广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333

2017上半年全国教师资格考试

笔试考前重要分析

数学学科初级中学知识与教学能力

关注广东教师考试微信（公众号：gdjsks）

获取更多备考资讯及备考资料

中公教育·教师考试研究院 制

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 1

◢要点精编◣

考点一：线性方程组

1.向量组线性关系的判定

（1）向量 线性相关的充要条件是 ；

（2）向量组 线性相关的充要条件是其中至少有某一

向量 可由其余向量线性表示.

（3）设 （这里 也可以写成列向量），

线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 齐 次 线 性 方 程 组

有非零解.

（4）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.

（5）设 ，

如果 线性无关，则 线性无关.

（6）设 与 两个向量组.如果

①向量组 可以由 线性表出，

0

1 2, , , ( 2)s s L

(1 )i i s

1 2( , , , )( 1,2, )i i i ina a a i s L Li

1 2, , , s L

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

s s

s s

n n sn s

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

L

L

L L L L L L L L L L L

L

1 2

1 2 , 1

( , , , )( 1,2, )

( , , , , , , )( 1,2, )

i i i ir

i i i ir i r in

a a a i s

a a a a a i s

L L

L L L

1 2, , , s L 1 2, , , s L

1 2, , , r L 1 2, , , s L

1 2, , , r L1 2, , , s L

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 2

② ，则向量组 线性相关.

2.线性方程组有解的判别定理

线性方程组 有解的充分必要条件为它的系

数矩阵 与增广矩阵 有相

同的秩.

3.方程组 Ax=b（A 为 m×n 矩阵）解的情况：

有唯一解

有无穷多解

无解，即 b 不能由 A 的列向量线性表出.

考点二：极限

1.求“0

0或

∞

∞”型极限的方法有：

①通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四

则运算法则；

②利用洛必达法则；

③变量替换与重要极限；

④等价无穷小因子替换.

2.求“0 ∙∞或∞ −∞”型极限的方法有：

r s1 2, , , r L

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

s s sn s s

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

L

L

L L L L L L L L L L L

L

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

s s sn

a a a

a a aA

a a a

L

L

L L L L

L

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

s s sn s

a a a b

a a a bA

a a a b

L

L

L L L L L

L

( ) ( )r A r A n

( ) ( )r A r A n

( ) 1 ( )r A r A

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 3

求0 ∙∞型的方法和上述方法基本相同.必须注意的是为使用洛必达法则

需根据函数的特点先将0 ∙∞型化为0

0或

∞

∞型.注意，一般将较复杂的因子取作

分子，特别地含有对数因子时，将该因子取作分子.

求∞ −∞型，一般通过适当的方法将其化为0

0或

∞

∞型.若是两个分式函数

之差，则通分转化，若是与根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方

法转化.

3.“ ”型：先将此型转化成 型或者是 型，再利用洛必达法

则或者是等价无穷小理论进行求解。

4.洛必达法则

①概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导

运算，直到该极限的类型为可以直接带入求解即可。

②适用类型：通常情况下适用于 型或者是 型极限。

5.利用两个重要极限

， （或 ）（ ）

考点三：概率

1.统计与概率——事件的关系与运算

定义 符号表示

包含关系

如果事件 A 发生，则事件 B 一

定发生，这时称事件 B 包含事件

A（或称事件 A 包含于事件 B）

B⊇A（或 A⊆B）

0

0

0

0

0

sinlim 1x

x

x

1lim 1 e

x

x x

1

0lim(1 ) ex

xx

1

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 4

相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B A＝B

并事件

若某事件发生当且仅当事件 A

发生或事件 B 发生，称此事件为

事件 A 与事件 B 的和事件

A＋B

交事件

（积事件）

若某事件发生当且仅当事件 A

发生且事件 B 发生，则称此事件

为事件 A 与事件 B 的交事件（或

积事件）

A∩B（或 AB）

互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则事

件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅

对立事件

若 A∩B 为不可能事件，A∪B

为必然事件，那么称事件 A 与事

件 B 互为对立事件

A∩B＝∅

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

＝1

2.运算法则

分配律：

,A B C A C B C A B C A C B C .

对偶率： .

吸收率： .

3.概率密度的基本性质

假设 f x 为某连续型随机变量的概率密度，则有

, ,A B AB AB A B A A

,A B AB A A B B

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 5

（1） ；（2） .

这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要

条件

考点四：义务教育阶段课程基本理念

1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，

适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人

在数学上得到不同的发展。

2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。

课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。

课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理

好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。

课程内容的呈现应注意层次性和多样性。

3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教

学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、

引导者与合作者。

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，

鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握

恰当的数学学习方法。

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学

习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应

当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过

程。

0f x 1f x dx

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 6

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学

生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主

学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握

基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，

激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评

价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习

的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认

识自我、建立信心。

5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生

了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息

技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术

对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代

信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方

式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

考点五：教学目标制定

教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现

的教学结果，是衡量教学质量的标准。教学目标的设计必须建立在对学生情

况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。

制定合理教学目标的要求:

1.反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。

2.要有计划性，可评价性。

3.格式要规范，用词要考究。

数学课程的总目标是从知识和技能、数学思考、解决问题、情感态度价

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 7

值观等方面来阐述的。作为一节课的课时目标，虽不强求这些方面都必须达

成，但其中的一个或几个方面的目标是要达成的。

在表述对象上应该统一，不能以教师角度来描述的——“使学生……”，

这种表述显然是不正确的，另一条又是以学生角度来描述的——“经历……

过程”。通常情况下，以学生为主体来表述比较恰当，也能够充分体现学生

的主体地位。

在用词上要慎重，既要有刻画知识技能的目标动词“了解、理解、掌握、

灵活运用”，又要有刻画数学活动水平的过程性目标"经历(感受)、体验(体

会)和探索"等，只有明确了每一个词的含义，才能结合自己的教学预设制定

教学目标。否则容易"词不达意"，想的和写的不统一。

“三角形的三边关系”一节的教学目标

(1)知识与技能目标：理解三角形画法，能准确地画出三角形，感悟三

角形的稳定性、三角形三边的关系，并能运用三角形的三边关系解决简单的

数学问题;

(2)过程与方法目标：经历实践活动自己探索的过程，逐步培养自主探

索、分析、归纳、推理能力。

(3)情感态度与价值观目标：体会三角形稳定性在实际生活中的应用价

值，体验数学来源于生活，并服务于生活。

4.要全面，不能“重知轻思”“重知轻情”等。

新课标将教学目标分为三个方面:知识与技能目标、过程与方法目标、

情感、态度与价值观目标。也就是说我们不仅要关注学生知识的获得，还要

关注学生情感的变化。但在制定教学目标时，有时往往会特别关注知识和技

能方面的目标，而忽略其他方面的目标。

5.注意教学目标的层次性。

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 8

我们可从三个层次来制定教学目标:

第一层次，以记忆为主要标志，培养以记忆为主的基本能力。测试基本

事实、方法的忆水平，标准是:获得的知识量以及掌握的准确性。

第二层次，以理解为主要标志，培养以理解为主的基本能力，测试能否

顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题。测试标

准是:运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。

第三层次，以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试能否

对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣。标准

是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。

6.要实在具体，不浮华。

要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空

洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有:

(1)培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；

(2)培养学生勇于探索、创新的个性品质；

(3)体验数学的魁力，激发学生的爱国主义热情;等这些词句就如同虚设。

数学教学科学化，从制定教学目标上看，一要全面，二要具有可操作性，

这是建立在对教学内容、学生数学学习规律准确把握基础上的，需要有对细

节的不断追求。制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志。从当前

的实际情况看，许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的“目标分

类细目结构图”，有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的。简言之，教

师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间，这是提高教师

素质急需解决的问题。

考点六：数学命题教学

（1）注重过程

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 9

注重过程有两层含义，一是注重命题产生的过程；二是注重命题证明的

过程。

（2）注意变式

变式教学是我国教师经常采用的一种方法，顾拎沉教授系统地分析了变

式教学的含义，他认为变式教学包括两种类型:概念性变式和过程性变式。

概念变式有几种表现形式:①通过日常生活中的直观材料组织已有的感性经

验，使学生理解概念的具体含义；②利用不同的图形变式作为直观材料和抽

象概念之间的过渡，帮助学生把已有的感性经验上升为抽象水平，理解概念

图形的基本特征，进而把握概念的外延空间；③非概念变式，即通过对超出

概念外延的实例的认识去突出概念的内涵。

过程性变式是针对程序性知识的教学而言的。在概念形成方面，要使学

生知道概念产生的缘由，体验知识形成的过程;在问题解决方面，注重对问

题化归过程(变式)的解析。我们认为，变式是过程和结果的统一。从变式的

对象看，包括概念变式、命题变式(问题变式)，变式前与变式后均以结果表

征，而两个结果之间的化归则表现为一种过程。

（3）形成命题体系

构架命题体系是个体形成命题域和命题系的前提。一般而言，可以从陈

述性知识层面构架命题网络，也可以从程序性知识层面构架命题网络。

（4）加强命题应用

在命题应用的教学设计中，首先，应当精选问题，以问题为桥梁沟通命

题之间的联系；其次，在命题应用的教学设计时。应尽量拓宽一个命题的使

用范围，形成“多题一解”的模式，从而建立命题与多个问题之间的联系。

◢考题汇编◣

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 10

1.若0

( )lim 1

sinx

x

x

，则当 x 0 时，函数 (x) 与（ ）是等价无

穷小。

A.sin | |x B. ln(1 )x

C.1-cos | |x D. 1 2x 1

【答案】D。

2．线性方程组的增广矩阵为1 2

2 1 4A

，则线性方程组有无穷多

解时 的值为（ ）

A．1 B．4

C．2 D．1

2

【答案】D。解析：1 2 1 2

2 1 4 0 1 2 0A

有无穷多解时，

1 2 0 即1

2 。

3．设幂级数

1

)(

n

n

n

ax 在点 2x 收敛，则实数 a 的取值范围是（ ）

A. 31 a B. 31 a

C. 31 a D. 31 a

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 11

【答案】D。解析：令 tax ，

1 1

)(

n n

nn

n

t

n

ax ，收敛半径 1R ，

收敛域为 )1,1[t ，故

1

)(

n

n

n

ax 的收敛域为 )1,1[ aa 。∵

)1,1[2 aa ，∴ 121 aa ，∴ 31 a

4.极限

11

lim(1 )n

n n 的值是（ ）

A.0 B.1

C.e D.1

e

【答案】B。解析：

11 1 1 1

ln(1 ) lim ln(1 )01

lim(1 ) lim 1n

nn n n n

n ne e e

n

。

故选 B。

5．设随机变量 x 的分布密度为

0 1

( ) 1 2

0

x x

f x a x x

≤

≤

其他

，则 a 的值

为（ ）

A．2 B．0

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 12

C．-1 D．-3

【答案】A。解析：随机变量有分布密度，即在 x R 时 ( )f x 连续，

所以当 x=1 时左连续，得 a-1=1，所以 a=2。

6.设概率空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，且这六个数的出现概率均为1

6。设事件

A={1,3,5},事件 B={1,2}。请回答事件 A 和 B 是否独立，并说明理由。

【答案】事件 A 和 B 相互独立。解析：因为P(A) =3

6=

1

2，P(B) =

2

6=

1

3,

而事件 A,B 同时发生只有一种情况，即出现 1，所以P(AB) =1

6，所以P(AB) =

P(A)P(B)，所以事件 A 和事件 B 为独立事件。

7.求证：非齐次性方程组：ax by c

a x b y c

有唯一解，当且仅当向量

( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关。

【答案】见解析。证明：（1）当非齐次性方程组：ax by c

a x b y c

有唯

一解时，假设向量 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性相关，则 n km ，即

,b ka b ka ，原方程组可化为ax kay c

a x ka y c

当c

c

a

a

时，非齐

次线性方程组有无穷多解，与方程组有唯一解矛盾；

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 13

当c

c

a

a

时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾，

所以 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关。

（2）当向量 ( , )m a a ， ( , )n b b 线性无关时， a b

a b

可逆，

则1

x a b c

y a b c

，即ax by c

a x b y c

有唯一解。

8.《义务教育数学课程标准（2011 年版）》关于平行四边形的性质的教

学要求是：探索并证明平行四边形的性质定理——平行四边形的对边以及对

角相等。请基于该要求。完成下列教学设计任务：

（1）设计平行四边形性质的教学目标；

（2）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程。

（3）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的

数学思想方法。

【参考答案】

（1）平行四边形性质的三维教学目标如下：

知识与技能：知道平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的

性质定理，发展分析推理思维能力。

过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结

论，并能运用性质解决问题。

情感态度与价值观：在合作探究中体会解决问题的快乐，提高实践能力

和合作交流能力。

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 14

（2）发现探究平行四边形性质的流程：

<流程一>：

首先，引导学生以四人为一个学习小组，自主根据平行四边形的定义任

意绘制平行四边形并观察；

其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分

别相等，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？量一量，检验

一下与你的猜想一致吗？”，让学生组内讨论分析。

最后，在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现，

教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形对边、对角相等。

<流程二>：

首先：通过多媒体呈现问题“小明同学用量角器量出平行四边形的一个

内角是 77 ，就说知道了其余三个内角的度数；用直尺量出了一组邻边的长分

别为 cm40 和 cm45 ，就说知道了这个平行四边形的周长。你知道小明同学是

怎么计算的吗？”，引导学生以学习小组的形式进行讨论。

其次，讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，教师将观点进行

总结归纳，与学生一起得出猜想：平行四边形对边、对角相等。

（3）平行四边形性质证明的教学流程如下：

首先，通过问题（2）中的任一流程得出平行四边形的性质猜想：平行

四边形对边、对角相等；

其次，口头提出任务“得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出

来？”，并给予学生一定的时间让其先不看书中证明步骤利用之前所学知识

进行自主证明。此时，教师走到学生中间，必要时予以点拨，比如添加辅助

线，先证明两三角形全等等内容；

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 15

再次，请三个小组的代表到黑板上板书本组的证明过程，教师与其他小组

一起分别点评之后，一起总结归纳出平行四边形关于边、角的性质定理——

平行四边形的对边以及对角相等。再与学生一起对证明过程中的数学思想方

法所需要用到的转化思想（通过证明三角形全等来证明对边、对角相等）进

行总结归纳。

最后，再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处

予以修正。

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 16

2017 年教师资格统考马上就要开始啦，3 月 11 日正式开考！想要考出

好成绩的小宝们，跟我来吧！

9.9 元冲刺直播，中公名师授课、考前密押！

学科 上课时间 价格 报名入口

综合素质（中小幼） 3月8日

18:30-21:30 9.9 元 点击报名

教育知识与能力（中学） 3月9日

18:30-21:30 9.9 元 中学报名

教育教学知识与能力（小学） 3月9日

18:30-21:30 9.9 元 小学报名

保教知识与能力（幼儿） 3月9日

18:30-21:30 9.9 元 幼儿报名

（扫一扫上面二维码，即可报名冲刺密押课哦！）

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 17

前方高能预警，考完你最想知道的都在这里！

教资笔试估分约起来，考完即估分，提前知成绩！

抢占先机，决战面试！

请小伙伴们记好估分时间，很重要的哦！

估分时间：

科目一：3 月 11 日 12:30

科目二：3 月 11 日 16:30

科目三：3 月 11 日 19:30

估分方法：

关注中公教师微信公众号（gdjsks），笔试当天直接微信回复"估分"二字，

即可进行估分哦。

（扫描二维码，关注微信，回复“估分”即可）

微信公众号：gdjsks QQ 群：384258101

广州中公教育:广州市天河区五山路 371 号中公教育大厦 9 楼

电 话：020-35641330、35641333 18

当晚解密真题——知己知彼，心中有底

解读时间 解读内容 地点 听课入口

3月11日

19:00-20:00 综合素质真题（中小幼） 19课堂 点击进入

3月11日

20:10-21:10 保教知识与能力真题（幼儿） 19课堂 点击进入

3月11日

20:10-21:10 教育教学知识与能力真题（小学） 19课堂 点击进入

3月11日

20:10-21:10 教育知识与能力真题（中学） 19课堂 点击进入

（扫描二维码，即可进入真题解析房间哦）