513.введение в цифровую обработку сигналов и изображений повышение качества и оценивание геометрических

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ: ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА

И ОЦЕНИВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

С А М А Р А Издательство СГАУ

2006

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 004.932, 519.7 ББК 22.343 В241

Инновационная образовательная программа «Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэро-

2

космических и геоинформационных технологий»

ПРИО

РИТЕТНЫЕ

Н

АЦИ ОНА Л ЬНЫ

Е ПРОЕКТЫ

Авторы: В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов, В.В. Мясников, А.В. Чернов

Рецензенты: д-p физ.-мат. наук, проф. А. И. Ж д а н о в,

д-p. технич. наук, проф. В. Г. К а р т а ш е в с к и й

В241 Введение в цифровую обработку сигналов и изображений:

повышение качества и оценивание геометрических параметров изображений: учеб. пособие / [В.А. Сойфер и др.]. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. – 108 с.: ил.

ISBN 5-7883-04-95-4 В учебном пособии даются основы цифровой обработки сигналов и изо-

бражений, описываются наиболее известные методы повышения качества и коррекции изображений, представлены алгоритмы линейной и нелинейной фильтрации изображений, рассмотрены вопросы оценки геометрических ха-рактеристик объектов на изображениях.

Предназначено для подготовки студентов по направлениям (специаль-ностям) «Прикладная математика и информатика» 010500, 010501, «При-кладные математика и физика» 010600, «Биотехнические и медицинские ап-параты и системы» 200401.

УДК 004.932, 519.7

ББК 22.343

ISBN 5-7883-04-95-4 © В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов, В.В. Мясников, А.В. Чернов, 2006 © Самарский государственный

аэрокосмический университет, 2006


3

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Преобразования яркости изображений ............................................................4 1.1. Коррекция амплитудных характеристик .................................................4 1.2. Линейное повышение контраста ..............................................................6 1.3. Преобразование гистограмм .....................................................................7 1.4. Пороговая обработка ...............................................................................11 1.5. Препарирование .......................................................................................13 1.6. Адаптивные преобразования яркости ....................................................16 1.7. Адаптивное повышение контраста.........................................................17 1.8. Адаптивное преобразование гистограмм ..............................................18 1.9. Адаптивная пороговая обработка...........................................................19

2. Повышение резкости изображений ................................................................21 3. Выделение контуров ........................................................................................29

3.1. Определение контура ..............................................................................29 3.2. Дифференциальные методы....................................................................33 3.3. Методы выделения перепадов яркости с согласованием.....................40

4. Линейная фильтрация и восстановление изображений ...............................44 4.1. Восстановление дискретного сигнала ЛПП-системой .........................44 4.2. Оптимальное линейное восстановление сигнала..................................49 4.3. Реализация оптимального фильтра обработкой «в прямом и обратном

времени»..................................................................................................57 4.4. Реализация оптимального фильтра при помощи ДПФ ........................62 4.5. Восстановление сигнала КИХ-фильтром ..............................................66 4.6. Двумерная оптимальная линейная фильтрация ....................................69 4.7. Двумерные линейные субоптимальные КИХ-фильтры .......................78

5. Нелинейная фильтрация ..................................................................................83 5.1. Медианная фильтрация ...........................................................................83 5.2. Адаптивные фильтры ..............................................................................86 5.3. Ранговая обработка изображений ..........................................................88

6. Оценка геометрических характеристик объектов на изображениях ..........98 Список литературы.............................................................................................106


1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЯРКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ Рассмотрим довольно широкий класс операций, осуществляемых

в пространственной области над отсчетами цифрового изображения – пикселами, которые условно можно разделить на две основные группы:

1. Улучшение зрительных характеристик: повышение контраста, чёткости, выравнивание яркости по полю и т.д. Важно отме-тить, что речь здесь идёт о качестве как о характеристике самого изображения (а не о мере близости к некоторому «эта-лону»), то есть цель обработки – получение в каком-то смысле «удобного для наблюдения», «хорошего» изображения.

2. Препарирование: обработка изображения с целью выделения (подчёркивания) на нём некоторых существенных деталей или особенностей и, соответственно, подавления несущественных. В этом случае мы получаем изображение, возможно очень сильно отличающееся от исходного (естественного), но бо-лее удобное для последующего анализа или визуальной ин-терпретации.

Чётких границ между двумя этими задачами нет, во многих случа-ях одновременно преследуются обе цели. Рассмотрим основные зада-чи, решаемые с помощью поэлементных преобразований.

1.1. Коррекция амплитудных характеристик

Коррекция амплитудных характеристик выполняется для устройств ввода-вывода изображений. Реальные устройства ввода изображений в компьютер (видеодатчики) обычно имеют нелинейную характеристи-ку передачи уровней яркости. Если ξ – измеряемый физический пара-метр на входе видеодатчика, то на его выходе (то есть в компьютере) получим значение )(= ξUf , где U – нелинейная функция преобразо-вания (амплитудная характеристика) видеодатчика (рис. 1а).

4


Нужно скомпенсировать нелинейные искажения при вводе, то есть найти и использовать при обработке такую функцию поэлементного преобразования ( )U f , чтобы

5

( ) [ ( )]U f U U ξ ξ= = .

Это достигается, если функция ( )U f является обратной по отно-шению к амплитудной характеристике (рис. 1б):

1( ) ( )U f U f−= .

а) б)

Рис. 1. Пример функции преобразования яркости видеодатчиком и обратная функция

Такой операции поэлементного преобразования предшествует процедура калибровки, то есть экспериментального определения ам-плитудной характеристики при помощи детерминированных изобра-жений известной яркости (испытательных таблиц, «оптического кли-на» и т.д.). По данным калибровки строится либо аналитическая зави-симость (U )ξ (и далее ), либо непосредственно соответствующая таблица преобразования.

1( )U f−

Аналогичная задача возникает и при выводе изображений. Только здесь производится не компенсация уже внесённой нелинейности, а предыскажение отсчётов перед их выводом, чтобы точно воспроиз-вести требуемую функцию яркости на твёрдом носителе (фотоплёнке, бумаге), на экране дисплея, а точнее – в глазу. Функция предыскаже-


ния должна быть обратной по отношению ко всему комплексу факто-ров, обуславливающих нелинейность вывода: нелинейной амплитуд-ной характеристике устройства, нелинейности фотографической (или какой-либо другой) записи поля яркости, нелинейной характеристике зрительной системы человека и т.д.

В этом случае также проводятся предварительные эксперименты по определению амплитудной характеристики системы вывода. При этом используются синтезированные изображения с известными зна-чениями яркости.

1.2. Линейное повышение контраста

Изображения, вводимые в компьютер, часто оказываются мало-контрастными, то есть у них изменения функции яркости малы по сравнению с её средним значением (рис. 2а). При этом яркость меня-ется не от чёрного до белого, а от серого до чуть более светлого серо-го. То есть реальный диапазон яркости оказывается намного меньше допустимого (шкалы яркости). Задача повышения контраста заключа-ется в «растягивании» диапазона яркости изображения на всю шкалу (рис. 2б).

а) б)

Рис. 2. Линейное повышение контраста изображения

Эту задачу можно решить при помощи поэлементного преобразо-вания – линейного контрастирования:

6


7

( ) ( )1 2 1 2, ,a f n n b= + , (1) g n n

где a, b – постоянные. Параметры этого преобразования можно опре-делить двумя простыми способами.

[ ]Первый способ заключается в том, что диапазон ,min maxf f пре-

образуется в диапазон [ ],min maxg g

max

,.

min min

max

. То есть имеет место система:

g a f bg a f b

= +⎧⎨ = +⎩

Откуда определяются:

max min

max min

g gaf f

−=

−; min max max min

max min

g f g fbf f

−=

−

max,min

. (2)

fОчевидно, здесь нужно предварительно оценить f

2,

. Второй способ заключается в том, что берутся такие a и b, кото-

рые приводят математическое ожидание и дисперсию поля яркости к некоторым «стандартным» величинам. Здесь предварительно оцени-ваются математическое ожидание и дисперсия входного поля –

f fμ σ2,g g

, и коэффициенты a, b выбираются так, чтобы для выходного

поля получить «стандартные» μ σ :

( ) ( ) ( )1 21 2

,1 2, ,f g g

g fg gf f f

n nf n n

g n n f−μ σ

= ⋅σ + μ =σ σ

σ⋅ + μ −μ

σ,

то есть

f

gaσ

σ= ;

f

gfgbσ

σμ−μ= . (3)

1.3. Преобразование гистограмм

Ещё одна процедура повышения контраста заключается в приве-дении плотности распределения яркости к некоторому «стандартно-му» виду. Она реализуется при помощи нелинейного поэлементного


8

f

f )()( ηη= ∫∞−

dpgPg

gg )()(

[ ] )( 00 fPff f=<

)( 00 fggg =

преобразования, которое строится по экспериментально полученной гистограмме исходного распределения яркости (поэтому эта процеду-ра и называется преобразованием гистограмм).

Построим функцию, осуществляющую данное преобразование. Пусть случайная величина f имеет плотность распределения pf (f). И пусть преобразованная величина g=g(f) (тоже случайная) должна иметь плотность распределения pg(g). Будем предполагать, что g(f) – монотонно возрастающая функция.

Введём в рассмотрение интегральные функции распределения:

ξξ= ∫∞−

dpfPf , .

Если случайная величина f принимает значение f < f0, то вероят-ность этого события

P .

В силу монотонности функции поэлементного преобразования од-новременно с указанным неравенством будет выполняться и другое соотношение:

< .

Вероятность этого события:

[ ] )( 00 gPgg g=<P .

Указанные события жёстко связаны (являясь следствием друг друга, они наступают одновременно), их вероятности, естественно, равны:

[ ] [ ]0 0( )f P g g f< = <

[ ])()( fgPf gf =

P f .

Отсюда, отбрасывая ненужный индекс, получаем

P .


Зная требуемый вид плотности распределения pg (g), а значит и Pg (g), из данного соотношения можно выразить функцию поэлемент-ного преобразования.

Покажем, как это делается на примере очень популярной процеду-ры - эквализации (выравнивания) гистограммы. В данном случае тре-буется получить такое изображение, у которого все значения яркости в пределах заданного динамического диапазона [ ],min maxg g равнове-

роятны (рис. 3а):

1( )max ming g

=−gp g min maxg g g для ≤ . ≤

а)

б)

Рис. 3. Пример плотности вероятностей

и функции распределения яркости изображения

Интегральная функция распределения на указанном интервале ли-нейна (рис. 3б):

minmax

mingg

ggg−

−=)gP ( .

Отсюда

9


minmax

mingggfgf

−−

=)()

minfmin gfP

fP (

и, следовательно,

max ggfg +−= ()( )()

( )fp f ( )fP f

. (4)

Следует сделать одно замечание, касающееся практического при-менения метода преобразования гистограмм для контрастирования: получаемые гистограммы оказываются очень неровными, с большим числом пиков и впадин. Для тех значений яркости, которые наиболее вероятны, будет пик , и интегральная функция будет рез-

ко возрастать (рис. 4).

Рис. 1.4. Пример преобразования гистограмм

В результате такой высоковероятный участок яркости сильно рас-тянется, что, вследствие роста ошибок квантования по уровню, может привести к нежелательным эффектам (например, эффект «небрито-сти» на портрете). И, наоборот, интервалы с малой вероятностью от-счётов будут сжиматься, то есть детали, имеющие «нетипичную» яр-кость, будут терять контрастность.

Чтобы избежать этих нежелательных эффектов, функцию преобра-зования строят не по истинной, а по сглаженной гистограмме. При этом само преобразование гистограмм становится приближённым.

10


1.4. Пороговая обработка

Многие задачи обработки изображений связаны с преобразовани-ем полутонового изображения в бинарное (двухградационное) или, по-другому, в графический препарат. Такое преобразование осущест-вляется для того, чтобы сократить информационную избыточность изображения, оставив в нём только ту информацию, которая нужна для решения конкретной задачи (например, очертания объектов), и исключив несущественные особенности (фон).

Рис. 5. Пример порогового преобразования функции

яркости изображения

В ряде случаев требуемый графический препарат удаётся получить в результате пороговой обработки полутонового изображения. Она за-ключается в разделении всех отсчётов изображения на два класса по признаку яркости: объект и фон. Например, в выполнении поэлемент-ного преобразования вида:

<≥

,),(,),(

021

021fnnffnnf

(5) ⎩⎨⎧

=),( 21 при0при1

nng

где f0 – некоторое «пороговое» значение яркости. Функция преобразо-вания при этом имеет вид, указанный на рис. 5.

Основной проблемой здесь является выбор порога. Пусть исходное полутоновое изображение содержит интересующие нас объекты одной яркости на фоне другой яркости (типичные примеры: машинописный текст, чертежи, медицинские пробы под микроскопом и т.д.). Тогда плотность распределения яркости должна выглядеть как два узких

11


пика (в идеале два дельта-импульса); то есть так, как показано на рис. 6а. В таком случае задача установления порога тривиальна: в качестве f0 можно взять любое значение между «пиками». На прак-тике, однако, имеет место более сложный случай: изображение за-шумлено, кроме того, как для объектов, так и для фона характерен не-который разброс яркостей. В результате функция плотности распреде-ления размывается (рис. 6б).

Рис. 6. К вопросу выбора порога при пороговой обработке

Часто бимодальность распределения тем не менее сохраняется. В такой ситуации можно выбрать порог f0, соответствующий положе-нию минимума между максимумами (модами).

В общем случае гистограммы распределения яркостей, измерен-ные по реальным изображениям, могут оказаться унимодальными или, наоборот, иметь «изрезанный», полимодальный характер (рис. 7). Укажем некоторые методики определения порога в этих ситуациях.

Методика 1 заключается в аппроксимации участка гистограммы между пиками какой-либо гладкой функцией, например, параболой, и нахождении её минимума через производную (рис. 7а). По существу такая аппроксимация реализует сглаживание гистограммы. Для этого сглаживания можно построить специальный фильтр низких частот.

12


а) б)

Рис. 7. Методики определения порога при пороговой обработке

Методика 2 основана на том, что иногда удается подобрать хоро-шие модели отдельно для плотностей распределения яркости объекта и фона. Тогда можно произвести аппроксимацию гистограммы сум-мой этих плотностей (рис. 7б):

( )fp f p= ⋅ 1 2( ) (1 ) ( )p f p p f+ − ⋅

1 2( ), ( )

,

pгде f p f – аналитически заданные функции плотности для объекта и фона, p – вероятность объекта (точнее, доля площади изо-бражения, занимаемая объектом). Эта вероятность и параметры ука-занных плотностей распределения яркости, как правило, подлежат оценке. После оценки параметров можно выбрать порог f0 в соответ-ствии с принципом максимального правдоподобия, то есть из соотно-шения

( ) ( ) ( )1 0 2 01p p f p p f⋅ = − ⋅ . (6)

Отметим, что данный способ определения порога сохраняет рабо-тоспособность и тогда, когда бимодальность гистограммы скрыта из-за большого разброса яркостей и малой вероятности p. Основным не-достатком метода является сложность аппроксимации.

1.5. Препарирование

Широкий класс процедур обработки называется препарированием изображений. Оно заключается в приведении изображения к такому ви-ду, который, возможно, весьма далек от естественного, но удобен для визуальной интерпретации или дальнейшего машинного анализа. Мно-

13


14

гие операции препарирования могут осуществляться при помощи по-элементных преобразований специальных видов. Так, частным случаем препарирования является пороговая обработка, рассмотренная выше.

Используется и много других функций поэлементного преобразо-вания для препарирования. Их основные особенности заключаются в следующем. Во-первых, им трудно дать физическую интерпретацию, скорее речь здесь идёт просто об эмпирическом подборе функции пре-образования в интересах решения конкретной задачи. Во-вторых, препарирование обычно производится в диалоговом режиме обработ-ки изображений, поэтому соответствующие функции преобразования должны быть легко «управляемыми», то есть определены с точностью до небольшого числа параметров, смысл которых понятен пользовате-лю (оператору) системы.

Приведём некоторые примеры функций поэлементных преобразо-ваний, используемых для препарирования.

Очевидным обобщением пороговой обработки является преобра-зование яркостного среза (рис. 8а). Оно позволяет выделить опреде-ленный интервал диапазона яркостей входного изображения. Переме-щая «рабочий» интервал по шкале и меняя его ширину, можно опре-делить какие значения яркости есть на изображении (и в каких точках), а каких нет, произвести визуальный анализ отдельных объек-тов на изображении, различающихся по яркости. Детали, не попадаю-щие в указанный интервал, то есть относящиеся к «фону», будут по-давлены. В данном примере фон чёрный (подавление фона). На рис. 8б приведен вариант яркостного среза с сохранением фона. В данном случае изображение в целом сохраняется, но на нем «высвечиваются» участки, попавшие в заданный интервал значений яркости. Если этот интервал примыкает к границе шкалы яркости, то получаем преобра-зование так называемой неполной пороговой обработки (рис. 8в).

Контрастное масштабирование в своем простейшем варианте совпадает по смыслу с линейным контрастированием, только без опо-ры на статистику (или экстремальные значения) входного изображе-ния. С помощью этой функции определённый участок диапазона


значений яркости растягивается на всю шкалу (рис. 8г). При этом воз-растает контраст деталей, попавших в этот участок. Детали, имеющие значения яркости за пределами участка, заменяются на однородный фон: чёрный (рис. 8е), белый (рис. 8ж) или серый (рис. 8з). В других случаях контрастное масштабирование может быть связано с обраще-нием функции яркости, то есть получением «негатива» (рис. 8д).

Еще один вариант – пилообразное контрастное масштабирование иллюстрируется на рис. 8и. Как показывает практика, если изображе-ние состоит из нескольких крупных областей с медленно меняющими-ся (по плоскости) значениями яркости, то такое преобразование почти не разрушает целостности его восприятия, но, в то же время, резко увеличивает контрастность плохо различимых мелких деталей.

Рис. 8. Примеры поэлементных преобразований

15


16

К поэлементному препарированию можно отнести и преобразова-ние изображения в псевдоцвета. В данном случае каждому числовому значению яркости ставится в соответствие определенный цвет на эк-ране дисплея. В принципе, закон соответствия может быть любым, хо-тя на практике стараются, чтобы функция преобразования была глад-кой в том смысле, что плавному изменению яркости исходного изо-бражения соответствовало бы плавное изменение цвета препари-рованного. Представление изображения в псевдоцветах сильно повышает визуальную читаемость изображённых объектов, поскольку глаз человека более чувствителен к малым изменениям цветового то-на, нежели к малым изменениям яркости, и широко используется, в частности, в медицинских диагностических системах.

1.6. Адаптивные преобразования яркости

Статистические характеристики, необходимые для построения ал-горитмов обработки, могут быть оценены только по самому изобра-жению. До сих пор мы считали их неизменными по всему полю, то есть неявно предполагали, что изображения описываются моделью однородного случайного поля. Однако во многих практически важных случаях функция яркости не является однородной. При этом многие из рассмотренных выше процедур оказываются неработоспособными или не обеспечивают требуемое качество обработки. Для нестацио-нарных полей используются адаптивные (то есть подстраивающиеся под локальные статистические характеристики) методы.

Простейший подход к построению адаптивных процедур заключа-ется в том, что всё изображение разбивается на небольшие фрагменты, на каждом из которых оцениваются (и используются при обработке) «локальные» характеристики изображения. Каждый фрагмент обраба-тывается независимо, как отдельное изображение с однородными свой-ствами. Достоинство такого подхода – простота, недостаток – плохая стыковка обработанных фрагментов: на полученном изображении обра-зуются заметные скачки яркости (контуры) по линиям «швов».


Чтобы устранить этот недостаток, оценку локальных характеристик делают зависимой от соседних фрагментов. В этом случае фрагменты, на которых используются локальные характеристики, и участки, по ко-торым они определяются, становятся несовпадающими по размерам: первые по-прежнему стыкуются, а вторые – перекрываются (рис. 9).

Рис. 9. К локальному преобразованию изображения

В предельном случае оценка характеристик, полученная по неко-торому фрагменту, используется для обработки единственного отсчёта в центре этого фрагмента. Здесь мы приходим к довольно распростра-нённой процедуре обработки изображений «скользящим окном», центр которого последовательно (отсчёт за отсчётом) пробегает все возможные положения на изображении.

Такие адаптивные преобразования функции яркости уже не явля-ются, строго говоря, поэлементными, так как теперь функция преобра-зования каждого отсчёта зависит от значений отсчётов в некоторой области.

Кратко остановимся на свойствах и особенностях реализации адаптивных алгоритмов поэлементных преобразований.

1.7. Адаптивное повышение контраста

Здесь, как и в ранее рассмотренном методе линейного контрасти-рования, вычисляется функция (1), но коэффициенты преобразования меняются по полю изображения:

17


18

),(), 212 nnbb,( 1 nnaa == ,

то есть

( ) ( ) ( ) ( )2121 ,, nnbnn2121 ,, fnnanng +⋅= .

Эти коэффициенты строятся на базе локальных оценок статисти-ческих характеристик. Чаще всего (потому что это проще) оценивают-ся локальные средние и дисперсии ), 2n( 1nfμ , ),( 21 nnfσ , а далее

рассчитываются коэффициенты преобразования, обеспечивающего

требуемые , (см. (3)): gμ σ2g

),(),

2121 nn

nnf

gσ

σ

),( 21 nnfσ

g

(),(;),(

),( 2121

21 nnbnn

nna fgf

g μ−μ=σ

σ= .

Так как изменения яркости на малом фрагменте обычно невелики (то есть мало), то в результате преобразования именно эти

небольшие изменения растягиваются на всю шкалу. Эффект повыше-ния контраста здесь существенно выше, чем при использовании не-адаптивного метода с глобальной оценкой дисперсии.

Ещё один полезный эффект – «вытягивание» тёмных участков изображения и вообще выравнивание его по яркости. Это получается потому, что на каждом участке (фрагменте) среднее значение яркости приводится к стандартному μ .

1.8. Адаптивное преобразование гистограмм

В данном случае сохраняется вся методика из п. 1.3, но только те-перь преобразуются гистограммы, определённые по локальным фраг-ментам. Очень распространенная процедура обработки – скользящая эквализация. Внешний эффект от обработки примерно такой же, как и при адаптивном контрастировании, только здесь «стандартизируются» не только числовые характеристики распределения, но и его вид.


19

1.9. Адаптивная пороговая обработка

Основной причиной введения адаптивности при пороговой обра-ботке является нестационарность фона изображения. Из-за этого становится невозможным подобрать единый «порог», обеспечиваю-щий хорошее разделение по всему изображению. Рассмотрим одно-мерную иллюстрацию, приведенную на рис. 10: изображение посте-пенно светлеет по строке. Любой единый для всей строки «порог» раз-делит изображение неправильно: часть фона (светлого) будет отнесена к объектам, а часть объектов (тёмных) пропадёт. Гистограмма не яв-ляется бимодальной из-за широкого диапазона изменения яркости фо-на (рис. 10а).

Если применить адаптивный подход, то локальные гистограммы p1(f), p2(f) и p3(f), определённые по участкам 1, 2, 3, будут иметь более удобный вид для обработки. В случае, когда фрагмент захватывает и объект, и фон, его гистограмма будет бимодальной, и несложно вы-брать некоторое локальное пороговое значение. Некоторую сложность представляет обработка фрагментов, содержащих только объект или только фон. Здесь гистограмма не является бимодальной, и выбрать «порог» без привлечения дополнительных соображений нельзя (см. участок 2 на рис. 10в). Обычно для разрешения этой ситуации исполь-зуется информация о локальных порогах с соседних фрагментов.

Основная сложность при реализации адаптивных методов состоит в резком увеличении объёма вычислений, необходимых для оценки ло-кальных статистических характеристик. Это особенно ощущается при скользящей обработке окном, когда статистику приходится набирать для каждого выходного отсчёта. Выход из положения – применение ре-курсивных процедур оценки, при использовании которых статистиче-ские характеристики не пересчитываются заново на каждом фрагменте, а определяются через поправки к вычисленным на предыдущем шаге.


а)

б) в) г)

Рис. 10. Иллюстрация пороговой обработки: пример функции яркости на изображении (а); локальные гистограммы функции яркости (б-г)

20


21

2. ПОВЫШЕНИЕ РЕЗКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ При вводе в компьютер изображения подвергаются действию

нескольких искажающих факторов. Искажения, вызванные нели-нейностью амплитудной характеристики видеодатчика, были рас-смотрены в п. 1.1.

Из-за неточной настройки оптической части системы, ненулевой площади видеодатчика и других причин частотная характеристика системы формирования изображений отличается от идеальной. То есть в изображения вносятся линейные искажения. Обычно эти иска-жения заключаются в ослаблении верхних пространственных частот спектра изображения. Визуально они воспринимаются как расфокуси-ровка, ухудшение резкости изображения, при которых становятся плохо видимыми мелкие детали.

Следовательно, повышение резкости должно заключаться в подъёме уровня высоких частот спектра изображения или, как говорят, в его вы-сокочастотной фильтрации. В результате этой фильтрации происходит подчёркивание границ объектов, улучшается различимость мелких де-талей (ранее размытых), а также «текстуры», то есть небольших регу-лярных или случайных колебаний яркости на участках без контуров.

Следует отметить, что здесь не ставится задача восстановления изображения, то есть возврата к «оригиналу». При повышении резко-сти иногда следует произвести перекомпенсацию искажений, то есть избыточно поднять уровень высокочастотных составляющих про-странственного спектра. Эксперименты по психовизуальному оцени-ванию качества изображений показывают, что объекты с «неестест-венно» подчёркнутыми границами на глаз воспринимаются лучше, чем идеальные с точки зрения фотометрии. Таким образом, задача по-вышения резкости в равной степени относится и к улучшению качест-ва, и к препарированию изображений.

Итак, повышение резкости заключается в усилении высокочастот-ных составляющих пространственного спектра изображения.


Конкретных методов повышения резкости (и вариантов их реали-зации) очень много. Рассмотрим простой (и довольно эффективный) метод, который основан на пространственной линейной обработке изображения «скользящим окном» небольшого размера. Это окно пе-ремещается по изображению, и при каждом его положении формиру-ется один отсчёт выходного поля яркости (обычно этот отсчёт соот-ветствует центру окна). В данном случае алгоритм повышения резко-сти реализуется как двумерный фильтр с конечной импульсной характеристикой. Размеры и форма окна определяют область ненуле-вых значений импульсной характеристики КИХ-фильтра.

Вначале покажем качественно, как строится фильтр, подчёрки-вающий границы. Воспользуемся для этого рядом «одномерных» ил-люстраций.

Пусть f(n) – произвольная строка исходного нерезкого изображе-ния. На рис. 11 кривая 1 представляет собой строку изображения с расфокусированной границей объекта.

Рис. 11. Пример подчеркивания границ с использованием низкочастотной фильтрации

Процедуру обработки можно разбить на несколько шагов. Сначала осуществляется низкочастотная фильтрация, то

есть дополнительное сглаживание сигнала (обозначим сглажен-

22


f ( )nный сигнал – , рис. 11, кривая 2). Далее из исходного сигна-ла вычитается сглаженный. В результате чего формируется разност-ный сигнал – высокочастотное изображение (рис. 11, кривая 3):

23

( ) ( ) ( )n f n f n′ = − . f

Затем этот разностный сигнал прибавляется (с некоторым коэффи-циентом) к исходному. Полученный результат g(n) – изображение с повышенной резкостью (рис. 11, кривая 4). В спектре этого изобра-жения низкочастотные компоненты не изменились (то есть общий уровень яркости остался прежним), а высокочастотные усилились (то есть подчеркнуты локальные особенности – границы, мелкие детали).

Теперь рассмотрим эту процедуру подробнее для двумерного слу-чая. Низкочастотная фильтрация (сглаживание) осуществляется ус-реднением отсчетов поля яркости в окне:

1 2

1 2 1( , )

( , ) ( ,k k D

2 1 1 2 2) ( , )f n n a k k∈

∑ ∑ f n k n k= − −

Dkk

,

где D – некоторая конечная область в пространстве аргументов, опре-деляющая окно ( ∈), 21

{ } Dkkkk ∈),(),(2121

( ). Видно, что записанное выражение за-дает двумерную свертку сигнала с импульсной характеристикой

сглаживающего КИХ-фильтра. ( )21 kka ,Значения выбираются из тех соображений,

чтобы получить действительно сглаживание (то есть усреднение) от-счетов. Обычно берутся

a

( ) 021 >kka ,

1 2

1 2)

( , ) 1k k D

a k k∈

. Кроме того к процедуре сгла-живания предъявляется следующее требование: она не должна изме-нять среднее значение (постоянную составляющую) изображения, то есть необходимо выполнение условия:

=( ,∑ ∑ . (7)

Часто все коэффициенты импульсной характеристики берутся одинаковыми, при этом получается простое усреднение отсчётов изо-бражения по окну.

Далее вычисляются высокочастотное изображение


1 2( , ) 1 2 1 2( , ) ( , )f n n′ f n n f n n= −

1 2 1 2( , ) ( , )n n q f n n

и изображение с повышенной резкостью ′1 2( , )g n n f= +

1 1 2 2) ( , )f n k n k

,

где q – коэффициент усиления разностного (высокочастотного) сигна-ла (q>0).

Раскрывая обозначения, записываем:

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2( , )

( , ) ( , )

( , ) ( ,k k D

g n n f n n

q f n n a k k∈

= +

⎡ ⎤− −+ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 1 1 2 2) ( , )

∑ ∑.

Если привести подобные члены, то можно записать это выражение в виде свертки:

1 2

1 2 1( , )

( , ) ( ,k k D

g n n h k k∈

= ∑ ∑ f n k n k− − , (8)

(где )21 kkh ,

1 2, ( , ) (0,0).D k k∈ ≠

(

– импульсная характеристика КИХ-фильтра, осуществ-ляющего подчёркивание границ (повышение резкости):

1 2 1 2 1 2

(0,0) 1 (0,0),( , ) ( , ) , ( , )

h q q ah k k q a k k k k

= + −= −

(9)

На практике из соображений простоты берут обычно центриро-ванное квадратное окно малого размера (3×3 или 5×5). При этом

)1 2,h k k

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

010151

010

имеет всего несколько ненулевых отсчётов. Значения этих

отсчётов удобно задавать в форме так называемой «маски». Рассмотрим в качестве примеров типичные маски размером 3×3

для повышения резкости изображений.

. (10)

Маска (10) соответствует случаю, когда сглаживание производится усреднением по пяти отсчётам:

24


1(0,1) (0, 1)5

a a= = − =

1 1 11 9 1 .1 1 1

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

(0,0) (1,0) ( 1,0)a a a= = −

с коэффициентом q = 5

(11)

Маска (11) получается при сглаживании усреднением по девяти точкам:

91

21 =),( kka при

25

121 1 ≤≤− kk , 9 и при =q .

{Меняя размеры окна, значения }),( 21 kka

ω−ω− kiki ee) 22112

и q, можно получить и другие маски. Возникает вопрос, какие маски считать хорошими, а какие нет. Однозначно ответить на него невозможно, так как мы не определили строго показатель качества обработки. Но некоторые об-щие требования к маске (то есть к импульсной характеристике КИХ-фильтра) сформулировать можно.

Два первых требования относятся к частотной характеристике КИХ-фильтра, которая в общем случае определяется соотношением:

∑∑∈

ωω =Dkk

ii kkheeH),(

,(),(21

21 1 . (12)

Если импульсная характеристика является четной по обоим аргу-ментам (как в приведенных примерах масок), то частотная характери-стика будет вещественной и симметричной так, что достаточно ее рас-сматривать на двумерном интервале ω≤ ≤ π ≤ ω ≤ π21 00 ; .

Итак, во-первых нужно, чтобы КИХ-система действительно повы-шала резкость, то есть ее частотная характеристика имела бы подъем в области высоких частот (при ω → π ω → π1 ; 2 ). Убедимся, что это так, на примере маски (10). Соответствующая КИХ-система имеет частотную характеристику


26

1 2 2

.

i i ie e e− ω ω − ω− − =

π→ωω 21,

021 →

1 2 1

1 2

( , ) 55 2cos 2cos

i i iH e e eω ω ω= − −= − ω − ω

Найдём и покажем на координатной сетке некоторые значения частотной характеристики (см. рис. 12).

При косинусы стремятся к (-1) и частотная характери-стика достигает своего максимума. То есть действительно это фильтр высоких частот. При ω ω, частотная характеристика стремится к единице, то есть низкочастотные составляющие двумерного спектра сигнала (изображения) не искажаются.

9

Рис. 12. Пример частотной характеристики высокочастотного фильтра

Второе требование – частотная характеристика должна быть близка к изотропной, то есть, в идеале, иметь линиями равных значе-ний окружности. Это нужно, чтобы границы объектов на изображении с любой ориентацией подчёркивались одинаково. В действительности это требование не всегда выполняется. Например, для маски (10) при

, значение частотной характеристики , π=ω1 02 =ω 0( , ) 5i iH e eπ =


а в точке на окружности радиусом π, лежащей в направлении диагонали,

то есть при

27

2π

=1ω ; 22π

=ω , значение частотной характеристики

4,7), 22 ≈

ππ iie(eH ,

то есть в 1,5 раза больше. Видим, что в рассматриваемом примере в диагональном направле-

нии на плоскости частот частотная характеристика растёт примерно в полтора раза быстрее. Из-за этого наклонные границы на изображении будут подчёркиваться сильнее, чем горизонтальные и вертикальные.

Третье требование. Повышение резкости не должно сопровож-даться чрезмерным повышением шума. Подчёркивание полезных свойств (границ) линейной системой всегда сопровождается увеличе-нием шумовой составляющей на изображении, поскольку шум являет-ся высокочастотным.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если на изображении присут-ствует шум, то это означает, что каждый отсчёт искажён, и на вход высокочастотного КИХ-фильтра поступает не ( )21 nnf ,

),(), 2121 nnvnn

, а

(),( 21 fnnf += ,

где v – аддитивный шум. Тогда и на выходе фильтра имеем смесь:

(),( ynmg ),(), 2121 nnwnn += ,

где w - шумовая составляющая на обработанном изображении:

∑∑∈

=Dkk

kkhnnw),(

),(),(21

2121 −− knknv ),( 2211

σ= vQkkh ),( 221

2

.

Для простоты рассуждений будем считать, что исходный шум v – белый. Тогда для дисперсии выходного шума:

∑∑∈

σ=σDkk

vw),( 21

22 , (13)


где Q – коэффициент увеличения мощности (дисперсии) шума после подчёркивания границ линейным фильтром:

28

1 2

21 2

( , )( , )

k k DQ h k k

∈∑ ∑= . (14)

Для рассмотренных выше масок этот коэффициент очень велик: для маски (10) - Q=29, для маски (11) - Q=89.

Добиться уменьшения коэффициента Q можно путем уменьшения коэффициента высокочастотной составляющей q. Однако это означает ослабление «подчёркивающей» способности фильтра. Путем увеличе-ния числа отсчётов в окне обработки также можно уменьшить коэф-фициент Q (сохранив при этом «подчёркивающие» свойства), для это-го следует перейти к маскам 5×5, 7×7 и так далее – это второй путь. Но он находится в противоречии с ещё одним требованием.

Четвёртое требование: процедура обработки окном должна быть достаточно простой, то есть желательно выбирать маску небольшого размера.

Сформулированные требования, как видим, довольно противоре-чивы, поэтому всегда приходится искать не оптимальное, а компро-миссное решение. Поиски «масок» для алгоритмов обработки отсчё-тов в окне – предмет продолжающихся исследований.


3. ВЫДЕЛЕНИЕ КОНТУРОВ

3.1. Определение контура

Задача пороговой обработки – выделение областей, одинаковых (однородных) по яркости. В результате пороговой обработки получа-ется бинарное изображение с выделенными областями (рис. 13). Гео-метрические характеристики этих областей служат важными призна-ками для классификации изображенных объектов и восприятия изо-бражения в целом.

Во многих случаях наиболее информативными являются характери-стики границ областей – контуров. Биологические системы зрительного восприятия, как показывают исследования, используют главным обра-зом очертания контуров, а не разделение объектов по яркости.

Задача выделения контуров состоит в построении бинарного изо-бражения, содержащего эти очертания – графического препарата.

Рис. 13. Пороговая обработка и выделение контуров

Прежде чем приступить к изложению методов решения этой зада-чи, уточним ее содержание.

Что такое контур? Возможны различные трактовки этого интуи-тивно ясного понятия. Мы будем использовать наиболее популярную.

29


Будем называть контуром изображения пространственно протяжен-ный разрыв (перепад, скачкообразное изменение) функции яркости. Рассмотрим участок изображения с контуром. Одномерная иллюстра-ция дана на рис. 14.

а) б)

Рис. 14. Контур и его определение: а) пример контура; б) результат идеального определения контура

Изображенное изменение функции яркости характеризуется высо-той скачка – 0f , углом наклона – θ и координатой центра наклонного участка – x0. Перепад функции яркости считается контуром, если его высота и угол наклона превосходят некоторые пороговые значения. Идеальный детектор контура должен указать на его наличие в единст-венной точке, расположенной в центре наклонного участка (рис. 14б).

В двумерном случае у перепада функции яркости появляется ещё одна важная характеристика – его ориентация (угол на плоскости). На рис. 15а изображен локальный участок, на котором контур прямолине-ен. Идеальный детектор контура должен дать бесконечно тонкую не-прерывную линию по центру области изменяющейся яркости (рис. 15б).

Отметим некоторые проблемы, связанные с принятым определе-нием контура.

Во-первых, введенное определение не гарантирует замкнутости контурных линий. В процессе выделения контура могут наблюдаться его разрывы в тех местах, где функция яркости меняется недостаточно быстро. Пример такой ситуации дан на рис. 16.

30


а) б) Рис. 15. Определение контура на изображении: а) изображение с контуром;

б) результат идеального определения контура

Кроме того, из-за наличия шума на изображении контуры могут ошибочно обнаруживаться там, где границ объектов нет. Всё это тре-бует специальной дополнительной обработки изображений: просле-живания границ, интерполяции, обнаружения связных кривых в мно-жестве выделенных «обломков» контурных линий и т.п.

Рис. 16. Пример незамкнутого контура

Во-вторых, при выделении контуров из-за их размытости, шума или из-за недостатков используемого алгоритма могут получаться не только разрывные, но и излишне широкие контурные линии. В этих случаях опять приходится применять специальные процедуры обра-ботки бинарного изображения для «утончения» линий («скелетиза-ции» графического препарата) (рис. 17).

31


Рис. 17. Пример широкого контура и его «скелет»

В-третьих, на изображении иногда присутствуют (и подлежат вы-делению) границы областей, не попадающие под введенное определе-ние: объекты в виде узких линий (рис. 18а), или изменения функции яркости в виде «излома» (рис. 18б). Узкая линия сама для себя контур, и её легко можно выделить пороговой обработкой. Что касается изло-ма, то его можно «подогнать» под данное определение контура, пред-варительно продифференцировав изображение (рис. 18в).

а б в

Рис. 18. Примеры контуров, не подходящих под определение

В-четвертых, нужно учитывать, что изображения представлены в цифровом виде – пикселами. Из-за дискретности аргумента на гра-фическом препарате контура представляют собой линии единичной (а не нулевой) ширины, то есть не являются бесконечно тонкими (рис. 19а, рис. 19б). Имеется неоднозначность в положении контура вели-чиной плюс-минус один пиксел. Было бы корректнее определить кон-тур не как линию пикселов, а как границу между пикселами (рис. 19в). Однако по ряду причин такое представление используется редко.

Теперь обратимся к самой процедуре выделения контуров. Наибо-лее часто используемый подход к решению задачи обнаружения пере-падов (выделения контуров) на одноцветном изображении можно проиллюстрировать простой схемой, показанной на рис. 20.

32


а б в

Рис. 19. Особенности выделения границ на цифровом изображении

Рис. 20. Общий вид процедуры выделения контуров

Исходное изображение подвергается линейной или нелинейной обработке для того, чтобы выделить перепады яркости. В результате этой операции формируется изображение , функция яркости кото-рого существенно отличается от нуля только в областях резких изме-нений функции яркости исходного изображения. Затем после порого-вой обработки из этого изображения формируется искомый графиче-ский (контурный) препарат –

1f

2f

3.f

Вторую операцию – пороговую обработку мы уже рассматривали. Поэтому всё внимание перенесём на первую операцию – выделение перепадов яркости. Рассмотрим две наиболее важные группы методов выделения контуров.

3.2. Дифференциальные методы

Одним из наиболее очевидных и простых способов обнаруже-ния границ является пространственное дифференцирование функ-ции яркости. То, что дифференцирование дает желаемый эффект, видно из простого «одномерного» примера. До дифференцирова-ния сигнал имеет вид, представленный на рис. 21а. После диффе-

33


ренцирования – вид на рис. 21б, и теперь контур легко выделяется пороговой обработкой (рис. 21б).

Очевидно, в двумерном случае, если мы имеем изображе-ние ( )1 2,x x 1,, то обнаружение контуров, перпендикулярных оси f x ,

обеспечивает взятие частной производной

34

1

f∂x∂

, а перпендикулярных

оси 2x – частной производной 2

f∂x∂

(рис. 22). Эти производные ха-

рактеризуют скорости изменения функции яркости в направлениях 1x и 2x , соответственно. Можно вычислить производную и по произ-

вольному направлению.

а) б)

Рис. 21. Дифференциальный метод выделения контура

а) б) в)

Рис. 22. Дифференциальный метод выделения контура на изображении

Нам, однако, необходимо найти характеристику, позволяющую обнаружить контур независимо от его ориентации. В качестве такой


характеристики, являющейся признаком наличия контура в локальной области, можно использовать градиент функции яркости:

35

1 2 1 2( , ) ( , )x x f x x= ∇

1 2( , )f x x

grad f .

Градиент – это вектор (в нашем случае в двумерном пространст-ве), ориентированный по направлению наиболее быстрого возрастания функции и имеющий длину, пропорциональную этой макси-мальной скорости (максимальному значению частной производной по направлению), (рис. 23).

Так как направление нас не интересует, ограничимся рассмотрени-ем модуля градиента (длины вектора):

2 2

1 2.f f

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2( , )f x x∇ = (15)

Рис. 23. К определению градиента функции

Отметим, что для вычисления модуля градиента вместо производ-

ных ∂

1x∂ и

2x∂∂

можно брать производные по любой паре перпендику-

лярных направлений. Итак, для выделения контура произвольного на-правления можно использовать модуль градиента поля яркости.

В случае цифровых изображений, представленных матрицей от-счетов, вместо производных берутся дискретные разности:


1 21 1 2

1

( , )~ ( , )

f x x1 2 1 2( , ) ( 1, )s n n f

x∂

∂n n f n n= − − , (16)

1 22 1 2

2

( , )~ ( , )

f x xs n n f

x∂

1 2 1 2( , ) ( , 1)n n f n n= − −∂

. (17)

Тогда преобразование, выделяющее перепады яркости, будет за-ключаться в вычислении модуля «дискретного» градиента изображе-ния ( )1 2, :n n f

2 2

2 22 1 2

)]

, ) ( , 1)] .n n f n n

=

− −

11

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(

1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2 1

( , ) [ ( , )] [ ( ,

[ ( , ) ( 1, )] [ (

g n n s n n s n n

f n n f n n f

= +

= − − + (18)

Видно, что это вычисление производится в два этапа. Сначала изо-бражение обрабатывается двумя двумерными КИХ-системами для по-лучения дискретных разностей. Импульсные характеристики этих сис-тем соответствуют «маскам» размерами 2×1 и 1×2:

)1 1− . (19) и

На втором шаге вычисленные разности нелинейным образом ком-бинируются для получения ( )1 2,n n . g

При реализации процедуры детектирования контуров стараются избегать трудоёмких операций типа умножения и извлечения квадрат-ного корня. Поэтому используют выражения, вычисляемые проще, «аппроксимирующие» дискретный градиент. Чаще всего модуль гра-диента заменяют выражениями:

( )1 2 1 1 2 2 1 2, ( , ) ( , )g n n s n n s n n= + (20)

или

{ }1 2 1( , )g n n max s= 1 2 2 1 2( , ) , ( , )n n s n n) . (21)

Следует заметить, что такие приближения градиента уже не явля-ются одинаково чувствительными к границам с любой ориентацией.

36


Действительно, для строго вертикальных или горизонтальных границ все три формулы (18), (20) и (21) дают одинаковые результаты. Но для границы с наклоном 45°, при котором

37

1 1 2 2 1 2( , ) ( , ),n n s n n= s

имеем:

2 22 1 1 2)] 2 ( , ) ,1 1 2 2 1[ ( , )] [ ( ,s n n s n n s n n+ =

1 1 2 2( , ) (s n n s 1 2 1 1 2, ) 2 ( , ) ,n n s n n+ =

{ }1 1 2 2( , ) , (max s n n s 1 2 1 1 2, ) ( , ) .n n s n n=

Приближенные значения градиента различаются от точного в 2 раз. Однако такие вариации на практике считаются приемлемыми.

Другой простой вариант вычисления дискретного градиента дает оператор Робертса. При его построении используется тот факт, что для вычисления модуля градиента можно использовать производные (разности) в любых двух взаимно перпендикулярных направлениях. В операторе Робертса берутся диагональные разности:

2 22 2 1 2)] [ ( , )] ,n s n n+

2 1 2) ( 1, 1),n f n n= − − −

2 1 21) ( 1, ).

1 2 1 1( , ) [ ( ,g n n s n= (22)

где

1 1 2 1( , ) ( ,s n n f n (23)

2 1 2 1( , ) ( ,s n n f n n f n n= − − −

1 00 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 11 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(24)

То есть здесь отдельные разности формируются двумя КИХ-системами, импульсные характеристики которых соответствуют маскам 2×2:

и . (25)

Очевидно, здесь тоже при комбинировании разностей можно ис-пользовать вместо (22) приближения (20) или (21).


Еще один вариант – оператор Собела. В нем обработанное (промежуточное) изображение ( )1 2,g n n

1s 2s

101

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 12 0 21 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

формируется так же, как в

операторе Робертса (и обычном градиенте), но величины и вы-

числяются линейной обработкой масками 3×3:

1 20 01 2

− − и . (26)

Существуют и другие приближения градиента. Следует отметить, что применение любых градиентных операторов дает обычно сходные результаты. Различия наблюдаются только в их устойчивости к шуму.

Для решения задачи выделения перепадов яркости можно приме-нять дифференциальные операторы более высокого порядка, напри-мер, оператор Лапласа. В непрерывном случае

38

2 21 2 1 22 21 2

( , ) ( , )21 2( , )

f x x f x xx x

∂ ∂+

∂ ∂f x x∇ = . (27)

Значение лапласиана является нечувствительным к ориентации границ областей, что и позволяет использовать его при детектирова-нии контуров.

В дискретном случае оператор Лапласа можно реализовать в виде процедуры линейной обработки изображения окном 3×3. Действи-тельно, вторые производные можно аппроксимировать вторыми раз-ностями:

21 2

1 221

( , )~ ( 1, ) 2 (

f x x1 2 1 2, ) ( 1, ),f n n f

x∂

+ −∂

n n f n n+ − (28)

21 2

1 222

( , )~ ( , 1) 2

f x xf n n f

x∂

1 2 1 2( , ) ( , 1).n n f n n+ − + −∂

(29)

Суммируя вторые разности, получаем маску:


39

0 1 01 4 1 .0 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(30)

Это импульсная характеристика КИХ-фильтра, вычисляющего ла-пласиан. Лапласиан может принимать как положительные, так и отри-цательные значения, поэтому в операторе выделения контуров следует взять его абсолютное значение. Таким образом, получаем процедуру выделения границ, нечувствительную к их ориентации:

1 2

1 2 1 2 1 2

( , )( 1, ) ( 1, ) ( , 1) (

s n nf n n f n n f n n f

=

= + + − + + 1 2 1 2, 1) 4 ( , ) .n n f n n+ − − (31)

У оператора Лапласа есть и достоинства, и недостатки по сравне-нию с градиентными операторами. При обработке изображения он да-ет несколько иные результаты, нежели градиент. Дело в том, что вто-рая производная позволяет выделить не участки наклона функции яр-кости, а участки её изгибов. Одномерная иллюстрация дана на рис. 24.

а) б) в)

Рис. 24. Особенности применения оператора Лапласа: контур (функция яркости) (а); модуль градиента (б); модуль лапласиана (в)

Если граница размыта, то после обработки лапласианом она раз-дваивается (рис. 24в). Это недостаток лапласиана, для его устранения приходиться использовать дополнительную обработку полученного графического препарата. Еще один недостаток лапласиана – сильное влияние шумов. В то же время вычисление второй (а не первой) про-изводной позволяет легко выделять границы типа излома – это досто-инство данного метода лапласиана.


3.3. Методы выделения перепадов яркости с согласованием

Общим недостатком рассмотренных выше методов выделения пе-репадов яркости является высокая чувствительность к шуму. Это объ-ясняется тем, что действие разностных операторов состоит в вычисле-нии и комбинировании разностей отсчетов в пределах «окна» малых размеров. Каждая разность вычисляется непосредственно по отсчетам, поэтому шум на изображении попадает в результат преобразования с усилением.

В то же время сам подход к выделению контуров с помощью ло-кальных преобразований изображения скользящим окном представля-ется довольно естественным и очень удобным для реализации. Мож-но, сохранив достоинство дифференциальных методов, повысить их помехоустойчивость, если перед применением дифференциального оператора применить сглаживание функции яркости в пределах окна, то есть согласовать с функцией яркости некоторую поверхность пер-вого или второго порядка. Такой подход реализуется дифференциаль-ными методами с согласованием.

Рассмотрим метод согласования на примере обработки изображе-ния ( )f 1 2,n n окном 2×2. Учтем, что дискретное изображение получено

из непрерывного:

40

1 1

2 21 2

.) ( , )1 2( , x n

x nf x x =Δ

=Δ=

1 2

1 2

1) ( 1, )1) ( , )

f n nf n n

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1 2) .

f n n

По наблюдаемым значениям функции яркости в пределах выбран-ного «окна»

1 2

1 2

( 1,( ,

f n nf n n −

построим на нем аппроксимирующую плоскость:

( ,f x x a x b x c= + + (32)

Если плоскость построена, то есть определены коэффициенты a, b, и c, а значит известны частные производные


1 2

1

( ,f x xx

∂∂

),a=

41

1 2

2

( , )f x xb

x∂ , =

∂

и можно вычислить искомый модуль градиента: 2 2

1 2( , ) ,f x x a b∇ = +

( )

( )

21 2

2 21 2

1,

1 1, 1 .

n n

n f n n

⎤− +⎦⎤− − − − ⎦

1 2 1n n= =

(33)

который служит признаком локального перепада функции яркости. При построении плоскости удобнее всего воспользоваться мето-

дом наименьших квадратов. При поиске коэффициентов будем мини-мизировать величину

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

, , 1,

, 1 , 1 1,

f n n f n n f n n f

f n n f n n f n

⎡ ⎤ ⎡ε = − + − −⎣ ⎦ ⎣⎡ ⎤ ⎡+ − − − + −⎣ ⎦ ⎣

Для любого положения окна коэффициенты будут определяться одинаковыми функциями отсчетов, поэтому возьмем окно при

, для которого все выкладки будут более компактными. Итак, на рассматриваемом окне:

( ) ( )( )

2

2 2

0,1

0,0 .

b c f⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦( )

2 21,1

1,0

a b c f

a c f c f

⎡ ⎤ε = + + − +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − + −⎣ ⎦

В точке минимума все производные погрешности аппроксимации по коэффициентам равны нулю:

2 2 2

0, 0,a b c

∂ε ∂ε= = =

∂ ∂ ∂

( )

0,∂ε

откуда

( )1,1 1,0 ;c f f= +

( )

2 2a b+ +

( )1,1 1,0 ;c f f= +2 2a b+ +

( ) ( )12 1,12

a b c f f+ + = + ( ) ( )( )0,1 1,0 0,0 .f f+ +

Окончательно выражения для коэффициентов будет иметь вид

( ) (1 1,1 1,02

a f f= + ) ( ) ( )( )0,1 0,0 ,f f− −


( ) (1 1,1 0,12

b f f= + ) ( ) ( )( )1,0 0,0 .f f− − (34)

Коэффициенты a, b могут быть вычислены путем линейной обра-ботки изображения масками 2×2, что равнозначно усреднению дис-кретных разностей по окну 2×2. При этом градиент менее чувствите-лен к шуму.

Теперь сделаем очевидное обобщение. В общем случае построение процедуры, использующей дифференциальный метод с согласовани-ем, заключается в следующем. Вокруг обрабатываемой точки на изо-бражении задается некоторая область - «окно обработки». По отсче-том окна строится аппроксимирующая полиномиальная поверхность. Естественно, нужно выбирать такой порядок поверхности, чтобы чис-ло коэффициентов было меньше числа пикселов в окне. Для получе-ния изображения с подчёркнутыми перепадами вычисляется диффе-ренциальная характеристика (градиент или лапласиан) аппроксими-рующей поверхности в центре окна.

Приведем еще некоторые варианты реализации дифференциально-го метода с согласованием.

При аппроксимации плоскостью (32) функции яркости в окне 3х3 получается, что коэффициенты a и b формируются в результате ли-нейной обработки масками:

1 1 11 0 06

1 1 1

42

0− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1 0 1

1 1 0 1 ,6

1 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 1 2 ,x x x x

(35)

соответственно. Множитель 1/6 можно отбросить, он влияет только на масштаб ре-

зультата и может быть учтен при установке порога. В этом случае мо-дуль градиента (33) определяет оператор Превитт, который доволь-но часто используется на практике.

Если функцию яркости в окне 3×3 аппроксимировать поверхно-стью второго порядка

( ) 2 21 2 1 2,f x x ax bx c α β γ= + + + + +

) (36)


то лапласиан в окне равен

43

( )2 2

2 21 2

, 2 2 .f f21 2f x x∇ = a b

x x∂ ∂

+ = +∂ ∂

) ))

(37)

Коэффициенты a и b формируются масками:

1 11 2 26

1 1

12

1

⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1 2 1

1 1 2 1 ,6

1 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

а поскольку лапласиан вычисляется как линейная комбинация этих коэффициентов, можно построить общую маску для «согласованного» лапласиана:

2 1 21 1 4 1 .3

2 1 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

(38)

Методы выделения перепадов яркости с согласованием обеспечи-вают существенно большую помехоустойчивость выделения конту-ров, чем «чисто» дифференциальные методы, при тех же характери-стиках вычислительной сложности.


4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

44

( )

4.1. Восстановление дискретного сигнала ЛПП-системой

Пусть имеется полезный сигнал – последовательность f n . Од-

нако непосредственному наблюдению (измерению) он недоступен. В нашем распоряжении имеется лишь сигнал ( )ng – результат прохож-дения сигнала через некоторую «искажающую» систему, дополни-тельно искаженный шумом ( )nv (см. рис. 25).

Рис. 25. Модель наблюдения полезного сигнала

Требуется восстановить полезный сигнал по наблюдаемому. Для этого необходимо синтезировать такую восстанавливающую систему (фильтр), чтобы при подаче на ее вход наблюдаемого сигнала на вы-ходе получалась бы оценка ( )f n

) полезного сигнала (см. рис. 26).

Рис. 26. Схема восстанавливающей системы

Далее мы сузим класс рассматриваемых сигналов и систем. Во-первых, в большинстве практически важных случаев искаже-

ния сигнала удается описать моделью ЛПП-системы, рассмотрением которой мы и ограничимся. Будем считать, что известна ее импульс-ная характеристика ( )h n . Тогда наблюдаемая последовательность за-

пишется в виде


45

( ) ( )( ) ( ).g n f n h n v n= ∗ +

( )

(39)

Соотношение (39) задает так называемую линейную модель наблю-дения в дискретном времени.

Во-вторых, восстанавливать сигнал будем также при помощи ЛПП-системы:

( ) ( ) ,âî ññòf n g n h n= ∗)

(40)

где - импульсная характеристика восстанавливающей

ЛПП-системы.

( )âî ññòh n

( )f ( )n , и шум В-третьих, и полезный сигнал v n

( ) ( ) ( ) ,n f n f nε = −

будем считать

стационарными случайными последовательностями, статистические характеристики которых известны.

Заметим, что поскольку все преобразуемые последовательности случайны, то и ошибка восстановления

) (41)

в каждый момент времени случайна. Мы будем строить такой восста-навливающий фильтр, который обеспечивает минимум ошибки в среднеквадратичном смысле, то есть минимизирует ее дисперсию:

( ){ } ( ) ( ){ }2min.n f n⎡ ⎤− →⎣ ⎦

2 2E n E fε = ε =)

(42)

Из всего сказанного наиболее существенным является ограниче-ние, заключающееся в требовании линейности восстанавливающей системы. Однако для нелинейных систем получить конкретные ре-зультаты их синтеза гораздо сложнее. Кроме того из теории информа-ции известно, что для важного класса сигналов – гауссовских – опти-мальное (наилучшее) в среднеквадратичном смысле восстановление обеспечивается именно линейной системой.

ЛПП-система, реализующая преобразование (40) и обеспечиваю-щая при этом выполнение условия (42), называется «оптимальным линейным восстанавливающим фильтром». А ее применение реализу-ет процедуру оптимального линейного восстановления.


Очень часто, однако, на импульсную характеристику восстанавли-вающей ЛПП-системы налагаются дополнительные ограничения, свя-занные с удобством реализации. Например, требуется, чтобы она была КИХ-системой или физически реализуемой БИХ-системой. В таких ситуациях ошибка восстановления несколько возрастет, то есть мы получим квазиоптимальные процедуры восстановления.

Мы объединим рассмотрение оптимального и квазиоптимального восстановления следующим образом: будем считать, что импульсная характеристика восстанавливающей ЛПП-системы отлична от нуля для значений аргументов из некоторого множества D (интервала на-блюдения):

46

( ) 0=n .n Dhвосст при ∉ (43)

Определим при этом ограничении параметры системы, минимизи-рующие ошибку восстановления. С учетом сказанного выше конкре-тизируется формула (40)

( ) ( ) ( )âî ññòk k

( ) ( ),âî ññòD

f n h k g n k∞

=−∞ ∈= −∑

)h k g n k= −∑ (44)

и условие минимизации ошибки (42)

( ) ( ){ }( ) (

22

восстk D

E f n f n

E h k g n∈

⎡ ⎤ε = −⎣ ⎦

⎧ ⎡⎪= −∑ ) ( )2

min .k f n

=

⎫⎤ ⎪− →⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

)

(45)

Минимизация ошибки осуществляется путем варьирования нену-левых отсчетов импульсной характеристики восстанавливающей сис-темы. В точке минимума обеспечивается равенство нулю всех част-ных производных:

( )2

0,ññòh mε

= .m Dâî

∂∂

∈ (46)

Подставив (45) в (46), получаем:


( ) ( ) ( )2

.

âî ññòâî ññò k D

E h k g n kh m

m D

ε

∈

∂= −⎢

∂ ⎢⎣∈

∑ ( ) ( ) 0,f n g n m⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪− − =⎥⎨ ⎬

⎥⎪ ⎪⎦⎩ ⎭

) } 0, ,n m m Dε − = ∈

(47)

Из последнего выражения следуют два важных соотношения. Во-первых, это выражение можно записать в виде

( ) ({E n g (48)

( ) 0,gB mεто есть взаимная корреляционная функция = ошибка опти-

мального восстановления некоррелирована с наблюдаемым сигналом. Это утверждение известно как «лемма об ортогональном проецирова-нии», которая будет нам полезна в дальнейшем.

Во-вторых, перенеся в (47) вычитаемое в правую часть после при-менения оператора математического ожидания, получим:

( ) ( ) ( )g fgB m k B m− = −восстk D

h k∈∑ (49)

– уравнение Винера-Хопфа для дискретных систем. Таким образом, импульсная характеристика оптимального линей-

ного восстанавливающего (или квазиоптимального) фильтра опреде-ляется из системы, состоящей из уравнения Винера-Хопфа и ограни-чений, налагаемых на импульсную характеристику:

( ) ( ) ( )

( ) 0,

восстk D

восст

h k B m k

h m∈

⎧ − =⎪⎨⎪⎩

∑ , ,

.

g fgB m m D

m D

− ∈

= ∉ (50)

Различный вид области D приводит к существенно различным ме-тодам решения системы (50). Определим ошибку восстановления сиг-нала оптимальным линейным фильтром, продолжив преобразования, входящие в (45), с учетом (41) и (48):

47


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) (

( ){ } ( ) (

( ) (

2

2

2

восстk D

восстk D

восстk D

восстk D

восстk D

f восст fgk D

E n h k g n k

E n h k g n k E

h k E n g n k E

E n f n E h k g n

E f n h k E f n

h k B

∈

∈

∈

∈

∈

∈

ε = ε − −

⎧ ⎫= ε − −⎨ ⎬

⎩ ⎭= ε −

( )

( ) ( )

( ) ( ){ }

) ( ) ( )

) ( ){ }).

f n

n f n

n f n

k f n f n

g n k

k

⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤ε =⎣ ⎦

− ε =

⎧ ⎫⎡ ⎤− == − ε = − −⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭

− =

( ) ,

= −

=σ − −

∑

∑

∑

∑

∑∑

(51)

Рассмотрим важный частный случай, когда имеет место упрощен-ная модель наблюдения с белым шумом, независимым от сигнала:

( ) ( )( ) ( )g n f n v= + 2v v

48

n B k k= σ δ (52)

(и нулевой отсчет импульсной характеристики )0âî ññòh

{

не равен ну-

лю, }( )0 D∈ . В этом случае

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ,f vg f vB k B k B= + k B k k= + σ δ

) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ({ }n k v n k+ + + =⎡ ⎤⎣ ⎦fgB k E f n g n k E f n f= + =

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )f fB k B k+ = = −

( ) ( ),fm k B m⎡ ⎤− =⎣ ⎦

( ) ( ).âî ññò fh m B m=

0=m

( )2 20 .v âî ññò fk h

E f n f n k E f n v n k= + +

и из уравнения Винера-Хопфа (49) получаем:

( ) ( ) 2âî ññò f v

k Dh k B m k σ δ

∈− +∑

( ) ( ) 2âî ññò f v

k Dh k B m k σ

∈− +∑ ,

и при

( ) ( )âî ññò fk D

h k B σ σ=∈

− +∑ (53)


При этих же условиях выражение (51) для ошибки приобретает вид

( )2 2f âî ññò f

k Dh kε σ

∈= − ∑ ( ) ( )2 0 ,v âî ññòB k hσ− =

а после подстановки в него выражения (53):

49

( )2 2 0 .v âî ññòhε σ= (54)

Это очень простое соотношение нам будет полезно в дальнейшем.

4.2. Оптимальное линейное восстановление сигнала

Пусть на отсчеты импульсной характеристики восстанавливающей ЛПП-системы не наложено никаких ограничений, то есть она может быть отлична от нуля в любой точке. Это значит, что в оценке полез-ного сигнала будут учтены все наблюдаемые отсчеты (как «прошлые», так и «будущие»). При этом восстановление, очевидно, будет наилуч-шим (оптимальным).

Так как ограничений на ( )âî ññòh n

( ) ( )fgB m k B m− = −

( )

в данном случае нет, то из вве-

денной в предыдущем параграфе системы уравнений (50) остается только уравнение Винера-Хопфа, записываемое в виде

( )âî ññò gk

h k∞

=−∞∑ . (55)

Выражение (55) можно интерпретировать как свертку последова-тельностей, поэтому, переходя к их z-преобразованиям, получаем:

( ) ( )1g fgz zâî ññòH z −Φ = Φ

( )( )( )

,

1

.fg

ññòg

zH z

z

−Φ=

Φâî (56)

Формула (56) задает передаточную функцию искомого оптималь-ного фильтра. Его импульсная характеристика может быть определена отсюда обычным путем через обратное z-преобразование.

Определим, какую минимальную ошибку восстановления обеспе-чивает оптимальный фильтр. Для этого можно было бы, конечно,


воспользоваться формулой (51), полученной в предыдущем парагра-фе, но в данном случае удобнее и полезнее для анализа сделать иначе. Определим сначала корреляционную функцию и энергетический спектр ошибки восстановления:

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

âî ññò âî ññòk l

âî ññò âî ññò gk l

âî ññò fg âî ññò fgk l

B m E n n m

E h k g n k f n h l g n

h k h l B m l k

h k B k m h l B

ε ε ε

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞∞ ∞

=−∞ =−∞

= + =

⎡ ⎤ ⎡= − − ×⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

= −

− − − −

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

) ( )

) ( ).f

m l f n m

m l B m

⎧ ⎫⎤⎪ ⎪+ − − + =⎥⎨ ⎬⎥⎪ ⎪⎦⎩ ⎭

+ −

− +

Запишем это же выражение в сокращенной форме, используя опе-ратор свертки:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).

g

fg f

B m

m B m B m

− ∗ −

∗ +( ) ( )восст восст

восст fg восст

B m h m h m

h m B m h

= ∗

− − ∗ − −ε (57)

и перейдем к z-преобразованиям последовательностей, входящих в (57):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ññò fgz z− − −Φ −

( ) ( ) ( ).âî ññò âî ññò g âî

âî ññò fg f

z H z H z z H

H z z z

εΦ = Φ −

− Φ +Φ (58)

Выражения (57) и (58) справедливы для любой восстанавливаю-щей системы, а не только для оптимальной (поскольку при их получе-нии мы не налагали ограничений на ( )âî ññòh n ). Для оптимального

фильтра учтем соотношение (56) и получим:

( )( )( ) ( ) ( )

1fg

f fgg

zz

z

−Φ− Φ

Φz zεΦ = Φ

или, что удобнее,

( ) ( ) ( ) ( ).âî ññò fgH z z− Φfz zεΦ = Φ (59)

50


Из последней формулы искомую среднеквадратичную ошибку можно вычислить двумя путями:

51

( ) ( )f âî ññò fgh k B m k−

0=m

1. Перейти от z – преобразования (59) к самой последовательности (корреляционной функции ошибки):

( ) ( )k

B m B mε

∞

=−∞= − ∑

и далее при получить

( ) ( )восст fgh k B k∞

−2 2f

k

∞

=−= − ∑ε σ

(последняя формула, кстати, является частным случаем формулы (51)).

2. Перейти от z – преобразования к энергетическому спектру ошибки восстановления и вычислить ошибку по формуле:

( )1 .2

ie dπ

ωε

π

2ε ωπ

−

= Φ∫

В общей постановке решение задачи на этом завершается. Более про-двинутый результат можно получить, введя дополнительные упрощения.

Рассмотрим частную, но очень распространенную ситуацию вос-становления сигнала при линейной модели наблюдения (39), когда по-лезный сигнал и шум статистически независимы. Оптимальный ли-нейный восстанавливающий фильтр для этого случая называется фильтром Винера-Колмогорова. Определим его передаточную функ-цию. Для начала подсчитаем корреляционные функции, входящие в (55). Корреляционные функции наблюдаемого сигнала:


( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }

g

k l

k l

k

B m E g n g n m

E h k f n k v n h l f n

h k h l E f n k f n m l

h k E f n k v n m

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞∞

=−∞

= + =

) ( )m l v n m⎧ ⎫⎤⎡ ⎤ ⎡⎪ ⎪+ − + + =⎥= − + ×⎢ ⎥ ⎢⎨ ⎬

⎥⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪⎦⎩ ⎭

+ − +

( ) ( ){ }

) ( )

.

f v

E v n v n m

l B m

+ + =

− + =

( ) ( ) ( )1 .f vz z z− Φ +Φ

) ( ) ( )fk h m B m− = ∗

( ) ( )

⎣ ⎦ ⎣

= −

+ − + +

∑ ∑

∑ ∑

∑

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

l

k l

f v

h l E f n m l v n

h k h l B n m

h m h m B m B m

∞

=−∞∞ ∞

=−∞ =−∞

+ + −

= +

= ∗ − ∗ +

∑

∑ ∑

Соответственно, для z-преобразований записанных последо-вательностей:

( ) ( )g z H z HΦ = (60)

Взаимная корреляционная функция полезного и наблюдаемого сигнала получается в результате аналогичных, но более простых пре-образований:

( ) ( ) ( ){ } ( ) (fg fk

B m E f n g n m h k B m∞

=−∞= + = ∑ ,

то есть ( ).fz H z zΦ = Φfg (61)

Подставив (60) и (61) в (56), получаем передаточную функцию фильтра Винера-Колмогорова:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1

1

f

f v

H z zвосстH z

H z H=

z z z

−

−

Φ

Φ +Φ (62)

52


( ) ( )1f fz z−Φ = Φ ). (в этой формуле дополнительно учтено, что

Фильтр Винера-Колмогорова обеспечивает минимальную средне-квадратичную ошибку восстановления сигнала при линейной модели наблюдения и отсутствии корреляции между полезным сигналом и шумом. Энергетический спектр этой ошибки можно найти подстанов-кой (61) и (62) в (59):

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) 1

,v f

f v

z zz

H z HεΦ =

z z z−

Φ Φ

Φ +Φ

( ) ( ) ( ).

(63)

а сама ошибка определяется отсюда известными двумя путями, опи-санными выше.

Рассмотрим некоторые частные случаи применения фильтра Ви-нера-Колмогорова.

1. Пусть имеется упрощенная модель наблюдения без «линей-ных» искажений:

53

g n f n v n= +

( ) ( )nδ=

(64)

( ) 1H zЗдесь , h n = и поэтому из (62), (63) получаем:

( )( ) ( )( ) ,f

f v

zz zΦ

=Φ +Φâî ññòH z (65)

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .v восстz H z= Φv f

f v

z zz

z zΦ Φ

Φ =Φ +Φε (66)

Нетрудно заметить, что в данном случае, поскольку

( ) ( )1 ;f fz z−Φ = Φ ( ) ( )1 ,v vz z−Φ = Φ то и а это

означает, что

( ) ( )1 ,âî ññò âî ññòH z H z−=

( ) ( )ññò âî ññòh n h nâî = − - импульсная характеристика

фильтра является четной последовательностью. Такой фильтр являет-ся физически нереализуемым, за исключением единственного вырож-денного случая, рассматриваемого ниже.


54

( ) ;v vB m =

.v vz

2. Пусть кроме того шум – белый, то есть ( )2 mσ δ

( ) 2σΦ =

( )

Тогда из (65), (66) имеем:

( )( ) 2 ,f

âî ññòf v

zH z

z σ

Φ=Φ +

( )( )

( )

(67)

2

2 .v f

f v

zz

zε

σ

σ

ΦΦ =

Φ +

( );m ( ) 2

(68)

3. Пусть, наконец, и полезный сигнал также является белым шу-мом (этот случай, как мы увидим ниже, имеет определенный практи-ческий смысл). Теперь

( ) 2f fB m σ δ= f fzΦ =σ (69)

и, следовательно,

( )2

2 2 ;fâî ññò

f vH z

σ

σ σ=

+ ( )

2 2

2 2 .v f

f vzε

σ σ (70)

σ σΦ =

+

( )

От (69) можно очень просто перейти во временную область:

( )2

2 2 ,f

f vh n n

σδ

σ σ=

+

( )

âî ññò

и далее записать:

( )2

2 2 ,f

f vn g n=

+

σ

σ σ f

то есть фильтрация заключается в простом умножении наблюдаемого сигнала на коэффициент (это так называемая «точечная» оценка сигна-ла).

Ошибки восстановления в соответствии с (70):

( ) ( )2 2

2 2 ,v f

f vB mε m

σ σδ

σ σ=

+ ( )

2 22

2 20 ,v f

f vBε

σ σε

σ σ= =

+


55

2vто есть дисперсия входного шума σ здесь умножается на коэффици-

ент 2

2 2 1f

f v

σ

σ σ<

+

( )

( ) ( )

- шум убывает в максимально достижимой степени.

4. Еще один частный случай – отсутствие шума. При этом из (62) получаем:

( )( )

( ) ( )

1

âî ññòH z

H z1

1f

f

z

H zz−

Φ= =

ΦH z H z

−

,

так называемый обратный (инверсный) фильтр. В идеале такой фильтр обеспечивает абсолютно точное восстановление сигнала. Од-нако в большинстве практически интересных случаев он оказывается неустойчивым: бесконечно малым отклонением входного сигнала обратного фильтра могут соответствовать бесконечно большие откло-нения выходного сигнала, то есть задача восстановления относится к числу некорректных. Для получения устойчивого фильтра исполь-зуются различные методы регуляризации.

Пример 1. Пусть модель наблюдения сигнала имеет вид (64), по-лезный сигнал имеет экспоненциальную корреляционную функцию:

( ) 2 ,mf fB m σ ρ=

ρ

( ) ( )2 .v vB m mσ δ=

( )( )

где - коэффициент корреляции между соседними отсчетами, и на-блюдается на фоне белого шума:

Определим передаточную функцию фильтра Винера. В данном случае:

( ) ( )2 2

1

1

1 1

fσ ρ

−

−

− −,f z

z zρ ρΦ = ( ) 2 ,v vz σΦ =

и, подставив эти величины в (65), после преобразований получаем:


( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 1

1,

d z z−− ρ

+ ρ −ρ +2 21 1восст

dH z =

−ρ + (71)

56

где обозначено 2

22f

v

dσ

- отношение сигнал/шум по мощности. =σ

Поскольку фильтр должен быть устойчивым, область сходимости дан-ного z–преобразования должна включать в себя единичную окружность.

Из (71), основываясь на свойствах z–преобразования, можно опре-делить импульсную характеристику фильтра Винера-Колмогорова:

( ) ,nвосстh n A= α (72)

где

( )2 2

2 2 2

1

1 41d dρ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟1

A =

−ρ⎝ ⎠

,

( )2 2

2 2

1 41d

⎧ ⎫2

2

1 1 1 12

dd

⎡ ⎤ρ⎪ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥+⎨ ⎬⎜ ⎟α = + ρ + −ρ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ ⎢ ⎥− ρ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭

0>A

.

Можно показать, что всегда ; 1<α .

Фильтр с импульсной характеристикой вида (72), очевидно являет-ся физически нереализуемым. Поэтому вопрос его практического ис-пользования пока остается открытым. Ответ на него мы получим поз-же. А пока определим ошибку восстановления. В нашем случае ли-нейных искажений сигнала нет и шум белый, поэтому сразу можно воспользоваться формулой (54):

( )

( )

2

2 2

2 2 2

0 .1 4

1

v

d d

σ

ρ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ − ρ⎝ ⎠

2 2

1v восстhε = σ = (73)


Рис. 27. Зависимость качества восстановления от параметров искажения

Выражение (73) имеет смысл проанализировать. При 1 , то

есть при увеличении коррелированности полезного сигнала,

ρ→2 0ε →

2

и возможность фильтрации шума возрастает. При увеличении отно-

шения сигнал/шум ( d ) отношение →∞2

2 1v

ε→

σ, и относительная

эффективность фильтрации (коэффициент подавления шума) стремит-ся к единице. Иллюстрация к сказанному дана на рис. 27.

4.3. Реализация оптимального фильтра обработкой «в прямом и обратном времени»

Оптимальный линейный восстанавливающий фильтр, как правило, не отвечает требованию физической реализуемости. Поэтому оценка сигнала (40) не может быть вычислена впрямую. Для того, чтобы практически воспользоваться процедурой оптимального восстановле-ния, есть два основных способа. В данном параграфе мы рассмотрим один из них, заключающийся в обработке сигнала «в прямом и об-ратном времени».

Этот способ обработки применяется в тех случаях, когда есть воз-можность сразу ввести в компьютер достаточно длинную реализацию

57


58

( )zHвосст

сигнала. Когда отсчеты последовательности записаны в память ком-пьютера, понятия «прошлого» и «будущего» становятся условными: по сигналу (то есть по массиву отсчетов) можно двигаться как в на-правлении возрастания аргумента (индекса), то есть в «прямом време-ни», так и в направлении убывания – «в обратном времени». Этот факт и позволяет реализовать оптимальный фильтр.

Ниже будем считать, что характеристики обрабатываемых сигна-лов таковы, что передаточная функция оптимального фильтра

является дробно-рациональной. Она соответствует устой-

чивой, но физически нереализуемой системе, то есть взаимное распо-ложение полюсов и области сходимости на z-плоскости имеет при-мерно такой вид, как изображенный на рис. 28.

Областью сходимости ( )zHвосст является кольцо, включающее

единичную окружность:

+− << RzR при 11 ><− +RR ; .

Рис. 28. Расположение полюсов в устойчивой физически реализуемой системе

Дробно-рациональную передаточную функцию можно записать через нули и полюсы:


59

( )

( )( )

1

1

1

1

1

,1

N

jj kM

jj

q z

âî ññòH z A zp z

−

=

−

=

−

= ⋅

−

∏

∏

( ) ( ),âî ññò âî ññò

(74)

где A, k – некоторые константы (k – целое). Часть полюсов в (74) име-ет модуль меньше единицы, а часть – больше единицы. Представим передаточную функцию в следующей форме:

( )âî ññòH z H= z H z+ − (75)

( )zHвосстгде к сомножителю + отнесем часть знаменателя с полюса-

ми, лежащими внутри единичной окружности, а к ( )zHвосст− - с по-

люсами вне единичной окружности. Распределение нулей и коэффи-циента A, в принципе, произвольно. Очевидно, что здесь решается за-дача факторизации, но в более общей, «несимметричной» постановке.

( )zHвосст+ будет иметь область сходимости Составляющая

−> Rz 1R− <

( ),âî ññòh n+

( ),

то есть соответствовать передаточной функции некоторой устойчивой системы. Эта система физически реализуема, так как ее импульсная характеристика соответствующая z-преобразованию

( ) ,âî ññòH z+ является правосторонней последовательностью.

( )âî ññòАналогично, сомножитель H z− в (75) имеет область сходи-

мости

+< Rz 1>+R

( )nhвосст−

( ),

и соответствует передаточной функции устойчивой системы, реали-зуемой в обратном времени (ее импульсная характеристика

будет левосторонней последовательностью).


Произведение передаточных функций соответствует каскадному (по-следовательному) соединению систем. То есть мы имеем здесь «двух-проходную» процедуру восстановления, заключающуюся в последова-тельной обработке сигнала в прямом, и затем в обратном времени.

С другой стороны, можно представить передаточную функцию ( )âî ññò z

( )

в виде суммы, используя разложение (74) на простые дроби: H

60

111

M j

j j

CH z

p zâî ññò −

==

−∑ (76)

(выражение (76) записано для случая правильной дроби и простых по-люсов). Более общей формулой является

( )( )( ) ( )

( )

11

1

P zF z A z

Q z

−−

−= =

11 1,

1

jlM jkk

j k j

C

p z−= =+

−∑ ∑

где ( ) ( ) ( )z−1 1 1, ,P z Q z A− − 1z– полиномы от − , M – общее число по-

люсов, – кратность полюса , – постоянные коэффициенты.

Слагаемое A в этом разложении присутствует, если степень полинома P не меньше степени полинома Q, и определяется алгебраическим де-лением P на Q. Значения постоянных C можно найти методом неопре-деленных коэффициентов.

jl jp jkC

( ) ( ),ññò âî ññò

В данном случае получаем

( )âî ññò âîH z H z H z+ −= + (77)

где слагаемые формируются по тому же принципу, что и выше. Фор-мула (77) задает двухпроходную процедуру параллельной обработки сигнала.

Пример 2. В предыдущем параграфе мы получили, что для вос-становления сигнала с экспоненциальной автокорреляционной функ-цией из его смеси с независимым белым шумом импульсная характе-ристика оптимального (винеровского) фильтра имеет вид


61

( ) ,nвосстh n A= α

0>A

где , 1<α - величины рассчитываемые через характеристики

сигнала и шума. Передаточная функция этого фильтра:

( )( )( )

( )2

1

1

1 1

A

z z−

− α

−α −α

,α=1p

восстH z =

с полюсами α

=1

2p . Построим двухпроходный последова-

тельный алгоритм обработки. В данном случае передаточная функция легко факторизуется к виду (75), где

( )( ) 1

1 ,1восстH z

z+

−=− α

( )21

1восст

AH z

z−

− α=

−α

( )ng ( )nw

.

По этим передаточным функциям строятся разностные уравнения. На первом шаге обработки (в прямом времени) из искаженного сигна-ла получаем промежуточную последовательность :

( ) ( ) ( )1w n g n= α − +w n .

На втором шаге обработки (в обратном времени) получаем иско-мую оценку сигнала:

(( ) ( ) ( ) )21 1w n A+ −αf n f n= α +) )

.

Можно построить и двухпроходный параллельный алгоритм. Для этого, вообще говоря, нужно разложить передаточную функцию

( )восстH z на простые дроби. Но в данном конкретном случае посту-

пим проще и представим импульсную характеристику фильтра в сле-дующем виде:

( ) ( ) ( ) ( )nвосстh n A A u nn n u n n−⎡ ⎤+ α − − δ= α = α⎣ ⎦ ,

то есть


( ) ( ) ( )1 ,осст восстH z H z+ −= +1

1 11 1восст вH z A

z z−

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥− α −α⎣ ⎦

где

( )1

1 11 ,1 1

A zz z

−

− −

⎡ ⎤ α= − =⎢ ⎥ − α⎣ ⎦

1восстH z A+

− α( )

62

.1восст

AH zz

− =− α

( ):

В соответствии с полученными соотношениями при обработке в прямом времени формируется последовательность n+f

)

( ) ( ) ( )1 1 ,n A g n− + α −f n f+ += α) )

( ):n−а при обработке в обратном времени - f)

( ) ( ) ( )1 .f n f n g n− − + += α) )

Далее для получения результата восстановления эти последова-тельности суммируются:

( ) ( ) ( ).f n f n f n+ −= +) ) )

4.4. Реализация оптимального фильтра при помощи ДПФ

Оптимальный линейный фильтр физически реализуем и притом чрезвычайно прост в ситуации восстановления белого шума на фоне белого шума, сводящегося, как мы видели, к точечной оценке (70). В общем случае сигналы не являются белым шумом, в них наблюдает-ся статистическая связь между отсчетами, и при решении задачи вос-становления мы приходим к уравнению Винера-Хопфа. Однако есть и другая возможность построения процедуры оптимального восста-новления. Можно произвести над сигналом некоторое обратимое пре-образование, которое произвело бы декорреляцию сигнала. К декор-релированному сигналу можно применить процедуру точечной оцен-ки, которая для такой ситуации является оптимальной. Затем после обратного преобразования получим искомую оценку сигнала.


63

( )

Требуемым декоррелирующим свойством при определенных усло-виях обладает ДПФ, задаваемое соотношениями

( ) ( )1

0

NmnN

nF m f n w

−

== ∑ и ( )

1

0

1 .N

mnN

mf n F m w

N

−−

== ∑

10 −≤≤ Nn

( ) ,m 0 1.m N

Рассмотрим более подробно процедуру оптимального восстанов-ления в спектральной области на примере, когда имеется модель на-блюдения без динамических искажений, заданная соотношением (64).

Поскольку ДПФ предполагает работу с последовательностями ко-нечной длины, наблюдаемый сигнал разбивается на отрезки длиной по N отсчетов. Рассмотрим один из таких отрезков при . После применения ДПФ к (64) получаем уравнение наблюдения для дискретных спектров:

( ) ( )G m F m V= + ≤ ≤ − (78)

Поскольку последовательности в исходной модели наблюдения считаются случайными, их ДПФ тоже являются случайными последо-вательностями. И для восстановления сигнала нам нужно знать их ста-тистические характеристики.

Далее все количественные соотношения и формулы получим для нашего сквозного примера из п.4.2 и п.4.3: будем считать, что экспо-ненциально коррелированный сигнал наблюдается на фоне белого шума, то есть

( ) 2 ,kf fB k = σ ρ (79)

( ) ( )2 .v vB k k= σ δ

0 , 1k l N≤ ≤ −

( ) ( ) ( ){ }, ,l E F k F l∗=

(80)

Определим корреляционную функцию ДПФ полезного сигнала. По определению, для нестационарной комплексной случайной последо-вательности ( )

FB k (81)


где * -знак комплексного сопряжения. Подставив в (81) сначала соот-ношение для прямого ДПФ, а затем (79), после выполнения ряда пре-образований получаем:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )1 .1

N

pk rlN

l kN N

W

W

− −

−

−

ρ =

⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥ × − ρ

−ρ⎢ ⎥⎣ ⎦

lk =

1>>N

1 1

0 0

1 1 1 12

0 0 0 0

12

1 1

21 1

,

11 1

1 11 1 1

N Npk rl

F Np r

N N N Npk rl r p

f N fp r p r

kN

f k lN N

f k lN N

B k l E f p W f r W

B r p W

WN k lW W

W W W

− −−

= =

− − − −−

= = = =

−

− −

− − −

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= − = σ

⎡ ρ= σ δ − − − +⎢ ⎥− ρ −ρ⎣ ⎦

+σ +−ρ −ρ −ρ

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ (82)

Первое слагаемое в (82) отлично от нуля только при , то есть тогда, когда АКФ превращается в дисперсию. По сравнению с этой дис-персией при вторым слагаемым можно пренебречь, то есть

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

ρ−−

−− lN

kN W11

1

mlk ==

⎢⎢⎣

⎡

ρ−

ρ−−δσ≈

−

− kN

fFW

WlkNlkB 1

12

1, (83)

- единичный импульс с коэффициентом. То есть ДПФ сигнала являет-ся дискретным «почти» белым шумом. Положив в (83) , оп-ределим его дисперсию в каждой точке:

( ) ( )1

2 2,k

NF F f

Wm B m m N−

1 1

11 1m m

N NW W− − −

⎡ ⎤− =

ρσ = = σ −⎢ ⎥−ρ−ρ⎣ ⎦

( )2 2

2

2

121 2 cos

f Nm

N

−ρ22 1

11f m m

N N

NW W

−

− − −

ρ −= σ = σ

π+ ρ −ρ + + ρ − ρ

( )

. (84)

Видно, что дисперсия каждой спектральной компоненты F m за-

висит от ее номера m, длины последовательности N и корреляционных свойств сигнала ρ.

64


65

0

Аналогичным путем можно вычислить и дисперсии ДПФ шума. Однако в нашем случае нет необходимости повторять весь ход преоб-разований. С учетом (80) можно, положив в (82) ρ = и заменив ин-дексы сигнала на индексы шума, сразу получить:

( ) ( )2, ,V vB k l N k l= σ δ −

- белый шум во временной области переходит в белый же шум в спек-тральной области. В отличие от дисперсии (78), дисперсия спектраль-ных компонент шума не зависит от m:

( )2 2 2.V V vm Nσ = σ = σ

:mλ

(85)

Таким образом, для модели наблюдения в спектральной области задача сводится к оценке белого шума с дисперсией (84) на фоне белого шума с дисперсией (85). Восстановление заключается в точечной оценке, то есть в умножении каждого спектрального отсчета на коэффициент

( ) ( ) , 0 1,m m N≤ ≤ −mF m G= λ)

(86)

где

( )( )

( )( )( )

2 2

2

1.22 cosd m

N

−ρ2

2 22 21 1

Fm

F V

dmm

σλ = =

πσ + σ −ρ + + ρ − ρ (87)

( )Далее полученная по (86) оценка F m)

переводится во временную область при помощи обратного ДПФ. Схема всей процедуры восста-новления показана на рис. 29.

Рис. 29. Схема процедуры восстановления сигнала с использованием ДПФ


66

.N →∞Такая процедура восстановления является асимптотически опти-

мальной при

4.5. Восстановление сигнала КИХ-фильтром

Построим теперь субоптимальный восстанавливающий КИХ-фильтр. В этом случае за оценку сигнала ( )f n

) принимается взвешен-

ная сумма конечного числа отсчетов наблюдаемого сигнала ( )g n , то

есть здесь оценка строится нерекурсивно, как результат непосредст-венного вычисления свертки

( ) ( ) ( ),âî ññòk D

f n h k g n k= −∈∑

) (88)

где D – конечное множество отсчетов, задающее «окно» обработки. Выбрав область D вокруг восстанавливаемого отсчета достаточно

большого размера и рассчитав оптимальные коэффициенты КИХ-фильтра, можно получить среднеквадратичную погрешность восста-новления, очень близкую к минимально достижимой, обеспечиваемой оптимальным физически нереализуемым линейным фильтром. Более того, даже при относительно небольших размерах окна обработки ошибка получается, как правило, меньше, чем у физически реализуе-мого восстанавливающего БИХ-фильтра. Это происходит благодаря тому, что в данном случае формируется «двусторонняя» (интерполя-ционная) оценка, в которой учтены не только «прошлые», но и неко-торое число «будущих» отсчетов наблюдаемого сигнала. Естественно, в этом случае восстановление реализуется с некоторой задержкой.

Задача синтеза субоптимального восстанавливающего КИХ-фильтра заключается в определении значений ( )nhвосст в пределах

окна обработки, обеспечивающих минимум среднеквадратичной ошибки восстановления. Как и ранее, они определяются из системы уравнений (50). Отличие от предыдущих случаев состоит в том, что


67

DN

DN

теперь область D содержит конечное число элементов - . Поэто-

му уравнение Винера-Хопфа (первая строка системы (50)) определяет систему из линейных алгебраических уравнений с таким же чис-

лом неизвестных – значений искомой импульсной характеристики. Методы решений таких систем хорошо известны.

Пример 3. Построим простейший КИХ-фильтр вида (88) – проце-дуру восстановления сигнала по трем точкам:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

1

1

1 1 0

âî ññòk

âî ññò âî ññò ) ( ) ( )1 1

f n h k g n k

h g n h g g n=−

= −

= − + + −

∑)

{ }101 ,,−=D

) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 1 1 ,

1 0 ,

0 1 1 .

âî ññò fg

âî ññò fg

î ññò fg

h B

h B

h B

=

− =

= −

âî ññòn h

=

+

для экспоненциально коррелированного сигнала, искаженного ста-тически независимым белым шумом (для модели наблюдения (64)). Здесь . Из уравнения Винера-Хопфа получаем:

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1 0ï ðè 1ï ðè 0 1 1 0 0 1ï ðè 1 2 1 1 0

g âî ññò g âî ññò g

g âî ññò g âî ññò g

g âî ññò g âî ññò g â

B h B h Bmm B h B h Bm B h B h B

⎧ − + − + −= −⎪⎪= − + +⎨⎪= − + +⎪⎩

В данном случае

( ) ( ) ( ) ( )mvm

f δσ+ρσ 22

( )

mBmBmB vfg =+= ,

( ) ( ) mff mB ρσ= 2

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 ,

1 ,

1 .

восст f

восст f

f v восст f

h

h

h

= σ ρ

= σ

σ = σ ρ

ffg mBmB =−=− ,

поэтому записанная система уравнений конкретизируется:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 0

1 0

1 0

f v восст f восст f

f восст f v восст f

f восст f восст

h h

h h

h h

⎧ σ + σ − + σ ρ + σ ρ⎪⎪σ ρ − + σ + σ + σ ρ⎨⎪σ ρ + σ ρ + σ +⎪⎩

(89)

Решение системы (89) имеет вид:


( )2

2

2 22 2

1

0 ,1 1 2

d

d d

+ −ρ

⎛ ⎞+ + + ρ − ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 1восстh =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2

2 22 2

1

,1 1 2

d

d d

ρ

⎛ ⎞1 1

1 1восст восстh h− = =

⎛ ⎞+ + + ρ − ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

68

где, как и раньше, использовано обозначение 2

22 .f

v

dσ

=σ

Полученный КИХ-фильтр может быть реализован с задержкой на один шаг в форме прямой свертки так, как показано на рис. 30.

Ошибка восстановления сигнала здесь опять определяется по фор-муле (54):

( )2

2

2 22 2

1

0 .1 1 2

d

d d

+ −ρ

⎛ ⎞2 2 2

1

1 1v восст vhε = σ = σ

⎛ ⎞+ + + ρ − ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

Рис. 30. КИХ-фильтр, реализованный в форме прямой свертки с задержками


Достоинство нерекурсивных процедур восстановления состоит в простоте их расчета. Для построения восстанавливающего КИХ-фильтра достаточно решить систему линейных уравнений, а не решать сложную задачу факторизации энергетических спектров. Кроме того, как уже отмечалось, КИХ-фильтр может обеспечить качество восста-новления более близкое к оптимальному, чем физически реализуемый винеровский фильтр.

Еще одно достоинство заключается в том, что данная методика расчета процедур восстановления легко обобщается на случай обра-ботки двумерных сигналов.

4.6. Двумерная оптимальная линейная фильтрация

На двумерный случай переносятся все основные результаты тео-рии оптимальной линейной фильтрации одномерных сигналов.

Пусть имеется линейная дискретная модель наблюдения двумер-ного сигнала:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,1 2 1 2, ,g n n f n n= ∗ h n n v n n∗ + (90)

(где )1 2,h n n − импульсная характеристика искажающей двумерной

линейной системы с постоянными параметрами; ( )

69

1 2, − полезный сигнал − стационарное случайное поле; f n n

( )1 2,v n n

( )1 2,âî ññò n n

)

− помеха, тоже стационарное случайное поле.

Пусть восстановление двумерного сигнала осуществляется при помощи ЛПП-системы с импульсной характеристикой h :

( ) ( ( )1 2 1 2, ,âî ññò1 2, ,f n n g n n h n n= ∗∗)

(91)

которая отлична от нуля только в некоторой двумерной области D:

( ) 0, 21 =nnhвосст для всех ( )1 2, .n n D∉

Требуется найти восстанавливающую систему, которая при сфор-мулированных ограничениях на импульсную характеристику обеспе-чивает минимум среднеквадратичной ошибки восстановления:


70

( )µ( ){ }2

1 2, ,1 2E f n n f n n min.⎡ ⎤− →⎣ ⎦

Тогда параметры восстанавливающей ЛПП-системы (значения ее импульсной характеристики ( )1 2,восстh n n ) определяются из двумерно-

го аналога системы уравнений (50):

( ) ( ) ( )( )

( )1 2 1 2, ; , ,g n n n n D− − ∈

( ) ( )1 2

1 2 1 1 2 2,

1 2 1 2

, ,

, 0; , .

восст g fk k D

восст

h k k B n k n k B

h n n n n D∈

⎧ ⋅ − − =⎪⎨⎪ = ∉⎩

∑ ∑ (92)

Дисперсия погрешности восстановления, осуществленного ЛПП-фильтром с параметрами, определенными из этой системы, задается выражением

( ) ( )1 2

2 2

( , )f восст

k k Dh k

∈

ε = σ − ∑ ∑ 1 2 1 2, , .fgk B k k− −

( )

(93)

Передаточная функция оптимальной восстанавливающей системы в общем случае (см. формулу (56)):

( )( )

1 11 2

1 21 2

,, .

,fg

g

z zz

z z

− −Φ=

Φâî ññòH z (94)

В случае, когда сигнал и шум статистически независимы, переда-точная функция оптимальной восстанавливающей системы определя-ется аналогично формуле (62):

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 11 2

1 2 1 11 2 1 2

,, ,

fâî ññò

H z zH z z

1 2

1 2 1 2

, ,

, ,f v

z z

H z z H z z

− −

− −

⋅Φ=

⋅ ⋅ z z z zΦ +Φ. (95)

Принципиальным отличием двумерного случая от одномерного является невозможность выполнения факторизации. Наиболее успеш-но решение задачи двумерной фильтрации осуществляется в спек-тральной области. Такая процедура включает в себя три этапа.

На первом шаге обработки матрица отсчетов наблюдаемого поля ( )g 1 2,n n 1 10 1;n N≤ ≤ − 2 20 1n N ( ≤ − ) подвергается двумерному ≤


71

2k 1 1 ;k NДПФ, в результате чего вычисляется дискретный спектр (трансфор-манты) − ( 0 1( )1,G k ≤ − 2 20 1k N ≤ ≤ ≤ −

21, NN

( )1 2, 1 2, , ,k k

). Эти трансформанты

при достаточно больших оказываются практически некорре-лированными, и поэтому оптимальной является их точечная оценка.

Процедура точечного оценивания − второй шаг обработки:

µ( )1 2F k k = λ G k k×

1 2,k k

µ( )1 2,

(96)

где λ − коэффициенты точечной оценки,

F k k

( )1 2,

− трансформанты оценки полезного сигнала.

На третьем шаге при помощи обратного двумерного ДПФ пере-ходим от трансформант F k k

( )1 2,

в пространственную область, то есть

получаем искомую оценку полезного сигнала – f n n

( ) ( )1 2 1 2,восст

.

Для получения значений коэффициентов точечной оценки вос-пользуемся следующим подходом. Процедура оптимального восста-новления, описываемая сверткой (91), в z-преобразованиях записыва-ется в виде:

( )1 2, ,F z z G z z H z z= ⋅

11

iz e ω= 22

iz e

. (97)

ωПоложив ; = можно записать аналогичное соотноше-ние для спектров и частотной характеристики оптимального фильтра

µ( ) ( ) ( )1 2 1, ,i i i i 2 1 2,i iвосстF e e G e eω ω ω ω H e eω ω= ⋅

µ( )1 2,

.

fВосстановленный сигнал n n

;n N

в используемом подходе к реа-

лизации восстанавливающего фильтра через ДПФ рассматривается на ограниченном двумерном интервале ( 0 11 1≤ − 2 20 1n N ≤ ≤ ≤ − ), т.е. это двумерная последовательность конечной длины. Для такой последовательности известна связь непрерывного спектра с дискрет-ным (с ДПФ):


72

( )µ( ) µ 1 2 1 1 1 11

2 2 2 22

2 0 1

2 0 1

k k NN

k k NN

πω ω1 2, ,i iF k k F e e ω = ≤ ≤ −

πω = ≤ ≤ −

( ) ( )1 2 1 2,восст

= .

То есть, взяв дискретный ряд частот, можно записать:

( )1 2, ,F k k G k k H k k= ⋅ , (98)

где

( )21,kkG

( )1 2,âî ññò

− ДПФ сигнала;

H k k − отсчеты частотной характеристики оптимального

фильтра. Строго говоря, эти отсчеты не совсем являются ДПФ импульсной

характеристики ( )1 2,âî ññòh n n

1 2, 1N N >>

, получаемой из решения (92), которая

в общем случае оказывается последовательностью бесконечной дли-ны. Однако при это несоответствие оказывается неболь-шим, а решение – близким к оптимальному.

Сравнивая выражение (98)с (96), видим, что коэффициенты точеч-ной оценки

( ) ( )1 2 1 1 1 11

2 2 2 22

2 0 1

2 0 1

k k NN

k k NN

eπω ω

1 2, 1 2, ,i ik k восст восстH k k H e ω = ≤ ≤ −

πω = ≤ ≤ −

( )

λ = = (99)

или

( )2

11

12

22

2

1 2, .i kN

i kN

z eвосст

z e

H z zπ

π

=

=

1 2, 1 2,k k восстH k kλ = = (100)

Пример 4. Пусть имеется модель наблюдения

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , ,1 2g n n f n n v n n= + (101)

( )1 2,n n – стационарное поле с АКФ где f

( ) 1 221 2, p p

f fB p p += σ ρ , (102)


73

( )1 2,v n n – стационарный дискретный белый шум, статистически

независимый от сигнала.

( ) ( )21 2 1 2, , .v vB p p p p= σ δ

21 kk ,

(103)

Определим коэффициенты λ для двумерного оптимального

фильтра. Энергетические спектры сигнала и шума:

( ) ( )( )( )

2

2 12 2z z− −

ρ

⎡ ⎤+ ρ −ρ +⎣ ⎦

2 2

1 2 2 11 1

1,

1 1f

f z zz z

σ −Φ =

⎡ ⎤+ ρ −ρ + ⋅⎣ ⎦; (104)

( ) 21 2, .v vz zΦ = σ (105)

Передаточная функция оптимального фильтра:

( )( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2

,, ,

f

f v

z zz z z zΦ

= =Φ +Φ1 2,восстH z z

( )( ) ( ) ( )

22 2

22 2 2 2 11 1

1

1 1

f

f v z z

σ −ρ2 1

2 21 z z− −= =

⎡ ⎤ ⎡σ −ρ + σ + ρ −ρ + ⎤+ ρ −ρ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( )

22 2

22 2 2 11 1

1

1 1

d

d z

−ρ=

⎡ ⎤−ρ + + ρ −ρ +⎣ ⎦2 1

2 21z z z− −⎡ ⎤+ ρ −ρ +⎣ ⎦

, (106)

где 2

22fσ

vd

σ=

( )

.

Коэффициенты фильтра определяются соотношением: 2

111

22

22

, 1 2,i kN

i kN

z e

z e

H z zπ

π

=

=

= =1 2k k âî ññòλ


( )( )

22 2

22 2 2

1

1 1 2 cos

d

d k

−ρ=

⎛ ⎞− ρ + + ρ − ρ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠2

1 21 2

2 21 2 cos kN N

⎛ ⎞π πρ − ρ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1

2 2

0 10 1

k Nk N

,

≤ ≤ −≤ ≤ −

. (107)

Основным достоинством такого спектрального алгоритма восста-новления с помощью ДПФ является его универсальность, т.е. приме-нимость для любых линейных моделей наблюдения. Этот алгоритм является асимптотически оптимальным с ростом размера обрабаты-ваемых матриц.

Очень серьезный недостаток алгоритма − большие требования к объему оперативной памяти, трудоемкость и невозможность обра-ботки в темпе поступления информации.

Двумерность обрабатываемых сигналов дает возможность преодо-леть некоторые из указанных недостатков при построении спектраль-но-рекуррентного алгоритма восстановления. Общая схема спек-трально-рекуррентного алгоритма такова.

[ ]( )2

74

Пусть в матрице 1,n n первый индекс g 1 10, 1n N∈ − означает

номер строки, а второй − [ ]2 20, 1n N −

21 NN ×

− номер отсчета в строке. ∈

Сначала вычисляется одномерное ДПФ для строк −мат-рицы наблюдаемого (т.е. искаженного) поля:

( ) ( )2

2

2

21

1 2 1 20

, ,N i k

N

ng n k g n n e

π− − ⋅∗

== ⋅∑

2 2

2 2, 0 1n

k N⋅

≤ ≤ −

( )*1 2,

. (108)

При этом получается дискретный полуспектр g n k

1>>

− двумер-

ная последовательность, один из аргументов которой (n1) соответству-ет пространственной координате, а другой (k2) − частотной. В силу де-коррелирующего свойства ДПФ при элементы полуспектра в каждой строке будут практически независимы друг от друга. Это

2N


75

( )*1 2,

означает, что поле в полуспектральной области распадается на N2 не-зависимых последовательностей, соответствующих столбцам. То есть полуспектр g n k

( )*

1 2,

можно рассматривать как совокупность одно-

мерных сигналов с аргументом n1, а k2 − принимает смысл просто па-раметра, порядкового номера последовательности. Для того, чтобы получить оценку полезного сигнала, осуществляется одномерная оп-тимальная фильтрация каждого столбца полуспектра (для этого стро-ится двухпроходный алгоритм). После такой фильтрации получаем

оценку в полуспектральной области − f n k . На заключительном

этапе эта оценка переводится в пространственную область при помо-щи одномерного обратного ДПФ, выполняемого по строкам:

( ) ( )2 2 2

2

2

2

1 2 2 22

1 , 0 1N i k n

N

kf n n e n N

N

− ⋅ ⋅

=≤ ≤ −∑

π1 *1 2

0, ,f n k= ⋅ . (109)

Теперь рассмотрим, как рассчитывается алгоритм восстановления в полуспектральной области. Опять воспользуемся соотношением

(97). Положим здесь 2

2i kπ

2 20 1k N2

2Nz e= , ≤ − . Тогда ≤

2 22 2

2 2

1 1( , ) ( ,i k i kN NF z e G z eπ π

22

2

1) ( , )i kN

восстH z e= ⋅

π

.

Или, используя обозначения для дискретного полуспектра:

( ) ( )2

2

2

1( , )i kN

восстH z e= ⋅

π

2k

* *1 2 1 2, ,F z k G z k . (110)

Здесь является параметром. Задача состоит в построении алго-ритма фильтрации одномерного сигнала, т.е. в построении ЛПП-

системы с передаточной функцией 2

2

2

1( , )i kN

âî ññòH z eπ

. Здесь уже можно произвести факторизацию:

2 22 2

2 2

1 1( , ) ( ,i k i kN N

âî ññò âî ññòH z e H z eπ π

+ 22

2

1) ( , )i kN

âî ññòH z eπ

−= ⋅ , (111)


22

2

1( , )i kN

âî ññòH z eπ

+где − передаточная функция системы, реализуемой в «прямом времени» (т.е. при движении вниз по столбцам),

22

2

1( , )i kN

âî ññòH z eπ

− − передаточная функция системы, реализуемой в «обратном времени» (т.е. при движении вверх по столбцам).

Пример 5. Пусть имеется модель наблюдения (101), где полезный сигнал – стационарное поле с биэкспоненциальной изотропной АКФ (102), шум – стационарный, дискретный, белый, статистически неза-висимый от сигнала, с дисперсией 2

vσ . Построим двухпроходную процедуру оптимального оценивания

в полуспектральной области. Передаточная функция оптимального фильтра (смотри (106)):

(( )

)( ) ( )

1 2

1 2 1 2

,, ,

f

f v

z zz z z zΦ

Φ +Φ1 2,âî ññòH z z = =

( )( ) ( ) ( )

22 2

22 2 2 11 1

1

1 1

d

d z

ρ

ρ ρ ρ

−

⎡ ⎤− + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦2 1

2 21z z zρ ρ− −= =

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(112)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

22 2

2 22 2 2 2 1 2 11 1 2 2

1

2 1 11 1 2 21 1 1 1

d

d z z z z z z z z

ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ− − − −

−=

− + + − + + − + + + + +.

Положим 2

2

2

2

i kNz eπ

= . Тогда

22

2

1,i kN

восстH z e⎛ ⎞⎜ ⎟

76

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

π


( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 2

2 22 2 2 2 2 12 1

1

1 1 2 1 cos 1

d

d k z z

−ρ=

−ρ + +ρ − ρ +ρ −ρ +ρ + +

( ) ( )( )

2 11 1 1 2

2 2

2 22 cosz z kN N

− −=

π πρ +

12 2 1 1

.A

B k C k z z−=

− + (113)

где ( )22 21 ,A d ρ= −

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 21 1B k d ρ ρ= − + + 22 2

2

22 1 cos ,kNπρ ρ− +

( )

( ) 2 22 2

2

21 2 cos .kNπρ−C k ρ ρ= +

Полученное выражение для одномерной передаточной функции всегда удается факторизовать, т.е. представить в виде произведения:

( ) ( )( )2

2

2

1( , )i kN

âî ññòH z eB k

π

12 2 1 1

A

C k z z−= =

− +

( )( )

( )( ) ( ) ( )1 1 ,G z G z+ −= ⋅2 2

12 12 1 11

k kk zk z

β βαα −

= ×−−

(114)

( ) ( )где 2 2,k kα β

( )1zG+

( )1G z−

– коэффициенты, определяемые в процессе фактори-

зации;

– передаточная функция ЛПП-системы, реализуемой в пря-мом времени;

– передаточная функция ЛПП-системы, реализуемой в обрат-

ном времени. Таким образом, получаем следующую спектрально-рекуррентную

процедуру фильтрации: ( )1 2,1) Из исходного поля g n n

(*1,

вычисляется полуспектр по строкам

)2n k 2N ( раз выполняется -точечное ДПФ (108)). 1Ng

77


2) Производится фильтрация в полуспектральной области «в пря-мом времени»:

78

) ( ) ( )*2 2 1 2, ,( ) ( ) (* *

1 2 2 1, 1f n k k f n kα= −% % k g n kβ+

( ) ( ) ( )*2 2 1 2, ,

. (115)

3) То, что получилось, фильтруется «в обратном времени»:

( ) ( )* *

1 2 2 1, 1f n k k f n k= +α k f n k+ β %

2N

2N →∞

. (116)

4) Результат переводится в пространственную область (см. (109), опять раз выполняется -точечное обратное ДПФ). 1N

Спектрально-рекуррентная реализация оптимального фильтра ока-зывается проще, чем реализация с использованием двумерного ДПФ (примерно в два раза). И, что очень существенно, здесь нет транспо-нирования. К недостатку можно отнести то, что для простоты расчета фильтра крайне желательна разделимость всех АКФ и импульсной ха-рактеристики искажающей системы (передаточная функция фильтра должна быть дробно-рациональной). Данный алгоритм является тоже асимптотически оптимальным при (по вертикали матрица может считаться бесконечной).

4.7. Двумерные линейные субоптимальные КИХ-фильтры

Рассмотрим построение субоптимального двумерного линейного КИХ-фильтра путем переноса методики расчета для одномерного слу-чая. Значения импульсной характеристики непосредственно опреде-ляются из системы уравнений (92), включающей в себя уравнение Ви-нера-Хопфа и ограничения на импульсную характеристику. В данном случае область D представляет собой двумерное «окно», содержащее конечное (обычно небольшое) число отсчетов. Поэтому процедура расчета КИХ-фильтра оказывается достаточно простой.

Пример 6. Пусть имеет место модель наблюдения (101), полезный сигнал имеет биэкспоненциальную изотропную АКФ (102), шум – бе-

лый, статистически независимый от сигнала, с дисперсией . 2vσ


Рассчитаем КИХ-фильтр для окна из пяти точек:

{ }(1,0), ( 1,0), (0, 1) .− −

1 2 1 2( , ) ( , )vk k B k k= +

1 2 1 2( , ) ( , ).fB k k B k k=

(0,0);âî ññòa h=

, 1) ( 1,0).âî ññòh− = −

(0,0), (0,1),D = (117)

Учтем предварительно, что в нашем примере:

1 2( , )g fB k k B , (118)

fg (119)

Учтем также, что функция яркости обладает изотропными стати-стическими свойствами в перпендикулярных направлениях, и поэто-му, очевидно, импульсная характеристика искомого КИХ-фильтра бу-дет соответствовать симметричной «маске» (рис. 31) всего с двумя различными числовыми значениями:

(0,1) (1,0) (0âî ññò âî ññò âî ññòb h h h= = = (120)

Рис. 31. Симметричная маска

Строим систему для определения коэффициентов фильтра. Из уравнения Винера-Хопфа при n1=0, n2=0 получаем:

(0,0) (0,0) (0,1) (0, 1)âî ññò g âî ññò g âh B h B (1,0) ( 1,0)î ññò gh B+ − + − +

0) (1,0) (0,0)g f gh B B− =

( )2 2 2 24 .

(0, 1) (0,1) ( 1,âî ññò g âî ññòh B+ − + , (121)

или, принимая во внимание новые обозначения:

79

f v f fa bσ + σ + σ ρ = σ (122)

Из уравнения Винера-Хопфа при n1=1, n2=0 получаем, что


80

(1,0) (0,0)

( 1,0)âî ññò g

fg

h B

B

(0,0) (1,0) (0,1) (1, 1)

(0, 1) (1,1) ( 1,0) (2,0)âî ññò g âî ññò g

âî ññò g âî ññò g

h B h B

h B h B

+ − +

+ − + −

+

= −

2 2 2 2 2 .f f f⎤σ ρ + σ ρ = σ ρ⎦

(123)

или в новых обозначениях:

( )2 2 2 2 2f f f va b ⎡σ ρ + σ ρ + σ + σ +⎣ (124)

Остальные уравнения будут повторять это. Итак, вводя обозначе-ние d 2 для отношения сигнал/шум по мощности, получаем систему:

2

1d

a b

⎧⎪⎪ ⎝⎨⎪ 2

2

1 4 1,

1 1 3 .

a b

d

⎛ ⎞+ + ρ =⎜ ⎟⎠

⎛ ⎞ρ + + + ρ = ρ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩

(125)

Решая систему, получаем: 2

2

2 22 2

1 1

1 11 1 3 4d d

+ −ρ

⎛ ⎞+ + + ρ − ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

da =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; (126)

2

2 22 2

1

1 11 1 3 4

d

d d

ρ

⎛ ⎞+ + + ρ − ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

b =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. (127)

Удобство восстановления изображения КИХ-фильтром заключает-ся в использовании универсальной процедуры линейной обработки изображения скользящим окном («маской»). Как уже отмечалось, для того чтобы эта процедура была достаточно простой, нужно брать мас-ку небольшого размера: 3×3 или 5×5. При этом для определения оп-тимальных коэффициентов маски нужно решить систему уравнений соответственно 9-го или 25-го порядка. Если окно симметрично, а изображение обладает изотропными статистическими свойствами, то расчет резко упрощается, при таких условиях для окна 3×3 имеем только 3 различных коэффициента, а для окна 5×5 – шесть. Простота расчета – это тоже достоинство КИХ-фильтра.


На практике измерение или теоретический расчет корреляционных функций не всегда возможны. Поэтому часто используют непараметри-ческий подход к фильтрации. При этом учитывается тот факт, что спектр шума содержит более высокие пространственные частоты, чем спектр идеального изображения. При этом любая низкочастотная фильтрация может служить эффективным средством подавления шу-мов. Приведем типичные примеры сглаживающих масок размером 3×3:

1 2

1 1 1 1 1 11 11 1 1 , 1 2 1 ,9 10

1 1 1 1 1 1A A

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

3

1 2 11 2 4 2

161 2 1

A⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟=⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

( )( )1 2

1 2,

, 1k k D

h k k∈

=

. (128)

∑Коэффициенты данных масок нормированы ( ∑

1A 3A

)

с тем, чтобы процедура подавления помех не вызывала смещения сред-ней яркости обработанного изображения относительно исходного.

Маски (128) отличаются степенью сглаживания высокочастотных шумов (у маски она максимальная, у – минимальная). Выбор коэффициентов маски должен производиться экспериментально. При увеличении степени сглаживания шумов происходит также подавле-ние высокочастотной составляющей полезного изображения, что вы-зывает исчезновение мелких деталей и размазывание контуров.

Если требуемая степень сглаживания с применением маски разме-ра 3×3 не достигается, то следует использовать сглаживающие маски больших размеров (5х5, 7х7, ...), хотя они используются редко, т.к. для них прямая свертка выполняется достаточно долго. Исключение со-ставляет простое усреднение по окну K×K, которое и в случае боль-ших окон может быть реализовано в рекурсивной форме.

Завершая краткий обзор «классических» линейных методов восста-новления, следует отметить, что они не полностью решают проблему восстановления изображений. Это связано с несколькими причинами.

Во-первых, как известно, методы оптимальной линейной фильтра-ции являются оптимальными вообще только для гауссовых сигналов и шумов. Изображения и шумы таковыми чаще всего не являются.

81


82

Во-вторых, традиционно используемый в таких методах средне-квадратичный критерий качества восстановления плохо согласован со свойствами зрения, а также со многими целевыми функциями обра-ботки изображений.

В-третьих, не всякие искажения описываются введенной выше ли-нейной моделью наблюдения.

И, в-четвертых, не всегда известны те характеристики сигналов и искажений, которые нужны для построения фильтра.


5. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Линейная фильтрация очень широко используется при устранении

шумов на изображениях. Линейные КИХ-фильтры достаточно эффек-тивны в вычислительном отношении и просты в реализации. Однако в приложении к цифровым изображениям они обладает рядом сущест-венных недостатков: размывают очертания объектов и могут уничто-жать мелкодетальные особенности изображения.

Эффект размывания контуров может быть существенно снижен при использовании нелинейных фильтров. Наиболее простым приме-ром является метод медианной фильтрации.

5.1. Медианная фильтрация

Этот метод нелинейной обработки сигналов, разработанный Тью-ки оказывается очень полезным при подавлении аддитивного шума, причем, он особенно эффективен, если шум v – импульсный и пред-ставляет собой ограниченный набор пиковых значений на фоне нулей.

Метод очень прост, не требует настройки (является непараметри-ческим) и поэтому получил широкое распространение. Медианный фильтр реализуется как процедура локальной обработки скользящим окном различной формы (рис. 32), которое включает нечетное число отсчетов изображения (обозначим количество пикселов в скользящем окне через N).

Рис. 32. Примеры скользящих окон медианного фильтра

83


Процедура обработки заключается в том, что для каждого положе-ния окна попавшие в него отсчеты упорядочиваются по возрастанию (или убыванию) значений. Средний отсчет в этом упорядоченном спи-ске называется медианой рассматриваемой группы из N отсчетов, для

него существует 12

N − отсчетов, меньших или равных ему по величи-

не, и столько же больших или равных. Эта медиана заменяет цен-тральный отсчет в окне для обработанного сигнала.

В результате применения медианного фильтра наклонные участки и резкие перепады (скачки) значений яркости на изображениях не из-меняются, это очень полезное свойство именно для изображений, на которых, как известно, много контуров (ступенчатых границ функции яркости). В то же время импульсные помехи, длительность которых составляет менее половины окна, будут подавлены. Чем больше окно, тем более крупные детали будут стираться (рис. 33).

Возможны различные стратегии медианной фильтрации для подав-ления помех. Одна из них рекомендует начинать с минимального окна. Если изменение изображения незначительно, то окно расширяется, и так до тех пор, пока фильтрация не начнет приносить больше вреда, чем пользы («съедать» заведомо полезные детали). Другая возможность за-ключается в каскадной обработке изображения одним и тем же фильт-ром. Следует заметить, что те области, которые остались без изменения на данном шаге каскадной обработки, не будут меняться и в дальней-шем, то есть в процессе фильтрации изображение постепенно стабили-зируется.

Рис. 33. Примеры обработки медианным фильтром с различными окнами

84


85

33

Существует много модификаций медианных фильтров, как одномер-ных, так и двумерных. Отметим одну из них. Взвешенный медианный фильтр отличается тем, что при построении таблицы упорядоченных от-счетов каждый отсчет берется не один раз, а столько, сколько указано его «весом» в окне. Например, для окна × можно задать веса

1 1 11 3 11 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(129)

– теперь таблица будет составляться из 11 чисел. Результат обработки таким фильтром изображения из предыдуще-

го примера выглядит так, как показано на рис. 34, то есть представляет собой нечто среднее между полученными ранее результатами.

Целочисленные веса должны удовлетворять двум условиям: • их сумма должна быть нечетной (для возможности выбора ме-

дианы); • каждый вес должен быть меньше половины суммы (иначе

применение фильтра бессмысленно). Очевидно, метод медианной фильтрации является эвристическим.

Он предполагает использование интерактивных систем обработки изображений, когда пользователь осуществляет экспериментальный подбор окна и текущий контроль за результатами обработки.

Рис. 34. Результат реализации взвешенного медианного фильтра


Что касается качества их работы, то экспериментально установле-на их относительно слабая эффективность при фильтрации флуктуа-ционного шума. Гораздо лучший эффект они дают при обработке изо-бражений, искаженных импульсными помехами, помехами типа «ца-рапин», сбойных строк, «штрихов» и т.п.

При равной среднеквадратичной погрешности восстановления изо-бражение, обработанное медианным фильтром, визуально воспринима-ется лучше, чем изображение, отфильтрованное линейными методами, так как в данном случае сохраняются контуры и границы областей.

5.2. Адаптивные фильтры

Для сохранения контуров и границ объектов на изображении при фильтрации флуктуационного шума широко используют адаптивные фильтры с конечной импульсной характеристикой. Термин «адаптив-ный» означает то, что коэффициенты импульсной характеристики фильтра изменяются в соответствии со структурой обрабатываемого изображения. В общем случае большинство адаптивных фильтров реализуют локальную обработку вида

( ) ( ) ( )2 1 1 2 2; , ,( )1 2

1 2 1 2 1,

1, ,k k D

f n n h n n k kH ∈

= ∑ g n k n k⋅ + + , (130)

где H – нормализующий коэффициент фильтра, обеспечивающий не-смещенность средней яркости обработанного изображения относи-тельно исходного. Коэффициенты фильтра ( )1 2 1 2, ; ,h n n k k зависят от

значений функции яркости изображения в «скользящем окне» D. Для каждого положения окна выполняется либо пересчет отсчетов маски фильтра, либо отбор обрабатываемых в окне пикселов изображения, то есть изменение конфигурации окна. Поэтому, несмотря на исполь-зование линейной обработки отсчетов в окне, процедура адаптивной фильтрации в целом является нелинейной.

Например, коэффициенты фильтра можно определить как

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ; , 1 ,h n n k k g n n= − 1 1 2 2,g n k n k− + + , (131)

при этом нормализующий коэффициент 86


( ) ( )( )1 2

1 2,

1 ,k k D

1 1 2 2,H g n n∈

= −∑ g n k n k− + +

( )

. (132)

Более простой вариант формирует маску фильтра следующим об-разом

( ) ( )1 21 2 1 2

1, если ,, ; ,

0, иначе,

g n n gh n n k k

⎧ 1 1 2 2, ,n k n k− + + ≤⎪= ⎨⎪⎩

γ (133)

где – константа, выбираемая пользователем, или среднеквадратич-ное отклонение значений яркости в скользящем окне или на всем изо-бражении.

γ

σ

) ( )2 1 1 2 2,

Это очень напоминает другую распространенную процедуру, реали-зующую -фильтр, которая выполняет взвешенное усреднение только тех отсчетов в окне, чье значение не слишком сильно отличается от зна-чения яркости центрального пиксела обрабатываемого окна

( ) (( )1 2

1 2 1,

, ,k k D

f n n h k k∈

∑ g n k n k= ⋅ + +

) ( )

, (134)

где обрабатываемая окрестность формируется следующим образом:

( ) ({ }2 1 2,k g n n1 2 1 1 2, : ,D k k g n k n σ= + + − ≤ , (135)

а коэффициенты фильтра реализуют простое или взвешенное усред-нение (см., например, сглаживающие маски (128)) .

Другой пример – фильтр Ли. При его реализации выполняется оценка локального среднего ( )1 2,n ngμ ( )2

1 2,g n nσ

( ) ( )1 2 1 21 ,n n n n= + −

и дисперсии значе-

ний яркости изображения, расположенных в текущем окне D. Выход-ное значение фильтра формируется следующим образом:

( )1 2, ,f n n g ⎡ ⎤⎣ ⎦α

( )( )

,

87

( )2 2

1 22

1 2

,ax 0,

,g

1 2, m v

g

n n

n n

σ σ

σ

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

n nα = , (136)


88

2vσгде – оценка дисперсии шума на обрабатываемом изображении.

Если ( )1 2,g vn nσ σ>> , то ( )1 2, 1n nα ≈ и ( ) ( )1 2 1 2, ,f n n g n n= , то есть ни-

каких изменений не происходит, но если ( )1 2, vn ngσ σ<<

= ( ) (1 2 1, g

, то

и ( )1 2, 0n nα )2,f n n n= μ

)}

n . Таким образом, фильтр выполняет

сглаживание лишь тогда, когда сигнал слабо отличается от шума, и оставляет значения яркости неизменными, когда обнаруживается наличие сильного сигнала. Основным недостатком этого фильтра яв-ляется то, что в окрестностях контуров, границ объектов и других де-талей изображения шум не устраняется.

5.3. Ранговая обработка изображений

После обсуждения медианных и адаптивных фильтров совсем не-сложно понять принцип действия ранговых алгоритмов. Это сущест-венно более широкий класс процедур, куда медианная и адаптивная фильтрации входят как частный случай. Понятие ранговой обработки введено в 80-х годах, хотя многие давно известные алгоритмы можно интерпретировать как ранговые. Причем фильтрация и восстановле-ние сигналов это лишь одна из задач, которые решаются при помощи ранговой обработки. Среди других можно назвать препарирование изображений, выделение областей заданной геометрии, анализ стати-стических характеристик изображений и т.д. Тем не менее, фильтра-ция – важнейшее приложение ранговых фильтров, поэтому они и рас-сматриваются в данной главе.

Чтобы не быть жестко привязанными к задаче восстановления, вернемся к понятию системы и будем считать, что f – входной сигнал, g – выходной – результат обработки.

Также как медианные фильтры и многие другие известные нам процедуры обработки изображений, ранговые фильтры реализуют об-работку «скользящим окном»:

( ) ({ ( )2 1 2, ,1 2 1 1 2, ,g n n f n k n= Φ + + k k k D⎡ ⎤∈⎣ ⎦ , (137)


89

{ }f

( )1 2,n n

{ }

где Φ - оператор преобразования отсчетов входного сигнала , D – «окно», определенное относительно начала координат. Принцип действия (и идея) ранговой обработки заключается в том,

что для каждого положения окна (то есть для фиксированных значе-ний ) строится и анализируется вариационный ряд по отсчетам,

попадающим в окно. Вариационным рядом совокупности из N чисел { }rf называется последовательность f , в которой эти числа упоря-

дочены по неубыванию:

1 2 3 Nf f f f≤ ≤ ≤K . ≤

Значение индекса r (порядковый номер числа rf

( ){ }1 2 1, , ,Nr rf n n

=⎡ ⎤= Φ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ){ }1 2,rf n n

( )1 2,n n

( )1 2,

в вариационном ряду) называется рангом, а само это число r - порядковой статистикой (или статистикой порядка r).

Итак, для ранговых алгоритмов нелинейный оператор преобразо-вания Φ строится через вариационный ряд отсчетов в окне D:

( )1 2g n n (138)

где - вариационный ряд для положения окна с центром

в точке , при котором формируется выходное значение

n n , N – число отсчетов в окне D. g

(Ниже, учитывая, что для всех )1 2,n n

)r N

обработка ведется одинако-

во, аргументы мы писать не будем. Пределы индексации ва-

риационного ряда тоже очевидны ( 1

( 1 2,n n

≤ ≤

{ } .rg f= Φ ⎡ ⎤⎣ ⎦

), поэтому опустим и их. Таким образом, будем использовать краткую запись:

(139)

Приведем примеры простейших ранговых фильтров.

Пример 7. Медианный фильтр в терминах ранговой обработки за-писывается в виде


90

21+= Nfg , при N – нечетном. (140)

Пример 8. Пусть обрабатываются бинарные изображения. В ва-риационном ряду будут только два значения порядковых статистик 0 и 1. Тогда могут быть определены следующие операции:

эрозия: , 1fg =

Nfg =

,r

дилатация: . Те же операции на полутоновом изображении дадут выделение,

соответственно, наименьшего и наибольшего отсчета в окне (эта опе-рация тоже может быть полезна).

Очевидно, для приведенных примеров можно построить один уни-версальный фильтр

(141) g f=

где ранг r задается в виде параметра.

Пример 9. Подчеркивание контуров.

1ffg N − . =

На участках без контуров (с малыми вариациями яркости) значе-ние g будет близко к нулю, а на участках со скачком яркости произой-дет выделение перепада (рис. 35).

Из других видов формирования отсчета выходного сигнала по ва-риационному ряду отметим усреднение:

{ }1

1 .N

r rr

E f fN =

= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ (142) g

Пока это не имеет явного смысла (усреднение по вариационному ряду дает тот же результат, что и простое усреднение отсчетов по ок-ну), но при дальнейшем изложении мы увидим ситуацию, когда вы-полнение этой операции будет оправдано.


а) б)

Рис. 35. Пример подчеркивания контуров с использованием ранговой обработки:

a) исходный сигнал; b) выделенный контур

Далее, во многих случаях полезно принимать во внимание и значение центрального отсчета входного сигнала – ( )1 2,f n n

0

. Мы его для кратно-

сти обозначим f , тогда ранговый фильтр запишется в общем виде:

{ } 0,r

91

g f f= Φ ⎡ ⎤⎣ ⎦ . (143)

Указание значения центрального отсчета дает возможность по-строить многочисленные новые процедуры обработки (или переос-мыслить известные с точки зрения «ранговости»).

Пример 10. Экстремальный фильтр:

1 0 1 0

0 1 0

,.

N

N N

ï ðèï ðè

f f f f fg

f f f f f− < −− ≥ −

⎧= ⎨⎩

(144)

Выходной отсчет будет максимальным или минимальным в окне в зависимости от того, к чему ближе центральный отсчет в окне. Та-кой фильтр полезен при выделении контуров (рис. 36). Вспомним, что при пороговой обработке была проблема с выбором порога из-за раз-мытости мод вероятностного распределения (рис. 37а). После много-кратной экстремальной фильтрации «промежуточные» значения ис-чезнут, моды станут четче (рис. 37б), и порог выбрать легче.


Рис. 36. Иллюстрация работы экстремального фильтра

а) б) Рис. 37. Пример использования экстремального фильтра: а) распределение значений

исходного сигнала; б) распределение значений преобразованного сигнала

Кроме того, при многократной экстремальной фильтрации изо-бражение стремится к кусочно-постоянному, на нем выделяются од-нородные области. А это решение задачи сегментации, которая часто возникает при распознавании объектов и анализе сцен.

И, наконец, приведенный пример показывает, что такой обработ-кой можно повысить резкость и улучшить качество изображений, так как компенсируются динамические искажения функции яркости – происходит восстановление исходного кусочно-постоянного изобра-жения из расфокусированного.

Необходимо отметить, что на работу экстремального фильтра в описанном варианте сильно влияют флуктуационные шумы. Его несомненное достоинство – простота.

Прежде чем двигаться дальше, сделаем одно важное отступление. Построение вариационного ряда для большого размера окна N являет-ся трудоемкой процедурой. Тем более, что ее надо выполнять для

92


93

2.N

каждого положения окна (то есть для каждого отсчета выходного сиг-нала). Если делать обычную сортировку, то сложность вычислений будет примерно пропорциональна Однако есть другой путь реа-лизации рангового алгоритма, обходящий указанную трудность. Он основан на следующем факте: вариационный ряд целочисленных (квантовых по уровню) отсчетов взаимно однозначно связан с ло-кальной гистограммой отсчетов в окне. Данное утверждение иллю-стрируется на рис. 38.

Рис. 38. Пример соответствия вариационного ряда и гистограммы

Гистограмму при движении окна можно вычислять рекурсивно. При этом сложность вычислений не зависит от размеров окна N.

Связь вариационного ряда и гистограммы полезна не только в «технологическом» смысле, то есть для упрощения вычислений. Не менее важно, что, имея в виду эту связь, можно интерпретировать в ранговой форме те процедуры обработки изображения, которые ос-нованы на анализе распределения яркости. Продолжим примеры.

Пример 11. Скользящая эквализация изображений. В поэлементных преобразованиях обсуждалась (п. 1.3) эквализа-

ция изображений, при которой значение яркости делались равномер-ными в некотором диапазоне [ ]min max,g g . Ранее отмечалось, что такая

эквализация может быть адаптивной и, в частности, скользящей. Ока-


зывается, это тоже ранговая процедура. Действительно, для эквализа-ции выполняется поэлементное преобразование вида:

( ) ( )min 0 min ,g P f g+maxg g= − ,

( )0P f

0f 0f

- интегральная функция распределения отсчетов в окне. где

Интегральная функция, будучи умноженной на N, показывает чис-ло отсчетов, не превышающих , то есть ранг отсчета , его по-

ложение в вариационном ряду:

( )00 fN P f r⋅ = xr rf - где - функция, обратная .

То есть

0min

min .fg g

g r gN−

= +max (145)

Вернемся к задаче фильтрации. Пусть обрабатываемое изображе-ние искажено шумом. Можно предположить, что наиболее искажен-ные отсчеты (то есть отсчеты, наиболее отличающиеся от среднего), будут располагаться по краям вариационного ряда, полученного по окну. Средняя часть ряда будет характеризовать полезный (медленно и слабо меняющейся) сигнал. Для достижения эффекта фильтрации, прежде чем формировать выходное значение из вариационного ряда, полезно отбросить в нем шумовые «хвосты». Или, что эквивалентно, выделить в нем центральную часть. Обычно выделяемая часть вариа-ционного ряда строится как некоторая окрестность вокруг отсчета с заданным значением с. В качестве центра окрестности обычно берут: • входной центральный отсчет 0c f= ,

94

• медиану - 2

c 1+= Nf ,

• среднее значение - { }[ ]rfEc = и т.п. Причем, выделяется три основных типа окрестностей. Для их по-

яснения воспользуемся рис. 39 (на рисунке окрестность строится стро-го вокруг некоторого отсчета со значением с).

1) Окрестность по значениям определяется неравенством:


95

.x r xcc fε ε≤ + (146) − ≤

c rr r

2) Окрестность по рангам: .c rrε ε≤ + (147) − ≤

3) Окрестность по К ближайшим «соседям».

⎥⎤

− rfc (148) ⎦+≤≤ kqrq

max

q

⎢⎣

⎡≤≤− rqkr cc

min

- отбираются k+1 отсчетов в вариационном ряде, начиная с номера .

Рис. 39. Основные типы окрестностей в вариационном ряду

Обозначим операторы выделения окрестностей (то есть формирования «укороченного» вариационного ряда { }r

∗ ) следующим образом: f

для окрестности по значениям:

{ } { } , ,r f r xf D f cε= ⎡ ⎤⎣ ⎦

{ } { }, , ,r r r r

∗ , (149)

для окрестности по рангам:

f D f cε∗ = ⎡ ⎤⎣ ⎦

{ } { }, , .r k r

(150)

для окрестности по К ближайшим «соседям»:

D f K c∗ = ⎡ ⎤⎣ ⎦ (151) f


96

1 ,r N N N∗ ∗

(причем будем считать, что у усеченного ряда ранги уже перенумеро-ваны: ≤ ≤

0

). ≤

В различных ситуациях предпочтителен разный тип окрестности. Выбор окрестности по значениям позволяет учесть при обработке ап-риорную информацию о величинах скачков на изображении, диспер-сии шума и, например, отбросить отсчеты, слишком далекие от f . Окрестность по рангам полезна при фильтрации импульсных помех. Окрестность по К «соседям» позволяет использовать при обработке фиксированное число отсчетов (то есть ориентироваться на детали оп-ределенной площади). Есть и реализационные различия. Окрестность по значениям проще всего определяется по гистограмме. Окрестность по рангам – по вариационному ряду. Окрестность по К ближайшим «соседям» в любом случае определяется наименее удобно.

После выделения окрестности получаем более короткий вариаци-онный ряд. C ним можно проделывать те же операции, что и с полным вариационным рядом: формировать выходное значение, еще раз выде-лять окрестность другого типа и т.д.

Пример 12. Розенфельд описал алгоритм сглаживания по К «со-седям», который в наших обозначениях запишется в виде

{ }[ ]{ }0fkfDE rK ,,g = (152) - то есть за центр окрестности принимается значение центрального от-счета в окне.

Такой фильтр оказался очень эффективен для сглаживания шума на кусочно-постоянных изображениях, т.к. он усредняет шум по близким

отсчетaм и при этом не искажает перепады (скачки) яркости. ( )1+k

Пример 13. Упомянутый в п. 5.2 сигма-фильтр, работает по пра-вилу:

{ }{ }0, , .f rD f fσ= ⎡ ⎤⎣ ⎦g E (153)


При надлежащем выборе ширины окрестности сигма-фильтр хо-рошо фильтрует шумы и, кроме того, подобно экстремальному фильт-ру приближает изображение к кусочно-постоянному.

Описанные фильтры могут быть применены многократно до полу-чения требуемого результата.

Существует много других процедур ранговой обработки, на кото-рых мы не останавливаемся. В завершение краткого изложения ранго-вых алгоритмов можно сказать следующее. Каждый конкретный ран-говый фильтр мог бы быть построен с упрощением. Например, для экстремального можно было бы сразу находить максимум и минимум из отсчетов в окне. Для сигма-фильтра можно проводить усреднение непосредственно по отсчетам (с отбрасыванием данных по значени-ям). Однако унификация подхода полезна тем, что позволяет создать небольшое число модулей обработки и составить процедуры сочета-нием этих модулей. Для этого необходимо реализовать следующие модули:

• построение вариационного ряда; • выделение окрестности одного из типов; • извлечение характеристик вариационного ряда: порядковой ста-

тистики, ранга xr ;

• усреднение. Все остальные процедуры обработки достигаются их сочетаниями.

Если учесть возможность исследования разных окон и комбинирова-ние ранговых фильтров с линейными и с поэлементными преобразо-ваниями, то очевидны большие возможности ранговых алгоритмов при решении самых разных задач обработки изображений.

97


98

6. ОЦЕНКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ

Задача измерений на изображениях заключается в получении по

имеющимся видеоданным количественных значений параметров, харак-теризующих либо изображение в целом, либо отдельные объекты на нем.

Класс таких задач очень широк: - оценка статистических характеристик изображений, то есть по-

строение и уточнение математической модели двумерного сигнала; - обнаружение объектов и определение их координат; - оценка геометрических параметров объектов и т.д. Рассмотрим последнюю из перечисленных задач, представляющую

наибольший интерес в практических приложениях. Она заключается в определении тех или иных параметров, характеризующих «геомет-рию» изображенных объектов: размеры, площадь, положение, ориен-тацию и т.д.

Пусть имеется изображение, содержащее некоторую совокупность объектов на однородном фоне. Без потери общности можно считать, что изображение бинарное, то есть значения отсчетов, соответствую-щих объектам, равны единице, а отсчеты фона имеют нулевые значе-ния. Полутоновое изображение всегда может быть приведено к бинар-ному в результате пороговой обработки.

Требуется определить общее число объектов , например, частиц, их площадь, центры тяжести, поперечные размеры и т.д. Эти парамет-ры объектов могут представлять самостоятельный интерес и исполь-зоваться в виде списка значений или гистограммы распределения, а могут служить признаками (или «сырьем» для формирования при-знаков) для автоматической классификации (распознавания) объектов.

Анализ поставленной задачи показывает, что многие геометриче-ские параметры объектов могут быть определены с помощью одного и того же универсального алгоритма обработки бинарного изображе-ния. При использовании этого алгоритма все искомые параметры


определяются за один проход по изображению, например, при его по-строчной развертке.

Опишем данный алгоритм измерения геометрических характери-стик объектов на примере определения площадей объектов. Будем считать, что площадь - это число отсчетов, принадлежащих объекту, то есть каждый отсчет представляет собой квадрат единичной площа-ди (рис. 40). Объект определяется по критерию четырехсвязности.

Пусть прямоугольная матрица отсчетов обрабатывается в порядке построчной развертки, то есть слева направо в строке и сверху вниз по строкам. Рассмотрим произвольный отсчет ( )1 2,f n n , не принадлежа-

щей первой строке и левому столбцу матрицы. Обработку граничных отсчетов рассмотрим отдельно.

Рис. 40. Иллюстрация к определению площади объекта

Если , то есть отсчет принадлежит фону, то осуществ-

ляется переход к следующему отсчету.

( )1 2, 0f n n =

( )1 2, 1,f n n =

( )1 21,

Если то выполняется анализ принадлежности текуще-

го отсчета к какому-либо объекту. Для этого дополнительно рассмат-риваются два соседних уже обработанных отсчета: f n n−

( )1 2, 1 .f n n −

( )

и

( )1 2, 1 0,f n n− = − = ( )1 2,1 21,f n n то текущий отсчет Если f n n

представляет собой начальную точку новой области (новый объект).

99


К таблице характеристик областей (в рассматриваемом примере - пло-щадей) добавляется строка этой области, и в нее заносится начальное значение характеристики (для площади - единица).

100

1Если и( )1 2, 1f n n − = ( )1 21, 0,f n n− =

( )1 2, 1f n n −

0

то отсчет присоединяется

к области, к которой принадлежит соседний по горизонтали единич-ный отсчет ( ), пересчитывается характеристика этой облас-

ти (прибавляется единица к площади). (Если и( )1 2, 1f n n − = )1 21, 1f n n− = , то такое же действие выпол-

няется по отношению к области, к которой принадлежит от-счет ( )1 21, .f n n−

( )

(Если )1 2, 1 1, 1f n n− = − =1 2f n n , то анализируются области при-

надлежности этих отсчетов. В случае, если оба соседних отсчета принадлежат одной области,

то выполняется присоединение к ней, как в двух предыдущих случаях. В случае, если эти отсчеты принадлежат разным областям, то эти об-

ласти, а также текущей отсчет объединяются в одну область, характери-стики областей пересчитываются в общую характеристику (площади суммируются и прибавляется единица, чтобы учесть и текущий отсчет).

Все сказанное можно проиллюстрировать следующей схемой, представленной на рис. 41.

Обработка по приведенной схеме выполняется для всех отсчетов, не принадлежащих верхней строке и левому столбцу изображения. Обра-ботка граничных отсчетов ведется по упрощенному алгоритму: для пер-вой строки не рассматриваются отсчеты ( )1 2, 1f n n − , для левого столбца

не рассматриваются отсчеты ( )1 2, 1nf n − (они полагаются нулевыми),

а при анализе углового отсчета f(0, 0) либо ничего не делается (если f(0, 0)=0), либо заводится строка в таблице характеристик (f(0, 0)=1).


Рис. 41. Схема алгоритма расчета геометрических характеристик на изображении

а) б)

Рис. 42. Измерение площади объекта на изображении: пример фрагмента изображения (а);

пример разметки областей алгоритмом (б)

101


102

55Для окончательной ясности рассмотрим пример. Будем измерять

площади объектов на фрагменте × (рис. 42а). Составим таблицу площадей объектов и покажем, как она модифицируется и наращива-ется в процессе построчного просмотра отсчетов. Для краткости в таб-лице показаны только те строчки, для которых 1 2( , ) 1f n n = (то есть от-счеты соответствуют объектам, и таблица изменяется).

Характеристика (площадь) области Текущий отсчет

обл.1 обл.2 обл.3

f(0,1) 1 - -

f(0,2) 1+1=2 - -

f(1,0) 2 1 -

f(1,2) 2+1=3 1 -

f(2,0) 3 1+1=2 -

f(2,1) 3 2+1=3 -

f(2,2) 3+3+1=7 объединена с обл.1 -

f(3,3) 7 - 1

f(3,4) 7 - 1+1=2

Разметка областей приведена на рис. 42б. В итоге получим две об-ласти: площадь первой - 7 отсчетов, второй - 2 отсчета.

Аналогично считаются и многие другие характеристики объектов. Единственным требованием к характеристикам, измеряемым по опи-санному алгоритму, является следующее: должно существовать пра-вило вычисления характеристики объединенной области по характе-ристикам объединяемых областей. Конкретнее, пусть F(D) - характе-ристика, вычисленная по области (множеству отсчетов) D. Тогда должно существовать правило Ф такое, что

( ) ( ) ( )1 2 2, ,F D D∪ = 1Ф F D F D⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )1 2 ,D D = ∅ (154) ∩

- для непересекающихся областей.


Это не очень жесткое ограничение. В частности, ему удовлетво-ряют произвольные характеристики следующих видов:

103

( )( )( )1 2

1 2,

,n n D

n nϕ∈

∑

( )

( ){ }1 2

1 2

,

max,

minn n D

n nψ

∈

1) - «аддитивные» характеристики, ( )F D =

2) - «экстремальные» характеристики, ( )F D =

( )1 2, ,n n ( )1 2,n nψ 1 2,n n

( )( )1 2,

1,n n D

F D∈

=

ϕ - произвольные функции координат . где

Примеры: а) площадь ∑ то есть аддитивная характеристика с

( )1 2, 1n nϕ ≡ ;

б) координаты «краев» изображения по вертикали и горизонтали (рис. 43а).

Здесь

( )( )

{ }

( )( )

{ }

( )( )

{ }

( )( )

{ }1 2

1 2

2 1, ,

3 2,

min ;

minn n D

n n D

1 2

1 2

1 1

3 2,

max ;

max ;n n D

n n D

F D n F D n

F D n∈

=

F D n∈ ∈

∈

=

= =

– экстремальные характеристики с ( )1 1 2,n nψ ( )2 1 2 2,n n nψ = . 1n= и

Подобные «объединяемые» характеристики можно назвать первич-ными (базовыми). По ним можно вычислять некоторые вторичные (производные) характеристики, которые сами по себе не удовлетво-ряют сформированному требованию.


а) б) в) Рис. 43. Измерение геометрических характеристик объектов:

координаты краев области на изображении (а), область изображения и ее центр тяжести (б),

максимальные линейные размеры объекта на изображении( в)

Например, следующие: а) Центр тяжести объекта или области D (рис. 43б) для случая

непрерывных аргументов вычисляется по формулам:

1 1 2

11 2

D

D

x dx dx

dx dxτ =

∫ ∫

∫ ∫;

104

2 1 2

21 2

D

D

x dx dx

dx dxτ =

∫ ∫

∫ ∫. (155)

Для цифрового изображения приведенные выражения запишутся в ви-де

( )

( )

( )

( )

1 2

1 2

,1

n n D

n n D

m = 1 2

1 2

1 2,

2

, ,

; ,1 1

n n D

n n D

n n

m∈ ∈

∈ ∈

=

∑ ∑

∑ ∑ (156)

то есть

101

00

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

00,

10 1,

01 2,

1n n D

n n D

n n D

n

n

μ

μ

μ

∈

∈

∈

⎫

012

00; ,m m

μ μμ μ

= = где

⎪=⎪⎪⎪= ⎬⎪⎪

= ⎪⎪⎭

∑

∑

∑

(157)

- три аддитивные первичные характеристики.


б) Размеры объекта по вертикали и горизонтали (рис. 43в):

{ }( )

{ }( )

{ }( )

{ }( )1 2 1 2

2 2 2, ,

max minn n D n n D

n n∈ ∈−

1 2 1 21 1 1

, ,max min ,

n n D n n Dn n n n

∈ ∈Δ = − Δ = (158)

считаются через четыре экстремальные характеристики, рассматри-ваемые выше.

Подобная методика измерений параметров объектов (и, соответст-венно, понятие первичных и вторичных характеристик областей) мо-гут быть обобщены на случай обработки полутоновых изображений.

105


106

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Распознавание и цифровая обработка изображений (М.: Высшая школа, 1983)

2. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов (М.: Связь, 1980)

3. Ван дер Варден. Алгебра. (M.: Наука, 1976) 4. Виттих В.А., Сергеев В.В., Сойфер В.А. Обработка изображений в ав-

томатизированных системах научных исследований (М.: Наука, 1982) 5. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания (М.: Высшая шко-

ла, 1984) 6. Гренандер У. Лекции по теории образов: Синтез образов 1 (М.: Мир,

1979) 7. Гренандер У. Лекции по теории образов: Анализ образов 2 (М.: Мир,

1981) 8. Гренандер У. Лекции по теории образов: Регулярные структуры 3 (М.:

Мир, 1983) 9. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов

(М.: Мир, 1988) 10. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен (М.: Мир, 1976) 11. Журавлев Ю.И. Избранные научные труды (М.: Магистр, 1998) 12. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. (М.: ИЛ,

1961) 13. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов (М.: Связь,

1979) 14. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. (М.: Наука,

1971) 15. Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений (М.: Мир, 1982, 2 т.) 16. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигна-

лов (М.: Мир, 1978) 17. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов (М.: Мир, 1978) 18. Физический энциклопедический словарь, 2 (М.: Советская энциклопе-

дия, 1962). 19. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении

машин (М.: Наука, 1971)


107

20. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания обра-зов (М.: Наука, 1979)

21. Шмидт В. Диофантовы приближения. (М.: Мир, 1983) 22. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений

(М.: Советское радио, 1979) 23. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и гологра-

фии: Введение в цифровую оптику (М.: Радио и связь, 1987) 24. Chernov V.M. Spectral Method of Algebraic Primitives Extracting Based on

Multidimensional Images Representation. Fundamental Structural Properties in Image and Pattern Analysis. Schriftenreihe der Oesterreichischen Computr Gesellschaft. 130 169-179 1999

25. Chernov V.M. The «modular perceptron»: A linear classes separability in the non-Archimedean features spaces. Proc.of the 10th Scandinavian Conference on Image Analysis (SCIA'97) (Lappeenranta, Finland, 2, 803-808, 1997)

26. Chernov V.M. Diophantine Theorems on Stability of Polinomial Decision Rules. Pattern.Recognition and Image Analysis 11(1) 16-18 (2001)

27. Hewitt E., Ross K. Abstract harmonic analysis. (Berlin, Springer, 1963) 28. Kargaev P.P, Zhigljavsky A. Approximation of real numbers by rationals:

some metric theorems. Journal of Number Theory 65 130-149 1996 29. Pruefer H. Neue Begruendung der algebraischen Zahlentheorie. Math. Ann.

94(3-4) 198-243 1925


Учебное издание

Сойфер Виктор Александрович Сергеев Владислав Викторович

Попов Сергей Борисович Мясников Владислав Валерьевич Чернов Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ:

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА И ОЦЕНИВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Учебное пособие

Технический редактор С.Н. Хонина

Редакторская обработка Н.С. Куприянова Корректорская обработка Е.А. Ларионова

Компьютерная верстка М.А. Вахе, С.В. Смагин Доверстка В.С. Телепова

Подписано в печать 28.12.06. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 6,28. Усл. кр.-отт. 6,40. Печ.л. 6,75. Тираж 50 экз. Заказ . ИП-70/2006

Самарский государственный аэрокосмический университет.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

108


Documents

513.введение в цифровую обработку сигналов и изображений повышение качества и оценивание геометрических