2020 統計問.0.1 ★★★★以下の演習問題のいくつかをレポー …iida/lecture/statistics/...2020 統計. 問1.2. 生活の中の統計技術演習問題No.1 略解

2020統計.問.0.1

� �★★★★ 以下の演習問題のいくつかをレポート課題とする予定です。 ★★★★

・提出期限：各問題に記載。

・提出場所：manaba コース「生活の中の統計技術」

・(ファイル送信レポートの場合の)提出ファイルについて：

提出ファイルの名前には学籍番号とレポート課題番号をいれてください，例えば，

tyy00zz report1.拡張子，

などのように。

＜注＞ファイル名が変更できない場合は本文中に，学籍番号と氏名，レポート課題番号，複

数ファイルの場合はその順番，を記入しておいてください。

＜注＞上の「拡張子」とは pdf，jpg，HEIC，png などファイルの種類を識別するためにファ

イル名の末尾につけられる文字列です。もしファイルの種類を変換できる場合は pdf

にそろえてください。

(1) 手書きの場合：スキャナーで読み込みんだファイル，あるいはスマートフォンでとった写真をアッ

プロードしてください。写真が複数になる場合は，

tyy00zz report1-1.拡張子，tyy00zz report1-2.拡張子，

など，順番がわかるようにお願いします。

(2) ワードや TEXを使う場合：pdfをアップロードしてください。ワードの場合は docxファイルで

も構いません。

質問・希望など：manaba の掲示板か，[email protected] まで，お願いします。レポートに書いても

らっても結構です。� �

2020統計.問 1.1

� �生活の中の統計技術演習問題 No.1

箱ひげ図

★★★★ レポート課題１ (オンライン入力) ★★★★

出題：9月 28日 (月)，提出期限：10月 03日 (土)

配点：5点� �問題 1-1 (2012年度統計検定 2級問 6を一部変更)

図 1-1は，2つの都市 (A市と B市)の一日の最高気温を，30日間にわたって測ったデータから描いた箱ひ

げ図である。この箱ひげ図に関する次の記述のうち，正しいものを全て選びなさい。

(ア) A市の最高気温の中央値はおよそ 15℃であった。

(イ) 最高気温の最大値は A市と B市でほほ同じ温度であった。

(ウ) B市では最高気温が 15℃を下回る日が 10日以上あった。

(エ) A市では最高気温が 10℃を超えた日が 15日以上あった。

0 5 10 15 20 25 30

図 1-1

2020統計.問 1.2

.

� �生活の中の統計技術演習問題 No.1 略解� �

解 1-1 内容の正しい記述は (イ)と (エ)。

(ア) A市の最高気温の中央値は 12℃。

(イ) A市と B市の最高気温の最大値はともに 26℃。

(ウ) B市については Q1 = 16℃なので，最高気温が 16℃以下の日が 30日の 1/4，すなわち 7日ある。従って

最高気温が 15℃を下回る日は 7日以下。

(エ) A市の最高気温の中央値が 12℃なので，最高気温が 12℃以上の日が 30日の 1/2,すなわち 15日ある。従っ

て最高気温が 10℃を超えた日は 15日以上あることになる。

2020統計.問 2.1


ヒストグラムと箱ひげ図

★★★★ レポート課題２ (オンライン入力) ★★★★

出題：10月 05日 (月)，提出期限：10月 10日 (土)

配点：小問各 3点� �問題 2-1 図 2-1 のヒストグラムの表すデータについて以下の問に答えなさい。ただし，ヒストグラムのある階

級 (例えば 4以上 6未満)に入るデータの値はすべてその階級の階級値 (上の例では 5)をとると考える。

(1) 図 2-1（b）のヒストグラムの表すデータについて，四分位数 Q1，Q2，Q3 を求めなさい。

(2) 図 2-1（c）のヒストグラムの表すデータについて，四分位数 Q1，Q2，Q3 を求めなさい。

20

15

5

02

10

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

図 2-1 　 (a)

20

15

5

02

10

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

図 2-1 　 (b)

20

15

5

02

10

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

図 2-1 　 (c)

20

15

5

02

10

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

図 2-1 　 (d)

問題 2-2 図 2-2 の箱ひげ図について以下の問に答えなさい。ただし図 2-2の箱ひげ図は外れ値を考慮していない。

(1) (ウ)の箱ひげ図のヒストグラムとして正しいものを図 2-1の (a)∼ (d)から一つ選びなさい。

(2) (エ)の箱ひげ図のヒストグラムとして正しいものを図 2-1の (a)∼ (d)から一つ選びなさい。

0 4 8 12 16 20 24 28

( )

( )

( )

( )

図 2-2

2020統計.問 2.2


データを小さい順に x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x48 とすると，

最小値 = x1 , Q1 =x12 + x13

2, Q2 =

x24 + x252

, Q3 =x36 + x37

2, 最大値 = x48 (p2.1)

となる。従って，図 2-1のそれぞれのヒストグラムについて

(a) 4 ≤最小値 ≤ Q1 < 6 , 6 ≤ Q2 < 8 , 8 ≤ Q3 < 10 , 18 ≤最大値 < 20 , (p2.2)

(b) 4 ≤最小値 < 6 , 8 ≤ Q1 ≤ Q2 < 10 , 12 ≤ Q3 < 14 , 24 ≤最大値 < 26 , (p2.3)

(c) 0 ≤最小値 < 2 , 2 ≤ Q1 ≤ 4 , 4 ≤ Q2 < 6 , 6 ≤ Q3 < 8 , 26 ≤最大値 < 28 , (p2.4)

(d) 2 ≤最小値 < 4 , 4 ≤ Q1 ≤ 6 , 6 ≤ Q2 < 8 , 8 ≤ Q3 < 10 , 18 ≤最大値 < 20 (p2.5)

となる。

解 2-1 この問題ではヒストグラムのある階級に入るデータの値はすべてその階級の階級値をとると考えので，(b)

と (c)のヒストグラムの四分位数は以下となる：

(1) (b)のヒストグラムの四分位数は

Q1 = 9 , Q2 = 9 , Q3 = 13 . (p2.6)

(2) (c)のヒストグラムの四分位数は

Q1 = 3 , Q2 = 5 , Q3 = 7 . (p2.7)

解 2-2 箱ひげ図より，最小値，最大値，四分位数を読みとると，

(ウ)の場合は

最小値 ∼ 3 , 5 < Q1 < 6 , 6 < Q2 < 7 , Q3 ∼ 9 , 19

2020統計.問 3.1


平均値と標準偏差

★★★★ レポート課題３ (オンライン入力) ★★★★

出題：10月 12日 (月)，提出期限：10月 17日 (土)

配点：小問各 3点� �

0

1

2

3

4

5

10 12 14 16 18 20 228 24

図 3-1

問題 3-1 図 3-1のヒストグラムが表すデータについて，以下の問に答えなさい。ただし，ヒストグラムのある階

級 (例えば 10以上 12未満)に入るデータの値はすべてその階級の階級値 (上の例では 11)をとると考える。

(1) 階級値を用いて平均値 m を求めなさい。

(2) 階級値を用いて標準偏差を計算する式として適切なものを，次の (ア)∼(ク)から一つ選びなさい。ただし，式中の m はデータの平均値とする。また，|x|は xの絶対値を表す。

(ア)

√|11−m|+ |13−m|+ |15−m|+ |17−m| × 3 + |19−m| × 3 + |21−m|

6

(イ)

√|11−m|+ |13−m|+ |15−m|+ |17−m| × 3 + |19−m| × 3 + |21−m|

10

(ウ)

√|11−m|+ |13−m|+ |15−m|+ |17−m|+ |19−m|+ |21−m|

6

(エ)

√|11−m|+ |13−m|+ |15−m|+ |17−m|+ |19−m|+ |21−m|

10

(オ)

√(11−m)2 + (13−m)2 + (15−m)2 + (17−m)2 × 3 + (19−m)2 × 3 + (21−m)2

6

(カ)

√(11−m)2 + (13−m)2 + (15−m)2 + (17−m)2 × 3 + (19−m)2 × 3 + (21−m)2

10

(キ)

√(11−m)2 + (13−m)2 + (15−m)2 + (17−m)2 + (19−m)2 + (21−m)2

6

(ク)

√(11−m)2 + (13−m)2 + (15−m)2 + (17−m)2 + (19−m)2 + (21−m)2

10

2020統計.問 3.2


解 3-1 図 3-1のヒストグラムに対応する度数分布表は以下のようになる。

階級階級値度数

8 以上 10 未満 9 0

10 以上 12 未満 11 1

12 以上 14 未満 13 1

14 以上 16 未満 15 1

16 以上 18 未満 17 3

18 以上 20 未満 19 3

20 以上 22 未満 21 1

22 以上 24 未満 23 0

合計 10

表 3-1

(1) 平均値は

m =11× 1 + 13× 1 + 15× 1 + 17× 3 + 19× 3 + 21× 1

10=

168

10= 16.8 . (p3.1)

有効数字が 2桁と考えてm = 17としても正解です。

(2) 標準偏差を計算する式として適切なものは (カ)。

2020統計.問 4.1


標準得点と偏差値

★★★★ レポート課題４ (オンライン入力) ★★★★

出題：10月 19日 (月)，提出期限：10月 24日 (土)

配点：小問各 3点� �問題 4-1 あるデータの集まりの平均値が 26，標準偏差が 6であった。値が 11のデータの標準得点と偏差値を求

めなさい。

問題 4-2 あるクラスのテストの標準偏差が 5点であった。テストの点数が 70点のAさんの偏差値は 70であった。

(1) このテストの平均値は何点であったか求めなさい。

(2) 偏差値が 40の Bさんのテストの点数を求めなさい。

2020統計.問 4.2


解 4-1 配布資料の (17.1)と (17.2)より

標準得点 =11− 26

6= −5

2= −2.5 , (p4.1)

偏差値 = −2.5× 10 + 50 = 25 (p4.2)

となる。

解 4-2 平均値をm，標準偏差を sとすると，データの値が xi の偏差値は

偏差値 =xi −m

s× 10 + 50 (p4.3)

となる。

(1) xi = 70，s = 5を (p4.3)に代入して

70 =70−m

5× 10 + 50 (p4.4)

より，平均値は 60点であることがわかる。

あるいは図 4-1より，偏差値 70に対応するデータの値，m + 2s = m + 10，が 70となることからm = 60

になると考えてもよい。

(2) Bさんの得点を xB とすると (p4.3)より

40 =xB − 60

5× 10 + 50 (p4.5)

なので，Bさんの得点は 55点となる。

X

m m s+ 2m s+ 3m s+3m s− 2m s− m s−

X mZ

s

−=

×60 70 8003020

図 4-1 mは平均値，sは標準偏差。

2020統計.問 5.1


単位を変更した場合の統計量の値の変化

★★★★ レポート課題５ (オンライン入力) ★★★★

出題：10月 26日 (月)，提出期限：10月 31日 (土)

配点：小問各 3点� �問題 5-1 あるクラスの身長をセンチメートルで測ったデータを X = {x1, x2, · · · , xN}，体重をキログラムの単位で測ったデータを Y = {y1, y2, · · · , yN}とする。X の平均値と標準偏差をmX と sX，Y の平均値と標準偏差をmY と sY とする。また，2変量データ (X,Y ) = {(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xN , yN )} の共分散を C，相関係数をrとする。

身長のデータの単位をセンチメートルからメートルに変更 (1メートル=100センチメートル)，体重のデータを

キログラムからグラムに変更する (1キログラム=1000グラム)。つまり，データの数値は

xi → 0.01× xi , yi → 1000× yi , (p5.1)

と変わる。このとき，以下の統計量の値が何倍になるかを答えなさい。ただしmX ,mY , sX , sY , C, rの値は全て 0

ではないとする。また，値が変化しない場合は「値は 1倍になる」あるいは「値は変化しない」と答えてください。

(1) mX とmY の値はそれぞれ何倍になるかを答えなさい。

(2) sX と sY の値はそれぞれ何倍になるかを答えなさい。

(3) C と rの値はそれぞれ何倍になるかを答えなさい。

2020統計.問 5.2


解 5-1 X のデータを α倍したデータをX ′，Y のデータを β倍したデータを Y ′とすると，統計量は以下のよう

に変化する：

mX′ = α mX , mY ′ = β mX , sX′ = |α| SX , sY ′ = |β| SY . (p5.2)

また，X ′ と Y ′ の共分散 C ′ と相関係数 r′ は

C ′ = αβ C , r′ =αβ

|αβ|r (p5.3)

となる。特に，α > 0 , β > 0の場合は，r′ = rとなり相関係数の値は変化しない。

この問題の場合，α = 0.01，β = 1000なので，答えは以下となる：

(1) mX の値は 0.01倍，mY の値は 1000倍の値になる。

(2) sX の値は 0.01倍，sY の値は 1000倍になる。

(3) C の値は 10倍になる。rの値は変化しない (1倍になる)。

2020統計.問 6.1


相関係数と回帰直線

★★★★ レポート課題６ (オンライン入力) ★★★★

出題：11月 02日 (月)，提出期限：11月 07日 (土)

配点：小問各 3点� �問題 6-1 (2017年 6月統計検定 2級の問 4を変更して一部使用)

1991年から 2015年までの各年における日本のコーヒー小売価格を Y (縦軸)，各年についてその前年の世界のコー

ヒー生産量をX(横軸)とした散布図を考える。

(1) Y のX への回帰直線を実線として散布図に書き加えたグラフとして最も適切なものを，図 6-1の (a)∼(d)から一つ選びなさい。

(2) 価格と生産量の間の相関係数の値として次の (ア)∼(オ)のうちから最も適切なものを一つ選びなさい。

(ア) − 0.994 (イ) − 0.794 (ウ) 0.094 (エ) 0.794 (オ) 0.994

生産量

価格

生産量

価格

(a) (b)

生産量

価格

生産量

価格

(c) (d)

図 6-1 (2017年 6月統計検定 2級問 4より一部省略して転写)

2020統計.問 6.2


解 6-1

(1) 最も適切なグラフは (d)。

点の集まりの中央を通る直線を選ぶ。(a)，(c)は下過ぎる。(b)は上過ぎる。

(2) 相関係数の値として最も適切なものは (イ)。

生産量が多いほど価格が低いという傾向があるので，相関係数の値は負になる。-0.994 はほとんど直線上に

データがならんでいる状況に対応するので，選択肢の中では-0.794が適切と考えられる。

2020統計.問 7.1


相関係数と偏相関係数

★★★★ レポート課題７ (オンライン入力) ★★★★

出題：11月 09日 (月)，提出期限：11月 14日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 7-1 (2019年 6月統計検定 2級の問 4を変更して一部使用)

世帯人員 (人) 持家率 (％) 勤め先収入 (万円/月)

2 75.1 41.3

3 77.3 49.0

4 83.7 54.0

5 82.9 55.6

6 以上 84.8 52.1

表 7.1 資料：総務省「家計調査」

世帯人員と持家率の相関係数は 0.91，勤め先収入の影響を除去した世帯人員と持家率の偏相関係数は 0.79と計

算された。ここで，「6以上」という世帯数については，平均値として与えられている 6.36を用いた。

(1) この相関係数と偏相関係数に関する次の記述のうちから最も適切なものを一つ選びなさい。

(a) 相関係数が 0.91とういことから，世帯人員と持家率に，近似的に傾きが正の直線の関係があると考え

られる。

(b) 偏相関係数は，非線形関係 (直線でない関係)を捉えるものである。偏相関係数が 0.79ということは，

世帯人員と持家率に非線形関係が存在する可能性を示唆する。

(c) 一般的に，相関係数が正なら偏相関係数は負になるという法則性がある。相関係数も偏相関係数も正と

いう今回の計算結果から，世帯人員と持家率には全く関係のないことがわかる。

(2) この相関係数と偏相関係数を比較したときの解釈に関する次の記述のうちから最も適切なものを一つ選びな

さい。

(ア) 相関係数が 0.91で偏相関係数が 0.79とうことは，収入の水準が上昇すると，世帯人員と持家率の相

関が 0.79から 0.91に増加することを示している。世帯人員と持家率の相関は高収入の世帯ほど高いと

考えられる。

(イ) 相関係数が 0.91で偏相関係数が 0.79とうことは，収入の水準が変動すると，世帯人員と持家率の相

関が 0.79から 0.91の間で変動することを示している。世帯人員と持家率の相関はやや不安定だと考え

られる。

(ウ) 相関係数が 0.91で偏相関係数が 0.79とうことは，収入の影響を取り除くと，世帯人員と持家率の相

関が 0.91から 0.79に減少することを示している。世帯人員と持家率の相関には，収入を共通の要因と

する見かけ上の相関 (擬相関)による部分が含まれていると考えられる。

2020統計.問 7.2


解 7-1

(1) 最も適切な記述は (a)。

(2) 最も適切な記述は (ウ)。

2020統計.問 8.1


離散的な値をとる確率変数：母平均と母分散

★★★★ レポート課題８ (オンライン入力) ★★★★

出題：11月 16日 (月)，提出期限：11月 21日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 8-1 離散的な値，{9 , 15 , 21}，をとる確率変数 X の確率が下の表に与えられている：

X の値 9 15 21

確率1

6

1

6

2

3

(1) この確率変数 X の母平均 µ を求めなさい。

(2) この確率変数 X の母分散 σ2 を求めなさい。

2020統計.問 8.2


解 8-1

(1) (33.3)より，

µ = 9× 16+ 15× 1

6+ 21× 2

3= 18 . (p8.1)

(2) (33.4)より，

σ2 = (9− 18)2 × 16+ (15− 18)2 × 1

6+ (21− 18)2 × 2

3= 21 . (p8.2)

なお，

E(X2) = 92 × 16+ (15)2 × 1

6+ (21)2 × 2

3= 345 (p8.3)

なので，確かに

E(X2)− µ2 = 345− (18)2 = 345− 324 = 21 = σ2 (p8.4)

となっている。

2020統計.問 9.1


離散的な値をとる確率変数：結合確率と条件付き確率

★★★★ レポート課題９ (オンライン入力) ★★★★

出題：11月 23日 (月)，提出期限：11月 28日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 9-1 何枚かのカードのはいった袋から，無作為にカードを引く。離散型確率変数 X と Y の値を X =

カードの数字，Y = 0(赤札)，1(黒札) とする。赤札がでる確率は2

5, 黒札がでる確率は

3

5である：

Pr(Y = 0) =2

5, Pr(Y = 1) =

3

5. (p9.1)

また，赤札がでるという条件のもとで 10 の札が出る条件付き確率は1

5，黒札がでるという条件のもとで 10 の札

が出る条件付き確率は1

15である：

Pr(X = 10|Y = 0) = 15, Pr(X = 10|Y = 1) = 1

15. (p9.2)

このとき，次の確率を求めなさい：

(1) 赤の 10 がでる確率，Pr(X = 10, Y = 0)。

(2) 赤でも黒でもいいから 10 がでる確率，Pr(X = 10) 。

2020統計.問 9.2


解 9-1

(1) (36.3)より，

Pr(X = 10, Y = 0) = Pr(X = 10|Y = 0)Pr(Y = 0) = 15× 2

5=

2

25. (p9.3)

(2) 同様に (36.3)より，

Pr(X = 10, Y = 1) = Pr(X = 10|Y = 1)Pr(Y = 1) = 115

× 35=

1

25(p9.4)

なので，

Pr(X = 10) = Pr(X = 10, Y = 0) + Pr(X = 10, Y = 1) =2

25+

1

25=

3

25. (p9.5)

2020統計.問 10.1


離散的な値をとる確率変数：ベイズの定理

★★★★ レポート課題１０ (オンライン入力) ★★★★

出題：11月 30日 (月)，提出期限：12月 05日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 10-1 2015年度統計検定 2級問 9を一部変更

メールの本文に含まれる文字情報から迷惑メールを判別したい。これまでの調査では無作為に選んだメールの

80パーセントが通常のメールで，20パーセントが迷惑メールであることが分かっている。また，ある語句 Sを通

常のメールが含む確率は 0.1だが，迷惑メールの場合はその確率が 0.7となる。

確率変数 X と Y を考え，メールが迷惑メールである (ない)場合をX = 1 (X = 0)とし，語句 S がメールに

含まれる (含まれない)場合を Y = 1 (Y = 0)とする。

(1) 次の確率の値を書きなさい：

(a) Pr(X = 1)， (b) Pr(X = 0)。

(2) 次の条件付き確率の値を書きなさい：

(c) Pr(Y = 1|X = 1)， (d) Pr(Y = 1|X = 0)。

(3) 無作為に選んだメールがこの語句 Sを含んでいるとき，このメールが迷惑メールである確率，

Pr(X = 1|Y = 1) を求めなさい。

2020統計.問 10.2


解 10-1 【問 37】と同様。

(1)

(a) Pr(X = 1) = 0.2 , (b) Pr(X = 0) = 1− 0.2 = 0.8 . (p10.1)

(2)

(c) Pr(Y = 1|X = 1)) = 0.7 , (d) Pr(Y = 1|X = 0)) = 0.1 . (p10.2)

尚，上記以外の条件付き確率は以下となる：

Pr(Y = 0|X = 1) = 1− Pr(Y = 1|X = 1) = 1− 0.7 = 0.3 , (p10.3)

Pr(Y = 0|X = 0) = 1− Pr(Y = 1|X = 0) = 1− 0.1 = 0.9 . (p10.4)

(3)

Pr(X = 1|Y = 1) = Pr(X = 1, Y = 1)Pr(Y = 1)

=Pr(Y = 1|X = 1)Pr(X = 1)

Pr(X = 1, Y = 1) + Pr(X = 0, Y = 1)

=Pr(Y = 1|X = 1)Pr(X = 1)

Pr(Y = 1|X = 1)Pr(X = 1) + Pr(Y = 1|X = 0)Pr(X = 0)

=0.7× 0.2

0.7× 0.2 + 0.1× (1− 0.2)=

0.7× 0.20.7× 0.2 + 0.1× 0.8

=7× 2

7× 2 + 1× 8=

14

22=

7

11≈ 0.64 (p10.5)

となる。

2020統計.問 11.1


連続的な値をとる確率変数：確率密度関数

★★★★ レポート課題１１ (オンライン入力) ★★★★

出題：12月 07日 (月)，提出期限：12月 12日 (土)

配点：小問各 4点� �

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

( )p x

x

図 11-1

問題 11-1 図 11-1に示す確率密度関数 p(x) に従う連続な値をとる確率変数 X を考える。

(1) 1.5 ≤ X となる確率を求めなさい。

(2) 1.0 ≤ X < 1.5となる確率を求めなさい。

2020統計.問 11.2


0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

( )p x

x

A

B

CDE

図 11-2

解 11-2 【問 39】と同様。

(1) 1.5 ≤ X となる確率は図 11-2の三角形 BCDの面積となる：

Pr(1.5 ≤ X) = 0.5× 0.5× 12=

1

8(= 0.125) . (p11.1)

(2) 1.0 ≤ X < 1.5となる確率は図 11-2の台形 ABDEの面積となる：

Pr(1.0 ≤ X < 1.5) = (0.5 + 1.0)× 0.5× 12=

3

8(= 0.375) . (p11.2)

三角形 ACEの面積から三角形 BCDの面積を引いてもよい：

Pr(1.0 ≤ X < 1.5) = 12− 1

8=

3

8. (p11.3)

2020統計.問 12.1


正規分布に従う独立な確率変数の和

★★★★ レポート課題１２ (オンライン入力) ★★★★

出題：12月 14日 (月)，提出期限：12月 19日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 12-1 2011年度統計検定 2級問 15を一部変更

あるエレベーターの最大許容重量は 600kgである。成人男性の体重が母平均 70kg，母分散 64 kg2 の正規分布に

従うとした場合，成人男性 9人グループの合計体重が 600kg 以上となり全員が同じエレベーターに乗れない確率

を以下の手順で求めよう。

(1) 成人男性 9人グループの合計体重 S は，グループのそれぞれの体重が独立とすると，母平均 µ，母分散 σ2

の正規分布N(µ , σ2)に従う。µと σ2 の値を求めなさい。

(2) 全員が同じエレベーターに乗れない確率 P は以下の積分で表される：

P =

∫ ∞a

1√2π

e−z2/2 dz . (p12.1)

aの値を求めなさい。

(3) p.41の数表 41-1などを用いて P の値を求めなさい。

2020統計.問 12.2


解 12-1 【問 41-1】【問 41-2】を参照。

(1) (35.8)と (35.10)より

µ = 9× 70 = 630 kg , σ2 = 9× 64 = 576 kg2 = 242 kg2 . (p12.2)

(2) (p12.2)より S に対する標準得点は

Z =S − µσ

=S − 6303× 8

(p12.3)

なので，

P = Pr(600 ≤ S) = Pr(600− 630

3× 8≤ Z

)= Pr

(−54≤ Z

)= Pr(−1.25 ≤ Z)

=

∫ ∞−1.25

1√2π

e−z2/2 dz (p12.4)

となる。従って

a = −1.25 . (p12.5)

(3)

P =

∫ ∞−1.25

1√2π

e−z2/2 dz = Q(−1.25) (42.5)= 1−Q(1.25) 表 41−1= 1− 0.1056 = 0.8944 . (p12.6)

尚，Excelに用意された関数，NORM.S.DIST(z0,TRUE)，を用いて P を計算すると (42.8)より

Q(−1.25) = 1−NORM.S.DIST(−1.25,TRUE) = 0.89435 (p12.7)

となる。

2020統計.問 13.1


母比率の区間推定

★★★★ レポート課題１３ (オンライン入力) ★★★★


配点：小問各 4点� �問題 13-1 あるテレビ番組を視聴したかどうかを 900世帯に対して調査したところ視聴率は 20％であった。標

本数 900が十分に大きいと考えて以下の問いに答えなさい。

(1) 母集団の視聴率 p に対する信頼係数 0.95 = 95％の信頼区間は

A−B ×√

C(1− C)D

≤ p ≤ A+B ×√

C(1− C)D

(p13.1)

となる。A，B，C，D を求めなさい。

(2) 信頼係数を 0.99 = 99％としたときの，母集団の視聴率 p に対する信頼区間は

E − F ×√

G(1−G)H

≤ p ≤ E + F ×√

G(1−G)H

(p13.2)

となる。E，F，G，H を求めなさい。

(3)信頼係数 95％の信頼区間の幅を，調査世帯が 900の場合の信頼区間の幅の約半分にするために必要な調査世帯

数を答えなさい。ただし，調査世帯数が変化してもこの番組の視聴率の点推定値(この番組を見た世帯数

調査世帯数

)はあまり変わらないとする。

2020統計.問 13.2

.


解 13-1

(1) (49.1)で

p̂ = 0.2 , α = 0.05 , z(0, 05/2) = 1.96 , n = 900 (p13.3)

の場合なので

A = 0.2 , B = 1.96 , C = 0.2 , D = 900 (p13.4)

となる。数値を代入すると pの信頼係数 95％の信頼区間は近似的に

0.174 ≤ p ≤ 0.226 (p13.5)

となる。

なお，B,C,Dは B

√C(1− C)

Dという組み合わせで現れるので，(p13.4)以外でも B

√C(1− C)

Dが同じ

値になる場合 (例えば C = 0.8など)は正解です。

(2) (49.1)で

p̂ = 0.2 , α = 0.01 , z(0, 01/2) = 2.58 , n = 900 (p13.6)

の場合なので

E = 0.2 , F = 2.58 , G = 0.2 , H = 900 (p13.7)

となる。数値をを代入すると pの信頼係数 99％の信頼区間は近似的に

0.166 ≤ p ≤ 0.234 (p13.8)

となる。信頼係数 95％の信頼区間より区間の幅は大きくなる。

なお，F,G,H は F

√G(1−G)

Hという組み合わせで現れるので，(p13.7)以外でも F

√G(1−G)

Hが同じ

値になる場合は正解です。

(3)(49.1)より信頼区間の幅は

2z(α/2)

√p̂(1− p̂)

n(p13.9)

となる。標本数が 900の場合の信頼係数 95％の信頼区間の幅は 2× z(0.05/2)√

0.2(1− 0.2)900

，標本数が n

の場合の pの点推定値を p̂とすると，信頼区間の幅は 2× z(0.05/2)√

p̂(1− p̂)n

となるので，

2× z(0.05/2)√

p̂(1− p̂)n

=1

2× 2× z(0.05/2)

√0.2(1− 0.2)

900(p13.10)

を満たす n を求めればよい：

n = 4× 900× p̂(1− p̂)0.2(1− 0.2)

. (p13.11)

p̂の値が標本数によってあまり変わらないとして，p̂ = 0.2とすると，n = 4× 900 = 3600となる。つまり信頼区間の幅を 1/2にするには，調査世帯数 (標本数)を 22 = 4倍の 3600世帯にする必要がある。

なお，点推定値 p̂の値があまり変わらないと仮定できない場合は，(p13.11)で p̂(1− p̂)を，そのとり得る最大値 1/4に置き換えた標本数

n = 4× 900× 14× 1

0.2(1− 0.2)= 5625 ≈ 5600 (p13.12)

とするのが適当である。

2020統計.問 14.1

� �生活の中の統計技術演習問題No.13 No.14

正規母集団の母平均の区間推定

★★★★ レポート課題１４ (オンライン入力) ★★★★

出題：12月 23日 (水)，提出期限：1月 16日 (土)

配点：小問各 4点� �問題 14-1 配布資料 p.11の【問 11】のデータ，

{9, 10, 10, 12, 14} (p14.1)

について以下の問いに答えなさい。

(1) (p14.1)の 5個のデータの不偏標本分散 s2 を求めなさい。

(2) (p14.1)の 5個のデータが正規母集団からの標本であると考えて，母平均 µの信頼係数 95％の信頼区間を以

下のように表すとき，Aと B を求めなさい：

11−A×√

s2

B≤ µ ≤ 11 +A×

√s2

B. (p14.2)

ここで，s2 は (p14.1)の不偏標本分散を表す。

(3) (p14.1)の 5個のデータが正規母集団からの標本であると考えて，母平均 µの信頼係数 99％の信頼区間を計

算すると，区間の幅は (2)の信頼係数 95％の信頼区間の幅の x倍となった。xを求めなさい。(xは分数で

も小数でも，どちらで表しても構いません。)

2020統計.問 14.2


解 14-1

(1) 標本平均は

x̄ =9 + 10 + 10 + 12 + 14

5= 10 +

−1 + 2 + 45

= 10 +5

5= 11 (p14.3)

となる。不偏標本分散は (53.4)より以下となる：

s2 =(9− 11)2 + (10− 11)2 + (10− 11)2 + (12− 11)2 + (14− 11)2

5− 1=

4 + 1 + 1 + 1 + 9

4=

16

4= 4 . (p14.4)

(2) (53.6)で

α = 0.05 , n = 5 (p14.5)

の場合なので以下となる：

A = t0.05/2(5− 1) = t0.025(4) = 2.776 , B = 5 . (p14.6)

なお，A,B はA√Bという組み合わせで現れるので，(p14.6)以外でも

A√Bが同じ値になる場合は正解

です。

(3) (53.6)より信頼区間の幅は

2tα/2(n− 1)√

s2

n(p14.7)

となる。従って信頼係数 95％の信頼区間の幅，∆95 は n = 5と s2 = 4として

∆95 = 2t0.05/2(n− 1)√

s2

n(p14.8)

となる。一方，信頼係数 99％の信頼区間の幅は∆0.01 は

∆99 = 2t0.01/2(n− 1)√

s2

n(p14.9)

となる。従って，

x =∆99∆95

=t0.005(4)

t0.025(4)=

4.604

2.776=

4604

2776=

1151

694= 1.6585 (p14.10)

となる。

2020統計.問 15.1


適合度の検定

★★★★ レポート課題１５ (オンライン入力) ★★★★


配点：小問各 4点� �問題 15-1 1等のくじが確率 1/6，2等のくじが確率 1/3，はずれが確率 1/2 で出るはずの「くじ発券機」を 240

回動かしたところ，以下の結果となった：

くじ 1等 2等はずれ合計

出た回数 50 60 130 240

標本数 240 が十分に大きいと考えて，1等，2等，はずれが予定した通りの確率で出ているかどうか，を有意水準

αで検定する：

(1) 帰無仮説を,

H0 : 1等，2等，はずれがそれぞれ確率 1/6，1/3，1/2で出る (p15.1)

として，ピアソンの適合度基準 χ2 の値を求めなさい。

(2) この標本が仮定された確率分布に適合するかどうかを, 有意水準 α = 0.05で，適合度のカイ二乗検定を行っ

て判定しなさい。解答は，「不等式 χ2 >〇〇 (あるいは χ2 ≤〇〇) より，有意水準５％で帰無仮説H0 は棄却される (あるいは棄却されない)。」という形で書いてください。

(3) この標本が仮定された確率分布に適合するかどうかを, 有意水準 α = 0.01で，適合度のカイ二乗検定を行っ

て判定しなさい。解答は，「不等式 χ2 >〇〇 (あるいは χ2 ≤〇〇) より，有意水準１％で帰無仮説H0 は棄却される (あるいは棄却されない)。」という形で書いてください。

2020統計.問 15.2


解 15-1

仮定された確率分布から予想される理論度数を表に加えると以下のようになる：

くじ 1等 2等はずれ合計

出た回数 50 60 130 240

理論確率1

6

1

3

1

21

理論度数 40 80 120 240

(1) (54.1)よりピアソンの適合度基準は以下となる：

χ2 =(50− 40)2

40+

(60− 80)2

80+

(130− 120)2

120=

25

3≈ 8.3 . (p15.2)

(2) (54.3)で k = 3，α = 0.05の場合なので，表 5-1より

χ20.05(2) = 5.991 < χ2 . (p15.3)

従って，「不等式 (p15.3)より，有意水準５％で帰無仮説H0，“1等，2等，はずれ，がそれぞれ確率 1/6，1/3，

1/2で出る” は棄却される」。すまわち，このくじ発券機は予定した確率でくじを発券していないと結論で

きる。

(3) (54.3)で k = 3，α = 0.01の場合なので，表 5-1より

χ2 ≤ χ20.01(2) = 9.210 . (p15.4)

従って，「不等式 (p15.4)より，有意水準１％で帰無仮説H0，“1等，2等，はずれ，がそれぞれ確率 1/6，1/3，

1/2で出る” は棄却されない」。すまわち，このくじ発券機は予定した確率でくじを発券していないとは結論

できない。

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