· 2019-12-16 · UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR PROGRAMI I STUDIMIT: KËRKIME OPERACIONALE DISERTACION Për

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR

PROGRAMI I STUDIMIT: KËRKIME OPERACIONALE

DISERTACION

Për marrjen e gradës Doktor i Shkencave

Tema:

MODELE TË RADHËVE DHE SIMULIMI TË APLIKUARA NË

CALL CENTER

PARAQITUR NGA: UDHËHEQËS SHKENCOR:

Ditila Ekmekçiu Prof. Dr. Omer Stringa

Tiranë, 2019

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR

PROGRAMI I STUDIMIT: KËRKIME OPERACIONALE

DISERTACION

Për marrjen e gradës Doktor i Shkencave

Tema:

MODELE TË RADHËVE DHE SIMULIMI TË APLIKUARA NË

CALL CENTER

PARAQITUR NGA: UDHËHEQËS SHKENCOR:

Ditila Ekmekçiu Prof. Dr. Omer Stringa

Mbrohet më datë _____/_____/2019 para jurisë

1. _______________________________________ Kryetar

2. _______________________________________ Anëtar (Oponent)

3. _______________________________________ Anëtar (Oponent)

4. _______________________________________ Anëtar

5. _______________________________________ Anëtar

i

ABSTRAKTI ........................................................................................................................... iii

LISTA E FIGURAVE .............................................................................................................. v

LISTA E TABELAVE ............................................................................................................ vi

LISTA E SHKURTIMEVE ................................................................................................... vii

FALËNDERIME ..................................................................................................................... ix

HYRJE ...................................................................................................................................... x

ORGANIZIMI I PUNIMIT .................................................................................................. xiv

KAPITULLI 1: NJË ANALIZË EMPIRIKE E OPERACIONEVE NË CALL CENTER

................................................................................................................................................... 1

1.1. Subjekti i konsideruar ........................................................................................... 1

1.2. Karakteristikat Stokastike ................................................................................... 1

1.3. Braktisja e telefonatave ...................................................................................... 13

1.4. Projektet e konsideruara ne model ................................................................... 15

1.5. Përmbledhje .......................................................................................................... 20

KAPITULLI 2: NJË VËSHTRIM I DISA MODELEVE BASHKËKOHORE

STOKASTIKE TË OPERACIONEVE NË CALL CENTER ........................................... 22

2.1. Planifikimi i fuqisë punëtore .................................................................................. 22

2.2. Operacionet e Call Center-ave ............................................................................... 28

2.3. Optimizimi Stokastik ............................................................................................... 34

2.4. Dizenjimi i Eksperimenteve Statistikore .............................................................. 46

KAPITULLI 3: MODELET NË CALL CENTER-IN E KONSIDERUAR DHE

PËRDORIMI I TYRE NË PARASHIKIM ......................................................................... 53

3.1. Modeli i Skedulimit Afatshkurtër .......................................................................... 53

3.1.1. Formulimi i problemit dhe përqasja ndaj zgjidhjes .................................... 53

3.1.2. Përafrimi TSF dhe SIPP ..................................................................................... 61

3.1.3. Kompromiset ndërmjet Niveleve të Kostos dhe të Shërbimit .................... 68

3.1.4. Ndikimi i Variacionit dhe Vlera e Zgjidhjes Stokastike (VSS) ................. 71

3.1.5. Fleksibiliteti i Organizimit të Stafit ............................................................... 79

3.1.6. Krahasimi me Praktikën e Zakonshme ......................................................... 89

3.1.7. Sistemimet nëpërmjet Simulimit..................................................................... 94

3.2. Modeli i Trajnimit Miks .......................................................................................... 97

3.2.1. Grupimi i pjesshëm në Gjendje të Qëndrueshme ........................................ 98

3.2.2. Trajnimi miks Optimal në Gjendje të Qëndrueshme................................ 108

3.2.3. Trajnimi miks Optimal kur kemi Mbërritje me Kohë Variabël ............. 113

PËRFUNDIME DHE REKOMANDIME ......................................................................... 125

ii

REFERENCAT ................................................................................................................... 132

iii

ABSTRAKTI

Call Center-at janë një realitet shumë i rëndësishëm në ditët e sotme. Kjo, pasi bizneset janë të orientuara

gjithmonë e më shumë drejt shërbimit. Ky sektor ka patur një rritje shumë të madhe dhe me ritme të

shpejta edhe në tregun shqiptar. Sektori i call center-ave renditet i dyti në Shqipëri për numrin e të

punësuarve. Për këtë arsye, nevojitet një studim për të garantuar përmbushjen e kërkesave të klientëve

në lidhje me shërbimin, në mënyrën më efiçente dhe efikase të mundshme. Ky studim trajton temën e

dimensionimit të call center-it në rastin e një shërbimi klienti, në veçanti të operacioneve të një call

center-i me marrëveshje kontraktuale të nivelit të shërbimit (SLAs). E gjitha kjo e parë nga këndvështrimi

i radhëve, mekanizmave të Optimizimit dhe përdorimit të Simulimit. Fokusi i këtij studimi është në

planifikimin e skedulimit pavarësisht nga pasiguria përsa i përket normave të mbërritjeve. Do të shqyrtoj

ndikimin e kësaj pasigurie në zgjedhjen e dimensionimit dhe do të zhvilloj modelet që e përfshijnë qartë

në procesin e parashikimit dhe planifikimit të burimeve njerëzore. Modeli i parë i trajtuar është ai i

planifikimit afatshkurtër, i cili zhvillon plane të detajuara të organizimit të stafit (përcaktmit të numrit të

operatorëve për te operuar në një projekt të caktuar), duke pasur parasysh karakteristikat variabël dhe të

pasigurta të kërkesës. Modeli i dytë i trajtuar është ai i trajnimit miks, i cili kërkon të përcaktojë numrin

më të mirë të operatorëve për t’u trajnuar njëkohësisht në disa projekte. Gjatë studimit përdoren

programimi stokastik, simulimi i ngjarjeve diskrete dhe një heuristikë optimizimi e bazuar në simulim.

Kërkimi nuk përqendrohet në gjetjen e teorive apo metodologjive të reja, por në zbatimin e përqasjeve

ekzistuese për një problem real. Gjatë zhvillimit do të krijohen disa modele të reja dhe unike që

mbështesin literaturën. Teza është e motivuar nga puna e bërë nga autori pranë një kompanie call center-

i që ofron shërbim klienti dhe asistencë teknike. Puna pranë kësaj kompanie më,ka mundësuar të kem

përqasje në një sasi të madhe të të dhënave mbi të cilat kam bazuar analizën time. Është gjetur që

përfshirja e pasigurisë në procesin e parashikimit dhe planifikimit gjeneron zgjidhje me rezultate më të

mira dhe gjithashtu ofron një vizion më të mirë të kompromiseve kryesore të menaxhimit. Modeli

afatshkurtër i planifikimit tregon se mbrojtja kundrejt paqëndrueshmërisë së normës së mbërritjes ul

koston totale të operacioneve duke përmirësuar probabilitetin e arritjes së objetkivit të Niveleve të

Shërbimit. Ajo gjithashtu tregon se rritja e fleksibilitetit të modelit të organizimit të stafit, duke caktuar

edhe disa operatorë me kohë të pjesshme, mund të ulë kostot në mënyrë të konsiderueshme. Gjithashtu

do të zbulohet se rritja e probabilitetit të arritjes së objektivit të nivelit të shërbimit bëhet gjithnjë e më e

shtrenjtë. Modeli i trajnimit miks tregon se shtimi i fleksibilitetit me një sasie të arsyeshme në fuqinë

punëtore mund të ulë shpenzimet në mënyrë të kosniderueshme.

Fjalët kyçe: call center, dimensionim, skedulim, radhë, optimizim, simulim

ABSTRACT

Call Centers are a very important reality nowadays. This is because businesses are increasingly oriented

towards service. This sector has been growing very big and rapidly also in the Albanian market. The call

center sector is ranked second in Albania for the number of employees. For this reason, a study is required

to ensure that customer service requirements are met in the most efficient and effective way possible.

This study addresses the topic of the call center dimensioning and scheduling in the case of a customer

service’s company. All this is from the point of view of the Queuing Theory, the mechanisms of

Optimization and the application of Simulation. The focus of this study is on planning the optimal number

of the workforce, regardless of uncertainty faced in the arrival rates. I examine the impact of this aspect

in the choice of dimensioning/scheduling and develop models that clearly include uncertainty in the

forecasting process. The first model examined is the one of short-term scheduling/ planning, which

develops detailed staffing patterns (number of operators to work in a specific project), given the variable

and unreliable demand characteristics. The second model examined is that of the mixed training, which

objective is to find the best number of operators to train on two or more projects at the same time. During

the study are used simulation-based optimization heuristics, stochastic programming and simulation of

discrete events. The research does not focus on finding new theories or methodologies, but in

implementing existing approaches to a real problem by combining one or more models, which will create

some new and unique models that support the existing literature. The thesis is motivated by the work

done by me near a call center company that provides customer service and technical assistance. As I am

part of this company, I have had the opportunity to approach a large amount of data on which I have

iv

based my analysis. I have found that including uncertainty in the forecasting and planning process

generates solutions with better results. The short-term planning model shows that considering the arrival

rate instability reduces the total cost of operations because it improves the probability of reaching service

level objective. Another aspect analyzed is that increasing the flexibility of the staffing model and

considering not only full-time but also some part-time operators, can significantly reduce costs. The

mixed-training model demonstrates that increasing flexibility in the workforce and training operators to

work simultaneously in more than one project can significantly reduce costs, too.

Keywords: call center, dimensioning, sscheduling, queuing models, optimization, simulation

v

LISTA E FIGURAVE

FIGURA 1 PAMJE E NJË SALLE OPERATIVE NË CALL CENTER....................................................x

FIGURA 2 ARKITEKTURA E TEKNOLOGJISË SË NJË CALL CENTER-I......................................xii FIGURA 3 ARKITEKTURA E RADHËVE TË NJË CALL CENTER-I...............................................xiii

FIGURA 1-1 SHEMBULL I VOLUMEVE DITORE TË TELEFONATAVE..........................................4

FIGURA 1-2 SHEMBULL I DIAGRAMËS SË MBËRRITJEVE MESATARE DITORE.......................5

FIGURA 1-3 RANGU I VOLUMEVE TË TELEFONATAVE.................................................................6

FIGURA 1-4 GRAFIKËT E AUTOKORRELACIONIT DHE KORRELACIONIT TË PJESSHËM.......9

FIGURA 1-5 MBETJET SIPAS DITËVE TË JAVËS…………………………………………………...9

FIGURA 1-6 VARIACIONI/PERIUDHË I VOLUMEVE TË TELEFONATAVE................................11

FIGURA 1-7 GRAFIKU NORMAL I RAPORTIT TË MBËRRITJEVE................................................12

FIGURA 1-8 ALGORITMI I SIMULIMIT TË GJENERIMIT TË TELEFONATAVE..........................13

FIGURA 1-9 NORMA E BRAKTISJEVE – PROJEKT STABËL..........................................................14

FIGURA 1- 10 NORMA E BRAKTISJEVE – PROJEKT JO STABËL.................................................15

FIGURA 1-11 MBËRRITJET DITORE TË PROJEKTIT A...................................................................16

FIGURA 1-12 MBËRRITJET BRENDA DITËS PËR PROJEKTIN A..................................................17

FIGURA 1-13 MBËRRITJET DITORE TË PROJEKTIT B...................................................................17

FIGURA 1-14 MBËRRITJET MES. BRENDA DITËS PËR PROJEKTIN B.........................................18

FIGURA 1-15 MBËRRITJET DITORE TË PROJEKTIT C....................................................................19

FIGURA 1-16 MBËRRITJET MES. BRENDA DITËS PËR PROJEKTIN C.........................................19

FIGURA 2-1 KËRKESAT E KAMPIONIMIT TË OPERATORËVE....................................................24

FIGURA 2-2 PËRQASJA INTERAKTIVE E SKEDULIMIT................................................................26 FIGURA 2-3 ZGJIDHJET RELATIVE TË NJË PROBLEMI NË KUSHTE PASIGURIE.....................40

FIGURA 2.4 PROÇEDURA E LIDHJES STOKASTIKE.......................................................................43

FIGURA 2-5 PROÇEDURA E PËRAFRIMIT MESATAR TË KAMPIONIMIT (SAA).......................43

FIGURA 2-6 SHEMBULL I DIZAJNEVE UNIFORME 2 DIMENSIONALE......................................51

FIGURA 3-1 ALGORITMI I GJENERIMIT TË SIMULUAR TË TELEFONATAVE..........................56

FIGURA 3-2 KOHËT E ZGJIDHJES MESATARE................................................................................58

FIGURA 3-3 KOHËT E ZGJIDHJES INDIVIDUALE..........................................................................59

FIGURA 3-4 KONVERGJENCA E ALGORITMIT TË FORMËS L....................................................60

FIGURA 3-5 KURBA TSF PËR NJË NORMË FIKSE TË MBËRRITJEVE..........................................62

FIGURA 3-6 PËRAFRIMI LINEAR ME PJESË I TSF-SË.....................................................................63

FIGURA 3-7 NORMAT E MBËRRITJES PËR PËRAFRIMIN SIPP.....................................................64

FIGURA 3-8 PËRQSSJA E PËRAFRIMIT TSF E BAZUAR NË SKENARË........................................65

FIGURA 3-9 GJENERIMI I KUFIZIMEVE TË ORGANIZIMIT MINIMAL TË STAFIT...................65

FIGURA 3-10 PËRQASJA E VALIDIMIT TË TSF-SË..........................................................................66 FIGURA 3-11 BESIMI DHE NIVELET E SHËRBIMIT SI FUNKSION I NORMËS SË GJOBËS.......70

FIGURA 3-12 BESIMI DHE NIVELI I PRITUR I SHËRBIMIT............................................................71

FIGURA 3-13 KOSTOJA RELATIVE E ZGJIDHJEVE OPTIMALE....................................................72

FIGURA 3-14 VLERËSIMI I PIKAVE TË KUFIJVE............................................................................73

FIGURA 3-15 HENDEKU I OPTIMUMIT.............................................................................................74

FIGURA 3-16 KRAHASIMI NDËRMJET 2 SKEDULIMEVE..............................................................75

FIGURA 3-17 INTERVALI I BESIMIT PËR TELEFONATAT PËR PERIUDHË................................75

FIGURA 3-18 VLERA MESATARE VS ORGANIZIMI STOKASTIK I STAFIT...............................76

FIGURA 3-19 KOSTOT RELATIVE TË FLEKSIBILITETI TË ORGANIZIMIT TË STAFIT...........82

FIGURA 3-20 IMPKTI I OPERATORËVE ME KOHË TË PJESSHME NË SKEDULIMIN DITOR –

PROJEKTI A...........................................................................................................................................84

FIGURA 3-21 IMPKTI I OPERATORËVE ME KOHË TË PJESSHME NË SKEDULIMIN JAVOR –

PROJEKTI A............................................................................................................................................85

FIGURA 3-22 IMPKTI I OPERATORËVE ME KOHË TË PJESSHME NË SKEDULIMIN DITOR –

PROJEKTI B..................................................................................................................... .......................87

FIGURA 3-23 IMPKTI I OPERATORËVE ME KOHË TË PJESSHME NË SKEDULIMIN JAVOR –

PROJEKTI B................................................................................................................. ...........................87

FIGURA 3-24 VLERA E SHTUAR E STAFIT ME KOHË TË PJESSHME..........................................89

vi

FIGURA 3-25 TEPRICA E STAFIT NË PROBLEMIN E MBULIMIT TË GRUPIMIT - PROJEKTI A

– BS A......................................................................................................................................................91

FIGURA 3-26 TEPRICA E STAFIT NË PROBLEMIN E MBULIMIT TË GRUPIMIT - PROJEKTI A

– BS C.......................................................................................................................................................92

FIGURA 3-27 ALGORITMI I PËRGJITHSHËM I KËRKIMIT VNS....................................................95

FIGURA 3-28 MODELI I GRUPIMIT....................................................................................................98

FIGURA 3-29 SIPËRFAQJA E TSF-SË NË MODELIN E GRUPIMIT...............................................100

FIGURA 3-30 DIAGRAMA E KONTURIT TË TSF-SË SË GRUPUAR.............................................101

FIGURA 3-31 KONTURI I TFS-SË 80%..............................................................................................101

FIGURA 3-32 IMPAKTI MARGJINAL NË NIVELET E SHËRBIMIT..............................................102

FIGURA 3-33 IMPAKTI I GRUPIMIT ME NIVELE FIKSE TË ORGANIZIMIT TË STAFIT..........102

FIGURA 3-34 NDIKIMI I GRUPIMIT ME MBËRRITJE TË QËNDRUESHME POR TË

PASIGURTA.........................................................................................................................................107

FIGURA 3-35 DEVIJIMI STANDART I TSF-SË ME GRUPIM VARIABËL...................................108

FIGURA 3-36 ALGORITMI I PËRGJITHSHËEM I KËRKIMIT VNS...............................................110

FIGURA 3-37: STRUKTURA E FQINJËSISË E BAZUAR NË PROJEKT........................................115

FIGURA 3-38: HEURISTIKA E KËRKIMIT FQINJ............................................................................116

FIGURA 3-39 ORGANIZIMI OPTIMAL I STAFIT PERIUDHË PAS PERIUDHE...........................118

FIGURA 3-40 KËRKESAT PËR TRAJNIM MIKS PERIUDHË PAS PERIUDHE.............................119

FIGURA 3-41 PLANI I ORGANIZIMITT TË GRUPUAR TË STAFIT..............................................121

FIGURA 3-42 PLANI I ORGANIZIMIT TË OPERATORËVE TË TRAJNUAR MIKS....................122

FIGURA 4 LLOGARITJET E PUSHIMEVE TË NËNKUPTUARA...................................................123

FIGURA 5 PËRQASJA E GRUPIMIT TË TRE PROJEKTEVE..........................................................130

LISTA E TABELAVE

TABELA 1-1 VARIACIONI I VOLUMEVE JAVORE TË TELEFONATAVE.....................................3

TABELA 1-2 VOLUMI I TELEFONATAVE PARASHIKIMI VS REALJA.........................................5

TABELA 1-3 REZULTATET E MODELIT TË REGRESIONIT.............................................................8

TABELA 1 - 4: PËRMBLEDHJA E PROJEKTEVE MODEL...............................................................20

TABELA 2-1 DIZAJNI EKSPERIMENTAL FAKTORIAL I PLOTË ME 3 FAKTORË.......................47

TABELA 2-2 PËRKUFIZIMET PËR ZGJIDHJE FAKTORIALE ME PJESË.......................................48

TABELA 2-3 DIZAJNI EKSPERIMENTAL FAKTORIAL I PJESSHËM ME 3 FAKTORË................48

TABELA 2-4 PËRCAKTIMI I MARRËDHËNIEVE PËR DIZAJNET E ZAKONSHME ME PJESË..49

TABELA 3-1 VALIDIMI I TSF-SË – PROJEKTI A..............................................................................67

TABELA 3-2 VALIDIMI I TSF-SË – PROJEKTI C DHE PROJEKTI B................................................67

TABELA 3-3 KOMPOMISET E KOSTOT DHE NIVELIT TË SHËRBIMIT – PROJEKTI A..............68

TABELA 3-4 KOMPOMISET E KOSTOT DHE NIVELIT TË SHËRBIMIT – PROJEKTI B..............69

TABELA 3-5 KOMPOMISET E KOSTOT DHE NIVELIT TË SHËRBIMIT – PROJEKTI C.............69

TABELA 3-6 GABIMI I ZGJIDHJES DHE VSS...................................................................................72

TABELA 3-7 IMPAKTI I NDRYSHUESHMËRISË TË DIZAJNIT TE EKSPERIMENTIT................77

TABELA 3-8 IMPAKTI I VARIACIONIT I REZULTATEVE EKSPERIMENTALE.........................78

TABELA 3-9 IMPAKTI I VARIACIONIT NË REZULTATIN E PRITUR – EFEKTET KRYESORE.79

TABELA 3-10 MODELET E SKEDULIMIT..........................................................................................81

TABELA 3-11 IMPAKTI I SKEDULIMIT FLEKSIBËL – PROJEKTI A..............................................83

TABELA 3-12 IMPAKTI I SKEDULIMIT FLEKSIBËL – PROJEKTI B..............................................86

TABELA 3-13 IMPAKTI I SKEDULIMIT FLEKSIBËL – PROJEKTI C..............................................88

TABELA 3-14 KRAHASIMI I SKEDULIMEVE STOKASTIKE DHE ERLANG C LOKALE...........92

TABELA 3-15 KRAHASIMI I SKEDULIMEVE STOKASTIKE DHE ERLANG C GLOBALE.........94

TABELA 3-16 SISTEMIMI I BAZUAR NË SIMULIM – PROJEKTI A................................................96

TABELA 3-17 SISTEMIMI I BAZUAR NË SIMULIM – PROJEKTI B................................................96

TABELA 3-18 SISTEMIMI I BAZUAR NË SIMULIM – PROJEKTI C................................................96

TABELA 3-19 NDIKIMI I GRUPIMIT ME NIVELE FIKSE TË ORGANIZIMIT TË STAFIT NË TSF-

NË E PËRGJITHSHME........................................................................................................................103

vii


NË E PROJEKTIT ME VOLUME TË ULËTA....................................................................................104


NË E PROJEKTIT ME VOLUME TË LARTA....................................................................................104

TABELA 3-22 NDIKIMI I GRUPIMIT ME NIVELE FIKSE TË ORGANIZIMIT TË STAFIT NË

BRAKTISJEN E PROJEKTIT ME VOLUME TË ULËTA..................................................................105

TABELA 3-23 NDIKIMI I GRUPIMIT ME NIVELE FIKSE TË ORGANIZIMIT TË STAFIT NË

BRAKTISJEN E PROJEKTIT ME VOLUME TË LARTA.................................................................105

TABELA 3-24 TRAJNIMI MIKS ME MBËRRITJE TË NJOHURA NË GJENDJE TË

QËNDRUESHME – DIZAJN EKSPERIMENTAL..............................................................................111

TABELA 3-25 TRAJNIMI MIKS ME MBËRRITJE TË NJOHURA NË GJENDJE TË

QËNDRUESHME – REZULTATET EKSPERIMENTALE................................................................111

TABELA 3-26 TRAJNIMI MIKS ME MBËRRITJE TË PASIGURTA NË GJENDJE TË

QËNDRUESHME – REZULTATET EKSPERIMENTALE................................................................112

TABELA 3-27 KRAHASIMI I EKSPERIMENTEVE ME MBËRRITJE TË NJOHURA DHE TË

PASIGURTA.........................................................................................................................................113

TABELA 3-28 REZULTATET SIMOPT PROJEKTET A DHE B......................................................119

TABELA 3-29 REZULTATET OPTSIM PROJEKTET A DHE B......................................................120

TABELA 3-30 OPTIMIZIMI I GRUPIMIT – PROJEKTET A DHE B.................................................121

TABELA 3-31 OPTIMIZIMI I GRUPIMIT – PORJEKTET A DHE C.................................................122

TABELA 3-32 OPTIMIZIMI I GRUPIMIT – PROJEKTET B DHE C.................................................123

TABELA 3-33 REZULTATET E IMPAKTIT TË DIFERENCIMIT TË PAGAVE NË RASTIN E

TRAJNIMIT MIKS................................................................................................................................123

LISTA E SHKURTIMEVE

CC Call Center

IVR Interactive Voice Response

FIFO First In First Out

SLA Service Level Agreement

TSF Telephone Service Factor

AHT Average Handle Time

AR Abandonment Rate

ASA Average Speed of Answer

FCR (First Call Resolution)

WFM Workforce Management

ACD Automatic Call Distributor

DTMC Discrete Time Markov Chains

QED Quality Efficiency Driven

PASTA Poisson Arrivals See Time Averages

viii

SAA Simple Stationary Approximation

PSA Pointwise Stationary Approximation

SIPP Stationary Independent Period by Period

MAX Maximum

MIN Minimum

SD Stochastic Decomposition

LP Linear Programming

EVPI Expected Value of Perfect Information

VSS Value of the Stochastic Solution

SBO Simulation Based Optimization

DES Discrete Event Simulation

VNS Variable Neighborhood Search

DOE Design Of Experiments

UD Uniform Design

LH Latin Hypercube

MIP Mixed-Integer Programming

SIM Simulation

OPT Optimization

ix

FALËNDERIME

Ky punim disertacioni u realizua pas një pune të gjatë dhe të mundimshme që do të kishte qënë

e pamundur pa ndihmën e disa figurave kyçe, të cilave u jam shumë mirënjohëse dhe dua

t’i falenderoj me zemër.

Së pari, falenderoj Prof. Dr. Omer Stringën, i cili më udhëhoqi në çdo hap të këtij punimi me

shumë durim, profesionalizëm dhe me këshilla te vyera e të pakursyera. Pa këtë mbështjetje

nuk do të kisha arritur t’i jepja formën përfundimtare punimit dhe të mbyllja këtë cikël.

Së dyti, falenderoj të gjithë departamentin e Matematikës së Aplikuar, me në krye Prof. Dr.

Fatmir Hoxhën, i cili për çdo nevojë ka qënë disponibël dhe i mirëkuptueshëm dhe më ka

dhënë gjithmonë sugjerimet e duhura. Një falenderim i veçantë edhe për Dr. Markela

Muçën, që më ka ndihmuar shumë në këtë rrugëtim.

Mirënjohje pa fund për familjen time që më ka duruar dhe mbështur në këto vite të lodhshme,

faleminderit bashkëshortit dhe dy fëmijëve të mi të vegjël që kanë sakrifikuar bashkë me

mua dhe më janë gjendur pranë. Faleminderit Marino, Daniele dhe Luna për mbështetjen

pa kushte, për kohën që më keni kushtuar dhe mirëkuptimin që keni treguar.

Dhe në fund, por jo më pak e rëndësishme, falenderimet nga zemra shkojnë për prindërit e mi,

te cilët kanë qëne të parët që kanë besuar tek mua dhe më kanë shtyrë gjithmonë të jap më

të mirën e vetes. Ky disertacion është për ju!

Faleminderit të gjithëve!

x

HYRJE

Në kontekstin ekonomik dhe organizativ global aktual bizneset duhet të përforcojnë dhe

diversifikojnë kanalet e tyre të kontaktit me klientët për të rritur nivelin e besueshmerisë dhe

prezencës në treg duke krijuar në këtë mënyre një avantazh kompetitiv. Rritja e këtyre kanaleve

perceptohet nga klienti si një mundësi për të përfituar një shërbim të personalizuar dhe nga

kompania si nje instrument për të mbledhur informacione për të levizur me të njëjtin hap me

trendin e tregut dhe nevojat e klientit. Që në fillim të viteve ’80 kompanitë e mëdha ia besuan

shërbimin e klientit kompanive të specializuara për këtë, kompanive Call Center. Sektori i

Contact Center, i cili përfshin atë të Customer Relationship Management (shëbim klienti) dhe

Accounts Receivable Management (mbledhja e kredive) vazhdon të ketë një pozicion të

rëndësishëm në treg pasi mbetet akoma nje fushë që nuk arrin te zëvëndësohet nga automatizimi

informatik/teknologjik.

Në mesin e viteve 2000 filloi shfaqja e Call Center-ave te parë në Shqipëri dhe që atehere ato

vazhdojnë të jenë një realitet shumë i rëndësishëm në ekonominë tonë. Gjatë viteve të fundit në

Shqipëri numri i call center-ave ka shkuar në mbi 300, duke numëruar më shumë se 20.000 të

punësuar (Mapo Online, 2015). Në klasifikimin e 10 punëdhënësve më të mëdhenj për vitin

2016 janë tre call center-a, përkatësisht në vendin e tretë, të gjashtë dhe të tetë (Monitor 2018).

Një Call Center përbëhet nga një sërë burimesh (në përgjithësi operatorët, kompjuterat dhe

pajisje të tjera telekomunikimi), të cilat bëjnë të mundur ofrimin e shërbimeve përmes telefonit.

Mjedisi i punës i një call center-i tipik (Figura 1) mund të imagjinohet si një hapësirë shumë e

madhe me shumë vende pune të hapura, ku njerëzit me kufje (operatorët) ulen përpara

terminaleve kompjuterike, duke u ofruar shërbime / produkte klientëve "të padukshëm".

Figura 1 Pamje e një salle operative në call center

Shumica e call center-ave gjithashtu kanë njësi Zëri të Përgjigjeve Interaktive (IVR), të cilat

janë makineri përgjigjesh automatike që përfshijnë mundësinë e ndërveprimit (pra klienti mund

të marrë përgjigjen e kërkuar automatikishit nga IVR ose të adresohet në mënyrë të saktë për

të patur një përgjigje ndaj kërkesës që ka). Një tendencë e ditëve të sotme është zgjerimi i call

xi

center-ave në contact center-a, të cilat janë call center-a ku shërbimi tradicional telefonik është

përforcuar nga disa kanale shtesë të kontaktit me klientët, zakonisht IVR, e-mail, faks, internet

dhe / ose chat e së fundmi edhe nga mediat sociale. Kjo sepse në shekullin XXI dixhitalizimi

është një realitet që ka marrë përmasa madhore dhe klientët janë të prirur gjithnjë e më shumë

ndaj metodave alternative të komunikimit dhe telefonia sa vjen e zvogëlohet duke u

zëvendësuar nga këto kanale. Dixhitalizimi ka sjellë një ndryshim në mënyrën se si markat

lidhen dhe nderveprojnë me klientët e tyre. Sipas një grafiku të krijuar nga Shërbimet Analitike

të Shqyrtimit të Biznesit të Harvardit në bashkëpunim me Teleperformance, mediat sociale

vazhdojnë të dominojnë ndërveprimet: nga 86% e tregtarëve të lidhur me klientët që e përdorin

atë, 72% arritën audiencën e tyre nëpërmjet email-marketingut, 65% u lidhën me klientët

përmes videove online, 58% përdorën webinar-ët ose eventet online, ndërsa 44% përdorën chat.

Teknologjia ka krijuar me të vërtetë një rrugëtim të ri në përvojën e konsumatorit që është

shtruar me lehtësi me anë të një klikimi të vetëm; Gjithsesi, e gjithë kjo vjen me një sfidë - rreth

60% e tregtarëve të anketuar gjithashtu vunë në dukje se është e vështirë të riprodhosh përvojën

“person me person” me konsumatorët duke përdorur teknologjitë dixhitale.

Automatizimi me të vërtetë mund të sjellë shumë përfitime - efiçencë, saktësi dhe konsistencë,

por njerëzit, nga ana tjetër, janë të vetmit që janë në gjendje të sjellin lidhje të mirëfillta me

konsumatorin. Ndërveprimet e mëdha mund të fillojnë dhe të krijojnë marrëdhënie me klientët

e rinj, ndërkohë që një lidhje personale mund të shpërblejë me një lidhje afatgjatë. Vlera e

lidhjes njerëzore, emocioneve, ndjeshmërisë dhe personalizimit tani janë më të vlefshme se

kurrë, veçanërisht në një botë ku dixhitalizimi vazhdon të paraqesë avantazhet e veta

(Teleperformance 2018). Kjo do të thotë që, në formen e call center-it apo contact center-it,

shërbimet e klientëve do të jenë të pranishme për shumë kohë dhe nevojitet gjithnjë e më shumë

garantimi i përmbushjes së kërkesave të klientëve në lidhje me shërbimin, në mënyrën më

efiçente dhe efikase të mundshme

Kompanitë më të rëndësishme e kanë riorganizuar komunikimin e tyre me klientët përmes një

ose më shumë call center-ave, të cilat mund të menaxhohen brenda ose jashtë kompanisë nga

një i tretë. Tendenca ndaj contact center-ave është rritur edhe nga potenciali i njohur për

përfitime efiçente (kërkesat për shërbimet e e-mail dhe faks mund të "ruhen" për përgjigje të

mëvonshme dhe kur trafiku i shërbimeve telefonike është më i ulët se parashikimi, operatorët

mund të kalojnë në kanalet e tjera).

Call Center-at mund të kategorizohen në shumë dimensione të ndryshme: sipas funksionalitetit

(asistencë teknike, urgjencat, telemarketing, teleselling, sondazh i tregut, ofrues

informacionesh etj.), sipas madhësisë (nga disa në disa mijëra operatorë), gjeografikisht (një

ose disa vendndodhje, që mund të jenë brenda shtetit ku ndodhet kompania për të cilën ofrohet

shërbimi, i quajtur ndryshe domestic, në shtetitn fqinj, ndryshe nearshore, ose në një shtet

gjeografikisht larg nga kompania për të cilën shërbehet, ndryshe offshore), sipas kualifikimit të

operatorëve (me aftësi të vogla ose të mirëtrajnuar, me një kualifikim ose me disa etj.), sipas

industrisë ku operojnë (telekomunikacioni, financimi, blerje online, ofruesit e TV dhe internetit,

agjensi udhëtimi, marketingu, etj.), sipas linjës së biznesit (inbound, telefonata hyrëse, pra ështe

klienti ai që kontakton për te patur një shërbim, outbound, telefonata dalëse, pra janë operatorët

ata që kontaktojnë klientët për t’u ofruar një shërbim backoffice, që përfshin punën me email-

e, chat, etj), dhe kështu me radhë (Ekmekçiu 2015).

Çdo call center është i pajisur me kompjutera dhe pajisje të tjera telekomunikimi të avancuara.

Një telefonatë tipike inbound lidhet nga rrjeti telefonik publik i shërbimit (PSTN) me “switch-

in” e call center-it, shkëmbimi privat i sektorit (PBX), mbi një numër të caktuar linjash të

huazuara ose të blera. Telefonuesit mund të lidhen fillimisht me një IVR me anë të të cilit

xii

telefonuesi mund të përdorë tastierën për të zgjedhur opsionin e interesuar ose për t’i mundësuar

disa inpute sistemit të call center-it. Kur telefonuesi kërkon të flasë me një operator, telefonata

menaxhohet nga një Shpërndarës Automatik i Telefonatave (ACD). ACD-ja drejton telefonatat

në brendësi të call center-it dhe është përgjegjës i monitorimit të statusit të operatorit, për

mbledhjen e të dhënave, për menaxhimin e telefonatave në radhë për përgjigje, dhe për të marrë

vendime potencialisht komplekse të “routing” (drejtimi i telefonatave). Për shembull, në call

center-at ku zbatohet “routing” i bazuar në kompetencat e operatorëve, një proces kompleks

vendimmarrjeje përdoret për të përputhur telefonuesit me operatorët duke u bazuar në kritere të

shumëfishta që kanë lidhje si me telefonuesin ashtu edhe me operatorin. Në call center-at që

kanë të bëjnë me telefonata outbound përdoret një formues numri parashikues për të paraprirë

formimin e numrit. Përveç sistemit të telefonisë një call center është i pajisur edhe me terminalë

kompjuterikë të lidhura me një ose më shumë aplikacione ndërmarrjeje: këto të fundit janë

zakonisht të klasifikuara nën kategorinë e përgjithshme të Menaxhimit të Marrëdhënieve me

Klientët (CRM).

Një arkitekturë e përgjithshme tregohet në Figurën 2:

Figura 2 Arkitektura e Teknologjisë së një call center-i

Duke parë karakeristikat e lart përmendura të Call Center-ave, në kushte normale pune, kur

asnjë operator nuk është i dispunueshëm per t’ju përgjigjur telefonatës hyrëse, themi që krijohen

Radhë. Nga këndvështrimi i radhëve, një model i përgjithshëm i një call center-i është modeli

Erlang A, që tregohet në Figurën 3:

xiii

Figura 3 Arkitektura e Radhëve të një Call center-i

Në modelin Erlang A telefonatat mbërrijnë me një normë λ, me kohë mbërritjeje të pavarura

dhe me shpërndarje eksponenciale. Në qoftë se asnjë operator nuk është i lirë telefonatat

vendosen në një radhë të pafundme për të pritur shërbimin sipas rregullit FIFO. Telefonatat

kanë një kohë shërbimi eksponenciale me mesatare 1/µ. Çdo telefonatë ka të lidhur me të edhe

një kohë durimi: në qoftë se telefonuesit detyrohen të presin më shumë se koha e tyre e durimit,

ata e braktisin radhën (mbyllin telefonatën). Koha e durimit është e shpërndarë në mënyrë

eksponenciale me një kohë mesatare të braktisjes 1/Ɵ dhe norma individuale korrisponduese e

braktisjes është Ɵ (Mndelbaum and Zeltyn 2004).

Erlang A është më i komplikuar dhe më pak i aplikuar se modeli Erlang C (modeli Erlang C

është identik me radhën M/M/n. Modeli Erlang C përdoret gjërësisht në aplikimet e call center-

ave). Megjithatë, siç do të tregohet, braktisja është një kompnent shumë i rëndësishëm në këtë

ambjent dhe përdorimi i modelit Erlang A është më i sigurtë.

Synimi i këtij punimi është të tregojë se si metoda analitike, siç është Teoria e Radhëve, sikurse

edhe metoda eksperimentale, siç është Simulimi, mund të përdoren për dimensionimin,

skedulimin, planifikimin e personelit në këto struktura. Këto metoda mundësojnë ruajtjen e

cilësisë së shërbimit (efektivitet) duke minimizuar kostot direkte (efiçencë), pra optimizimi i

numrin të nevojshëm të personelit duke mbajtur nivelet e kërkuara të shërbimit.

Punimi do të përqëndrohet tek klientët që ofrojnë shërbim klienti (fushata inbound, pra me

telefonata hyrëse) dhe jo tek klientët ku bëhen shtije me anë të telefonatave (fushata Outbound,

pra me telefonata dalëse).

Në fillim të punimit do të jepet një përshkrim i Operacioneve të call center-ave nga pikëpamja

empirike. Më pas kjo tezë do te përqëndrohet në analizën e modeleve bashkëkohore stokastike.

Në kapitullin e fundit do të studiohen dy modelet e zgjedhura dhe do të shohim si përdoren ato

në procesin e parashikimit, duke u përqendruar në planifikimin afatshkurtër:

• Modeli afatshkurtër i skedulimit: Modeli afatshkurtër trajton çështjen e skedulimit

afatshkurtër (javor) të operatorëve. Ky problem shtrohet në kontekstin e operacioneve

të call center-it, duke ndërtuar një model që gjeneron një programim turnesh, që në

mënyrë eksplicite merr në konsideratë kohën e mbërritjes si një madhësi të rastit. Kjo

analizë tregon që njohja në mënyrë eksplicite e pasigurësisë çon në zgjidhje më të mira

të verifikueshme; që janë zgjidhje me një kosto më të ulët të operacioneve.

xiv

• Modeli i trajnimit miks: Ky model analizon impaktin e trajnimit miks (trajnimi i një

ose më shumë operatorëve për të pnunuar njëkohësisht në dy ose më shumë projekte)

në operacionet e call center-ave me mbërritje rastësore dhe tenton te gjejë nivelin

optimal të trajnimit miks të projektit. Analiza tregon që në përgjithesi një nivel i ulët i

kësaj forme të trajnimit jep një perfitim të konsiderueshëm. Në këtë model do të

zhvillohet nje algoritëm heuristik për të gjetur nivele thuajse optimale të trajnimeve të

ndërthurur duke na u dhënë kërkesa jo stacionare dhe e pasigurtë.

ORGANIZIMI I PUNIMIT

Kapitulli 1: Një Analizë Empirike e Operacioneve në Call Center

Në këtë kapitull do të diskutohet më shumë në lidhje me kontekstin e industrisë së call center-

ave. Çfarë janë ato dhe çfarë ofrojnë.Gjithashtu motivimi i cili më ka shtyrë drejt këtii punimi

Do të prezantohet një analizë empirike e të dhënave. Qëllimi i këtij rishikimi është për të

theksuar disa nga sfidat kryesore operacionale të lidhura me këtë lloj industrie, për të siguruar

të dhëna përfaqësuese për analiza të mëtejshme dhe për të motivuar një bashkësi me probleme

optimizimi. Gjithashtu bëhet një prezantim i projekteve që janë marrë në konsideratë për

punimin duke parë cilësitë e secilit prejt tyre.

Kapitulli 2: Një Vështrim i Disa Modeleve Bashkëkohore Stokastike të Operacioneve në

Call Center

Në këtë kapitull do të rishikohen dhe përmblidhen disa nga modelet bashkëkohore Stokastike

të Operacioneve në Call Center-a, të cilët do të jenë baza për strukturimin e modeleve të

trajtuara për rastin tonë. Do të shikohen modelet e lidhura me planifikimin e fuqisë punëtore,

optimizimit stokastik, eksperimenteve statistikore dhe si adresohen ato në operacionet e call

center-ave. Gjithashtu, bashkë me modelet do të rishikohet edhe literatura përkatëse ku ato janë

bazuar.

Kapitulli 3: Modelet në Call Center-in e Konsideruar dhe Përdorimi i Tyre në Parashikim

Në këtë kapitull do të shikohen dy modelet bazë të këtij punimi:

• Modeli i Skedulimit Afatshkurtër, ku shqyrtohet çështja e skedulimit afatshkurtër të

turneve për call center-at, për të cilët është e rëndësishme të përmbushin një

marrëveshje për nivelet e shërbimit gjatë një periudhe të caktuar. Analiza përqendrohet

ekskluzivisht në një SLA të bazuar në TSF (Telephone Service Factor, përqindja e

telefonatave të cilat marrin përgjigje Brenda 20 sekondave), por modeli mund të

përshtatet lehtësisht për të mbështetur forma të tjera të SLA-ve; të tilla si shkalla e

braktisjes ose shpejtësia mesatare për t'u përgjigjur. Modeli hartohet duke konsideruar

normat e mbëritjes si madhësi të rastit dhe formulohet si një programim stokastik miks

me numra të plotë me dy faza.

• Modeli i Trajnimit Miks, ku shqyrtohen më tej operacionet e një call center-i. Në këtë

model do të shqyrtohet mundësia e trajnimit të një nëngrupimi operatorësh në mënyrë

që ata të mund të operojnë njëkohësisht për dy projekte të ndara. Ky model kërkon të

përcaktojë përfitimin nga grupimi i pjesshëm dhe të karakterizojë kushtet nën të cilat

grupimi është më fitimprurës. Më pas do të përcaktohet numri optimal i operaorëve për

t’u trajnuar në mënyrë mikse duke pasur të dhënë investimin e trajnimit dhe shtesën në

pagë të paguar për operatorët në këtë rast.

xv

Përfundime dhe Rekomandime

Në këtë seksion do të trajtohen përfundimet teorike dhe praktike të arritura në këtë punim.

MODELE TË RADHËVE DHE SIMULIMI TË APLIKUARA NË CALL CENTER - Ditila Ekmekçiu

1

KAPITULLI 1: NJË ANALIZË EMPIRIKE E OPERACIONEVE

NË CALL CENTER

1.1. Subjekti i konsideruar

Call Center-i i marrë në konsideratë është Teleperformance Albana, pjesë e korporatës

Teleperformance, një lider në këtë sektor në botë. Ajo është e pranishme në 62 vende, me 270

call center-a, të krijuara 36 vjet më parë, që faturoi në vitin 2014 2.7 miliardë dollarë.

Teleperformance Albania ka lindur në vitin 2008 si pjesë e Grupit Teleperformance Italy,

operon në Tiranë dhe Durrës dhe ka mbi 2000 të punësuar. U vlerësua kompania e gjashtë me

numrin më të madh të të punësuarve në vend. Duke qenë pjesë e kompanisë italiane, ajo operon

në tregun italian me klientë shumë të rëndësishëm (Ekmekçiu, 2015).

Teleperformance në Shqipëri u themelua në vitin 2008 për të ofruar një zgjidhje jashtë tregut

të CRM (Customer Relationship Management) për tregun italian. Fillimi ishte me një kapacitet

prej 100 operatorësh dhe u rrit në mënyrë eksponenciale duke e dyfishuar atë numër çdo gjashtë

muaj.

Misioni i kompanisë është të ofrojë një shërbim të shkëlqyeshëm nga jashtë Italisë përmes një

procesi të vështirë të përzgjedhjes së gjuhës dhe aftësive, nga një ekip shumë i motivuar dhe

nga miratimi sistematik i standardeve dhe mjeteve të klasit botëror të Teleperformance Group.

Entuziazmi dhe profesionalizmi i punonjësve, së bashku me një infrastrukturë solide të

sistemeve të informacionit, sigurojnë një zgjidhje fleksibile, të besueshme dhe të shkallëzuar

për nevojat e CRM-së së klientëve .(FIAA2018).

Kompania numëron mbi 20 klientë ndërkombëtare, të të gjithë sektorëve (IT, financë,

telekomunikim, udhëtim, blerje online, telefoni etj), që i besojnë shërbimin e klientit.

Strukturimi i kompanisë është në bazë të standarteve të vendosura nga Grupi. Puna ime pranë

TP ka filluar që në vitin 2008, duke mbuluar pozicione të ndryshme me kalimin e viteve. Për

këtë arsye kam pasur fatin ta njoh shumë mirë si biznes dhe mundësinë për te aksesuar të gjithë

databazën e kompanisë për përpunimin dhe analizën e të dhënave.

Strukturat kryesore organizative në këtë kompani janë “account”-ët e projekteve të ndryshme.

Në shumicën e rasteve çdo projekt menaxhohet si një operacion më vete me menaxherët e vet

dhe strukturën përkatëse dhe me pasqyrën e vet të të ardhurave dhe humbjeve. Duke u bazuar

tek ky sistem i decentralizuar secila skuadër e çdo projekti ka një gjërësi shpërndarjeje në lidhje

me mënyrën se si performon funksionet e organizimit të stafit.

1.2. Karakteristikat Stokastike

Çdo kompani shërbimi e mat produktivitetin e saj me anë të disa parametrave të performancës1.

Disa nga matësit kryesorë të performancës së një call center-i janë:

• AHT (Average Handle Time): është koha mesatare e zgjatjes së një telefonate. Sa më

i ulët të jetë ky parametër, aq më mire është pasi lidhet në mënyrë direkte me

kënaqësinë e telefonuesit.

• AR (Abandonment Rate): norma e braktisjes së telefonatave, pra përqindja e

telefonuesve që e mbyllin telefonatën përpara se dikush t’i përgjigjet. Edhe ky matës

1 KPI= Key performance Index


2

lidhet në mënyrë të drejtpërdrejtë me kënaqësinë e telefonuesit. Sa më e ulët të jete kjo

përqindje, aq më produktivë jemi.

• SL (Service Level): niveli i shërbimit, është përqindja e telefonatave të pergjigjura

brenda një numri të caktuar sekondash (pra klienti në radhë nuk ka pritur më shumë se

një numër i caktuar sekondash përpara se një operator t’i përgjigjej). Ky matës lidhet

në mënyrë të drejtpërdrejtë me orgainizimin e stafit të call center-it. Kjo sepse sa më

shumë operatorë të jenë prezent në një turn, aq më pak qëndron klienti në radhë. Nga

ana tjetër në qoftë se numri i operatorëve ështe shumë më i lartë se norma e mbërritjes

së telefonatave, aq më shumë kosto ka call center-i, pa një kthim. Në përgjithesi për të

gjitha projektet ka një normë SL objektiv (zakonisht për një periudhë 1 mujore), të

vendosur kontraktualisht me klientin. Kjo do të thotë që mosarritja e objektivit

përkthehet në një gjobë për call center-in. Ky objektiv quhet ndryshe SLA (Service

Level Agreement).

• Faktori i shërbimit telefonik (TSF): TSF është pjesa e telefonatave të paraqitura të

cilat janë shërbyer dhe për të cilat vonesa është nën një nivel të specifikuar. Për

shembull, një call center mund të raportojë TSF-në si përqindje e telefonuesve të lënë

në pritje në më pak se 30 sekonda.

• Shpejtësia mesatare e përgjigjes (ASA): kjo është koha mesatare e telefonatave në

pritje, duke pritur që një operator të përgjigjet.

• FCR (First Call Resolution) është përqindja e telefonatave që kanë marrë një zgjidhje

që herën e parë, pra klientit nuk i është dashur të telefonojë përsëri etj.

Sfida kryesore për procesin e organizimit të stafit të call center-it është sigurimi i një SLA fikse

me një kohë mbërritjeje të rastit. Volumi i telefonatave inbound (telefonata hyrëse) është

variabël me burime të shumëfishta të pasigurisë. Në analizën e mëposhtme do të konsiderohet

variacioni në nivele të shumëfishta grupimi: javore, ditore dhe çdo gjysëm ore. Në (Ekmekçiu,

Muça, Nano 2016) është bërë një analizë e disa prej këtyre indikatorëve të performances së call

center-it me anë te Simulimit dhe është treguar sesi ndikojnë ato ne dimensionimin e stafit të

një call center-i. Gjithashtu në (Ekmekçiu 2015) janë bërë disa analiza Optimizimi të

parametrave të perfomrancës në Call Center, duke përdorur Teorinë e Radhëve.

Praktikat e Menaxhimit të Dimensionimit të Call Center-it

Ndërkohë që kompania ka një sistem të sofistikuar të Workforce Management (WFM,

departamenti që merret me skedulimin dhe menaxhimin e kapacitetit) që mund të performojë

detyra të vështira skedulimi, sistemi përdoret nga shumë pak projekte. Shumica e stafit të

skedulimit i kryejnë detyrat e skedulimit në një mënyrë gjysëm të automatizuar duke përdorur

Excelin. Menaxherët mbledhin të dhënat historike të volumeve nga Distributori Automatik i

Telefonatave (ACD) dhe përdorin ato të dhëna për të zhvilluar një parashikim të volumeve të

telefonatave; zakonisht për periudha 30 minutëshe gjatë një jave. Shumë menaxherë përdorin

mesataren për periudhë mbi një periudhë gjashtë deri në tetë javore, dhe më pas manualisht

përshtasin atë skedulim dukë u bazuar në ditët e pushimit ose për ndryshime të tjera qe mund

të ndikojnë. Parashikimi përdoret për të drejtuar kërkesat e organizimit të stafit. Disa menaxherë

përdorin llogaritës të gatshëm të Erlang C, pra aplikime të thjeshta që llogarisin nivelin e stafit

të kërkuar për të arritur një nivel shërbimi të caktuar në çdo periudhë kohe. Megjithatë, për

shkak të një piku të lartë në volume gjatë periudhës 8-12 paradite, siç do të shohim më mbrapa,

shumica e menaxherëve nuk stafojnë në këtë nivel. Organizimi më shumë dhe më pak i stafit

bëhet në mënyrë heuristike, duke u bazuar tek eksperienca dhe attrition-i (numri mesatar i

operatorëve që largohen gjatë muajit me ose pa paralajmërim). Organizimi i stafit merr në

konsideratë për limite të tjera, siç është kërkesa e përgjithshme e të paturit gjithmonë të paktën

dy operatorë gjatë çdo periudhë.


3

Ndërkoë që shumica e menaxherëve përdorin Excelin për të kryer këto detyra, një numër i vogël

përdor aplikimin automatik të WFM. Procesi i përgjithshëm në këtë rast është i njejtë por

sistemi na jep suport automatik. Sistemi mbledh statistikat e ACD-së të cilat menaxheri mund

t’i sistemojë manualisht. Një menu me skedulimet e mundshme dhe me limitet mund të

përcaktohet dhe një gjenerues i automatizuar i skedulimit. Sistemimi manual i skedulimit mund

të bëhet pas optimizimit. Dokumentaconi i sistemit është shumë i pa qartë në lidhje me natyrën

e algoritmit të skedulimit. Algoritmi i skedulimit na jep një kontroll me zgjdhje ku planifikuesi

mund të zgjedhë ndërmjet 1 – Minimizimi i vlerave të pikut në nivelet e shërbimit dhe 2 –

Maksimizimi i përgjithshëm (javor) i Nivelit të Shërbimit. Sistemi mund të marrë parasysh

gjithashtu normën e braktisjes duke lejuar përdoruesin të fusë një parashikim të normës së

braktisjes ose një faktor durimi.

Sistemi i WFM përdoret gjërësisht në lançimet e projekteve të reja. Parashikimi i mbërritjeve

ditore mblidhet nga çdo burim i disponueshëm dhe alokohen në periudha kohore prej 30

minutash duke aplikuar një model standart sezonaliteti, i bazuar në projekte të tjera. Modeli i

organizimit të stafit të WFM ekzekutohet nga kjo pikë e parashikimit për mbërritjet sipas

periudhave për të llogaritur numrin e operatorëve të nevojshëm për arritjen e objektivit të

niveleve të shërbimit. Numri i parashikuar i operatorëve më pas reklutohet pa pagesë për

periudhën e trajnimit. Të gjithë operatorët punësohen për kërkesat e një projekti të caktuar.

Mbërritjet javore

Në periudhën afatshkurtër deri në atë afatmesme modeli kryesor sezonal ndodh në nivel javor.

Për qëllimin e kësaj analize do të injorohen periudha të pazakonta të ngadalta, siç janë periudha

ndërmjet Krishtlindjeve dhe Vitit të Ri, dhe do të shqyrtohet variacioni i volumeve të

telefonatave në nivel javor. Në skemën e mëposhtme mund të shohim grafikun që përmbledh

katër muaj të të dhënave të volumeve të Projekteve të konsideruara. Më poshtë listojmë

mesataren e volumeve javore inbound, devijimin standart të volumeve të telefonatave dhe

koeficienti korrispondues i variacionit:

Tabela 1-1 Variacioni i Volumeve Javore të Telefonatave


4

Tabela tregon që volumi varion në mënyrë të konsiderueshme nga një javë në tjetrën. Gjithashtu

tregon që grada e variacionit varet në mënyrë të kosniderueshme nga një projekt në tjetrin, me

koeficientë variacioni nga më i ulëti 0.193 në më të lartin 0.548.

Mbërritjet ditore

Volumet e telefonatave shfaqin një model sezonaliteti të fortë gjatë javës. Në figurën e

mëposhtme mund të shohim volume ditore të telefonatave të një projekti tipik për një periudhë

tre mujore.

Figura 1- 1 Shembull i volumeve ditore të telefonatave

Grafiku tregon variacion të fortë sezonal gjatë javës. Të hënat kanë tendencë të jenë ditët me

volume më të larta dhë volumet më pas bien pergjatë javës. Volumet gjatë të shtunave janë një

fraksion i vogël i volumeve të javës dhe gjatë të dielave kjo fushatë është e mbyllur. Grafiku

gjithashtu tregon variacion të rëndësishëm stokastik. Të martat për shembull, kanë volume më

të larta se të mërkurave, por nuk është gjithmonë kështu. Përgjatë javëve të 4/26 dhe 5/16 mund

të shohim volume më të larta të mërkurave sesa të martave. Gjithashtu mund të shohim çështjen

e pikave më të larta të kërkesës të paplanifikuara, që shpesh u referohemi si evente të

rëndësishme. Ky është një rast i përhapur në mënyrë ekstreme në postacionet e suportit operativ.

Një server që “bie”, për shembull, gjeneron volume të mëdha telefonatash. Ndërkohë që disa

lloje kontratash lejojnë lehtësira në SLA në raste eventesh të rëndësishme, në përgjithësi, duhet

arritur niveli i SLA edhe kur ndodhin këto raste. Volumet e mëdha të telefonatave gjatë

eventeve të rëndësishme, jo vetëm qe shkaktojnë performancë të dobët, por gjithashtu krijojnë

një porcion të madh të telefonatave totale, duke e bërë akoma më të vështirë arritjen e objektivit

të SLA-ve.

Grafiku i mëposhtëm përmbledh problemin e variacionit të volumeve ditore, mesatarja e

telefonatave dhe volumeve ditore për secilin projekt janë të listura si më poshtë me një

përmbledhje statistikore për matjen e të dhënave ditore të Parashikimit vs Reales.


5

Tabela 1- 2 Volumi i telefonatave Parashikimi vs Realja

Tabela tregon sfidën e lidhur me parashikimin e saktë të volumeve. Shumica e projekteve në

shumicën e kohës nënvlerësojnë në mënyrë sistematike volumet. Devijimi standart i gabimit në

parashikim është i lartë dhe gama e vlerave të vëzhguara është e konsiderueshme, gjithashtu

është me vlerë të shihet që në përgjithësi projektet më të vogla janë më të vështira për t’u

parashikuar sesa projektet më të mëdha.

Variacioni brenda ditës

Përveç sezanalitetit të ditëve të javës, këto call center-a gjithashtu përjetojnë sezonalitet të

rëndësishëm përgjatë ditës. Figura e mëposhtme tregon volumet mesatare të telefonatave gjatë

periudhave ½ ore për një projekt të caktuar.

Figura 1-2 Shembull i Diagramës së Mbërritjeve Mesatare Ditore


6

Ky projekt i caktuar operon 24x7 dhe mund të shohim që volumet gjatë natës janë të ulëta

mjaftueshëm. Volumet rriten në mënyrë të ndjeshme gjatë paraditeve me një ngarkesë të madhe

gjatë orarit 07:00 – 11:00.

Volumet kanë tendencë të ulen gjatë orarit të drekës, por një maksimum i dytë arrihet gjatë

pasdites, edhe pse ky maksimum është zakonisht më i ulët se ai i paradites.

Ndërkohë që ky model mbërritjeje ekziston në shumicën e ditëve të punës, kemi një variacion

të rëndësishëm stokastik në modelin e telefonatave ditë pas dite. Grafiku i mëposhtëm tregon

volumin e telefonatave për një periudhë 8 javore për një projekt të caktuar. Pjesa e brendshme

përfaqëson minimumin e volumeve të çdo periudhe, ndërsa totali përfaqëson volumet

maksimale të çdo periudhe. Pjesa e jashtme përfaqëson variacionin mbi periudhën tetë javore.

Figura 1-3 Rangu i Volumeve të Telefonatave

Ky grafik tregon që ndërsa kemi një variacion të rëndësishëm në volumet e telefonatave, një

model i fortë ekziston.

Modeli statistikor i mberritjes se telefonatave

Për analizat numerike të sistemeve stokastike kemi tre opsione për të përfaqësuar variacionin

(Law 2007):

• Të dhënat empirike

• Shpërndarja empirike

• Shpërndarja teorike

Përqasja e preferuar është gjetja e një shpërndarjeje teorike që siguron një përshtatje të

arsyeshme për të dhënat empirike dhe për t’u provuar nga ajo shpërndarje (Law 2007). Në këtë

seksion do të zhvillohet një model relativisht të thjeshtë të mbërritjeve të telefonatave dhe do


7

të tregohet që ky model siguron një përshtatje të arsyeshme me të dhënat e vëzhguara. Modeli

i zgjedhur është një model hierarkik i mbërritjeve me dy faza. Modelet e këtij lloji janë të

përdorur gjërësisht në operacionet e call center-ave (Gans, Koole et al. 2003). Në nivelin e parë

do të modelojmë volume ditore të telefonatave. Në nivelin e dytë do të modelojmë shpërndarjen

e telefonatave ditore në periudha 30 minutëshe.

Volumet ditore të telefonatave

Qëllimi i modelit të nivelit të parë është zhvillimi i një shpërndarjeje statistikore për volume

ditore të telefonatave. Volumet ditore të telefonatave mund të variojnë për arsye të shumëfishta:

përfshirja e ndryshimeve me qëllim suportin, pushimet, sezonaliteti vjetor dhe variacioni

stokastik. Duke qënë se shqetësimi ynë është në lidhje me variacionin stokastik, do të injorojmë

çështjet e sezonalitetit të strukturuar dhe me gamë të gjërë dhe do të fokusohemi tek variacioni

stokastik ditë pas dite.

Supozimi është që telefonatat ditore gjenerohen nga një proces stacionar me efektet e ditëve të

javës dhe ditëve të pushimit. Matematikisht supozojmë një model të trajtës së mëposhtme:

�̂� = �̅� + 𝑏𝐻𝑑𝐻 + 𝑏𝑀𝑑𝑀 + 𝑏𝐸𝑑𝐸 + 𝑏𝑃𝑑𝑃 + 𝑏𝑆𝐻𝑑𝑆𝐻 + 𝑏𝐷𝑑𝐷 + 𝑏𝑃𝑈𝑑𝑃𝑈 + 𝜀 (1.1)

ŷ përfaqëson volumet e telefonatave të parashikuara në një ditë të dhënë. ȳ është mesatarja e

përgjithshme e volumeve të telefonatave. Kemi variablat “dummy” (dH – dD) për efektet e ditëve

të javës (në mënyrë arbitrare zgjedhim të Mërkurën si ditë referimi). Çdo “dummy” përfaqëson

ndryshimin mesatar në volume ditore që lidhen me të Mërkurën, për shembull dM përfaqëson

diferencën mesatare në telefonata ndërmjet një të Mërkure dhe një të Hëne. dH është një variabël

“dummy” i ngjashëm për efektet e pushimeve (fundjavës). Përshtasim një model duke përdorur

metodën e katrorëve më të vegjël për 6 muaj të dhëna afërsisht dhe marrim rezultatet e

mëposhtme:


8

Tabela 1-3 Rezultatet e Modelit të Regresionit

Ky model siguron një përshtatje të përgjithshme perfekte me të dhënat me një nivel shumë të

lartë të R2 dhe me vlerën e përshtatur të R2. Çdo variabël “dummy”, përveç të Enjteve, është i

rëndësishëm në nivelin 0.01, kurse e Enjtja është e rëndësishme në nivelin 0.06. Kjo mbështet

nocionin e efekteve të forta të sezonalitetit të ditëve të javës.

Duke u bazuar tek ky regression një model i parë për këtë proces të mbërritjes së telefonatave

është si më poshtë:

�̂� = 727 + 141𝑑𝐻 + 69𝑑𝑀 - 45𝑑𝐸 - 109𝑑𝑃 - 670𝑑𝑆𝐻 - 651𝑑𝐷 - 610 + 𝜀 (1.2)

me një devijim standart σ = 85.74. Tani duhet të testojmë supozimin e mëposhtëm të modelit

linear të regresionit; në mënyrë të veçantë shpresojmë të konfirmojmë që mbetjet janë të

pavarura dhe me shpërndarje normale.

Analiza autoregresive

Një supozim i modelit linear të regresionit është pavarësia e mbetjeve, por është e arsyeshmë

të supozojmë që të dhënat e mbërritjes mund të shfaqin një varësi autoregresive. Për të testuar

për këtë efekt, performojmë një analizë të serive kohore në lidhje me mbetjet nga modeli bazë

i regresionit. Referenca klasike për analizën e serive kohore është (Box, Jenkins et al. 1994).

Tabela e mëposhtme tregon grafikët e Autokorrelacionit dhe Korrelacionit të pjesshëm për

mbetjet:


9

Figura 1-4 Grafikët e Autokorrelacionit dhe Korrelacionit të Pjesshëm

Tabela tregon përgjithësisht nivele të ulëta korrelacioni me vëzhgimet e lag-eve. Ekziston një

korrelacion i dobët pozitiv midis lag-ut dy ditor. Spekulojmë që ky lag është i lidhur me

telefonatat e përsëritura për probleme të pazgjidhura më parë. Një test standart diagnostifikues

për autokorrelacionin është ai Durbin – Watson (Kutner, Nachtsheini et al. 2005). Nga analiza

fillestare e regresionit, statistika Durbin – Watson është 1.68, që na lejon të arrijmë në

konkluzionin që autoregresioni nuk është i rëndësishëm.

Duke qënë se efekti i autoregresionit është goxha i ulët, shton kompleksitet të rëndësishëm tek

modeli dhe meqë është një vlerë e limituar, do të zgjedhim ta injorojmë atë dhe të vazhdojmë

me një model jo-autoregresiv ne analizat e ardhshme.

Shpërndarja e mbetjeve

Një supozim tjetër i rëndësishëm i modelit të regresionit linear është varianca konstante e

raportit të mbetjeve. Figura e mëposhtme tregon mbetjet sipas ditëve të javës.

Figura 1-5 Mbetjet sipas Ditëve të Javës


10

Figura tregon në mënyrë të qartë që varianca e mbetjeve nuk është e pavarur nga ditët e javës.

Të shtunat, për shembull, kanë volume mesatare shumë më të ulëta dhe variancë shumë më të

ulët se të Hënat. Kjo sjell që supozimet e modelit të regresionit linear standart nuk kënaqen.

Kjo duhet të jetë e dukshme nga output-i i regresionit ku devijimi standart i volumeve është më

i madh se sa volumet mesatare të Shtunave. Kjo sjell që mund të ndodhin telefonata negative

me probabilitet pozitiv, gjë që nuk ka kuptim për këtë rast.

Kjo analizë tregon që modeli i regresionit linear standart nuk është i vlefshëm, por kemi

përcaktuar çka më poshtë:

• Efektet e ditëve të javës janë statistikisht të rëndësishme për çdo ditë të javës.

• Efektet e ditëve të javës shpjegojnë një raport të rëndësishëm të variacionit në volumet

e telefonatave.

• Pasi konsiderohen efektet e ditëve të javës, efektet autoregresive janë minimale dhe

mund të injorohen.

• Varianca në volumet e telefonatave është e varur nga ditët e javës.

Ka disa masa korrektive që mund të përdoren për të adresuar çështjen e variancës siç është

transformimi i të dhënave ose katrorët më të vegjël të peshuar (Kutner, Nachtshein et al 2005).

Gjithsesi, të dhënat tona sugjerojnë një përqasje të qartë. Do të supozojmë që volumet në çdo

ditë janë një ekstrakt i rastësishëm i pavarur nga një shpërndarje normale me një mesatare dhe

devijim standart specifikë për atë ditë të javës. Duke qënë se kemi treguar që efektet

autoregresive janë minimale, supozimi i pavarësisë është i justifikuar. Duke qënë se volumet e

çdo dite gjenerohen nga një proces i pavarur, varianca e volumeve të çdo dite mund të jetë

unike.

Mbërritjet brenda ditës

Pasi zhvilluam një model të volumeve ditore të telefonatave, tani duhet të zhvillojmë një model

se si mbërrijnë këto telefonata gjatë ditës. Është e qartë nga Figura 1-3 që norma e mbërritjeve

varion në mënyrë të konsiderueshme gjatë ditës dhe ne nuk mund të supozojmë një normë

mbërritjeje konstante. Një përqasje e zakonshme në praktikë është të supozohet një formë fikse

e skemës së kërkesës që thjesht spostohet vertikalisht me volumet. Matematikisht kjo sjell që

volumet e telefomatave në secilën të jetë një porcion fiks i volumeve ditore. Gjithsesi grafiku

në Figurën 1-4 tregon që për një periudhë volumet janë më të ndryshueshme sesa do të na

tregonte ky supozim. Në figurën e mëposhtme tregohet raporti mesatar i volumeve ditore të

telefonatave në çdo periudhë 30 minutëshe, bashkë me koeficientin e variacionit të atij raporti.


11

Figura 1-6 Variacioni/Periudhë i Volumeve të Telefonatave

Ky grafik tregon në mënyrë të qartë që raporti i volumeve të telefonatave gjatë secilës periudhe

nuk është fiks. Ndërkohë që kurba e volumeve të telefonatave është e sheshtë në mënyrë të

dukshme gjatë periudhës më të zënë të ditës, është në rangun 0.2-0.3 duke treguar variacion të

konsiderueshëm stokastik. Gjatë periudhave më të ngadalta volumet janë shumë të ulëta dhe

shumë të ndryshueshme.

Ndërkohë që të dhënat refuzojnë në mënyrë të qartë supozimin e raportit, ne mund të supozojmë

që volumet e telefonatave në çdo periudhë janë një raport i volumeve totale ditore pt, ku pt është

një variabël i rastit. Analiza jonë tregon që gjatë orëvë të zëna (6 paradite deri ne 5 mbasdite)

raporti i voumeve të telefonatave prezent në periudhën çdo gjysëm ore kanë një shpërndarje

afërsisht normale më një koeficient të variancës afërsisht 0.2.

Grafiku i mëposhtëm tregon shpërndarjen e raportit të telefonatave gjatë orarit 08:00 – 08.30

paradite për një projekt të caktuar:


12

Figura 1-7 Grafiku Normal i Raportit të Mbërritjeve

Pjesa e majtë tregon një histogramë të raportit të volumeve ditore të marra gjatë kësaj periudhe

për çdo vëzhgim. Pjesa e djathtë e grafikut është një diagramë normale e kuantileve të të

dhënave të njejta. Histograma dhe digrama e kuantileve tregon që shpërndarja normale është

një përshtatje e arsyeshme për shpërndarjen e raportit të telefonatave në këtë periudhë kohe.

Analiza e mëtejshme tregon rezultate të ngjashme për periudhat e zëna të ditës së punës.

Volumet e telefonatave gjatë orëve jo të pikut janë zakonisht të pavarura nga volumet totale

ditore. Gjatë orëve të darkës volumet e telefonatave të prezantuara kanë shpërndarje afërsisht

normale pa ndikim të rëndësishëm të ditëve të javës. Gjatë orëve të natës telefonatat janë një

event i rrallë (gjatë shumë orëvë nuk ka fare telefonata).

Mund të supozojmë në mënyrë të arsyeshme një model ku raporti i telefonatave të volumeve

ditore ka shpërndarje normale përgjatë orëvë më të zëna. Gjatë orareve të ngadalta ky supozim

gjen më pak mbështetje tek të dhënat. Megjithatë, konsiderimet praktike tregojnë që ky supozim

do të japë pak gabim në modelin tonë. Rikujtojmë që motivimi ynë kryesor është të zhvillojmë

një model të volumeve të telefonatave që të mund të përdoret për qëllime skedulimi: proçedurat

standarte operative kërkojnë që një minimum prej dy operatorësh stafohen në të gjitha

periudhat, gjë që sjell kapacitet të madh në periudhat e ngadalta. Për më tepër, marrëveshjet e

niveleve të shërbimit bazohen tek të përgjigjurit të një raporti të caktuar telefonatash në një

kohë të caktuar. Duke qënë se raporti total i telefonatave të marra në periudhat e ngadalta është

shumë i ulët, gabime të vogla në volume gjatë kësaj periudhe do të kenë një impakt të limituar

në nivelet totale të arritura të shërbimit.

Duke u bazuar tek këto konsiderata do të përdorim një model statistik që supozon që raporti i

volumeve totale ditore gjatë çdo gjysëm ore është një variabël random me shpërndarje normale.

Do të parashikojmë parametrat e këtij variabli random duke llogaritur raportin e volumeve të

marra në çdo gjysëm ore përgjatë të gjitha ditëve të javës në bashkësinë tonë të të dhënave. Më

pas do të llogarisim devijimin mesatar standart të këtij kampioni.

Simulimi i modeleve të mbërritjes se telefonatave


13

Ky model i thjeshtuar i zhvilluar më lart tregon një përqasje të arsyeshme të një procesi

stokastik që gjeneron një skemë të mbërritjeve të telefonatave. Një algoritëm për të gjeneruar

një javë të teleofnatave të simuluara tregohet në figurën më poshtë:

Figura 1-8 Algoritmi i Simulimit të Gjenerimit të Telefonatave

Algoritmi ka tre cikle. Në ciklin e parë llogarisim volumet ditore të telefonatave duke gjeneruar

variabla random normalë me mesatare ditore dhe devijim standart. Në ciklin e dytë llogarisim

raportin fillestar të volumeve ditore të hasura në çdo periudhë prej 30 minutash. Cikli i tretë

normalizon raportin dhe llogarit mesataren e hasur të volumeve në çdo periudhë dhe normën

përkatëse të mbërritjes.

1.3. Braktisja e telefonatave

Një konsideratë e rëndësishme në operacionet e call center-it është braktisja e telefonatave,

sasia e telefonuesve që vendosin të mbyllin telefonatën përpara se t’u shërbehet. Norma e

braktisjes është një parametër kyç që haset në shumicën e call center-ave. Në këtë kontekst

firma bën një dallim ndërmjet braktisjeve pozitive dhe atyre negative. Braktisjet pozitive janë

sasia e telefonuesve që mbyllin telefonatën pa pritur për një periudhë të gjatë kohe. Logjika

është që kur një problem i njohur identifikohet një mesazh i regjistruar jepet zakonisht pëpara

çdo telefonate duke cituar problemin dhe zgjidhjen e mundshme. Telefonuesit që dëgjojnë këtë

mesazh dhe e mbyllin supozohet që janë shërbyer pasi mësuan që problemi i tyre është i njohur

dhe mësuan gjithashtu zgjidhjen e atij problemi. Për këtë arsye, braktisjet positive nuk

konsiderohen si një problem. Formalisht, braktisjet positive llogariten zakonisht si numri i

telefonuesve që braktisin me kohë pritjeje 30 sekonda ose më pak.

Braktisjet negative nga ana tjetër ndodhin kur një telefonues vendos të presë gjatë kësaj

periudhe fillestare, por së fundmi mbyll telefonatën përpara se të shërbehet. Normat e braktisjes

kanë tendencë të variojnë në mënyrë të gjërë dhe janë të lidhura me kohën e pritjes. Kur krijohen

radhë koha e pritjes rritet dhe telefonuesit ka më shumë gjasa të braktisin radhën. Norma e

braktisjes si pasojë ka tendencë të jetë në vlerat më të larta kur volumet janë të larta dhe

kapaciteti i vogël.


14

Grafiku i mëposhtëm tregon normën ditore të braktisjes për një projekt të caktuar për një

periudhë tre mujore:

Figura 1-9 Norma e Braktisjeve – Projekt Stabël

Norma e braktisjes shihet që varion në mënyrë të konsiderueshme dhe ka pikun e saj gjatë

ditëve shumë të zëna. Norma e përgjithshme e braktisjeve për këtë projekt është zakonisht në

rangun 4%-6%, rrallë poshtë 2% dhe aq e lartë sa 15%. Projekti i caktuar i treguar në këtë rast

është një projekt relativisht stabël me braktisje relativisht të ulët.

Norma e braktisjes për një projekt më të paqëndryeshëm tregohet në figurën e mëposhtme:


15

Figura 1- 10 Norma e Braktisjeve – Projekt jo Stabël

Ky problem i caktuar ka hasur probleme serioze të cilësisë së shërbimit në fillimet e Majit si

pasojë e ndryshimeve që shkaktuan rritjen e volumeve të telefonatave më shpejt sesa rritja e

kapacitetit. Mesatarja e kohës së pritjes u rrit në 20 minuta dhe një numër i konsiderueshëm i

telefonuesve vendosën të braktisin telefonatat. Normat e braktisjeve ishin në pikun e tyre mbi

50% për disa ditë dhe edhe pas rregullimeve të kapacitetit normat ngelën në nivelet 20%-30%.

Në këtë periudhë norma mesatare e braktisjs për 11 projektet e listuara në Tabelën 1-2 varionte

nga 2.5% në 22%. Në total kjo analizë tregon që braktisja është një çështje e rëndësishme që

ka nevojë të konsiderohet në çdo model planifikimi.

1.4. Projektet e konsideruara ne model

Nëpërmjet këtij punimi do të analizojmë modelet e vendimit të zhvilluara në kontekstin e disa

projekteve model. Këto projekte model bazohen në projekte reale aktualisht në operim. U

zgjodhën këto projekte në mënyrë që të mund të analizohet sjellja e modeleve nën disa kushte

të ndryshme reale operative. Secili projekt ka karakteristika unike që krijojnë sfida operative.

Duke i marrë së bashku, kjo bashkësi projektesh siguron një bazë të gjërë testesh mbi të cilat

mund të vlerësohen modelet.

Projektet që do të rishikojmë janë të përmbledhura më poshtë:

• Projekti A: shërbim help desku për një kompani të madhe italiane

• Projekti B: shërbim help desku që suporton operacionet e një zinxhiri supermarketesh

në Itali

• Projekti C: shërbim help desku që suporton operacionet e një sistemi mesatar shitjesh

me pakicë në Itali.

Projekti A


16

Projekti A siguron suport Help Desku për afërsisht 30.000 përdorues në 13 vende të ndryshme

në Itali. Projekti ka afërsisht 98 persona të dedikuar, nga të cilët 45 afërsisht janë të dedikuar

për të dhënë suport help desku. Help desku merr afërsisht 16.000 telefonata në muaj. Projekti

është subjekt i një SLA 80/60 dhe gjithashtu një normë të FCR prej 75%. Koha e bisedës në

këtë projekt është afërsisht 12 minuta. Volume ditore të telefonatave për këtë projekt janë

relativisht stabël siç tregohet në grafikun e mëposhtëm:

Figura 1-11 Mbërritjet Ditore të Projektit A

Duke qënë se projekti suporton në mënyrë primare përdorues korporate, volumet e telefonatave

gjatë fundjavës kanë tendencë të jenë mjaft të ulëta. Një ditë tipike e fundjavës ka 40-60

telefonata, ndërkohë që gjatë ditëve të javës volume e telefonatave janë zakonisht ne rangun

500 – 800 telefonata, edhe pse volumet janë më të larta gjatë ditëve shumë të zëna. Ky projekt

shfaq një diagramë tipike të sezonalitetit javor, me volumet që zakonisht ulen gjatë javës së

punës.

Diagrama brenda ditës gjithashtu ndjek një diagramë standarte të projekteve të korporatës: një

pik gjatë orëve të mëngjesit herët, i ndjekur nga një qetësi drastike dhe një pik tjetër më i vogël

gjatë mbadites. Grafiku i mëposhtëm tregon këtë që sapo shpjeguam:


17

Figura 1-12 Mbërritjet brenda ditës për Projektin A

Projekti B

Projekti B i jep suport një zinxhiri supermarketesh që po kalon një pengesë në prodhim si pasojë

e një shkrirjeje. Volumet kanë tendencë të jenë shumë të larta dhe të paparashikueshme. Projekti

suporton afërsisht 350.000 përdorues në 2.400 dyqane. Projekti gjeneron 40.000 – 45.000

telefonata në muaj. Afërsisht 125 persona janë të dedikuar në këtë projekt. Grafiku i mëposhtëm

ilustron volumet ditore gjatë një periudhe që përfshin prezantimin final në një proces me faza

të ndryshimit.

Figura 1-13 Mbërritjet Ditore të Projektit B


18

Shohim që volumet e telefonatave kanë tendencë të jenë më të paqëndrueshme. Mund të shohim

gjithashtu që duke qënë se dyqanet janë të hapura 7 ditë në javë, volumet e fundjavave kanë

tendencë të jenë shumë më të larta se sa një projekt korporatash. Diagrama e sezonalitetit brenda

ditës është gjithashtu ndryshe për këtë projekt, siç e tregon edhe grafiku i mëposhtëm:

Figura 1-14 Mbërritjet Mes. brenda Ditës për Projektin B

Pjesa e dy kurbave të projektit të korporatës është shumë më pak e theksuar dhe rënia e darkës

e volumeve të telefonatave është shumë më graduale. Ky projekt është subjekt i një SLA

80/120. Koha e bisedës për këtë projekt është mesatarisht 12.5 minuta.

Projekti C

Projekti C siguron suport për nje zinxhir mesatar shitjesh me pakicë. Projekti suporton afërsisht

15.000 përdorues për 1.070 dyqanet e zinxhirit dhe për zyrat e korporatës. Projekti gjeneron

afërsisht 15.000 telefonata në muaj dhe ka afërsisht 40 persona stafi të dedikuar. Siç e tregon

grafiku i mëposhtëm, projekti është në mënyrë të konsiderueshme më i vogël se projekti B dhe

në mënyrë të përgjithshme është më pak i paqëndrueshëm, edhe pse është subjekt i pikeve

shumë të mëdha. Digrama ditë pas dite është e ngjashme me projektin B.


19

Figura 1-15 Mbërritjet Ditore të Projektit C

Diagrama ditore ka shumë më pak sezonalitet sesa projektet e tjera. Majat që arrihen në mëngjes

dhe mbasdite për projektet e tjera, janë shumë të limituara në këtë projekt.

Figura 1-16 Mbërritjet Mes. brenda Ditës për Projektin C

Modelet statistikore të Projekteve Model


20

Modelet statistikore u zhvilluan për secilin nga këto projekte duke përdorur përqasjen e

shpjeguar më parë në këtë kapitull. Për secilin projekt eliminuam pushimet nga bashkësia e të

dhënave dhe identifikuam ditët me lëvizje të mëdha. Efekti i ditëve të javës u llogarit më pas

duke parashikuar mesataren dhe devijimin standart të mbërritjeve për çdo ditë “normale”. Më

pas parashikuam raportin e telefonatave të marra për çdo 30 minuta me devijimin standart të

lidhur me to. Në fund u parashikua probabiliteti , mesatarja dhe devijimi standart “shock”. Një

përmbledje e të dhënave për secilin nga projektet model tregohet në tabelën e mëposhtme:

Projekti A Projekti B Projekti C

Baza e suportit Korporatë

Shitje me

Pakicë

Korporatë/ Shitje me

Pakicë

Kohëzgjatja e shërbimit 24x7 24x7 24x7

SLA 80/60 80/120 80/120

Volumet Mesatare Javore 3825 10600 3000

Koha e bisedës 12 12.5 14

Probabiliteti "shock" 0 3% 1.30%

Mesatarja e Volumeve

"shock" 0 792 267

Devijimi Standart "shock" 0 72 20

Tabela 1 - 4: Përmbledhja e Projekteve Model

Ndërkohë që këto parashikime bazohen tek të dhënat e disa muajve, një përshtatje më e saktë

e modelit do të kishte nevojë për një bashkësi të dhënash më të gjërë. Parashikimi i parametrave

“shock” në mënyrë të veçantë ishte sfiduese duke marrë parasysh madhësinë e bashkësisë së të

dhënave. Qëllimi ynë nuk ishte të zhvillonim modele specifike të parashikimit për këto

projekte; qëllimi është të zhvillojmë modele përfaqësuese dhe realiste të projekteve që mund të

përdoren për të validuar modelet e vendimmarrjes dhe për të gjeneruar një perceptim brenda

karakteristikave operacionale të klasave të ndryshme të projekteve.

1.5. Përmbledhje

Analiza e operacioneve të kësaj kompanie siguron motivimin dhe të dhënat për të mbështetur

zhvillimin e modeleve të ndryshme të menaxhimit të skedulimit. Të dhënat tregojnë variacionin

e rëndësishëm të ngarkesës dhe ilustrojnë sfidën në menaxhimin e skedulimit. Projektet model

të zgjedhura gjithashtu tregojnë qëllimin përkatës të operacioneve në lidhje me operacionet e

shërbimit (help desk).

Në këtë kapitull u prezantua një analizë empirike e të dhënave. Qëllimi i këtij rishikimi është

për të theksuar disa nga sfidat kryesore operacionale të lidhura me këtë lloj sektori, për të

siguruar të dhëna përfaqësuese për analiza të mëtejshme dhe për të motivuar një bashkësi me

probleme optimizimi. Ndërkohe që këto të dhëna janë mbledhur nga një kompani e vetme, ato


21

përfaqësojnë kompani të tjera me të njejtat lloje të dhënash dhe për këtë arsye janë shumë të

përgjithshme. Vëzhgime të rëndësishme që mund të bëhen nga kjo analizë përfshijnë:

• Mbërritjet janë shumë variabël.

• Mbërritjet tregojnë sezonalitetin e ditëve të javës dhe orëve të ditës

• Parashikimi i mbërritjeve është shumë i vështirë dhe i prirur drejt gabimeve të

konsiderueshme.

Nga këto të dhëna ne identifikojmë disa pyetje kërkimore të vlerës teorike dhe praktike. Këto

pyetje përfshijnë të mëposhtmet:

• Çfarë duhet të masim në kushte pasigurie kur skedulojmë operatorët e call center-it?

• Çfarë ndikimi kanë pasiguria dhe variacioni në nivelet optimale të stafit?

• Si mund të krijojmë sisteme operative më rezistente ndaj madhësive rastësore dhe

variacionit?

Përgjigja e këtyre pyetjeve vjen duke zhvilluar dy modelet e përmendura më parë të menaxhimit

të skedulimit të call center-it.


22

KAPITULLI 2: NJË VËSHTRIM I DISA MODELEVE

BASHKËKOHORE STOKASTIKE TË OPERACIONEVE NË

CALL CENTER

Në këtë kapitull do të rishikohen dhe përmblidhen disa nga modelet bashkëkohore Stokastike

të Operacioneve në CC, të cilët do të jenë baza për strukturimin e modeleve të trajtuara për

rastin tonë. Do të shikohen modelet e lidhura me fushat e mëposhtme:

• Planifikimi i fuqisë punëtore: Do të shikohen modelet taktike dhe strategjike të

lidhur me planifikimin e kapacitetit të fuqisë punëtore, analiza e shpërdorimeve

dhe modelet e sistemeve të planifikimit të fuqisë punëtore në praktikë.

• Call Center-at: modelet që adresojnë në mënyrë specifike operacionet e call

center-ave.

• Optimizimi stokastik: modelet që adresojnë çështjet metodologjike të lidhura me

optimizimin në kushtet e mbërritjeve të rastit.

• Dizenjimi i Eksperimenteve Statistikore: Modelet që adresojnë çështjet

metodologjike të lidhura me dizenjimin, ekzekutimin dhe analizën e

eksperimenteve statistikore

2.1. Planifikimi i fuqisë punëtore

Planifikimi i fuqisë punëtore u kthye në një çështje shumë të famshme në vitet e fillimit të

Kërkimeve Operacionale. Shumë artikuj kërkimorë dhe tekste të ndryshme (Holt, Modigliani

et al. 1960; Charnes, Cooper et al.1978; Bartholomeë and Forbes 1979) adresuan aspekte të

problemit të planifikimit të fuqisë punëtore duke u bazuar në gjatësinë e horizontit të

planifikimit.

Në planifikimin taktik, kapaciteti i fuqisë punëtore konsiderohet fiks dhe objektivi është të

zhvillohen skedulime efiçente që të balancojnë objektivat dhe kufizimet e qëndrueshme dhe

individuale. Planifikimi afatshkurtër përfshin përcaktimin në kohë graduale kërkesat për fuqi

punëtore. Kurse turnet përfshijnë caktimin e individëve në orare specifike. Në planifikimin

strategjik, kapaciteti i fuqisë punëtore është një variabël i zgjedhjes. Në planifikimin afatmesëm

kërkojmë të bëjmë sistemime të kapacitetit afër afatit nëpërmjet punësimeve të reja dhe

përfundimeve të kontratave. Planifikimi afatgjatë përfshin formimin e fuqisë punëtore në një

periudhë të zgjeruar kohe dhe konsideron çështje si progresi në karrierë dhe ndryshimin e

kompetencave. Gjithashtu do të rishikohet literatura e bazuar në praktikë, artikuj që

konsiderojnë se si modelet e planifikimit të fuqisë punëtore janë aplikuar në kompani reale.

Problemi i planifikimit taktik merret me caktimin e një numri specifik personash në skedulime

të detajuara. Ky problem është analizuar në literaturë gjerësisht, që daton nga problemi i

bashkësisë së mbulimit fillimisht i modeluar nga Dantzig në vitin 1954 (Dantzig 1954). Modeli

i Dantzig formuloi skedulimin taktik si një programim linear. Modeli i tij supozon se dita e

punës mund të ndahet në një numër periudhash diskrete, të themi bashkësi prej 15 ose 30

minutash, dhe se numri i kërkuar i punonjësve për secilën periudhë kohore mund të

specifikohet. Modeli i Dantzig gjithashtu supozonte se një numër i turneve të punës standarde

mund të përcaktohet, duke specifikuar periudhën e fillimit dhe mbarimit të punës, së bashku

me çdo ndërprerje.

Matematikisht modeli Dantzig mund të shprehet si:

Të minimizohet


23

∑ 𝑥𝑗𝑛𝑗=0 (2.1)

Me kushtin:

∑ 𝑎𝑡𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑡 , 𝑥𝑗 ≥ 0𝑛𝑡=0 (2.2)

Ku bt përfaqëson numrin e punonjësve të kërkuar në periudhën t dhe variabli i vendimit xt

nënkupton numrin e punonjësve të caktuar në turnin j. Koeficienti atj është i barabartë me një

nëse turni j punon në periudhën t dhe është zero në të kundërt. Në këtë formë të thjeshtë të

gjitha turnet janë njësoj të kushtueshme dhe objektivi është që të minimizohet numri total i

turneve të planifikuara. Një shtrirje e thjeshtë shton një koeficient kostoje cj në turn gjë që

lehtëson turnet e gjatësive të ndryshme, ose turne me diferenca në normat e pagave. Modeli i

Dantzig-ut kërkon një variabël vendimi për çdo turn që korrespondon me numrin e punonjësve

të caktuar dhe një kufizim për secilën periudhë kohore.

Ky model duket mjaft linear në sipërfaqe, por është në fakt mjaft i fuqishëm, dhe për fat të keq

mund të bëhet mjaft i ndërlikuar në llogaritje. Janë tre karakteristika që mund ta bëjnë atë të

vështirë në llogaritje.

Së pari, është kërkesa praktike që të gjithë variablet e vendimeve të jenë të vlerësuara si numra

të plotë2. E dyta është çështja e skedulimit të vazhdueshëm; që është 24 orë operacione pa

vonesa. Së fundi dhe ndoshta në mënyrë më të rëndësishme, është çështja e qartë e pushimeve

të skeduluara. Konsideroni një problem më të rëndësishëm që trajtohet në Henderson dhe Berry

(1976). Ata vlerësojnë një problem skedulimi të një operatori telefonik. Operatorët janë

skeduluar për turne 8 orarëshe, me një ndërprerje për pushim dreke me gjatësi variabël dhe

pushime prej 15 minutash të skeduluara në mënyrë eksplicite. Modeli adreson vetëm orët e

pikut të kërkesës nga ora 6:00 deri në 12 në mesnatë. Për shkak të kërkesës për të skeduluar një

pushim prej 15 minutash horizonti i planifikimit është i ndarë në 72 periudha prej

pesëmbëdhjetë minutash.

Kërkesat për organizimin e stafit janë përcaktuar në mënyrë të jashtme dhe ndryshojnë me

kalimin e kohës si në shembullin e mëposhtëm:

2 Modeli origjinal i Dantzig është zgjidhur me dorë si një Programim Linear. Ai sugjeroi rrumbullakimin

e zgjidhjeve si numra jo të plotë, ndërsa rrumbullakosja është një përqasje e zbatueshme për skedulimin

e një pike pagese në autostrada; nuk është praktike për një cell center me qindra, ose mijëra modele

potenciale turnesh


24

Figura 2-1 Kërkesat e Kampionimit të Operatorëve

Duke pasur parasysh mundësitë e ndryshme për kohën e fillimit dhe kombinimet e mundshme

të kohës së pushimit, modeli përfshin 7,120 variabla të ndryshëm vendimi. Modeli gjithashtu

përfshin 72 kufizime për të llogaritur kërkesën në secilën periudhë.

Kërkesa për të modeluar shprehimisht pushimet është e kushtueshme. Pa pushime ka më së

shumti 72 turne të ndryshme me kohë të plotë, një për çdo periudhë kohore diskrete. Pra,

plotësisht 98% e variablave të vendimit janë një rezultat i drejtpërdrejtë i problemit të

skedulimit të qartë të pushimeve. Vlen të përmendet se modeli Henderson dhe Berry thjeshton

problemin për të shmangur problemin e vazhdueshëm të organizimin të stafit (24 orë). Modeli

i tyre skedulon vetëm orët e pikut nga ora 6:00 deri në mesnatë, gjë që u lejon atyre të trajtojnë

çdo ditë si një problem skedulimi më vete. Pa këtë thjeshtim, numri i periudhave të skedulimit

do të rritej me një faktor shumëfishues të barabartë me numrin e ditëve në horizontin e

planifikimit.

Problemi i skedulmit të stafit është një rast i veçantë i problemit të bashkësisë së mbulimit në

të cilin objektivi është që të minimizohet shuma e ponderuar e bashkësisë së mbulimeve, me

peshat që janë kostoja e çdo turni. Problemi i Skedulimit të Stafit është i njohur të jetë “NP

Complete” (Problem polinomial jo determinist pa zgjidhje të njohur në kohë realiste), përveç

nëse ka karakteristikën ciklike 1 (Garey dhe Johnson 1979); që do të thotë nëse asnjë turn nuk

është i vazhdueshëm pa ndërprerje.

Të qënurit “NP Complete” nënkupton mungesën e një algoritmi të zgjidhjes për kohë

polinomiale.

Praktikisht kjo do të thotë se problemet e skedulimit të stafit që përfshijnë pushimet eksplicite

janë në thelb të pakapërcyeshme. Shumica e kërkimeve në lidhje me skedulimin e stafit është e

lidhur direkt ose indirekt me këtë problem kapërcimi.

Turne të vazhdueshme

Një numër artikujsh analizojnë problemet e skedulimit të stafit që nuk skedulojnë në mënyrë

eksplicite pushimet. Pa këtë kërkesë problemi nuk është më “NP Complete” dhe një numër

përqasjesh me kohë polinomiale janë në dispozicion. Segal tregon se pa pushime problemi

mund të modelohet si një problem i rrjedhës së rrjetit (Segal 1974). Baker shqyrton problemin

e skedulimit të infermierëve me orar të plotë për të përmbushur një kërkesë deterministike të

stafit në një seri artikujsh. Modeli i parë (Baker 1974a) konsideron vetëm punonjësit me orar

të plotë dhe përpjekjet për të gjetur një shpërndarje optimale të ditëve të pushimit gjatë një


25

skedulimi javor (7 ditor) ku çdo punonjës është skeduluar për dy ditë pushimi rresht. Një tjetër

artikull e shtrin këtë model për të lejuar fleksibilitetin e shtuar të skedulimit të punonjësve me

kohë të pjesshme së bashku me punonjësit me kohë të plotë (Baker 1974b). Një model i tretë

(Baker dhe Magazine 1977) përsëri konsideron vetëm punonjës me kohë të plotë, por vlerëson

një numër të ndryshëm politikash të ditëve pushim. Kjo seri artikujsh tregon se algoritme

efiçente mund të zhvillohen për raste specifike, duke shmangur nevojën për të zgjidhur

programimet me numra të plotë. Problemi i skedulimit të infermjereve është analizuar më tej

në një tjetër grup artikujsh nga Warner et al. Modeli në (Warner dhe Prawda 1972) gjithashtu

shmang problemin e pushimit eksplicit, por paraqet ndërlikime të tjera që gjithashtu e bëjnë

problemin e llogartijes të vështirë. Një tipar i rëndësishëm i këtij modeli është aftësia për të

zëvendësuar një klasë të infermierëve me një tjetër me një efiçencë proporcionale. Për

shembull, një person AB mund të skedulohet në vend të nje CD, por siguron vetëm 70% të

produktivitetit te CD-së. (Warner 1976) ndërton problemin e skedulimit të infermierëve dhe

trajton çështjen e planifikimit, caktimin e individëve specifikë në turne. Një rishikim i detajuar

dhe aktual i problemit të plnifikimit të infermierëve është dhënë në (Burke, De Causmaecker et

al. 2004),

Skedulimi i Pushimeve Fikse

Prezantimi i kohës eksplicite të pushimit në problemin e skedulimit shton kompleksitet

kompjuterik të konsiderueshëm, duke e bërë problemin të vështirë për probleme të madhësisë

mesatare.

Kërkuesit e kanë adresuar këtë problem në disa mënyra; përmes thjeshtimit të problemit, me

metoda heuriste dhe algoritme alternative. Modeli Henderson dhe Berry (Henderson dhe Berry

1976) zbaton dy lloj heuristikash. Heuristika e parë zvogëlon numrin e llojeve të turneve, duke

skeduluar vetëm kundrejt një grupi të reduktuar skedulimesh të referuara si nëngrupi i punës.

Përafrimi i dytë është algoritmi i skedulimit; autorët përdorin 3 heuristika të ndryshme

skedulimi.

Një rrymë alternative e kërkimit sulmon problemin duke përdorur një përqasje skedulimi

implicite. Modelet implicite të skedulimit zakonisht përdorin një përqasje me dy faza, duke

gjeneruar një skedulim të përgjithshëm në fazën e parë, dhe pastaj vendosja e pushimeve në

fazën e dytë. Përqasje implicite skedulimi janë adresuar në (Bechtold dhe Jacobs 1990),

(Thompson 1995) dhe (Aykin 1996). (Thompson 1995) përfshin një përmbledhje të artikujve

të lidhur dhe më pas zhvillon një Model Skedulimi të Turneve Dyfish Implicite (DISSM).

(Aykin 1996) Disa artikuj të tjerë adresojnë probleme të ngjashme (Brusco dhe Johns 1996,

Brusco dhe Jacobs 1998, Brusco dhe Jacobs 2000).

Një përmbledhje e shkurtër e një përqasjeje me dy faza për skedulimin në një mjedis call center-

i është parashikuar në seksionin 12.7 të (Pinedo 2005). Ky model është i motivuar nga një

aplikim i call center-it ku kërkesat e punonjësve janë të përcaktuara në mënyrë të jashtme dhe

pushimet duhet të skedulohen.

Pinedo e përmbledh përqasjen e tij në figurën e mëposhtme:


26

Figura 2-2 Përqasja interaktive e Skedulimit

Hapi “Zgjidh Rrugë të Sigurta” përdor një përqasje të programimit matematikor për të

përshtatur skedulimet pa konsiderata pushimi drejt Kërkesës Objektiv. Kërkesa Objektiv është

kërkesa e përgjithshme e fryrë për të qënë disi më e lartë se kërkesa aktuale për të llogaritur

humbjet për shkak të pushimeve. Vendosja e hapit të pushimeve përdor heuristikën për të

skeduluar pushimet në rrugët e sigurta. Hapi i krahasimit të vlerësimit llogarit një funksion të

formës së mëposhtme:

ℑ = 𝛹− ∑ 𝑒−(𝑡) + 𝐻𝑡=1 𝛹+ ∑ 𝑒+(𝑡) 𝐻

𝑡=1 (2.3)

Në këtë llogartije diferenca ndërmjet nivelit të kërkuar të organizimit të stafit dhe nivelit të

skeduluar të organizimit të stafit është shënuar me e(t); e+(t) është niveli i mbi organizimit të

stafit dhe ψ+ është gjoba e mbi organizimit të stafit. Algoritmi kërkon të minimizojë masën

totale të kostos:

C = ℑ + ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑗 (2.4)

Një masë e pershtatshme e përgjithshme përcaktohet si zbutja:

L = ∑ 𝑒(𝑡)2𝐻𝑡=1 (2.5)

E cila llogaritet si shuma e devijimeve në katror nga kërkesat. (Cezik dhe L'Ecuyer 2007)

zgjidhin një problem të nivelit global të shërbimit duke përdorur simulimin dhe programimin

me numra të plotë. Ata përdorin simulimin për të vlerësuar arritjet në nivel të shërbimit dhe

programimin me numra të plotë për të gjeneruar skedulimin. Modeli i programimit me numra

të plotë gjeneron prerje nëpërmjet vlerësimit të nën gradientit të llogaritur nëpërmjet simulimit.

Modeli zgjidh problemin mesatar të mostrës dhe prandaj injoron pasigurinë në normën e

mbërritjes, por lejon aftësi të shumfishta. Ky model është një shtrirje e modelit të paraqitur në

(Atlason, Epelman et al 2004). Në një artikull të lidhur (Avramidis, Chan et al. 2007) përdoret

një algoritëm lokal kërkimi për të zgjidhur të njëjtin problem. Një model i lidhur paraqitet në

(Avramidis, Gendreau et al. 2007).

Literatura e planifikimit strategjik të kapaciteteve përgjithësisht ndahet në dy përqasje

plotësuese. Në një përqasje evolucioni i fuqisë punëtore modelohet si një proces stokastik që

evolon me kalimin e kohës (Bartolomeu dhe Forbes 1979; Bartolomeu 1982). Kjo përqasje

modelon në mënyrë eksplicite natyrën stokastike të punësimit, qarkullimit, përthithjes së

aftësive dhe kërkesës. Një përqasje alternative bazohet në një shembull optimizimi në të cilin


27

objektivi është të krijohet një grup kontrolli vendimesh përgjatë kohës që optimizohen disa

masa të performancës së sistemit, të tilla si kostoja totale, devijimi nga plani i organizimit të

stafit, ose fitimi i pritur (Holt, Modigliani et al. 1960). Punimet më të fundit kanë tentuar të

integrojnë pasigurinë dhe optimizimin, që është dhe fokusi i këtij kërkimi.

Kapaciteti i Fuqisë Punëtore si një Proces Stokastik

Modelet stokastike të sistemeve të fuqisë punëtore përqëndrohen në pasigurinë e qenësishme

në sistem. Bartholomew ofron një rishikim të përgjithshëm të aplikimit të modelimit stokastik

në sistemet sociale në (Bartholomew 1982), dhe një aplikim më specifik të këtyre principeve

në problemin i planifikimit të fuqisë punëtore në (Bartholomew dhe Forbes 1979). Një model

bazë përfshin një numër gradash diskrete të fuqisë punëtore. Gjendja e sistemit pastaj

përcaktohet si numri i punonjësve aktualisht në secilën gradë. Nëse bëjmë supozimet standarde

të Markovit atëherë sistemi mund të modelohet si një Zinxhir Markovian me Kohë Diskrete

(DTMC).

Shumë artikuj kanë ndërtuar mbi këtë model të thjeshtë Markovi për të analizuar sistemet e

fuqisë punëtore, duke futur objektiva të ndryshme të kontrollit në proces. Grinold zhvillon një

model stokastik të motivuar nga kërkesa për avionë detarë (Grinold 1976). Mjedisi evoluon si

një proces Markovian dhe kërkesa për aviatorë për pasojë ka një shpërndarje probabiliteti të

përcaktuar. Objektivi i kontrollit është pastaj për të gjetur politikën optimale të pranimit që

qeveris hyrjet e reja në sistem, dhe politikën e vazhdimit që rregullon lëvizjen përmes sistemit.

Një tipar i dobishëm i modelit është aftësia për të bërë dallimin ndërmjet numrit të punonjësve

bruto dhe personelit të kualifikuar dhe një implikim i rëndësishëm i këtij modeli është që

ndryshimet në kapacitet nuk janë të çastit por udhëhiqen nga vonesat që duhen për te trjanuar

rekrutimet e reja.

Kjo çështje trajtohet më tej në (Anderson 2001). Në këtë model kërkesa është nxitur nga një

proces sezonal i vazhdueshëm jostacionar i menduar për të përafruar një cikël biznesi. Modeli

në mënyrë eksplicite supozon që punonjësit përparojnë me norma diferenciale, ndryshe nga

normat deterministike në Grinold. Objektivi shkëmben koston e skontuar të plotësimit të

rekuiziteve të kërkesës me një normë gjobe për ndryshime të papritura në stokun e punonjësve.

Bazuar në këtë objektiv, Anderson përdor një përqasje dinamike të programimit për të

përcaktuar politikat optimale të kontrollit.

Një numër artikujsh të tjerë shqyrtojnë problemin strategjik të organizimit të stafit duke

përdorur një ambjentim stokastik. (Gans dhe Zhou 2002) zhvillojnë një model me kurbë të

mësimit dhe çështje stokastike të qarkullimit të personelit. (Gaimon 1997) shqyrton

planifikimin e fuqisë punëtore në kontekstin e punonjësve të IT-së me njohuri intensive.

(Bordoloi dhe Matsuo 2001) gjithashtu shqyrtojnë një mjedis pune me njohuri intensive me

qarkullim stokastik të punonjësve.

Planifikimi Strategjik i Fuqisë Punëtore si një Problem Optimizimi

Një përqasje alternative ndaj planifikimit të fuqisë punëtore bazohet në teorinë e optimizimit.

Themelet teorike të përqasjes optimizuese të fuqisë punëtore u zhvilluan në Holt et al. (Holt,

Modigliani et al. 1960). Holt vlerëson fuqinë punëtore si një komponent i kapacitetit produktiv

të një ndërmarrje prodhuese, duke vlerësuar vendimet e organizimit të stafit në një kontekst të

planifikimit të agreguar. Holt zhvillon një model katror të kostos që përfshin si shpenzimet e

mbajtjes së një fuqie punëtore dhe koston e ndryshimit të fuqisë punëtore. Modeli i kostos

katrore të Holt konvertohet në një model kostoje lineare në (Hanssmann dhe Hess 1960) dhe

zgjidhet nëpërmjet programimit linear. Modeli Holt është po ashtu i zgjeruar në (Ebert 1976)

me përfshirjen e produktivitetit të ndryshueshëm në kohë. Ebert përdor modelin e kostos katrore

direkt nga Holt, por lejon që produktiviteti të ndryshojë me kalimin e kohës ndërkohë që mësimi

zhvillohet. Ebert e zgjidh këtë programim jolinear duke përdorur një kërkim heuristik. Një


28

formulim alternativ që përfshin edhe efektet e kurbës së të nxënit është paraqitur në (Harrison

dhe Ketz, 1989). Ky model është jolinear por zgjidhet nëpërmjet programimit linear të

njëpasnjëshëm.

Të dyja përqasjet në planifikimin e fuqisë punëtore të përshkruara më sipër theksojnë aspekte

të ndryshme të sistemit dhe si të tilla kanë aplikime të ndryshme. Modelet stokastike në

përgjithësi janë abstraksione të nivelit të lartë të dobishme për identifikimin e fenomenit të

sistemit ose zhvillimin e politikave të përgjithshme. Modelet e optimizimit në anën tjetër janë

hartuar shpesh për të identifikuar veprimet e veçanta të menaxhimit por kanë tendencë të

injorojnë ndryshueshmërinë në sistem. Parametrat variabël zakonisht modelohen me vlerat e

pritshme të tyre dhe japin atë që njihet si problemi i vlerës mesatare që mund të rezultojë në

zgjidhje që janë larg nga optimalja (Birge dhe Louveaux 1997). Ndryshueshmëria e modelimit

në problemet e optimizimit ka të ngjarë të japë zgjidhje që janë superiore ndaj homologëve

deterministë, por zgjidhjet për këto programime stokastike janë të vështira për t'u gjetur.

Planifikimi i Fuqisë Punëtore në Praktikë

Ekztiston një numër artikujsh në literaturë që përshkruajnë implementimin e sistemeve të

planifikimit të fuqisë punëtore në praktikë. Shumë nga këto artikuj janë të përqendruar në

problemin e skedulimit taktik (Schindler dhe Semmel 1993) përshkruan një aplikacion që

përdoret për të skeduluar operatorët e stacionit ajror. (Mason, Ryan et al. 1998) trajton një

problem të ngjashëm, skedulimin e zyrtarëve të doganave në Aeroportin e Zelandës së Re.

(Gaballa dhe Pearce 1979) studiojnë skedulimin e operatorëve telefonikë në Quantas. (Andrews

dhe Parsons 1993) zhvillojnë një model që përcakton numrin e kërkuar të operatorëve për të

skeduluar në një call center bazuar në një optimizim të organizimit të stafit dhe shpenzimet e

shërbimit të klientit. (Saltzman dhe Mehrotra 2001) po ashtu shqyrtojnë çështjen e organizimit

të stafit të call center-ave. (Yu, Pachon et al. 2004) përshkruan një sistem të zhvilluar për

Continental Airlines që përfshin një përzierje interesante të vendime afatshkurtra dhe afatgjata.

Ka disa artikuj të tjerë në literaturë që adresojnë planifikimin strategjik të fuqisë punëtore në

praktikë, kryesisht në kontekstin e ushtrisë së Shteteve të Bashkuara. Një sistem i planifikimit

afatgjatë për Ushtrinë e SHBA-ve përshkruhet në 2 artikuj, (Holz dhe Wroth 1980) dhe (Gass,

Collins et al, 1988). (Bres, Burns et al. 1980) përshkruajnë një model të zhvilluar për Ushtrinë

e SHBA-ve në vitet 1970. (Shrimpton dhe Newman 2005) përshkruajnë një model të përdorur

për të përcaktuar fushat e karrierës për oficerët në Ushtrinë Amerikane. (Krass, Pinar et al.

1994) zhvillojnë një model për ndarjen e personelit për njësitë luftarake të marinës amerikane.

(Morey dhe McCann 1980) analizon çështjen e shpërndarjes së burimeve drejt rekrutimit.

2.2. Operacionet e Call Center-ave

Në këtë seksion do të diskuojmë modelet që adresojnë operacionet në Call Center-a. Ekzitojnë

tre kategori themelore që përshkruajnë objektivat e organizimit të stafit e të shërbimit të klientit

të call center-ave (Gans, Koole et al. 2003).

• Regjimi i drejtuar nga cilësia: kostot e pritjes së konsumatorëve supozohet të

dominojnë koston e kapacitetit dhe objektivi është që të shërbehet shumica e

konsumatorëve pa vonesë. Nivelet e organizimit të stafit rriten linearisht me ngarkesën

e ofruar. Shfrytëzimi mesatar në këtë regjim është zakonisht i ulët, në rendin e 65-75%

dhe koha mesatare e pritjes së klientit është gjithashtu e ulët.

• Regjimi i drejtuar nga efiçenca: kostot e organizimit të stafit supozohet të dominojnë

koston e vonesave të konsumatorit dhe objektivi operacional në këtë regjim është që të

maksimizohet efiçenca e operacioneve.


29

• Regjimi i drejtuar nga Efiçenca e Cilësisë (QED): një mjedis operacional që përpiqet

të gjejë një balancë midis efiçencës dhe shërbimit të klientit është regjimi QED.

Ndryshe nga regjimi i cilësisë ku përqindja e klientëve të vonuar është afër zeros, ose

nga regjimi i efiçencës ku përqindja e vonuar është afër njëshit, regjimi QED balancon

kostot dhe përpjekjet për të arritur një përqindje të qëndrueshme të vonesës ndërmjet 0

dhe 1. Operacionet QED janë të lehtësuara nga ekonomitë e shkallës, sepse organizimi

i stafit të call center-it është subjekt i organizimit të stafit me rrënjë katrore dhe është e

mundur që të arrihen nivele të larta të shfrytëzimit dhe probabilitet të ulët të pritjes nëse

shkalla e call center-it është e madhe.

Kjo kornizë shfrytëzohet për të kategorizuar kërkimet në shumë punime në literaturë.

Një sasi e konsiderueshme e kërkimeve adreson modelet bazë të radhëve të call center-ave. Tre

modelet bazë të radhëve të përdorura më shumë në literature janë modelet Erlang C, Erlang B

dhe Erlang A. I rishikojmë shkurtimisht këto modele dhe literaturën përkatëse.

Erlang C

Modeli Erlang C është identik me radhën M / M / N dhe përdoret gjerësisht në sistemet e

menaxhimit të fuqisë punëtore (WFM) (Gans, Koole et al 2003, Mandelbaum dhe Zeltyn 2004).

Modeli Erlang C konsideron një proces të mbërritjeve të Puasonit me normë konstante λ, të

pavarur dhe kohë shërbimi të shpërndarë në mënyrë eksponenciale me mesataren 1/μ, dhe një

grupim operatorësh homogjenë (statistikisht identikë). Supozohet se sistemi ka një numër të

pafundëm linjash dhe një radhë të pafundme, kështu që asnjë telefonues nuk bllokohet

asnjëherë. Për më tepër, modeli supozon që të gjithë telefonuesit të cilët hyjnë në radhë

përfundimisht janë shërbyer kështu që modeli nuk lejon braktisjen. Ky model jep formula

relativisht të drejtpërdrejta për matësit kyç të performancës.

Duke ndjekur terminologjinë në (Gans, Koole et al. 2003) do të përcaktohet si ngarkesë te

ofruar:

Ri ≡ 𝜆𝑖/𝜇𝑖 = 𝜆𝑖𝐸[𝑆𝑖] (2.6)

Dhe si intensitet trafiku (e thënë ndryshe si shfrytëzimi):

ρi ≡ 𝜆𝑖/(𝑁𝜇𝑖) = 𝑅𝑖/𝑁 (2.7)

Duke patur parasysh mungesën e braktisjes dhe supozimet e gjendjes së qëndrueshme të

modelit Erlang C, intensiteti i trafikur duhet të jetë në menyrë strike më pak se një për

stabilitetin e sistemit.

Probabiliteti i gjëndjes së qëndrueshme që të gjithë N operatorët të jenë të zënë jepet më pas si:

𝐶(𝑁, 𝑅𝑖) ≜ 1 − (∑𝑅𝑖

𝑚

𝑚!

𝑁−1𝑚=0 ) / (∑

𝑅𝑖𝑚

𝑚!+ (

𝑅𝑖𝑚

𝑁!) (

1

1−𝑅𝑖/𝑁)𝑁−1

𝑚=0 ) (2.8)

Kjo është identike me përqindjen e konsumatorëve që duhet të presin për t’u shërbyer nga

dikush:

P{W>0} = C(N,Ri) (2.9)

Parimi "Mbërritjet e Puasonit Shohin Mesataret e Kohës" (PASTA) i zhvilluar në (Wolff 1982;

Wolff 1989) nënkupton që vonesa e kushtëzuar në radhë ka një shpërndarje eksponenciale me

mesatare ( Nµi – λi )-1. Matësi i nivelit të shërbimit pastaj mund të shprehet si:


30

𝑇𝑆𝐹 ≜ 𝑃{𝑊 ≤ 𝑇} = 1 − 𝑃{𝑊 > 0} ∙ 𝑃{𝑊 > 𝑇|𝑊 > 0} = 1 − 𝐶(𝑁, 𝑅𝑖) ∙ 𝑒−𝑁𝜇𝑖(1−𝜌𝑖)𝑇 (2.10)

Matësi i shpejtësisë në përgjigje përcaktohet në mënyrë të thjeshtë si:

𝐴𝑆𝐴 ≜ 𝐸[𝑊] = 𝑃{𝑊 > 0} ∙ 𝐸[𝑊 > 𝑇 |𝑊 > 0] = 𝐶(𝑁, 𝑅𝑖) ∙ (1

𝑁) ∙ (

1

𝜇𝑖) ∙ (

1

1−𝜌𝑖) (2.11)

Një artikull i rëndësishëm që analizon modelin Erlang C në kontekstin e regjimit QED është

(Halfin dhe Whitt 1981). Ky artikull zhvillon parimin e mirënjohur të organizimit të stafit me

rrënjë katrore që përcakton që numri i operatorëve të jetë:

𝑁 = 𝑅 + 𝛽√𝑅 (2.12)

ku β është një sasi jo-negative që përcakton gradën e shërbimit. Rëndësia e përafrimit Halfin-

Whitt është nocioni që për një cilësi fikse të shërbimit, kërkesat e organizimit të stafit rritet me

rrënjën katrore të ngarkesës së ofruar. Ky parim i thjeshtë thekson natyrshëm ekonomitë e

shkallës në organizimit e stafit e call center-ave.

Në artikullin (Ekmekçiu 2017) aplikohet pikërisht modeli Erlang C për të analizuar

performancën e call center-it. Analiza tregon që modeli Erlang C është subjekt i gabimeve të

rëndësishme në performancën e sistemit të parashikimit pasi nuk merr parasysh normën e

braktisjes dhe punon më mire në rastet e call center-ave me numër te lartë operatorësh.

Erlang B

Erlang B është një model i humbjes, një model që supozon se numri i linjave në dispozicion

është saktësisht i barabartë me numrin e operatorëve. Në këtë model, telefonuesit ose shërbehen

menjëherë ose bllokohen nga radha (ata përballen me një sinjal të zënë). Erlang B, i njohur

gjithashtu si Formula e Humbjes së Erlang-ut, është shpesh i përdorur për të llogaritur numrin

e linjave që kërkohen për të arritur një probabilitet të dëshiruar bllokimi. Formula e Humbjes

së Erlang-ut është paraqitur në (Hall 1991) si:

𝑃(𝑖 ℎ𝑢𝑚𝑏𝑗𝑒𝑠 𝑠ë 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑡) =𝑟𝑚 𝑚!⁄

∑ 𝑟𝑖 𝑖!⁄𝑚𝑖=1

(2.13)

Edhe pse fillimisht rrjedh nga Erlangu nën supozimin e kohës eksponenciale të shërbimit,

ekuacioni (2.13) është treguar më vonë se aplikohet për çdo shpërndarje të kohës së bisedës.

Duke qenë se kostot e telekomunikacionit janë relativisht të ulëta, shumica e modeleve të

organizimit të stafit të call center-ave do të supozojnë kapacitet të mjaftueshëm të linjave në

mënyrë që asnjë thirrje të mos bllokohet dhe funksioni i humbjes të mos përdoret. Funksioni i

Humbjes së Erlang-ut nganjëherë përdoret në lloje të tjera të modeleve të radhës ku bllokimi

është i rëndësishëm, për shembull qendrat e traumave. Shihni (Cachon dhe Terwiesch 2006)

për disa shembuj.

Erlang A

Thjeshtësia relative e Erlang C është një rezultat i drejtpërdrejtë i supozimit relativisht të fortë

të mungesës së braktisjes. Siç kemi treguar në kapitullin e parë, normat e braktisjes në call

center-at e orientuara në dhënie shërbimi nuk janë të parëndësishme dhe injorimi i braktisjes

mund të sjellë gabim të rëndësishëm në model. Modelet e organizimit të stafit që injorojnë

braktisjen do të tentojnë të mbistafojnë call center-in për një nivel të synuar performance të

sistemit.

Modeli Erlang A i lejon telefonuesve që hyjnë në radhë për ta braktisur atë nëse pritja tejkalon

durimin e tyre. Në mënyrë të veçantë, modeli supozon se çdo telefonues ka një durim të


31

shpërndarë në mënyrë eksponenciale me një mesatare prej 1 / θ. Një telefonues që paraqitet me

një kohë të pritjes që tejkalon durimi e tij preferon ta mbyllë telefonatën se sa të presë në radhë.

Disa artikuj adresojnë modelin Erlang A. (Gans, Koole et al. 2003) diskutojnë shkurtimisht

modelin, ndërsa një pasqyrë më e plotë e modelit është dhënë në (Mandelbaum dhe Zeltyn

2004). Çështja e vlerësimit të parametrave dhe e ndjeshmërisë adresohet në (Whitt 2006a). Një

krahasim i plotë i modeleve Erlang A dhe Erlang C ofrohet në (Garnett, Mandelbaum et al.

2002). Ky artikull zhvillon heuristikë të organizimit të stafit në gjëndje të qëndrueshme për

secilin regjim të organizimit të stafit që janë analoge me heuristikën e organizimit të stafit me

rrënjë katrore Halfin-Whitt për modelin Erlang C. Ky punim gjithashtu paraqet përafrimet e

difuzionit për matësit kryesorë të performancës në modelin Erlang A.

Formulat e Erlang A janë dukshëm më të ndërlikuara se ato të modelit Erlang C. Probabilitetet

e gjëndjes së qëndrueshme për shpërndarjen e numrit të telefonuesve në sistem sigurohen në

artikullin e Palm dhe janë riprodhuar në një shtojcë të (Mandelbaum dhe Zeltyn 2004).

Shpërndarja në gjendje të qëndrueshme për modelin Erlang A jepet nga:

𝜋𝑗 = {

𝜋𝑛 ∙𝑁!

𝑗!𝑅𝑖𝑁−𝑗 , 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁

𝜋𝑛 ∙(𝜆𝑖 𝜃𝑖⁄ )𝑗−𝑛

∏𝑁𝜇

𝜃

𝑗−𝑛𝑘=1 +𝑘

, 𝑗 ≥ 𝑁 + 1 (2.14)

Ku

𝜋𝑛 =𝐸1,𝑛

1+[𝐴(𝑁𝜇

𝜃,𝜆

𝜃)−1]𝐸1,𝑛

(2.15)

𝐴(𝑥, 𝑦) ≜𝑥𝑒𝑦

𝑦𝑥 𝛾(𝑥, 𝑦) (2.16)

Dhe

𝛾(𝑥, 𝑦) ≜ ∫ 𝑡𝑥−1𝑒−𝑡𝑑𝑡, 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0𝑦

0 (2.17)

Është funksioni jo i plotë Gamma. Shprehja E1,n jep probabilitetit e bllokimit nga modeli Erlang

B:

𝐸1,𝑛 =𝑅𝑖

𝑚 𝑁!⁄

∑ 𝑅𝑖𝑗

𝑗!⁄𝑚𝑗=0

(2.18)

Probabiliteti që një telefonues duhet të presë jepet nga:

𝑃{𝑊 > 0} =𝐴(

𝑁𝜇

𝜃,𝜆

𝜃)𝐸1,𝑛

1+[𝐴(𝑁𝜇

𝜃,𝜆

𝜃)−1]𝐸1,𝑛

(2.19)

Koha e pritjes për një konsumator të futur në radhë është:

𝐸[𝑊|𝑊 > 0] =1

𝜃[

1

𝜌𝐴(𝑁𝜇

𝜃,𝜆

𝜃)

+ 1 −1

𝜌] (2.20)


32

Vlerësimi numerik i këtyre shprehjeve është i vështirë. Përafrime të dobishme të bazuara në

limitet e shpërndarjes janë zhvilluar në (Garnett, Mandelbaum et al. 2002). i përmbledh këto

llogaritje më poshtë.

Le të jetë φ(x) përfaqësuesi i funksionit i densitetit standard normal dhe Φ(x) shpërndarja

kumulative.

𝜙(𝑥) =1

√2𝜋𝑒−𝑥2 2⁄ (2.21)

Ф(𝑥) = ∫ 𝜙(𝑦)𝑑𝑦𝑥

−∞ (2.22)

Funksioni i normës së riskut më pas përcaktohet si:

ℎ(𝑥) =𝜙(𝑥)

1−Ф(𝑥)=

𝜙(𝑥)

Ф(−𝑥) (2.23)

Tani përcaktohen dy shprehjet e mëposhtme:

𝑤(𝑥, 𝑦) = [1 +ℎ(−𝑥𝑦)

𝑦ℎ(𝑥)]

−1

(2.24)

Gjithashtu përcaktohet grada e shërbimit β si:

𝛽 =𝑁−𝑅𝑖

√𝑅𝑖 (2.25)

Artikulli (Garnett, Mandelbaum et al. 2002) vazhdon të tregojë se si përafrimet për matësit

kryesorë të performancës mund të rrjedhin nga këto funksione. Në veçanti kemi këto shprehjet

e mëposhtme.

Probabiliteti që një telefonuesi i duhet të presë është:

𝑃{𝑊 > 0} ≈ 𝑤(−𝛽, √𝜇 𝜃⁄ ) (2.26)

Probabiliteti që pritja të jetë më e madhe se T është:

𝑃{𝑊 > 𝑇} ≈ 𝑤 (−𝛽, √𝜇

𝜃) ∙

ℎ(𝛽√𝜇 𝜃⁄ )

𝛹(𝛽√𝜇 𝜃⁄ , √𝑁𝜇𝜃𝑡)∙ 𝑒−𝜃𝑡 (2.27)

Probabiliteti i braktisjes është:

𝑃{𝐴𝑏} ≈ [1 −ℎ(𝛽√𝜇 𝜃⁄ )

(𝛽√𝜇 𝜃⁄ )+√𝜃 (𝑁𝜇)⁄] ∙ 𝑤 (−𝛽, √

𝜇

𝜃) (2.28)

Nga këto shprehje ne mund të shkruajmë një formulë për matësin tonë kryesor të Faktorit të

Shërbimit Telefonik (TSF). TSF është përcaktuar në praktikë si përqindja e të gjitha thirrjeve

hyrëse që janë shërbyer brenda T sekondave:

𝑇𝑆𝐹 ≜ 𝑃{𝑊 ≤ 𝑇⌊𝑆𝑟} = (1 − 𝑝{𝐴𝑏}) ∙ 𝐸{𝑊 > 𝑇} (2.29)

Ndërsa këto shprehje janë mjaft të komplikuara, ato janë relativisht të drejtpërdrejta për t'u

koduar dhe përdoren në llogaritjet numerike të zhvilluara në këtë tezë.


33

Modelet jostacionare

Modelet bazë të radhëve janë ndërtuar mbi supozimin e sjelljes afatgjatë të gjëndjes së

qëndrueshme me procese stacionare të mbërritjeve dhe të shërbimit. Siç tregohet në kapitullin

e parë, shpesh kjo nuk ndodh në praktikë. Në (Robbins, Medeiros et al. 2006) përdoret simulimi

për të treguar se norma e mbërritjes si madhësi e rastit mund të shkaktojë devijim të

rëndësishëm nga objektivat e matësve të performancës së call center-it. Problemi me modelimin

e normave të mbërritjes me variacion në kohë është se sistemi nuk do të arrijë kurrë një gjendje

të qëndrueshme. Ne kërkojmë kushte dhe modele që janë përafrime të arsyeshme dhe sistemi

mund të thuhet në ate pikë që është në gjendje pothuajse të qëndrueshme (Salla 1991). Ka disa

përafrime relativisht të thjeshta që mund të merren në konsideratë me norma mbërritjeje të

ndryshime në kohë (Jennings, Mandelbaum et al. 1996).

• Përafrimi i Thjeshtë Stacionar (SSA) - përdor modelin stacionar me normën mesatare

të mbërritjes afatgjatë.

• Përafrimi Stacionar me Pikë (PSA) - përdor modelin stacionar me normë të

menjëhershme të mbërritjes t.

• Përafrimi Stacionar i Pavarur Periudhë pas Periudhe (SIPP) - aplikon modelin stacionar

për periudha diskrete të planifikimit, shpesh segmente të ditës prej 15 ose 30 minutash.

Modeli SSA është një përafrim shumë i thjeshtë që është i dobishëm kur normat e mbërritjes

ndryshojnë shumë shpejt në krahasim me kohën e shërbimit, por është pothuajse konstante gjatë

periudhës afatgjatë (domethënë variacioni stokastik rreth një niveli të qëndrueshëm).

Modeli PSA është i dobishëm në modelet me norma mbërritjesh që ndryshojnë ngadalë në

krahasim me nivelet e shërbimit, por mund të shprehen (ose të përafrohen) si një funksion i

kohës, për shembull një normë mbërritjeje me ndyshime sinusoidale. Modeli PSA llogarit një

përafrim stacionar në çdo pikë në kohë dhe integrohet për të llogaritur mesataren. Një shembull

i një serveri të vetëm është paraqitur në seksionin 6.3 të (Hall 1991), një analizë më e detajuar

është paraqitur në (Green dhe Kolesar 1991). Në këtë artikull autorët supozojnë se normat e

mbërritjes ndryshojnë në mënyrë periodike dhe prandaj sistemi do të zhvillojë një sjellje të

qëndrueshme periodike. Konsiderojmë gjatësinë mesatare të radhës Lq të dhënë nga:

𝐿𝑞 =1

𝑇∫ (∑ (𝑛 − 𝑠)𝑝𝑛

∞𝑛=𝑠 (𝑡)𝑑𝑡)

𝑇

0 (2.30)

Ku x është numri i server-ave.

Tani përcaktojmë përafrimin stacionar me pjesë si:

𝐿𝑞∞ =

1

𝑇∫ 𝐿𝑞(𝜆(𝑡))𝑑𝑡

𝑇

0 (2.31)

Ku Lq (λ(t)) është gjatësia e radhës në një radhë stacionare M/M/s me normë mbërritjeje λ(t).

Autorët supozojnë një normë mbërritjeje që mund të shprehet si:

𝜆(𝑡) = 𝜆 + 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡/24) (2.32)

Ata i zgjidhin këto ekuacione në mënyrë numerike dhe më tej kufizojnë veten në rastin kur

intensiteti i trafikut është më i vogël se 1 dhe tregojnë se në këto kushte PSA është një kufi i

sipërm në performancën aktuale.

(Green dhe Kolesar 1997) gjithashtu ekzaminojnë një variant të modelit PSA që autorët e

quajnë si modeli PSA i vonuar. PSA i vonuar është i motivuar nga fakti që bllokimi real i pikut

do të ndodhë në një pikë të mëvonshme, nga ç’ishte parashikuar nga PSA. Duke marrë parasysh

vetëm trafikun aktual kur llogaritet bllokimi, modeli injoron faktin se një vonesë në kohë


34

ekziston midis pikës së pikut të trafikut dhe bllokimit të pikut. Në këtë artikull autorët zhvillojnë

një metodë për vlerësimin e vonesës së pikut dhe rillogaritjen e bllokimit në pikun e sistemuar.

Metodat PSA dhe PSA me lag-e krijojnë vlerësime të sakta të performancës së sistemit

jostacionar, duke pasur parasysh supozimet e mungesës së braktisjes, shfrytëzimit të më pak se

një, dhe të normat të mbërritjes sinusoidale. Vizioni i përgjithshëm i grumbulluar nga këto

modele mund të përdoret më pas për të nxitur intuitën dhe për të gjeneruar heuristika për qëllime

të planifikimit. Megjithatë, në praktikë një përqasje më e zbatuar zakonisht është Përqasja

Stacionare e Pavarur Periudhë pas Periudhe (SIPP). Në këtë përqasje dita ndahet në grupe;

shpesh periudha prej 15 ose 30 minuta, dhe një normë mbërritjeje mesatare llogaritet për secilën

periudhë. Planet e organizimit të stafit pastaj bazohen në supozimin se gjendja e qëndrueshme

arrihet në secilën prej këtyre periudhave, zakonisht duke përdorur një model Erlangu3.

Saktësia e kësaj metode është analizuar në (Green, Kolesar et al., 2001). Në këtë punim autorët

përsëri supozojnë një model me norma mbërritjeje të ndryshueshme në mënyrë sinusoidale pa

braktisje. Autorët kryejnë analiza numerike të detajuara dhe tregojnë se SIPP mund të çojë në

përafrime të dobëta në rastet kur shtrirja relative e valës sinusoidale është e gjërë, periudhat e

planifikimit janë të gjata, nivelet e shërbimit janë të ulëta ose sistemi është i madh.

Autorët propozojnë disa variante të metodës SIPP për të zvogëluar gabimet.

• SIPP Max: zbaton SIPP-në duke përdorur normën maksimale të mbërritjes për

periudhën, dhe jo mesataren. SIPP Max është më konservatore nga SIPP dhe në mënyrë

të qartë çon në nivele më të larta të propozuara të organizimit të stafit.

• SIPP Mix: zbaton normën mesatare të mbërritjes për periudhat ku norma e mbërritjes

ështe në rritje dhe Max për periudhat ku ajo është në rënie.

Punimi gjithashtu analizon secilën prej këtyre përqasjeve me një opsion Lag-u, duke aplikuar

një vlerësim Lag-u të ngjashëm me atë të zhvilluar në artikullin e tyre të mëparshëm, duke

krijuar metodat Lag Mesatare, Max dhe Mix. Asnjë qasje nuk duket të jetë superiore në të gjitha

rrethanat dhe zhvillohen disa heuristika të përgjithshme.

Përasja SIPP e Lag-uar analizohet më tej në (Green, Kolesar et al 2003). Ky material mban

supozimin e normave të mbërritjes me ndryshuemshëri sinusoidale si në (2.32), por tani

supozon se call center-i vepron në më pak se 24 orë; prandaj fillon dhe mbaron bosh. Artikulli

tregon se modifikimet në përqasjen SIPP vazhdimisht arrijnë objektivin e nivelit të shërbimit

me vetëm rritje modeste të stafit.

2.3. Optimizimi Stokastik

Programimet e matematikës të cilat në mënyrë eksplicite përfshijnë ndryshueshmërinë në vlerat

e parametrave njihen si programime stokastike. Nocioni i programimit stokastik u prezantua

për herë të parë në vitet 1950 (Beale 1955; Dantzig 1955). Megjithëse koncepti i programimit

stokastik ka qenë në literaturë për më shumë se 60 vjet, aplikimi i programimit stokastik ka

qenë relativisht i rrallë. Kjo është kryesisht për shkak të sfidave kompjuterike që lidhen me

programimin stokastik.

Në nivelet bazë programimet stokastike vijnë në dy varietete, programimet e kufizuara të rastit

dhe programimet rekursive. Programimet e kufizuara të rastit zbatojnë një kufizim të llojit të

nivelit të besimit; për shembull duke specifikuar pozicionin inventar pozitiv me 95% besim.

Programimet rekursive në anën tjetër njohin dy lloje vendimesh; vendimet që ndodhin para se

3 Modelet e Erlang C shpesh përdoren në praktikë, pavarësisht nga supozimi i mungesës së braktisjes së

atij modeli.


35

të zbulohet madhësia e rastit - vendimet e fazës së parë dhe vendimet që ndodhin pas zbulimit

të madhësisë së rastit - vendimet rekursive. Në këtë rishikim e kufizojmë analizën tonë në

problemet rekursive. Një rishikim gjithëpërfshirës i programimeve të kufizuara të rastit është

dhënë në (Prekopa 1995).

Problemet rekursive janë analizuar gjerësisht në literaturë. Një hyrje e shkurtër e tipit tutorial

është dhënë në (Higle 2005). Ekzistojnë gjithashtu disa tekste të shkëlqyera që përshkruajnë

strukturën dhe përqasjet e zgjidhjes për programimin stokastik. (Kall dhe Wallace 1994) është

një hyrje e shkëlqyer që përfshin një studim të teknikave dhe algoritmave të ndryshme të

zgjidhjes. (Birge dhe Louveaux 1997) është një rishikim i plotë i programimit stokastik linear

dhe jo-linear, ndërsa (Kall dhe Mayer 2005) fokusohet në mënyrë rigoroze në programimet

lineare stokastike.

Duke adoptuar notacionin nga (Birge dhe Louveaux 1997), problemi i përgjithshëm i

programimit linear stokastik mund të shprehet si:

Të minimizohet

𝒄𝑇𝒙 + 𝐸𝜉[𝑚𝑖𝑛𝒒(𝜔)𝑇𝒚(𝜔)] (2.33)

Me kushtet:

`𝐴𝒙 = 𝒃 (2.34)

𝑇(𝜔)𝒙 + 𝑊𝒚(𝜔) = 𝒉(𝜔) (2.35)

𝒙 ≥ 0, 𝒚(𝜔) ≥ 0 (2.36)

Objektivi i programimit linear stokastik (2.33) është minimizimi i kostos së vendimit të fazës

së parë, plus koston e pritshme të vendimeve të fazës së dytë. Optimizimi është i kufizuar nga

një grup kufizimesh (2.34) që varen vetëm nga variablat deterministë të fazës së parë, dhe një

grup kufizimesh (2.35) që varen nga vendimet e rekursit (y (ω)) dhe mund të jenë komponentë

të rastësishëm. Programimi stokastik zgjidhet në mënyrë tipike në krahasim me një grup të

caktuar skenarësh, skica kampionësh të vektorit të rastit ξ. Nëse numri i rezultateve të

kampionëve shënohet si K, atëherë mund të shkruajmë programimin stokastik në formë të

zgjeruar si:

Të minimizohet

𝒄𝑇𝒙 + ∑ 𝑝𝑘𝑞𝑘𝑇𝑦𝑘

𝐾𝑘=1 (2.37)

Me kushtet:

`𝐴𝒙 = 𝒃 (2.38)

𝑇𝑘𝒙 + 𝑊𝒚𝑘 = 𝒉𝒌, 𝑘 = 1, … . . , 𝐾 (2.39)

𝒙 ≥ 0, 𝒚𝒌 ≥ 0, 𝑘 = 1, … … . , 𝐾 (2.40)

Programimi i formës së zgjeruar (2.37) - (2.40) është ekuivalenti deterministik i (2.33) - (2.36)

me një numër të fundëm rezultatesh dhe si i tillë mund të shkruhet si një programim linear i

gjërë. Programimi pastaj mund të zgjidhet duke përdorur algoritmin standard të thjeshtë për

programimet lineare. Megjithatë, meqë numri i realizimeve rrit madhësinë e programimit mund

të jetë mjaft i madh dhe i vështirë për t'u zgjidhur.


36

Algoritmi i dekompozimit i formës L është një metodë e përdorur zakonisht për zgjidhjen e

programimeve stokastike me shkallë të gjerë. Algoritmi diskutohet në hollësi në (Birge dhe

Louveaux 1997) si dhe (Kall 1976; Kall dhe Wallace 1994; Kall dhe Mayer 2005). Metoda e

formës L është një variacion i metodave të dekompozimit të Dantzig-Wolfe ose Bender. (Për

detaje rreth këtyre përqasjeve mund të shihet (Lasdon 2002)). Në metodën e formës L zgjidhet

një nën-problem për secilin skenar, ku një skenar është një realizim i kampionëve të vektorit të

rastit të problemit. Duke përdorur variabla dualë nga zgjidhja e nënproblemave, mund të

gjenerohet një përafrim linear me pjesë i funksionit të rekursit. Algoritmi në formë L-je

proçedon në mënyrë të përsëritur, duke shtuar prerje në secilin iteracion të madh. Metoda

standarde në formë L-je shton një prerje për çdo përsëritje, ndërsa metoda me shumë prerje në

formë L-je shton një prerje për skenar në çdo përsëritje (Birge dhe Louveaux 1997).

Një përqasje alternative është metoda e Dekompozimit Stokastik (SD). Ndërsa përqasja në

formë L-je fillon me një grup të caktuar skenarësh, SD përdor një numër të ndryshueshëm

skenaresh. Algoritmi SD shton skenarë të rinj; duke krijuar prerje të reja dhe përditësimin e

prerjeve ekzistuese derisa të arrihen disa kritere ndalimi. Përqasja SD është përshkruar në

hollësi në (Higle dhe Sen 1996).

Përfitimet e Programimit Stokastik

Edhe pse janë të vështira për t'u zgjidhur, programimet stokastike krijojnë modele që janë

përfaqësuese më realiste të fenomenit në studim. (Rrallë e dimë vlerën e saktë të parametrave

të rëndësishëm si kërkesa.) Përveç kësaj, zgjidhja e programimit stokastik është në përgjithësi

në mënyrë sasiore më superiore se zgjidhja alternative me vlerë mesatare; zgjidhja e LP kur

parametrat e ndryshueshëm përfaqësohen nga mesataret e tyre.

Nocioni i programimit stokastik u zhvillua së pari në mesin e viteve 1950 (Beale 1955; Dantzig

1955). Këto artikuj zhvillojnë disa tipare të rëndësishme të programimeve stokastike që janë të

dobishme për të vërtetuar rezultatet në lidhje me vlerën e informacionit. Do të ricitoj disa tipare

më poshtë. Për të thjeshtuar përkufizimet përcaktoj:

𝑧(𝑥, 𝜉) = 𝑐𝑇𝑥 + min [𝑞(𝜔)𝑦(𝜔)|𝑇(𝜔) + 𝑊𝑦(𝜔) = ℎ(𝜔), 𝑦(𝜔) ≥ 0] (2.41)

Më pas rishikoj programin stokastik si më poshtë:

Të minimizohet

𝑧(𝑥, 𝜉) (2.42)

Me kushtet:

`𝐴𝒙 = 𝒃 (2.43)

𝒙 ≥ 0 (2.44)

Rezultati i parë është që E[z(x, ω)] është një funksion konveks i x. Rezultati i dytë thotë se për

një x të dhënë, z është një funksion konveks i ω.

Një përmbledhje e kërkimit mbi vlerën e informacionit është programimi stokastik i dhënë në

(Birge dhe Louveaux 1997). Puna e hershme mbi këtë temë është zhvilluar në (Madansky

1960). Mandansky e përshkruan problemin rekursiv stokastik si problemin “këtu dhe tani”,

duke treguar problemin që duhet të zgjidhet para se të mund të zgjidhet pasiguria. Ai e

kundërshton atë me problemin “prit dhe shiko”, problemin që do të rezultojë nëse ishim disi të

aftë të prisnim për pasigurinë të zgjidhet para se të marrim një vendim të fazës sonë. Problemi

rekursiv “këtu dhe tani” (RP) mund të citohet matematikisht si më poshtë:


37

𝑅𝑃 = 𝑚𝑖𝑛𝑥𝐸𝜉𝑧(𝑥, 𝝃) (2.45)

Problemi është të gjejmë grupin e vendimeve që minimizojnë pritjen e funksionit objektiv

(2.41). në mënyrë alternative problemi “prit dhe shko” mund të shprehet si:

𝑊𝑆 = 𝐸𝜉[𝑚𝑖𝑛𝑥𝑧(𝑥, 𝝃)] (2.46)

Zgjidhja “prit dhe shiko” është pritja, e marrë mbi të gjitha realizimet e ξ, të vendimit optimal

x për çdo realizim të ξ. Me fjalë të tjera, rezultati mesatar nëse do të ishim në gjendje të

vëzhgonim ω përpara se të mernim vendimin e fazes së parë.

Siç kemi diskutuar më parë, problemi rekursiv (2.45) është shpesh i vështirë për t'u zgjidhur

kështu që një përafrim natyral është gjetur duke zëvendësuar vektorin e rastit ξ nga pritshmëria

e tij ξ̆.

𝐸𝑉 = 𝑚𝑖𝑛𝑥𝑧(𝑥, �̅�) (2.47)

E quajmë zgjidhjen e këtij problem si zgjidhja e vlerës mesatare, dhe e shënojmë atë si �̆�( ξ̆.).

Kam argumentuar se ky përafrim jo gjithmonë mund të japë një përgjigje të mirë të problemit

stokastik në fjalë. Për të kuantifikuar këtë argument, prezantoj një sasi që mat rezultatet e

përdorimit të zgjidhjes së vlerës mesatare. Shënojmë rezultatin e pritshëm të përdorimit të

zgjidhjes EV si:

𝐸𝐸𝑉 = 𝐸[𝑧(�̅�, (�̅�), 𝝃)] (2.48)

EEV përfaqëson rezultatin e pritur të zbatimit të zgjidhjes së vlerës mesatare në fazën e parë,

duke lejuar më pas vendimmarrësin që të marrë vendime optimale rekursive pasi të jetë zbuluar

pasiguria. Si i tillë ai përfaqëson fitimin mesatar që do të ndodhte nëse vendimet bazohen në

zgjidhjen e (2.47).

Mandansky tregon se meqenëse z është një funksion i vazhdueshëm, konveks, një aplikim i

drejtpërdrejtë i pabarazisë së Jensen jep pabarazinë e mëposhtme:

𝐸𝐸𝑉 ≥ 𝑅𝑃 ≥ 𝑊𝑆 ≥ 𝐸𝑉 (2.49)

Ekuacioni (2.49) siguron themelin për pjesën më të madhe të asaj që vijon kështu që ia vlen të

bëhet një shqyrtim i imët. Supozojmë se një vendimmarrës është përballur me një problem të

optimizimit stokastik, të cilin ai e zgjidh duke përdorur përqasjen (standarde) të zëvendësimit

të variablave të rastit me pritshmerinë e tyre. Ai zgjidh problemin dhe vlerëson një objektiv me

kosto minimale të EV. Themi se zgjidhja e vlerës mesatare është e njëanshme, në atë që është

më pak se (ose e barabartë) me rezultatin e pritur që do të ndodhte nga zbatimi i atij vendimi.

Njëanshmëria e Vlerave Mesatare është përcaktuar si

𝑀𝑉𝐵 = 𝐸𝐸𝑉 − 𝐸𝑉 (2.50)

Me fjalë të tjera rezultati i pritur i zbatimit të kësaj zgjidhjeje është të paktën po aq i madh sa

parashikohet nga problemi i vlerës mesatare, por mund të jetë më i madh. Shohim se zgjidhja e

problemit rekursiv nuk është më shumë i njëanshëm sesa problemi i vlerës mesatare. Me fjalë

të tjera, zgjidhja e gjetur nga zgjidhja e problemit mund të jetë në rastin më të keq po aq i

njëanshëm sa problemi i vlerës mesatare, por jo më shumë. Nga ana tjetër mund të jetë më pak

i njëanshëm.

Zgjidhja WS paraqet një pikë referimi të rëndësishme pasi na tregon vlerën objektive që do të

presim nëse mund ta zgjidhim pasigurinë para se të marrim vendimin tonë. Ekuacioni (2.49) na


38

tregon se kjo vlerë është e kufizuar midis zgjidhjeve të problemit rekursiv dhe atij të vlerës

mesatare RP ≥WS ≥ EV. Problemi i zgjidhjes së pritur na jep një vlerësim të paktën po aq të

ulët, dhe ndoshta më të ulët, se ajo ka mund të arrijmë edhe nëse mund të parashikojmë në

mënyrë të përkryer rezultatin e rastësishëm.

Problemi rekursiv nga ana tjetër nuk është më mirë se ajo që mund të arrijmë me njohjen e

rezultatit të rastësishëm. Në këtë kuptim, problemi rekursiv është një vlerësim më konservativ

dhe me gjasë një vlerësim më realist.

Tani konsiderojmë konceptin e Vlerës së Pritshme të informacionit Perfekt (EVPI). Nocioni i

EVPI në programimet stokastike është zhvilluar në (Avriel dhe Williams 1970). EVPI na tregon

se sa më mirë do të ishte marrja e vendimeve tona nëse do të kishim një pamje të përsosur të

rezultatit të pasigurisë në problemin tonë të vendimmarrjes, ose në terminologjinë e Madanskit,

përmirësimi që mund të merrnim, nëse në njëfarë mënyre mund të merrnim vendimin “prit dhe

shiko” në vend të vendimit “këtu dhe tani”. Për këtë arsye mund të përkufizojmë EVPI-në,

përsëri duke përdorur shënimin nga (Birge dhe Louveaux 1997) si:

𝐸𝑉𝑃𝐼 = 𝑅𝑃 − 𝑊𝑆 (2.51)

Avrieli dhe Williams zhvillojnë kufijtë në EVPI në programimet stokastike. Teorema e tyre 1

siguron një kufi të poshtëm:

𝐸𝑉𝑃𝐼 ≥ 0 (2.52)

dhe ndjek direkt nga përkufizimi dhe nga (2.49). Rezultati është mjaft intuitiv, veprojmë edhe

më keq (në terma pritshmërie) nëse kemi njohuri të përsosur se si do të zgjidhet pasiguria. Një

kufi i sipërm gjithashtu llogaritet lehtësisht si:

𝐸𝑉𝑃𝐼 ≤ 𝐸𝑉 − 𝑅𝑃 (2.53)

Kufiri i sipërm na tregon se dallimi ndërmjet problemit të vlerës së pritshme dhe problemit

rekursiv është një kufi i sipërm mbi vlerën që mund të arrijmë nga informacioni perfekt rreth

pasigurisë së problemit. Avrieli dhe Williams zhvillojnë një formë më të përgjithshme të (3,53)

që mund të llogaritet për çdo realizim të ξ, por provojnë se zgjedhja e 𝜉 siguron kufirin më të

ngushtë. Ato gjithashtu i zbatojnë këto kufij në një klasë më të përgjithshme të programimeve

stokastike që përfshijnë funksionet recursive kuadratike. Një sërë kufijsh më të forte janë

zhvilluar në (Huang, Vertinsky et al., 1977).

Nocioni i informacionit EVPI ka të bëjë me atë vlerë që i takon një vendimmarrësi nëse

pasiguria mund të zgjidhet para vendimmarrjes. Një koncept i lidhur është vlera që i takon

vendimmarrësit duke pranuar në mënyrë eksplicite pasigurinë e parametrave kur merr një

vendim. Në kontekstin tonë kjo lidhet me vlerën e përdorimit të programimit stokastik më të

komplikuar.

Vlera e Zgjidhjes Stokastike

Koncepti i kuantifikimit të vlerës së përdorimit të një formulimi programimi stokastik, në

krahasim me formulimin e vlerës mesatare, u zhvillua së pari (Birge 1982) dhe më vonë u

trajtua në (Birge dhe Louveaux 1997).

Birge (1982) prezanton konceptin kryesor që përdoret për të matur përfitimin e përdorimit të

programimit stokastik, Vlera e Zgjidhjes Stokastike (VSS) të cilën ai e përcaktonte si

𝑉𝑆𝑆 = 𝐸𝐸𝑉 − 𝑅𝑃 (2.54)


39

VSS është një matëse e thjeshtë e përmirësimit në objektivin e pritshëm që del nga përdorimi i

një formulimi rekursiv. Kujtojnë se termi EEV është rezultati i pritshëm i përdorimit të zgjidhjes

së vlerës mesatare ndërsa RP është rezultati i pritshëm i përdorimit të një formulimi stokastik.

Një kufi i poshtëm i thjeshtë në VSS rrjedh lehtë nga (2.49)

𝑉𝑆𝑆 ≥ 0 (2.55)

Ky rezultat i thjeshtë është mjaft i rëndësishëm; na tregon se nuk mund të bëjmë më keq duke

e konsideruar në mënyrë eksplicite ndryshueshmërinë kur zhvillojmë zgjidhjen tonë.

Megjithatë, meqë e dimë se kostoja e llogaritjes së zgjidhjes stokastike është e lartë, duam të

dimë se kur mund të bëjmë më mirë, dhe sa më mirë.

Birge paraqet një kufi të drejtpërdrejtë të sipërm që vlen për të dy VSS dhe EVPI për

programimet stokastike me rekursiv fiks dhe koefientët objektivë fikse

𝐸𝑉𝑃𝐼 ≤ 𝐸𝐸𝑉 − 𝐸𝑉 (2.56)

𝑉𝑆𝑆 ≤ 𝐸𝐸𝑉 − 𝐸𝑉 (2.57)

Ana e djathtë e këtyre ekuacioneve përfaqëson njëanshmërinë e zgjidhjes së vlerës mesatare;

kjo është shkalla në të cilën zgjidhja e vlerës mesatare ekzagjeron pritshmërinë aktuale të

rezultatit. Ekuacioni (2.56) na tregon se kjo njëanshmëri është një kufi i sipërm për sa shumë

më mirë mund të bëjmë duke patur informacion perfekt, ndërsa ekuacioni (2.57) na tregon se

kjo njëanshmëri është gjithashtu një limit në lidhje me sa më mirë mund të bëjmë duke përdorur

një formulim stokastik. Nëse zgjidhja e vlerës mesatare është e paanshme (EEV= EV), atëherë

nuk marrim ndonjë dobi nga informacioni perfekt ose nga programimi stokastik. Kjo do të

ndodhë për shembull, nëse zgjidhja optimale e problemit është e pavarur nga pasiguria e

modelit. Për shembull, nëse shpërndarja e sasisë së korrur në problemin e fermerit është e tillë

që shpërndarja e njëjtë është optimale për të gjitha realizimet e korrjeve, atëherë fermeri nuk

merr asnjë vlerë nga informacioni perfekt dhe në mënyrë të ngjashme nuk merr asnjë vlerë nga

programimi stokastik. implikimi i qartë është se duke pasur parasysh programimin stokastik,

mund të kufizohemi në konsiderimin e ndryshueshmërisë së parametrave, realizimi i të cilave

ka një efekt material në vektorin e vendimit.

Ndërsa EVPI dhe VSS kanë të njëjtat kufij të sipërm dhe të poshtëm, është e rëndësishme të

theksohet se ato nuk janë ekuivalente. Në përgjithësi do të presim që EVPI do të jetë më i madh

se VSS, ky nuk është gjithmonë rasti. Birge (1982) paraqet një ilustrim të një problemi ku

informacioni perfekt ka vlerë jo-zero, por vlera e zgjidhjes stokastike është zero4.

Ky rezultat nuk është për t'u habitur, na tregon se ka probleme kur njohja e rezultatit të vërtetë

të pasigurisë është i vlefshëm, por modelimi i qartë i ndryshueshmërisë nuk na ndihmon.

Rezultati më i habitshëm është një shembull i ngjashëm që tregon se EVPI = 0 ndërsa VSS> 0.

Shembulli i veçantë është një rast ku problemi ka zgjidhje të shumta optimale. Argumenti është

se zgjidhësi i programimit linear mund të kthejë një zgjidhje që është optimale për problemin e

vlerës mesatare, por nën-optimale për problemin rekursiv. Zgjidhja alternative është optimale

si për vlerën mesatare ashtu edhe për problemin rekursiv. Meqë gjejmë optimumin e duhur në

problemin rekursiv, por jo në problemin e vlerës mesatare,

VSS është pozitive. Megjithatë, njohja me siguri e rezultatit çon të njëjtën përgjigje si në

programimin rekursiv kështu që vlera e informacionit perfekt është zero. Birge bën atë

4 I njejti shembull është present në Birge (1982), Shtojca A dhe Birge dhe Louveaux (1997) faqet 142-

144


40

pretendimin se "Për shkak se programimet lineare shpesh përfshijnë zgjidhje të shumëfishta

optimale, kjo lloj zgjidhjeje është larg nga e jashtëzakonshmja5".

Diagrama e mëposhtme përmbledh marredhënien midis sasive të ndryshme të diskutuara.

Figura 2-3 Zgjidhjet Relative të një Problemi në Kushte Pasigurie

Zgjidhja e vlerës së pritur (EV) jep rezultatin më të mirë të parashikuar, ndërsa vlera aktuale e

pritur e zbatimit të zgjidhjes së vlerës së pritur (EEV) është rezultati më i keq. Dallimi midis

këtyre dy sasive është njëanshmëria e zgjidhjes së vlerës mesatare. Problemi rekursiv (RP)

siguron rezultatin më të mirë të pritur që mund të zbatohet në të vërtetë. Përmirësimi nga

përdorimi i formulimit rekursiv në krahasim me rezultatin e pritur të zgjidhjes së vlerës së pritur

është Vlera e Zgjidhjes Stokastike (VSS). Përfitimi shtesë që mund të arrihet duke zgjidhur

pasigurinë përpara vendimmarrjes është Vlera e Pritshme e informacionit Perfekt (EVPI),

dallimi midis RP dhe zgjidhjes “prit dhe shiko” (WSS).

Ky grafik ilustron atë që do ta quajmë paradoksin e problemit të vlerës mesatare; problemi i

vlerës mesatare jep vlerën objektiv më të mirë, por jep rezultatin e pritshëm më të keq. Jemi

ballafaquar me bërjen e një rekomandimi për të implementuarr një model vendimi që jep një

vlerë objektiv më të keqe, por një rezultat të pritshëm më të mirë. Kjo ndodh sepse objektivi i

problemit rekursiv është një rezultat i pritur; objektivi i problemit të vlerës mesatare nuk është.

Metodat Monte Carlo

Për shumicën e problemeve nuk është praktike të zgjidhësh problemin e optimizimit stokastik

kundrejt bashkësisë se plotë të të gjitha realizimeve të mundshme të vektorit të rastit dhe

problemi zgjidhet në mënyrë tipike për disa kampionë të rezultateve të mundshme. Meqë po

zgjidhim kundrejt një kampioni të rezultateve të mundshme, zgjidhje optimale e llogaritur është

një vlerësim statistikor i zgjidhjes së vërtetë, subjekt i gabimit statistikor të kampionimit

Një pjesë e literaturës në rritje trajton vetitë statistikore të programimeve stokastike të

kampionimeve nën kategorinë e përgjithshme të Metodave Monte Carlo. Një përshkrim i

metodave Monte Carlo ofrohet në (Birge dhe Louveaux 1997) Kapitulli 10. Metodat Monte

Carlo për programimi stokastik huazojnë shumë koncepte nga literatura e simulimit dhe

ndërfaqja midis këtyre dy metodologjive diskutohet në (Pflug 1996).

5 Birge dhe Louveaux (1997) faqe 145


41

Një konsideratë e rëndësishme në metodat Monte Carlo është dallimi ndërmjet problemit të

vërtetë dhe problemit të kampionimit. Problem i vërtetë mund të shkruhet si:

𝑧∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑋𝐸[𝑓(𝑥, �̅�)] (2.58)

𝑥∗ ∈ 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑋𝐸[𝑓(𝑥, �̅�)] (2.59)

Kërkojmë të gjejmë vektorin e vendimit x*, dhe vlerën objektiv përkatëse z* që minimizon

vlerën e pritshme të funksionit objektiv f(x, ξ̆) ku pritshmëria është marrë nën mbështetjen e

vektorit të rastit ξ̆. Problemi real që zgjidhim është problemi i përafrimit të shtegut të

kampionimit, një optimizim mbi një numër të fundëm kampionësh ξ̆. Problemi i përafrimit të

shtegut të kampionimit pastaj mund të shkruhet si:

𝑧𝑛∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑋

1

𝑛∑ 𝑓(𝑥, 𝜉𝑖)𝑛

𝑖=1 (2.60)

𝑥𝑛∗ ∈ 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑋

1

𝑛∑ 𝑓(𝑥, 𝜉𝑖)𝑛

𝑖=1 (2.61)

Një çështje e rëndësishme në programimin stokastik është konvergjenca statistikore e zgjidhjes

së shtegut të kampionimit zn* në zgjidhjen e vërtetë z*. Jemi të interesuar të dimë sa afër

zgjidhjes reale është zgjidhja jonë e përafruar. Anasjelltas, mund të jemi të interesuar të

përcaktojmë sa kampionë (skenarë) nevojiten për të arritur një nivel të dëshiruar besimi.

Një artikull i rëndësishëm për këtë temë është (Dupacova dhe Wets 1988). Ky artikull përcakton

vetitë themelore të konvergjencës të programimit stohastik të kampionimeve që provojnë se

zgjidhja e shtegut të kampionimit konvergon në zgjidhjen e vërtetë pasi madhësia e

kampionimit shkon në infinit. Artikuj të tjerë për këtë temë përfshijnë (Shapiro 1991, King dhe

Rockafeller 1993).

Ndërsa problemi i kampionimit konvergjon drejt zgjidhjes së vërtetë, ai gjeneron një vlerësim

të njëanshëm të zgjidhjes së vërtetë për kampionimet e fundme. (Mak, Morton et al. 1999)

tregojnë se rezultati i pritur i problemit të kampionimit është i njëanshëm në mënyrë optimiste

dhe që njëanshmëria është zvogëluar në numrin e kampionimeve. Vetitë e konvergjencës të

vektorit të zgjidhjes x janë diskutuar me hollësi më poshtë në (Shapiro dhe Homem-de-Mello

2000). Artikulli tregon se në rastin e një programimi stokastik linear me dy faza me një

shpërndarje diskrete, zgjidhja optimale e problemit të përafrimit do të jetë ekzaktësisht e

barabartë me zgjidhjen e problemit të vërtetë për një numër mjaftueshëm të madh N. Ata

gjithashtu tregojnë se shkalla e konvergjenca është eksponenciale në numrin e kampionimeve.

Një vlerësim empirik i njëanshmërise së kampionimit është dhënë në (Freimer, Thomas et al.

2006; Linderoth, Shapiro et al. 2006).

Një metodë për zhvillimin e intervalit të besimit në problemin e kampionimit është zhvilluar në

(Mak, Morton et al., 1999). Zgjidhja për çdo problem të kampionimit siguron një pikë vlerësimi

në kufirin e poshtëm të një problemi të minimizimit stokastik. Supozojmë se zgjedhim për të

zgjidhur përafrimin disa herë për të përmirësuar vlerësimin tonë. Le të jetë ξ̆i1, ….,ξ̆in, i = 1, ….,n

një bashkësi e n grupesh skenarësh të ndryshëm, ku secili prej tyre ka n vëzhgime.

Përcaktojmë:

𝑧𝑛∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑋 [

1

𝑛∑ 𝑓(𝑥, 𝜉𝑖𝑗)𝑛

𝑖=1 ] (2.62)


42

Si vlera objektiv e gjetur nga zgjidhja e problemit të përafrimit të shtegut të kampionimit

kundrejt grupit të i-të të skenarëve të kampionimit.

Më pas mund të përcaktojmë kufirin e poshtëm të vlerësimit tonë si:

�̅�(𝑛𝑙) =1

𝑛𝑙∑ 𝑧𝑛

∗𝑖𝑛𝑙𝑖=1 (2.63)

Kufiri i poshtëm është vendosur si mesatare mbi grumbujt e ndryshëm të skenarëve të zgjidhur

nl.

Për të llogaritur një kufi të sipërm, supozojmë që kemi një zgjidhje kandidate 𝑥. Kjo zgjidhje

mund të jetë rezultati i zgjidhjes së problemit të vlerës mesatare, ose mund të jetë kufiri më i

ulët i gjetur duke zgjidhur problemin e përafrimit të kampionimit. Prandaj mund të llogaritim

një kufi të sipërm duke gjetur koston e pritur të zbatimit të zgjidhjes 𝑥.

𝑈(𝑛) =1

𝑛∑ 𝑓(�̂�, 𝜉𝑖)𝑛

𝑖=1 (2.64)

Zgjidhja e problemit të referencës siguron një vlerësim të paanshëm të kostos së pritur të

zbatimit të vendimit 𝑥 të fazës së parë.

Më pas mund të përcaktojmë një interval besimi të përafërt (1 - 2α) në hendekun e optimizimit

si:

[0, [𝑈(𝑛𝑢) − �̅�(𝑛𝑙)]+ + 𝜀�̃� + 𝜀�̃�] (2.65)

Ku (𝜀̃u, 𝜀̃l) janë gabimet standarte të vlerësimit për kufijtë e sipërm dhe të poshtëm.

Këto rezultate sugjerojnë një proçedurë të përgjithshme për vlerësimin e një sërë kufijsh në

zgjidhjen optimale për një problem optimizimi stokastik.

1) Përcaktimi i numrit te grupimeve (nl) që duhen zgjidhur dhe i numri të skenarëve (n) që do të

përdoren në çdo grupim.

2) Zgjidhja e secilit prej problemeve (nl) në optimalitet për të përdorur në mënyrë optimale çdo

algoritëm.

3) Llogaritja e një pikë vlerësimi për kufirin e poshtëm duke përdorur (2.63) (vlera mesatare

objektiv)

4) Llogaritja e variancës së kampionit të kufirit të poshtëm. Përdoret kjo statistikë për të vlerësuar

gabimin standard në kufirin e poshtëm εl .

5) Llogaritet një zgjidhje kandidate �̂� = 𝑛𝑙−1 ∑ 𝑥𝑛

∗𝑖𝑛𝑙𝑖=𝐼 ku 𝑥𝑛

∗𝑖 janë zgjidhjet për problemet

individuale të grumpimit.

6) Gjenerohet një grup prej nu skenarësh që do të përdoren për vlerësimin e kufirit të sipërm. Vini

re se shpesh ndodh që numri i skenarëve të përdorur për kufirin e sipërm është shumë më i madh

se numri i skenarëve të përdorur në llogaritjen e kufirit të poshtëm.

7) Llogaritet një vlerësim në kufirin e sipërm duke zgjidhur problemin e referencës me vendimin

e fazës 1 të fiksuar në �̂�. Vini re se kjo zgjidhje gjen rekursin optimal për çdo skenar të dhënë �̂�

dhe merr mesataren. Duke qënë se problemi master nuk është i optimizuar, duhet vetëm të

zgjidhim nën-programimin nu herë gjë që mund të bëhet relativisht shpejt.

8) Zgjidhja optimale e problemit e problemit të referencës është kostoja e pritur e zbatimit të �̂� dhe

është pika jonë e vlerësimit për kufirin e sipërm.

9) Llogaritet varianca e kampionimit të kufirit të sipërm dhe përdoret kjo për të llogaritur gabimin

standard.


43

10) Llogaritet një pikë vlerësimi të hendekut optimal [𝑈(𝑛𝑢) − �̅�(𝑛𝑙)]+.

11) Llogaritet një interval besimi në hendekun e optimizimit duke përdorur (2.65).

Figura 2.4 Proçedura e lidhjes Stokastike

Kjo teknikë kufizuese përbën bazën për një përqasje zgjidhjeje të njohur si Përafrimi Mesatar i

Kampionimit (SAA) i cili është zhvilluar në (Kleywegt, Shapiro et al. 2001). ideja themelore e

SAA-së është që në vend të zgjidhjes së problemit me një bashkësi të madhe kampionësh,

zgjidhim problemin shumë herë me kampionë më të vegjël dhe shqyrtojmë vetitë statistikore të

zgjidhjeve që rezultojnë. Kjo procedurë është analoge me konceptin e xhirove të shumëfishta

në simulimin diskret.

Përqasja është një kornizë e lirshme që nuk specifikon algoritme specifike të zgjidhjes, por më

tepër një përqasje përsëritëse të përgjithëshme. Do të paraqes një version pak të thjeshtuar të

algoritmit të paraqitur në seksionin 2.5 të Kleywegt:

1) Zgjidh një madhësi fillestare të kampionit N dhe N ', një nivel tolerance ε, dhe një numër të

grupimeve M

2) Për çdo grupim m = 1, ...M kryej sa vijon:

a. Gjenero një kampion të madhësisë N dhe zgjidh problemin SSA me vlerë objektiv �̂�𝑁𝑀

dhe me zgjidhje optimale ε �̂�𝑁𝑀.

b. Vlerëso hendekun e optimumit dhe variancën e vlerësuesit të hendekut.

c. Nëse hendeku i optimumit dhe varianca e vlerësuesit të hendekut janë mjaftueshëm të

vogla shko në hapin 4.

3) Nëse hendeku i optimumit ose varianca e vlerësimit është shumë e lartë rrit madhësinë e

kampionit dhe shko në hapin 1.

4) Zgjidh zgjidhjen më të mirë �̂� midis të gjitha zgjidhjeve kandidate duke përdorur një proces

selektimi dhe seleksionimi. Stop.

Figura 2-5 Proçedura e Përafrimit Mesatar të Kampionimit (SAA)

Programimet Stokastike me shumë faza

Ndryshe nga modelet me dy faza, modelet me shumë faza lejojnë një sërë vendimesh që

zhvillohen gjatë një horizonti arbitrar (zakonisht të kufizuar) kohor. Një formulim i

përgjithshëm i modelit me shumë faza është si më poshtë:

Të minimizohet

𝑧 = 𝑐1𝑥1 + 𝐸𝜉2[𝑚𝑖𝑛𝑐2(𝜔)𝑥2(𝜔2) + ⋯ + 𝐸𝜉𝐻[𝑚𝑖𝑛𝑐𝐻(ω)𝑥𝐻(𝜔𝐻)]] (2.66)

Me kushtet:

`𝑊1𝑥1 = ℎ1 (2.67)

𝑇1(𝜔)𝑥1 + 𝑊2𝑥2(𝜔2) = ℎ2(𝜔) (2.68)

⋮

𝑇𝐻−1(𝜔)𝑥𝐻−1 + 𝑊2𝑥2(𝜔2) = ℎ2(𝜔) (2.69)

𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑡(𝜔𝑡 ≥ 0, 𝑡 = 2, … … . , 𝐻 (2.70)


44

Një problem i rëndësishëm në programimin stokastik me shumë faza është rritja e shpejtë në

madhësinë e pemës së skenarëve. Për një problem me T faza, me Rt realizime në çdo nyje në

fazë, numri total i skenarëve është:

𝑁 = ∏ 𝑅𝑡𝑇𝑡=1 (2.71)

Në një pemë të ekiulibruar me R realizime për fazë, numri i skenarëve është:

𝑁 = 𝑅𝑇 (2.72)

Numri i skenarëve në një problem me shumë faza lehtë mund të rritet lehtësisht e të bëht mjaft

i madh në qoftë se numri i fazat ose numri i realizimeve bëhet i madh. Duke qënë se madhësia

e një programimi stokastik lineari rritet në mënyrë jo-lineare me numrin e skenarëve, shumë

vëmendje i është kushtuar modelimit efiçent të skenarëve.

Teknikat për gjenerimin efiçent të skenarëve janë dhënë në (Dupačová, Savjet et al 2000,

Hoyland dhe Wallace 2001, Pflug 2001). Një përqasje për përzgjedhjen e një nënbashkësie të

skenarëve paraqitet në (Dupačová, Gröwe-Kuska et al 2003). Një metodë e bazuar në Rëndësinë

e Kampionimit paraqitet në (Dantzig dhe infanger 1993). Rëndësia e Kampionimit bazohet në

idenë se disa vlera të caktuara të vektorit të rastit kanë më shumë ndikim në parametrin që

vlerësphet se disa të tjerë.

Nëse përqasja e kampionimit modifikohet në mënyrë që këto vlera "të rëndësishme" të

kampionohen më shpesh, atëherë varianca e vlerësuesit mund të reduktohet.

Një përqasje post optimizimi, në të cilën problemi është zgjidhur për një grup fillestar

skenarësh, dhe më pas testohet për ndjeshmërinë ndaj skenarëve të kampionimit paraqitet në

(Dupačová 1995). Kjo metodë mbështet zhvillimin e kufijve në zgjidhjen optimale të problemit.

Zgjidhja e problemeve me shumë faza është shumë më e vështirë sesa problemet me dy faza.

(Higle 2005) jep një përmbledhje të shkurtër dhe disa algoritme janë shqyrtuar në (Birge dhe

Louveaux 1997). Shumica e metodave bazohen në ndonjë formë të dekompozimit.

Dekompozimi i Ndërthurur (Birge 1985) dhe MSLip (Gassman 1990) dekompozojnë

problemin me fazën e vendimit. Një strategji alternative e dekompozon problemin me skenarë.

Algoritmi Progresiv Mbulues (Rockafellar dhe Wets 1991) relakson kufizimet e

jpaparashikueshmërisë dhe zbaton një algoritëm të bazuar në relaksim Lagrazhi. (Higle dhe Sen

2006) shqyrtojnë vetitë e dualitetit të problemeve me shumë faza dhe (Higle, Rayco et al. 2004)

zbaton metodën e dekompozimit stokastik në problemin dual të problemit me shumë faza ku

variablat korrespondojnë me shumëzuesit të lidhur me kufizimet e paparashikueshmërisë së

problemit primar.

Optimizimi i Bazuar në Simulim

Një përqasje alternative ndaj optimizimit stokastik përfshin përdorimin e simulimit të ngjarjeve

diskrete. Përmbledhjet e optimizimit të bazuar në simulime janë paraqitur në Kapitullin 12 të

(Law 2007) dhe në (Fu 2002). Optimizimi i bazuar në Simulim (SBO) ka të njëjtin qëllim si

programimi stokastik, gjetja e vektorit të vendimit që optimizon disa matje të performancës së

një sistemi stokastik. Megjithatë SBO përdor një përqasje shumë të ndryshme.

Në nivelin më të përgjithshëm, një algoritëm optimizimi ka dy komponentë bazë; gjenerimin e

zgjidhjeve kandidate dhe vlerësimin e zgjidhjeve kandidate. Në programimin stokastik kemi

supozuar se zgjidhja candidate mund të vlerësohej nëpërmjet një funksioni objektiv të formës


45

së mbyllur, zakonisht lineare. Në një algoritëm dekompozimi ai funksioni linear vlerësohet

shumë herë, një herë për secilin skenar dhe rezultati i pritur është një kombinim i ponderuar i

këtyre rezultateve.

Për të gjetur zgjidhjen e ardhshme kandidate në një programim stokastik kryejmë një pivot të

thjeshtë nëse zgjidhim formën e gjerë, ose duke zgjidhur programimin master në një përqasje

të dekompozimit.

Në SBO hapi i vlerësimit të zgjidhjes kryhet duke ekzekutuar një model simulimi diskret të

ngjarjes (DES). Përdorimi i DES na lejon të vlerësojmë një model shumë të përgjithshëm të

sistemit tonë stokastik. Mundet, për shembull, të lëshojmë supozimet thjeshtuese në një model

radhësh që na lejoi të gjeneronim shprehje analitike për sjelljen e sistemit. Literatura për DES

është e gjerë; tekstet popullore përfshijnë (Law dhe Kelton 2000, Bankat 2005, Law 2007). Në

një SBO pjesa më e madhe e përpjekjes kompjuterike është shpenzuar në hapin e vlerësimit,

por nga një perspektiva e dizajnit të algoritmit, sfida është të zhvillohet një metodë për të gjetur

zgjidhjen e ardhshme kandidate. Për shkak se nuk kemi një model analitik të funksionit

objektiv, mekanizmat që e përdorin atë funksion në një mjedis deterministik (kërkimi gradient)

janë të vështira për t'u zbatuar në një mjedis stokastik. Disa metoda të tilla si Metodologjia e

Sipërfaqes së Përgjigjes përpiqen të vlerësojnë një model të funksionit objektiv dhe ta përdorin

atë në procesin e kërkimit.

Më të zakonshme janë mekanizmat që e trajtojnë funksionin objektiv (model simulimi) si një

kuti e zezë dhe thjesht kërkojnë hapësirën e mundshme për zgjidhje më të mira. Këto metoda

kërkimi shpesh përdorin rastësinë në procesin e kërkimit (kërkimi random). Ekziston një gamë

e gjerë metodash kërkimi në dispozicion, të cilat përgjithësisht klasifikohen në kategorinë e

përgjithshme të metauristikës (Fu 2002, Law 2007). Meta heuristikat janë "metoda të zgjidhjes

që orkestrojnë një ndërveprim midis proçedurave të përmirësimit lokal dhe strategjive të nivelit

më të lartë për të krijuar një proces të aftë për të ikur nga optimizimi lokal dhe për kryerjen e

një kërkimi të fuqishëm të një hapësire zgjidhje" (Glover dhe Kochenberger 2003). Shqyrtimet

gjithëpërfshirëse të metaheuristikave të ndryshme jepen në (Glover dhe Kochenberger 2003;

Burke dhe Kendall 2005). Metaheuristika është aplikuar gjerësisht në problemet optimizuese

deterministe kombinatoriale (Nemhauser dhe Wolsey 1988; Papadimitriou dhe Steiglitz 1998;

Wolsey 1998). Një rishikim hyrës i aplikimit të tyre për SBO është dhënë në (Fu 2002).

Metodologjitë e kërkimit përfshijnë algoritmet gjenetike (Reeves 2003, Sastry, Goldberg et al

2005), kërkimet Tabu (Gendreau dhe Potvin 2005) dhe simulimi i procesit të pjekjes së

metaleve (Henderson, Jacobson et al 2003, Aarts, Korst et al.2005).

Shumica e metaheuristikave implementojnë një formë të një kërkimi të bazuar në fqinjësi. Duke

pasur parasysh një zgjidhje kandidate x, fqinjësia N(x) është një grup pikash të mundshme që

janë afër në njëfarë kuptimi me x.

Formalisht, për një problem të optimizimit me bashkësi të mundshme X, një fqinjësi është një

lidhje N:X → 2X (Papadimitriou dhe Steiglitz 1998). Në një problem të vazhdueshëm ku X = Rn

një fqinjësi natyrale është bashkësia e të gjitha pikave brenda disa distancave fikse Euklidiane

të x.

Në problemet kombinatore, zgjedhja e fqinjësisë zakonisht është në varësi të problemit. Një

shembull standard është problemi i Udhëtimit të Shitësit për të cilin mund të përcaktojmë

fqinjësinë me 2 ndryshime duke qënë se çdo rrugë mund të formohet nga rruga aktuala duke

zëvendësuar 2 skajet. Zgjedhja e fqinjësisë është një konsideratë e rëndësishme gjatë hartimit


46

të një algoritmi të kërkimit lokal. Një fqinjësi më e vogël mund të kontrollohet më mirë, por e

bën më të vështirë të largohet nga optimumi lokal.

Një metaheuristikë që përpiqet të adresojë këtë është Kërkimi Variabël i Fqinjësisë (Hansen

dhe Mladenovic 2001; Hansen dhe Mladenovic 2005). Në një Kërkim Variabël të Fqinjësisë

(VNS) nuk përcaktojmë një, por disa fqinjësi të shumëfishta. Në shumë zbatime të VNS,

fqinjësitë janë të mbivendosura, të tilla që:

𝑁1(𝑥) ⊂ 𝑁2(𝑥) ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘𝑀𝑎𝑥(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑋 (2.73)

Algoritmi i kërkimit fillon duke kërkuar fqinjësinë më të afërt, duke përsëritur x çdo herë që

gjendet një zgjidhje e përmirësuar. Kur një kërkim në fqinjësi nuk arrin të gjejë një zgjidhje të

përmirësuar, kërkimi zgjerohet në fqinjesinne tjetër më të madhe dhe kërkimi vazhdon. Çdo

herë që gjendet një zgjidhje e përmirësuar, kërkimi kthehet në fqinjësinë më të vogël. VNS ka

avantazhin që fqinjësia mbahet e vogël për sa kohë që përmirësimet janë në dispozicion, por

bëhet e madhe kur përcaktohet një optimum lokal, duke ofruar mundësinë për të kërkuar jashtë

“luginës” së tanishme.

VNS është një kuadër shumë i përgjithshëm në të cilin virtualisht çdo perrqasje kërkimi mund

të inkorporohet.

2.4. Dizenjimi i Eksperimenteve Statistikore

Përgjatë këtij punimi do të kryej një numër eksperimentesh kompjuterike dhe përpiqem të

përdor dizajne formale efikase eksperimentale gjatë gjithë analizës. Një përmbledhje e

dizajneve eksperimentale gjendet në shumë tekste statistikore të përgjithshme si (Kutner,

Nachtsheim et al. 2005). Një analizë më e plotë e çështjeve të dizajnit eksperimental është

paraqitur në Box, Hunter dhe Hunter, shpesh të referuar si BH2. (Box, Hunter et al. 1978). BH2

siguron një analizë të plotë të dizajneve të plota dhe faktoriale dhe një hyrje në metodat e

sipërfaqes së përgjigjes. Një diskutim më i detajuar i Metodave të Sipërfaqjes së Përgjigjes

(RSM) është dhënë në (Box dhe Draper 1987). Aplikimi i Dizajnit Eksperimentale për

eksperimentet kompjuterike krijon një numër sfidash interesante. Një analizë e detajuar është

dhënë në (Santner, Williams et al. 2003). Zbatimi i dizajneve faktoriale të plota dhe të pjesshme

në modelet simuluese të ngjarjeve diskrete është dhënë në (Law 2007).

Dizajnet Faktoriale të Plota dhe të Pjesshme

Në një eksperiment statistikor kontrollojmë një bashkësi faktorësh dhe matim ndikimin në një

ose më shumë përgjigje. Dizajni eksperimental specifikon një numër parametrash të dallueshme

faktorialë të referuara si pikat e dizajnit. Në një eksperiment që është subjekt i gabimit

statistikor shpesh kryejmë përsëritje të shumëfishta të eksperimentit në secilën pikë të dizajnit.

Një përqasje e zakonshme për dizenjimin e eksperimenteve numerike është dizajni faktorial

(Box, Hunter et al. 2005, Law 2007). Në një aplikim standard të dizajnit faktorial, çdo faktor

është vendosur në një nga dy nivelet; një vlerë të lartë (+) dhe një vlerë të ulët (-). Në literaturën

DOE (dizajni i eksperimenteve) faktorët zakonisht kodohen në një formë të standardizuar. Për

shembull, supozoni që jemi të interesuar për një variabël ξ në intervalin [ξL, ξH]. Mund të

përcaktojmë variablën e koduar xi si:

𝑥𝑖 =𝜉𝑖−𝜉𝑙

(𝜉𝐻−𝜉𝐿)/2 (2.74)


47

Me këtë kodim vlera e ulët korrespondon me -1 dhe vlera e lartë korrespondon me +1 (Box dhe

Draper 1987).

Në një dizajn të plotë faktorial, një pikë dizajni specifikohet në çdo kombinim të mundshëm të

faktorëve eksperimentale 2k të marrë vetëm në vlerat e tyre të ulëta dhe të larta. Tabela e

projektimit për eksperimentin shprehet shpesh duke përdorur vlerat e standardizuara të + dhe -

për secilin faktor, kështu që një dizajn i plotë faktorial në katër faktorë ka tetë pika dizajni dhe

mund të përfaqësohet nga matrica e mëposhtme e dizajnit:

Tabela 2-1 Dizajni Eksperimental Faktorial i Plotë me 3 Faktorë

Për qëllime ilustrimi, hyrjet në matricën e dizajnit zakonisht paraqiten si një + ose -, duke

përfaqësuar vlerat ± 1.

Në dizajnin e plotë faktorial faktorët janë të pavarur (krejtësisht të pakorreluar) dhe është mjaft

e lehtë të përshtatet një model linear me k faktorët, me ndërveprimet e nivelit të parë k-1, dhe

me të gjitha ndërveprimet e nivelit më të lartë. (Një model me k faktorët ka një total të k-1

ndërveprimeve secila me k-1 terma.) Problemi me dizajnin e plotë faktorial është se numri i

pikave të dizajnit bëhet mjaft i madh kur numri i faktorëve rritet.

Një alternativë është Dizajni Faktorial i Pjesshëm. Ky dizajn mban një dizajn të pavarur me një

numër më të vogël të pikave të dizajnit duke sakrifikuar vlerësimin e pavarur të kusheteve të

ndërveprimit të nivelit më të lartë. Thuhet se ndërveprimet e nivelit të lartë ngatërohen me

përgjigjet e një faktori të vetëm. Meqë në shumë modele lineare ndërveprimet e nivelit më të

lartë janë të papërfillshme, humbet pak saktësi. Për shembull, një dizajn i plotë faktorial në 8

faktorë kërkon 256 pika të veçanta të dizajnit, ndërsa një dizajn i pjesshëm (28-4) kërkon vetëm

16 pika të dizajnit. Ky dizajn i veçantë i pjesshëm mund të vlerësojë efektet kryesore (me një

faktor) dhe ndërveprimet e nivelit të parë, por jo ndërveprimet e niveleve më të larta.

Aftësia për të bërë dallime midis efekteve përcaktohet nga zgjidhja e dizajnit. Sa më e lartë të

jetë zgjidhja e dizajnit, aq më imtësisht mund të dallojmë llojet e ndryshme të efekteve. Nocioni

standard specifikon zgjidhjen me numra romak bazuar në përkufizimet në tabelën vijuese6:

6 Ky informacion është paraqitur në një formë ose në një tjetër në shumicën e teksteve të Dizajnit të

Eksperimentit. Kam përdorur shënimin nga Law (2007). Shikoni seksionin 12.3 dhe tabelat 12.11 dhe

12.12 në faqen 638


48

Zgjidhja Përkufizimi

III Asnjë efekt kryesor nuk ngatërohet me ndonjë efekt tjetër kryesor, por

efektet kryesore ngatërohen me ndërveprimet e dyanshme dhe disa

ndërveprime të dyanshme mund të ngatërrohen me njëra-tjetrën.

IV Asnjë efekt kryesor nuk ngatërrohet me ndonjë efekt tjetër kryesor ose me

ndonjë ndërveprim të dyanshëm, por ndërveprimet e dyanshme ngatërohen

me njëra-tjetrën.

V Asnjë efekt kryesor ose ndërveprim i dyanshëm nuk ngatërohet me ndonjë

efekt tjetër kryesor ose ndërveprim të dyan0shëm.

Tabela 2-2 Përkufizimet për Zgjidhje Faktoriale me Pjesë

Simboli i përgjithshëm për një dizajn të pjesshëm është 2k-p, ku k është numri fillestar i faktorëve

dhe 2k-p është numri i përgjithshëm i pikave të dizajnit, ose i xhirimeve, që kërkohen në

eksperiment. K faktorët e parë të dizajnit gjenerohen duke përdorur një dizajn standard të plotë

faktorial në të gjithë faktorët k. K-p faktorët e mbetur krijohen duke shumëzuar hyrjet e

zgjedhura në matricën e dizajnit (të barabartë me ± 1) për të marrë kolonat e reja. Vlerat e

caktuara për këto kolona rrjedhin bazuar në marrëdhëniet përcaktuese të dizajnit. Për shembull,

një dizajn 2𝐼𝑉4−1 ka një marrëdhënie përcaktuese të barabartë me 4 = ± 123, që do të thotë se

kolona e katërt gjendet duke shumëzuar vlerat ± 1 të kolonave 1,2 dhe 3 së bashku. Kjo rezulton

në dizajnin eksperimental të mëposhtëm:

Tabela 2-3 Dizajni Eksperimental Faktorial i Pjesshëm me 3 Faktorë

Dizajne të niveleve më të larta mund të gjenerohen duke u bazuar në përzgjedhjen e kujdesshme

të marrëdhënieve përcaktuese. Marrëdhëniet përcaktuese të përdorura për të gjeneruar një

numër të dizajneve të pjesshme për nivele të ndryshme të zgjidhjeve dhe të pikave të dizajnit

janë paraqitur në Tabelën 2-4, të përshtatura nga Law (2007).

Një pikë e rëndësishme për t'u vërejtur është se edhe pse kolonat k- p në një dizajn të pjesshëm

të dizenjuar siç duhet, janë kombinime lineare të kolonave të para k, dizajni mbetet i pavarur.

Kjo do të thotë që faktorët hyrës janë krejtësisht të pakorreluar. Përsëri pavarësia e variablave

të pavarur eliminon totalisht çdo çështje të multikorrelacionit kur i përshtatet një modeli

regresioni. Praktikisht, kjo do të thotë që vlerat e koeficientëve të regresit të gjetura nga


49

përshtatje me një modeli të katrorëve më të vegjël nuk ndikohen nga zgjedhja e faktorëve që

do të përfshihen në model.

Faktorët (k)

Ekzekutimet 3 4 5 6 7 8 9

4 2𝐼𝐼𝐼3−1

3 = ±12

8 2𝐼𝑉4−1

4 = ±123

2𝐼𝐼𝐼5−2

4 = ±12

5 = ±13

2𝐼𝐼𝐼6−3

4 = ±12

5 = ±13

6 = ±23

2𝐼𝐼𝐼7−4

4 = ±12

6 = ±13

6 = ±23

7 = ±123

16 2𝑉5−1

4 = ±1234

2𝐼𝑉6−2

5 = ±123

6 = ±234

2𝐼𝑉7−3

5 = ±123

6 = ±234

7 = ±134

2𝐼𝑉8−4

5 = ±123

6 = ±234

7 = ±134

8 = ±124

2𝐼𝑉9−5

5 = ±123

6 = ±234

7 = ±134

8 = ±124

8 = ±1234

32 2𝐼𝑉7−2

6 = ±1234

7 = ±1245

2𝐼𝑉8−3

6 = ±123

7 = ±124

8 = ±2345

2𝐼𝑉9−4

6 = ±2345

7 = ±1345

8 = ±1245

64 2𝑉8−2

7 = ±1234

8 = ±1246

2𝑉9−3

7 = ±1234

8 = ±1346

9 = ±3456

Tabela 2-4 Përcaktimi i Marrëdhënieve për Dizajnet e Zakonshme me Pjesë

Dizajnet e Mbushjes Hapësinore

Meqenëse dizajnet standarde faktoriale përdorin vetëm 2 nivele për faktor, mund të vlerësohen

vetëm modelet lineare. Në modelin faktorial të gjitha pikat e dizajnit janë në kufirin e rajonit

eksperimental dhe supozimi i nënkuptuar është se çdo variabël përgjigjeje sillet linearisht

brenda rajonit të dizajnit. Një përqasje alternative e dizajnit eksperimental që ende përpiqet të

ekonomizojë mbi numrin e pikave të dizajnit, por lejon nivele të shumëfishta për secilin faktor,


50

quhen dizajnet e mbushjes hapësinore (Santner, Williams dhe të tjerët, 2003). Ndërsa dizajni

faktorial vlerësoi nje pikë në kufirin e hapësirës së dizajnit, dizajnet e mbushjes hapësinore

vlerësojnë pikat në brendësi të hapësirës së projektimit duke lejuar që modelet jo lineare të

mund të përshtaten. Në përgjithësi dizajnet e mbushjes hapësinore kërkojnë në njëfarë kuptimi

të vendosin pikat e dizajnit në mënyrë të barabartë në të gjithë hapësirën e dizajnit.

Një dizajn i njohur i mbushjes hapësinore është dizajni i Latin Hypercube (Santner, Williams

et al. 2003). Në përgjithësi përqasja Latin Hypercube ndan rajonin eksperimental në një numër

fiks të hypercube-s dhe pastaj zgjedh pikat e dizajnit në mënyrë rastësore nga çdo hypercube.

Një tjetër përqasje e mbushjes hapësinore njihet si Dizajni Uniform (Fang, Lin et al. 2000; Fang

dhe Lin 2003; Santner, Williams et al. 2003). Ndërsa përqasja Latin Hypercube (LH) ka

komponentë deterministë dhe rastësorë, përqasja e dizajnit uniform (UD) është e gjitha

deterministe7.

Një UD vendos pikat e dizajnit në një mënyrë që minimizon mospërputhjen midis shpërndarjes

empirike të pikave të kampionit dhe të një funksioni me densitet uniform, ku mospërputhja

është një matës i caktuar i nisjes nga hapësira e përkryer uniforme.

Problemi i zgjedhjes së dizajnit uniform mund të shprehet si më poshtë. Për një grup të dhënë

s të parametrave, dhe hapësirën korresponduese s-dimensionale, gjejmë bashkësinë e n pikave

𝑃𝑛∗ = {x1, …, xn} ⊂ Rs, e tillë që matja e mospërputhjes D(Pn) të minimizohet. Për të përcaktuar

masën e mospërputhjes së pari përcaktojmë shpërndarjen empirike të Pn si:

𝐹𝑛(𝑥) =1

𝑛∑ 𝐼{𝑥𝑖 ≤ 𝑥}𝑛

𝑖=1 (2.75)

Ku i {⋅} është funksioni tregues dhe pabarazia është duke respektuare rendin sipas

komponentëve të Rs -së. Nga ky funksion përcaktojmë një grup të matjeve të mospërputhjeve,

matjet e mospërputhjeve Lp:

𝐷𝑝(𝑃𝑛) = [∫ |𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹(𝑥)|𝑝𝑑𝑥

ℝ𝑆 ]1

𝑝⁄ (2.76)

Vlera të ndryshme të p-së krijojnë matje të ndryshme mospërputhjesh. Një zgjedhje e

zakonshme është që të zgjedhim p të barabartë me ∞, mospërputhja që rezulton L∞ (gjithashtu

e referuar si mospërputhja protagoniste ose thjeshtë mospërputhja) është atëherë:

𝐷(𝑃𝑛) = 𝑠𝑢𝑝𝑥∈ℝ𝑛|𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹(𝑥)| (2.77)

Problemi me Dizajnin Uniform është se zgjedhja e 𝑃𝑛∗ është në vetvete një problem i vështirë.

(Fang dhe Lin 2003) jep një pasqyrë të teknikave të gjenerimit të dizajnit. Për problemet me

dimension të ulët - replikim të ulët, tabelat janë disponibël, shih për shembull (Wang, Lin dhe

të tjerët, 1995). Për dizajne relativisht të mëdha, tabelat mund të gjenerohen në mënyrë

interaktive nga faqja e internetit e dizajnit uniform8. Dizajne më të mëdha mund të gjenerohen

duke përdorur aplikacionin softuerik të Dizajnit Uniform (Fang and Du 1998).

Figura 2-6 tregon shembuj të UD-ve të gjeneruara në R2 për madhësitë e kampionëve prej 100

dhe 200 duke përdorur softuerin e Dizajnit Uniform.

7 Megjithëse përzgjedhja e pikave të dizajnit uniform është deterministe, UD në përgjithësi nuk është

unik në atë që dizajne të shumta mund të ekzistojnë me të njëjtën masë të mospërputhjes 8 Faqja e internetit të Dizajnit Uniform ( http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign/ ) është e lidhur

me Universitetin Baptist të Hong Kongut.

http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign/


51

Figura 2-6 Shembull i Dizajneve Uniforme 2 Dimensionale

Shohim se dizajni vendos pikat në të gjithë rajonin në një model që është ai i mbushjes

hapësinore dhe nuk shfaq ndonjë model të dukshëm9. Për një dimension vektorial të dhënë dhe

madhësi kampionimi, Dizajni Uniform krijon një përafrim determinist të dendësisë uniforme

n-dimensionale10. Transformimi në densitete të tjera është i thjeshtë, shih për shembull (Wang,

Lin dhe të tjerët, 1995).

Aplikime

Përdorimi ynë i dizajnit eksperimental është dy herësh. Së pari, dëshirojmë të analizojmë

përgjigjen e modelit ndaj ndryshimeve në parametrat deterministë. Për këtë arsye përdorim

dizajne formale eksperimentale për të zhvilluar një analizë efiçente të ndjeshmërisë. Së dyti,

jemi të interesuar në adoptimin e teknikave të dizajnit eksperimental për të krijuar përfaqësime

efiçente të parametrave të rastit në eksperimentet tona. Një mekanizëm i drejtpërdrejtë për

përfaqësimin e vektorit të parametrave të rastit është nëpërmjet kampionimit të rastit nëpërmjet

simulimit. Teknikat për gjenerimin e shtigjeve të kampionimit përmes simulimit diskutohen

gjerësisht në literaturën e simulimit (Johnson 1987, Law and Kelton 2000). Kampionimet e

rsatit janë të lehta për t’u gjeneruar dhe kanë karakteristikat e dëshiruara që gabimi diskret i

përafrimit tenton të zerohet kur madhësia e kampionit bëhet e madhe (Dupacova dhe Wets

1988). Megjithatë, kostoja e zgjidhjes së programimit stokastik rritet në mënyrë jo lineare me

madhësinë e kampionimit kështu qe përqasja e kampionimit të rastit mund të mos jetë shumë

efiçente.

Një alternativë është të përafrohet funksioni i densitetit të probabilitetit me një funksion të

masës të vogël disktret të kampionimit. Për shembull, një metodë e bazuar në Kuadrature

Gaussiane mund të përdoret për të gjeneruar një përafrim prej 3 pikësh që ruan mesataren dhe

variancën e funksionit të densitetit (Miller dhe Rice 1983). Përndryshe, disa studiues kanë

zbatuar teknika thuajse-rastësore, siç është Kampionimi Latin Hypercube, për të krijuar

kampionime efiçente. (McKay, Beckman et al. 1979) përdorin dizajne eksperimentale në

9 Çështjet që lidhen me vëzhgimin e modeleve në dizajnet uniforme janë diskutuar në Santer dhe

Willaims et. al (2003) f. 147-148. Programimi UD i eliminon këto çështje vetëm duke marrë parasysh

matricat e dizajnit të gradës d, një kufizim që nuk kërkohet nga përkufizimi i UD. 10 Versioni aktual i softuerit gjeneron dizajne me deri në 30 faktorë dhe 600 vëzhgime


52

vlerësimin e një eksperimenti të simulimit të vazhdueshëm. (Simpson, Lin et al. 2001) heton

dizajnet LH dhe UD në vlerësimin e dy simulimeve inxhinierike.

Autorë të ndryshëm e kanë shtrirë këtë koncept për të përdorur dizajnet eksperimentale të

mbushjes hapësinore për të krijuar bashkësi skenarësh efiçentë për programimet stokastike.

Linderoth et al. kryejnë një test empirik të detajuar të disa programimeve stokastike duke

përdorur kampionime të rastit dhe LH (Linderoth, Shapiro et al. 2006). (Freimer, Thomas et al.

2006) krahasojnë kampionimet e rastit me kampionimet LH, dhe variantet e kundërta në

kontekstin e programimeve stokastike. (Mo, Harrison et al. 2006) përdorin UD në një model

stokastik lokacioni logjistike.

Në rishikimin e mësipërm përmbledh literaturën në fushat kryesore të lidhura me këtë tezë.

Disertacioni në vazhdim do të përmbledhë së bashku këto fusha dhe do t'i zbatojë ato në

problemin e menaxhimit të kapacitetit të call center-ave.


53

KAPITULLI 3: MODELET NË CALL CENTER-IN E

KONSIDERUAR DHE PËRDORIMI I TYRE NË PARASHIKIM

3.1. Modeli i Skedulimit Afatshkurtër

Objektivi i modelit të skedulimit afatshkurtër është për të përcaktuar turne optimale duke

konsideruar kohën e mbërritjejes si madhësi e rastit. Modeli zhvillon një skedulim javor të

dizenjuar për të arritur një Nivel Shërbimi të caktuar, në bazë të marrëveshjes, duke caktuar një

“gjobë” financiare që bazohet në probabilitetin e mos arritjes së objetktivit të Nivelit të

Shërbimit. Formulohet dhe zgjidhet si një programim stokastik dhe optimizohet në bazë të një

serie të një modeli javor të stimuluar të mbërritjeve. Ndërkohë që objektivi ekplicit është të

modelojmë një model specifik të skedulimit në bazë të një situate të dhënë, një objektiv

sekondar është studimi i impaktit që ka madhësia e rastit në procesin e skedulimit. Duke qënë

se pjesa më e madhe e modeleve të skedulimit e injorojnë pasigurinë në Kohën e mbërritjeve,

do mundohemi të kuptojmë se si ndikon kjo e fundit në skedulimin optimal dhe me koston që i

shoqërohet.

Më pas do të formulojmë një model bashkë me algoritmin e zgjidhjes. Gjithashtu do të shohim

supozime të ndryshme të përdorura në formulimin e modelit dhe do të vlerësohet se sa i kuruar

është modeli për të parashikuar Nivelet e Shërbimit. Më pas do të diskutohet çështja e

kompromisit ndërmjet kostove dhe nivelit të shërbimit dhe impaktin e variacionit në skedulimin

optimal. Më tej do të krahasohet modeli stokastik me modelin me vlerë mesatare të përcaktuar,

do të analizohet impakti në fleksibilitetin e organizimit të stafit dhe do të vlerësohet impakti që

personat part-time kanë në koston totale të dhënies së shërbimit.

3.1.1. Formulimi i problemit dhe përqasja ndaj zgjidhjes

Në këtë model do të përpiqem të gjej një plan të organizimit të stafit me kosto minimale që

plotëson një përmbushje të nivelit global të shërbimit. Modeli vlerëson numrin e thirrjeve që

plotësojnë kërkesat e nivelit të shërbimit në çdo periudhë duke bërë një përafrim linear të kurbës

së TSF-së; një kurbë që i referohet numrit të ajgentëve me një nivel të caktuar shërbimi me një

norme të caktuar të mbërritjes. Gjenerojmë përafrimin linear të kurbës së TSF-së duke u bazuar

në një model të Erlang A që vlerëson nivelet e braktisjeve bazuar në një shpërndarje

eksponenciale të durimit. Duke qënë se modeli lejon braktisjen, mbetet e vlefshme nëse norma

e mbërritjes e kalon normën e shërbimit. Modeli Erlang C në anën tjetër bëhet i papërcaktuar

në këtë kusht dhe madhësia e radhës bëhet e pafundme. Për shkak të nivelit të lartë të

ndryshueshmërisë në mjedisin e asistencës teknike, norma e mbërritjeve do të tejkalojë shpesh

nivelet e shërbimit, të paktën përkohësisht. Kjo ndodh në qoftë se përjetojmë maksimume të

paplanifikuara në mbërritje. Mund të ndodhë edhe me planifikim për periudha të shkurtra të

kërkesës (të njohur) të lartë.

Do ta formulojmë modelin si një programim stokastik të integruar me dy faza. Në fazën e parë

janë marrë vendimet e organizimit të stafit dhe në fazën e dytë janë realizuar volumet e

telefonatave dhe llogarisim arritjen e niveleve të shërbimit (Ekmekçiu 2016).

Formulimi

Do të formuloj një model me përkufizimet e mëposhtme:

Bashkësitë Variablat e vendimmarrjes


54

I: periudha kohore xj: numri i personave të caktuar për skedulimin j

J: skedulimet e mundshme

K: skenarët

H: pikët në një përafrim linear

Parametrat deterministe Variablat

e gjëndjes

cj: kostoja e skedulimit j yik: numri i telefonatave në

periudhën i të skenarit k të përgjigjura

brenda niveleve të shërbimit

aij: tregon në qoftë se skedulimi j është stafuar në kohën i Sk: Mungesa e TSF-së në

skenarin k

g: objektivi i niveleveve globale të shërbimit

mikh: përkulja e përafrimit të pjesshëm të TSF-së h në peridhën i i skenarit k

bikh: intercepti i përafrimit të pjesshëm të TSF-së h në peridhën i i skenarit k

pk: probabiliteti i skenarit k Parametrat

Stokastike

µi: numri minimal i agjentëve në periudhën i nik: numri i telefonatave

në periudhën i të skenarit k

ηj: numri maksimal i agjentëve që mund t’i caktohen skedulimit j

r: kosto e gjobës për çdo pikë të mugesës së TSF-së

Ky model mund të shprehet si më poshtë:

Të minimizohet:

∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑗∊𝐽 + ∑ 𝑝𝑘𝑟𝑆𝑘𝑘∊𝐾 (3.1)

Me kushtet:

𝑦𝑖𝑘 ≤ 𝑚𝑖𝑘ℎ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑏𝑖𝑘ℎ 𝑗∈𝐽 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾, ℎ ∈ 𝐻 (3.2)

∑ 𝑛𝑖𝑘𝑆𝑘 ≥ ∑ (𝑔𝑛𝑖𝑘 − 𝑦𝑖𝑘)𝑖∈𝐼 𝑖∈𝐼 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾 (3.3)

𝑦𝑖𝑘 ≤ 𝑛𝑖𝑘 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾 (3.4)

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝜇𝑖𝑗∈𝐽 ∀𝑖 ∈ 𝐼 (3.5)

𝑥𝑗 ≤ 𝔶𝑗 ∀𝑗 ∈ 𝐽 (3.6)

𝑥𝑗 ∈ 𝑍+, 𝑦𝑖𝑘 ∈ ℝ+, 𝑆𝑘 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾 (3.7)


55

Qëllimi i këtij modeli është të minimizojë koston totale të organizimit të stafit plus koston e

pritur të gjobës që lidhet me dështimin për të arritur nivelin e dëshiruar të shërbimit. Optimizimi

ndodh gjatë një realizimi të një bashkësie K të realizimit të mostrave të mbërritjeve të thirrjeve.

Këto mostra quhen skenarë. Kufizimi (3.2) përcakton variablin yik si numri i thirrjeve të

përgjigjura brenda niveleve të shërbimit në periudhën i të skenarit k bazuar në një përafrim

konveks linear të kurbës TSF. Kufizimi (3.3) llogarit mungesën proporcionale të TSF-së;

maksimumi i diferencës në pikë përqindjeje midis TSF--së objektiv dhe TSF-së së arritur dhe

zeros. Kufizimi (3.4) limiton thirrjet e përgjigjura brenda objektivit të nivelit të shërbimit nga

thirrjet totale të marra gjatë periudhës. Kufizimi (3.5) përcakton numrin minimal të agjentëve

në çdo periudhë. Kufizimi (3.6) përcakton një kufi të sipërm të numrit të agjentëve të caktuar

për secilin orar. Kufizimi (3.7) përcakton kushtet e jo-negativitetit dhe numrave të plotë për

variablat e programimit.

Ky model rrjedh nga formulimi bazë i mbulimit të bashkësive në modele të tilla si (Dantzig

1954), por me zgjerimet e mëposhtme:

• Madhësia e serverit dhe hapat e caktimit të skedulimit të stafit janë të kombinuara në

një programim optimizimi.

• Modeli është përcaktuar në mënyrë eksplicite për një proces radhësh me një normë

mbërritjesh jo homogjene.

• Modeli në mënyrë eksplicite pranon se norma e mbërritjes është një ndryshore e rastit.

• Ky model specifikon si kufizimin e performancës periudhë pas periudhe dhe gjithashtu

një kufizim global të saj.

• Modeli përdor një përafrim linear për kurbën e TSF-së që rrjedh nga një model Erlang

A.

Madhësia e modelit, dhe rrjedhimisht përpjekja kompjuterike e kërkuar për ta zgjidhur atë,

drejtohet më së shumti nga dy faktorë; numri i skedulimeve të mundshme (J) dhe numri i

skenarëve (K). Numri i variablave të numrave të plotë është i barabartë me numrin e

skedulimeve, ndërsa numri i variablave të vazhdueshëm është i barabartë me prodhimin e

numrit të skenarëve dhe numrit të periudhave kohore, plus numrin e skenarëve.

Në këtë analizë po krijojmë skedulimet për një javë (me ndërprerje të qartë midis turneve, por

jo brenda turneve). Në raste të thjeshta kur lejoj vetëm pesë ditë në javë me turn tetë-orarsh,

numri i skedulimeve të mundshme është 576. Në raste më komplekse ku kemi një gamë më të

gjerë të mundësive të skelulimit part-time ose full-time, kemi 3,696 skedulime. Do të hetoj

numrin e skenarëve të kërkuar në seksionin tjetër, por 50 skenarë nuk janë të paarsyeshme. Kjo

nënkupton kërkesën për të zgjidhur modele me 3,696 variabla si numra të plotë dhe mbi 16,000

variabla të vazhdueshëm.

Gjenerimi i skenarëve

Ky programim (3.1)-(3.7) është zgjidhur mbi disa bashkësi të rezultateve të mostrave nga

modeli statistikor i modeleve të mbërritjes së thirrjeve. Një algoritëm për gjenerimin e thirrjeve

të simuluara është paraqitur në figurën 1-8 dhe po e përsëris këtu për lehtësi.


56

Figura 3-1 Algoritmi i Gjenerimit të Simuluar të Telefonatave

Ky algoritëm është koduar në Visual Basic.Net dhe përdoret për të gjeneruar skenarë për

algoritmin e optimizimit. Programimi është projektuar për të krijuar skenarë në grupe me

madhësi të ndryshueshme. Çdo grup është plotësisht i pavarur nga grupet e tjera; pra skenari i

parë në një seri prej 50 skenarësh është i ndryshëm nga skenari i parë në një seri prej 100

skenarësh. Algoritmi shkruan volumet e telefonatave në një file që mund të lexohet direkt nga

sistemi GAMS11.

Algoritmi i Zgjidhjes

Ky model është formuluar si një MIP (Programim i Përzierë i Numrave të Plotë) dhe si i tillë

mund të zgjidhet nga një algoritëm i numërimit të nënkuptuar (degë dhe nyje). Dega dhe nyjet

punojnë mirë për probleme më të vogla, por tenton të ngecë me rritjen e numrit të skenarëve.

Për të lehtësuar zgjidhjen e problemeve të shkallës së lartë implementova një version të

algoritmit të dekompozimit të formës L (Birge and Louveaux 1997).

Metoda ime e dekompozimit është një zbatim i drejtpërdrejtë i kësaj metode, i përshtatur për

një fazë të parë diskrete. E dekompozoj problemin në, një problem kryesor ku merret vendimi

i organizimit të stafit, dhe një seri nën-problemesh ku mungesa e TSF-së llogaritet për secilin

skenar.

Duke shënuar me v vlerësimin e përsëritjeve të mëdha të algoritmit, θv koston e përafërt të

rekursionit, dhe Eikv dhe eik

v koeficientët e prerjeve të funksionit të rekursionit, problemi master

mund të përcaktohet si:

Të minimizohet

∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑗∈𝐽 + 𝜃𝑣 (3.8)

Me kushtet:

11 GAMS është sistemi për përdoruesin e fundit i përdorur për të përcaktuar modelin dhe kodin e

algoritmit të zgjidhjes. GAMS bazohet tek CPLEX, i cili në të vërtetë zgjidh programimet lineare dhe

me numra të plotë.


57

𝜃𝑣 ≥ ∑ 𝑝𝑘𝐸𝑖𝑘𝑣 ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑒𝑖𝑘

𝑣𝑗∈𝐽𝑘∈𝐾 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑣 (3.9)

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝜇𝑖𝑗∈𝐽 ∀𝑖 ∈ 𝐼 (3.10)

𝑥𝑗 ≤ 𝔶𝑗 ∀𝑗 ∈ 𝐽 (3.11)

𝑥𝑗 ∈ 𝑍+, 𝜃𝑣 ∈ ℝ+ ∀𝑗 ∈ 𝐽 (3.12)

Në këtë problem θv përfaqëson një parashikim të afatit të “gjobës” si pasojë e mungesës së TSF-

së. Le të jenë (xv, Ɵv) një zgjidhje optimale.

Për çdo realizim të vektorit të rastit k = 1, ..., K më pas zgjidhim nën-problemin e mëposhtëm

Të minimizohet

𝑟𝑆𝑘 (3.13)

Me kushtet:

𝑦𝑖𝑘 ≤ 𝑚𝑖𝑘ℎ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑣 + 𝑏𝑖𝑘ℎ 𝑗∈𝐽 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾, ℎ ∈ 𝐻 (3.14)

∑ 𝑛𝑖𝑘𝑆𝑘 ≥ ∑ (𝑔𝑛𝑖𝑘 − 𝑦𝑖𝑘)𝑖∈𝐼 𝑖∈𝐼 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (3.15)

𝑦𝑖𝑘 ≤ 𝑛𝑑𝑖𝑘 ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾 (3.16)

𝑥𝑗𝑣 ∈ 𝑍+, 𝑦𝑖𝑗 ∈ ℝ+, 𝑆𝑘 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐾, ℎ ∈ 𝐻 (3.17)

Do të përdor variablat dualë nga zgjidhja e grupit të nënproblemave për të përmirësuar

përafrimin e afatit të gjobës. Le të jetë π1ikhv variabli dual i lidhur me (3.14), π2k

v variabli dual

i lidhur me (3.15) dhe π3ikv variabli dual i lidhur me (3.16). Më pas do të llogaris parametrat e

mëposhtëm të përdorur për prodhimin e prerjes:

𝐸𝑖𝑘𝑣+1 = ∑ ∑ 𝜋1𝑖𝑘ℎ

𝑣 𝑚𝑖𝑘ℎ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗𝑣

𝑗∈𝐽ℎ∈𝐻𝑖∈𝐼 (3.18)

𝑒𝑘𝑣+1 = ∑ [𝜋3𝑖𝑘

𝑣 𝑛𝑖𝑘 + ∑ 𝜋1𝑖𝑘ℎ𝑣 𝑏𝑖𝑘ℎ𝑛𝑖𝑘ℎ∈𝐻 ] − 𝜋2𝑘

𝑣𝑔 ∑ 𝑛𝑖𝑘𝑖∈𝐼𝑖∈𝐼 (3.19)

Do të përdor këto vlera për të gjeneruar një kufizim të formës (3.9). Përcaktoj v = v + 1, shtoj

kufizimin në problemin master dhe përsëris. Algoritmi zgjidh programimin master pastaj zgjidh

çdo nën-programim për nivelin e organizimit të stafit fiks të përcaktuar në zgjidhjen master.

Bazuar në zgjidhjen e nënproblemave, çdo përsëritje shton një prerje të vetme në problemin

master. Këto shkurtime krijojnë një linearizim të jashtëm të funksionit të “gjobës” (Geoffrion

1970).

Zgjidhja e problemit master siguron një kufizim më të ulët në zgjidhjen optimale, ndërsa

mesatarja e zgjidhjeve të nënproblemave siguron një kufizim të sipërm. Në implementimin tonë

do të zgjidh relaksimin me programim linear të masterit derisa të arrihet një nivel i parë i

tolerancës në hendekun e optimizimit dhe pastaj riaplikoj kufizimet e integralitetit. Do të

vazhdoj përsëritjen midis programimit master dhe nënprogramimit derisa të arrihet një

tolerancë finale e hendekut.


58

Ndërsa metoda me degë dhe nyje zgjidh një MIP të vetëm të madh, dekompozimi zgjidh një

numër të madh të problemeve të programimit linear relativisht të vogla dhe një MIP12 të vetëm

të moderuar. Avantazhi i përqasjes së dekompozimit është se koha e zgjidhjes do të tentojë të

rritet si një funksion përafërsisht linear i numrit të skenarëve, ndërsa algoritmi i degëve dhe

nyjeve do të rritet si një funksion jolinear i numrit të skenarëve.

Grafiku i mëposhtëm tregon rezultatet e zgjidhjes së një instance me një numër të moderuar të

skedulimeve (384) dhe një numër të ndryshueshëm skenarësh duke përdorur një zgjidhje me

degë dhe nyje të formës së gjerë dhe algoritmin e dekompozimit. Në secilin rast kam zgjidhur

pesë instanca me një grup skenarësh të gjeneruar rastësisht.

Figura 3-2 Kohët e zgjidhjes Mesatare

Grafiku tregon se koha e zgjidhjes për metodën e formës L rritet në mënyrë përafërsisht lineare

me numrin e skenarëve. Koha mesatare e zgjidhjes për algoritmin me degë dhe nyje është më i

madh në çdo rast, megjithëse është disi i çrregullt; koha mesatare e zgjidhjes për 150 skenarë

është, për shembull, më e vogël se koha mesatare e zgjidhjes për 100 skenarë. Grafikët e

mëposhtëm ilustrojnë kohën e zgjidhjes individuale:

12 Një shembull përfaqësues me 100 skenarë kërkonte 30 përsëritje kryesore, duke kërkuar kështu

zgjidhjen e problemit master 30 herë, dhe nënproblemin 3,000 herë. Problemi master u zgjidh si një

relaksim programimi linear 26 herë dhe si një MIP 4 herë.


59

Figura 3-3 Kohët e Zgjidhjes individuale

Varianca e kohëve të zgjidhjes për metodën e formës L është shumë më e ulët se sa për atë me

degë dhe nyje. Performanca mesatare e metodës me degë dhe nyje është shumë e ndikuar nga

koha e zgjidhjes së rastit më të keq. Vini re se këto kohë të zgjidhjes janë për raste me vetëm

një numër të moderuar të skedulimeve (384). Në eksperimentet e mëvonshme do të rrisim

numrin e skedulimeve në mbi 2,000 kur të shohim disa mundësi më fleksibile të organizimit të

stafit.


60

Duke pasur parasysh se secili opsion i skedulimit krijon një variabël si numër të plotë duke

zgjidhur këto probleme më të mëdha me degë dhe nyje do të jetë jashtëzakonisht e vështirë13.

Grafiku i mëposhtëm ilustron konvergjencën e algoritmit të dekompozimit të formës L14:

Figura 3-4 Konvergjenca e Algoritmit të Formës L

Siç është rasti me një algorittem me degë dhe nyje, kufij relativisht të mirë gjenden në përsëritjet

e para. Konvergjenca pastaj ngadalësohet pasi çdo përsëritje e njëpasnjëshme pret një zonë më

të vogël nga zona e mundshme i (3.8) - (3.12). Në këtë rast të veçantë, relaksimi është zgjidhur

41 herë dhe MIP është zgjidhur 4 herë. Një zhvendosje e lehtë në kufijtë ndodh kur kufizimet

e tërësisë përdoren përsëri në përsëritjen 42. Përplasja që ndodh kur kufizimet e tërësisë janë

ripërdorur në këtë dhe në shumë raste të tjera, është mjaft e vogël. Besoj se kjo është për shkak

të dy fakteve. Së pari, deri në momentin kur janë riaplikuar kufizimet e tërësisë, aplikohet një

numër i madh prerjesh, duke e ngushtuar kërkimin në një rajon relativisht të vogël. Së dyti, një

shembull i problemit që mbulon grupin e ponderuar, me shumë opsione skeduilimi, ka një

numër të madh të zgjidhjeve pothuajse identike. Në disa raste kur algoritmi kalon në modalitetin

MIP me shkurtime/prerje më të vogla, siç është kur shkalla e “gjobës” është vendosur në zero,

përplasja është më e rëndësishme dhe koha për të zgjidhur MIP përfundimtar mund të jetë

shumë më e gjatë.

Kjo analizë tregon se metoda e dekompozimit siguron një përqasje përgjithësisht superiore për

zgjidhjen e shumicës së rasteve të këtij problemi. Është më e shkallëzuar dhe koha e zgjidhjes

tenton të jetë më pak e ndryshueshme. Pjesa tjetër e kësaj analize bazohet në një algoritëm të

dekompozimit.

Analiza pas Optimizimit

13 Kam zgjidhur rastet e problemit me 500 skenarë duke përdorur metodën e formës L dhe duket se nuk

ka asnjë kufizim të sipërm mbi të cilin problemi nuk do të zgjidhet siç është shpesh rasti me degë nyje.

14 Ky rast i veçantë kishte 384 skedulime dhe 100 skenarë


61

Zgjidhja e (3.1) - (3.7) është zgjidhja optimale e problemit të trajektores kampion. E shënojmë

këtë zgjidhje si zn*, ku n është numri i skenarëve të përdorur për të llogaritur zgjidhjen. Ky

është një parashikim i njëanshëm i zgjidhjes së problemit të vërtetë; që është problemi i

vlerësuar kundër shpërndarjes së vazhdueshme të normave të mbërritjes. Do ta shënoj me z*

zgjidhjen e vërtetë. (Mak, Morton et al. 1999) tregojnë se gabimi i pritur në zgjidhje është në

rënie me madhësinë e kampionit.

𝐸[𝑧𝑛∗ ] ≤ 𝐸[𝑧𝑛+1

∗ ] ≤ 𝑧∗ (3.20)

Nga një perspektivë praktike, një vendim kyç është përcaktimi i numrit të skenarëve që duhet

përdorur në optimizimin tonë. Ndërsa rris numrin e skenarëve, zgjidhja bëhet një përafrim më

i mirë i zgjidhjes së vërtetë, por kostoja kompjuterike e gjetjes së kësaj zgjidhjeje rritet.

Për të ndihmuar në këtë proces, do të bëj një vlerësim të post-optimizimit të zgjidhjes kandidate

duke përdorur një proces kufizimi Monte-Carlo të përshkruar në (Mak, Morton et al., 1999).

Do të shënoj me x^ zgjidhjen e problemit kampion. Më pas do të zgjidh nënprogramimin (3.13)

- (3.17) duke përdorur x^ si zgjidhjen kandidat, për të marrë koston e pritshme të implementimit

të kësaj zgjidhjeje. Në këtë analizë do të zgjidh nënprogramimin me nu të barabartë me 500

skenarë të gjeneruar në mënyrë të pavarur nga skenarët e përdorur në optimizim. Zgjidhja e

nënprogramimit na jep një kufi të sipërm në zgjidhjen e vërtetë, ndërsa zgjidhja e problemit

origjinal zn* është një kufizim i poshtëm.

Për të marrë kufij më të mirë për zgjidhjen e vërtetë optimale mund të zgjedhim për të zgjidhur

problemin origjinal disa herë, secilën herë me skenarë të gjeneruar në mënyrë të pavarur.

Shënojmë numrin e grupeve (grupet e skenarëve) që përdoren për të zgjidhur problemin

origjinal me nl dhe variancën e kampionit të objektivit si sl (nl). Në mënyrë të ngjashme kam

llogaritur variancën e kampionit të rezultatit të pritshëm të zgjidhjes kandidate kundrejt nu

skenarëve të vlerësimit. Më pas mund të përcaktojmë gabimet e mëposhtme standarde:

𝜀�̃� =𝑡𝑛𝑢−1,𝛼𝑠𝑢(𝑛𝑢)

√𝑛𝑢 (3.21)

𝜀�̃� =𝑡𝑛𝑙−1,𝛼𝑠𝑙(𝑛𝑙)

√𝑛𝑙 (3.22)

Ku 𝑡𝑛𝑢−1,𝛼 është një statistikë t standarde, p.sh. P{𝑇𝑛 ≤ 𝑡𝑛𝑢−1,𝛼}= 1 - α. Tani mund të

përcaktojmë një interval të përafërt konfidence (1 - 2α) në hendekun e optimizimit si:

[0, [𝑈(𝑛𝑢) − �̅�(𝑛𝑙)]+ + 𝜀�̃� + 𝜀�̃�] (3.23)

Për t’u vënë re që marrim pjesën pozitive të diferencës ndërmjet kufijve të sipërm dhe të

poshtëm sepse është e mundur, për shkak të gabimit të kampionimit, që kjo diferencë të jetë

negative. Kjo proçedurë na lejon të gjenerojmë një kufi statistikor mbi cilësinë e zgjidhjes sonë,

domethënë distancën e mundshme nga optimumi i vërtetë.

3.1.2. Përafrimi TSF dhe SIPP

Ky model përpiqet të gjenerojë një plan skedulimi që plotëson një Marrëveshje të Nivelit të

Shërbimit (SLA) me një kosto minimale. Për hir të kësaj analize, supozoj që SLA është

përcaktuar bazuar vetëm në TSF. Për ta bërë këtë në mënyrë efektive, programimi i optimizimit

duhet të vlerësojë nivelin e shërbimit që do të arrihet për çdo plan skedulimi të stafit për çdo

realizim të telefonatave. Në këtë seksion do të përshkruaj përqasjen e përdorur për të vlerësuar


62

TSF dhe do të dokumentoj supozimet e përdorura në zhvillimin e këtij vlerësimi. Më pas do të

përpiqem të çertifikoj vlerësimin duke përdorur një model simulimi të ngjarjes diskrete.

Llogaritjet bazë të TSF-së

Modeli bazë i përdorur për të vlerësuar nivelin e shërbimit në këtë analizë është modeli Erlang

A. Modeli Erlang A është një model i pranuar gjerësisht për sistemet e call center-ave me

shkallë e braktisjeje jo të parëndësishme. Detajet e modelit Erlang A janë paraqitur në seksionin

2.2 dhe janë përmbledhur këtu. Erlang A supozon se thirrjet mbërrijnë nëpërmjet një procesi

Puasoni me normë λ dhe shërbehen nga një sërë operatorësh homogjenë me një kohë shërbimi

të shpërndarë në mënyrë eksponenciale me mesatare 1/μ. Nëse asnjë operator nuk është në

dispozicion kur thirrja mbërrin, vendoset në një radhë me kapacitet të pafundëm ku pret

operatorin tjetër në dispozicion. Secili telefonues ka një nivel të durimit i cili është i pavarur

dhe i shpërndarë në mënyrë të njejtë nga një shpërndarje eksponenciale me mesatare 1/θ. Nëse

një telefonues nuk është shërbyer brenda kohës kur durimi i tij skadon, ai mbyll telefonatën.

Call center-i supozohet gjithashtu të ketë kapacitet të pafundëm kështu që asnjë thirrje nuk

bllokohet.

Në një gjendje të qëndrueshme, vendimi i organizimit të stafit përfshin pastaj parashikimin e

shkallës së mbërritjeve λi dhe vendosjen e nivelit të organizimit të stafit bazuar në ekuacionin

(2.29). Modeli Erlang A është i vështirë për t'u llogaritur dhe do të përdor një sërë përafrimesh

të përcaktuara qartë në ekuacione (2.14) - (2.29). Rezultati është një kurbë jolineare e formës S

që për një normë fikse të mbërritjes, tregon nivelin e arritur të shërbimit me numrin e

operatorëve të stafuar. Figura në vijim tregon një shembull.

Figura 3-5 Kurba TSF për një normë fikse të mbërritjeve

Përafrimi Linear me Pjesë

Nga ky grafik duket qartë se kurba e TSF-së nuk është as konvekse as konkave mbi gamën e

plotë të organizimit të stafit. Për nivele shumë të ulëta të organizimit të stafit, ku performanca

është shumë e dobët, kurba është konvekse dhe shohim rritje të efikasitetit nga rritja e

organizimit të stafit. Për nivelet më të larta të numrit të personelit, kurba bëhet konkave dhe

ndikimi i rritjes së organizimit të stafit zvogëlohet. Vini re se zona e konveksitetit korrespondon

me performancën shumë të dobët të sistemit; një zonë ku nuk planifikojmë të veprojmë. Përveç


63

kësaj, përfshirja e këtij funksioni në modelin tonë të optimizimit krijon një problem optimizues

jo konveks.

Për të adresuar këtë problem, krijoj një përafrim linear dhe konveks të copëzuar në kurbën TSF

siç tregohet në figurën e mëposhtme:

Figura 3-6 Përafrimi Linear me Pjesë i TSF-së

Në këtë grafik, vijat e drejta përfaqësojnë kufizimet individuale dhe funksioni linear me pjesë

është përafrimi im i vijës jolineare15. Përafrimi linear me pjesë dhe kurba e vërtetë e TSF-së

janë shumë afër për nivelet e organizimit të stafit mbi 15 për këto të dhëna16. Për nivele shumë

të ulëta të organizimit të stafit, përafrimi linear do të penalizojë tepër performancën,

potencialisht duke llogaritur një nivel negativ të TSF-së. Supozimi im është se jemi pothuajse

gjithmonë duke vepruar në rajonin e performancës më të lartë; e kufizoj problemin në mënyrë

që performanca e pritshme në çdo periudhë të jetë mbi disa nivele të kufirit minimal prej 50%.

Vetëm në rastin e ndonjë shoku shumë të madh do të drejtohemi në rajonin e performancës së

dobët.

Mbërritjet jo stacionare

Do të vlerësoj TSF-në në çdo periudhë duke përdorur ekuacionet (2.14) - (2.29). Megjithatë,

këto ekuacione bazohen në sjelljen kufizuese në gjendje të qëndrueshme. Për pjesën më të

madhe, analiza jonë ka të bëjë me sjelljen e përkohshme jostacionare. Në analizën time përdor

një përafrim Stacionar të Pavarur Periudhë pas Periudhe. Përqasja e SIPP përshkruhet më

hollësisht në (Green, Kolesar et al. 2001) dhe është shqyrtuar në kapitullin e dytë të kësaj teze.

Në thelb në këtë përqasje ndaj çdo ditë në 48 periudha prej 30 minutash secila.

Pastaj vlerësoj numrin mesatar të thirrjeve të marra në atë periudhë, përcaktoj normën e

mbërritjes në mënyrë të përshtatshme dhe supozoj se sjellja në gjendje të qëndrueshme arrihet

15 Ky grafik ka pesë segmente linearë, duke përfshirë një segment horizontal në një nivel shërbimi prej

100%. Modeli i optimizimit kërkon që TSF-ja të jetë më pak se secili segment i drejtëzave. Procesi i

optimizimit do t'i detyrojë këto kufizime të jenë detyruese. 16 Në përgjithësi, përafrimi i copëzuar do të sigurojë një përafrim të mirë nëse nivelet e organizimit të

stafit janë të mëdha mjaftueshëm; dmth nëse nivelet e organizimit të stafit janë mbi pikën më të ulët të

fluksit të kurbës TSF.


64

shpejt në atë periudhë. Prandaj supozoj që ekuacionet (2.14) - (2.29) mund të përdoren për të

vlerësuar performancën e sistemit në çdo periudhë 30 minutëshe duke përdorur ardhje mesatare.

Në zbatimin e përqasjes SIPP, supozohet të ndryshojë shkalla e mbërritjes në fillim të çdo 30

minutëshi, siç tregohet në figurën e mëposhtme:

Figura 3-7 Normat e Mbërritjes për Përafrimin SIPP

Është e qartë që këto supozime kanë potencial për të shfaqur gabime të rëndësishme dhe

literatura sugjeron disa modifikime të kësaj përqasjeje, pikërisht përqasjet e quajtura SIPP Max

dhe SIPP Mix, të cilat tentojnë të dyja të sistemojnë paragjykimin e performancës në përqasjen

standarde të SIPP. Mund të përcaktojmë të tre përqasjet alternative si më poshtë. Le të jenë n(t)

mbërritjet e stimuluara që ndodhin në periudhën (tridhjetë minutësh) t, dhe le të jetë λ(t) treguesi

i shkallës së mbërritjeve që përdoret për të llogaritur nivelin e shërbimit.

Në përqasjen standarde të SIPP-së, norma e mbërritjes është

𝜆(𝑡) = 2𝑛(𝑡) (3.24)

Përqasja e SIPP Max përdor shifrën maksimale të mbërritjes përgjatë periudhës. E implementoj

këtë si maksimumin e normës së mbërritjes në periudhën aktuale, mesataren e normave aktuale

dhe të mëparshme, dhe mesataren e normave të tanishme dhe për pasueset.

𝜆(𝑡) = 2 ∙ 𝑚𝑎𝑥[(𝑛(𝑡 − 1) + 𝑛(𝑡))/2, 𝑛(𝑡), (𝑛(𝑡) + 𝑛(𝑡 + 1))/2] (3.25)

Në fund, përqasja SIPP Mix përdor normën aktuale të mbërritjes kur normat janë në rritje, por

mesataren e normave të mëparshme dhe aktuale kur normat janë në rënie.

𝜆(𝑡) = {2𝑛(𝑡) 𝑛(𝑡) > 𝑛(𝑡 − 1)

𝑛(𝑡) + 𝑛(𝑡 − 1) 𝑛(𝑡) ≤ 𝑛(𝑡 − 1) (3.26)

Përafrimi i TSF-së bazuar në Skenarë

Llogaritjet e TSF-së të përcaktuara më sipër bazohen në volumin e telefonatave në çdo periudhë

30 minutash, nik, e cila është një ndryshore e rastit. Përllogaritjet e TSF-së varen nga drejtimi i


65

kampionit dhe duhet të përfshihen në algoritmin e gjenerimit të skenarit. Një algoritëm

gjithëpërfshirës për gjenerimin e skenarit sigurohet më pas nga algoritmi i mëposhtëm:

1) Gjenero një javë të volumit të telefonatave duke përdorur algoritmin e treguar në Figurën 3-1.

2) Bazuar në metodën SIPP llogarit normën e mbërritjes për periudhë duke përdorur ekuacionet

(3.24), (3.25) ose (3.26).

3) Për një volum të caktuar të telefonatave, zgjidh h +1 nivele probabiliteti për vlerësimin e pikave

në kurbën TSF17.

4) Llogarit nivelin e organizimit të stafit të kërkuar për të arritur probabilitetet objektiv të

përcaktuara në Hapin 3 duke përdorur ekuacionet (2.14) - (2.29).

5) Rillogarit TSF-në për nivelin integral të organizimit të stafit të llogaritur në Hapin 3. Tani kemi

h +1 çifte probabiliteti të niveleve të organizimit të stafit në kurbën TSF.

6) Llogarit përkuljen (mikh) dhe interceptin (bikh) për çdo çift pikash ngjitur të gjetura në Hapin 5.

7) Gjenero një skenar që përfshin volumet e telefonatave për periudhë (nik) dhe çiftet h të

parametrave të përkuljes dhe interceptit për secilën periudhë në horizontin e planifikimit.

Figura 3-8 Përqssja e Përafrimit TSF e bazuar në Skenarë

Përveç informacionit të skenarit individual, duhet të krijohen parametrat për kufirin minimal të

nivelit të operatorëve (3.5). Kjo është një procedurë e drejtpërdrejtë si më poshtë:

1) Përcakto w, rasti më i keq i pranueshëm i niveleve të pritura të shërbimit dhe nmin numri i

përgjithshëm i operatorëve që duhet të jenë të stafuar në çdo kohë18.

2) Përsërit hapat 2 - 6 për çdo periudhë i.

3) Përcakto nivelin e pritur të mbërritjeve të telefonatave.

4) Llogarit nivelin e organizimit të stafit nw të kërkuar për të arritur rastin më të keq të nivelit ë

shërbimit të pritur të përcaktuar në Hapin 1 duke përdorur ekuacionet (2.14) - (2.29).

5) Llogarit μi = [𝑚𝑖𝑛(𝑛𝑤 , 𝑛𝑚𝑖𝑛)], minimumi i operatorëve për t’u stafuar në periudhën i.

6) Shkruaj μi në një format kompatibël me GAMS.

Figura 3-9 Gjenerimi i kufizimeve të Organizimit Minimal të stafit

Algoritmi i gjenerimit të skenarit i përshkruar më sipër është shkruar në VB.Net. Gjeneron

skedarët e skenarit në një format që mund të lexohet nga GAMs dhe përdoren për të gjeneruar

modele CPLEX. Një skedar skenarësh 100 gjenerohet në pak sekonda në një kompjuter

desktop. Në përgjithësi, koha e krijimit të skenarit është e papërfillshme në krahasim me kohën

e zgjidhjes për programimin stokastik.

Testimi SIPP dhe vlefshmëria e modelit

Një numër i përafrimeve shkojnë në llogaritjen e nivelit të shërbimit në këtë model të

optimizimit stokastik. Meqenëse niveli i TSF-së është nxitësi kryesor i nivelit të organizimit të

stafit, është e arsyeshme që të vihet në dyshim saktësia e këtyre përafrimeve dhe të marrin në

konsideratë rregullimet e SIPP-së të diskutuara më sipër. Në këtë seksion do të kryej një

eksperiment numerik për të testuar saktësinë e çdo versioni të modelit SIPP. Do të testoj çdo

17 Në praktikë përdor vlerat .3, .72, .9, .98, .995 për të gjitha periudhat me volume telefonatash të paktën

5. Vlera të ndyrshme përdoren pë volumet më të ulëta telefonatash për të ruajtur përafrimin konveks. 18 Në këtë punim, përveç rasteve ku citohet ndryshe, do të përdor TSF të barabartë me 50% si rastin më

të keq dhe një minimum niveli të organizimit të stafit prej 2 personash.


66

version SIPP kundrejt modeleve të bazuar në 3 prej projekteve të modeleve19 të përshkruar në

Kapitullin e Parë.

Përqasja eksperimentale

Siç është përshkruar më lart, procesi bazë i përfshirë në zgjidhjen e programimit stokastik është

të zgjidhet modeli (3.1) - (3.7) kundrejt një sërë skenarësh, realizime të simuluara të volumit të

telefonatave. Gjatë këtij procesi do të llogaris një nivel TSF-je dhe një vlerë objektive, të dyja

tkëto vlera janë vlerësime të pjesshme të vlerave të vërteta. Më pas do të kryej një analizë post-

optimizimi e cila teston zgjidhjen kandidate kundrejt një sërë skenarësh vlerësimi.

Në këtë proces llogaritet një rezultat i pritur (niveli i shërbimit dhe kostoja) që është një

vlerësim i paanshëm i zgjidhjes së vërtetë20. Qëllimi i kësaj vlefshmërie është të përcaktojë se

sa mirë është analiza e paanshme, pas optimizimit, në parashikimin e nivelit aktual të shërbimit

të realizuar. Vini re se që duke qëne se ardhjet janë të rastësishme, niveli i shërbimit të realizuar

do të jetë i rastësishëm. Për të bërë këtë vlerësim, i drejtohem Simulimit Diskret të Ngjarjeve

(DES). DES është një metodologji e përcaktuar mirë për shqyrtimin e sistemeve komplekse të

radhës siç është kjo. Me anë të përdorimit të DES-it mund të modelojmë më afër sjelljen

specifike të sistemit në modelet specifike të telefonatave të realizuara. Modeli DES i përdorur

në këtë analizë përdor të njëjtin algoritëm të treguar në Figurën 4-1 për të gjeneruar një model

telefonatash jostacionare. Modeli gjeneron më pas telefonatat individuale të simuluara të cilat

përpunohen duke përdorur të njëjtat shpërndarje teorike të përdorura në modelin Erlang A.

Përqasja e simulimit na lejon të lançojmë modelin për një numër të madh modelesh simulimi

të mbërritjeve dhe për të llogaritur kufijtë statistikorë të matësve kryesorë të performancës të

tilla si TSF. Shihni (Banks 2005) ose (Law 2007) për një përshkrim të hollësishëm të procesit

të simulimit. Duke supozuar se modeli DES është një përfaqësim i vlefshëm i modelit jo

stacionar të radhës Erlang-A, mund ta përdorim këtë model për të vlerësuar saktësinë e

llogaritjes së TSF-së në programimin e optimizimit.

Vlefshmëria e përpunuar është përshkruar më poshtë:

1) Gjenero një grup prej 100 skenarësh dhe përdor këto për të zgjidhur problemin e optimizimit

stokastik (3.1) - (3.7).

2) Duke përdorur zgjidhjen e gjetur në hapin 1 si zgjidhjen kandidate, kryej një vlerësim pas

optimizimit kundrejt 500 skenarëve të gjeneruara në mënyrë të pavarur për të gjetur nivelin e

pritur të shërbimit të lidhur me zgjidhjen kandidate.

3) Përdor organizimin periudhë pas periudhe të stafit të zhvilluar në hapin 1 për të krijuar profilin

e burimit në një model simulimi të ngjarjeve diskrete me një shpërndarje identike statistikore të

volumeve të telefonatave.

4) Kryej 50 replikime të modelit DES për të llogaritur një pikë vlerësimi të TSF-së së pritur nga

implementimi i zgjidhjes së gjetur në hapin 1 duke përdorur SIPP, SIPP Max dhe SIPP Mix.

5) Krahaso rezultatet e gjetura në hapin 2 me ato të gjetura në hapin 4 për të vlerësuar gabimin që

lidhet me secilën përqasje SIPP.

Figura 3-10 Përqasja e Validimit të TSF-së

19 Projekti i katërt i përshkruar në Kapitullin e Parë është tepër i vogël për t'u konsideruar në modelin e

skedulimit. Duke pasur parasysh vëllimet e tij shumë të ulëta, projekti pothuajse gjithmonë ka staf në

nivelin minimal të organizimit të stafit prej dy operatorëve. Do ta analizoj këtë projekt në modelin

përfundimtar të kësaj teze që trajton unifikimin e projektit.

20 Procesi i post-optimizimit diskutohet më me hollësi në sesionin e ardhshëm


67

Në tabelën e mëposhtme përmbledh rezultatet e zbatimit të kësaj përqasjeje për të krahasuar tre

modelet SIPP në Projektin A.

Tabela 3-1 Validimi i TSF-së – Projekti A

Siç parashikohet nga teoria, modeli standard SIPP mbivlerëson nivelin e pritshëm të shërbimit

dhe nën stafon call center-in. Megjithatë, të paktën në këtë rast gabimi është mjaft i ulët. TSF-

ja e vlerësuar në programimin e optimizimit është vetëm 1.72% mbi atë që vlerësohet nga

modeli DES. Për më tepër, në modelin DES, devijimi standard i vlerës së TSF-së është 2.70%,

prandaj vlerësimi është brenda devijimeve standarde .63. Të dy modelet SIPP Max dhe SIPP

Mix përdorin një vlerësim më konservativ të nivelit të shërbimit të arritur dhe si rezultat

llogarisin një nivel më të lartë të organizimit të stafit. Modeli SIPP Max është më konservator

dhe nënvlerëson nivelin e shërbimit me mbi 3%. Modeli SIPP Mix është më pak konservator

dhe nënvlerëson nivelin e shërbimit me 1.07%. SIPP Mix është padyshim një përshtatje më e

mirë në këtë rast pasi gabimi është pak më i vogël dhe në një drejtim konservator. Nëse aplikoj

të njëjtën analizë në projektet B dhe C, marrim rezultatet e mëposhtme.

Projekti C Projekti B

Tabela 3-2 Validimi i TSF-së – Projekti C dhe Projekti B

Rezultatet nga këto dy projekte përsëri tregojnë se metoda standarde e SIPP është më pak

konservatore, por në rastin e projektit C mbivlerëson nivelin e shërbimit. Modeli Standard SIPP

është në përgjithësi më i saktë dhe do ta shfrytëzoj këtë përqasje në pjesën e mbetur të kësaj

analize.

Optimizimi Std Max Min

Orët e Skeduluara 1,160 1,200 1,200

TSF e Pritur 83.20% 81.00% 83.20%

Devijimi Standard I TSF 2.60% 3.00% 2.60%

Simulimi Std Max Min

TSF e Pritur 81.50% 84.00% 84.29%

Devijimi Standard I TSF 2.70% 2.87% 2.46%

Gabimi (Opt-DES) -1.72% 3.00% 1.07%

Gabimi në Devijimin Std Të Sim të TSF -0.64 1.05 0.43

Metoda SIPP

Optimizimi Std Max Min Std Max Min

Orët e Skeduluara 1,080 1,160 1,120 2,760 2,880 2,880

TSF e Pritur 81.50% 82.60% 81.90% 78.20% 78.30% 76.20%

Devijimi Standard I TSF 2.90% 2.80% 3.00% 9.70% 10.40% 11.00%

Simulimi Std Max Min Std Max Min

TSF e Pritur 80.99% 84.70% 84.30% 79.33% 81.80% 83.28%

Devijimi Standard I TSF 3.22% 3.02% 3.40% 4.74% 4.80% 3.64%

Gabimi (Opt-DES) -0.54% 1.91% 2.45% 1.15% 3.50% 7.08%

Gabimi në Devijimin Std Të Sim të TSF -0.17 0.63 0.72 0.24 0.73 1.95

Metoda SIPP Metoda SIPP


68

3.1.3. Kompromiset ndërmjet Niveleve të Kostos dhe të Shërbimit

Në një përqasje optimizuese deterministike të skedulimit të call center-it vendosim një objektiv

të performancës për disa parametra dhe pastaj gjejmë skedulimin me kosto minimale që

përmbush këtë kufizim. Në një përcaktim stokastik, kriteri i zgjidhjes është më kompleks. Duke

pasur parasysh se volumi i telefonatave, dhe për pasojë niveli i shërbimit është i rastësishëm,

objektivi i performancës mund të shprehet vetëm në terma probabilitarë. Skedulimi rezultues

do të arrijë objektivin e deklaruar të performancës me disa probabilitete. Do ta quaj këtë

probabilitet si niveli i besimit. Duke pasur parasysh natyrën variabile të mbërritjeve, nuk është

praktike ose e dëshirueshme të gjenerohet një skedulim që gjithmonë do të arrijë objektivin e

nivelit të shërbimit pasi ky skedulim do të ishte shumë i shtrenjtë.

Në formulimin tim e shpreh shkallën e sigurisë në mënyrë indirekte duke i caktuar një gjobë

financiare probabilitetit të mungesës së objektivit të performancës. Duke sistemuar faktorin e

gjobës të performancës r, sistemoj shkallën e sigurisë të lidhur me përmbushjen e objektivit.

Tani do të analizojmë lidhjen ndërmjet normës së gjobës, kostos së ofrimit të shërbimit dhe

besimit të lidhur me objektivin e performancës. Ky model zbaton dy kufizime të performancës.

Kufizimi (3.5) përcakton një nivel minimal të organizimit të stafit në secilën periudhë, gjë që

në rastet e testimeve të mia e kam vendosur në minimumin e një niveli minimal të organizimit

të stafit global dhe në nivelin e organizimit të stafit që kërkohet për të arritur një nivel minimal

të performancës në volumet e pritura21. Nëse shkalla e gjobës është vënë zero, norma e gjobës

bie nga funksioni objektiv dhe kufizimi (3.5) bëhet i detyrueshëm. Duke e rritur normën e

gjobës, nivelet e planifikimit të organizimit të stafit do të rriten për të balancuar koston e

organizimit të stafit dhe koston e pritshme të gjobës të lidhur me mosarritjen e TSF-së.

Në tabelat e mëposhtme tregoj rezultatin e një eksperimenti për të vlerësuar ndikimin e normave

të ndryshme të gjobës. Për secilin projekt vlerësoj skedulimin në tetë pika të projektimit (PP)

dhe në secilin rast zgjidhim problemin stokastik pesë herë, secila me një seri të pavarur prej 50

skenarëve. Më pas do të vlerësoj këtë zgjidhje kundër një grupi prej 500 skenarëve të prodhuar

në mënyrë të pavarur për të përcaktuar rezultatin e pritshëm të zbatimit të zgjidhjes kandidate.

Modeli është zgjidhur me detyrimin që të gjitha skedulimet janë me kohë të plotë (40 orë)22.

Tabela 3-3 Kompomiset e Kostot dhe Nivelit të Shërbimit – Projekti A

21 Në problemet tona të testimit kërkojmë që të paktën 2 operatorë të jenë të skeduluar gjatë gjithë kohës.

Ne gjithashtu kërkojmë që në volumet e pritura të arrijmë një minimum TSF-je të barabartë me 50% në

çdo periudhë. 22 Kjo çështje adresohet tërësisht në seksionin 4.6 Këtu përdor skedulimin B.

Mesatarja

PDNorma e

Gjobës

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

1 - 8,800 8,800 60.5% 0.0% - - 0.00% 0.00%

2 25,000 10,800 11,008 80.6% 61.6% - 18 0.16% 2.73%

3 50,000 10,880 11,249 81.0% 65.7% 179 40 1.16% 12.71%

4 75,000 11,120 11,332 82.6% 82.9% 179 28 1.11% 11.35%

5 10,000 11,120 11,419 82.7% 83.1% 179 127 1.11% 11.74%

6 150,000 11,200 11,458 83.1% 87.9% - 36 0.30% 2.74%

7 200,000 11,200 11,504 83.1% 88.8% - 56 0.23% 2.36%

8 250,000 11,200 11,597 83.1% 89.0% - 72 0.31% 2.30%

Devijimi Standard


69

Tabela 3-4 Kompomiset e Kostot dhe Nivelit të Shërbimit – Projekti B

Tabela 3-5 Kompomiset e Kostot dhe Nivelit të Shërbimit – Projekti C

Figurat e mëposhtme tregojnë të njëjtat të dhëna në mënyrë grafike. Në grupin e parë të

grafikëve tregoj se si besimi dhe niveli mesatar i shërbimit ndryshojnë me normën e gjobës.

Mesatarja

PDNorma e

Gjobës

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

1 - 20,880 20,880 52.5% 0.0% 179 179 0.82% 0.00%

2 25,000 22,880 26,869 64.1% 1.9% 179 23 0.71% 1.00%

3 50,000 26,160 29,280 75.2% 41.1% 358 31 1.07% 7.26%

4 75,000 26,800 30,677 77.0% 53.2% 283 59 0.71% 4.76%

5 10,000 27,920 31,801 79.5% 67.3% 769 118 1.42% 6.45%

6 150,000 29,040 33,554 81.5% 76.1% 1,152 89 1.72% 5.03%

7 200,000 30,480 34,801 83.7% 80.9% 1,481 343 2.20% 6.47%

8 250,000 31,920 35,662 85.7% 84.4% 1,559 392 2.26% 4.23%

Devijimi Standard

Mesatarja

PDNorma e

Gjobës

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi

1 - 8,240 8,240 54.2% 0.0% 219 219 1.49% 0.00%

2 25,000 10,800 11,705 76.8% 27.2% - 37 0.17% 1.52%

3 50,000 11,360 12,294 79.9% 62.0% 219 37 0.97% 11.80%

4 75,000 11,600 12,736 80.6% 71.6% - 58 0.33% 3.72%

5 10,000 11,600 13,022 80.9% 74.2% - 46 0.21% 1.89%

6 150,000 12,000 13,595 82.5% 86.2% - 21 0.17% 2.49%

7 200,000 12,000 14,127 82.4% 86.0% - 112 0.36% 3.40%

8 250,000 12,320 14,591 83.1% 89.3% 179 72 0.71% 2.30%

Devijimi Standard


70

Figura 3-11 Besimi dhe Nivelet e Shërbimit si funksion i Normës së Gjobës

Për secilin projekt paneli në të majtë tregon nivelin e besimit të zgjidhjes që rezulton,

përkatësisht përpjesëtimin e skenarëve të vlerësimit në të cilin është arritur objektivi i

performancës. Paneli në të djathtë tregon nivelin përkatës të shërbimit të pritur lidhur me

zgjidhjen kandidate. Këto sipërfaqe nënkuptojnë se ekziston një kufi efiçent, një rajon optimal

që balancon koston e punës dhe koston e gjobës për një vektor të caktuar të punës dhe normat

e gjobës.

Në të gjitha rastet gjobat e ulëta rezultojnë në një nivel besimi zero dhe në një TSF të pritur afër

60%23.

Me rritjen e shkallës së gjobës, TSF-ja e pritur fillon të rritet me rritjen e organizimit të stafit

për të kompensuar defiçitin e gjobës. Të dy faktorët rriten me shpejtësi dhe pastaj ulen pasi

bëhet gjithnjë e më e shtrenjtë për të përmbushur nivelet e shërbimit në fundin e shpërndarjes

së normës së ardhjes. Është interesante të theksohet se secili projekt kërkon një normë të

ndryshme të gjobës për të arritur nivelin e dëshiruar të besimit. Projekti B i cili ka nivelet më

të mëdha të organizimit të stafit dhe një shkallë të lartë ndryshueshmërie, kërkon norma gjoba

në rangun prej € 200,000 (2,000 për pikë përqindjeje) që të skedulohet me 80% plus besimi.

Projekti C, një projekt më i vogël me ndryshueshmëri të moderuar, rrotullohet tek normat e

gjobës rreth 100,000. Projekti A është një projekt relativisht i parashikueshëm dhe niveli i

besimit stabilizohet me normat e gjobës mbi 75,000.

Menaxheri i call center-it kërkon të minimizojë koston e organizimit të stafit, duke maksimizuar

probabilitetin e arritjes së nivelit të shërbimit të synuar. Këto dy qëllime janë qartësisht në

konflikt dhe menaxheri duhet të vendosë se si të balancojë koston dhe rrezikun; një vendim i

fshehur në një përqasje të optimizmit determinist.

Në grafikët e mëposhtëm i riformoj të dhënat nga Figura 3-10 për të ilustruar këtë pengesë. Në

anën e majtë shohim nivelin e besueshmërisë për arritjen e objektivit të performancës si një

funksion i kostos së organizimit të stafit, dhe në të djathtë shohim nivelin e pritur të shërbimit

në funksion të kostos së organizimit të stafit.

23 Ky model kërkon që niveli i shërbimit të jetë së paku 50% në çdo periudhë bazuar në volumet e pritura.

Për të arritur këtë nivel në periudhën më të ngarkuar të organizimit të stafit është i vendosur në mënyrë

të tillë që niveli i shërbimit të jetë mbi 50% në periudhat pasuese. Kjo është për shkak të kufizimit të

skedulimit të operatorëve në turne me kohë të plotë.


71

Figura 3-12 Besimi dhe Niveli i Pritur i Shërbimit

Implikimet menaxheriale këtu janë të rëndësishme. Gjatë marrjes së vendimeve për organizimin

e stafit e përditshëm, menaxherët duhet të marrin vendime per sasinë e riskut të mungesës së

nivelit të shërbimit për të cilën ata janë të gatshëm të tolerojnë. Anasjelltas, ata duhet të

vendosin se sa sigurime duhet të blihen në formën e kapacitetit të tepërt. Në shumicën e rasteve

menaxherët duhet të bëjnë këto vendime bazuar në intuitë. Modeli operacionalizon këtë vendim

duke caktuar një gjobë financiare ndaj mundësisë së dështimit në përmbushjen e objektivit të

nivelit të shërbimit.

3.1.4. Ndikimi i Variacionit dhe Vlera e Zgjidhjes Stokastike (VSS)

Siç u diskutua më parë, zgjidhja e programimit të vlerës mesatare gjeneron një vlerësim të

njëanshëm të kostos së vërtetë të zbatimit të zgjidhjes së propozuar. Zgjidhja e një programimi

stokastik e zvogëlon atë gabim dhe gabimi bie me numrin e skenarëve, duke shkuar në zero,

kur numri i skenarëve shkon në infinit (Mak, Morton et al., 1999). Kostoja e pritshme e zbatimit

të zgjidhjes stokastike është më e ulët se kostoja e zbatimit të zgjidhjes së vlerës mesatare, ose

thënë ndryshe, mund të ulim koston e pritur të operimit të sistemit duke konsideruar në mënyrë

eksplicite variacionin në problemin tonë të optimizimit. Kjo ulje në kosto njihet si Vlera e


72

Zgjidhjes Stokastike (VSS). Është e lehtë të tregohet se VSS është një sasi jonegative, (Birge

1982; Birge dhe Louveaux 1997)24.

Figura e mëposhtme përshkruan marrëdhënien e kostove të ndryshme.

Figura 3-13 Kostoja Relative e Zgjidhjeve Optimale

VSS dhe Konvergjenca e Zgjidhjes

Në këtë seksion do të vlerësoj gabimin dhe VSS-në për tre projekte provë për nivele të

ndryshme të skenarit. Në secilin nivel të skenarit krijoj 5 grupe të pavarura dhe zgjidh

programimin një herë për secilën grup. Rezultati i pritur gjendet duke vlerësuar atë zgjidhje

kundrejt 500 skenarëve të vlerësimit. Tabela në vijim përmbledh rezultatet.

Tabela 3-6 Gabimi i Zgjidhjes dhe VSS

24 Jonegativiteti i VSS nënkupton se ne nuk mund të bëjmë më keq në një bazë të pritshme duke marrë

parasysh ndryshueshmërinë në procesin e optimizimit. VSS mund të jetë zero, prandaj ne nuk bëjmë

medoemos më mirë duke marrë parasysh ndryshueshmërinë.


73

Në secilin rast do të gjej gabime të konsiderueshme në zgjidhjen e vlerës mesatare dhe do të

gjej një vlerë të konsiderueshme nga zbatimi i zgjidhjes stokastike. Në projektin mesatarisht të

ndryshueshëm A, programimi stokastik zvogëlon koston e pritur me 13%. Në projektet më të

ndryshueshme B dhe C, zgjidhja stokastike zvogëlon koston me mbi 20%. Gjithashtu duhet

vënë re se zgjidhja stokastike siguron një besim më të lartë që objektivi i performancës do të

arrihet.

Kampionimi i kufijve

Në Kapitullin e dytë, tregova se zgjidhja mesatare e programimit stokastik siguron një pikë

vlerësimi në kufirin e poshtëm të zgjidhjes së vërtetë optimale, ndërkohë që rezultati mesatar i

pritur i zgjidhjes kandidate formon një pikë vlerësimi të kufirit të sipërm të optimalit të vërtetë.

Në Figurën 3-12 përmbledh pikat e sipërme dhe të poshtme të vlerësimit të zgjidhjes për

Projektin A në nivele të skenarëve të shumëfishtë, duke llogaritur përdorimin e pesë grupeve

në secilin nivel skenari.

Figura 3-14 Vlerësimi i Pikave të Kufijve

Ekuacioni (3.23) siguron një mekanizëm për të llogaritur një interval besimi në hendekun

optimal. Në figurën 3-13 kam përmbledhur intervalin e besueshmërisë prej 90% në madhësinë

e hendekut optimal


74

Figura 3-15 Hendeku i Optimumit

Këto grafikë tregojnë se problemi i vlerës mesatare paraqet anshmërinë e ndjeshme, por që edhe

me një numër të moderuar skenarësh dhe disa grumbujve, jemi në gjendje të gjenerojmë kufij

të fortë rreth vlerës së vërtetë optimale. Të dhënat sugjerojnë se zgjidhja e problemit me aq pak

sa 25 skenarë siguron rezultate mjaft të mira, ndërsa një model me 50 ose 100 skenarë na jep

një lidhje më të fortë që mund të jetë e dobishme kur përpiqemi të bëjmë krahasime të detajuara

midis alternativave.

Për çdo projekt të shqyrtuar, programimi stokastik ul koston e përgjithshme të pritur duke rritur

punën direkte. Është disi paradoksale që programimet stokastike japin rezultate më të mira duke

llogaritur funksione objektive më të këqija. Megjithatë, intuita është e drejtpërdrejtë;

programimet e optimizmit deterministë supozojnë larg pasigurinë dhe prandaj nuk mbulojnë

në mënyrë adekuate ndryshueshmërinë.

Figura 3-16 krahason programimet e gjeneruara nga një programim me vlerë mesatare dhe një

programim stokastik. Programimi stokastik shton staf shtesë në pika të ndryshme gjatë gjithë

ditës. Figura 3-17 tregon një interval besueshmërie prej 90% për telefonatat e marra për secilën

periudhë. Duke krahasuar atë grafik me Figurën 3-16 shohim se stafi në rritje është shtuar në

periudha me volume relativisht të lartë dhe variacion të lartë.


75

Figura 3-16 Krahasimi ndërmjet 2 Skedulimeve

Figura 3-17 Intervali i Besimit për telefonatat për periudhë

Figura 3-16 tregon vlerën mesatare dhe zgjidhjen stokastike për të hënën, ditën më të ngarkuar

të javës. Në Figurën 3-18 kam përmbledhur stafin në rritje të gjeneruar nga zgjidhja stokastike

përgjatë javës. Shohim se modeli stokastik shton kapacitet shtesë gjatë periudhave të zëna të

shumicës së ditëve, por redukton stafin në disa periudha me volume me të ulëta.


76

Figura 3-18 Vlera Mesatare vs Organizimit Stokastik të stafit

Ndikimi i Variacionit

Në analizën e mëparshme llogarita skedulimet për modelet e disa projekteve të botës reale dhe

shqyrtova karakteristikat e konvergjencës së zgjidhjes. Ekzaminova dallimet midis zgjidhjes së

vlerës mesatare dhe zgjidhjes stokastike dhe tregova se skedulimi stokastik shton kapacitet

ekstra për t’u ruajtur kundrejt pasigurisë. Analiza tregoi se VSS ndryshon nga një projekt në

tjetrin dhe të dhënat sugjerojnë se për projektet me variacion më të lartë, zgjidhja stokastike

dallon nga Zgjidhja me Vlere Mesatare në mënyrë më të konsiderueshme.

Në këtë seksion do të kryej një eksperiment të kontrolluar për të vlerësuar ndikimin e variacionit

në mënyrë më të drejtpërdrejtë. Ndërkohë që e bazoj ende analizën në një projekt të veçantë,

do të manipuloj parametrat kryesorë për të përcaktuar ndikimin e variacionit në skedulimin që

rezulton. Në mënyrë të veçantë, do të analizoj një sërë konfigurimesh alternative të projekteve

për të cilat numri i pritshëm i telefonatave dhe modeli mesatar i sezonalitetit bazohen në

projektin A, por do të manipuloj mjedis bazë dhe ndryshoret e politikave.

Dizajni eksperimental

Për të vlerësuar ndikimin e variacionit, do të kryej një eksperiment të kontrolluar që përshtat

faktorët e lidhur me variacionit, si dhe cilësinë e kërkuar të nivelit të shërbimit. Në mënyrë

specifike do të kryej një eksperiment duke përdorur faktorët që vijojnë:

• Shkallëzim ditor i koeficientit të varacionit: variacioni i mbëritjeve ditore rregullohet

nga shkallëzimi i koeficientit të variacionit për efektet e ditës së javës; mesatarja është

mbajtur konstante dhe devijimi standard është sistemuar për të arritur koeficientin e

variacionit të shkallëzuar

• Shkallëzim i bazuar në orar ditor të koeficientit të varacionit: i njëjti shkallëzim i

variacionit kryhet për efektin e orarit ditor

• Niveli i kërkuar i Shërbimit: një SLA e pakushtëzuar (70/120) dhe një SLA e

kushtëzuar (90/30).


77

• “Gjoba” e Nivelit të Shërbimit: kostot e ndryshme të gjobës për mos arritjen e objektivit

të specifikuar të nivelit të shërbimit.

• Probabiliteti Shock: Arritjet me dhe pa lëvizje të mëdha. Në rastin lëvizjesh të mëdha

do të zvogëloj volumiet pa-goditje në mënyrë që vëllimi i pritur i telefonatave të jetë

konstant në të gjitha pikat e dizenjimit.

Krijova një eksperiment me 16 pika modelimi si më poshtë:

Tabela 3-7 Impakti i Ndryshueshmërisë të Dizajnit te Eksperimentit

Ky është një model faktorial i pjesshëm 2𝑉5−1 dhe përmban 16 pika të modelimit. Ky model ka

një zgjidhje të V-të, e cila na lejon të parashikojmë të gjitha efektet kryesore dhe të gjitha efektet

e ndërveprimit në dy mënyra. Ndërveprimet e nivelit më të lartë janë të ç’orientuara dhe nuk

mund të vlerësohen në mënyrë të pavarur.

Rezultatet eksperimentale

Për të kryer këtë eksperiment, gjeneroj 5 grupe të 50 skenarëve dhe një grup të vetëm vlerësimi

prej 500 skenarësh në secilën nga 16 pikat e modelimit. Do të zgjidh problemet e optimizimit

për secilën grup, duke llogaritur një zgjidhje kandidat, e cila vlerësohet kundrejt grupit të

vlerësimit të 500 skenarëve për të llogaritur rezultatet e pritura. Bazuar në këto zgjidhje do të

llogaris variablet e përgjigjeve që vijojnë:

• Kostoja e punës: kostoja direkte e punës për zgjidhjen kandidate.

• Rezultati i Pritur: kostoja e gjetur e punës dhe e gjobës gjatë vlerësimit të zgjidhjes

kandidate

• Amortizimi i TSF--së: diferenca midis TSF-së të pritur që gjendet gjatë vlerësimit të

zgjidhjes kandidate dhe të objektivit të performancës së SLA-ve.

• Besimi: përqindja e skenarëve të vlerësimit për të cilat arrihet niveli objektiv i

shërbimit.

Kjo përqasje gjeneron 5 mostra për çdo përgjigje. Rezultatet e kësaj analize janë paraqitur në

tabelën e mëposhtme. Duhet kujtuar që të gjitha pikat e modelimit në këtë eksperiment kanë të

njëjtin vëllim të pritshëm të telefonatave.

A B C D E Përkufizimet e Faktorëve - +

1 - - - - + A Shkallëzimi ditor i koefiçentit të varacionit 0.75 1.25

2 + - - - - B Shkallëzimi i bazuar në orar ditor të koefiçentit të varacionit 0.75 1.25

3 - + - - - C Niveli i kërkuar i Shërbimit 70/120 90/30

4 + + - - + D Probabiliteti i Tronditjes 0% 5%

5 - - + - - E Gjoba e Nivelit të Shërbimit 50,000 150,000

6 + - + - +

7 - + + - +

8 + + + - -

9 - - - + -

10 + - - + +

11 - + - + +

12 + + - + -

13 - - + + +

14 + - + + -

15 - + + + -

16 + + + + +


78

Tabela 3-8 Impakti i Variacionit i Rezultateve Eksperimentale

Analiza e Rezultateve

Modeli eksperimental i zgjidhjes V na lejon të llogarisim efektet kryesore; impaktin e lëvizjes

së çdo faktori nga vlera e tij e ulët në vlerën e tij të lartë, si dhe kushtet e ndërveprimit të nivelit

të parë; ndërveprimi i çdo çifti unik të faktorëve. Duke pasur parasysh natyrën e pavarur të

modelit eksperimental të gjithë faktorët janë krejtësisht të pakorreluara dhe nuk kemi asnjë

çështje të multikolinearitetit në analizën tonë.

Tabela e mëposhtme përmbledh efektet e vlerësuara kryesore dhe të shkallës së parë të

ndërveprimit për çdo variabël të përgjigjes. Efektet kryesore përfaqësojnë ndryshimin mesatar

në përgjigje kur faktori ndryshohet nga vlera e tij e ulët në vlerën e tij të lartë. Efektet e

ndërveprimit vlerësojnë ndikimin e faktorëve që kanë një ndikim të lidhur mbi përgjigjen përtej

efekteve kryesore të tyre, ato llogariten si gjysma e diferencës mesatare në përgjigje kur të dy

faktorët ndryshojnë së bashku (Box, Hunter et al., 2005)25. Do të shfaqen vetëm ato efekte që

janë statistikisht të rëndësishme në nivelin 0.01.

25 Nëse të dy faktorët janë në të njëjtin nivel, termi i ndërveprimit shtohet në rezultatin e parashikuar.

Nëse ato janë në nivele të kundërta, termi i ndërveprimit hiqet nga rezultati i parashikuar. Pra, për

shembull, termi i ndërveprimit të BC-së rrit parashikimin e punës me € 179 nëse të dy faktorët kanë të

njëjtën mjedis. Nëse njëri është i lartë dhe tjetri i ulët, parashikimi reduktohet me € 179.

Mesatarja

A B C D EKostoja e

Punës

Rezultati

Mes i Pritur

Zbutja e

TSFBesimi

Kostoja e

Punës

Rezultati

Mes i Pritur

1 - - - - + 8,992 9,097 3.9% 93.3% 75.6 40.9

2 + - - - - 9,048 210 3.9% 85.0% 85.6 20.3

3 - + - - - 9,056 9,170 2.1% 83.2% 51.8 16.1

4 + + - - + 9,524 9,616 5.6% 95.9% 91.0 51.3

5 - - + - - 12,404 12,856 -0.4% 41.7% 138.1 53.7

6 + - + - + 13,200 13,520 1.9% 84.3% 154.9 45.7

7 - + + - + 13,440 13,969 0.7% 71.2% 105.8 62.5

8 + + + - - 13,408 14,002 -0.4% 47.5% 100.6 31.7

9 - - - + - 8,836 8,942 2.5% 83.8% 43.4 15.9

10 + - - + + 9,216 9,349 5.6% 94.1% 69.9 7.0

11 - + - + + 9,128 9,347 2.9% 88.7% 22.8 20.0

12 + + - + - 9,248 9,465 3.3% 80.8% 68.7 12.0

13 - - + + + 12,748 13,027 1.2% 80.2% 136.1 56.0

14 + - + + - 12,692 13,117 0.2% 58.9% 156.6 13.3

15 - + + + - 13,168 13,481 0.0% 54.7% 128.5 47.7

16 + + + + + 13,332 13,855 -0.1% 51.8% 126.8 11.8

Devijimi Standard


79

Tabela 3-9 Impakti i Variacionit në Rezultatin e Pritur – Efektet Kryesore

Kjo tabelë paraqet një sasi të konsiderueshme informacioni. Disa nga vëzhgimet kryesore

përfshijnë:

• Kostoja mesatare e operimit të këtij call center-i është € 11,378 në javë, por kostoja e

arritur ndryshon në mënyrë të konsiderueshme.

• Faktori më me ndikim i kostos është niveli i shërbimit të kërkuar, duke rritur kërkesën

për nivelin e shërbimit, shtohen rreth € 3.000 ose 50% të kostos së operacioneve.

• Ndryshueshmëria ka një ndikim thelbësor në koston e shërbimit, por ndikimi

influencohet nga regjimi i SLA-ve.

o Në një mjedis të pakushtëzuar të SLA-ve (C -, E -) rritja e ndryshueshmërisë

ditore rrit kostot me rreth 6%. Rritja e ndryshueshmërisë kohore rrit koston me

2.3%, së bashku ato rrisin koston me 6.6%.

o Në një mjedis të kushtëzuar të SLA-ve (C -, E -) rritja e ndryshueshmërisë

ditore rrit kostot me rreth 2.5%. Rritja e ndryshueshmërisë kohore rrit koston

me 8.3%, së bashku rrit koston me 9.4%.

• Mesatarisht, vendimi optimal i organizimit të stafit e stafon projektin në mënyrë që

niveli i pritshëm i shërbimit të jetë 2% mbi kërkesën, gjë që rezulton me një nivel

besimi prej 74%. Megjithatë, në regjimin e kushtëzuar të SLA-ve, kostoja që has një

nivel të lartë të shërbimit shkakton një rënie të ndjeshme të nivelit të besimit.

3.1.5. Fleksibiliteti i Organizimit të Stafit

Një nga sfidat operacionale që lidhen me llojin e call center-it të analizuar këtu është se kërkesa

shpesh herë është më e ndryshueshme se kapaciteti. Modeli i mbërritjeve i treguar në Figurën

1-2, për shembull, ka një kulm të madh në kërkesë ndërmjet orës 8 dhe 11 të mëngjesit. Në

mënyrë që të përputhen në mënyrë efikase oferta dhe kërkesa do të donim të krijonim një kulm

korrespondues në kapacitet në të njëjtën kohë. Përmbushja e kësaj me organizim të stafit me

kohë të plotë mund të jetë e vështirë. Sidoqoftë, në praktikë disa call center-a shpesh janë të

stafuar ekskluzivisht me persona me orar të plotë; që do të thotë që opertorët janë stafuar për të

punuar 40 orë në javë.

Ekejtet e FaktorëvePuna

Rezultati i

Pritur

Zbutja e Nivelit

të ShërbimitBesimi

11,091 11,378 2.0% 74.4%

A Shkallëzimi ditor i koefiçentit të varacionit 259 282 1.0%

B Shkallëzimi i bazuar në orar ditor të koefiçentit të varacionit 395 474 -0.6% -6.0%

C Niveli i kërkuar i Shërbimit 3,919 4,207 -3.3% -27.4%

D Probabiliteti i Tronditjes (87) (104)

E Gjoba e Nivelit të Shërbimit 211 189 1.3% 15.7%

A*B (122) (41) -10.9%

A*C -0.8%

B*C 179 224 -8.3%

A*D (126) (64) -8.3%

B*D (45) -8.8%

C*D (106)

A*E (55)

B*E (48)

C*E 34 11.8%

D*E (99) (52) -0.9% -12.3%

Intercepti


80

Menaxherët kanë arsye të shumta për punësimin vetëm të operatorëve me kohë të plotë.

Personat me kohë të plotë besohet të jenë më pak të shtrenjtë për t'u trajnuar, sepse kostoja e

tyre e punësimit dhe trajnimit amortizohet më shpejt. Shumë menaxherë gjithashtu besojnë se

operatorët me orar të plotë do të mësojnë më shpejt dhe në këtë mënyrë do të jenë më produktive

se një operator me kohë të pjesshme duke qenë të ekspozuar ndaj më shumë telefonatave. Disa

menaxherë besojnë gjithashtu se operatorët me kohë të pjesshme janë më të vështirë për t'u

rekrutuar dhe mbajtur26. Kursimet potenciale nga përdorimi i operatorëve me orar të pjesshëm

janë me interes, nga një perspektivë praktike dhe kërkimore. Do ta shqyrtoj këtë çështje në këtë

seksion.

Tipologjitë e Fleksibilitetit të Organizimit të Stafit

Në këtë seksion do të shqyrtoj çfarë nënkuptoj me fleksibilitet dhe të përcaktoj nivelet e

ndryshme të fleksibilitetit të organizimit të stafit. Fleksibiliteti konceptual i organizimit të stafit

nënkupton aftësinë për të skeduluar personat sipas nevojës për ta çuar sa me afër kapacitetin

me kërkesën; i palimituar nga kufizimet në skedulimet e mundshme. Kufizimet mund të

përfshijnë rregullat e bashkimit në skedulimet e mundshme, kufizimet në kohën e fillimit ose

ditët e pushimit.

Për qëllimet e kësaj analize përqendrohem në kufizimet e vendosura nga organizimi i stafit me

orar të plotë. Do të konsideroj një forcë pune që të jetë më fleksibile me rritjen e opsioneve që

kemi për të skeduluar operatorët për të punuar me turne me kohë të pjesshme nëse kjo është ajo

që dikton skema e kërkesës.

Do të konsideroj dy lloje të operatorëve me kohë të pjesshme:

- Turne të plota: turne me orar të plotë, me më pak se pesë ditë në javë

- Turne të pjesshme: turne me më pak se tetë orë në ditë, pesë ditë në javë

Duke u bazuar në këtë, do të përcaktoj modelet potenciale të turneve si në vijim:

- 5 x 8: 5 ditë në javë, 8 orë në ditë (40 orë javë)





Në secilin rast supozoj se një turn mund të fillojë gjatë çdo periudhe gjysëm ore, për një total

prej 48 kohësh fillestare në ditë. Gjithashtu do të supozoj një plotësim të plotë të modeleve të

përditshme të punës që kërkojnë një politikë të dy ditëve pushim të njëpasnjëshme. Për

skedulimet prej pesë ditësh në javë kjo nënkupton vetëm shtatë modele ditësh të realizueshme.

26 Kompania me të cilën kam punuar përdor operatorë me kohë të plotë pothuajse ekskluzivisht për të

gjitha arsyet e përmendura më lart. Përveç kësaj, politikat e tyre të burimeve njerëzore kufizojnë

përfitimet ndaj operatorëve me orar të plotë, duke e bërë të vështirë për ta që të mbajnë persona me kohë

të pjesshme nëse duhet t’i punësojnë ata.


81

Për një skedulim prej katër ditësh në javë ka 28 modele ditësh që i plotësojnë kufizimet e dy

ditëve pushim të njëpasnjëshme.

Duke u bazuar në këtë do të përcaktoj grupin e mëposhtëm të modeleve të skedulimit:

Tabela 3-10 Modelet e Skedulimit

Për modelet A-E në mënyrë rritëse do të shtoj më shumë fleksibilitet në grupin e skedulimeve

në dispozicion. Tabela 3-9 ilustron problemin e kombinuar që lidhet me vlerësimin e modeleve

të skedulimit të shumëfishtë. Ndërsa lëvizim nga modeli A me pesë ditë në javë, 8 orë në ditë

A në opsionet e shumta të modelit E numri i skedulimeve të mundshme, dhe numri përkatës i

variablave të plotë, rritet pesë herë.

Vlera e Fleksibilitetit

Në seksionin e mëparshëm përmenda një numër opsionesh të ndryshme të skedulimit dhe

zhvillova një grup me mbi 2.700 skedulime prej të cilave mund të zgjidhej. Dimë nga teoria

themelore e optimizimit se duke shtuar më shumë opsione skedulimi nuk mund ta përkeqësojë

objektivin tonë dhe argumentuam në menyrë cilësore se shtimi i turneve me kohë të pjesshme

do të përmirësojë funksionin objektiv. Megjithatë, zgjedhjet e bëra në bërjen e kësaj liste janë

disi arbitrare. Kufizuam bashkësinë e orareve në ato që përfshinin të paktën 20 orë dhe 4 ditë

pune, por ndoshta duhet të marrim parasysh dy turne dhjetë orarëshe ose gjashtë turne tre

orarëshe. Numri i modeleve të mundshme të turneve është i pakufizuar. Në këtë seksion do të

përpiqem të përcaktoj një kufi të poshtëm për reduktimin e kostos që mund të arrihet nëpërmjet

organizimit fleksibël të stafit dhe në këtë proces do të zhvillohet një strukturë për kategorizimin

e kostove që lidhen me ofrimin e shërbimit.

Supozoni se telefonatat mbërrijnë përmes një procesi Puasoni jo-homogjen me një normë të

njohur të mbërritjeve në periudha 30 minutëshe. Gjithashtu supozojmë se kemi mundësinë të

planifikojmë çdo numër integral të serverave (operatorëve) në çdo periudhë prej 30 minutash,

pavarësisht nga çdo periudhë tjetër prej 30 minutash, sikur të mund të planifikonim punëtorët

me turne prej 30 minutash. Pastaj mund të marrim një vendim të pavarur të organizimit të stafit

në çdo periudhë, dhe për shkak të natyrës konkave të kurbës TSF çdo periudhë do të stafohej

për të arritur një nivel shërbimi pranë objektivit27. E quajmë këtë nivel të organizimit të stafit

si modeli ideal ose modeli i organizimit të stafit me fleksibilitetin maksimal. Kostoja e sigurimit

të këtij niveli të organizimit të stafit, në euro ose në orë pune, përfaqëson koston minimale të

nevojshme për të ofruar shërbimin e kërkuar.

Tani supozojmë se e relaksojmë supozimin e normës së njohur të mbërritjeve dhe lejojmë

volumin e telefonatave për të ndryshuar stokastikisht. Organizimi rritës i stafit do të kërkohet

27 Për shkak te kufizimit të intregralitetit numri i serverave TSF do të varionte përsëri në mënyrë të

moderuar nga një periudhë në tjetrën

Modeli Tipet e Skedulimeve të Përfshira Skedulimet e Mundhsme

A 5x8 vetëm 336

B 5x8, 4x10 1,680

C 5x8, 4x10, 4x8 3,024

D 5x8, 4x10, 4x8, 5x6 3,360

E 5x8, 4x10, 4x8, 5x6, 5x4 3,696


82

për t’u mbrojtur nga pasiguria dhe kostoja e ofrimit të shërbimit do të rritet. i referohem kësaj

kostoje shtesë si kosto e pasigurisë së ngarkesës.

Në realitet, nuk mund të marrim vendime të pavarura të organizimit të stafit në secilën periudhë.

Punëtorët janë skeduluar në turne, kështu që niveli i organizimit të stafit në çdo periudhë nuk

është i pavarur nga niveli i organizimit të stafit në periudhat fqinje. Nëse tani e relaksojmë

supozimin e fleksibilitetit maksimal dhe në vend të saj, marrim modelin e skedulimit nga tabela

3-5, atëherë do të kemi koston e organizimit të stafit me kufizim të turneve. Do ta quaj diferencën

ndërmjet këtyre dy kostove të organizimit të stafit, kostoja e organizimit të stafit jo fleksibël;

është kostoja shtesë e ofrimit të shërbimit për shkak të kufizimit të turneve. Figura e mëposhtme

ilustron këto kosto relative.

Figura 3-19 Kostot Relative të Fleksibiliteti të Organizimit të Stafit

Eksperiment numerik - Organizimi i stafit me orar të pjesshëm

Në këtë seksion do të kryej një eksperiment numerik për të vlerësuar koston e ofrimit të

shërbimit nën nivele të ndryshme të fleksibilitetit të organizimit të stafit. Dëshiroj të shqyrtoj

se si ndryshon skedulimi, në mënyrë cilësore dhe sasiore, kur rritim nivelin e fleksibilitetit të

fuqisë punëtore. Për secilin projekt llogaritet kostoja e organizimit të stafit dhe rezultati i pritur

për secilin opsion të skedulimit të renditur në Tabelën 3-9. Do të vlerësoj kursimet në koston e

ofrimit të shërbimit në secilin nivel nga baza, dhe gjithashtu do të shoh se si secili nivel

krahasohet me opsionin e maksimumit të fleksibilitetit. Në këtë analizë supozova se agjentët

paguhen 10 €/orë, pavarësisht nga orari në të cilin janë caktuar.

Për çdo kombinim të projekteve dhe orarit të skedulimit optimizuam kundrejt pesë grupeve prej

50 skenarëve secili dhe llogaritëm mesataren për të gjithë matësat e performancës. Secila

zgjidhje kandidate është vlerësuar kundrejt të njëjtit grup prej 500 skenarëve të vlerësimit për

të llogaritur rezultatin e pritshëm.

Projekti A

Në këtë eksperiment do të analizoj një model të bazuar në projektin A. Tabela e mëposhtme

përmbledh rezultatet e çdo mundësie skedulimi.


83

Tabela 3-11 Impakti i Skedulimit Fleksibël – Projekti A

Të dhënat tregojnë që ky fleksibilitet i modelit të mbërritjes mund të ulë koston e ofrimit të

shërbimit në mënyrë të konsiderueshme. Thjesht duke shtuar turne me kohë të plotë 4x10 ul

koston totale me 4%, pasi modeli javor sezonal përputhet më mirë. Shtimi i turneve me kohë të

pjesshme lejon që sezonaliteti i ditës të përputhet më mirë dhe të ulë koston me një shtesë prej

1.8%. Skedulimi i fleksibilitetit maksimal është 6.1% më pak i shtrenjtë se skedulimi 5x8, por

pjesa më e madhe e këtij kursimi mund të arrihen me mundësi më pak fleksibile. Më shumë se

gjysma e kursimeve totale të mundshme arrihen thjesht me skedulimet 4x10 dhe në skedulimin

e caktuar jemi në gjendje të arrijmë plotësisht 96% të kursimeve totale të mundshme.

Për të kuptuar se si fleksibiliteti alteron skedulimin optimal, mund t'i analizojmë rezultatet në

mënyrë grafike. Në grafikët e mëposhtëm projektoj skedulimin e së hënës për çdo model turni.

(Shënim: Skedulimi është llogaritur duke optimizuar mbi javën e plotë, tregojmë vetëm

skedulimin e së hënës në këtë grafik. Në faqen tjetër do të tregoj javën e plotë.)

Mesatarja

PDBashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

TSF

MesatareBesimi Gabimi

Kostoja e Jo-

Fleksibilitetit

1 A 11,280 11,579 11,660 81.1% 66.1% (19.6) 696

2 B 10,800 11,204 11,239 80.4% 59.8% 34.9 275

3 C 10,944 11,197 11,235 81.3% 71.0% 37.3 271

4 D 10,844 11,083 11,103 81.5% 73.2% 20.6 139

5 E 10,720 10,976 11,019 81.3% 70.5% 42.6 55

6 MF 10,677 10,867 10,964 81.2% 70.8% 96.6 -

7 MF-VM 9,845 9,859 12,544 74.6% 3.6% 2,685 -

Kostoja e Pasigurisë së Ngarkesës 1,105

% e Kursimeve nga Fleksibiliteti % e Kursimeve Max të Arritura

Bashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

A

B 4.3% 4.1% 3.6% 79.6% 58.5% 60.5%

C 3.0% 4.1% 3.6% 55.7% 59.3% 61.1%

D 3.9% 5.1% 4.8% 72.3% 73.5% 80.0%

E 5.0% 6.0% 5.5% 92.9% 86.6% 92.1%

MF 5.3% 7.0% 6.0% 100.0% 100.0% 100.0%


84

Figura 3-20 Impakti i Operatorëve me Kohë të Pjesshme në Skedulimin Ditor – Projekti A

Mund të bëjmë disa vërejtje në lidhje me evolucionin skedulimit optimal, ndërkohë që shtojmë

më shumë fleksibilitet në grupin e skedulimeve të mundshme:

• Me organizimin 5x8 të stafit mbajmë vetëm një nivel relativisht të sheshtë të

organizimit të stafit gjatë gjithë periudhës së ngarkuar. Niveli i organizimit të stafit

është një kompromis midis mëngjesit më të ngarkuar dhe pasdites me më pak volume,

të vendosur për të balancuar në një nivel shërbimi prej 80% gjatë javës. Do të tentojmë

të jemi të nënstafuar në periudhat e pikut dhe të mbistafuar në periudha më të ngadalta

gjatë periudhës fillestare të ngarkuar.

• Me turne me orar të plotë (B, C) shohim ndryshime të vogla në këtë model dhe

organizimi i stafit mbetet relativisht i sheshtë gjatë rrjedhës së periudhës së ngarkuar

• Me futjen e skedulimeve më të shkurtra (D, E) kapaciteti bëhet më variabël gjatë gjithë

ditës. Me turne 6 orarëshe fillojmë të shohim modelin me dy “gunga”që karakterizon

përsëritjet e mbërritjeve në grafikun e kapacitetit. Me turne 4 orarëshe, modeli bëhet

më i theksuar kur rritet organizimit i stafit në mëngjes dhe zvogëlohet pasdite.

• Me turnet me fleksibilitet maksimal në organizimin e stafit bëhet më e theksuar kur

modeli përpiqet të përputhet me formën e modelit të mbërritjes sa më afër të jetë e

mundur.

Në grafikun e mëposhtëm shohim skedulimin gjatë rrjedhës së javës për të parë se si jemi në

gjendje të trajtojmë sezonalitetin javor.


85

Figura 3-21 Impakti i Operatorëve me Kohë të Pjesshme në Skedulimin Javor – Projekti A

• Me organizimin 5x8 të stafit vetëm organizimi javor është mjaftueshëm konstant gjatë

gjithë javës, me vetëm një numër të vogël operatorësh të hequr nga e mërkura dhe të

enjtja për të plotësuar kërkesën e fundjavës.

• Organizimi 4x10 i stafit lejon një përputhshmëri më të mirë të modelit javor dhe shohim

një profil të organizimit të stafit të pabarabartë gjatë gjithë javës.

• Me organizim 4x8 (C) modeli javor i organizimit të stafit përputhet më mirë me

modelet e mbërritjeve dhe kapaciteti bie në mënyrë të qëndrueshme gjatë gjithë javës.

• Shtimi i turneve të shkurtra (D-E) përbën ndryshim të vogël në profilin e përgjithshëm

të kapacitetit javor, ndryshimet bëhen kryesisht për të përputhur më mirë sezonalitetin

brenda ditës

Projekti B

Më pas e përsërita analizen perr projektin B.


86

Tabela 3-12 Impakti i Skedulimit Fleksibël – Projekti B

Më poshtë janë skedulimet e të Hënës per këtë projekt.

Mesatarja

PDBashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

TSF


Kostoja e Jo-

Fleksibilitetit

1 A 30,960 34,238 35,305 83.2% 80.5% 1,067 6,369

2 B 30,320 33,597 34,728 83.7% 81.3% 1,132 5,793

3 C 30,384 33,639 34,733 83.6% 81.0% 1,094 5,797

4 D 30,092 33,398 34,585 83.5% 80.6% 1,187 5,649

5 E 30,096 33,407 34,595 83.5% 80.2% 1,189 5,659

6 MF 25,427 27,458 28,936 74.3% 36.0% 1,478

7 MF-VM 24,040 24,079 33,654 60.8% 0.2% 9,575



Bashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

A

B 2.1% 1.9% 1.6% 11.6% 9.5% 9.0%

C 1.9% 1.7% 1.6% 10.4% 8.8% 9.0%

D 2.8% 2.5% 2.0% 15.7% 12.4% 11.3%

E 2.8% 2.4% 2.0% 15.6% 12.3% 11.1%

MF 17.9% 19.8% 18.0% 100.0% 100.0% 100.0%


87

Figura 3-22 Impakti i Operatorëve me Kohë të Pjesshme në Skedulimin Ditor – Projekti B

Më poshtë janë modelet javore.

Figura 3-23 Impakti i Operatorëve me Kohë të Pjesshme në Skedulimin Javor – Projekti B


88

Të dyja të dhënat dhe grafikët dhe numrat tregojnë se organizimi i stafit me kohë të pjesshme

është më pak efektiv për këtë projekt. Disa arsye të mundshme janë përmbledhur më poshtë:

• Projekti ka një model sezonal më pak të përcaktuar.

• Volumi më i madh i telefonatave në fundjavë lejon përshtatjen më të mirë të profileve

të organizimit të stafit të mesjavës me operatorë me kohë të plotë.

• Natyra shumë e paqëndrueshme e projektit bën që formimi i kapacitetit të jetë më pak

efektiv.

Projekti C

Së fundi analizova projektin e tretë të modeluar nga Projekti C. rezultatet janë të ngjashme me

projektin B. Më poshtë janë rezultatet finale.

Tabela 3-13 Impakti i Skedulimit Fleksibël – Projekti C

Përsëri do të duket se mungesa e një modeli të fortë sezonal, si në nivel javor ashtu edhe në

nivel ditor; e bën strategjinë me kohë të pjesshme më pak efektive. Megjithatë, strategjia

siguron përfitime jo të parëndësishme, duke rritur përdorimin dhe uljen e kostove.

Vlera e Shtuar e punonjësve me kohë të pjesshme

Në këtë eksperiment të radhës do të shqyrtoj potencialin e përfitimit nga organizimi fleksibël i

stafit nëse numri i punonjësve me kohë të pjesshme është i kufizuar; qoftë nga politika ose

disponueshmëria. Do të vazhdoj të zgjidh programimin e optimizimit stokastik, por me një

kufizim shtesë që limiton numrin e operatorëve të caktuar për një turn prej më pak se 40 orësh

në disa parametra. Pastaj do të ndryshoj atë parametër nga 0 në 20, duke ekzekutuar 5 grupe në

çdo nivel dhe duke llogaritur kostot që rezultojnë. Në grafikun e mëposhtëm kam modeluar

Mesatarja

PDBashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

TSF


Kostoja e Jo-

Fleksibilitetit

1 A 11,600 12,254 12,443 80.2% 66.3% 188.8 236

2 B 11,360 12,020 12,257 80.1% 64.5% 236.9 50

3 C 11,296 12,044 12,278 79.5% 58.4% 233.9 71

4 D 11,352 11,967 12,210 80.2% 66.9% 243.2 3

5 E 11,316 11,951 12,226 79.9% 62.8% 274.6 19

6 MF 11,287 11,856 12,207 79.8% 62.0% 351.2 -

7 MF-VM 9,275 9,275 15,662 67.2% -



Bashkësia

e Sked

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

Kostoja e

Punës

Obj i

Llogaritur

Rezultati i

Pritur

A

B 2.1% 1.9% 1.5% 76.7% 58.6% 78.6%

C 2.6% 1.7% 1.3% 97.1% 52.7% 69.9%

D 2.1% 2.3% 1.9% 79.2% 72.0% 98.6%

E 2.4% 2.5% 1.7% 90.7% 76.1% 92.1%

MF 2.7% 3.2% 1.9% 100.0% 100.0% 100.0%


89

koston e pritshme të operacioneve si funksion i numrit maksimal të punonjësve të lejuar me

kohë të pjesshme.

Figura 3-24 Vlera e Shtuar e Stafit me Kohë të Pjesshme

Grafiku tregon se përfitimi nga organizimi i stafit me kohë të pjesshme vjen nga të parët e paktë

që punojnë me kohë të pjesshme. Me zero persona me kohë të pjesshme ky skedulim është

ekuivalent me skedulimin B me një kosto të vlerësuar të operacioneve prej rreth 11.300 €. Kur

shtohen punonjësit me kohë të pjesshme skedulimi shkon drejt skedulimit E dhe tek një kosto

e parashikuar e operacioneve prej rreth 11.000 €. Grafiku tregon se përfitimi i plotë është arritur

me rreth 5 punonjës me kohë të pjesshme, ose rreth 16% të fuqisë punëtore. Përtej 5 punonjësve,

ndryshimi në rezultatin e parashikuar është zhurma statistikore.

Kjo ilustron një pikë të rëndësishme ku do të kthehem më mbrapa në konkluzionet e kësaj teze.

Ndërsa fleksibiliteti përmirëson dukshëm efiçencën e sistemit, nevojitet vetëm një sasi e

kufizuar fleksibiliteti. Një numër i vogël i punonjësve fleksibël është gjithçka që nevojitet për

të arritur pjesën më të madhe të përfitimit.

3.1.6. Krahasimi me Praktikën e Zakonshme

Gjatë gjithë këtij kapitulli kemi analizuar një model që përdor modelin Erlang A, një model që

merr parasysh braktisjen dhe normëm e mbërritjes si madhësi e rastit. Asnjë nga këto kushte

nuk përfshihet në modelet standarde të industrisë; "praktika e zakonshme përdor modelin e

radhës së M / M / N (Erlang C) për të vlerësuar performancën e sistemit stacionar të intervalit

të shkurtër - gjysmë ore ose një orë." (Gans, Koole et al. 2003) faqe.92. Për më tepër, praktika

standarde e industrisë është që të marrë vendime të organizimit të stafit bazuar në kërkesat e

nivelit të shërbimit periudhë pas periudhe; "çdo parashikim λi dhe μi i intervaleve prej gjysëm

ore ndërtojnë objektivin e nivelit të organizimit të stafit për periudhën. ... përcaktimi i grupeve

optimale të skedulimeve mund të përshkruhet si pasojë edhe si zgjidhje për një programim me

numra të plotë "(Gans, Koole et al. 2003) faqe.93.

Më parë tregova se injorimi i pasigurisë së normës së mbërritjes çon në zgjidhje të

verifikueshme më të shtrenjta, mbi një bazë të kostos së pritur, sesa modelet që llogarisin


90

ndryshueshmërinë. Në këtë seksion do të krahasoj modelin stokastik Erlang-A me modelin e

aplikuar zakonisht Erlang C.

Modeli i Mbulimit të Ponderuar të Grupimit

Përqasja standarde e përshkruar më sipër gjeneron një sërë kërkesash të organizimit fiks të stafit

në çdo periudhë dhe pastaj përpiqet të gjejë skedulimin me koston më të ulët për të përmbushur

këto kërkesa. Programimi me numra të lotë që do të rezultojë është një problem standard i

mbulimit të ponderuar të grupimit i cili mund të shprehet si

Të minimizohet:

∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑗∈𝐽 (3.27)

Me kushtet:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼𝑗∈𝐽 (3.28)

𝑥𝑖𝑗 ∈ ℤ+ (3.29)

Ku cj është kostoja e skedulimit të j-të, xj është numri i personave që i caktohen skedulimit të

j-të, dhe aij është lidhja e skedulimit me periudhat kohore.

Modeli Erlang C i Kufizuar Lokalisht

Do t’i referohem përqasjes standarde të përshkruar në (Gans, Koole et al 2003) si modeli Erlang

C i kufizuar lokalisht sepse përdor Erlang C-në për të gjeneruar një kufizim lokal në çdo

periudhë28. Do të ndërtoj skedulimin Erlang C të kufizuar lokalisht duke përdorur procesin e

mëposhtëm:

1. Llogaris volumin mesatar në çdo periudhë 30 minutëshe të javës.

2. Duke përdorur volumet e llogaritura në hapin 1, do të përcaktojmë numrin e

operatorëve të kërkuar për të arritur nivelin e shërbimit të synuar në çdo periudhë prej

30 minutash duke kryer një kërkim me anë të përdorimit të ekuacionit (2.10).

3. Vendosim kërkesat e organizimit të stafit për periudhën në maksimumin e numrit të

llogaritur në hapin 2 dhe kërkesën minimale globale të organizimit të stafit.

4. Duke përdorur vektorin që rezulton të kërkesave të organizimit të stafit si parametri i

kërkesës bi në Programimin me Numra të Plotë (3.27) - (3.29).

Problemi i përgjithshëm me këtë përqasje është kufizimi i krijuar nga kërkesa e nivelit të

shërbimit për periudhë, së bashku me kërkesën për skedulimin e personave në turne.

Niveli i maksimal i organizimit të stafit është përcaktuar nga periudha e maksimumit të

mbërritjeve, dhe në varësi të gjatësisë së pikut të mbërritjeve dhe të gjatësisë së fleksibilitetit të

modelit të organizimit të stafit, mund të krijohet një sasi e konsiderueshme të kapacitetit të

28 Në këtë kontekst me lokale i referohemi një kufizimi periudhë pas periudhe, dhe me globale i

referohemi një kufizimi të aplikuar gjatë një periudhe më të gjatë le të thmië një javë ose një muaj. Kjo

është një terminologji përgjithësisht e pranuar, shohim për shembull Koole, van der Sluis (2003).


91

tepërt në periudha të tjera. i referohem kapacitetit shtesë të krijuar në periudha të tjera si humbja

e peshës së vdekur29, orët shtesë të punës të skeduluara për shkak të kufizimit të turneve.

Madhësia e humbjes së peshës së vdekur do të jetë një faktor i fleksibilitetit të grupeve në

dispozicion të skedulimeve. Me opsione më fleksibile të organizimit të stafit, algoritmi i

mbulimit të ponderuar të grupimit mund të përputhet më mirë me kërkesat.

Konsiderojmë shembujt e treguar në dy grafikët e mëposhtëm. Në çdo grafik, zona e brendshme

përcakton kërkesat e krijuara për problemin e mbulimit të grupimit. Rrethimi i grafikut

përfaqëson numrin total të organizimit të stafit të caktuar nga zgjidhja e problemit të mbulimit

të grupimit. Për këtë arsye zona e jashtme përfaqëson kapacitetin e tepërt të përcaktuar më lart

dhe përtej asaj që është specifikuar.

Figura 3-25 Teprica e Stafit në Problemin e Mbulimit të Grupimit - Projekti A – BS A

29 Termi humbja e peshës së vdekur është huazuar nga literatura ekonomike, në të cilen ajo i referohet

humbjes së efiçencës ekonomike nga një ekuilibër që nuk është Pareto efiçent. Shpesh përdoret për të

përcaktuar sasinë e humbjes së efiçencës të krijuar nga taksat. Në këtë rast e përdor termin për t'iu referuar

humbjes së efiçencës nga zgjidhja optimale e krijuar nga kufizimet e turneve.


92

Figura 3-26 Teprica e Stafit në Problemin e Mbulimit të Grupimit - Projekti A – BS C

Në Figurën 3-25 mund te caktojmë vetëm punonjësit në skedulime me orar të plotë 4x8 dhe

kështu mbulimi i caktuar është i dobët. Grafiku tregon një sasi të konsiderueshme të mbi

organizimit të stafit gjatë gjithë javës. Në figurën 3-26 kemi mundësinë e turneve 4x10 dhe 4x8

kështu që mund të arrijmë t’i afrohemi kërkesës shumë më nga afër.

Për të përcaktuar ndikimin vura në funksionim një model Erlang C të kufizuar lokalisht për

secilin nga tre projektet e testimit për secilën prej 5 grupeve të skedulimit. Kufizimet për

periudhë janë vendosur në mënyrë që niveli i shërbimit me volumet e pritura të jetë të paktën

80%. Në tabelën e mëposhtme do të krahasoj rezultatet e kësaj analize me rezultatet e

skedulimeve stokastike të gjeneruara në Kapitullin e Dytë.

Tabela 3-14 Krahasimi i Skedulimeve Stokastike dhe Erlang C Lokale

Të dhënat konfirmojnë se organizimi i tepërt i stafit është i lartë për rastin 4x8, por zvogëlohet

shpejt me opsionet e skedulimit më fleksibël. Gjithashtu tregojnë që ky është një problem më i

rëndësishëm për projektin A, i cili ka një model të fortë sezonaliteti, sesa për Projektin B ose

ProjektiBashkësia

e Sked

Kostoja

Direkte e

Punës

Gjoba e

Pritur

Rezultati i

PriturTSF Mes.

Humbja e

Peshës së

Vdekur

% Humbja e

Peshës së

Vdekur

Kostoja

Direkte e

Punës

Gjoba e

Pritur

Rezultati i

Pritur

TSF

Mes.

A 16,000 - 16,000 91.8% 4,055 34.0% 11,280 380 11,660 81.1% 4,720 29.5% 4,340 27.1%

B 13,200 - 13,200 91.0% 1,255 11.0% 10,800 439 11,239 80.4% 2,400 18.2% 1,961 14.9%

C 12,880 - 12,880 90.4% 935 8.0% 10,944 291 11,235 81.3% 1,936 15.0% 1,645 12.8%

D 12,500 - 12,500 89.5% 555 5.0% 10,844 259 11,103 81.5% 1,656 13.2% 1,397 11.2%

E 12,300 - 12,300 89.2% 355 3.0% 10,720 299 11,019 81.3% 1,580 12.8% 1,281 10.4%

A 38,000 1,565 39,565 91.6% 8,340 28.0% 30,960 4,345 35,305 83.2% 7040 18.5% 4260 10.8%

B 32,800 3,847 36,647 88.0% 3,140 11.0% 30,320 4,408 34,728 83.7% 2480 7.6% 1919 5.2%

C 32,320 4,184 36,504 87.4% 2,660 9.0% 30,384 4,349 34,733 83.6% 1936 6.0% 1771 4.9%

D 30,900 4,820 35,720 86.1% 1,240 4.0% 30,092 4,493 34,585 83.5% 808 2.6% 1135 3.2%

E 30,980 4,796 35,776 86.2% 1,320 4.0% 30,096 4,499 34,595 83.5% 884 2.9% 1181 3.3%

A 13,600 384 13,984 85.7% 2,180 19.0% 11,600 843 12,443 80.2% 2000 14.7% 1541 11.0%

B 12,400 514 12,914 83.4% 980 9.0% 11,360 897 12,257 80.1% 1040 8.4% 657 5.1%

C 12,160 544 12,704 83.0% 740 6.0% 11,296 982 12,278 79.5% 864 7.1% 426 3.4%

D 11,980 592 12,572 82.4% 560 5.0% 11,352 858 12,210 80.2% 628 5.2% 362 2.9%

E 11,880 624 12,504 82.1% 460 4.0% 11,316 910 12,226 79.9% 564 4.7% 278 2.2%

B

C

Kursimet e

Kostos së

Punës

Kursimet e

Pritura

Erlang C i Kufizuar Lokalisht Optimizimi Stokastik Erlang A

A


93

C. Përqasja e përcaktimit të mbulimit tenton të mbistafojë projektin dhe të arrijë nivelet e

pritshme të shërbimit më të larta se ato të arritura në modelin stokastik. Megjithatë, për shkak

se modeli i caktimit të mbulimit konsideron vetëm vlerën e pritshme dhe jo variancën e

mbërritjeve, është më pak efektive në mbulim se sa modeli stokastik. Konsideroni rastin e

skedulimit D për projektin B. Modeli deterministik ka një nivel të pritshëm shërbimi prej

86.1%, kundrejt objektivit të 80%, por gjithashtu një kosto të pritshme të penalitetit prej 4.820

euro. Modeli stokastik nga ana tjetër ka një nivel të pritshëm shërbimi prej 83.5%, 2.6% më i

ulët, por një penalitet të pritur 4.493 euro.

Në të gjitha rastet modeli stokastik jep një kosto direkte më të ulët dhe një kosto më të ulët të

pritshme të operacioneve. Përfitimi i përdorimit të modelit stokastik është më i rëndësishëm

kur mbërritjet kanë një model të fortë sezonal, si në Projektin A, ose kur fleksibiliteti i fuqisë

punëtore është i ulët. Me stafmin vetëm 4x8 modeli stokastik siguron të paktën 10.8% më pak

kosto operative.

Modeli Erlang C i Kufizuar Globalisht

Në seksionin e mëparshëm tregova se modeli stokastik i bazuar në modelin Erlang A ofron

zgjidhje me kosto më të ulëta se sa modeli Erlang C i kufizuar lokalisht i diskutuar në literaturë.

Një përqasje alternative është përdorimi i një modeli deterministik të Erlang C, duke injoruar

braktisjen dhe pasigurinë si në modelin e mëparshëm, por duke optimizuar me një kufizim

global dhe jo lokal. Ndërsa kjo përqasje nuk është paraqitur në literaturën e realitetit shqiptar,

për aq sa jam në dijeni, është një thjeshtim i natyrshëm i modelit stokastik që kam analizuar

deri më tani. Duke qënë se modeli është determinist, ai supozon se normat e mbërritjes janë të

njohura, në përgjithësi do të jetë më e lehtë për të zgjidhur pastaj modelin stokastik. injorimi i

braktisjes do të tentojë të rrisë organizimin e rekomanduar të stafit, por injorimi i pasigurisë do

të tentojë të zvogëlojë organizimn e stafit. Mund të ndodhë që në disa rrethana këto gabime

mund të anullojnë njëra-tjetrën dhe mund të arrijmë zgjidhje të mira me një kosto llogaritjeje

më të ulët.

Metoda për formulimin dhe zgjidhjen e këtyre problemeve është një zbatim i drejtpërdrejtë i

modelit (3.1) - (3.7). Do të zgjidh një version të vlerës mesatare të problemit. Ndryshimi kryesor

është se koeficientët për kufizimet (3.3) dhe (3.5) llogariten bazuar në modelin e Erlang C.

Gjithsesi më duhet një minimum prej dy operatorësh të stafuar në të njejtën kohë dhe një nivel

shërbimi minimal në volumin e pritur në çdo periudhë prej së paku 50%.

Do të zgjidh një version të këtij problemi për secilin prej 3 projekteve për secilën mundësi

skedulimi. Meqenëse modeli është determinist nuk ka nevojë të zgjidhen grupet e shumëfishta.

Për të vlerësuar koston e pritur të zbatimit të zgjidhjes, do të vazhdoj të vlerësoj skedulimin që

rezulton kundrejt modelit stokastik Erlang A. Supozoj që modeli Erlang A me ambërritje të

pasigurta është modeli i saktë dhe objektivi i kësaj analize është të përcaktojë gabimin e

paraqitur duke përdorur një Model Erlang C të Kufizuar Globalisht.

Rezultatet e kësaj analize tregohen në tabelën e mëposhtme:


94

Tabela 3-15 Krahasimi i Skedulimeve Stokastike dhe Erlang C Globale

3.1.7. Sistemimet nëpërmjet Simulimit

Modelet e analizuara në këtë kapitull përdorin një përafrim analitik të modelit Erlang A për të

vlerësuar sjelljen e sistemit të radhës në përgjithësi për të vlerësuar nivelin e shërbimit në

veçanti. Modeli përdor një përafrim stacionar të pandërprerë për të vlerësuar sjelljen

jostacionare; përafrimi Stacionar indipendent Periudhë pas Periudhe (SIPP). Më parë kemi

shqyrtuar saktësinë e përqasjes SIPP dhe kemi gjetur se në përgjithësi ka dhënë një vlerësim të

saktë të saktë të nivelit total të shërbimit, por kemi gjetur gjithashtu se saktësia e përafrimit

ndryshonte nga projekti në projekt.

Në këtë seksion do të zhvilloj një zgjatje të procesit të skedulimit të përdorur gjatë gjithë këtij

kapitulli që do të quaj sistemime të bazuara në simulim. Ideja kyesore është që të marrim

skedulimet e gjeneruara nga zgjidhja e modelit stokastik të skedulimit dhe të shohim nëse mund

të gjendet një skedulim më i mirë nëpërmjet një kërkimi heuristik lokal të bazuar në simulim.

Përqasja e Optimizimit të Bazuar në Simulim

Në këtë përqasje do të përdor Simulimin Diskret te Ngjarjeve (DES) për të modeluar

operacionet e call center-it. Ndryshe nga modeli me bazë analitike i përdorur deri tani, përqasja

DES simulon përpunimin individual të ttelefonatave. Modeli i simulimit është projektuar për të

gjeneruar mbërritjet e telefonatave duke përdorur të njëjtin model statistikor të përshkruar në

figurën 1-8. Modeli i simulimit gjithashtu ndryshon numrin e operatorëve duke u bazuar në

modelin e organizimit të stafit në faza kohore të gjeneruara nga modeli i skedulimit.

DES-i bazik mund të vlerësojë rezultatin e pritshëm të skedulmmit kandidat, por për të gjetur

një skedulim më të mirë duhet të implementojmë një formë të algoritmit të optimizimit. Do të

implementoj një algoritëm lokal kërkimi që fillon me skedulimin e gjeneruar nga procesi i

optimizimit stokastik dhe kontrollon fqinjët e skedulimeve të lidhura ngushtë. Algoritmi lokal

i kërkimit udhëhiqet nga një kërkim fqinj variabël metaheuristik (VNS). VNS-ja është një

metaheuristik që bën ndryshime sistematike në zonat fqinje që po kontrollohet gjatë kërkimit

(Hansen dhe Mladenovic 2001; Hansen dhe Mladenovic 2005). Kur përdorim VNS një përqasje

e zakonshme është të përcaktojmë një sërë fqinjësh të mbivendosur, të tillë që

𝑁1(𝑥) ⊂ 𝑁2(𝑥) ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘𝑀𝑎𝑥(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑋 (3.30)

ProjektiBashkësia

e Sked

Kostoja

Direkte e

Punës

Gjoba e

Pritur

Rezultati i

PriturTSF Mes.

Kostoja

Direkte e

Punës

Gjoba e

Pritur

Rezultati i

Pritur

TSF

Mes.

A 14,000 20 14,020 88.6% 11,280 380 11,660 81.1% 2,720 19.4% 2,360 16.8%

B 12,000 2 12,002 87.1% 10,800 439 11,239 80.4% 1,200 10.0% 763 6.4%

C 11,760 5 11,765 86.3% 10,944 291 11,235 81.3% 816 6.9% 530 4.5%

D 11,600 7 11,607 86.3% 10,844 259 11,103 81.5% 756 6.5% 504 4.3%

E 11,580 26 11,606 85.8% 10,720 299 11,019 81.3% 860 7.4% 587 5.1%

A 35,200 953 36,153 87.3% 30,960 4,345 35,305 83.2% 4240 12.0% 848 2.3%

B 30,400 5,412 35,812 84.8% 30,320 4,408 34,728 83.7% 80 0.3% 1084 3.0%

C 30,160 5,426 35,586 84.7% 30,384 4,349 34,733 83.6% -224 -0.7% 853 2.4%

D 29,340 6,080 35,420 83.6% 30,092 4,493 34,585 83.5% -752 -2.6% 835 2.4%

E 29,320 6,050 35,370 83.7% 30,096 4,499 34,595 83.5% -776 -2.6% 775 2.2%

A 11,600 976 12,576 79.9% 11,600 843 12,443 80.2% 0 0.0% 133 1.1%

B 11,200 1,305 12,505 78.5% 11,360 897 12,257 80.1% -160 -1.4% 248 2.0%

C 11,120 1,394 12,514 78.3% 11,296 982 12,278 79.5% -176 -1.6% 236 1.9%

D 10,960 1,442 12,402 78.0% 11,352 858 12,210 80.2% -392 -3.6% 192 1.5%

E 11,080 1,421 12,501 78.1% 11,316 910 12,226 79.9% -236 -2.1% 275 2.2%

A

B

C

Erlang C i Kufizuar Globalisht Optimizimi Stokastik Erlang A

Kursimet e

Kostos së

Punës

Kursimet e

Pritura


95

Struktura e përgjithshme e VNS-së do të jetë më pas si më poshtë:

1) Fillimi

a. Zgjidh grupin e strukturave të fqinjësisë, Nk për k = 1, ...,kmax

b. Ndërto një zgjidhje fillestare në detyrë, xI, duke përdorur disa proçedura heuristike.

c. Zgjidh një nivel besimi α për zgjedhjen e një zgjidhjeje të re në detyrë

2) Kërko: përsërit sa vijon derisa Stop = True (E vërtetë)

a. Vendos k = 1

b. Gjej 𝑛𝑘𝑚𝑖𝑛 zgjidhje kandidate, xC që janë fqinjët e xI

c. Simulo sistemin me secilin kandidat dhe krahaso rezultatet me atë në detyrë duke

përdorur një Test T dy palësh.

d. Nëse ndonjë xC është superior ndaj xI në nivelin α atëherë vendos 𝑥𝐼 = 𝑥𝐶∗ ku 𝑥𝐶

∗ është

zgjidhja më e mirë kandidate

Përndryshe, vendos i = 𝑛𝑘𝑚𝑖𝑛, vendos gjetur = False (E Gabuar), dhe përsërit derisa (i

= 𝑛𝑘𝑚𝑎𝑥, ose gjetur = True (E Vërtetë)

i. Gjej një kandidat të ri i 𝑥𝑘𝑖

ii. Simulo sistemin me secilin kandidat dhe krahaso rezultatet duke përdorur një

Test T dy-palësh.

iii. Nëse 𝑥𝑘𝑖 është superior ndaj xI në nivelin α atëherë vendos xI = 𝑥𝑘𝑖

dhe gjetur

= True (E Vërtetë)

e. Në qoftë se nuk gjendet asnjë operator i ri në detyrë në fqinjësinë k atëherë

i. vendos k = k+1

ii. nëse max k > kmax atëherë Stop = True (E Vërtetë)

Figura 3-27 Algoritmi i përgjithshëm i Kërkimit VNS

Një perqasje e zakonshme e VNS-së është një seri strukturash fqinje të mbivendosura si më

poshtë:

𝑁1(𝑥) ⊂ 𝑁2(𝑥) ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘𝑀𝑎𝑥(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑋 (3.31)

Gjatë përcaktimit të strukturës fqinje, bëj dallimin mes grupit të skedulimeve aktive, atyre

skedulimeve me një caktim të ndryshëm nga zero në skedulimin kandidat dhe skedulimet e

mundshme që përfshijnë të gjitha skedulimet në bashkësinë e skedulimeve të mundshme. Duke

u bazuar në këtë dallim do të përcaktoj fqinjësitë e mëposhtme

• N1 (x): Ndryshimi Aktiv 1: grupi i të gjitha planifikimeve të organizimit të stafit ku një

skedulim aktiv është rritur ose zvogëluar me 1.

• N2 (x): Ndryshimi Aktiv 2: zgjedh dy skedulime aktive çfarëdo dhe në mënyrë të

pavarur rrit ose zvogëlon secilin

• N3 (x): Ndryshimi i Mundshëm 1: zgjedh çdo skedulim të mundshëm dhe shton një

caktim.

• N4 (x): Ndryshimi i Mundshëm 2: zgjedh çdo skedulim të mundshëm dhe shton një

caktim, zgjedh një skedulim aktiv dhe ul numrin e caktuar.

Procesi i Sistemimeve


96

Në këtë test do të vlerësoj skedulimin bazë të zhvilluar për secilin nga tri projektet e testimit

për secilin prej pesë opsioneve të skedulimit standard; duke rezultuar në një total prej 15

problemash të ndryshme optimizimi. Në secilin rast do të filloj me rezultatet e gjetura në

seksionin 3.1.5.

Rezultatet për projektin A janë si më poshtë:

Tabela 3-16 Sistemimi i bazuar në Simulim – Projekti A

Rezultatet tregojnë se një përmirësim i moderuar është i mundur në të gjitha rastet. Seksioni i

parë rendit rezultatet e gjetura duke simuluar rezultatet e skedulimit të gjeneruar nga modeli i

optimizimit stokastik. Krahasimi i rezultateve në këtë tabelë me ato të tabelës 3-11 tregon se

modeli i simulimit llogarit një nivel shërbimi më të ulët dhe gjobë më të lartë se ato të vlerësuara

në modelin e optimizimit. Kjo është në përputhje me gabimet optimiste të gjetura në seksionin

3.1.2 dhe të përmbledhura në tabelën 3-1. Kërkimi i simulimit është më pas në gjendje të gjejë

skedulimet me kosto më të ulëta duke shtuar operatorë. Kostoja në rritje e organizimit të stafit

është kompensuar nga kostoja e pritur e zvogëluar e gjobës për nivelet e shërbimit. Në këtë

projekt në veçanti përfitimet janë të moderuara në rangun prej 1.0% në 2.7%.

Rezultatet për projektet B dhe C janë të ngjashme dhe janë përmbledhur në tabelat e

mëposhtme:

Tabela 3-17 Sistemimi i bazuar në Simulim – Projekti B

Tabela 3-18 Sistemimi i bazuar në Simulim – Projekti C

Përmirësimi për Projektin C është më i rëndësishëm se sa ai i gjetur për Projektin A dhe në

përgjithësi rezulton nga zvogëlimi i fuqisë punëtore. Kjo është në përputhje me gjetjet e SIPP-

së për projektin B ku modeli i skedulimit tenton të nënvlerësojë nivelin e arritur të shërbimit.

Rezultatet për Projektin C janë të ngjashme me ato të projektit A me kursime në rangun nga

Zgjidhja Paraprake Rezultatet e Optimizimit Krahasimi

Bashkësia

e Sked.

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kostoja e

Punës

Rezultati

i Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursimeve

Skedulimi A 11,200 12,362 79.3% 4.1% 11,600 12,105 81.0% 3.8% (400) 257 2.1%

Skedulimi B 10,800 11,933 78.1% 3.2% 11,200 11,611 80.6% 3.0% (400) 322 2.7%

Skedulimi C 10,960 11,867 78.9% 3.3% 11,360 11,697 81.5% 3.4% (400) 170 1.4%

Skedulimi D 10,840 11,609 79.4% 3.5% 11,060 11,380 81.2% 3.0% (220) 229 2.0%

Skedulimi E 10,720 11,521 78.9% 3.3% 10,920 11,402 80.3% 3.1% (200) 119 1.0%


Bashkësia

e Sked.

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kostoja e

Punës

Rezultati

i Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursimeve

Skedulimi A 30,800 32,143 83.5% 4.5% 30,000 31,313 83.3% 4.9% 800 830 2.6%

Skedulimi B 30,400 31,167 84.7% 4.2% 29,200 29,866 84.0% 4.6% 1,200 1,301 4.2%

Skedulimi C 30,880 31,418 85.0% 4.0% 28,960 29,860 83.7% 4.7% 1,920 1,558 5.0%

Skedulimi D 29,860 30,759 84.4% 4.2% 29,060 29,960 84.1% 4.4% 800 799 2.6%

Skedulimi E 30,320 30,879 85.3% 4.1% 29,080 30,102 84.0% 4.6% 1,240 777 2.5%


Bashkësia

e Sked.

Kostoja e

Punës

Rezultati i

Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kostoja e

Punës

Rezultati

i Pritur

TSF

Mes

TSF

DS

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursimeve

Skedulimi A 11,600 12,244 79.9% 3.7% 11,600 12,097 80.3% 3.6% - 147 1.2%

Skedulimi B 11,200 12,281 78.5% 3.6% 11,600 12,047 80.6% 3.5% (400) 234 1.9%

Skedulimi C 11,120 12,236 78.3% 3.5% 11,440 11,978 80.2% 3.6% (320) 258 2.1%

Skedulimi D 11,380 12,035 79.7% 3.4% 11,480 11,972 80.2% 3.3% (100) 63 0.5%

Skedulimi E 11,340 12,151 79.1% 3.3% 11,540 12,015 80.2% 3.1% (200) 136 1.1%


97

0.5% deri në 2.1% që rezultojnë nga rritja e organizimit të stafit dhe nga nivelet e përmirësuara

të shërbimit.

Ky eksperiment tregon dy gjëra. Së pari skedulimet e krijuara nga procesi i optimizimit

stokastik janë mjaft të mira, por jo optimale. Shtimi i një algoritmi sistemimi të bazuar në

simulim mund të përmirësojë lehtshëm skedulimin. Në këtë rast të veçantë, modeli i simulimit

aplikoi të njëjtin grup supozimesh si procesi i optimizimit; p.sh. koha e bisedës eksponenciale,

durimi eksponencial. Këto supozime ishin të nevojshme për të marrë shprehjet analitike të

modelit Erlang A dhe disa prej tyre janë shqetësuese, në veçanti supozimi i kohës së bisedës

eksponenciale30.

Megjithatë, këto supozime mund të relaksohen lehtësisht në përqasjen e bazuar në simulim. Një

proces alternativ skedulimi mund të përfshijë zgjidhjen e modelit të optimizimit stokastik nën

një supozim Erlang A, pastaj sistemimet nën një grup tjetër supozimesh, p.sh. koha e bisedës

lognormale.

Një çështje e hapur në secilin rast është saktësia e zbatuar në çdo hap të procesit të optimizimit.

Mund të përfytyrojmë një proces në të cilin programimi stokastik zgjidhet në më pak kohë me

më pak saktësi, ndoshta duke përdorur më pak skenarë ose një hendek më të madh optimizimi

në Programimin me numra të plotë përfundimtar dhe më pas një skedulim përfundimtar

gjenerohet nga optimizimi i bazuar në simulime.

Përmbledhje

Në këtë kapitull shqyrtova çështjen e skedulimit afatshkurtër të turneve për call center-at, për

të cilët është e rëndësishme të përmbushin një angazhim në nivel shërbimi gjatë një periudhe të

zgjatur31. Ndërsa analiza u përqendrua ekskluzivisht në një SLA të bazuar në TSF, modeli mund

të përshtatej lehtësisht për të mbështetur forma të tjera të SLA-ve; të tilla si shkalla e braktisjes

ose shpejtësia mesatare për t'u përgjigjur. Modeli u hartua për të njohur pasigurinë në normat e

mbëritjes dhe u formulua si një programim miks me numra të plotë stokastik me dy faza.

Megjithëse i vështirë për t’u zgjidhur, tregova se modeli është i manovrueshëm dhe mund të

zgjidhet në një kohë të arsyeshme. Në kapitujt e mëparshëm tregova se mbërritjet si madhësi e

rastit janë një shqetësim real për call center-at, dhe në këtë kapitull kam treguar se ka një ndikim

real në vendimet e skedulimit.

3.2. Modeli i Trajnimit Miks

Modeli i trajnimit miks shqyrton më tej operacionet e një call center-i. Do të shqyrtoj mundësinë

e trajnimit të një nëngrupimi operatorësh në mënyrë që ata të mund të operojnë njëkohësisht

për dy projekte të ndara, një proces të cilit do t’i referohem si grupim i pjesshëm. Meqenëse

sistemet e radhëve kanë ekonomi shkalle natyrale, trajnimi miks i operatorëve do të rrisë

performancën e përgjithshme të sistemit. Sidoqoftë, duke pasur parasysh investimin e kërkuar

për trajnim dhe kërkesën e mundshme për të paguar një pagë më të lartë për këto raste, mund

të mos jetë e dobishme të trajnohen në mënyrë miks të gjithë operatorët. Përndryshe, merret

30 Modele të tjera analitike janë të disponueshme për shpërndarjen e përgjithshme te kohës së bisedës pa

braktisje, por duke relaksuar supozimet eksponenciale dhe duke lejuar braktisjen krijon një situatë

analitike të vështirë. Shihet në punën empirike nga Brown et. al. që adreson supozimin e kohës

eksponenciale të bisedës.

31 Zakonisht SLA objektiv i një call center-i i referohet periudhave 1 mujore, bazuar në kontratën me

klientin.


98

parasysh rasti i një call center-i shumëgjuhësh. Organizimit i stafit të call center-it me operatorë

shumëgjuhësh do të rrisë efikaçencën e tij. Por duke prezumuar që operatorët shumëgjuhësh

janë më të vështirë për t’u gjetur, mund të kërkojnë një pagë të lartë.

Ky model kërkon të përcaktojë përfitimin nga grupimi i pjesshëm dhe të karakterizojë kushtet

nën të cilat grupimi është më fitimprurës. Më pas përcaktojmë numrin optimal të operaorëve

për t’u trajnuar në mënyrë miks duke pasur të dhënë investimin e trajnimit dhe shtesën në pagë

të paguar për operatorët në këtë rast.

Sfida e organizimit të stafit në këtë model është gjetja e përzierjes optimale të operatorëve në

mënyrë që të arrihet objektivi global i SLA me një probabilitet të lartë dhe me koston më të ulët

të mundshme. Në grupimin e pjesshëm, një numër i vogël super operatorësh janë të trajnuar në

mënyrë miks për të marrë telefonata nga dy projekte. Call center-i më pas mund të shihet si një

model rutimi i bazuar në kompetenca (SBR) me dy kompetenca. Super operatorët i kanë të dyja

kompetencat, ndërsa agjentët bazë kanë vetëm një lloj kompetence. Është e qartë se trajnimi

miks i të gjithë operatorëve do të rrisë nivelin e shërbimit të call center-it për një nivel fiks të

organizimit të stafit. Hipoteza ime është që trajnimi miks i një numri të vogël operatorësh mund

të ofrojë një pjesë të konsiderueshme të përfitimit dhe objektivi im është gjetja e nivelit të

trajnimit miks që minimizon kostot e organizimit të stafit, duke përmbushur kufizimin e nivelit

të shërbimit me probabilitet të lartë.

Do të shqyrtoj rastin e trajnimit miks ndërmjet dy projekteve (ose dy grupeve gjuhësore) dhe

do të supozoj se sistemi i rutimit i bazuar në kompetenca është konfiguruar si më poshtë:

Figura 3-28 Modeli i Grupimit

Kemi dy tipologji telefonatash, një per secilin projekt, dhe tre grupime operatorësh. Grupimi

numër 1 ka kompetencën 1 dhe mund t’i shërbejë tipologjisë së telefonatës numër 1. Në menyre

të ngjashme grupimi numër 2 i shërben tipologjisë 2 të telefonatave. Grupimi numër 3 ka

trajnimin miks dhe mund t’i shërbejë telefonatave nga të dyja radhët (Ekmekçiu 2017).

3.2.1. Grupimi i pjesshëm në Gjendje të Qëndrueshme

Në këtë seksion do të analizojmë performancën e sistemit në gjendje të qëndrueshme duke

përdorur simulimin. Në këtë analizë supozoj një model të thjeshtë rutimi. Kur një telefonatë

mbërin ajo i dërgohet një operatori me kualifikim bazë nëse një është i lirë. Vetëm nëse të gjithë

operatorët bazë janë të zënë, thirrja do t'i dërgohet një super operatori. Nëse të gjithë super


99

operatorët janë të zënë, atëherë telefonata vendoset në radhë për t'u shërbyer nga operatori i

kualifikuar i radhës në dispozicion. Kur një operator bazë bëhet disponibël, ai do të tërheqë një

telefonatë të përshtatshme nga radha nëse ka. Kur super operatorët bëhen disponibël ata marrin

një telefonatë nga radhët virtuale me numrin më të madh të telefonatave në pritje. Modele të

tjera rutimi janë të mundshme; në veçanti mund të dëshirojmë rutimin e telefonatave të bazuar

në SLA-të e arritura deri në nje datë të caktuar të muajit.

Modeli analizohet duke përdorur një shtrirje të modelit të simulimit të përshkruar në (Robbins,

Medeiros et al., 2006). Ky model i simulimit për qëllime të përgjithshme të call center-it është

modifikuar për të mbështetur përqasjen e grupimit të përshkruar në këtë tezë dhe për të

ekzekutuar një algoritëm të optimizimit të bazuar në kërkim. Modeli gjeneron dy procese te

pavarura të mbërritjes së Puasonit dhe i shërben atyre telefonatave duke përdorur skemën e

rutimit të përshkruar më sipër. Modeli është konfiguruar për të ndryshuar numrin e operatorëve

të grupuar për çdo çift të dhënë të mbërritjeve

Funksioni i Përgjigjes së TSF-së

Në radhën e vetme, në rastin e grupimit të një personi të vetëm, kemi një shprehje analitike për

nivelin e shërbimit si një funksion i normave të mbërritjes dhe organizimit të stafit (ekuacioni

(3.29)) dhe mund të gjenerojë lehtësisht një pjesë të TSF-së si një funksion i organizimit të

stafit (shih Figurën 3-5). Në rastin e grupimit situata është dukshëm më e komplikuar. Nuk ka

shprehje të njohura analitike të disponueshme për të llogaritur nivelin e shërbimit. Duke u

bazuar në intuitë presim që niveli i shërbimit të rritet në numrin e operatorëve bazë dhe numrin

e super operatorëve. Për të verifikuar këtë intuitë do të përdor simulimin për të krijuar paraqitjen

grafike të mëposhtme të TSF-së si një funksion i numrit të operatorëve.

Në këtë simulim supozoj se çdo radhë merr telefonata me një normë prej 100 telefonatave në

orë, që në çdo rast koha mesatare e bisedës është 12 minuta, telefonuesit kanë një durim mesatar

prej 350 sekondash dhe niveli i shërbimit bazohet në një kohë të pritjes prej 120 sekondash .

Do të ndryshoj numrin e operatorëve të caktuar për çdo grupim bazë dhe numrin e operatorëve

të caktuar në grupimet e super operatorëve në mënyrë të pavarur. Për çdo kombinim të

organizimit të stafit do të simuloj operacionet për dy ditë, dhe do të kryej 25 përsëritje.

Figura 3-29 Sipërfaqja e TSF-së në Modelin e Grupimit


100

Në figurën 3-30 tregoj një grafik tre-dimensional të sipërfaqes TSF. Grafiku ilustron një plan

të gjërë të TSF-së 100% kur numri i përgjithshëm i operatorëve është i madh. Në mënyrë të

ngjashme, një plan i vogël i TSF-së 0% ekziston kur numri i përgjithshëm i operatorëve është i

vogël. Diku në mes sipërfaqja ekspozon një profil në formë S-je. Figura 3-31 është një plan

kontur i këtyre të dhënave në dy dimensione. Plani kontur tregon një seri të linjave të nivelit të

shërbimit iso, kombinimet e operatorëve që ofrojnë të njëjtin nivel shërbimi. Pra, për shembull,

për të arritur një nivel shërbimi prej 95% na duhen rreth 25 operatorë në çdo grupim ose 50

operatorë në total. Megjithatë, në një modalitet të pastër të grupimit mund të arrihet i njejti nivel

shërbimi me gjithsej vetëm 45 operatorë të grupuar.

Figura 3-30 Diagrama e Konturit të TSF-së së Grupuar

Megjithëse është e vështirë për t'u parë, inspektimi i kujdesshëm zbulon se linjat e shërbimit

iso nuk janë të drejta, por kanë një formë të zbutur konvekse. Kjo është ilustruar edhe më tej në

figurën e ardhshme ku do të tregoj një kontur të TSF-së 80% me një linjë që lidh pikat fundore.

Konveksiteti i konturit nënkupton që kombinimi i minimizimit të kostos i operatorëve të

grumbulluar dhe bazë mund të jetë në brendësi.


101

Figura 3-31 Konturi i TFS-së 80%

Një mënyrë alternative për të parë këto të dhëna është shqyrtimi i impaktit margjinal në nivelin

e shërbimit duke shtuar një kategori operatori, ndërkohë që mbajmë grupimin tjetër të operatorit

fikse. Kjo ilustrohet në dy grafikët e mëposhtëm.

Figura 3-32 Impakti Margjinal në Nivelet e Shërbimit

Në anën e majtë ndryshoj numrin e operatorëve bazë duke mbajtur numrin e operatorëve të

grumbulluar fiks. Në rastin e 0 operatorëve të grumbulluar marrim kurbën standarde TSF siç

shihet në Figurën 3-5. Kur zbatohet grupimi i operatorëve, kurba e TSF-së zhvendoset

efektivisht në të majtë dhe niveli i shërbimit për çdo nivel të operatorëve bazë. Grafiku i djathtë

tregon një marrëdhënie të ngjashme kur numri i operatorëve bazë mbahet konstant.

Projektet simetrike në gjendje të qëndrueshme

Në këtë eksperiment do të testoj ndikimin e grupimit në performancën në gjendje të

qëndrueshme t me projekte simetrike. Konsideroni dy projekte statistikisht identike, ku secili

prej tyre është stafuar me 36 operatorë dhe që mbërrijnë telefonata me një normë konstante λ.

Koha e bisedës ka një shpërndarje eksponenciale me mesatare 12 minuta dhe kohë mesatare

braktisjeje prej 350 sekondash. Niveli i shërbimit matet kundrejt një kohe prej dy minutash. Do

të vlerësoj situatën ku numri total i operatorëve mbetet konstant, por secili projekt kontribuon

midis 0 dhe 36 operatorëve në grupim. Grafiku i parë tregon nivelin e shërbimit për secilin nivel

të grupimit kur λ është 200 telefonata në orë. Dy grafikët e tjerë në anën e majtë tregojnë nivelin


102

e shërbimit të normave të mbërritjes prej 180 dhe 220. Në anën e djathtë planifikoj shkallën e

braktisjes. Në çdo rast planifikoj TSF-në dhe shkallën e braktisjes për një nga projektet. (Për

shkak të natyrës simetrike të modelit, çdo projekt ka të njëjtën kurbë.) Të dhënat u gjeneruan

duke simuluar pesë ditë operacionesh me mbi 50 përsëritje. Në çdo kurbë tregoj mesataren e

mostrës së bashku me një interval besueshmërie prej 90%, ku intervali i besimit llogaritet nga:

�̅�(𝑛) ± 𝑡𝑛−1,1−𝛼/2√𝑠2(𝑛)

𝑛 (3.32)

Ku n ështe numri i përsëritjeve, �̅�(𝑛) është mesatarja e mostrës, s2(n) është varianca e mostrës

dhe tn-1, 1-α/2 është vlera kritike nga shpërndarja t e Studentit.

Figura 3-33 Impakti i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit


103

Këto grafikë zbulojnë se një nivel i vogël i grupimit jep përmirësim, por që kthimi në trajnimin

miks bie me shpejtësi. Në secilin rast trajnimi miks për 10 operatorë siguron pjesën më të madhe

të përfitimit dhe trajnimi miks i më shumë se 15 operatorëve ofron përfitime shumë të kufizuara.

Në secilin rast trajnimi miks mund të rrisë TSF-në me 5% -6%, ndërsa përmirësimi më i madh

është në volumin e mesëm (200 / orë). Braktisja zvogëlohet me rreth 1% në rastin e volumit të

lartë, 1.8% në rastin e mesëm dhe 2.3% në rastin e ulët.

Normat Diferenciale në gjendje të qëndrueshme

Analiza e mëparshme zbulon se përfitime të moderuara arrihen kur operatorët janë të trajnuar

në mënyrë miks dhe sasia e përmirësimit varet nga kapaciteti i lirë në sistem. Megjithatë në

këtë analizë të dy projektet kishin të njëjtin nivel të mbërritjes. Një rast më interesant ndodh

kur normat e mbërritjes janë të ndryshme, siç mund të jetë rasti nëse normat janë subjekt i

gabimit të parashikimit. Në analizën e radhës do të lejoj që normat e mbërritjes të ndryshojnë

në mënyrë të pavarur nga objektivi për ± 10%. i gjithë organizimi i stafit është i fiksuar në 72,

kështu që në grupimin e tanishëm çdo projekt ka 36 operatorë, një nivel organizimi të stafit që

rezulton në një nivel shërbimi rreth 76% pa grupim. Tabelat e mëposhtme përmbledhin matjet

rezultuese të TSF-së sipas kombinimeve të ndryshme të mbërritjes.

Tabela 3-19 Ndikimi i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit në TSF-në e

Përgjithshme


104

Tabela 3-20 Ndikimi i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit në TSF-në e Projektit

me Volume të Ulëta

Tabela 3-21 Ndikimi i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit në TSF-në e Projektit

me Volume të Larta


105

Tabela 3-22 Ndikimi i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit në Braktisjen e Projektit

me Volume të Ulëta

Tabela 3-23 Ndikimi i Grupimit me Nivele Fikse të Organizimit të Stafit në Braktisjen e Projektit

me Volume të Larta

Në grupin e parë të tre tabelave analizoj ndikimin në TSF-në e kombinuar, dhe TSF-në e secilit

projekt individual. Shohim që TSF-ja e përgjithshme është përmirësuar gjithnjë nga grupimi,

dhe shkalla e përmirësimit bazohet në sasinë e kapaciteteve të lira në sistem. Kur të dy projektet

janë nën planifikim, TSF-ja e përgjithshme është përmirësuar me 2.8% me vetëm pesë

operatorë. Nëse të dy projektet kanë volume mbi planifikim, TSF-ja gjithashtu përmirësohet

me 2.8%. Fitimi më i madh vjen kur projektet kanë norma diferenciale; kur një projekt është i

ulët dhe tjetri i lartë në nivel volumesh kemi një fitim prej 5.2% në TSF-në e përgjithshme.

Përmirësimi bie shpejt me numrin e operatorëve të trajnuar në mënyrë miks; përfitimi më i

madh vjen nga pak operatorët e parë. Trajnimi miks i më shumme se 15 operatorëve jep


106

rezultate që nuk janë kuptimplote dhe në shumë raste nuk janë statistikisht të ndryshme nga

zero.

Rezultatet janë akoma më interesante kur analizojmë të dhënat në nivel individual të projektit.

Kur çdo projekt ka një normë të ngjashme të mbërritjes, përfitimet shpërndahen në mënyrë të

barabartë. Por fitimi maksimal ndodh kur normat e mbërritjes janë të ndryshme; dhe që fitimi

grumbullohet në mënyrë joproporcionale në projektin e nënstafuar. Kur volumet janë në

ekstreme të kundërta, projekti i nënstafuar merr një përfitim me një ngritje prej 11% në TSF

nga vetëm 5 operatorë të trajnuar në mënyre miks. Trajnimi miks i 10 aoperatorëve rrit TSF-në

me 10 pikë të tjera duke e çuar në gati 80%. Në rast të mospërputhjes së dukshme, projekti me

mbi organizimin e stafit mund të pësojë degradim në performancë, por kjo rënie është dukshëm

më e vogël se rritja në projektin tjetër dhe TSF-ja e agreguar rritet gjithmonë. Rasti më i

rëndësishëm është kur volumet kanë një mospërputhje maksimale dhe TSF-ja e projektit të

mbistafuar zvogëlohet me 2.2% me 5 operatorë të trajnuar në mënyrë tmiks. Duhet vënë re

megjithatë se ky projekt ka një TSF bazë prej 86%, që është shumë me lart se objektivi standard

prej 80%. Ky rezultat megjithatë ngre një kujdes për grupimin e projekteve me objektiva shumë

të larta (90%) të TSF-së. Në rastin e një mospërputhjeje më të vogël, degradimi ishte shumë i

moderuar, rreth 0.9% me 10 operatorë të trajnuar në mënyrë miks, ku projekti i zënë mund të

shohë një përmirësim në rendin e katër pikave nga vetëm 5 operatorë të trajnuar.

Tabelat 3-22 dhe 3-23 tregojnë një analizë të ngjashme për shkallën e braktisjes për secilin

projekt. Shohim rezultate të ngjashme; grupimi zvogëlon kohën maksimale të pritjes që has çdo

telefonues, dhe si rezultat zvogëlon përqindjen e telefonuesve që mbahen në pritje mbi nivelin

e durimit të tyre. Përmirësimi është më i rëndësishmi kur ndodh një mospërputhje në kapacitet.

Në përgjithësi kjo analizë tregon se grupimi i pjesshëm jep përfitime të konsiderueshme në

gjendje të qëndrueshme. Përmirësimi është më i madh kur ndodh një mospërputhje në kapacitet

dhe projekti nën kapacitet merr përfitim më të madh. Në seksionin e ardhshëm do të analizojmë

se si pasiguria e normës së mbërritjes ndikon në analizën e grupimit.

Gjendje e qëndrueshme por Norma e Mbërritjes e Pasigurtë

Në këtë analizë vazhdoj të analizoj ndikimin e grupimit kur projektet kanë një normë konstante,

por tani lejoj pasigurinë në normën e mbërritjes. Në mënyrë të veçantë supozoj se thirrjet në

çdo grupim do të mbërrijnë me një normë konstante, por norma e realizuar është një ndryshore

e rastit. Supozojmë se normat e mbërritjes janë variabla normalë të pavarura dhe me shpërndarje

identike të rastit me mesatare 200 dhe devijim standard 20. Do të analizoj se si grupimi i

pjesshëm ndikon në nivelin e pritur të TSF-së dhe shkallën e braktisjes.

Grafikët e mëposhtëm paraqesin rezultatet e një eksperimenti simulimi:


107

Figura 3-34 Ndikimi i Grupimit me Mbërritje të Qëndrueshme por të Pasigurta

Kurbat në Figurën 3-35 janë pothuajse identike me planet për mbërritjet në gjendje të

qëndrueshme me 200 telefonata/orë të paraqitura në Tabelën 3-19. Niveli i TSF-së është pak

më i ulët në rastin e pasigurtë; 74.2% kundrejt 75.4% pa grupim dhe 80.5% kundrejt 81.5% në

rastin e grupimit të plotë. Megjithëse nuk është një ndryshim i madh, kjo ilustron një nga pasojat

e pasigurisë së normës së mbërritjes. Për shkak të natyrës së kurbës TSF, efektet e ndryshimeve

të volumeve nuk janë të përpjesshme; volumi më i lartë shkakton një zhvendosje më të madhe

në nivelin e shërbimit rezultues, se sa volumi më i ulët. Pra, edhe nëse volumi ndryshon rreth

mesatares simetrike, TSF-ja rezultuese do të jetë më e ulët në rastin e pasigurtë se sa në rastin

korrespondues të vlerës së mesme. Një fenomen interesant ilustrohet në dy grafikët e

mëposhtëm.


108

Figura 3-35 Devijimi Standart i TSF-së me Grupim Variabël

Lart shohim se devijimi standard i nivelit të përgjithshëm (të kombinuar) të shërbimit është në

thelb i pandikuar nga grupimi, duke mbetur në një nivel afërsisht konstante pak më shumë se

8%. Grafiku i poshtëm sidoqoftë tregon që devijimi standard i nivelit të shërbimit për grupimin

zvogëlohet kur rritet niveli i grupimit, të paktën për operatorët e parë të grupuar. Në rast të mos

grupimit, niveli i shërbimit në çdo grupim është i pavarur nga niveli i shërbimit në grupimin

tjetër. Ndërsa grupimirritet, nivelii i shërbimit në çdo grupim bëhet variabël i varur i rastit.

3.2.2. Trajnimi miks Optimal në Gjendje të Qëndrueshme

Në seksionin e mëparshëm, analizova ndikimin e ndryshimit të numrit të operatorëve të trajnuar

në mënyrë miks për një grup të caktuar personash. Tregova se niveli i shërbimit rritet kur

operatorët trajnohen në mënyrë miks, por që përfitimi shtesë bie me shpejtësi. Kjo sugjeron,

duke supozuar që trajnimi miks është i kushtueshëm, që trajnimi miks i më shumë se një

proporcion i moderuar i operatorëve është nën-optimal. Në këtë seksion analizoj më shumë këtë

çështje dhe përpiqem të gjej nivelin optimal të trajnimit miks. Për ta bërë këtë relaksoj

supozimin e një grupimi fiks të personave Problemi i optimizimit si pasojë bëhet përzgjedhja e


109

vektorit të organizimit të stafit që përcakton numrin e operatorëve në secilin grupim në mënyrë

që të minimizohet kostoja e pritur e operacioneve.

Kostot Operacionale

Siç është diskutuar më parë, kostoja e trajnimit miks është relativisht e lartë. Në këtë model

supozoj se kostoja e rritur ka dy komponentë, një komponent trajnimi dhe një komponent

pagash. Komponenti i trajnimit përfaqëson investimin në një operator individual për t'i dhënë

atij aftësitë e nevojshme për të trajtuar llojin e dytë të projektit. Komponenti i pagës përfaqëson

pagën në rritje të paguar për një operator të trajnuar në mënyrë miks. Në mënyrë të veçantë

kostoja inkrementale e një operatori të trajnuar në mënyrë miks është përcaktuar si:

𝐾 =𝑇

𝛾+ 𝑤 (3.33)

Ku w është paga e rritur. T është kostoja e trajnimit dhe γ kohëzgjatja në kompani e një

operatori, kështu që T/γ përfaqëson koston mesatare të trajnimit të amortizuar gjatë jetës së

punësimit të operatorit.

Konsiderata e dytë është shkalla e besimit e kërkuar për te arritur nivelin objektiv të shërbimit.

Do ta kuantifikoj këtë duke caktuar një kosto gjobë në mënyrë të përpjesshme me mos arritjen

e nivelit të shërbimit. Nëse shënojmë me r normën e gjobës, objektivin me g dhe normën e

arritur të shërbimit me S, atëhere kostoja e gjobës P mund të shprehet si:

𝑃 = 𝑟(𝑔 − 𝑆)+ (3.34)

Modeli supozon një gjobë për mos arritjen e nivelit të shërbimit por nuk parashikon bonus në

rastin në rast se ajo tej kalohet, kështu që kostoja e gjobës ka nje vlerë jo negative. Sistemi ynë

ka tre nivele organizimit të stafit të shënuara me xi, ku i = 1,2,3 dhe kostoja totale për të operuar

sistemin është:

𝑇𝐶 = 𝐾1𝑥1 + 𝐾2𝑥2 + 𝑟2(𝑔2 − 𝑆2)+ + 𝑤(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) (3.35)

Objektivi ynë është të zgjedhim vektorin e organizimit të stafit që minimizon koston e operimit

të sistemit.

Metoda e Optimizimit e Bazuar në Simulim

Do të përdor një algoritëm lokal kërkimi të bazuar në simulim për të gjetur modelin optimal të

trajnimit miks për çdo konfigurim të caktuar të parametrave. Algoritmi lokal i kërkimit

udhëhiqet nga një metaheuristik i kërkimit fqinj (VNS). VNS-ja është një metaheuristik që bën

ndryshime sistematike në fqinjësinë që po kontrollohet gjatë përparimit të kërkimit (Hansen

dhe Mladenovic 2001; Hansen dhe Mladenovic 2005). Kur përdorni VNS-në një përqasje e

zakonshme është të përcaktojë një sërë fqinjesish të mbivendosur, të tillë që:

𝑁1(𝑥) ⊂ 𝑁2(𝑥) ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘𝑀𝑎𝑥(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑋 (3.36)

Struktura e përgjithsme më pas e VNS-së është si më poshtë:

1) Fillim

a. Zgjidhni bashkësinë e strukturave të fqinjësisë Nk për k = 1, ...,kmax

b. Ndërto një zgjidhje fillestare në detyrë, xI, duke përdorur disa proçedura heuristike.

c. Zgjidh një nivel besimi α për zgjedhjen e një zgjidhjeje të re në detyrë


110

2) Kërko: përsërit sa vijon derisa Stop = True (E Vërtetë)

a. Vendos k = 1

b. Gjej 𝑛𝑘𝑚𝑖𝑛 zgjidhjet kandidate, xC që janë fqinjët e xI

c. Simulo sistemin me secilin kandidat dhe krahaso rezultatet me atë në detyrë duke

përdorur një Test T dy-palësh.

d. Nëse ndonjë xC është superior ndaj xI në nivelin α atëherë vendos xI = 𝑥𝐶∗ , ku 𝑥𝐶

∗ është

zgjidhja më e mirë kandidate

Përndryshe, vendos 𝑖 = 𝑛𝑘𝑚𝑖𝑛, vendos gjetur = false (e gabuar), dhe përsërit derisa (𝑖 =

𝑛𝑘𝑚𝑎𝑥 = ose found = True (e vërtetë))

i. Gjej një kandidat të ri 𝑥𝑘𝑖

ii. Simulo sistemin me secilin kandidat dhe krahaso rezultatet duke përdorur një

Test T dy-palësh.

iii. Nëse 𝑥𝑘𝑖është superior ndaj xI në nivelin α atëherë vendos xI = 𝑥𝑘𝑖

dhe gjetur

= True (E Vërtetë)

e. Në qoftë se nuk gjendet asnjë operator i ri në detyrë në fqinjësinë k atëherë

i. vendos k = k +1

ii. Nëse k > kmax atëherë Stop = True (E Vërtetë)

Figura 3-36 Algoritmi i Përgjithshëem i Kërkimit VNS

Ky algoritëm kërkon fqinjën e atij që është në ngarkim aktualisht (gjendja aktuale) duke

vlerësuar të paktën nkmin pika. Nëse nuk gjendet një zgjidhje e përmirësuar statistikisht, ai

vazhdon të kërkojë derisa të gjendet një zgjidhje e përmirësuar ose derisa të vlerësohen të gjitha

pikat nkmax. Sa herë që gjendet një zgjidhje e përmirësuar, kërkimi fillon nga fillimi me gjendjen

aktuale të re. Nëse nuk gjendet ndonjë përmirësim i ri, kërkimi vazhdon në fqinjësinë tjetër më

të madhe. Procesi i kërkimit vazhdon derisa të mos gjendet zgjidhje tjetër e përmirësuar në

strukturën më të madhe të fqinjësive.

Dy parametra të rëndësishëm për këtë proces kërkimi janë nkmin dhe nkmax, kufijtë e poshtëm dhe

të sipërm të numrit të fqinjëve për t’u vlerësuar para se të kalojë në fqinjin e radhësr. Nëse fqinji

është përcaktuar në mënyrë të ngushtë, këto parametra janë vendosur të dy të barabartë me

numrin e përgjithshëm të fqinjëve dhe fqinjësia është kontrolluar në mënyrë të plotë. Në

fqinjësitë më të mëdha një kërkim i plotë nuk është praktik dhe zgjidhjet zgjidhen në mënyrë

të rastësishme. Në këtë rast nkmin është numri minimal i fqinjëve për t’u vlerësuar. Vendosja e

këtij parametri në “një” zbaton një kërkim të parë të përmirësimit lokal.

Trajnimi Optimal miks me Norma të Njohura të Mbërritjes

Në rastin e mbërritjeve në gjendje së qëndrueshme me norma të njohura, janë përcaktuar dy

fqinjësi të ndryshme. N1 është fqinjësiae të gjitha ndryshimeve-1; që është grupi i të gjitha

zgjidhjeve të mundshme xi të tilla që një element ndryshon nga xc me 1 ose -1. Për çdo gjendje

në ngarkim ekzistojnë deri në 6 zgjidhje në këtë fqinjësi. N2 është fqinjësia e të gjitha

ndryshimeve-2; që është grupi i të gjitha zgjidhjeve të mundshme xi të tilla që saktësisht dy

elemente ndryshojnë nga xc me 1 ose -1. Për çdo gjendje në ngarkim ekzistojnë deri në 12

zgjidhje në këtë fqinjësi.

Në këtë eksperiment kërkoj të përcaktoj vektorin optimal të organizimit të stafit për një proces

në gjendje të qëndrueshme me norma të njohura të mbërritjes. Jam e interesuar të përcaktoj se

si vektori i organizimit të stafit ndikohet nga normat relative të mbërritjes, si dhe vendimet e

menaxhimit që lidhen me cilësinë e dëshiruar të shërbimit. Në mënyrë të veçantë do të krijoj

një dizajn të plotë faktorial me dy nivele në katër faktorë siç tregohet më poshtë.


111

Tabela 3-24 Trajnimi Miks me Mbërritje të njohura në gjendje të qëndrueshme – Dizajn

Eksperimental

Zhvillova këtë eksperiment duke përdorur një version të algoritmit VNS të paraqitur në figurën

3-37. Për secilin konfigurim simulova dy ditë operacionesh dhe performova 10 përsëritje.

Kërkimi u zhvendos në një zgjidhje të re nëse krahasimi i çifteve tregonte një përmirësim në

nivelin e besueshmërisë prej 80%. Rezultatet e këtij optimizimi janë paraqitur në tabelën në

vijim.

Tabela 3-25 Trajnimi Miks me Mbërritje të njohura në gjendje të qëndrueshme – Rezultatet

Eksperimentale

Këto të dhëna tregojnë se në të gjitha rastet e ekzaminuara, grupimi i pjesshëm është i

leverdisshëm dhe zgjidhja optimale përfshin gjithmonë një/disa nivele të trajnimit miks. Në

këtë analizë numri optimal i operatorëve të trajnuar në mënyrë miks mbulon një gamë relativisht

të ngushtë. Zgjidhja optimale gjithmonë ka të paktën dy dhe jo më shumë se katër operatorë të

trajnuar. Operatorët e trajnuar në mënyrë miks përfaqësojnë një përqindje ndërmjet 4.7% dhe

8.1% të totalit te grupimit të punës. Algoritmi gjithashtu përcakton nivele të organizimit të stafit

të tilla që niveli i shërbimit të jetë shumë afër nivelit objektiv. Megjithatë, duke qënë se ky është

A B C D Përkufizimet e Faktorëve Variabël - +

1 - - - - A Norma e Mbërritjes 2 100 200

2 + - - - B Niveli i kërkuar i Shërbimit 70/120 85/60

3 - + - - C Norma e Gjobës/orë 5 15

4 + + - - D Diferencimi I Pagave në rastet e grupimit 10% 40%

5 - - + -

6 + - + - Faktorët Konstantë

7 - + + - Norma e Mbërritjes 1 100

8 + + + - Koha e të Folurit (min) 12

9 - - - + Koha mesatare e braktisjes (sek) 350

10 + - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

A B C D N1 N2 N3%

Grupuar

TSF

Mes

Kostoja

Totale Mes

Gjoba

Mes

1 - - - - 17 17 2 5.6% 70.2% 17,759 383

2 + - - - 17 31 4 7.7% 69.1% 25,693 541

3 - + - - 21 21 3 6.7% 86.2% 21,872 128

4 + + - - 21 39 4 6.3% 85.1% 31,226 314

5 - - + - 17 17 3 8.1% 73.9% 17,904 0

6 + - + - 17 32 4 7.5% 72.3% 25,808 176

7 - + + - 21 21 3 6.7% 86.2% 22,154 410

8 + + + - 21 40 4 6.2% 93.6% 32,496 1104

9 - - - + 17 17 2 5.6% 70.1% 18,120 456

10 + - - + 17 32 3 5.8% 69.2% 26,082 546

11 - + - + 21 21 3 6.7% 86.2% 22,297 121

12 + + - + 21 40 3 4.7% 85.0% 31,718 422

13 - - + + 17 17 3 8.1% 73.7% 18,336 0

14 + - + + 17 32 4 7.5% 72.1% 26,338 130

15 - + + + 21 21 3 6.7% 86.2% 22,584 408

16 + + + + 21 40 4 6.2% 87.2% 32,025 57

Faktorët Vektori i Stafimit Matësit


112

në thelb një problem diskret optimizimi, niveli i shërbimit nuk mund të vendoset në një nivel

arbitrar dhe ndonjëherë është optimale të lejosh një kosto të vogël të pritur të gjobës.

Trajnimi Optimal miks me Ngarkesa të Pasigurta

Në sektorin e mëparshëm, llogarita vektorin optimal të organizimit të stafit kur normat e

mbërritjes janë të njohura dhe konstante. Kemi vërejtur se në të gjitha rastet kemi ekzaminuar

zgjedhjen optimale të organizimit të stafit që kërkohet për një nivel të caktuar të personave të

trajnuar në mënyrë miks, edhe pse këto persona janë më të kushtueshëm sesa personat e nivelit

bazë. Në këtë pjesë e relaksoj supozimin se normat e mbërritjes janë të njohura dhe ekzaminoj

se si kjo ndikon në vektorin optimal të organizimit të stafit.

Kam kryer një eksperiment të ngjashëm me eksperimentin e përshkruar në Tabelën 3-25, me

përjashtim të faktit se normat e mbërritjeve shpërndahen normalisht në pikat origjinale të

përcaktuara me një koeficient të variacionit prej 0.1.

Tabela 3-26 Trajnimi Miks me Mbërritje të pasigurta në gjendje të qëndrueshme – Rezultatet

Eksperimentale

Në rastin e pasigurtë të mbërritjes niveli i trajnimit miks në përgjithësi është rritur, kostot totale

në përgjithësi rriten dhe gjoba e nivelit të shërbimit eliminohet në mënyrë efektive. Dallimi

midis këtyre dy eksperimenteve është përmbledhur në tabelën e mëposhtme:

A B C D N1 N2 N3%

Grupuar

TSF

Mes

Kostoja

Totale Mes

Gjoba

Mes

1 - - - - 17 17 3 8.1% 77.7% 17,904 0

2 + - - - 17 32 4 7.5% 75.5% 25,632 0

3 - + - - 21 21 3 6.7% 89.5% 21,744 0

4 + + - - 21 40 4 6.2% 90.0% 31,392 0

5 - - + - 17 17 5 12.8% 84.4% 18,960 0

6 + - + - 17 32 6 10.9% 80.8% 26,688 0

7 - + + - 21 20 6 12.8% 94.1% 22,848 0

8 + + + - 21 39 7 10.4% 93.6% 32,496 0

9 - - - + 17 17 3 8.1% 77.7% 18,336 0

10 + - - + 17 33 3 5.7% 75.4% 26,016 0

11 - + - + 21 21 3 6.7% 89.5% 22,176 0

12 + + - + 21 40 3 4.7% 88.0% 31,308 12

13 - - + + 17 17 4 10.5% 83.6% 19,488 480

14 + - + + 17 33 5 9.1% 80.8% 27,360 0

15 - + + + 21 21 5 10.6% 93.8% 23,520 0

16 + + + + 21 40 6 9.0% 93.5% 33,312 0



113

Tabela 3-27 Krahasimi i Eksperimenteve me Mbërritje të Njohura dhe të Pasigurta

Ekzistojnë disa vëzhgime kryesore nga kjo analizë:

▪ Pasiguria rrit koston - kostoja totale e operacioneve u rrit me një mesatare prej 422

eurosh. Kostoja e ofrimit të shërbimeve është rritur ndjeshëm në rastet e shkallës së

lartë të gjobës, ku arritja e nivelit të shërbimit është i rëndësishëm.

▪ Grupimii është më efektiv në situata të pasigurta - më shumë grupim u shtua në rastet

e pasigurta të mbërritjes dhe gjoba e nivelit të shërbimit u eliminua në mënyrë efektive

në rastin e pasigurt. Me mberritjet e pasigurta probabiliteti i mospërputhjes së

kapacitetit është më i lartë, prandaj përfitimet e rishpërndarjes së kapacitetit dinamik

janë më të larta.

3.2.3. Trajnimi miks Optimal kur kemi Mbërritje me Kohë Variabël

Më parë analizova ndikimin e grupimit në sjelljen stacionare në gjendje të qëndrueshme. Siç

përshkruhet në Kapitullin 1, call center-at realë shpesh përballen me normat e mbërritjes që

ndryshojnë ndjeshëm përgjatë rrjedhës së ditës dhe si rezultat duhet të ndryshojnë nivelin e

organizimit të stafit gjatë gjithë ditës. Në projektet e call center-it që kam analizuar, organizimi

i stafit ndryshon nga dy operatorë gjatë natës, deri në 70 operatorë gjatë orëve të pikut. Në një

skedulim 24 orësh, call center-i mund të ketë lturne duke filluar gjatë çdo periudhe 30 minutash.

Por, për shkak se shumica dërrmuese e operatorëve janë skeduluar për turne me kohë të plotë,

call center-i nuk mund të ndryshojë stafin sapo ndryshon kërkesa. Prandaj, call center-i është

subjekt i periudhave të kapacitetit të ngushtë dhe kapacitetit të tepërt në çdo ditë të caktuar.

Do të analizoj dy algoritme alternative për llogaritjen e tre planeve të grupimit të personelit. Në

përqasjen e parë (Sim-Opt) përdor simulimin për të gjetur nivelet optimale të organizimit të

stafit në çdo periudhë kohore individuale. Kjo analizë gjeneron një minimum trefishimi të stafit

në çdo periudhë kohore individuale. Më pas përdor një algoritëm të mbulimit të ponderuar që

të skedulojë çdo grupim në mënyrë të pavarur që të plotësojë kërkesat minimale të organizimit

të stafit. Përqasja e dytë (Opt-Sim) kryen së pari një optimizim të skedulimit për secilin projekt

A B C D N1 N2 N3%

Grupuar

TSF

Mes

Kostoja

Totale Mes

Gjoba

Mes

1 - - - - 0 0 1 2.6% 7.5% 144.6 -383.4

2 + - - - 0 1 0 -0.1% 6.4% (60.7) -540.7

3 - + - - 0 0 0 0.0% 3.3% (127.8) -127.8

4 + + - - 0 1 0 -0.1% 4.9% 166.1 -313.9

5 - - + - 0 0 2 4.7% 10.5% 1,056.0 0

6 + - + - 0 0 2 3.4% 8.4% 879.5 -176.5

7 - + + - 0 -1 3 6.1% 7.9% 693.8 -410.2

8 + + + - 0 -1 3 4.3% 0.0% - -1104

9 - - - + 0 0 1 2.6% 7.7% 216.4 -455.6

10 + - - + 0 1 0 -0.1% 6.2% (66.3) -546.3

11 - + - + 0 0 0 0.0% 3.3% (120.8) -120.8

12 + + - + 0 0 0 0.0% 3.0% (410.5) -410.5

13 - - + + 0 0 1 2.4% 9.9% 1,152.0 480

14 + - + + 0 1 1 1.5% 8.7% 1,021.9 -130.1

15 - + + + 0 0 2 4.0% 7.6% 936.0 -408

16 + + + + 0 0 2 2.8% 6.3% 1,286.7 -57.3

Mesatarja 0 0.1 1.1 2.1% 6.4% 422.9 (294.1)



114

në mënyrë individuale. Skedulimet e pavarura rezultuese bashkohen më pas në një përpjekje

optimizimi të bazuar në simulim. Të dyja metodat janë të përshkruara më në detaje më poshtë,

por së pari do të rishikoj se si llogaris vlerën e funksionit objektiv në një optimizim të bazuar

në një projekt.

Funksioni Objektiv

Konceptualisht, objektivi i këtij problemi optimizimi është gjetja e planit të organizimit të stafit

me kosto minimale që plotëson kërkesat e nivelit të shërbimit me nivelin e duhur të besimit.

Ashtu si në modelet e Skedulimit Afatshkurtër, do të zbatoj kërkesën e nivelit të shërbimit duke

shtuar një penallti për çdo mungesë të nivelit të shërbimit. Në formulimin matematikor të

programimit të Skedulimit Afatshkurtër gjithashtu shtuam disa kufizime anësore. Në veçanti

kërkova që organizimi i stafit të ishte të paktën në një nivel minimal në çdo kohë (zakonisht dy

operatorë) dhe se niveli i organizimit të stafit ishte i tillë që në volumet e pritura arrijmë një

nivel shërbimi minimal (zakonisht 50%). Përderisa është e mundur të modifikohet struktura e

fqinjësisë për të forcuar këto kufizime të vështira, një mekanizëm kërkimi më i drejtpërdrejtë

rezulton në qoftë se i zbusim këto kufizime dhe i shtojmë ato si terma gjobe në funksionin

objektiv

Përqasja Simulim – Optimizim (Sim-Opt

Në këtë përqasje do të krijoj një vektor stabël të organizimit të stafit për çdo grupim personash

nëpërmjet simulimit dhe më pas do të përdor një algoritëm determinist të skedulimit për të

caktuar turnet. Në hapin fillestar do të ekzekutoj analizën e simulimit në gjendje të qëndrueshme

për secilën periudhë kohore (336 periudha) për të krijuar një tripletë të vektorit të organizimit

të stafit(b1i, b2i, b3i) ku b1i përfaqëson kërkesën e organizimit të stafit në grupimin 1 në periudhën

i.

Duke pasur parasysh këto kërkesa për organizim të stafit më stabël, atëherë do të ekzekutoj një

algoritëm determinist të organizimit të stafit për të mbuluar këto kërkesa. Programimi me numra

të plotë që rezulton është një problem standard i ponderuar i mbulimit i cili mund të shprehet

si:

Të minimizohet:

∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗𝑗∈𝐽 (3.37)

Me kushtet:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝐼𝑗∈𝐽 (3.38)

Ku cj është kostoja e skedulimit të j-të, xj është numri i personave të caktuar në skedulimin e j-

të dhe aij është planifikim i skedulimeve në periudha kohore.

Përqasja Optimizim – Simulim (Opt-Sim)

Në këtë përqasje do të gjeneroj një skeduilm paraprak për çdo projekt në mënyrë të pavarur

duke përdorur një programim optimizimi dhe më pas do të ekzekutoj një kërkim lokal nëpërmjet

simulimit për të optimizuar projektin në mënyrë të përgjithshme. Për të implementuar procesin


115

duhet të përcaktoj një përqasje për të gjeneruar një zgjidhje fillestare të mundshme dhe për

përzgjedhjen e zgjidhjeve të reja të mundshme kandidate.

Për të zhvilluar një zgjidhje fillestare të mundhsme, do të ekzekutoj programimin e optimizimit

(3.1) - (3.7) nga modeli afatshkurtër për secilin projekt individualisht. Në këtë rast modeli është

konfiguruar për të gjeneruar një skedulim me një TSF më të ulët dhe me një nivel minimal

organizimi stafi të një operatori në vend të dy. Kjo proçedurë krijon një plan të organizimit të

stafit që është pak i pamjaftueshëm. objektivi është të krijojë një plan fillestar ku trajnimi

selektiv miks mund të krijojë përmirësim të shpejtë.

Për të identifikuar zgjidhjet shtesë kandidate, do të zhvilloj një VNS siç përshkruhet në Figurën

3-37. Megjithatë, në këtë rast struktura e fqinjësisë është shumë më komplekse. Do të përcaktoj

një strukturë të fqinjësisë të mbivendosur me pesë lagje individuale.

Lë J të jetë grupi i skedulimeve në të cilat një operator mund të caktohet dhe të shënojmë si xj

numri i operatorëve të caktuar në skedulimin j. Një plan i organizimit të stafit është një vektor

i vlerave xj. Një plan i organizimit të stafit është i realizueshëm nëse çdo xj ka vlerë jo-negative

dhe të plotë. Supozojmë se çdo kufizim i ndërlikuar, siç janë nivelet minimale të organizimit të

stafit, janë zhvendosur në funksionin objektiv si një term gjobe. Shënojmë me X bashkësinë e

mundhsme të planeve të organizimit të stafit. Për më tepër, përcaktojmë bashkësinë Ai ⊆ J si

skedulimet aktive, për grupimin e personave i; që është skedulimi për të cilën të paktën një

person është caktuar në të dhe shënojmë me A = A1 ∪ A2 ∪ A3 bashkësinë e te gjitha skedulimeve

aktive nëpërmjet grupimit.

Tani, për disa x ∈ X arbitrare, përcaktojnë një seri të strukturave të fqinjësisë të mbivendosura

Kmax, të tilla që:

𝑁1(𝑥) ⊂ 𝑁2(𝑥) ⊂ ⋯ ⊂ 𝑁𝑘𝑀𝑎𝑥(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑋 (3.39)

Përcatoj fqinjësitë e mëposhtme:

• N1 (x): Ndryshimi Aktiv 1: bashkësia e të gjithë planeve të organizimit të stafit ku një

caktim aktiv përditësohet dhe kompensohet nga një shtesë, δi ∈ {-1,1}.

• N2 (x): Ndryshimi Aktiv 2: zgjedh cilëndo dyshe skedulimi të mundshme në Ai dhe në

mënyrë të pavarur përditëson secilën me δi ∈ {-1,0,1}.

• N3 (x): Ndryshimi i Mundshëm 1: bashkësia e të gjitha planeve të organizimit të stafit

ku një caktim i mundshëm përditësohet me δi ∈ {-1,1}.

• N4 (x): Ndryshimi i Mundshëm 2: zgjedh cilëndo dyshe skedulimi të mundshme në J

dhe në mënyrë të pavarur përditëson secilin me δi ∈ {-1,0,1}.

• N5 (x): Ndryshimi i Mundshëm 3: zgjedh cilëndo treshe skedulimi të mundshme në J

dhe në mënyrë të pavarur përditëson secilin me δi ∈ {-1,0,1}.

Figura 3-37: Struktura e Fqinjësisë e Bazuar në Projekt

Për çdo fqinjësi një skedulim i ri është përzgjedhur rastësisht dhe një numër i madh i

skedulimeve alternative janë vlerësuar në çdo përsëritje të algoritmit. Ndërsa një kërkim i pastër

i rastësishëm ka të ngjarë të gjejë zgjidhje përmirësuese nëse tranformime të mjaftueshme

vlerësohen, kam gjetur se përdorimi i disa metodave heuriste të caktuara në çdo fqinjësi

përmirëson shkallën e konvergjencës. Në këtë përqasje të modifikuar çdo herë që kërkohet një

fqinj i ri, algoritmi zgjedh ose një transformim heuristik ose një të pastër të rastit.


116

Tabela në vijim përmbledh heuristikën e përdorur në çdo fqinjësi:

Fqinjësia Heuristika

N1 (x): Ndryshimi Aktiv 1 - Suporti i Grupimit: zgjedh një skedulim

aktiv në Grupimin 1 ose Grupimin 2 dhe

stafon një operator në të njëjtën skedulim në

grupimin e trajnimit miks.

N2 (x): Ndryshimi Aktiv 2 - Trajnimi miks: zgjedh një skedulim aktiv

në Grupimin 1 ose Grupimin 2 dhe

ndryshon klasifikimin e operatorit në një

operator të trajnuar në mënyrë tmiks.

- Ç’trajnimi: zgjedh një skedulim të stafuar

në grupimin tre dhe ndryshon caktimin tek 1

ose 2.

N3 (x): Ndryshimi i Mundshëm 1 - Shton Skedulimin Maksimal: gjen

bashkësinë e skedulimeve të mundshme që

mbulojnë periudhat me organizim të

shkurtër të stafit dhe cakton një operator në

një nga këto skedulime.

N4 (x): Ndryshimi i Mundshëm 2 - Zhvendosja e Kohës Aktive: zgjedh një

skedulim aktiv dhe zhvendos caktimin

përpara ose prapa për një periudhë kohore të

caktuat.

N5 (x): Ndryshimi i Mundshëm 3 - Dy për Një: zgjedh një skedulim në

Grupimin 1 ose 2, pastaj gjen skedulimin

më të afërt aktiv që përputhet në ggrupimin

tjetër, zvogëlon secilin nga këto caktime dhe

stafon një super operator.

Figura 3-38: Heuristika e Kërkimit Fqinj

Logjika prapa kësaj strukture të fqinjësisë është relativisht e drejtpërdrejtë nëse kujtojmë që

fillojmë me një zgjidhje afër optimales të gjeneruar nga një programim optimizimi i projektuar

për të nënstafuar pak projektet. Në radhë të arë, bashkësia e skedulimeve të përzgjedhura në

procesin e optimizimit do të përputhet ngushtë me profilin kohor të kërkesës. Bashkësia e

skedulimeve aktive zakonisht do të jetë një nënbashkësi e vogël e skedulimeve totale. Prandaj,

është e arsyeshme të kërkonjmë këto skedulime Aktive fillimisht. Meqenëse skedulimi fillestar

është i nënstafuar nga projektimi, është e arsyeshme që organizimi i stafit shtesë, veçanërisht

në ggrupimet e super operatorëve, do të zvogëlojë kostot e gjobës më shumë sesa kostot e

lidhura me punën, kështu që është e arsyeshme që të fokusohen përpjekjet e kërkimit këtu.

Fqinjësia 1 është mjaft e vogël që të mund ta bëj kërkimin në mënyrë rrënjësore. Në fqinjësinë

2 do të testoj përfitimet e ndryshimit të përcaktimeve të aftësive të operatorëve. Duke testuar të

dyja trajnimet dhe ç’trajnimet, sigurohem që kostoja shtesë e trajnimit të jetë e justifikuar.


117

Kur nuk mund të gjenden përmirësime në bashkësinë e skedulimeve aktive, kërkimi zgjerohet

në bashkësinë e plotë të skedulimeve të mundshme. Heuristika në fqinjësinë 3 është hartuar për

të adresuar gjobën e organizimit të stafit të shkurtër të gjetur duke mos pasur të paktën 2

operatorë në dispozicion për çdo projekt në çdo periudhë kohore. Ky heuristik është projektuar

për të testuar të gjitha skdulimet me mbulimin maksimal dhe shpesh do të zgjedhë një super

operator, pasi këta operatorë sigurojnë mbulim për të dy projektet. Në fqinjësinë 4 lejoj 2

ndryshime në skedulimin e mundshëm dhe në mënyrë specifike testoj për ndikimin e

zhvendosjes së një skedulimi përpara ose prapa me një periudhë kohore për të mbuluar

potencialisht më mirë një boshllëk të nivelit të shërbimit. Logjika e skedulimit të fqinjësisë 5

bazohet në nocionin se nëse kemi operatorë në secilin grupim në të njëjtin skedulim, mund të

jetë e dobishme që të zëvendësohen të dy me një operator të vetëm të trajnuar në mënyrë miks.

Kjo është e dobishme kur niveli i shërbimit po plotësohet me probabilitet të lartë dhe gjoba

është e ulët. Bërja e një shkëmbi dy për një zvogëlon koston e punës dhe nuk mund të ketë një

ndikim të madh në gjobat e nivelit të shërbimit.

Në praktikë numri më i madh i zgjidhjeve përmirësuese u gjet në fqinjësinë 1. Zgjidhje

përmirësuese u gjetën në çdo fqinjësi, megjithëse jo për çdo optimizim. Në një proces tipik

optimizimi, përmirësimet gjenden në tre deri në katër fqinjësi, edhe pse në disa raste të gjitha

fqinjësitë gjeneruan përmirësime. Numri i zgjidhjeve të testuara në çdo përsëritje ndryshon në

mënyrë të qartë bazuar në atë se ku është gjetur përmirësimi. Nga projektimi shumica e

përmirësimeve janë gjetur në fqinjësinë e parë. Në eksperimentin tim kërkova që të paktën 20

kandidatë të testoheshin përpara se të zgjidhej më i miri. Numri maksimal varion me numrin e

skedulimeve aktive, duke qenë se fqinjësia 1 kontrollohet në mënyrë të plotë. Në një skenarin

tipik, rreth 300 zgjidhje kandidate u testuan në përsëritjen përfundimtare të algoritmit, përsëritja

e cila nuk gjeti përmirësime.

Numri total i përsëritjeve deri në përfundim është gjithashtu i rastësishëm, dhe varet nga numri

i skedulimeve të mundshme. Numri i përgjithshëm i përsëritjeve prirej të ndryshonte ndërmjet

15 dhe 25. Gjithçka në tërësi nënkupton që një përpjekje e optimizimit do të vlerësojë në një

rang diku ndërmjet 500 deri në 1,500 kombinimeve të ndryshme të skedulimit. Bazuar në këtë

nevojë për të vlerësuar një numër të madh skedulimesh, kam marrë vendimin për të koduar një

model simulimi në VB, në vend që të përdor kodin e Automod-it të zhvilluar më parë.

Përsa i përket përzgjedhjes së metaheuristikës, ekziston një numër shumë i madh i algoritmeve

në dispozicion, duke përfshirë algoritme gjenetike, simulimi temperues, dhe kërkimi Tabu, si

dhe përqasje të tjera të tilla si metodat e kërkimit të bazuar në gradient dhe metodat e sipërfaqes

së përgjigjes. Duke qënë se problemi është diskret, vendosa të mos ndjek metodat e gradientit

ose të sipërfaqes së përgjigjes pasi këto algoritme janë më të përshtatshme për të zbutur

funksionet e përgjigjes. Zgjedhja ime e metauristikës u nxit nga natyra kombinuese e problemit.

Teknikisht bashkësia e mundshme për problemin është i pakufizuar. Supozojmë se vendosim

një kufi praktik të η-të si numri i përgjithshëm i operatorëve të caktuar për çdo skedulim, numri

i planeve të mundhsme të organizimit të stafit është 3Νƞ ku N është numri i skedulimeve të

mundshme për opsionin e skedulimit (shih Tabelën 3-10). Mundësia më pak fleksibël (A) ka

336 skedulime të mundshme. Nëse vendosim η të barabartë me 10 atëherë ka rreth 1030

skedulime të mundhsme. Për opsionin F numri zgjerohet në më shumë se 1040. Kam kërkuar

disa algoritme që lejojnë hulumtime të tjera heuristike (siç janë ato në Tabelën 3-10) që të

inkorporohen. Refuzova algoritme gjenerike, sepse nuk kishte asnjë mënyrë të dukshme për të

zbatuar një mekanizëm shkëmbimi që do të çonte në zgjidhje me cilësi të lartë. Përveç kësaj,

një përqasje e bazuar në popullatë rrit numrin e zgjidhjeve që duhet të testohen dhe procesi i

simulimit e bën vlerësimin relativisht të shtrenjtë. Procesi i përzgjedhjes është gjithashtu më i

vështirë kur përpiqet të zgjedhë zgjidhjen më të mirë për një popullatë kundrejt një krahasimi


118

të dyfishtë sekuencial. Kërkimi Tabu është një përqasje e zbatueshme dhe në të vërtetë mund

të shtohet në algoritmin aktual për të parandaluar vlerësime të përsëritura të së njëjtës zgjidhje

gjë që qartësisht ndodh në këtë algoritëm. Normalizimi i simuluar është një alternativë tjetër

për të lehtësuar kalimin nga optimumi lokal i cili realizohet nëpërmjet fqinjësive të zgjeruara

në këtë algoritëm. Objektivi im i përgjithshëm ishte gjetja e një algoritmi relativisht të lehtë për

t’u implementuar që do të çonte në zgjidhje të mira sepse qëllimi im ishte të përcaktoja nëse

grupimi është i dobishëm. Duke treguar që është i tillë, mund të hetoj efiçencën e algoritmit në

punimet e ardhshme.

Krahasimi i Sim-Opt dhe Opt-Sim

Në këtë eksperiment do të përdor çdo metodë të përshkruar në seksionin e mëparshëm për të

gjetur planin optimal të organizimit të stafit për një çift projektesh. Në këtë analizë shqyrtoj

grupimin e projekteve test A dhe C të përshkruar në Kapitullin 1 dhe të analizuar në Kapitullin

2. Siç është treguar më parë, kostoja e ofrimit të shërbimeve dhe cilësia e algoritmit të zgjidhjes

varet nga fleksibiliteti i fuqisë punëtore. Për këtë arsye do të testoj çdo përqasje për pesë

opsionet e skedulimit të përshkruar përgjatë këtij kapitulli.

Përqasja Sim-Opt

Për të testuar përqasjen Sim - Opt, u ekzekutua algoritmi i kërkimit të simulimit për të gjetur

tripletën optimale të organizimit të stafit për secilën prej 336 periudhave individuale kohore për

një çiftëzim të projektit A dhe B. Plani rezultues i organizimit të stafit është përmbledhur në

grafikun vijues:

Figura 3-39 Organizimi Optimal i stafit Periudhë pas Periudhe

Vizualisht mund të shohim se optimizimi periudhë pas periudhe krijon një plan organizimi stafi

shumë të ndryshueshëm. Kjo është ilustruar më mirë në grafikun e mëposhtëm që tregon planin

e organizimit të stafit vetëm për operatorët e trajnuar në mënyrë miks.


119

Figura 3-40 Kërkesat për Trajnim Miks Periudhë pas Periudhe

Natyra shumë e ndryshueshme e këtij plani të organizimit të stafit është problematike, duke

qënë se modeli fiks i mbulimit të organizimit të stafit ka të ngjarë të paraqesë një sasi të

konsiderueshme fiaskoje në planin rezultues të organizimit të stafit. Për të provuar këtë,

ekzekutoj një model bazë të peshuar të mbulimit, duke skeduluar çdo grupim në mënyrë të

pavarur. E përsëris këtë proces për çdo opsion të skedulimit me rezultatet e përmbledhura në

tabelën e mëposhtme.

Tabela 3-28 Rezultatet SimOpt Projektet A dhe B

Kjo tabelë liston kostot e direkte të punës për optimizimin e pavarur nga Modeli i Skedulimit

Afatshkurtër së bashku me kostot e punës nga përqasja Sim-Opt. Optimizimi i bazuar në

simulim llogarit një model të organizimit të stafit që kushton 32,180 euro; diferenca midis kësaj

shifre dhe shifrës së përgjithshme të punës e llogaritur është rezultat i organizimit të stafit të

tepërt për shkak të kufizimeve të turneve; humbja e peshës së vdekur. Mund të shohim se

kufizimet e organizimit të stafit shtojnë kosto të konsiderueshme në skedulimin që rezulton, të

barabartë me 50% në rastin e fleksibilitetit të ulët dhe 20% në rastin më fleksibël. Bazuar në

këto rezultate, përqasja Sim-Opt nuk duket të jetë shumë premtuese, dhe për këtë do t’i

drejtohem përqasjes alternative Opt-Sim.

Përqasja Opt-Sim

Në përqasjen Opt-Sim do të filloj me një plan bazë të gjeneruar nga modeli i optimizimit të

Kapitullit 4. Specifikisht kam gjeneruar një skedulim me një objektiv të nivelit të shërbimit më

Jo Grupime - Optimizimi Stokastik Përqasja SimOpt

Kostoja

Direkte e

Punës A

Kostoja

Direkte e

Punës B

Kostoja

Totale e

Punës

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

1

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

2

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

3

Kostoja

Totale e

Punës

Humbja e

Peshës së

Vdekur

% Humbja

e Peshës së

Vdekur

Skedulimi A 11,280 30,960 42,240 10,000 24,000 14,500 48,500 16,032 50.7%

Skedulimi B 10,800 30,320 41,120 9,200 21,600 13,000 43,800 11,620 36.1%

Skedulimi C 10,944 30,384 41,328 8,720 21,120 12,800 42,640 10,460 32.5%

Skedulimi D 10,844 30,092 40,936 8,400 20,120 11,800 40,320 8,140 25.3%

Skedulimi E 10,720 30,096 40,816 8,080 19,820 10,725 38,625 6,445 20.0%


120

të ulët dhe një kërkesë minimale të organizimit të stafit me një operator të vetëm, pastaj aplikoj

procesin e kërkimit të paraqitur në figurën 3-36 dhe tabelën 3-24. ideja është të krijojmë një

plan të organizimit të stafit që është pak i nënstafuar. Në këtë situatë ndryshimet e operatorëve

të vetëm kanë gjasa të përmirësojnë planin e organizimit të stafit dhe duke qënë se përmirësimi

i ndryshimeve të stafit të vetëm është më i lehtë për t'u gjetur se përmirësimi i ndryshimeve në

rastet e dyfishta të organizimit të stafit, algoritmi duhet të gjejë përmirësime më me shpejtësi.

Si një test i parë, e drejtova këtë analizë për çiftin e projekteve A dhe B, duke testuar çdo opsion

skedulimi. Rezultatet janë të përmbledhura më poshtë:

Tabela 3-29 Rezultatet OptSim Projektet A dhe B

Kjo përqasje duket shumë më premtuese sesa përqasja Sim-Opt e përshkruar më sipër. Në

secilin rast, algoritmi gjen një plan të organizimit të stafit me një kosto totale më të ulët,

pavarësisht nga kostoja më e lartë e operatorëve të trajnuar në mënyrë miks. Meqënëse

përpjekja e optimizimit këtu është globale, algoritmi nuk vuan nga çështja e humbjes e peshës

së vdekur e përballur në përqasjen Opt-Sim. Bazuar në këto rezultate paraprake, vazhdova më

tej me një analizë të detajuar të përqasjes Sim-Opt.

Vleresimi i Detajuar i Përqasjes Opt-Sim

Në sektorin e mëparshëm, hetova dy mekanizma alternative për skedulimin e një çifti të

grumbulluar projektesh dhe gjeta që përqasja Opt-Sim duket të ofrojë rezultate shumë më të

mira. Në këtë seksion do të shqyrtoj në mënyrë më të hollësishme kursimet që rezultojnë.

Gjithashtu do të shqyrtoj se si karakteristikat e projektit ndikojnë në vendimin e grupimit. Në

seksionin e mëparshëm, pamja paraprake shikonte vetëm tek komponenti i drejtpërdrejtë i

punës, por një analizë më e plotë kërkon padyshim vlerësimin e kostos totale. Gjithashtu, në

mënyrë që të bëjmë një krahasim të drejtë ndërmjet gjërave të ngjashme, duhet të vlerësojmë

skedulimet e vetme dhe të grumbulluara të optimizuara duke përdorur të njëjtën përqasje. Për

këtë arsye krahasova rezultatet e projektit të grumbulluar me ato që gjenden nga optimizimi i

bazuar në simulim i stestemimit të zhvilluar më parë (Seksioni 3.1).

Optimizimi i Grupimit – Projektet A dhe B

Në këtë seksion do të testoj ndikimin e grupimit të Projekteve A dhe B. Kujtojmë që Projekti

A është një projekt korporate me modele relativisht të qëndrueshme të mbërritjes. Projekti B

është një projekt “shitjeje me pakicë” me modele disi të paqëndrueshme të mbërritjes.

Meqenëse një projekt është korporate dhe një është me pakicë këto projekte kanë modele të

ndryshme sezonaliteti. Periudha e zënë për projektin B shtrihet më vonë gjatë ditës dhe projekti

ka fundjavë më të zënë. Projekti B gjithashtu ka më pak qetësi dreke në volumet e telefonatave

sesa Projekti A.

Tabela në vijim përmbledh rezultatet e përpjekjes së optimizimit të grupimit:

Jo Grupime - Optimizimi Stokastik Përqasja OptSim

Kostoja

Direkte e

Punës A

Kostoja

Direkte e

Punës B

Kostoja

Totale e

Punës

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

1

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

2

Kostoja Direkte

e Punës Grupimi

3

Kostoja

Totale e

Punës

%

Kursimeve

Skedulimi A 11,280 30,960 42,240 9,600 25,200 6,500 41,300 2.2%

Skedulimi B 10,800 30,320 41,120 9,200 24,000 7,500 40,700 1.0%

Skedulimi C 10,944 30,384 41,328 9,280 23,280 7,800 40,360 2.3%

Skedulimi D 10,844 30,092 40,936 8,920 23,860 7,375 40,155 1.9%

Skedulimi E 10,720 30,096 40,816 8,880 23,000 8,450 40,330 1.2%


121

Tabela 3-30 Optimizimi i Grupimit – Projektet A dhe B

Të dhënat tregojnë se edhe me një rritje prej 25% për operatorët e grumbulluar, grupimi

zvogëlon koston e përgjithshme të operacioneve. Kursimet e kostos ndryshojnë nga 4.4% në

7.5% në varësi të opsionit të bashkësisë se skedulimit. Në secilin rast numri i orëve të punës të

nxjerra nga grupimi i trajnimit miks është më pak se 20%. Siç ishte rasti në analizën e gjendjes

së qëndrueshme, grupimi i një përqindjeje relativisht të vogël të operatorëve siguron rezultatet

optimale. Duhet theksuar se Projekti A, projekti më i vogël, sheh një përmirësim në nivelin e

shërbimit në secilin rast, ndërsa niveli i shërbimit për Projektin B mbetet konstant ose

zvogëlohet pak. Në mënyrë intuitive, në rastin e një grumbillimi të vetëm, Projekti B duhet të

mbajë një kapacitet të sigurisë për të mbrojtur kundra maksimumeve të kushtueshme, gjë që

është e qartë nga niveli mesatar i shërbimit, ose 3% -5%. Në rastin e grupimit, kapaciteti i lirë

mund të alokohet në Projektin A sipas nevojës dhe secili projekt ka një nivel mesatar të

shërbimit, mbi nivelin objektiv. Njohja e mëtejshme mund të sihet nga paraqitja grafike të planit

të organizimit të stafit që rezulton. Në figurën në vijim kam plotësuar planin e organizimit të

stafit për bashkësinë e skedulimit C.

Figura 3-41 Plani i Organizimit të Grupuar të stafit

Optimizimi Individual Optimizimi i Grupimit Krahasimi

Kostoja e

Punës

Rezultati i

PriturTSF 1 TSF 2

% e

Operatorëve të

Grupuar

Kostoja e

Punës

Rezultati

i PriturTSF 1 TSF 2

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursime

ve

Skedulimi A 41,600 44,504 78.3% 83.5% 13.0% 41,356 42,560 83.2% 83.4% 244 1,944 4.4%

Skedulimi B 40,400 44,504 78.1% 84.7% 15.3% 40,769 41,873 84.4% 83.6% (369) 2,631 5.9%

Skedulimi C 40,320 44,504 78.9% 85.0% 16.1% 40,424 41,171 83.0% 84.0% (104) 3,333 7.5%

Skedulimi D 40,120 44,504 79.4% 84.4% 17.0% 40,732 41,537 83.0% 84.3% (612) 2,967 6.7%

Skedulimi E 40,000 44,504 78.9% 85.3% 18.7% 40,197 41,664 81.4% 83.4% (197) 2,840 6.4%


122

Figura 3-42 Plani i Organizimit të Operatorëve të trajnuar miks

Operatorët e trajnuar në mënyrë miks janë skeduluar përgjatë javës por përdorur më së shumti

gjatë periudhave të zëna.

Optimizimi i Grupimit – Projektet A-C

Rezultate të ngjashme gjenden për çiftëzimin e Projektit A dhe Projektit C siç përmblidhet më

poshtë:

Tabela 3-31 Optimizimi i Grupimit – Porjektet A dhe C

Në këtë rast, kursimet janë pak më të ulëta, në rangun prej 2.7% - 4.3% dhe përqindja e

operatorëve të trajnuar me kosto është pak më e lartë. Në çdo rast, kostot e punës rriten pak

duke rezultuar në një nivel më të lartë besimi se objektivi i nivelit të shërbimit do të arrihet.

Niveli mesatar i shërbimit për çdo projekt përmirësohet në secilin rast. Duke kujtuar se këto

projekte kanë përafërsisht të njëjtën madhësi, përfitimet janë shpërndarë në mënyrë të barabartë.

Niveli mesatar i shërbimit për secilin projekt shkon nga pak në poshtë objektivit drejt pak më

sipër objektivit. Në mënyrë intuitive, meqenëse kapaciteti rritës mund të ndahet nëpër projekte

sipas nevojës, kostoja e punës në rritje kompensohet nga ulja e kostove të gjobës.

Optimizimi i Grupimit – Projektet B-C

Në këtë çiftëzim final do të ekzaminoj grumbillimin e Projektit B dhe Projektit C, të cilët të dy

kanë modelet sezonaliteti të orientuara në shitjet me pakicë. Rezultatet janë përmbledhur më

poshtë:


Kostoja e

Punës

Rezultati i

PriturTSF 1 TSF 2

% e

Operatorëve të

Grupuar

Kostoja e

Punës

Rezultati

i PriturTSF 1 TSF 2

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursime

ve

Skedulimi A 23,200 24,606 78.3% 79.9% 14.3% 23,228 23,938 80.8% 81.2% (28) 668 2.7%

Skedulimi B 22,800 24,606 78.1% 78.5% 14.5% 22,834 23,547 81.7% 81.4% (34) 1,059 4.3%

Skedulimi C 22,800 24,606 78.9% 78.3% 21.2% 23,115 23,504 81.8% 82.3% (315) 1,102 4.5%

Skedulimi D 22,540 24,606 79.4% 79.7% 19.0% 23,143 23,758 80.7% 82.8% (603) 848 3.4%

Skedulimi E 22,460 24,606 78.9% 79.1% 18.8% 22,698 23,550 80.8% 81.5% (238) 1,056 4.3%


123

Tabela 3-32 Optimizimi i Grupimit – Projektet B dhe C

Ashtu si në rastin e mëparshëm grupimi redukton koston e operacioneve për këto projekte rreth

5% duke grupuar 10% -15% të operatorëve. Por ndryshe nga dy rastet e mëparshme, kjo situatë

zvogëlon koston totale duke reduktuar punën. intuita është se secili prej këtyre projekteve është

relativisht i paqëndrueshëm dhe duhet të ketë kapacitet të konsiderueshëm të lirë për t'u

mbrojtur nga pasiguria. Nga grupimi, kapaciteti rezervë i projektit mund të ndahet dhe shuma

totale e kapacitetit rezervë është zvogëluar.

Impakti i Diferencimit të Pagave në rastin e Trajnimit miks

Analiza tregon se trajnimi miks i një pjese të fuqisë punëtore mund të zvogëlojë kostot edhe

nëse personat e trajnuar në mënyrë miks janë të shtrenjta. Në analizën e deritanishme kemi

supozuar se trajnimi miks krijon një kosto shtesë prej 25%. Në këtë seksion do të shqyrtoj

ndikimin e ndryshimit diferencial të pagave.

Për këtë eksperiment do të testoj të njëjtin çift projektesh dhe skedulimi të testuara më lart, por

lejoj diferencmin e pagave të ndryshojë. Do të mbaj pagën bazë të operatorëve 10.00 euro në

orë, por do të testoj normat e pagave të super operatorëve nga 11.25 euro, 12.00 euro dhe 13.75

euro. Në përgjithësi gjej se trajnimi miks është një taktikë e zbatueshme mbi këtë gamë të

kostove. Kursimet e pritura natyrisht janë në rënie në diferencën e pagave, siç është përqindja

e operatorëve të trajnuar në mënyrë miks - megjithëse përqindja e operatorëve të trajnuar është

më pak e ndjeshme ndaj diferencës së pagave sesa mund të pritej. Rezultatet janë përmbledhur

në tabelën në vijim:

Tabela 3-33 Rezultatet e Impaktit të Diferencimit të Pagave në rastin e Trajnimit Miks


Kostoja e

Punës

Rezultati i

PriturTSF 1 TSF 2

% e

Operatorëve të

Grupuar

Kostoja e

Punës

Rezultati

i PriturTSF 1 TSF 2

Kursimi

i Punës

Kursimi

Total

% e

Kursime

ve

Skedulimi A 41,600 44,387 85.3% 79.9% 10.1% 40,654 42,349 82.4% 80.4% 946 2,038 4.6%

Skedulimi B 40,800 44,387 84.7% 78.5% 13.7% 39,370 41,523 81.2% 80.6% 1,430 2,864 6.5%

Skedulimi C 40,400 44,387 85.0% 78.3% 15.4% 40,034 41,966 82.8% 80.3% 366 2,421 5.5%

Skedulimi D 40,540 44,387 84.4% 79.7% 14.5% 39,768 42,103 82.8% 79.8% 772 2,284 5.1%

Skedulimi E 40,620 44,387 85.3% 79.1% 13.7% 40,273 42,188 82.5% 80.7% 347 2,199 5.0%

Çifti i

Projekteve

Bashkësia

e Sked

Rezultati i

Pritur

% e

Operatorëve

të Grupuar

% e

Kursimeve

% e

Operatorëve

të Grupuar

% e

Kursimeve

% e

Operatorëve

të Grupuar

% e

Kursimeve

A 44,504 15.3% 7.1% 13.0% 4.4% 14.3% 3.9%

B 43,529 17.3% 5.7% 15.3% 3.8% 13.3% 3.7%

C 43,790 15.9% 6.9% 16.1% 6.0% 15.1% 4.0%

D 43,120 19.0% 5.4% 17.0% 3.7% 16.4% 2.6%

E 43,240 19.4% 5.5% 18.7% 3.6% 17.4% 0.9%

A 24,606 14.3% 4.1% 14.3% 2.7% 10.7% 0.9%

B 24,643 14.5% 5.5% 14.5% 4.4% 16.1% 1.5%

C 24,597 21.2% 5.8% 21.2% 4.4% 15.4% 2.5%

D 24,396 19.0% 5.4% 19.0% 2.6% 14.9% 0.9%

E 24,513 18.8% 6.3% 18.8% 3.9% 18.3% 0.6%

A 44,387 10.1% 6.3% 10.1% 4.6% 6.1% 5.2%

B 44,424 13.7% 59.0% 13.7% 6.5% 14.4% 3.3%

C 44,378 15.4% 7.4% 15.4% 5.4% 13.9% 3.4%

D 44,177 14.5% 6.1% 14.5% 4.7% 13.0% 3.3%

E 44,294 13.7% 5.6% 13.7% 4.8% 16.7% 1.9%

€ 13.75

Diferenca e Pagave për Trajnimi Miks

A-B

A-C

B-C

Asnjë Trajnim Miks € 11.25 € 12.50


124

Vlerësimi i këtyre tre çiftimeve të projekteve tregon se aftësia për të zvogëluar kostot operative

nga grupimi i pjesshëm është i fuqishëm në kombinime të ndryshme të projekteve. Rezultatet

e përgjithshme në nivel kursimesh prej rreth 5% me një grupim prej rreth 15% të operatorëve

janë të qëndrueshme përgjatë çiftimeve. Mekanizmi në të cilin janë arrirë kursimet është

megjithatë i ndryshëm. Në disa raste niveli i agreguar i shërbimit rritet kur shtimi i më shumë

operatorëve (të grupuar) lejon përmirësim efiçent në arritjen e objektivit të nivelit të shërbimit.

Në raste të tjera grupimi lejon kapacitetin e tepërt të reduktohet përmes ndarjes efiçente të

kapacitetit rezervë.

Përmbledhje

Në këtë model ekzamiova konceptin e grupimit të pjesshëm të operatorëve në call center.

Premisa bazë është se në rastet kur trajnimi është i shtrenjtë, nuk është praktike të trajnohen të

gjithë operatorët për të menaxhuar llojet e shumta të telefonatave. Hetova mundësinë e trajnimit

të disa operatorëve për të trajtuar llojet e shumta të telefonatave dhe tregova se kjo përqasje

mund të sjellë përfitime të konsiderueshme.

Së pari, analizova performancën në gjëndje të qëndrueshme, pavarësisht nga kostot, dhe tregova

se grupimi jep përfitime të rëndësishme, por me shpejtësi në rënie. Më pas hetova nivelin

optimal të trajnimit miks në një mjedis të qëndrueshëm kur kostoja e trajnimit është e

kushtueshme. Zhvillova një metodë të optimizimit të drejtpërdrejtë dhe efiçent të simulimit për

gjetjen e nivelit optimal të trajnimit miks. Së fundi e zgjerova këtë metodë në një mjedis të

orientuar drejt projektit, ku ardhjet nuk janë stacionare me ditën e javës dhe me sezonalitetin e

kohës së ditës.

Modeli i simulimit i përdorur në këtë kapitull është një aplikim i personalizuar i zhvilluar nga

autori në Microsoft Visual Basic.NET. Kodi u zhvillua si një portë e një modeli të zhvilluar më

parë duke përdorur Automod. Është tranferuar kodi në VB në mënyrë që të ketë një aftësi në

rritje për të kryer një kërkim në fqinjësi për qëllime optimizimi. Transferunu i kodit në VB lejoi

gjithashtu një bazë të përbashkët kodesh për t'u përdorur për simulim dhe për gjenerim

skenarësh.

Për gjenerimin e numrave të rastit, kodi zbaton një gjenerator të kombinuar të shumëfishtë

rekursiv (CMRG) i bazuar në gjeneratorin e Mrg32k3a të përshkruar në (L'Ecuyer 1999).

Gjeneratori u përkthye nga kodi C i postuar në faqen e internetit të L'Ecuyer në VB nga autori.

Ky gjenerator numrash ka veti të shkëlqyera statistikore dhe konsiderohet si një nga

gjeneratorët më të mirë disponibël. Programimi u bë i mundur edhe falë bashkëpunimit me

Departamentin e Sistemeve të Informacionit, që dha një ndihmë të madhe në realizimin e

modeleve.

Programimet Lineare dhe me Numra të Plotë të përshkruara përgjatë kapitullit ishin të gjitha të

formuluara duke përdorur gjuhën e modelimit GAMS dhe zgjidhet duke përdorur CPLEX në

një host Unix. Modelet u ekzekutuan në servera të ndryshme brenda mjedisit e informatikës së

call center-it.


125

PËRFUNDIME DHE REKOMANDIME

Fokusi i kesaj teze ka qenë krijimi i disa modeleve, duke shfrytëzuar Teorinë e Radhëve dhe

Simulimin për dimensionimin dhe skedulimin Optimal të Call Center-ave, duke marrë parasysh

ndikimin e parametrave të rastit (siç është koha e mbërritjes).

Puna bazohet në një call center që ofron shërbim klientësh. Nga perspektiva e biznesit,

problemet specifike të trajtuara në këtë tezë përfshijnë:

• Si mund ta përmirësojmë procesin e skedulimit të stafit për të ulur kostot e punës, duke

arritur përsëri nivelin e shërbimit mujor të kërkuar?

• Cilat inovacione janë të mundura në organizimin e stafit të projektit për të lejuar rritjen

e efiçencës pa sakrifikuar nivelet e shërbimit të klientit?

Gjatë punës sime me këtë kompani kemi analizuar modelet e mbërritjes së telefonatave në një

përpjekje për të karakterizuar procesin e mbërritjeve dhe për të kuptuar më mirë këtë parametër

të rastit. Kemi gjetur se menaxherët shpesh keqinterpretojnë ndryshueshmërinë dhe kanë

vështirësi për të ndarë ndryshueshmërinë stokastike, sezonalitetin dhe trendet. Në përgjithësi

kemi gjetur se pas kontrollimit të ndryshueshmërisë stokastike dhe trendeve javore, të dhënat

kanë tendencë të jenë shumë të qëndrueshme.

Gjithashtu kemi analizuar proceset dhe metodat e skedulimit dhe organizimit të stafit. Kemi

gjetur se edhe pse stafi përgjegjës per skedulimin (WFM) kishte akses në mjete relativisht të

sofistikuara skedulimi, ata shpesh mbështeteshin në proceset manuale me mbështetje minimale

automatike; për shembull, llogaritësit Erlang C për të identifikuar kërkesat themelore dhe

skedulimi manual përmes Excel-it.

Puna në këtë tezë kërkoi ndërtimin në këtë analizë dhe zhvillimin e modeleve mbështetëse të

marrjes së vendimeve për të adresuar vendimet e ndryshme të menaxhimit të kapaciteteve.

Objektivi ishte të zhvilloheshin modele specifike që mund të përdoren në të ardhmen për

menxahimin e operacioneve, në nivelet e dimensionit dhe skedulimit.

Të gjitha analizat statistikore në Kapitullin 1 janë në bashkëpunim me stafin e kompanisë, gjatë

gjithë procesit të analizës.

Pjesa më e madhe e punës së bërë për zhvillimin e kësaj teze ishte duke marrë analizën specifike

të projektit, të bërë gjatë studimit, duke e përgjithësuar atë dhe duke e studiuar atë në situata të

ndryshme. Shumica e njohurive të zhvilluara gjatë kësaj analize janë konsideruar për t’u

përdorur në kompani.

Duke u larguar nga çështjet specifike të kompanisë, disa vëzhgime të përgjithshme që dalin nga

kjo analizë përfshijnë pikat në vijim:

Ndryshueshmëria: Modelet e mbërritjeve të telefonatave janë shumë më të paqëndrueshme

sesa modelet e supozuara në literaturë. Konsiderimi në mënyrë eksplicite i kësaj

ndryshueshmërie ka një ndikim material.

Sezonaliteti: sezonaliteti i modeleve të telefonatave për shumë lloje të telefonatave është shumë

domethënës dhe ndikon dukshëm në koston e ofrimit të shërbimeve.

Pak fleksibilitet për rezultate afatgjata: gjithë kësaj analize kam gjetur se fleksibiliteti i

kufizuar mund të çojë në një përmirësim domethënës. Disa operatorë me kohë të pjesshme


126

arrijnë pjesën më të madhe të përfitimit të të gjithë personave me kohë të pjesshme universalë.

Në mënyrë të ngjashme, trajnimi në mënyrë mikse i disa operatorëve jep pjesën më të madhe

të përfitimit sesa trajnimi miks i të gjithëve.

Modeli i Skedulimit Afatshkurtër

Objektiv i modelit të skedulimit afatshkurtër ishte përcaktimi i turneve optimale duke

konsideruar kohën e mbërritjejes si madhësi e rastit. Modeli zhvilloi një skedulim javor të

dizenjuar për të arritur një Nivel Shërbimi të caktuar, në bazë të marrëveshjes, duke caktuar një

“gjobë” financiare që bazohet në probabilitetin e mos arritjes së objetktivit të Nivelit të

Shërbimit

Në fillim u tregua që Vlera e Zgjidhjes Stokastike për modelin e skedulimit afatshkurtër është

e konsiderueshme; duke filluar nga 12.3% në mbi 21%. Implikimi i qartë është se për këtë

formulim modeli, shpërfillja e ndryshueshmërisë është një vendim i kushtueshëm; megjithatë

shumica e modeleve në praktikë injorojnë si mbërritjet e rastit ashtu edhe braktisjen. Aludimi

është se nuk duhet të futet braktisja në model pa marrë parasysh edhe mbërritjet e rastit. Më

pas, u krahasua ky model me praktikën e zakonshme të skedulimit me një kufizim lokal të

Erlang C; që është skedulimi i bazuar në një model që injoron braktisjen dhe mbërritjet e rastit

por kërkon që objektivi i nivelit të shërbimit të arrihet në çdo periudhë. Duke krahasuar modelin

tim me këtë praktikë të zakonshme, përsëri u gjet që modeli im ka arritur rezultate më të ulëta

të kostos; duke filluar nga 2.4% në 27%. Implikimi themelor këtu është se modeli Erlang C

ndonjëhrë arrin rezultate të mira, pasi supozimet e braktisjes dhe mbërritjeve të rastit krijojnë

gabime që kundër balancohen. Megjithatë, modeli stokastik gjithmonë arrin një zgjidhje më të

mirë dhe në shumë raste praktike një rezultat shumë më të mirë. Kjo është veçanërisht e vërtetë

kur fleksibiliteti i fuqisë punëtore është i kufizuar në turne me kohë të plotë ose thuajse të plotë

dhe përqasja e grupit të mbulimit paraqet rënie të konsiderueshme në skedulim.

Së fundi u krahasua ky model me një Model Erlang C të Kufizuar Globalisht. Megjithëse nuk

është adresuar shumë në literaturë, sipas njohurive të mia, modeli global i Erlang C është një

zgjerim i thjeshtë i modelit Erlang C që e zbut kufizimin periudhë pas periudhe të nivelit të

shërbimit. Është shumë e qartë se duhet të presim një rezultat më të mirë nga një kufizim global.

Ky model jep rezultate më të mira në krahasim me Erlang C të kufizuar lokalisht, por përsëri

modeli im stokastik e tejkalon këtë model në çdo rast, minimalisht me 1%, por deri në 16%.

Konkluzioni i përgjithshëm është se krahasuar me metodat alternative të analizuara këtu,

Modeli Stokastik gjithmonë do të japë një kosto më të ulët të skedulimit të operacioneve, dhe

ndonjëherë kjo diferencë mund të jetë e konsiderueshme. Kjo është një karakteristikë themelore

e programimit stokastik në përgjithësi, por në këtë analizë është treguar se dallimi është i

rëndësishëm në rastet konkrete.

Për të ofruar një zgjidhje me kosto më të ulët, modeli i paraqitur në këtë seksion trajton

problemin e caktimit nga një perspektivë krejtësisht të ndryshme. Në përqasjen e grupit të

mbulimit standard, kufizimi i nivelit të shërbimit është një pengesë e vështirë, duhet të

plotësohet dhe çdo skedulim kandidat ose do të arrijë nivelin e shërbimit ose jo. Por në realitet

niveli i shërbimit është një ndryshore e rastit dhe do të arrijmë objektivin SLA me një

probabilitet të caktuar. Analiza shqyrton këtë në mënyrë eksplicite dhe adreson kompromisin

që menaxherët duhet të bëjnë në aspektin e kostos dhe besimin e arritjes së nivelit të shërbimit.

Analiza ime tregon se si kostoja e operacioneve rritet në mënyrë jo-lineare me nivelin e

dëshiruar të besimit. Ky kompromis fshihet në konfigurimin determinist.


127

Në këtë seksion u shqyrtua gjithashtu se si kostoja e ofrimit të shërbimeve ndryshon me

fleksibilitetin e organizimit të stafit; që është disponueshmëria e punonjësve për skedulimet me

kohë të pjesshme. Natyrisht futja e më shumë opsioneve të organizimit të stafit (oraret e

mundshme) do të reduktojë kostot dhe analiza ime kuantifikon këtë reduktim. Do të tregoj në

mënyrë direkte se personeli me kohë të pjesshme mund të ulë ndjeshëm kostot kur menaxherët

përballen me tipet e modeleve të sezonalitetit të vlerësuara në këtë analizë. Po ashtu do të tregoj

se është e nevojshme që vetëm disa punëtorë të duan të punojnë me kohë të pjesshme për të

marrë shumicën e përfitimeve. Fleksibiliteti i fuqisë punëtore është gjithashtu një faktor kyç në

analizat pasuese. Modelet me grupet mbuluese në veçanti janë joefiçente nëse fuqia punëtore

është e kufizuar me turne me kohë të plotë.

Menaxherët duhet të marrin në konsideratë ndryshueshmërinë e mbërritjeve gjatë krijimit të

planeve të organizimit të stafit dhe/ose gjatë vlerësimit të kostos së ofrimit të shërbimeve.

Periudhat me ndryshueshmëri më të madhe kërkojnë kapacitet ekstra të stafit për t’u mbrojtur

siç duhet nga rreziku. Në mënyrë të ngjashme, nëse projektet kanë të njëjtin volum mesatar,

por një është më i ndryshueshëm se tjetri, projekti më i ndryshueshëm do të jetë më i shtrenjtë

për t'u shërbyer.

Modeli i trajnimit miks

Në këtë model u shqyrtuan më tej operacionet e një call center-i. U shqyrtua më tej mundësia e

trajnimit të një nëngrupimi operatorësh në mënyrë që ata të mund të operojnë njëkohësisht për

dy projekte të ndara, një proces të quajtur ndryshe si grupim i pjesshëm. Gjatë punimit u pa që

trajnimi miks i operatorëve rriti performancën e përgjithshme të sistemit. Duke pasur parasysh

investimin e kërkuar për trajnim dhe kërkesën e mundshme për të paguar një pagë më të lartë

për këto raste, u tregua që nuk është e dobishme të trajnohen në mënyrë mikse të gjithë

operatorët. Ky model përcaktoi përfitimin nga grupimi i pjesshëm dhe kushtet nën të cilat

grupimi është më fitimprurës. Më pas u përcaktua numri optimal i operaorëve për t’u trajnuar

në mënyrë mikse duke pasur të dhënë investimin e trajnimit dhe shtesën në pagë të paguar për

operatorët në këtë rast.

Kontributet

Ky disertacion jep disa kontribute të rëndësishme në literaturën e Kërkimeve Operacionale të

Aplikuar, duke përfshirë:

Integrimin e Dimensionimit të Call Center-it dhe Skedulimin e Stafit: modeli im i

skedulimit kombinon këto dy hapa në një model të vetëm optimizimi ndryshe nga literatura

ekzistuese që i trajton ato si procese të ndara. Është treguar se skedulimi që rezulton është me

kosto më të ulët.

Modeli Stokastik i Skedulimit të Call Center-it: modeli im i skedulimit është ndoshta

aplikimi i parë i programimit stokastik në problemin e skedulimit të stafit në vendin tonë.

Tregohet se marrja parasysh e ndryshueshmërisë ul kostot.

Modeli i Pjesshëm i Grupimit: modeli i trajnimit miks që kam prezantuar është shumë praktik

dhe i paeksploruar në literaturë në vendin tonë. Një model shumë i ngjashëm në koncept me

këtë është (Wallace dhe Whitt 2005). Në modelin W&W ka 6 lloje telefonatash dhe çdo

operator është trajnuar për të trajtuar një numër fiks të këtyre llojeve. Autorët përdorin një

model optimizimi i bazuar në simulim për të gjetur nivelin ideal të trajnimit miks. Vizioni i

përgjithshëm i artikullit është se një nivel i ulët i trajnimit miks siguron "shumicën" e përfitimit.


128

Në mënyrë të veçantë, ata gjejnë se trajnimi i çdo operatori në menaxhimin e 2 lloje telefonatash

siguron pjesën më të madhe të përfitimit, ndërsa trajnimi shtesë ka një fitim relativisht të ulët.

Megjithëse gjetja e përgjithshme në modelin e këtij punimi është e ngjashme, p.sh. nivelet e

vogla të trajnimit miks japin shumicën e përfitimit, modelet janë shumë të ndryshme. Ndërsa

zgjidhja e tyre më e mirë është trajnimi në dy aftësi i çdo operatori, modeli ynë supozon se

vetëm një pjesë e vogël e operatorëve janë të trajnuar në mënyrë mikse. Në skenarin tonë

trajnimi miks është shumë i shtrenjtë dhe trajnimi 100% miks nuk është praktik. W&W tregojnë

se duke shtuar një aftësi të dytë jep pjesën më të madhe të vlerës, por ata nuk analizojnë koston

e ndërlidhur me trajnimin miks. Në modelin tonë përfshijmë koston e trajnimit miks dhe

kërkojmë një nivel optimal. Përveç kësaj, W&W ekzaminojnë trajnimin miks vetëm në gjendje

të qëndrueshme, ku nivelet e mbërritjes dhe nivelet e organizimit të stafit janë të fiksuara.

Analiza jonë përqendrohet në rastin kur të dy normat e mbërritjes dhe nivelet e organizimit të

stafit ndryshojnë në mënyrë dramatike gjatë rrjedhës së periudhës së SLA-ve. Jemi shumë të

interesuar në faktin se si përshtatshmëria variabël e kapacitetit të ngarkesës ndikon në dobi të

grupimit të pjesshëm. Në një nivel të detajuar modeli W&W injoron braktisjen - një konsideratë

e rëndësishme në situatën tonë. Modeli i paraqitur këtu shkon përtej modelit W & W për të

shqyrtuar rastin ku trajnimi miks është i kushtueshëm dhe nivelet e shërbimit janë të

rëndësishme. Ky model gjithashtu lejon braktisjen.

Trajnimii miks i një numri të kufizuar operatorësh është një opsion me kosto efektive nën një

gamë të gjerë supozimesh dhe kushtesh. Modeli i paraqitur këtu ofron një metodologji specifike

për gjetjen e nivelit të duhur të trajnimit miks, por gjithashtu ofron disa njohuri themelore.

Menaxherët duhet të kërkojnë të trajnojnë në mënyrë mikse një nivel të moderuar të operatorëve

bazë për të mbështetur rrjedhat e shumta të telefonatave. Në rastin e call center-ave

shumëgjuhëshe, menaxherët kanë nevojë për disa operatorë shumëgjuhësh, por nuk kanë nevojë

që të gjithë operatorët të jenë shumëgjuhësh

Problemi jo-Stacionar: analiza ime është një nga të paktat që e konsideron organizimit e stafit

të një call center-i me norma të mbërritjes jo stacionare dhe ndoshta është i pari në vend që

vlerëson një model realist të mbërritjeve.

Kërkimet e ardhshme

Kërkimi në këtë disertacion mund të zgjatet dhe të zgjerohet sigurisht. Disa nga fushat kyçe për

kërkime potenciale të ardhshme përfshijnë:

Heterogjeniteti i operatorëve: si shumica e modeleve në literaturë shumica e analizës në këtë

disertacion supozon se operatorët janë statistikisht identikë. Të dhënat tregojnë se produktiviteti

i operatorëve është shumë i ndryshueshëm, një sektor që ka marrë shumë pak vëmendje në

literaturën e Kërkimeve Operacionale.

Call Center-at shumëgjuhëshe: Kam aluduar për këtë disa herë në këtë disertacion, por

problemi i dimensionimit të një call center-i shumëgjuhësh është mjaft i vështirë, por mund të

jetë nje fushë ku mund të thellohemi në studimet e ardhshme.

Horizonti kohor variabël: në këtë analizë është trajtuar ekskluzivisht situata ku SLA-të

vlerësohen gjatë një periudhe njëmujore, pasi kjo është dhe praktika më e përhapur në Call

Cneter-a. Një zgjatje e kësaj pune do të analizojë ndikimin e ndryshimeve kohore në objektivin

e SLA-ve (2 ose 6 mujore për shembull) në koston e operacioneve.


129

Rrjedha e fluksit të punës më komplekse: në këtë disertacion është konsideruar një rrjedhë

bazike e punës, madje edhe në modelin e trajnimit miks. Në praktikë, rrjedha e punës shpesh

është shumë komplekse për degëzimin e telefonatave në bazë të kompetencave etj. Këto modele

mund të zgjerohen për të adresuar degëzime më komplekse telefonatash.

Modelet e Skedulimit Afatgjatë: Në këtë studim fokusi ishte në modelimin e modeleve

afatshkurtra të skedulmit. Një studim i ardhshëm mund të jetë ai i shtrirjes në kohe i këtyre

modeleve.

Modelet e Parashikimit: Ndërsa u zhvillua një karakterizim i përgjithshëm i procesit të

mbërritjes së telefonatave, parashikimi mbetet një problem. Një analizë më e hollësishme, duke

përfshirë edhe një ekzaminim më nga afër i sezonalitetit vjetor, mund të çojë në modele më të

mira parashikuese dhe të jenë subjekt i një punimi tjetër.

Skedulimi i Pushimeve: Në këtë analizë u përqendruam vetëm në skedulimin e asaj që Pinedo

e quan turne të ngurta (Pinedo 2005). Një shtrirje relativisht e drejtpërdrejtë lejon që pushimet

të planifikohen në të njëjtën kohë me turnet e ngurta. Supozojmë se për çdo turn mund të

përcaktojmë një dritare pushimi, periudhën gjatë së cilës mund të skedulohen pushimet. Për një

skedulim tetë orësh (pune), kjo mund të jetë periudha 7-12. (Një turn prej tetë orësh me një

pushim prej një ore do të mbulojë nëntë orë ose 18 periudha). Më tej, supozojmë se koha aktuale

e pushimit mund të ndodhë gjatë dy periudhave të njëpasnjëshme në dritare dhe se të gjitha

zgjedhjet janë njëlloj të mundshme. Figura e mëposhtme ilustron:

Figura 4 Llogaritjet e Pushimeve të Nënkuptuara

Më pas mund të gjenerojmë koeficientët e skemës së turneve aij tek (3.2) si “nivele të pritura

të organizimit të stafit” të pa-integruara. Llogaritja e TSF-së në (3.2) dhe e ilustruar në Figurën

3-6 nuk kërkon nivele integruese të organizimit të stafit. Kjo është një pasojë e drejtpërdrejtë e

integrimit të dimensionimit të server-ave dhe hapave të skedulimit të stafit në një problem të

optimizimit.

Periudha 1 2 3 4 5 Mes1 1 1 1 1 1 1.00

2 1 1 1 1 1 1.00

3 1 1 1 1 1 1.00

4 1 1 1 1 1 1.00

5 1 1 1 1 1 1.00

6 1 1 1 1 1 1.00

7 - 1 1 1 1 0.80

8 - - 1 1 1 0.60

9 1 - - 1 1 0.60

10 1 1 - - 1 0.60

11 1 1 1 - - 0.60

12 1 1 1 1 - 0.80

13 1 1 1 1 1 1.00

14 1 1 1 1 1 1.00

15 1 1 1 1 1 1.00

16 1 1 1 1 1 1.00

17 1 1 1 1 1 1.00

18 1 1 1 1 1 1.00

Skedulimi


130

Supozimet Alternative të Radhëve: Llogaritja e nivelit të shërbimit në këtë analizë u bazua

në një përafrim linear me pjesë të formulës së radhëve Erlang A. Ndërsa Erlang A është një

model mjaftueshëm i mirë, ai ka disa kufizime, sidomos supozimet e kohës së bisedës

eksponenciale. Këto supozime relaksohen lehtësisht. Një përqasje është përqasja e sistemimit

të bazuar në simulim, i diskutuar në këtë punim. Një alternativë është që të përdoret një model

tjetër i radhëve për të gjeneruar përafrimin e nivelit të shërbimit. Kjo nuk ka mundësi të

gjenerojë rezultate krejtësisht të ndryshme, por mund të krijojë një përshtatje më të mirë nëse

skedulon një projekt real.

Heuristika e Bazuar në Simulim: Modeli stokastik i paraqitur në këtë punim gjeneron një

skedulim më të mirë se modeli i vlerës së njeriut. Modeli stokastik megjithatë kërkon një sasi

jo të vogël të burimeve kompjuterike. Mund të jetë e mundur të krijohet një heuristikë më e

shpejtë që do të gjenerojë rezultate të mira. Një algoritëm që fillimisht aplikon një heuristikë

lakmitare për të mbuluar kufizimet lokale dhe më pas kryen një sistemim të bazuar në simulim

është një mundësi premtuese

Ndjeshmëria e Supozimit Erlang C: Analiza në Seksioni 3.1 tregon se modeli i skedulimit

stokastik performon në mënyrë të vazhdueshme më mirë se modeli i Erlang C. Çfarë është disi

e habitshme është se sa mirë performon modeli Erlang C, duke pasur parasysh supozimet e

diskutueshme. Mendoj se gabimi i krijuar nga braktisja dhe supozimet e pasigurisë tentojnë të

anulohen. Kërkimet e ardhshme mund të hetojnë kushtet nën të cilat modeli Erlang C ofron

rezultate të arsyeshme.

Sistemimi Algoritmik: Në këtë disertacion është zhvilluar një model për të gjetur një plan

optimal të organizimit të stafit kur mbërritjet janë të pasigurta. Është zbatuar një version i

algoritmit të Dekompozimit në Formë L-je që siguron një zgjidhje të arsyeshme të

përpunueshme. Megjithatë, nuk përqendrohemi në efiçencën algoritmike në këtë disertacion.

Nuk kam asnjë dyshim se analiza shtesë mund të përmirësojnë efiçencën e algoritmit

Kompleksiteti i Telefonatave: Në këtë analizë fillestare është shqyrtuar një rast relativisht i

thjeshtë i dy llojeve të telefonatave dhe tre llojeve të operatorëve. Një shtrirje e natyrshme është

të ekzaminohet një numër më i madh i llojit të telefonatave dhe llojeve shtesë të grupimit.

Konsiderojmë skenarin e paraqitur në grafikun e mëposhtëm:

Figura 5 Përqasja e Grupimit të tre Projekteve

Në këtë rast, tre projekte janë grupuar së bashku. Kapaciteti për projektin 2 tani është edhe më

fleksibël pasi agjentët mund të shtyhen ose të tërhiqen nga dy projekte të tjera. Ky konfigurim

mund të jetë veçanërisht i përshtatshëm nëse Projekti 2 është shumë i paqëndrueshëm. Ky

konfigurim mund të modifikohet më tej nëse një agjent i tipit te 6-të shtohet i trajnuar në mënyrë

miks në Projektin 1 dhe 2.


131

Një përqasje alternative do të ishte krijimi i super operatorëve, të trajnuar në tre (ose më shumë)

projekte. Ky lloj konfigurimi tashmë ekziston në call center-at shumëgjuhësh. Të gjitha këto

mundësi paraqesin mundësi të rëndësishme për autorin që të vazhdojë këtë përpjekje kërkimore.


132

REFERENCAT

[01] Aarts, E., J. Korst and W. Michiels (2005). Simulated Annealing. Search

Methodologies: Introductory Tutorials in Optimization and Decision Support Techniques. E. K.

Burke and G. Kendall. New York, NY, Springer: 187-210.

[02] Anderson, E. G., Jr. 2001. The Nonstationary Staff-Planning Problem with Business

Cycle and Learning Effects. Management Science 47(6) 817-832.

[03] Andrews, B. and H. Parsons 1993. Establishing Telephone-Agent Staffing Levels

through Economic Optimization. Interfaces 23(2) 14.

[04] Andrews, B. H. and S. M. Cunningham 1995. L.L. Bean Improves Call-Center

Forecasting. Interfaces 25(6) 1.

[05] Andrews, B. H. and H. L. Parsons 1989. L.L. Bean Chooses a Telephone Agent

Scheduling System. Interfaces 19(6) 1.

[06] Atlason, J., M. A. Epelman and S. G. Henderson 2004. Call center staffing with

simulation and cutting plane methods. Annals of Operations Research 333-358.

[07] Avramidis, A. N., W. Chan and P. L'Ecuyer 2007. Staffing multi-skill call centers via

search methods and a performance approximation. Working Paper p.

[08] Avramidis, A. N., A. Deslauriers and P. L'Ecuyer 2004. Modeling Daily Arrivals to a

Telephone Call Center. Management Science 50(7) 896-908.

[09] Avramidis, A. N., M. Gendreau, P. L'Ecuyer and O. Pisacane 2007. Simulation-Based

Optimization of Agent Scheduling in Multiskill Call Centers. 2007 Industrial Simulation

Conference.

[10] Avriel, M. and A. C. Williams 1970. The Value of Information and Stochastic

Programming. Operations Research 18(5) 947-954.

[11] Aykin, T. 1996. Optimal Shift Scheduling with Multiple Break Windows.

Management Science 42(4) 591-602.

[12] Baker, K. R. 1974a. Scheduling a Full-Time Workforce to Meet Cyclic Staffing

Requirements. Management Science 20(12, Application Series) 1561-1568.

[13] Baker, K. R. 1974b. Scheduling Full-Time and Part-Time Staff to Meet Cyclic

Requirements. Operational Research Quarterly 25(1) 65-76.

[14] Baker, K. R. and M. J. Magazine 1977. Workforce Scheduling with Cyclic Demands

and Day-Off Constraints. Management Science 24(2) 161-167

[15] Banks, J. 2005. Discrete-event system simulation, Pearson Prentice Hall. Upper

Saddle River, N.J.

[16] Bartholomew, D. J. 1971. The Statistical Approach to Manpower Planning. The

Statistician 20(1, Statistics and Manpower Planning in the Firm) 3-26.

[17] Bartholomew, D. J. 1982. Stochastic models for social processes, Wiley. Chichester

[England]; New York.

[18] Bartholomew, D. J. and A. F. Forbes 1979. Statistical techniques for manpower

planning, Wiley Chichester [Eng.]; New York.

[19] Beale, E. M. L. 1955. On Minimizing A Convex Function Subject to Linear

Inequalities. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) 17(2) 173-184.

[20] Bechtold, S. E. and L. W. Jacobs 1990. Implicit Modeling of Flexible Break

Assignments in Optimal Shift Scheduling. Management Science 36(11) 1339-1351.

[21] Birge, J. R. 1982. The Value of the Stochastic Solution in Stochastic Linear Programs,

with Fixed Recourse. Mathematical Programming 24 314-325.

[22] Birge, J. R. 1985. Decomposition and Partitioning Methods for Multistage Stochastic

Linear Programs. Operations Research 33(5) 989-1007.

[23] Birge, J. R. and F. Louveaux 1997. Introduction to Stochastic Programming, Springer.

New York.

[24] Bordoloi, S. K. and H. Matsuo 2001. Human resource planning in knowledge-

intensive operations: A model for learning with stochastic turnover. European Journal of

Operational Research 130(1) 169.

[25] Box, G. E. P. and N. R. Draper 1987. Empirical model-building and response surfaces,

Wiley. New York.


133

[26] Box, G. E. P., J. S. Hunter and W. G. Hunter 2005. Statistics for experimenters: design,

innovation, and discovery, Wiley-Interscience. Hoboken, N.J.

[27] Box, G. E. P., W. G. Hunter and J. S. Hunter 1978. Statistics for experimenters: an

introduction to design, data analysis, and model building, Wiley. New York.

[28] Box, G. E. P., G. N. Jenkins and G. C. Reinsel 1994. Time series analysis: forecasting

and control, Prentice Hall. Englewood Cliffs, N.J.

[29] Bres, E. S., D. Burns, A. Charnes and W. W. Cooper 1980. A Goal Programming

Model for Planning Officer Accessions. Management Science 26(8) 773-783.

[30] Brown, L., N. Gans, A. Mandelbaum, A. Sakov, S. Zeltyn, L. Zhao and S. Haipeng

2002. Statistical Analysis of a Telephone Call Center: A Queueing-Science Perspective.

Accepted to JASA. Working Paper p.

[31] Brusco, M. J. and L. W. Jacobs 1998. Personnel Tour Scheduling When Starting-Time

Restrictions Are Present. Management Science 44(4) 534-547.

[32] Brusco, M. J. and L. W. Jacobs 2000. Optimal Models for Meal-Break and Start-Time

Flexibility in Continuous Tour Scheduling. Management Science 46(12) 1630- 1641.

[33] Brusco, M. J. and T. R. Johns 1996. A sequential integer programming method for

discontinuous labor tour scheduling. European Journal of Operational Research 95(3) 537-548.

[34] Burke, E., K., P. De Causmaecker, G. Vanden Berghe and H. Van Landeghem 2004.

The State of the Art of Nurse Rostering. Journal of Scheduling 7(6) 441.

[35] Burke, E. K. and G. Kendall, Eds. (2005). Search Methodologies: Introductory

Tutorials in Optimization and Decision Support Techniques Springer. New York, NY. Cachon,

G. P. and C. Terwiesch 2006. Matching Supply With Demand, McGraw-Hill Irwin. New York,

NY.

[36] Cachon, G. P. and C. Terwiesch 2006. Matching Supply With Demand, McGraw-Hill

Irwin. New York, NY.

[37] Cezik, M. and P. L'Ecuyer 2007. Staffing Multiskill Call Centers via Linear

Programming and Simulation. Working Paper 34p.

[38] Charnes, A., W. W. Cooper and R. J. Niehaus 1978. Management science approaches

to manpower planning and organization design, North-Holland Publishing Co. Amsterdam;

New York.

[39] Dantzig, G. B. 1954. A Comment on Edie's "Traffic Delays at Toll Booths". Journal

of the Operations Research Society of America 2(3) 339-341.

[40] Dantzig, G. B. 1955. Linear Programming under Uncertainty. Management Science

1(3/4) 197-206.

[41] Dantzig, G. B. and G. Infanger 1993. Multi-stage stochastic linear programs for

portfolio optimization. Annals of Operations Research 45((1993)) 59-76.

[42] Dupačová, J. 1995. Postoptimality for Multistage stochastic linear programs. Annals

of Operations Research 56(1995) 65-78.

[43] Dupačová, J., G. Consigli and S. W. Wallace 2000. Scenarios for multistage stochastic

programs. Annals of Operations Research 100.

[44] Dupačová, J., N. Gröwe-Kuska and W. Römisch 2003. Scenario reduction in stochastic

programming. Mathematical Programming 95(3) 493-511.

[45] Dupacova, J. and R. Wets 1988. Asymptotic Behavior of Statistical Estimators and of

Optimal Solutions of Stochastic Optimization Problems. The Annals of Statistics 16(4) 1517-

1549.

[46] Ebert, R. J. 1976. Aggregate Planning with Learning Curve Productivity. Management

Science 23(2) 171-182.

[47] Ekmekçiu 2015: Optimizing a call center performance using queueing models - an

Albanian case. 5th INTERNATIONAL CONFERENCE Compliance of the standards in South-

Eastern European countries with the harmonized standards of European Union, 83-98

[48] Ekmekçiu, Muça, Naço 2016: Performance Indicators Analysis inside a Call Center

Using a Simulation Program. International Journal of Business and Technology: Vol. 4 : Iss. 2

, Article 7.

[49] Ekmekçiu, Muça 2015: QUEUE THEORY VS. SIMULATION IN CALL CENTERS.

SPNA 2015 30-42


134

[50] Ekmekçiu 2017: Queuing Models – A call Center Case. International Journal of

Science and Research (IJSR), ISSN (Online): 2319-7064, Index Copernicus Value (2015):

78.96 | Impact Factor (2015): 6.391 Volume 6 Issue 2, February 2017 727-733

[51] Ekmekçiu 2017: Limited Agents Mix-Training in Operations – A call Center Case.

International Journal of Science and Research (IJSR), ISSN (Online): 2319-7064, Index

Copernicus Value (2015): 78.96 | Impact Factor (2015): 6.391 Volume 6 Issue 10, October 2017

147-152

[52] Ekmekçiu 2016: Scheduling a Call Center utilizing a Stochastic Model. Journal of

Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST), ISSN: 2458-9403, Vol. 3

Issue 11, November – 2016 5921-5933

[53] Fang, K.-T. and M.-L. Du 1998. Uniform Design v 3.0, Hong Kong Baptist University.

[54] Fang, K.-T. and D. K. J. Lin (2003). Uniform Experiment Design and their Application

in Industry. Handbook of Statistics. R. Khattree and C. R. Rao, Elsevier. Vol 22.

[55] Fang, K.-T., D. K. J. Lin, P. Winker and Y. Zhang 2000. Uniform Design: Theory and

Application. Technometrics 42(3) 237-248.

[56] FIAA 2018 (http://fiaalbania.al/members-list/teleperformance-albania-a-m-s-sh-p-k/)

[57] Forbes, A. F. 1971. Non-Parametric Methods of Estimating the Survivor Function. The

Statistician 20(1, Statistics and Manpower Planning in the Firm) 27-52.

[58] Freimer, M. B., D. J. Thomas and J. T. Linderoth 2006. Reducing Bias in Stochastic

Linear Programs with Sampling Methods. Working Paper 37p.

[59] Fu, M. C. 2002. Optimization for Simulation: Theory vs. Practice. INFORMS Journal

on Computing 14(3) 192-215.

[60] Gaballa, A. and W. Pearce 1979. Telephone Sales Manpower Planning at Qantas.

Interfaces 9(3) 9p.

[61] Gaimon, C. 1997. Planning Information Technology-Knowledge Worker Systems.


[62] Gaimon, C. and G. L. Thompson 1984. A Distributed Parameter Cohort Personnel

Planning Model that Uses Cross-Sectional Data. Management Science 30(6) 750-764.

[63] Gans, N., G. Koole and A. Mandelbaum 2003. Telephone call centers: Tutorial,

review, and research prospects. Manufacturing & Service Operations Management 5(2) 79-141.

[64] Gans, N. and Y.-P. Zhou 2002. Managing learning and turnover in employee staffing.

Operations Research 50(6) 991.

[65] Gans, N. and Y.-P. Zhou 2007. Call-Routing Schemes for Call-Center Outsourcing.

Manufacturing & Service Operations Management 9(1) 33-51.

[66] Garnett, O., A. Mandelbaum and M. I. Reiman 2002. Designing a Call Center with

impatient customers. Manufacturing & Service Operations Management 4(3) 208-227.

[67] Gass, S. I., R. W. Collins, C. W. Meinhardt, D. M. Lemon and M. D. Gillette 1988.

The Army Manpower Long-Range Planning System. Operations Research 36(1) 5- 17.

[68] Gassman, H. I. 1990. MSLip: A computer code for the multistage stochastic linear

programming problem. Mathematical Programming 47 407-423.

[69] Gendreau, M. and J.-Y. Potvin (2005). Tabu Search. Search Methodologies:

Introductory Tutorials in Optimization and Decision Support Techniques. E. K. Burke and G.

Kendall. New York, NY, Springer: 165-186.

[70] Geoffrion, A. M. 1970. Elements of Large-Scale Mathematical Programming: Part I:

Concepts. Management Science 16(11, Theory Series) 652-675.

[71] Glover, F. and G. A. Kochenberger 2003. Handbook of metaheuristics, Kluwer

Academic Publishers. Boston.

[72] Green, L. and P. Kolesar 1991. The Pointwise Stationary Approximation for Queues

with Nonstationary Arrivals. Management Science 37(1) 84-97.

[73] Green, L. V., P. Kolesar and J. Soares 2003. An Improved Heuristic for Staffing

Telephone Call Centers with Limited Operating Hours. Production and Operations Management

12(1) 46-61.

[74] Green, L. V. and P. J. Kolesar 1997. The Lagged PSA for Estimating Peak Congestion

in Multiserver Markovian Queues with Periodic Arrival Rates. Management Science 43(1) 80-

87.


135

[75] Green, L. V., P. J. Kolesar and J. Soares 2001. Improving the SIPP Approach for

Staffing Service Systems That Have Cyclic Demands. Operations Research 49(4) 549-564.

[76] Green, L. V., P. J. Kolesar and W. Whitt 2005. Coping with Time-Varying Demand

when Setting Staffing Requirements for a Service System. Working Paper 58p. Grinold, R. C.

1976. Manpower Planning with Uncertain Requirements. Operations Research 24(3) 387-399.

[77] Halfin, S. and W. Whitt 1981. Heavy-Traffic Limits for Queues with Many

Exponential Servers. Operations Research 29(3) 567-588.

[78] Hall, R. W. 1991. Queueing methods: for services and manufacturing, Prentice Hall.

Englewood Cliffs, NJ.

[79] Hansen, P. and N. Mladenovic 2001. Variable neighborhood search: Principles and

applications. European Journal of Operational Research 130(3) 449-467.

[80] Hansen, P. and N. Mladenovic (2005). Variable Neighborhood Search. Search


Burke and G. Kendall. New York, NY, Springer: 211-238.

[81] Hanssmann, F. and S. W. Hess 1960. A Linear Programming Approach to Production

and Employment Scheduling. Management Technology 1(1) 46-51.

[82] Harrison, T. P. and J. E. Ketz 1989. Modeling Learning Effects via Successive Linear

Programming. European Journal of Operational Research 40(1) 78-84.

[83] Henderson, D., S. H. Jacobson and A. W. Johnson (2003). The Theory and Practice of

Simulated Annealing. Handbook of metaheuristics. F. Glover and G. A. Kochenberger. Boston,

Kluwer Academic Publishers.

[84] Henderson, W. B. and W. L. Berry 1976. Heuristic Methods for Telephone Operator

Shift Scheduling: An Experimental Analysis. Management Science 22(12) 1372-1380.

[85] Higle, J. L. 2005. Stochastic Programming: Optimization When Uncertainty Matters.

Tutorials in Operations Research.

[86] Higle, J. L., B. Rayco and S. Sen 2004. Stochastic Scenario Decomposition for

MultiStage Stochastic Programs. Working Paper 41p.

[87] Higle, J. L. and S. Sen 1996. Stochastic decomposition: a statistical method for large

scale stochastic linear programming, Kluwer. Dordrecht; Boston.

[88] Higle, J. L. and S. Sen 2006. Multistage stochastic convex programs: Duality and its

implications. Annals of Operations Research 142 129-146.

[89] Holt, C. C., F. Modigliani, J. F. Muth and H. A. Simon 1960. Planning production,

inventories, and work force, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.Y.

[90] Holz, B. W. and J. M. Wroth 1980. Improving Strength Forecasts: Support For Army

Manpower Management. Interfaces 10(6) 37.

[91] Hoyland, K. and S. W. Wallace 2001. Generating Scenario Trees for Multistage

Decision Problems. Management Science 47(2) 295-307.

[92] Huang, C. C., I. Vertinsky and W. T. Ziemba 1977. Sharp Bounds on the Value of

Perfect Information. Operations Research 25(1) 128-139.

[93] Jennings, O. B. and A. Mandelbaum 1996. Server staffing to meet time-varying

demand. Management Science 42(10) 1383.

[94] Jennings, O. B., A. Mandelbaum, W. A. Massey and W. Whitt 1996. Server Staffing

to Meet Time-Varying Demand. Management Science 42(10) 1383-1394.

[95] Johnson, M. E. 1987. Multivariate statistical simulation, Wiley. New York.

[96] Kall, P. 1976. Stochastic linear programming, Springer-Verlag. Berlin; New York.

[97] Kall, P. and J. Mayer 2005. Stochastic linear programming: models, theory, and

computation, Springer Science. New York.

[98] Kall, P. and S. W. Wallace 1994. Stochastic programming, Wiley. Chichester; New

York.

[99] King, A. J. and R. T. Rockafeller 1993. Asymptotic Theory for Solutions in Statistical

Estimation and Stochastic Programming. Mathematics of Operations Research 18(1) 148-162.

[100] Kleywegt, A. J., A. Shapiro and T. Homem-de-Mello 2001. The Sample Average

Approximation Method for Stochastic Discrete Optimization. SIAM Journal of Optimization

12(2) 479-502.


136

[101] Koole, G. and A. Pot 2005. An Overview of Routing and Staffing in Multi-Skill

Contact Centers. Working Paper 1-32p.

[102] Koole, G. and E. van der Sluis 2003. Optimal shift scheduling with a global service

level constraint. IIE Transactions 35 1049-1055.

[103] Krass, I. A., M. C. Pinar, T. J. Thompson and S. A. Zenios 1994. A Network Model to

Maximize Navy Personnel Readiness and Its Solution. Management Science 40(5) 647-661.

[104] Kutner, M. H., C. Nachtsheim, J. Neter and W. Li 2005. Applied linear statistical

models, McGraw-Hill/Irwin. Boston; New York.

[105] L'Ecuyer, P. 1999. Good Parameters and Implementations for Combined Multiple

Recursive Random Number Generators. Operations Research 47(1) 159-164.

[106] Lasdon, L. S. 2002. Optimization theory for large systems, Macmillan. [New York].

[107] Law, A. M. 2007. Simulation modeling and analysis, McGraw-Hill. Boston.

[108] Law, A. M. and W. D. Kelton 2000. Simulation modeling and analysis, McGraw-Hill.

Boston.

[109] Linderoth, J. T., A. Shapiro and S. Wright 2006. The empirical behavior of sampling

methods for stochastic programming. Annals of Operations Research 142(1) 215-241.

[110] Madansky, A. 1960. Inequalities for Stochastic Linear Programming Problems.


[111] Mak, W.-K., D. P. Morton and R. K. Wood 1999. Monte Carlo bounding techniques

for determining solution quality in stochastic programs. Operations Research Letters 24(1-2)

47-56.

[112] Mandelbaum, A. and S. Zeltyn 2004. Service Engineering in Action: The Palm/Erlang-

A Queue, with Applications to Call Centers Draft, December 2004. Working Paper p.

Mandelbaum A., Sakov A. and Z. S. 2001. Empirical Analysis of a Call Center. Working Paper

73p.

[113] Mapo Online 2015: https://gazetamapo.al/call-center-biznesi-qe-vijon-lulezimin/

[114] Mason, A. J., D. M. Ryan and D. M. Panton 1998. Integrated Simulation, Heuristic

and Optimisation Approaches to Staff Scheduling. Operations Research 46(2) 161- 175.

[115] McKay, M. D., R. J. Beckman and W. J. Conover 1979. A Comparison of Three

Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer

Code. Technometrics 21(2) 239-245.

[116] Miller, A. C., III and T. R. Rice 1983. Discrete Approximations of Probability

Distributions. Management Science 29(3) 352-362.

[117] Mo, Y., T. P. Harrison and R. R. Barton 2006. Solving Stochastic Programming

Models in Supply-Chain Design using Sampling Heuristics. Working Paper 21p.

[118] Morey, R. C. and J. M. McCann 1980. Evaluating and Improving Resource Allocation

for Navy Recruiting. Management Science 26(12, Application Series) 1198-1210.

[119] Nemhauser, G. L. and L. A. Wolsey 1988. Integer and combinatorial optimization,

Wiley. New York.

[120] Papadimitriou, C. H. and K. Steiglitz 1998. Combinatorial optimization: algorithms

and complexity, Dover Publications. Mineola, N.Y.

[121] Pflug, G. C. 1996. Optimization of stochastic models: the interface between simulation

and optimization, Kluwer Academic. Boston, Mass. Pflug, G. C. 2001. Scenario tree generation

for multiperiod financial optimization by optimal discretization. Mathematical Programming

89(2) 251-271.

[122] Pinedo, M. 2005. Planning and scheduling in manufacturing and services, Springer.

New York, NY.

[123] Prekopa, A. 1995. Stochastic programming, Kluwer Academic Publishers. Dordrecht;

Boston.

[124] Reeves, C. (2003). Genetic Algorithms. Handbook of metaheuristics. F. Glover and G.

A. Kochenberger. Boston, Kluwer Academic Publishers.

[125] Robbins, T. R. 2007. Addressing Arrival Rate Uncertainty in Call Center Workforce

Management. 2007 IEEE/INFORMS International Conference on Service Operations and

Logistics, and Informatics. Philadelphia, PA, Penn State University: 6.

https://gazetamapo.al/call-center-biznesi-qe-vijon-lulezimin/


137

[126] Robbins, T. R., D. J. Medeiros and P. Dum 2006. Evaluating Arrival Rate Uncertainty

in Call Centers. Proceedings of the 2006 Winter Simulation Conference, Monterey, CA.

[127] Rockafellar, R. T. and R. J.-B. Wets 1991. Sceanrios and policy aggregation

optimization under uncertainty. Mathematics of Operations Research 16(1) 119- 147.

[128] Santner, T. J., B. J. Williams and W. Notz 2003. The design and analysis of computer

experiments, Springer. New York.

[129] Sastry, K., D. Goldberg and G. Kendall (2005). Genetic Algorithms. Search


Burke and G. Kendall. New York, NY: 97-126.

[130] Schindler, S. and T. Semmel 1993. Station Staffing at Pan American World Airways.

Interfaces 23(3) 91-98.

[131] Segal, M. 1974. The Operator-Scheduling Problem: A Network-Flow Approach.

Operations Research 22(4) 808-823.

[132] Shapiro, A. 1991. Asymptotic analysis of stochastic programs. Annals of Operations

Research 30 169-186.

[133] Shapiro, A. and T. Homem-de-Mello 2000. On the Rate of Convergence of Optimal

Solutions of Monte Carlo Approximations of Stochastic Programs. SIAM Journal of

Optimization 11(1) 70-86.

[134] Shrimpton, D. and A. M. Newman 2005. The US Army Uses a Network Optimization

Model to Designate Career Fields for Officers. Interfaces 35(3) 230-237.

[135] Simpson, T. W., D. K. J. Lin and W. Chen 2001. Sampling Strategies for Computer

Experiments: Design and Analysis. International Journal of Reliability and Application 2(3)

209-240.

[136] Teleperformance 2015. http://teleperformance.com/en-us/

[137] Thompson, G. M. 1995. Improved Implicit Optimal Modeling of the Labor Shift

Scheduling Problem. Management Science 41(4) 595-607.

[138] Wallace, R. B. and W. Whitt 2005. A Staffing Algorithm for Call Centers with Skill-

Based Routing. Manufacturing & Service Operations Management 7(4) 276-294.

[139] Wang, Y., D. K. J. Lin and K.-T. Fang 1995. Designing Outer Array Points. Journal of

Quality Technology 27(3) 226-241.

[140] Warner, D. M. 1976. Scheduling Nursing Personnel according to Nursing Preference:

A Mathematical Programming Approach. Operations Research 24(5, Special Issue on Health

Care) 842-856.

[141] Warner, D. M. and J. Prawda 1972. A Mathematical Programming Model for

Scheduling Nursing Personnel in a Hospital. Management Science 19(4, Application Series,

Part 1) 411-422.

[142] Whitt, W. 1989. An Interpolation Approximation for the Mean Workload in a GI/G/1

Queue. Operations Research 37(6) 936-952.

[143] Whitt, W. 2006a. Sensitivity of Performance in the Erlang A Model to Changes in the

Model Parameters. Operations Research 54(2) 247-260.

[144] Whitt, W. 2006b. Staffing a Call Center with Uncertain Arrival Rate and Absenteeism.

Production and Operations Management 15(1) 88-102.

[145] Wolff, R. W. 1982. Poisson Arrivals See Time Averages. Operations Research 30(2)

223-231.

[146] Wolff, R. W. 1989. Stochastic modeling and the theory of queues, Prentice Hall.

Englewood Cliffs, N.J.

[147] Wolsey, L. A. 1998. Integer programming, J. Wiley. New York. Yu, G., J. Pachon, B.

Thengvall, D. Chandler and A. Wilson 2004. Optimizing Pilot Planning and Training for

Continental Airlines. Interfaces 34(4) 253.

http://teleperformance.com/en-us/

Documents

· 2019-12-16 · UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR PROGRAMI I STUDIMIT: KËRKIME OPERACIONALE DISERTACION Për