205.введение в цифровую обработку сигналов и изображений критерии качества изображений и погрешности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНА-ЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ:

КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПОГРЕШНОСТИ ИХ ДИСКРЕТНОГО

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

С А М А Р А Издательство СГАУ

2006

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 004.932, 519.7 ББК 22.343 В241

Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэро-космических и геоинформационных технологий”

ПРИО

РИТЕТНЫЕ

Н

АЦИ ОНА Л ЬНЫ

Е ПРОЕКТЫ

Авторы: В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов, В.В. Мясников, А.В. Чернов

Рецензенты: д-p физ.-мат. наук, проф. А. И. Ж д а н о в, д-p техн. наук, проф. В. Г. К а р т а ш е в с к и й

В241 Введение в цифровую обработку сигналов и изображений: критерии качества изображений и погрешности их дискретного представ-ления: учеб. пособие / [В.А. Сойфер и др.]. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. – 36 с. : ил. ISBN 5-7883-04-93-8

При обработке и анализе изображений всегда приходится задаваться вопросом об

их качестве. Качество столь сложного объекта как изображение является очень важ-ным, но одновременно и довольно нечетким понятием. Оно оценивается разными способами и в связи с различными задачами. В учебном пособии представлены наи-более часто используемые показатели качества изображений, рассматриваются вопро-сы оценки погрешности дискретного представления изображений.

Предназначено для подготовки студентов по направлениям (специальностям) «Прикладная математика и информатика» 010500, 010501, «Прикладные математика и физика» 010600, «Биотехнические и медицинские аппараты и системы» 200401.

УДК 004.932, 519.7 ББК 22.343

ISBN 5-7883-04-93-8 © В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов, В.В. Мясников, А.В. Чернов, 2006

© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2006

2


ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Критерии качества изображений.......................................................................4 1.1. Критерий визуального восприятия ........................................................4 1.2. Среднеквадратичный критерий .............................................................5 1.3. Критерий максимальной ошибки (равномерного приближения) ......6 1.4. Вероятностно-зональный критерий.......................................................7 1.5. Критерий пространственного разрешения............................................8

2. Погрешности дискретного представления изображений .............................13 2.1. Оценка погрешностей квантования параметра по уровню...............14 2.2. Восстановление непрерывных изображений по их дискретному

представлению .....................................................................................17 2.3. Оценка среднеквадратичной погрешности дискретизации ...............22 2.4. Оценка максимальной погрешности дискретизации .........................30 2.5. Общая погрешность цифрового представления изображений.........34

Список литературы...............................................................................................37

3


1. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ При обработке и анализе изображений всегда приходится задаваться во-

просом об их качестве. Качество столь сложного объекта как изображение яв-ляется очень важным, но одновременно и довольно нечетким понятием. Оно оценивается разными способами и в связи с различными задачами.

Иногда качество рассматривается как характеристика самого изображения и определяется его собственными свойствами (статистическими, структурны-ми, семантическими). Соответствующие критерии либо являются субъектив-ными, либо опираются на объективные характеристики изображения: форму и параметры распределения яркости, ширину пространственного спектра и т.п. Такой безотносительный критерий имеет довольно ограниченное применение и почти нигде не используется.

При другом подходе качество рассматривается как мера близости двух изображений: реального и некоторого идеального, или исходного и преобра-зованного. Такой подход более конструктивен, он позволяет оценивать коли-чественные изменения значений яркости, уровень искажений изображений при их преобразованиях (фильтрации, сжатии данных и т.д.), то есть, по су-ществу, качество самого средства преобразования – алгоритма или системы. Именно это очень важно при построении алгоритмов и систем обработки изо-бражений и оценке качества алгоритмов.

Рассмотрим наиболее часто используемые показатели качества изображе-ний.

1.1. Критерий визуального восприятия

Он базируется на результатах экспертизы. Обычная процедура оценки ка-чества заключается в предъявлении набора пар изображений (анализируемые и идеальные) экспертам-наблюдателям, которые высказывают суждения на уровне: «искажения незаметны», «заметны, но не ухудшают», «ухудшают, но не мешают», «немного мешают» и т.п. Индивидуальные оценки обраба-

4


тываются и усредняются. Существуют специальные приемы, исключающие «привыкание» экспертов в процессе экспериментов, их пристрастия к конкрет-ным сюжетам и т.д.

Проведение подобной экспертизы – всегда сложная задача, и ее результа-ты весьма приблизительны. Для специальных изображений (которые, напри-мер, получаются при дистанционном зондировании) эксперты должны быть специалистами по решению соответствующих прикладных задач анализа ви-деоинформации.

Но главный недостаток субъективного критерия – отсутствие количест-венных оценок. Он не позволяет решать задачи оптимизации систем обработ-ки изображений в пространстве непрерывно изменяющихся параметров. Здесь возможен только перебор вариантов и то не очень большой.

Желательно, чтобы критерий имел простую аналитическую форму и про-сто вычислялся по предъявляемым изображениям. Этому требованию удовле-творяет ряд критериев, рассматриваемых ниже.

1.2. Среднеквадратичный критерий

Пусть изображения 1 2( , )f n n и 1 2( , )g n n описываются моделями однород-ных случайных полей. Мерой соответствия реального изображения идеально-му может служить среднее значение квадрата их разности:

( ){ }22кв f gε = Ε −

– эта величина будет постоянной по всему полю аргументов, поэтому аргу-менты (одинаковые для f, g) для краткости не указываем.

Если математические ожидания f и g равны, то разность имеет нулевое среднее и величина 2

квε приобретает смысл дисперсии разности (а значение

- среднеквадратичного отклонения g от f ) двух изображений. квε

Для стационарной модели обычно считается выполненным условие эрго-дичности, при котором усреднение по ансамблю реализаций может быть за-

5


менено на усреднение по одной реализации. Тогда для непрерывных изобра-жений, заданных при 1 1 2, 2x L x L< < , имеем

( ) ( )1 2

1 2

2 21 2 1 2 1 2

1 2

1 , , d4

L L

квL L

df x x g x x x xL L − −

⎡ε ≈ −⎣∫ ∫ ⎤⎦

1

, (1)

а для дискретных, заданных при 1 1 2 20 1, 0n N n N≤ ≤ − ≤ ≤ − :

( ) ( )1 2

1 2

1 122

1 2 1 20 01 2

1 , ,N N

квn n

f n n g n nN N

− −

= =

⎡ ⎤ε ≈ −⎣ ⎦∑ ∑ . (2)

Заметим что в задачах сравнительного анализа вариантов и оптимизации постоянные коэффициенты в (1) и (2) могут быть отброшены.

Выражения (1) и (2) позволяют вычислять среднеквадратичную ошибку и для пары произвольных изображений, не обязательно описываемых стацио-нарными полями. Так часто и делается. Однако в этом случае следует иметь в виду, что показатель 2

квε будет характеризовать «среднее» качество изображения в целом, а на различных его фрагментах ошибки, в принципе, могут различаться.

Достоинство среднеквадратичного критерия - его простота. При его ис-пользовании многие задачи анализа и оптимизации алгоритмов обработки изображений легко решаются аналитически. Поэтому он очень часто приме-няется.

При обработке изображений следует учитывать, что данный критерий плохо согласуется с критерием субъективного восприятия.

1.3. Критерий максимальной ошибки (равномерного приближения)

В непрерывном случае

1 21 2 1 2( , )

max ( , ) ( , )max x xf x x g x xε = − (3)

и в дискретном

1 21 2 1 2( , )

max ( , ) ( , )max n nf n n g n nε = − . (4)

6


Это очень строгий критерий. Он используется в тех случаях, когда выдви-гается требование высокой точности представления не изображения в целом, а каждой его точки (отсчета). Это необходимо в ответственных случаях, при получении ценных, уникальных изображений.

Однако данный показатель имеет серьезный недостаток – сложность тео-ретической оценки и, соответственно, использования его в процедурах оптимизации (по крайней мере для общепринятых моделей изо-бражения).

1.4. Вероятностно-зональный критерий

Этот критерий является модификацией (и обобщением) предыдущего. В случае использования критерия максимальной ошибки считается, что все зна-чения разностного сигнала (текущей ошибки) f gε = −

лежат в диапазоне [ ]max max,− ε ε , то есть распределение вероятностей для

имеет вид, например, показанный на рис. 1.

ε

Однако на практике во многих слу-чаях это не выполняется. Простейшим примером является ситуация, когда изо-бражение искажено аддитивным гаус-совским шумом:

Рис. 1. Пример распределения

вероятностей разностного сигнала g f v= + ,

имеющим плотность распределения шума, которая нигде не обращается в ноль (см. рис. 2):

( )21

2 212

v

vv

v

P v e σ− ⋅

=πσ

.

Разность f gε = − = −v имеет такое же распределение. Здесь можно оце-нить максимальную ошибку только с некоторой доверительной вероятностью p. Вероятностно-зональный критерий определяется парой чисел ( ),max pε .

7


Смысл этого критерия выражается формулой

( ) dmax

max

Pε

ε−ε

pε ε =∫ (5)

и иллюстрируется на рис. 3. Здесь, как и в предыдущем случае, часто возникают сложности при теоре-

тической оценке. Значение такого показателя качества получают эксперимен-тально, в результате анализа гистограммы распределения ошибки . ε

Рис. 2. Плотность распределения гауссовского шума

Рис. 3. Иллюстрация вероятностно-зонального критерия

1.5. Критерий пространственного разрешения

В ряду показателей качества изображения, особую роль играет показатель пространственного (линейного) разрешения или разрешающей способности. Этот критерий положен в основу стандартных методик определения качества изображений, получаемых фотографическими системами дистанционного зондирования. Обычный способ экспериментальной оценки значения этого показателя заключается в следующем. На вход системы подается тестовое изображение - мира, со-стоящая из набора штриховых объектов различных размеров. Здесь и ниже для определенности будем полагать, что каждый такой объект представляет собой «трехшпальную миру», т.е. имеет вид квадрата, составленного из пяти чередующихся полос постоянной яркости А, имеющих ширину l (см. рис. 4а). Изображение, прошедшее через информационный тракт, предъявляется на-

8


блюдателю (оператору-дешифровщику). Перед наблюдателем ставится задача указать самый малый объект с еще различимыми полосами (штрихами). Ми-нимальная ширина различимого штриха - и является искомым значением показателя линейного разрешения.

0l

а) б)

Рис. 4. Трёхшпальная квадратная мира

Однако при тестировании аппаратуры (при «апостериорной» оценке каче-ства изображений) возможности использования детерминированных тестовых полей яркости крайне ограничены. Кроме того, наличие человека-наблюдателя затрудняет проведение экспериментов и порождает субъективные ошибки оценивания. Очевидно, что совершенст-вование процедуры оценки качества изображений должно идти по пути фор-мализации показателя линейного разрешения (т.е. замены наблюдателя его математической моделью), а также выражения данного критерия через такие характеристики изображения и сквозного тракта, которые могут быть измерены по достаточно произволь-ным реальным яркостным полям.

Произведем формализацию показателя линейного разрешения примени-тельно к оптико-электронным системам формирования изображений с цифро-вым представлением данных. Пусть информационный тракт описывается ли-нейной моделью наблюдения двумерного сигнала с шумом:

9


( )

( ) ( ) (

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

,

, , d d

g x x

h f x x v x∞ ∞

−∞ −∞

=

= ζ ζ − ζ − ζ ζ ζ +∫ ∫ ), x (6)

и последующей равномерной дискретизацией сигнала по координатам: ( ) ( ) 1 1

2 21 2 1 2, , x nD

x ng n n g x x = Δ

= Δ= , (7)

где ( 1 2, )f x x - полезный непрерывный сигнал на входе сквозного видеоин-

формационного тракта (истинное поле яркости); ( )1 2,g x x - выходной иска-

женный сигнал, представленный в том же масштабе, что и поле на входе; ( )1 2,h ζ ζ - импульсная характеристика искажающей двумер-

ной непрерывной линейной системы с постоянными параметрами (ЛПП-системы); - аддитивный шум наблюдения, пространственно одно-

родное поле;

( 1 2,v x x )( )1 2,Dg x x - выходной сигнал после дискретизации; - шаг

равномерной дискретизации двумерного сигнала. И пусть в качестве входного сигнала используется тестовый объект, показанный на рис. 4а. Рассмотрим сечение поля яркости объекта вдоль оси

Δ

1x (в направлении, перпендикуляр-ном штрихам). Соответствующая этому сечению одномерная функция изо-бражена на рис. 4б. На этом рисунке введен параметр A - амплитуда яркостных им-пульсов («контраст» объекта). Периодически продолжив данную функцию на всю числовую ось (см. пунктир на рис. 4б ), разложим ее в ряд Фурье на пе-риоде, т.е. на интервале [-l, l]. Несложно показать, что основная, первая гар-моника этого разложения записывается в виде

( )1 1 12 sinAf x

lπ⎛= ⎜π ⎝ ⎠

x ⎞⎟ , (8)

т.е. имеет амплитуду

( )1

2f AA =π

(9)

10


и пространственную частоту (измеряемую в радианах на единицу длины)

1 lπ

Ω = . (10)

Частотная характеристика ЛПП-системы, определяемая как преобразова-ние Фурье от импульсной характеристики, задает значения коэффициента передачи пространственных гармоник двумерного входного сигнала при любых частотах 1 2,Ω Ω . Рассматриваемая гармоника (8) после прохождения сквозного тракта (ЛПП-системы) будет иметь в выходном сигнале (6) ампли-туду, равную уже не (9), а

( )1

2 ,0g AA Hlπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

. (11)

Теперь обратимся ко второму слагаемому в модели наблюдения (6). Шум наблюдения ( )1 2,v x x обычно является слабокоррелированным и после дис-

кретизации сигнала по правилу (7) его можно считать дискретным белым шу-мом (полем со статистически независимыми пикселями). Пусть vσ - средне-квадратичное отклонение отсчетов шума. Известно, что зрительный анализа-тор человека обладает способностью усреднять такой шум в пределах наблю-даемых штрихов постоянной яркости, если только эти штрихи не слишком вытянуты (отношение длины к ширине не превышает 9). Для рассматриваемо-го тестового объекта сформулированное требование выполняется. На каждом штрихе размещается приблизительно

2

2

5 5l l lN = ⋅ =Δ Δ Δ

(12)

независимых шумовых пикселов, поэтому «кажущееся» среднеквадратичное отклонение шума (после его субъективного усреднения) будет равно

15

vv vlN

σ Δσ = = σ% . (13)

Типичная частотная характеристика линейной модели сквозного тракта убывает (к нулю) с ростом частотных аргументов. Это означает, что при

11


уменьшении размеров объекта (параметра l) амплитуда (11) первой гармоники полезного сигнала на выходе тракта будет также уменьшаться. Одновременно, в соответствии с (13), будет наблюдаться рост кажущегося среднеквадратич-ного отклонения шума. Следовательно, с уменьшением ширины l штриха тестового объекта отношение «сигнал/шум»

( )1g

v

Ad =

σ% (14)

монотонно убывает и при ширине, равной значению искомого показателя ли-нейного разрешения ( )0l l= , достигает некоторого нижнего порогового зна-

чения

0l ld K= = , (15)

где K - безразмерный параметр (порог), зависящий от требуемого уровня ве-роятности ошибок различения штрихов и, как правило, выбираемый в диапа-зоне 2 < K < 5 . Из (15) с учетом (11), (13) и (14) получаем:

( )0

0

2 5 ,02 5 ,0

v v

Al Hl A H

d K

⎛ ⎞π⎜ ⎟ Ω⎝ ⎠= = =

πΔσ ΩΔσ , (16)

где в предпоследней записи введено обозначение для пространственной час-тоты, соответствующей значению показателя линейного разрешения:

0lπ

Ω = . (17)

Из (16) следует уравнение относительно неизвестной частоты : Ω

( ),0H QΩ = Ω , (18)

где

12 5

vQ KAσ

= Δ (19)

12


- параметр, совокупно характеризующий надежность различения штрихов (через величину K), шаг дискретизации ( )Δ и относительное превышение

контраста над шумом v

A⎛ ⎞⎜ ⎟σ⎝ ⎠

.

Формулы (17) - (19) позволяют определить величину показателя линейно-го разрешения расчетным путем, без привлечения наблюдателя и без использо-вания тестового изображения. При заданных значениях Δ и A для такого рас-чета необходимо знать уровень шума на изображении и сечение частотной характеристики искажающей ЛПП-системы. Используя несколько сечений частотной характеристики, можно найти значения рассматриваемого показа-теля по разным направлениям (при различных ориентациях штрихов на плос-кости изображения), что актуально в случае неизотропных искажений поля яркости.

2. ПОГРЕШНОСТИ ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Реальное "физическое" изображение является функцией непрерывных

пространственных координат – 1 2( , )f x x . В компьютере обрабатывается его

дискретный аналог, матрица 1 2( , )f n n – цифровое изображение. Оно лишь приближенно соответствует непрерывному. Несоответствие обусловлено по-грешностями, которые вносятся в данные в процессе преобразования в циф-ровую форму.

Все результаты цифровой обработки относятся именно к цифровому изо-бражению. Понятно, что такая обработка имеет смысл лишь в том случае, если цифровые изображения достаточно точно описывают пер-вичные, то есть погрешность цифрового представления мала. Надо уметь оце-нивать эту погрешность.

13


Такая оценка важна еще и потому, что позволяет определить потенциаль-ные возможности процедур цифровой обработки (фильтрации, кодирования и т.п.) с точки зрения точности.

Определим погрешность двух основных процедур преобразования изо-бражений в цифровую форму – дискретизации (по пространственным коор-динатам) и квантования (по уровню - яркости). При решении этих задач при-мем описание изображения моделью стационарного случайного поля. Начнем с квантования.

2.1. Оценка погрешностей квантования параметра по уровню

Пусть преобразуемая величина (параметр) f может принимать любые

значения из диапазона [ , ]min maxf f , который называется шкалой параметра. При представлении параметра в цифровой форме в пределах шкалы фик-

сируется (назначается) Q квантовых уровней: 0 1 ( 1), ,..., Qf f f − . Текущее (факти-

ческое) значение параметра отождествляется с одним из квантовых уровней и далее вместо значения параметра используется просто номер выбранного уровня, кодируемый двоичным кодом. Если используется b – разрядный код, то имеется возможность пронумеровать 2bQ = квантованных уровней.

Расположение квантованных уровней на шкале параметров может быть различным. На практике интервалы между квантованными уровнями обычно берутся одинаковыми. При этом шаг квантования по уровню 1f q qf f −Δ = −

для любых 11 −≤≤ Qq есть величина постоянная. Равномерное расположение Q уровней на шкале параметра показано на

рис. 5. Здесь шаг квантования

max min max min

2f b

f f f fQ− −

Δ = = .

14


В данном случае текущее значение параметра отождествляется с ближайшим квантованным уровнем. Будем рассматривать именно такой ва-риант квантования.

Для каждого конкретного значения параметра f выбирается свой кванто-вый уровень – qf , при этом ошибка цифрового представления параметра

(ошибка квантования по уровню): f qf fε = − .

Поскольку f – случайная величина, то и fε тоже случайна. Но можно оп-

ределить максимальное и среднеквадратичное значения ошибки. Максимальная ошибка квантования по уровню (для нашего варианта кван-

тования):

max max | |2

ff f

Δε = ε = . (20)

Обычно шаг квантования fΔ значительно меньше шкалы параметра

(то есть , , 1b > 1Q >> max minf f fΔ << − ). При этом логично допустить, что

ошибка fε – случайная и имеет практически равномерное распределение в

диапазоне 2, 2f f⎡−Δ Δ⎣ ⎤⎦ (см. рис. 6).

15


Рис. 5. Равномерное расположение уровней квантования на шкале параметра

Рис. 6. Распределение ошибки

Дисперсия ошибки

2

2

22 2 ( )d

12

f

f

ff кв f f fp

Δ

Δ−

Δε = ε ε ε =∫ , (21)

среднеквадратическое отклонение (корень из дисперсии)

max

2 3 3ff

f кв

εΔε = = . (22)

Учтем далее следующее. Если параметр f имеет нормальное (или близкое к нормальному) распределение с дисперсией 2

fσ и математическим ожиданием fμ ,

то обычно стремятся выбрать шкалу так, чтобы она совпадала с "доверитель-

16


ным интервалом" 3 , 3f f f f⎡ ⎤μ − σ μ + σ⎣ ⎦ (все значения f лежат в этом интервале

с вероятностью 0,997≈ ). Тогда

max min 6 ff f− = σ ; 62

ff b

σΔ =

и получаем:

max

3 3;

2 2f f

f f квb b

σ σε = ε = . (23)

Пример 1. Пусть 8b = (очень популярный случай – байт на отсчет). Тогда относительная максимальная погрешность квантования (по отношению к среднеквадратичному отклонению параметра):

max 3 3 0,0122 256

fb

f

ε= = ≈

σ, то есть 1,2%.

Относительная среднеквадратичная ошибка - в 3 раз меньше:

3 3 0,0072 256

f квb

f

ε= = ≈

σ, то есть 0,7%.

Отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума кванто-вания составляет

2 2 16

2 42

2 2 2 103 3

bf

f кв

dσ

= = = ≈ ⋅ε

,

то есть погрешностью квантования в данном случае можно пренебречь.

2.2. Восстановление непрерывных изображений по их дискретному представлению

Перейдем к анализу второй процедуры преобразования изображения в циф-ровую форму – дискретизации по пространственным координатам.

( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 ,, ,

x n x nf n n f x x

= Δ = ΔΔ Δ = .

Для сокращения записи часто обозначают

17


( ) (1 1 2 2 1 2, , )f n n f n nΔ Δ ≡ .

Чтобы оценить погрешность, с которой непрерывное изображение описы-вается своими дискретными отсчетами, нужно восстановить непрерывную функцию по этим отсчетам и сравнить ее с той, которая была до дискретиза-ции.

Погрешность дискретизации изображения (она же – погрешность восста-новления непрерывного поля по отсчетам) зависит от следующих факторов:

величины шагов дискретизации 1 2,Δ Δ ; статистических свойств изображения; способа восстановления непрерывного изображения (или вида интер-полирующей функции).

С физической точки зрения выбор шага дискретизации диктуется шири-ной пространственного спектра изображения. Чем больше ширина спектра

, тем меньше шаг дискретизации Δ. Практически при дискретизации стре-мятся удовлетворить соотношению ΔΩ

2πΔ << Ω . (24)

К сожалению, реальные сигналы и изображения обычно не удовлетворяют требованиям ограниченности спектра, поэтому процедура восстановления при помощи идеального ФНЧ дает лишь приближенный результат. В связи с этим обычно используют простые в реализации способы восстановления, которые являются приближенными при любых характеристиках сигнала, то есть вос-

станавливают не функцию 1 2( , )f x x , а некоторую ее оценку - µ 1 2( , )f x x . Чаще всего используется восстановление при помощи полиномиальной

интерполяции, при которой f и µf совпадают в узлах интерполяции (отсче-тах) и, возможно, различаются при всех других значениях непрерывных аргу-ментов.

18


Погрешности дискретного представления изображений

Прямоугольная (ступенчатая) несимметричная интерполяция

µ1 2 1 1 2 2( , ) ( , )f x x f n n= Δ Δ

для 1 1 1 1 1( 1)n x nΔ ≤ ≤ + Δ и 2 2 2 2 2( 1)n x nΔ ≤ ≤ + Δ . (25)

Иллюстрация приведена на рис. 7а. Это самый простой способ восстанов-ления. Как мы увидим, он дает самую большую погрешность восстановления.

а) б)

Рис. 7. Иллюстрация ступенчатой интерполяции

Прямоугольная (ступенчатая) симметрическая интерполяция

µ1 2 1 1 2 2( , ) ( , )f x x f n n= Δ Δ

для 1 11 1 1 1 12 2

n x nΔ ΔΔ − ≤ < Δ +

и 22 2 2 2 22 2

n x n 2Δ ΔΔ − ≤ < Δ + . (26)

Иллюстрация приведена на рис. 7б. Этот способ восстановления почти столь же прост, как и предыдущий, но

является более точным. Нетрудно показать, что для полей с изотропными статистическими характеристиками погрешность восста-новления при шагах 1 2,Δ Δ здесь равна погрешности несимметричной ступен-

чатой интерполяции при половинный шагах (то есть при 1 2,2 2Δ Δ

).

19


Несмотря на указанное преимущество данная интерполяция также является довольно грубой. В обоих случаях функция яркости восстановленного непрерыв-ного изображения получается ступенчатой. Имеющиеся на ней скачки ухудшают визуальное качество изображений.

Билинейная интерполяция

При восстановлении непрерывного изображения данным способом стро-ится поверхность, проходящая через четыре соседних отсчета. Интерполи-рующая функция

µ1 2 1 2 1 2( , )f x x Ax x Bx Cx D= + + + (27)

является линейной по каждой координате. Коэффициенты , , ,A B C D выбира-ются из условия прохождения интерполирующей функции через отсчеты. Оп-ределим их для случая, когда интерполяция производится на прямоугольнике 1 10 x≤ ≤ Δ , 2 20 x≤ ≤ Δ , как представлено на рис. 8. Это эквивалентно выбору "локальной" системы координат для каждой четверки отсчетов, образующей подобный прямо-угольник.

Имеем систему уравнений:

1 1

2 2

1 2 1 2 1 2

(0,0) ,( ,0) ,(0, ) ,( , ) .

f Df B Df C Df A B C

=⎧⎪ Δ = Δ +⎪⎨ Δ = Δ +⎪⎪ DΔ Δ = Δ Δ + Δ + Δ +⎩

Ее решением являются следующие значения:

, ( )0,0D f= 1

1

( ,0) (0,0)f fB Δ −=

Δ, 2

2

(0, ) (0,0)f fC Δ −=

Δ,

20


( )

( ) ( )

1 21 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 ( , ) (0,0)

( ,0) (0,0) (0, ) (0,0)

( , ) ( ,0) (0, ) (0,0) .

A f f

f f f f

f f f f

⎡= Δ Δ − −⎣Δ Δ

⎤− Δ − − Δ − ⎦Δ Δ − Δ − Δ +

=Δ Δ

=

Рис. 8. Билинейная интерполяция

То есть для 1 1 20 ; 0x x 2≤ ≤ Δ ≤ ≤ Δ

µ 1 2 1 21 2 1 2

1 2

1 21 2

1 2

( , ) ( ,0) (0, ) (0,0)( , )

( ,0) (0,0) (0, ) (0,0) (0,0)

f f f ff x x x xT T

f f f fx x f

Δ Δ − Δ − Δ += +

Δ − Δ −+ + +

Δ Δ

(28)

или в другой форме запишем:

1 2 1 21 2 1 2 1

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( ,0) 1x x x xf x x f f⎛ ⎞

= Δ Δ + Δ − +⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠

1 2 1 22

1 2 1 2

(0, ) 1 (0,0) 1 1x x xf f⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛

+ Δ − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜x ⎞

⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ Δ ⎠ (29)

21


Существуют и другие более сложные интерполирующие функции, но они не всегда дают выигрыш в точности. Показано, например, что для экспонен-циально спадающих автокорреляционных функций поля билинейная интер-поляция близка к оптимальной. Поэтому ее используют наиболее часто. Там, где налагаются жесткие ограничения на сложность, обычно берется прямоугольная интерполяция.

Следует сказать, что введенные интерполирующие функции важны не только для оценки погрешности восстановления непрерывного изображения по отсчетам. Они широко применяются при геометрических преобразованиях цифрового изображения.

2.3. Оценка среднеквадратичной погрешности дискретизации

Пусть интерполяция между отсчетами на каждом двумерном интер-вале производится одинаковым способом. Тогда все интервалы со ста-тической точки зрения эквивалентны, и при анализе достаточно рас-смотреть один из них. Возьмем интервал 1 1 2 2{0 ; 0 }x x≤ < Δ ≤ < Δ .

Если 1 2( , )f x x - исходное изображение, а µ 1 2( , )f x x - восстановленное, то в каждой точке изображения имеем ошибку

( ) µ( )1 2 1 2 1 2( , ) , ,x x x f x x f x xε = − .

Это случайная величина. Дисперсия ошибки в каждой точке

2 21 2 1 2( , ) { ( , )}.xx x E x xεσ = ε

Среднеквадратическая погрешность по всему полю определяется через ус-редненную дисперсию. Так как поле стационарно, усреднение достаточно вы-полнить по одному интервалу. Получаем квадрат среднеквадратичной по-грешности

1 2

2 21 2 1 2

1 2 0 0

1 ( , ) d dxкв x x x xΔ Δ

εε = σΔ Δ ∫ ∫ .

22


Проведем указанные преобразования для конкретного случая. Далее будем считать выполненными следующие два упрощающих условия:

Шаги дискретизации по пространственным координатам равны: . 1 2Δ = Δ = Δ

АКФ поля обладает следующими свойствами симметрии: 1 2 1 2( , ) ( , )f fB x x B x x= ± ± , 1 2 2 1( , ) ( , )f fB x x B x x=

при любых сочетаниях знаков. Такая симметрия имеет место либо для изотропного поля, либо для поля

изотропного в перпендикулярных направлениях с линиями равных значений АКФ, имеющими вид, показанный на рис. 9.

Рис. 9. Линии равных уровней для АКФ специального вида

Возьмем простейшую интерполирующую функцию – прямоугольную не-симметричную. Для нее на интервале 1 20 ( , )x x≤ < Δ :

. µ1 2( , ) (0,0)f x x f=

То есть 1 2 1 2( , ) ( , ) (0,0)x x x f x x fε = −

23


( ){ }{ } { } { }

221 2 1 2

2 21 2 1 2

2 2 21 2

2 2 21 2

( , ) ( , ) (0,0)

( , ) 2 ( , ) (0,0) (0,0)

2 ( , )

2 ( , ) .

f f f f

f f f f

x x E f x x f

E f x x E f x x f E f

B x x

B x x

εσ = − =

= − +

⎡ ⎤= σ + μ − + μ +⎣ ⎦⎡ ⎤+σ + μ = σ −⎣ ⎦

=

Для дальнейших преобразований удобно ввести нормированную АКФ –

1 2( , )fR x x . Для нее

(0,0) 1fR = , 21 2 1 2( , ) ( , )f f fB x x R x x= σ .

Тогда 2 2

1 2 1 2( , ) 2 [1 ( , )]f fx x R xεσ = σ − x . (30)

Среднеквадратичная погрешность

22

1 2 1 220 0

21 2 1 22

0 0

2[1 ( , )]d d

12 1 ( , )d d .

fxкв f

f f

R x x x x

R x x x x

Δ Δ

Δ Δ

σε = −

Δ=

⎡ ⎤= σ −⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ (31)

Выражение (31) связывает среднеквадратичную погрешность с величиной шага дискретизации Δ и корреляционной функцией изображения. Но оно не всегда удобно для практического использования. Можно упростить вычисле-ния, приняв во внимание следующее. Нормированную АКФ при можно разложить в степенной ряд (он всегда оказывается сходящимся):

1 2, 0x x ≥

( )1 2 1 20 0

, i jf i

i jjR x x a x x

∞ ∞

= =

=∑∑ ,

здесь - коэффициенты разложения. Нам будет удобнее использовать этот

ряд в следующем виде (с учетом того, что

ija

00 1a = ):

( )1 2 0 1 0 2 1 21 1 1 1

, 1 i jf i j

i j i j

i jijR x x a x a x a x x

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

= + + +∑ ∑ ∑∑ . (32)

24


Подставляем этот ряд в выражение (31). И для рассматриваемой прямо-угольной интерполяции получаем:

2 20 12

10 0

0 2 1 2 1 21 1 1

20 0

1 1

1 1

12 1 1

2 1 11 1

.( 1)( 1)

ix кв f i

i

j i jj ij

j i j

i j

f i ji j

i j

iji j

a x

a x a x x dx dx

a ai j

ai j

Δ Δ ∞

=

∞ ∞ ∞

= = =

∞ ∞

= =

+∞ ∞

= =

⎡⎧ε = σ − + +⎨ ⎢Δ⎩ ⎣

⎫⎤ ⎪+ + =⎬⎥⎪⎦ ⎭

⎧ Δ Δ⎪= σ − − − −⎨+ +⎪⎩

⎫Δ ⎪− ⎬+ + ⎪⎭

∑∫ ∫

∑ ∑∑

∑ ∑

∑∑

Учитывая принятую симметрию АКФ: ij jia a= (и в частности ),

можно окончательно записать: 0 0i ia a=

2 20

1 1 12 2

1 ( 1)(

i i

x кв f i iji i j

a ai i j

+∞ ∞ ∞

= = =

.1)

j⎡ ⎤Δ Δε = − σ +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∑ ∑∑ (33)

Практический интерес представляют случаи, когда погрешность мала

по сравнению с дисперсией. Это соответствует ситуации, когда шаг Δ мал, и ряд сходится очень быстро. Поэтому при оценке погрешности в полученном выраже-нии можно ограничиться только первым ненулевым членом, отбросив слагаемые высших порядков малости.

2x квε

Пример 2. Пусть изображение имеет биэкспоненциальную АКФ 1 2(| | | |)

1 2( , ) x xfR x x e−α += .

Известно разложение экспоненты в ряд:

2 3 4

1 .2 6 24

x ..x x xe x− = − + − +

Следовательно, при : 1 2, 0x x ≥

25


2 21 2

1 2 1 2

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

( )( , ) 1 ( ) ...2

1 11 ...2 2

fx xR x x x x

x x x x x x

α += −α + + + − =

= −α −α + α + α + α +

То есть

01 10a a= = −α ; 211a = α ;

2

02 20 2a a α

= =

и т.д. Среднеквадратичная погрешность дискретизации

2 22 2

22 2

2 2 ...2 2 3

... 2 .2 2

x кв f

f

⎡ ⎛ ⎞Δ α Δε = − σ −α + + +⎢ ⎜ ⎟

⎢ ⎝⎣⎤Δ

+α + ≈ σ αΔ⎥⋅ ⎦

⎠ (34)

Можно выразить эту погрешность через коэффициент корреляции между соседними отсчетами (в строке или столбце матрицы отсчетов). Этот коэффи-циент

1 2

1 2 0;( , ) 1 ...f x x

R x x e−αΔ

= =Δρ = = ≈ −αΔ +

.

,

то есть 1αΔ , и выражение для погрешности получит вид: ≈ −ρ

2 22 (1 )x кв fε ≈ σ − ρ (35)

Произведем численный расчет. Обычно 0,8 0,95≤ ρ ≤ . Возьмем . Тогда

0,9ρ =

.2 22 (1 0,9) 0,2 2x кв f f≈ σ − = σ ε

Соотношение сигнал/шум дискретизации по мощности:

2

22

2 1 5.0,2

f

x кв

dσ

= = =ε

Относительная погрешность равна

26


1 0,455

x кв

f

ε= ≈

σ,

т.е. 45% от среднеквадратичного отклонения. Не будем повторять выкладки для других интерполирующих и автокорре-

ляционных функций, а сразу дадим сводку результатов. По-прежнему считаем шаги равными, а АКФ симметричной.

Для прямоугольной симметричной интерполяции:

2 21 2 1 2( , ) 2 1 ( , )f fx x R xε x⎡ ⎤σ = σ −⎣ ⎦ для 1 2

x Δ< , 2 2

x Δ< . (36)

2 22 2

1 2 1 220 0

20 1

1 1 1

42 1 ( , ) d d

2 .( 1)2 ( 1)( 1) 2

x кв f f

i i

f i iji ii i j

R x x x x

a ai i j

Δ Δ

+∞ ∞ ∞

− += = =

⎡ ⎤⎢ ⎥ε = σ − =

Δ⎢ ⎥⎣j

j

⎦⎡ ⎤Δ Δ

= − σ +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∫ ∫

∑ ∑∑ (37)

27


Для билинейной интерполяции:

2 2 11 2

2 2 1 1

2 1 2 1 22

1 2 1 21 22

1

1( , ) 1 1 2 1 *

* 1 2 1 2 ( ,0) 1

41 1 1 4 (

1 1 2 ( , )

f

f

f

f

xx x

x x x xR

x x x x x R

x x x x R x x

x

ε

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞σ = σ + − −⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + Δ − +⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣

⎤τ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − − − + Δ Δ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎦⎛ ⎞⎛ ⎞× − − − Δ − Δ − ×⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠

×

, )×

2 1 21 2 1 22

1 2 1 21 2

2 ( , ) 1 2 ( , )

1 2 ( , ) 1 1

f f

f

x x xR x x R x x

x x x xR x x

⎛ ⎞− Δ − − − Δ − ×⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞× − − − − ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎭

(38)

при Δ≤≤Δ≤≤ 21 00 xx , .

2 2

1 21 2 1 22

0 0

20

1

1 1

13 4 1( ,0) ( , )9 9 9

8 ( , )(1 )(1 ) d d

2 83 ( 1)( 2)

1 8 .9 ( 1)( 2)( 1)( 2)

xкв f f f

f

if i

i

i ji j

i j

R R

x xR x x x x

ai i

ai i j j

Δ Δ

∞

=

∞ ∞+

= =

⎡ε = σ + Δ + Δ Δ −⎢⎣⎤

− − − =⎥Δ Δ Δ ⎦⎧ ⎡ ⎤⎪= σ Δ − +⎨ ⎢ ⎥+ +⎪ ⎣ ⎦⎩

⎫⎡ ⎤⎪+ Δ − ⎬⎢ ⎥+ + + + ⎪⎣ ⎦⎭

∫ ∫

∑

∑∑

(39)

Составим таблицу оценок среднеквадратичных погрешностей для разных интерполирующих и автокорреляционных функций (табл. 1). В таблицу све-

дем средние значения 2

2 2

1x кв

f dε

=σ

.

28


Как видно из таблицы, самой точной интерполяцией из рассмотренных является билинейная. Выигрыш от ее применения особенно значителен для "гладких" изображений, имеющих гауссовскую АКФ. Погрешность дискрети-зации для биэкспоненциальной и экспоненциальной изотропной АКФ при-мерно равны. Для них билинейная интерполяция всего в 3 раза (по мощности) точнее простейшей прямоугольной несимметричной интерполяции.

Таблица 1. Относительные оценки среднеквадратичных погрешностей

Интерполяция

АКФ Прямоугольная несимметрич-

ная

Прямоуголь-ная симмет-ричная

Билинейная

Биэкспоненциальная ( )1 2

1 2

1 2

1 2

( , )

( , )

x xf

n nf

R x x e

R n n

−α +

+

=

= ρ

Экспоненциальная не-разделимая (изотропная)

2 21 2

2 21 2

1 2

1 2

( , )

( , )

x xf

n nf

R x x e

R n n

−α +

+

=

= ρ

( )2

2 1≈ αΔ ≈

≈ −ρ ( )1

≈ αΔ ≈

≈ −ρ ( )

232 13

≈ αΔ ≈

≈ − ρ

Гауссовская изотропная( )2 2

1 2

2 21 2

1 2

1 2

( , )

( , )

x xf

n nf

R x x e

R n n

−α +

+

=

= ρ ( )

2 2434 13

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

( )

2 2131 13

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

( )

4 4

2

239023 190

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

Пример 3. Для экспоненциальной АКФ, 0,9ρ = и билинейной интерпо-

ляции:

29


2

22 15f

xкв

dσ

= =ε

.

То есть 0,26x кв

f

ε≈

σ, что также достаточно много.

2.4. Оценка максимальной погрешности дискретизации

Теперь оценим погрешность дискретизации по критерию максимальной ошибки.

Полагаем, что на двумерном интервале интерполяции текущая ошибка

µ1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )x x x f x x f x xε = −

есть случайная величина с дисперсией 21 2( , )x xεσ . В некоторой точке двумер-

ного интервала (обозначим её координаты ) эта дисперсия прини-мает наибольшее значение:

1 2( ,max maxx x )

{ }1 1 2 2

2 21 2

21 20 , 0

( , )

( , ) .max max max

x x

x x

max x xε

ε≤ <Δ ≤ <Δ

σ = σ =

= σ

Обычно точка является наиболее удаленной от узлов интерпо-ляции. Так, для прямоугольной интерполяции (рис. 10а)

1 2( ,max maxx x )

2 1 1 2;max maxx x= Δ = Δ . Для прямоугольной симметричной и билинейной (рис. 10б)

1 21 2;

2 2max maxx xΔ Δ= = .

Поскольку мы не знаем границ измерений текущей ошибки xε (известна лишь ее дисперсия), можно говорить о максимальной ошибке лишь с некото-рой доверительной вероятностью. Самой широкий «размах» ошибки наблю-дается в точке с максимальной дисперсией. Эту точку и рассмотрим.

30


а) б)

Рис. 10. Иллюстрация погрешности дискретизации

Зададимся доверительной вероятностью p того, что значения 1 2( , )x x xε в

точке с максимальной дисперсией лежат в интервале [ , ]x max x max−ε ε . Неравен-

ство Чебышева для нашего случая (в наших обозначениях) запишется в виде:

{ }2

1 2 2( , ) 1 maxx max max x max

x max

x x p σΡ ε > ε = − <

ε. (40)

Отсюда получаем

2

1max

x max pσ

ε =−

. (41)

В частности, при 0,99p =

210x max maxε < σ .

Неравенство Чебышева справедливо для любой функции распределения случайной величины. Если распределение xε - нормальное (это будет выпол-

няться, если и поле f распределено нормально), то можно воспользоваться более строгим соотношением

{ }1 2 2( , )

2x max

x max max x max

max

p P x x erf⎛ ⎞ε⎜= ε ≤ ε =⎜ σ⎝ ⎠

⎟⎟

. (42)

Здесь 2

0

2( ) dy

uerf y e u−=π ∫ – интеграл вероятностей. Из последнего соотноше-

ния следует известное «правило трех сигм»:

31


23x max maxε = σ (43)

при , или 0,997p ≈

2 9 2x max maxε = σ . (44)

Используя последнюю формулу, определим выражения для максимальной ошибки при разных видах интерполяции. Как и при оценке среднеквадратич-ной ошибки, ограничимся случаем, когда 1 2Δ = Δ = Δ и автокорреляционная

функция обладает указанными в предыдущем параграфе свойствами симмет-рии.

Опять рассмотрим простейшую прямоугольную несимметричную интер-поляцию. Для нее используя формулу (30) при 1maxx = Δ ; 2maxx = Δ , получаем

( )12

2 2 21 2, 2 1 ( ,max m x f f

xx x Rε =Δ

=Δ)⎡ ⎤σ = σ = σ − Δ Δ⎣ ⎦ (45)

или

2 218 1 ( , )x max f fR⎡ ⎤ε = σ − Δ Δ⎣ ⎦ . (46)

Используя представление автокорреляционной функции в виде степенного ряда (32), получаем:

2 20 0

1 1 1 118 1 1 i j

x max f i j i ji j i j

a a a∞ ∞ ∞ ∞

+

= = = =

i j⎡ ⎤ε = σ − − Δ − Δ − Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑∑ .

И, уже учитывая симметрию АКФ, ( ) : 0 0i ja a=

2 20

1 1 118 2 i

x max f i i ji i j

a a∞ ∞ ∞

+

= = =

i j⎡ ⎤ε = − σ Δ + Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∑ . (47)

Как и раньше, здесь можно оставить только слагаемые первого порядка малости и получить при этом приближенную оценку погрешности. Приведем аналогичные соотношения для других интерполирующих функций.

Для ступенчатой симметричной интерполяции (прямоугольной):

32


1 2;2 2max maxx xΔ Δ

= = ,

2 2

20 1

1 1 1

18 1 ,2 2

18 .2 2

x max f f

i

f i i ji ii i j

R

a a+∞ ∞ ∞

− += = =

⎡ ⎤Δ Δ⎛ ⎞ε = σ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

i j

j

⎡ ⎤Δ Δ= − σ +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∑

(48)

Для билинейной интерполяции:

1 2;2 2max maxx xΔ Δ

= = ,

( ) ( )2 2

32

0 11 1 1

5 1 19 ,0 , 2 ,4 2 4 2 2

2 4 2 19 .2 2

x max f f f f

i i ji i j

f i i ji i ji i j

R R R

a a+ −∞ ∞ ∞

++ −

= = =

⎡ ⎤Δ Δ⎛ ⎞ε = σ + Δ + Δ Δ − ⎜ ⎟ =⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤− −= σ Δ + Δ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∑

(49)

В табл. 2 укажем приближенные оценки для 2 2x max fε σ .

Таблица 2. Относительные оценки максимальных погрешностей

Интерполяция АКФ Прямоугольная

несимметричнаяПрямоугольная симметричная Билинейная

Биэкспоненци-альная, экспо-ненциальная изотропная

( )3636 1≈ αΔ ≈

≈ −ρ ( )

1818 1≈ αΔ ≈

≈ −ρ ( )

99 1≈ αΔ ≈

≈ −ρ

Гауссова изотропная ( )

2 23636 1

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

( )

2 299 1

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

( )( )( )

4 4

2

9 2

9 2 1

≈ α Δ ≈

≈ −ρ

33


Пример 4. Для экспоненциальной АКФ при 0,9ρ = и билинейной интер-поляции:

2

2 0,9x max

f

ε≈

σ или 2

x max f fε ≈ σ = σ .

Для получения высокой точности описания непрерывного поля отсчетами нужно брать шаги дискретизации очень малыми, чтобы коэффициент корре-ляции между отсчетами 1ρ→ . Работая с цифровым изображением, всегда

можно по нему оценить коэффициент корреляции ρ, а затем вычислить, с какой погрешностью оно описывает непрерывное изображение.

2.5. Общая погрешность цифрового представления изображений

Мы отдельно рассмотрели погрешность квантования отсчетов по уровню и погрешность дискретизации изображения по пространственным координа-там. Обе они входят как составляющие в общую погрешность цифрового представления изображений.

Если изображение квантовано по уровню, то его восстановление (интер-поляция) производится не по истинным значениям отсчетов поля яркости, а по искаженным на случайную величину fε .

Возьмем ступенчатую (прямоугольную) интерполяцию и оценим средне-квадратичную погрешность интерполяции (теперь это будет полная погреш-ность, так как в ней учтем и квантование по уровню).

Дисперсия ошибки в каждой точке интервала интерполяции имеет вид

( ) ( ) ( )( ){ }( ) ( )( ){ } ( ){ }

( ){ } { }

221 2 1 2

21 2 1 2

2

, , 0,0

, 0,0 2 ,

2 0,0 .

f

f

f f

x x E f x x f

E f x x f E f x x

E f E

ε⎡ ⎤σ = − + ε⎣ ⎦

= − −

+ ε + ε

=

ε + .

34


Если уровней квантования много (шаг квантования намного меньше шка-лы параметра), то можно считать, что ошибки квантования fε и само изобра-

жение статистически независимы. Тогда в полученном выражении останутся только первое и последнее слагаемые, которые с учетом приведенных ранее выкладок запишутся более компактно: ( ) ( )2 2

1 2 1 2, ,кв

2x fx x x xεσ = σ + ε .

После усреднения по интервалу интерполяции получим: 2 2 2

кв квкв x fε = ε + ε . (50)

То есть полная среднеквадратичная ошибка определяется суммированием квадратов составляющих ошибок.

Такую же формулу можно использовать (и обычно используют) и для билинейной интерполяции, однако здесь она уже будет приближенной и даст для среднеквадратичной погрешности оценку сверху. (Более детальный анализ, который мы опускаем, в этом случае показывает, что

2 2 2 249кв кв кв квx f кв x f

2ε + ε ≤ ε ≤ ε + ε , (51)

причем при 2 0квfε → значение полной погрешности смещается

к нижней границе.) При оценке максимальной погрешности обычно ориентируются на самый

«неблагоприятный», то есть считают, что ошибки суммируются: max x max f maxε = ε + ε , (52)

эта формула справедлива для всех способов интерполяции, которые мы рас-сматривали.

Отметим, наконец, следующее. Мы рассмотрели «первичную» погреш-ность цифрового представления изображения, которая возникает при кванто-вании и дискретизации. В процессе формирования и преобразований изобра-жение подвергается действию еще многих искажающих факторов (шумов, ли-нейных искажений и т.п.). Это действие может быть выражено введением до-полнительной погрешности – ,иск кв иск maxε ε .

35


Кроме того дополнительную погрешность в данные вносят некоторые процедуры обработки изображений (в первую очередь – процедуры сжатия данных, то есть кодирования с возможностью последующего приближенного декодирования). Обозначим соответствующие погрешности – ,обр кв обр maxε ε .

Если считать, что все искажающие факторы статистически независимы, то 2 2 2 2 2

кв кв кв квкв x f иск обрε = ε + ε + ε + ε , (53)

max x max f max иск max обр maxε = ε + ε + ε + ε . (54)

Требования к точности цифровой обработки должны быть согласованы с точностью описания цифровым изображением исходного непрерывного.

36


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Распознавание и цифровая обработка изображений (М.: Высшая школа, 1983)

2. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов (М.: Связь, 1980)

3. Ван дер Варден. Алгебра (M.: Наука, 1976) 4. Виттих В.А., Сергеев В.В., Сойфер В.А. Обработка изображений в автомати-

зированных системах научных исследований (М.: Наука, 1982) 5. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания (М.: Высшая школа, 1984) 6. Гренандер У. Лекции по теории образов: Синтез образов 1 (М.: Мир, 1979) 7. Гренандер У. Лекции по теории образов: Анализ образов 2 (М.: Мир, 1981) 8. Гренандер У. Лекции по теории образов: Регулярные структуры 3 (М.: Мир,

1983) 9. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов (М.: Мир,

1988) 10. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен (М.: Мир, 1976) 11. Журавлев Ю.И. Избранные научные труды (М.: Магистр, 1998) 12. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. (М.: ИЛ, 1961) 13. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов (М.: Связь, 1979) 14. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел (М.: Наука, 1971) 15. Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений (М.: Мир, 1982, 2 т.) 16. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов (М.:

Мир, 1978) 17. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов (М.: Мир, 1978) 18. Физический энциклопедический словарь, 2 (М.: Советская энциклопедия, 1962). 19. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении машин

(М.: Наука, 1971) 20. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов

(М.: Наука, 1979) 21. Шмидт В. Диофантовы приближения (М.: Мир, 1983) 22. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений

(М.: Советское радио, 1979)

37


23. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введе-ние в цифровую оптику (М.: Радио и связь, 1987)

24. Chernov V.M. Spectral Method of Algebraic Primitives Extracting Based on Multidi-mensional Images Representation. Fundamental Structural Properties in Image and Pattern Analysis. Schriftenreihe der Oesterreichischen Computr Gesellschaft. 130 169-179 1999

25. Chernov V.M. The "modular perceptron": A linear classes separability in the non-Archimedean features spaces. Proc.of the 10th Scandinavian Conference on Image Analysis (SCIA'97) (Lappeenranta, Finland, 2, 803-808, 1997)

26. Chernov V.M. Diophantine Theorems on Stability of Polinomial Decision Rules. Pat-tern.Recognition and Image Analysis 11(1) 16-18 (2001)

27. Hewitt E., Ross K. Abstract harmonic analysis. (Berlin, Springer, 1963) 28. Kargaev P.P, Zhigljavsky A. Approximation of real numbers by rationals: some metric

theorems. Journal of Number Theory 65 130-149 1996 29. Pruefer H. Neue Begruendung der algebraischen Zahlentheorie. Math. Ann. 94 (3-4)

198-243 1925

38


Учебное издание

Сойфер Виктор Александрович Сергеев Владислав Викторович

Попов Сергей Борисович Мясников Владислав Валерьевич Чернов Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ

СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ: КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ

И ПОГРЕШНОСТИ ИХ ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Технический редактор Э.И. Коломиец Редакторская обработка И.И. Проломова Корректорская обработка И.И. Проломова

Доверстка И.И .Проломова Компьютерная верстка А.О. Корепанов, С.В. Смагин

Подписано в печать 28.12.06. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,09. Усл. кр.-отт. 2,21. Печ.л. 2,25. Тираж 50 экз. Заказ . ИП-69/2006

Самарский государственный аэрокосмический университет.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

39


Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

40


Documents

205.введение в цифровую обработку сигналов и изображений критерии качества изображений и погрешности