ B2$

%&'()

a) Verdadero b) Falso

35) Sea A=cos θ( ) sen θ( )−sen θ( ) cos θ( )

"

#

$$$

%

&

'''

a) Determine: A2 b) Determine: A3

36) Sean 𝐴 y 𝐵 matrices regulares tales que 𝐴 =2 1 −23 2 2−1 2 3

y 2𝐴!! = 3𝐵.

Determine, de ser posible, 𝐵!!.

Respuesta: 𝐵!! =3 3/2 −39/2 3 3−3/2 3 9/2

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37) Sean la matrices A = 2 −10 −3

"

#$

%

&' , B =

1 01 −1

"

#$$

%

&'' y C =

−1 00 −2

"

#$$

%

&'', entonces la matriz

1−+= BACD T es igual a:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

5121

b) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

7123

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

5021

d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

5121

e) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−

5121

Respuesta: a)

38) Si A =1 0 10 −1 00 0 1

"

#

$$$

%

&

''', entonces es VERDAD que:

a) A no es inversible. b) A es idempotente.

c) A8 =1 0 80 1 00 0 1

!

"

###

$

%

&&&

d) A−1 = A e) AT = A

Respuesta: c)

39) Dadas las matrices A= 2 −1 −40 −3 1

"

#$$

%

&'' , B =

4 01 20 1

!

"

###

$

%

&&& y C = 1 2

1 5

!

"##

$

%&& , al resolver la siguiente

operación matricial: CT − AB( )−1 , el resultado es:

a)

553

−753

−12

−753

"

#

$$$$

%

&

''''

b)

4853

−5953

−1853

−753

"

#

$$$$

%

&

''''

c)

4853

5953

10353

27253

!

"

####

$

%

&&&&

d)

4853

5953

10953

27253

!

"

####

$

%

&&&&

e)

4853

10953

5953

27253

!

"

####

$

%

&&&&

Respuesta: d)

40) Para la matriz 1 23 4

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, el elemento a22 de la matriz inversa es:

a) 1 b) –1 c) –1/2 d) –2 e) 3/2

Respuesta: c)

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5.2 Determinantes 41) Defina:

a) Determinante. b) Cofactor.

42) Calcule los siguientes determinantes:

a) −5 134 −3

b) 8 1 03 −1 −11 3 −4

Respuesta: 𝑎) − 37, 𝑏) 67

43) Sean las matrices 3 23 4

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

1 00 1

I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. La suma de los valores de β ∈ ! para

los cuales A− β I( ) sea una matriz singular, es igual a:

a) 7 b) −1 c) 5 d) −7 e) −5 Respuesta: a)

44) ¿Hay algún valor de 𝑎 para que la matriz 𝐴 = 𝑎 𝑎! − 2

1 𝑎 no tenga inversa?

Respuesta: No existe.

45) Sea la matriz 1

1 1x

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, los valores de x ∈ ! para que A no sea inversible, son:

a) 0 y 1 b) 1 y 2 c) –1 y 1 d) –2 y 2 e) –3 y 3 Respuesta: c)

46) Sean las matrices A=1 02 −1−1 3

"

#

$$$

%

&

''' y B = 0 1 −1

2 0 1

"

#$$

%

&'' .

Para que la matriz BA− 0 0x 0

"

#$$

%

&'' no tenga inversa, el número real x debe ser igual a:

a) −134 b)

134

c) –1 d) 2 e) 3

Respuesta: b)

47) Si la matriz 𝐵 =−2 1 24 3 0−5 0 4

, entonces se puede decir que su determinante es 10.

a) Verdadero b) Falso Respuesta: b)

48) Sean 𝐴 𝑦 𝐵 inversas una de otra. Si 𝐴 = 4, determine el valor de 𝐵 .

Respuesta: 𝐵 = !!

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49) Sea Re =! y p x( ) : x2 11 1

= 0 , la suma de los elementos de Ap x( ) es igual a:

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 Respuesta: c)

50) Sea Re =! , para que la matriz A= 2a 31 3

!

"##

$

%&& sea inversible, se debe cumplir que:

a) 1/ 2a = b) 1/ 2a ≠ c) 3/ 2a = d) 3/ 2a ≠ e) 2a = Respuesta: b)

51) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

∀A,B ∈Mn×n AB( )−1= B−1A−1%

&'()*

a) Verdadero b) Falso Respuesta: a)

52) Determine el valor de verdad de cada proposición. Justifique formalmente su respuesta.

a) Si 𝐴 es IDEMPOTENTE, entonces det (𝐴) = 0 o det 𝐴 = 1. b) Si 𝐴 es una matriz ESCALAR REGULAR de orden 3x3 tal que det (𝐴) = 𝑥!, entonces se

cumple que: det 𝐴! − 𝐴!!𝐴 = 𝑥 + 1 !. Respuesta: a) 1, b) 0

53) Sea la matriz𝐴 =−2 −1 04 𝛼 7−5 0 3

, determine el valor de 𝛼 ∈ ! , para que la matriz no

tenga inversa. Respuesta: 𝛼 = !"

!

54) Sea A=1 1 m−m 0 −16 −1 0

"

#

$$$

%

&

''' una matriz de números reales. El valor positivo de m para

que A sea una matriz singular, es igual a:

a) 2 b) 5 c) 7 d) 4 e) 7 Respuesta: c)

55) Sean las matrices 𝐴 = 1 −2 00 1 3 , 𝐵 = −1 0 2

3 1 1 y 𝐶 =1 40 25 0

, determine el

valor de: 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 2𝐵 𝐶 ! Respuesta: 450

56) Sean las matrices A , B y X de orden 2x2, tales que:

A= 2 1−1 1

"

#$$

%

&'' B = 1 1

−1 2

"

#$$

%

&''

Si AX + X = B , entonces el valor de 7det X( ) es igual a:

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 Respuesta: e)

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57) Sea el conjunto referencial Re =! y el predicado:

p x( ) : 5 −22 1

+ 3x 21 x

− 3 2−2 x

= 0

Determine la suma de los elementos de ( )Ap x

Respuesta : Ap x( ) =∅

58) Con la transpuesta de la matriz de cofactores, calcule la inversa de 𝐴 =1 2 10 𝑎 𝑎2 0 3

, para

aquellos valores del parámetro real 𝑎 que sea posible.

Respuesta: 𝐴!! =

!!

− !!!

!!

!!

!!!

− !!

− !!

!!!

!!

59) A partir de 𝐴 = 𝑙 𝑚𝑛 𝑝 = −13, calcule el valor de los siguientes determinantes:

𝑎) 4𝑙 4𝑚4𝑛 4𝑝 𝑏) 𝐴!!

Respuesta: 𝑎) − 208, 𝑏) − !!"

60) Si 𝐴 =𝑥 𝑦 𝑧3 0 21 1 1

= 5 , calcule los nuevos determinantes:

𝐵 =

2𝑥 2𝑦 2𝑧32

0 1

1 1 1

𝐶 =𝑥 𝑦 𝑧

3𝑥 + 3 3𝑦 3𝑧 + 2𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 + 1

Respuesta: a) 𝐵 = 5, b) 𝐶 = 5 61) Obtenga el valor de 𝑎 que anula cada determinante.

a) 3 4 −5 1 −1 1 1 −1 𝑎

b) 𝑎 − 1 1 −10 𝑎 + 6 3

𝑎 − 1 2 0

Respuesta: 𝑎) 𝑎 = 1, 𝑏) 𝑎 = 1 𝑦 𝑎 = −3

62) Sean las matrices

a c eA n h s

t g r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y

4 8 422

s h nC e c a

r g t

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Si det A( ) = 3 , entonces

det C( ) es igual a: a) 24 b) −24 c) 6 d) −6 e) −3

Respuesta: b)

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63) Si a b cd e fg h i

= 5 , entonces a c −2bd f −2eg i −2h

es igual a:

a) –10 b) –5 c) 0 d) 5 e) 10 Respuesta: e)

64) Si se conoce que a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= −12, el valor de

2a31 2a33 −6a32a21 a23 −3a22

a11 + a21 a13 + a23 −3a12 −3a22

, es

igual a: a) 1/2 b) 1/3 c) 3 d) –1 e)–3

Respuesta: c)

65) El valor de:

1 α β +λ

1 β λ +α

1 λ α +β

, es igual a:

a) −1 b) 0 c) 1 d) α +β +λ e) αβλ Respuesta: b)

66) El valor del determinante

α 0 0 0x β 0 0y z δ 0s t u λ

es igual a:

a) βλαδ b) α +β +δ +λ c) α −β +δ −λ d) xyzstu e) x + y+ z+ s+ t +u Respuesta: a)

67) Sea A=

1 2 3 4−1 −3 −5 72 4 5 8−3 −7 5 3

"

#

$$$$

%

&

''''

. Entonces det A( ) es igual a:

a) 2 b) –2 c) 4 d) –4 e) 6 Respuesta: c)

5.3 Sistemas de ecuaciones lineales 68) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

“Todo sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución.” a) Verdadero b) Falso

Respuesta: b)

69) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: “Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0 entonces el sistema es

inconsistente.” a) Verdadero b) Falso

Respuesta: b)

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“Si una de las ecuaciones en un sistema de ecuaciones es un múltiplo de otra ecuación entonces el sistema tiene infinitas soluciones.”

a) Verdadero b) Falso Respuesta: b)


“Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones es invertible entonces el sistema de ecuaciones tiene única solución.”

a) Verdadero b) Falso 72) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:

“El número de operaciones realizadas con el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones es mayor al número de operaciones realizadas con el método de Gauss

Jordan.” a) Verdadero b) Falso

73) Dado el sistema de ecuaciones lineales: x − 2 = y2y + 4x =11

"#$

, si a,b( ) es la solución del

sistema, entonces es VERDAD que:

a) La suma a+b( ) es un número entero.

b) La resta a−b( ) es igual a 4. c) El producto ab( ) es negativo.

d) El cociente ab!

"#$

%& no es un número entero.

e) a < b Respuesta: a)

74) Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2e2x +1= e2x −π y−ey =1−π 2x

"#$

%$

a) Determine si la solución trivial satisface al sistema de ecuaciones. b) Determine si el sistema de ecuaciones es consistente y, de ser el caso, halle una

solución no trivial.

75) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1− az = x − 2yay + x +3z =1− a+ 2y

a2z + 4y = 3a+ 2x + 2ay +10z

"

#$$

%$$

a) Determine el valor, o los valores, de a , para que el sistema sea: i. Inconsistente. ii. Consistente con solución única. iii. Consistente con infinitas soluciones.

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b) Ahora considere el mismo sistema de ecuaciones pero en su forma matricial:

Axyz

!

"

###

$

%

&&&= B .

Determine, de ser posible, A−1 tomando en cuenta el valor de a que hace que el sistema sea inconsistente, hallado en el literal anterior.

76) Determine la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

x +3y +11z = −52x +3y +8z = 4−x + 2y +3z = −9

"

#$

%$

b)

x1 − x2 + x3 − x4 = 52x1 − 2x2 + x3 +3x4 = 2−x1 + x2 + 2x3 + x4 = 4

"

#$

%$

c)

x + y + 2z = 93x − 2y +7z = 202x +7y +3z = 27

"

#$

%$

d)

x + y + z = 3−x − y + z = −13x +3y + 4z = 8

"

#$

%$

77) Sean los conjuntos Rex = Re y = Re z = ! , respecto al sistema de ecuaciones lineales

x + y +3z = 2−2x +3y − z =13x − 4y − 2z = 3

"

#$$

%$$

, es VERDAD que:

a) Tiene solución única. b) Tiene infinitas soluciones. c) Es inconsistente. d) x =1 e) y + z = −1

Respuesta: a)

78) Sea el sistema de ecuaciones:

4x+1y+2z= 4

2x+3y−1z=1

1x+1y+1z= 4

"

#

$$$

%

$$$

entonces el valor de " y " que lo satisface es: a) 1 b) –1 c) ½ d) –1/2 e) 1/3

Respuesta: c) 79) Respecto al siguiente sistema de ecuaciones lineales

0 −2 −31 3 3−1 −2 −2

"

#

$$$$

%

&

''''

x1x2x3

"

#

$$$$

%

&

''''

=51531

"

#

$$$

%

&

''', es VERDAD que:

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a) Tiene infinitas soluciones d) No tiene solución b) Tiene solución única e) Tiene una variable libre c) Tiene dos variables libres

Respuesta: b)

80) Considere el sistema de ecuaciones lineales: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−

=−+

=+−

cxxxbxxxaxxx

321

321

321

21555332

, entonces es CIERTO

que: a) La matriz de coeficientes del sistema es inversible. b) Para cualquier valor de a, b y c, el sistema es consistente. c) Si a=b=c=0 el sistema tiene solución única d) El sistema es inconsistente sólo si c ≠ 2a−3b e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

Respuesta: e)

81) Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++

=++

=−+

cxcxx

xxxxxx

32

21

321

321

)5(

622

El valor de "c" para que el sistema sea INCONSISTENTE, es igual a: a) –2 b) 2 c) 0 d) 1 e) 4

Respuesta: b)

82) Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=−−−

=−+−

002032

32

321

321

xxxxxxxx

entonces es VERDAD que:

a) Una de las soluciones del sistema es: x1=–3; x2=3; x3=–3 b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo. c) El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la trivial. d) El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones. e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

Respuesta: e)

83) Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++−

=+−

=−

0)13(37233

321

321

21

xaxxaxxx

xx, entonces una de las

siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) Si a=1, el sistema tiene infinitas soluciones. b) Si ¬(a=1), el sistema tiene solución única. c) Si a=1, el sistema no tiene solución única. d) No existe un número real a ≠ 1 tal que el sistema sea inconsistente. e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

Respuesta: a)

84) El sistema de ecuaciones lineales 2x − y −3z = ax + y − z = b−x + 2y + 2z = c

"

#$

%$

es CONSISTENTE, si:

a) b = a+ c b) b ≠ a+ c c) a ≠ b+ c d) c ≠ a+b e) a = b+ c Respuesta: a)

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85) La relación algebraica entre los valores reales a,b,c , para que el sistema de ecuaciones

lineales

2x + y + z = a3x + 4y + 2z = bx − 2y = c

"

#$$

%$$

sea CONSISTENTE, es:

a) b = 2a− c b) b = −3a+ 2c c) a = 2b+ c d) a = 2b+3c e) a = 2b− c

Respuesta: a)

86) Los valores de la constante "a" para los cuales el sistema

x = −2z −3ya y + x = −4z2y + a z = 0

"

#$

%$

tiene un número infinito de soluciones, es: a) –4 y 1 b) –4 y –1 c) 4 y 1 d) 4 y –1 e) 4

Respuesta: d)

87) Si el sistema de ecuaciones lineales

x − 2y + z = 3−x + y − z = −1−x + 2y + az = 0

"

#$

%$

es CONSISTENTE,

entonces es VERDAD que: a) a ≠ −2 b) a ≠ −1 c) a ≠ 0 d) a ≠1 e) a ≠ 2

Respuesta: b)

88) Sean los conjuntos Rex = Re y = Re z = ! y el predicado p x, y, z( ) :

2x + y − z =11x −3y = −204x + 2y +5z = 8

"

#$

%$

.

Si a,b,c( )∈ Ap x, y, z( ) , el valor de a+b+ c( ) es igual a:

a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 15 Respuesta: a)

89) Si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 32 33 8

x y z ax y z bx y z c

− + =⎧⎪− + − =⎨⎪ − + =⎩

; a,b,c ∈ ! , es

VERDAD que: a) La matriz de coeficientes del sistema es una matriz inversible. b) El sistema es inconsistente para cualquier valor de a, b, c. c) El sistema tiene solución única si c ≠ 3a + b. d) Si a = b = c = 0, el sistema correspondiente tiene solamente la solución trivial. e) El sistema es consistente si y sólo si c = 3a + b.

Respuesta: e)

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90) Determine, de ser posible, los valores de 𝑎 y 𝑏 para que el siguiente sistema de

ecuaciones lineales:

2𝑥! − 𝑥! + 𝑥! = 13𝑥! + 2𝑥! − 𝑥! = −13𝑥! − 5𝑥! + 4𝑥! = 4−𝑥! − 3𝑥! + 𝑎𝑥! = 2𝑏

a) Sea inconsistente. b) Tenga solución única. c) Tenga infinitas soluciones.

91) Sean +∈Zba, y el sistema de ecuaciones lineales ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=+−

=−+

bzyxzayxzyx

33222312

2 , entonces es

VERDAD que: a) Si ab = 0 , entonces el sistema tiene infinitas soluciones. b) Si b =1 , entonces el sistema tiene infinitas soluciones. c) Si a =1 y 1=b , entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

d) Si a =1 y 1=b , entonces el sistema es inconsistente.

e) Si 2=a , entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Respuesta: c)

92) El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Cierta clase de platos

cuesta $25 el juego y la otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente solo dispone de $7,400, determine el número de juegos de cada clase de platos que puede alquilar.

Respuesta: 80 juegos de platos de $25 y 120 juegos de platos de $45.

93) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas y las patas se obtiene 50 y 134 respectivamente. Determine la cantidad de animales de cada clase.

Respuesta: 33 gallinas y 17 conejos. 94) Un turista europeo que vino a Ecuador, gastará $30 al día por hospedaje en Baños, $20 al

día en Montañita y $20 al día en Quito. En cuanto a alimentación, el turista gastará $20 diarios en Quito, $30 diarios en Montañita y $20 al día en Baños. Además, por gastos varios el turista gastará $10 al día en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios, determinar el número de días que el turista podrá estar en Baños, Montañita y Quito.

Respuesta: 6 días en Baños, 4 días en Montañita y 4 días en Quito. 95) Una fábrica produce dos modelos de refrigeradores (A y B). El modelo A requiere 1 hora

de mano de obra para pintarse y 12 hora de mano de obra en pulido; el modelo B

requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Encuentre el NÚMERO DE REFRIGERADORES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra.

Respuesta: 40 del modelo A y 60 del modelo B.

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96) Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M1, M2, M3 en la elaboración de 2 productos P1 y P2. El número de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana, y los costos por unidad de M1 ,M2 y M3 son $1, $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad gastada en materia prima a la semana en la producción de P1 y P2, es: a) $730 b) $420 c) $550 d) $880 e) 990

Respuesta: a)

97) La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos máquinas I, II,. Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas de la máquina II. Para los artículos del tipo B se requiere utilizar una hora de la máquina I y dos horas de la máquina II. Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al día y de la máquina II es de ocho horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden fabricar respectivamente son: a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 3 y 6 d) 4 y 2 e) 3 y 2

Respuesta: a)

98) Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son de $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $80000, entonces el número de unidades del producto B es: a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000

Respuesta: d)

99) Una industria fabrica 3 clases de artículos: x1, x2, x3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados por la matriz:

x1 x2 x3

Fábrica AFábrica BFábrica C

0,50 0,10 0,200,40 0,20 0,400,60 0,30 0,30

!

"

####

$

%

&&&&

Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica C, entonces el número de unidades del artículo x2 que se producen en cada fábrica es igual a: a) 25 b) 50 c) 100 d) 125 e) 150

Respuesta: e) 100) Una empresa produce 3 productos A , B y C , los que procesa en 3 máquinas. El tiempo

en horas requeridas para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por:

A B C

MAQ IMAQ IIMAQ III

3 1 21 2 42 1 1

!

"

####

$

%

&&&&

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Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

Respuesta: 100 productos A, 150 productos B, 200 productos C.

101) Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿Cuánto fue el ingreso por cada inversión?

Respuesta: $360 al 6%, $544 al 8% y $720 al 10%. 102) Un contratista dispone de 5000 horas-‐hombre de mano de obra para 3 proyectos, B,A y

C . Los costos por hora-‐hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el número de horas-‐hombre para el proyecto C es igual a la suma de las horas-‐hombre requeridas por los proyectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-‐hombre requeridas para: a) El proyecto C es 2500 d) El proyecto B es 1500 b) Los proyectos A y B es 2500 e) Los proyectos A y C es 3500 c) Los proyectos B y C es 4500

Respuesta: c) 103) La siguiente risa: AHAHA + TEHE = TEHAW, es el resultado de sustituir una letra por un

dígito. Determine el dígito que corresponde a cada letra. Respuesta: A = 4, E = 2, H = 7, T = 5, W = 6

104) Una caja contiene monedas de 1, 5 y 10 centavos. El total de monedas que se encuentran

es 13 y suman un total de 83 centavos. ¿Al determinar la cantidad de monedas, utilizando sistemas de ecuaciones lineales, el resultado es de infinitas soluciones o sí se pueden establecer cuántas monedas de cada tipo hay en la caja?

Respuesta: Sí se puede establecer la cantidad de monedas. 105) Una compañía paga a sus asesores de venta $15 la hora, a los vendedores ambulantes $9

la hora y a los choferes $10 la hora. Esta compañía necesita contratar 70 trabajadores, entre asesores de venta, choferes y vendedores ambulantes; dicha empresa cuenta con un presupuesto para todos estos nuevos trabajadores de $760 por hora, y además necesita el doble de vendedores ambulantes que de asesores de venta. Entonces, el número de asesores de venta que contratará la compañía es igual a: a) 10 b) 20 c) 30 d) 0 e) 50

Respuesta: b)

Documents

20151SMatDeber6