§5.3 常系数线性微分方程组

§5.3 常系数线性微分方程组

Coefficients Linear ODEs

§5.3 Coefficients Linear ODEs

1 常系数齐线性微分方程组

Axx

的基解矩阵的结构，这里 A 是常数矩阵。nn

2 通过代数的方法，寻求 (5.33) 的一个基解矩阵。

(5.33)

3 拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。

本节主要内容 /Main Contents/


5.3.1 矩阵指数 expA 的定义和性质

无穷矩阵级数

1

21k

kk AAAA

nnk

ijnnijnnij aaa )()()( )()()( 21

nnk

ijijij aaa )( )()()( 21

如果每个 njiak

kij ,,,,)( 21

1

收敛，则

1kkA 收敛。


判断无穷矩阵级数

1kkA 收敛的法则：

k kA

n

j

n

i

kija

1 1

)(kM 而级数

1kkM

1kkA

收敛，

则收敛。

同理，可给出

1kk t)(A 在区间 I 上的一致收敛的定义，

和函数等类似的结果。


Aexp (5.34)

定义 1 矩阵指数

E 为 n 阶单位矩阵 ,mA 是矩阵 A 的 m 次幂。

1!0,0 EA exp A 是一个确定的矩阵。

对于一切正整数 k ，!!! k

A

k

A

k

Akkk

0k

k

k

A

!

1k

k

k

AE

!1 ne A

而

收敛，

则收敛。

0k

k

k!

A

0

2

2k

mk

mE

k

!!!

AAA

A


对于一切正整数 k ，当 ct (c 是某一正常数 ) 时，有

!!! k

cA

k

tA

k

tAkkkkkk

而数值级数

0 !

)(

k

k

k

cA是收敛的，

0k

kk

k

tt

!exp

AA (5.35

)在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。

定义 2 矩阵指数函数

因而 (5.35) 在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。


00

k

k

k

k

kexp

kexp

!,

!

BB

ΑA

性质Aexp

性质 1 如果矩阵 A ， B 是可交换的，即 AB=BA ，则

(5.36)BABA expexpexp )(

证由于级数

绝对收敛，由绝对收敛级数的乘法定理，得

BA expexp )!

)(!

( 22

22 BBE

AAE

)(!

)( 22 22

1BABABAE

另一方面，由二项式定理及 AB=BA ，


由绝对收敛级数的乘法定理，得

BA expexp )!

)(!

( 22

22 BBE

AAE

)(!

)( 22 22

1BABABAE

另一方面，由二项式定理及 AB=BA ，

)( BAexp 2

2

1)(

!)( BABAE

)(!

)( 22 22

1BABABAE

BABA expexpexp )(


性质 2 对于任何矩阵 A ， 1)( Aexp 存在，且

)()( AA expexp 1

E0AAAA exp))(exp()exp(exp

)exp()(exp AA 1

(5.39)

证 A 与 -A 是可交换的，故在 (5.36) 中，令 B = -A 得


TATATT )(exp)exp( 11

1

11

k

k

k!

)()exp(

ATTEATT事实上

性质 3 如果 T 是非奇异矩阵，则

1

1

k

k

k!

TATE

TATTA

TE )1

1

1 (exp)!

(

k

k

k

TATATATTTATT 211121 )(


定理 9 tt Aexp)(

是 (5.33)

证明

E)(0

)(exp)( tt A

)(t 是 (5.33) 的解矩阵，又因为 ,)( E0

因此 , 是 (5.33) 的标准基解矩阵。)(t 证毕

(5.41)矩阵的标准基解矩阵。Axx

!)!(!! k

t

k

ttt kkkk 11232

121

AAAAA

tAAexp )(tA


例 1 如果 A 是一个对角矩阵

na

a

a

2

1

A

试求出的基解矩阵。

( 其中未写出的元素均为零 )

Axx 解方程组可以写成 ),,,( nkxax kkk 21

分别积分

ta

ta

ta

ne

e

e

2

1

0

0

1

tae

0

02

tae

tane

0

0


据定理 9 ，这就是基解矩阵。

tAexp

!k

t

a

a

ak

kn

k

k

2

1

ta

ta

ta

ne

e

e

2

1

!! 21

2

2

22

21

2

1

t

a

a

a

t

a

a

a

E

nn


例 2 试求 xx

20

12 的基解矩阵。

解

00

10

20

02

20

12A

以验证后面的两个矩阵是可交换的，得到

ttt

00

10

20

02expexpexp A

}!

{

200

10

00

10

0

0 22

2

2 tt

e

et

t

E


但是

因此，基解矩阵就是

10

12 tet tAexp

00

00

00

102

}{ te

et

t

00

10

0

02

2

EtAexp

t

tt

e

tee

0


0cc tλet )(

其中常数和向量 c 是待定的。

cAc tλtλ eλe 因为 0 tλe

0cAE )(λ (5.44)

5.3.2 基解矩阵的计算公式

Axx (5.33)

(5.43)若 (5.33 ）有的解，

反过来，和向量 c 满足方程组 (5.44)


ctλe

和 c 满足方程

)()( cAc tλtλ ee 则

是 (5.33) 的非零解

0cAE )(λ (5.44)

0c 0 AEλp )(

是 A 的特征值，c 是 A 的属于的特征向量。

特征方程

ctλe

是 (5.33) 的非零解

是 A 的特征值，c 是 A 的属于的特征向量。


例 3 求解 xx

22

31

解 AE λ22

31

621 ))((

0432

1 4 21 ,

0cAE )( 1λ 0cAE )( 2λ


0cAE )( 4

0

0

22

33

2

1

u

u

1

1

2

1

u

u

1

141

tex

22

31A


0cAE )(1

0

0

32

32

2

1

u

u

2

3

2

1

u

u

2

32

tex

22

31A


tt

tt

ee

eet

2

34

4

)(

2

3

1

12

41

tt ecec

0521

310

021

t

xx ,det)(det

2

1

4

4

2

3

c

c

ee

eet

tt

tt

)(x


1 如果0

是简单特征根，0

2 如果 0 是特征方程的 k 重根 ( 即 )(p

具有因子 k)( 0 , 而没有因子 10 )( k

则称是 k 重特征根。0

是特征方程的单根，则称

) ，


,,,, nvvv 21 它们对应的特征值分别为 n,λ,,λλ 21

( 不必各不相同 ) ，那么

teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21

21

是常系数线性微分方程组 Axx

的一个基解矩阵。

(5.33)

定理 10 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量

求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之一


每一个向量函数 ),,,( nje jiλ j 21v

nvvv ,,, 21 是线性无关的 ,

所以

00 21 ]det[)(det nv,,v,v

证明

都是 (5.33) 的一个解 ,

teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21

21

基解矩阵。


注1

,,,, nvvv 21它们对应的特征向量分别为n,λ,,λλ 21

那么 teeet ntλtλtλ n ],,,[)( vvv 21

21

是常系数线性微分方程组 Axx 的一个基解矩阵。

推论如果矩阵 A 具有 n 个互不相同的特征值

注 2 标准基解阵的表示

tAexp

)()(exp 01 ttA

)(t CA )(exp tt )(01C

标准基解阵一定为实矩阵。


注3

若实系数线性方程组

Axx (5.33)

有复值解，则其实部与

虚部都是（ 5.33 ）的解 .

)()()( titt vux )(tu

)(tv


例 5 试求解

35

53A

解

其中Axx

1 求 A 的特征值和特征向量

034635

53 2

λλ

λ

λλ )det( EA

i532,1

0uEA

2

11 55

55

u

u

i

iλ )(

0

0

21

21

iuu

uiu


对于任意常数 0

iu

1 是对应于

i531

类似的，可以求出对应于 i532

的特征向量为

1

iv 其中 0

的特征向量，

2 求实基解矩阵

ie ti 153

1)(x

153

2

ie ti)(x


titi

titi

eie

ieet

)()(

)()(

)(5353

5353

就是一个基解矩阵。

)()(exp 01 ttA

1

5353

5353

1

1

i

i

eie

ieetiti

titi

)()(

)()(

21

2

221

5353

5353

i

i

titi

titi

eie

iee)()(

)()(

tt

tte t

55

553

cossin

sincos


1 计算特征值，特征向量；

求实基解矩阵的步骤 ( 利用定理 10)

2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；

3* 写出方程的通解。


作业 P.236, 第 4(a) , (b) 题。

课堂练习

试求解

12

51A其中Axx

itit

itit

eiei

eet

33

33

3131

55

)()()(

tAexp

ttt

ttt

333

333

35

32

35

31

sincossin

sinsincos


求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二

假设 A 是一个 nn 矩阵，其不同特征值 kλλλ ,,, 21

它们的重数分别为 knnn ,,, 21 nnnn k 21

那么，对于每一个 jn 重特征值 j , 线性方程组

0uEA jnjλ )( (5.48)

的解全体构成 n 维欧几里得空间的一个 jn

子空间 ),,,,( kjU j 21

kUUUU 21

且 n 维欧几里得空间 U

维


对于 n 维欧几里得空间的每一个向量 u ，存在唯一的),,,( kjU jj 21 u 使得

kuuuu 21 (5.49)

nλλλ ,,, 21

nnccc vvvu 2211

nk 互不相同，,,,, nvvv 21

对应的特征向量

1k A 有一个n 重特征值 λ

0uEA )( λ (5.48)

的解全体就构成 n 维欧几里得空间，

u

u 不必分解。

向量

分别为


且满足

kjnlλ jjl

j ,,,)( , 21 0vEA (5.51)

则存在唯一的(5.50)

是 (5.33) 的满足 )( 0t 的解，)(t设是 n 维向量

kvvv 21

),,,( kjU jj 21 v 使得

),,,( kjj 21 v

(5.48)0vEA jn

jjλ )(

由此可推得

)(t ))((exp)(exp ktt vvvAA 21


)exp( te jtj E

jt vA )(exp jjt tet j vEA )]exp()[(exp

jjt te j vEA ])exp[(

E

t

t

t

t

j

j

j

j

e

e

e

e


jn

jj

n

jjt

j

j

j

n

t

tte

vEA

EAEAE

])()!(

)(!

)([

11

22

1

2

jjt te j vEA ])exp[(

jt vA )(exp j

n

i

ij

itλ

j

j λi

te vEA

])(!

[1

0


j

n

i

ij

ik

j

tλj

j λi

te vEA

])(!

[1

01

)(t ))((exp)(exp ktt vvvAA 21

k

jjt

1

vA )(exp

jt vA )(exp j

n

i

ij

itλ

j

j λi

te vEA

])(!

[1

0


j

n

i

ij

ik

j

tλj

j λi

te vEA

])(!

[1

01

)(t

(5.52)满足),,,( kjj 21 v

(5.48)0vEA jn

jjλ )(

(5.33) 的满足 )( 0t 的解：


EAA )(expexp tt

])(exp,,)(exp,)[(exp nttt eAeAeA 21

ii tt eA )(exp)(

0

1

0

ie )(,),(),(exp tttt n 21A


0)( uEA n

当 A 只有一个特征根时，无需将特征向量分解为 (5.50) 。

这时对于任何 u 都有

tet tλ )exp(exp EAA

])(!

[

1

0

n

i

ii

tλ λi

te EA (5.53)


41

12A

解

)(0

Axx

1 求 A 的特征值

例 4 试求解

2

1

η

η

09641

12 2

λλ

λ

λλ )det( EA

321 ,λ2 代入公式，求初值问题的解

)(t

])(!

[1

0

n

i

ii

tλ λi

te EA


)(t

2

1 3 3η

ηte t )]([ EAE

uEA

])(!

[1

0

n

i

ii

tλ λi

te

2

1 3

30

03

41

12

10

01

η

ηte t )]([

2

1 3

11

11

10

01

η

ηte t ][

2

1 3

1

1

η

η

tt

tte t


)(t

2

1 3

1

1

η

η

tt

tte t

)(t1

0

1

1

1 3

tt

tte t

)(t2

1

0

1

1 3

tt

tte t

t

te t 1 3

t

te t

1 3

tAexp

tt

tte t

1

1 3

3 求 A 的标准基解矩阵


3213

312

3211

2'

2'

3'

xxxx

xxx

xxxx

211

102

113

A例 5

3

2

1

0

η

η

η

)(试求满足初始条件的解 )(t

并求 expAt 。解 1 求 A 的特征值

0)2)(1()det( 2 AE

2 1 321 ,, λλ

0uEA0uEA 22) )(( 和


0uuEA

111

112

112

)( 或

0

02

02

321

321

321

uuu

uuu

uuu

α

α

0

1u

其中为任意常数。子空间 1U 是由向量 1u 所生成的。

2 确定的分解

211

102

113

A


0uuEA

011

011

100

2 2)(

0

0

21

21

uu

uu

χ

β

β

2u

其中 , 是任意常数。子空间 2U 是由向量

2u 所张成的。

211

102

113

A


2211 UU vv

χ

β

β

α

α 21

0

vv

χ

β

β

α

α

η

η

η 0

3

2

1

321 ,

解之得到

123112 ,,

21 vv

123

1

1

2

12

121

0

ηηη

η

η

ηη

ηη vv


根据公式 (5.52) ，

3 求满足初始条件 )(0 的解为

j

n

i

ij

ik

j

tλj

j λi

te vEA

])(!

[1

01

)(t

22

1 2 vEAEEv ))(()( teet tt

123

1

12

12

12

011

122

1110

ηηη

η

η

te

ηη

ηηe tt E


123

1

12

12

12

1

212

10

ηηη

η

η

tt

ttt

ttt

e

ηη

ηηe tt

123

1231

12312

12

12

0

ηηη

)ηηt(ηη

)ηηt(ηη

e

ηη

ηηe tt

)(t

123

1231

12312

12

12

0

ηηη

)ηηt(ηη

)ηηt(ηη

e

ηη

ηηe tt


4 求出 exp At

依次令

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,,

得到三个线性无关的解。以这三个解作为列，得

ttttt

ttttt

ttt

eeeee

teteeete

teteet

t222

222

222

1

1

)(

)(

exp A

5 求通解 x(t)=(exp At)c

作业 P.236, 第 4(c) , 5(b) 题。


求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之三

利用若当标准型计算基解矩阵 Axp(At)

根据线性代数知识 , 对每一个 n 阶矩阵 A, 存在 n 阶非奇异矩阵 P, 使得

1A PJP其中

1

2

m

J

JJ

J


为若当标准型 . 假设若当块

则

是

1

1

i

ii

i

J

in 阶的 1 2 mn n n n , , , ;1 2i m

iJ 有如下分解式0 1

0

1

0

i

ii

i

J


第一个矩阵具有形式 , 第二个矩阵是幂铃矩阵 ,

由于矩阵和任何矩阵可以交换 , 因此有0 1

1

0

i itJ te e E E t

iEiE

!

2

0 0 1

12

0

0

x


( )!

1

0 0 0 0 1

0

01

0

0

in

i

t

n

由此得到它的初等函数有限和的形式 , 即


! ( )!

( )!

!

12

2

2

12 1

12

2

1

i

i

i i

n

i

n

itJ t

t tt

n

tt

ne e

t

t


根据分块对角矩阵的运算可得到1

2

m

tJ

tJtJ

tJ

e

ee

e

因此基解矩阵为 1 1At PJtP Jte e Pe P

1

21

m

tJ

tJAt

tJ

e

ee p p

e


求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之四利用递推法计算基解矩阵

结论 tAexp j

n

jj tr P

1

01 )(

其中 ,n,,jj

kkj 21 , ,

10

)( EAPEP

)(,),(),( trtrtr n21 是下列初值问题的解

0010

32

1

1

111

)(,)(

),,,(

j

jjjj

rr

njrrr

rr


tAexp j

n

jj tr P

1

01 )(

)(

)(

)(

),,,(

tr

tr

tr

PPP

n

n 2

1

110

)(

)(

)(

)(

)(

)(

tr

tr

tr

tr

tr

tr

nnn

2

1

2

1

2

1

100

0

01

00


)(

)(

)(

)(

tr

tr

tr

n

n 2

1

110 P,,P,P

)(

)(

)(

),,,(

tr

tr

tr

n

n 2

1

110 PPP

)(

)(

)(

)(

tr

tr

tr

nn

n

2

1

2

1

110

100

0

01

00

P,,P,P


),,,(

)(

1212101

2

1

110

100

0

01

00

nn

n

n

PPPPP

P,,P,P

),,,( nnn PPPPPP 1212101

,n,,jj

kkj 21 , ,

10

)( EAPEP

11 jjjjjj A PEEPP )( 1 jAP

),,,( 110 nAPAPAP ),,,( 110 nPPPA


)(

)(

)(

)(

tr

tr

tr

n

n 2

1

110 P,,P,P ),,,( 110 nPPPA

)(

)(

)(

tr

tr

tr

n

2

1

tAexp j

n

jj tr P

1

01 )(

)(

)(

)(

),,,(

tr

tr

tr

PPP

n

n 2

1

110


exp( 0)A

)(

)(

)(

),,,(

0

0

0

2

1

110

n

n

r

r

r

PPP

0

0

1

110 ),,,( nPPP E

tAexp j

n

jj tr P

1

01 )( 为标准基本解矩阵


Axx 例 6 求的标准基本解矩阵 expAt 。

211

102

113

A

解 1 求 A 的特征值

0)2)(1()det( 2 AE

2 1 321 ,, λλ


2 解方程组

00 , 0010

2

2

321

323

212

11

)()(,)( rrr

rrr

rrr

rr tetr )(1tt eetr 2

2 )(tt etetr 2

3 1)()(

3 确定 210 , , PPP

tAexp 231201 PPP )()()( trtrtr


, 0 EP

111

112

112

1 1 EAP

000

111

111

21 2 ))(( EAEAP

ttttt

ttttt

ttt

eeeee

teteeete

teteet

222

222

222

1

1

)(

)(



Axx 例 7 求的标准基本解矩阵 expAt 。

011

101

110

A

解 1 求 A 的特征值

012 2 ))(()det( AE

1 2 321 ,, λλ


2 解方程组

00 , 0010

2

321

323

212

11

)()(,)( rrr

rrr

rrr

rr tetr 21 )(

)()( tt eetr 231

2

])[()( tt eettr 231

3 1

3 确定 210 , , PPP



, 0 EP

211

121

112

2 1 EAP

000

000

000

12 2 ))(( EAEAP

tttttt

tttttt

tttttt

eeeeee

eeeeee

eeeeee

2

2

2

3

1

222

222

222



关于常系数非齐次线性方程组

).()( 605 tfAxx

A 常矩阵， f (t) 为连续的向量函数。

常数变易法公式设 (5.60) 有解如

)()(exp tt cA

)()(exp)()(exp tttt cAcAA

)()()(exp ttt fcAA

)()()(exp ttt fcA )()][exp()( ttt fAc

dssstt

t 0

)()][exp()( fAc


dssstttt

t 0

)()][exp()(exp)()(exp fAAcA

dssstt

t 0

)()]([exp fA

方程 (5.60) 的满足 )( 0t 的解：

dsssttttt

t 0

0 )()]([exp)](exp[)( fAA


例 8 试求方程

35

53A

解

)(tfAxx

齐次方程的基解矩阵

满足初始条件

1

00)(x 的解。

0

tet)(f

tAexp

tt

tte t

55

553

cossin

sincos

dse

stttt s

0 01

0)]([exp)exp()( AA


)(t

1

0

55

553

tt

tte t

cossin

sincos

dse

stst

stste

stst

055

55

0

3

)(cos)(sin

)(sin)(cos)(

)(t

t

te t

5

53

cos

sinds

ste

stee

s

stst

)(sin

)(cos)(

5

5

0

3


)(t

t

te t

5

53

cos

sin

dsstst

ststee

tst

5555

5555

0

43

sincoscossin

sinsincoscos

t

tt

ett

ette

4

43

554546

454654

41

1

sincos

sincos

作业 P.236 ，第 6(a) 题。

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§5.3 常系数线性微分方程组