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Meccanica2018-2019
Gravitazione
Gravitazione
Forze centrali
( )r
F F r u±=
(repulsiva, attrattiva)
Frdt
Ld
×=
• Teorema del momento angolare per una forza centrale
( )r
r F r u= ± ×
0=
• Piano della traiettoria:
),( vrL
⊥Posizione e velocità (traiettoria) si mantengono sullo stesso piano
Direzione e verso costanti
Forza MediatoreIntensitàrelativa
Andamentoasintotico
Raggiod'azione
Forte gluone 1038 ~r0 (conf.) 10-15 m
Elettromagnetica fotone 1036 1/r2
Debole bosoni Z, W± 1025 (1/r) exp(-r/r0) 10-18 m
Gravità gravitone? 1 1/r2
Il vettore momento angolare si conserva
- Il modulo della forza in P è funzione solo di OPr r=
Proprietà notevoli delle forze centrali
r
P
O
ru
F
- La forza in qualsiasi punto P è nella direzione OP
O = centro della forza
vmrL
×= v
L
r
O
A
B
F
O
P
r
θrmvL =dt
dmr
θ2=dt
dAm2=
Cost.= La velocità areale rimane costante
r
θdr
21
2dA r dθ=
O
m
L
dt
dA
2=
Le forze centrali sono conservative
( )B
rA
W F r u ds= ⋅
( )B
AF r dr=
( ) ( )B A
f r f r= −
( ) rF F r u= ±
• Lavoro di una forza centraleθ
ds
ru
Br
Ar
dr
«velocità areale»rω=
Orbita chiusa:2
A L
T m= 2mA
TL
= Orbitacircolare:
22m rT
mvr
π= 2 r
v
π= 2πω
=
cosr
u ds ds drθ⋅ = =
• «Velocità areale» costante
θvmr×=
Forze centrali
vmrL
×=
Or
v
)( θvvmr r
+×=
θv
rv
t∆
t∆
Gravitazione
Da Keplero a Newton
Giovanni Keplero (1571 – 1630)
Le tre leggi di Keplero
III - Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore
2 3
ST k a=
II - La velocità areale del raggio che unisce il sole al pianeta è costante:
costanteΔA
Δt=
Eccentricità:
2
2
1a
b−=ε 1≤
Area:
abA π= 22 1 επ −= a
0ε = Orbita circolareOrbita
ellittica
Orbita circolare con lo stesso raggio medio
Descrizione empirica del moto dei pianetiBasate sulle osservazioni di Tycho Brahe (1546-1601)
I - Le orbite dei pianeti sono ellittiche, il Sole occupa uno dei fuochi
S
a
b
P
La velocità del pianeta non è costante
(La più rivoluzionaria!)
La stessa costante per le orbite di tutti i pianeti intorno al Sole
Da Keplero a Newton
Isaac Newton (1642 – 1727)
21
2
dr
dt
θ= Cost.d
dt
θ =Moto circolare uniforme
rmF2ω=
Forza centripeta
rT
m2
24π=2
2
4
S
m
k r
π= La forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza
Forza che il Sole esercita sulla Terra:2
, 2
4 TS T
S
mF
k r
π=
, ,S T T SF F=
Principio di azione-reazione:
2 24 4
S S T T
Gm k m k
π π= ≡Definiamo:
2 2
2 2
4 4 ST
S T
mm
k r k r
π π=
Assume orbita circolare. II Legge di Keplero:
Cost.dA
dt=
Moto della Terra intorno al Sole Forza attrattiva
2 2
2 2
4 1 4 1
S S T Tk m r k m r
π π=
,T SF=,S TF =
2
1
4
S
S
Gm
k π=
2
S Tm mG
r
III Keplero: 2 3
ST k r=
Dev’esserci una analoga forza che la Terra esercita sul Sole:
2
, 2
4 ST S
T
mF
k r
π=
, ,S T T SF F= −
Gravitazione universale
Corpo di massa m nei pressi della superficie terrestre:
2
T
T
r
mmGF = Corpo a simmetria sferica (Terra)
Come se tutta la massa fosseconcentrata nel centro
Verifica: Forza peso
Se eguaglia la forza peso:
mgr
mmG
T
T =2
Newton: Metodo per stimare il prodotto TGm
Forza della Terra sulla Luna
2,
L
LTLT
d
mmGF =
LLL dm2ω=
2
32T L
L
Gm dT
π =
Calcolo: conferma!(Inizialmente discrepanze significative…)
23
2
2 L
L T
dg
T r
π =
ma G e mT erano ignoti !
rT era noto,
Isaac Newton (1642 – 1727)
noti
2
T
T
Gmg
r=
, 2
S TS T
m mF G
r=
Legge universale?
Vale solo per il moto dei pianeti intorno al Sole?
Legge di gravitazione universale
1 2
2 r
m mF G u
r= −
è la stessa per qualunque m1 e m2G
Misura diretta di G (Cavendish, 1798)
2
A B
rG F
m m=
Momento della forza:
M Fl=
0kF
l
θ=
?GQual è il valore di
2
0
0
r kG
m m l
θ=
Verifica misura di : rimuovendo le masse la torsione del filo deve ristabilire la condizione iniziale
θm
Henry Cavendish (1731-1810)
θ
r
0m
0m0k θ=
Cavendish, 1798
11 3 1 26.67 10 m kg sG− − −= ⋅
Angolo all’equillibrio
m
m
0k
/ 2lBilancia di torsione
Costante di torsione del filo
Misura diretta di G
Massa del Sole
TSTT dm2ω=
2
2T TS
T
m dT
π =
32
2
4 TSS
T
dm
G T
π=
Imm
agin
e del
Sol
e ai
rag
gi X
2 11 3
11 3 1 2 7 2
4 (1.5 10 m)
6.67 10 m kg s (3.15 10 s)
π− − −
⋅=⋅ ⋅
kg102 30⋅=
(III Kelpero)
2
TS
ST
d
mmGF =
Sistema Terra-Sole
Massa della Terra
246 10 kg⋅≃Sistema Terra-Luna
2 3
2
4 LTT
L
dm
G T
π=
Massa inerziale e massa gravitazionale
Massa come agente della interazione gravitazionale
( )gm
“Massa gravitazionale” “Massa inerziale”( )i
m
( ) ( )( )
2
g giT
T
m mG m g
r=Dalla eguaglianza
( ) ( )
2 ( )
g g
T
i
T
m mg G
r m=
Dato sperimentale, precisione 10-12
( ) ( )g im m=
2
T
T
Gm
r=
Teoria della Relatività Generale: basata su ( ) ( )g i
m m=“Principio di equivalenza”
amF
=1 2
2 r
m mF G u
r= −
Massa come resistenza alla accelerazione prodotta da qualunque tipo di forza
Gravitazione universale
Stanza chiusa sulla Terra (gravità, accelerazione g)
Stanza chiusa in assenza di gravità, accelerata
con a = g
S = Superficie chiusa che racchiude la massa m
S
m
Campo gravitazionale
2,12
212,1 u
r
mmGF
−= 22,12
1 mur
mG
−=
=
−=n
i
i
i
i ur
mG
12
1η
2η3η
Campo totale generato in P da n masse:
1
( )n
i
i
Pη η=
=
1m
2m
3m
P
Teorema di Gauss
cosS
dSη θ= −
SGm d= − Ω 4 Gmπ= −
r
dS dS n=
dS
Versore normale all’elemento infinitesimo di superficie
2
n
S
dSGm
r= −
Angolo solido dΩ
Flusso attraverso la superficie S:
SdSηΦ = ⋅
rS
u dSη= − ⋅
2cos
S
GmdS
rθ= −
η
θru
d dSηΦ ≡ ⋅
2
cos
S r
SGm
d θ= − Proiezione di dS perpendicolare a
alla direzione radiale
ndS
Teorema di Gauss
2( ) r
mr G u
rη ≡ −
Vettore «Campo gravitazionale»
1 2mη= ruη= −
«Campo» generato dalla massa (puntiforme) m1
«Massa campione»m2
M
Campo di una distribuzione di massa a simmetria sferica
( ) rS
r u dSη= − ⋅
( )S
r dSη= − 24 ( )r rπ η= −
Costante sulla superficie della sfera di raggio r
Vettori paralleli
Ma sappiamo che per il teorema di Gauss: 4 GMπΦ = −24 ( ) 4r r GMπ η π− = −
2( )
GMr
rη =
Una massa M distribuita con simmetria sferica genera lo stesso campo gravitazionale di un punto materiale di massa M posto al suo centro
Flusso totale del campo attraverso la sfera S:η
SdSηΦ = ⋅
Una massa m a distanza r subisce una forza:2
( ) r r
GMmF r mu u
rη= − = −
m
S
r
Campo sulla superficie della sfera S ?η4 GMπΦ = −Conseguenza del Teorema di Gauss:
( ) ( ) rr r uη η= − - Ha la stessa ampiezza in ogni direzione
η
- E’ diretto radialmentePer ragioni di simmetria: