21 ระบบพิกัดฉาก ( Rectangular Coordinate System...2.1 ระบบพ ก ดฉาก (Rectangular Coordinate System) ระบบพิกัดฉาก

เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ

23 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว

ภาพท 2-1 สวนประกอบของระบบพกดฉาก

ภาพท 2-2 จตภาคบนระบบพกดฉาก

บทท 2

ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว

2.1 ระบบพกดฉาก (Rectangular Coordinate System)

ระบบพกดฉาก หมายถง ระบบทใชบอกต าแหนงของจดดวยระยะหางจากแกนทตดกนเปนมมฉาก

โดยระบบพกดฉากประกอบดวย

1. เสนจ านวนจรงในแนวนอน เรยกวา แกน x

2. เสนจ านวนจรงในแนวตง เรยกวา แกน y

3. จดก าเนด คอ จดทแกน x และ y ตดกน

4. พกดรวม คอ ต าแหนงของจดใดๆ บนระนาบ xy

โดยทวไปเรามกเขยนอยในรป คอนดบ ,x y

x แทน ระยะทจดหางจากจดก าเนดในแนวนอน

y แทน ระยะทจดหางจากจดก าเนดในแนวตง

จะเหนไดวาการบอกต าแหนงบนระบบพกดฉากใช 2 , | ,x y x y ในการบอกต าแหนงนนเอง

เมอพจารณาทระนาบ xy พบวาถกแบงออกเปน 4 สวน โดยแตละสวนจะถกเรยกวา “จตภาค”

(Quadrant) สญลกษณทใชแทนคอ Q แตละจตภาคจะมคา x และ y เปนลบหรอบวกตางกนดงภาพท 2-2

บนทกชวยจ า

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

x

y

1Q : จตภาคท 1 2Q : จตภาคท 2

4Q : จตภาคท 4 3Q : จตภาคท 3

, ,

, ,

, | 0, 0x y x y , | 0, 0x y x y

, | 0, 0x y x y , | 0, 0x y x y



ภาพท 2-3 สวนประกอบของระบบพกดเชงขว

ภาพท 2-4 วงกลม 1 หนวย

ตวอยางท 1 จงบอกพกดของจด 3,3 ในจตภาคท 1

จงบอกพกดของจด 2,4 ในจตภาคท 2

จงบอกพกดของจด 1, 2 ในจตภาคท 3




จงบอกพกดของจด 4,1 ในจตภาคท 1

2.2 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System)

ในหวขอท 2.1 เราสามารถบอกต าแหนงของจดใน 2 มตโดยใชระบบพกดฉากได นอกจากนยงมวธการ

บอกต าแหนงของจดใน 2 มต อกหนงระบบนนกคอระบบพกดเชงขว ทงนใชเพอใหเหมาะสมกบการแกปญหาทาง

วทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร โดยระบบพกดเชงขวจะประกอบดวย

1. แกนเชงขว (ลกษณะคลายแกน x ฝงบวก): OX

2. จดก าเนด หรอ ขว: O

โดยทวไปเรามกเขยนบอกต าแหนงของจดบนระบบพกดเชงขวดวย ,r

เมอ r คอ รศมความยาวจากจดก าเนดไปถงจด ,r

คอ มมทวดจากแกนเชงขวไปจนถงเสนรศม

วงกลม 1 หนวย

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

แกนเชงขว



2.2.1 การลงจดบนระบบพกดเชงขว สามารถแบงลกษณะของจดไดเปน 4 แบบ ไดแก

1. ,r : รศมและมม เปนบวกทงค

2. ,r : รศมเปนลบ และมม เปนบวก

3. ,r : รศมเปนบวก และมม เปนลบ

4. ,r : รศมและมม เปนลบทงค

แบบท 1 : รศมและมม เปนบวกทงค ,r

ตวอยางท 1 จงหาพกด o3,30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1,135

ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2,330

ตวอยางท 5 จงหาพกด 1,4

ตวอยางท 6 จงหาพกด 22,

3

มมเปนบวก

หมนทวนเขมนาฬกา

มมเปนบวก

หมนทวนเขมนาฬกา




4


3


3


6


4


8


2


2



ตวอยางท 15 จงหาพกด 9,121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2,56

แบบท 2 : รศมเปนลบ และมม เปนบวก ,r

ตวอยางท 1 จงหาพกด o3,30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1,135

ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2,330


....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................





3


4


3


3


6


4


8




2


2

ตวอยางท 15 จงหาพกด 9,121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2,56


3


6


4


3



แบบท 3 : รศมเปนบวก และมม เปนลบ ,r

ตวอยางท 1 จงหาพกด o3, 30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1, 135



ตวอยางท 6 จงหาพกด 2

2,3


4


6,3




3


4,6


4


2,8


2


8,2

ตวอยางท 15 จงหาพกด 9, 121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2, 56




3


2,6


4


2,3

แบบท 4 : รศมและมม เปนลบทงค ,r



....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................






3


4


3


3


6




4


8


2


2

ตวอยางท 15 จงหาพกด 9, 121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2, 56


3


6



ภาพท 2-5 ต าแหนงของจด o3,30

ภาพท 2-6 ต าแหนงของจด o3,30


4


3

2.2.2 การเขยนพกดในรปแบบอน ในหวขอการลงจดจะท าใหทราบวา จดหนงจด สามารถเขยนบอกพกดได

หลายแบบในหวขอนจงของกลาวถงวธการเขยนพกดในรปแบบอนดงน

กรณทม 0r สงทตองการคอ 0r ใหน า n เมอ 1,3,5,7,n




ตวอยางท 1 จงเขยนพกดของจด o3,30 ส าหรบ 0r

วธท า จากโจทย พกด o3,30 อยในจตภาคท 1 ดงภาพท 2-5

เราตองการ คอ บอกต าแหนงเดม แต 0r

หากเราใสเครองหมายลบลงไปทรศม เปน o3,30

จะไมใชต าแหนงทเราตองการบอก จดดงกลาวจะอยในจตภาคท 3

สงเราตองท าคอ การหามมของจดทอยตรงขามจตภาคใหได

จงจะสามารถเปลยนรศมใหตดลบได ดงนนเราจงน า

จะได o o30 210

หรอ จะได o o 1530 0

ทงนขนอยกบชวงของมม ทโจทยก าหนด หากไมก าหนด

เราจะบวกเพมหรอลบออกกได สรปไดวา

o o o3,30 3,210 3, 150



ตวอยางท 2 ก าหนดใหพกด 22,

3

จงเขยนพกดในรปแบบอนๆ ของพกดดงกลาวโดยมเงอนไขดงน

1. 0r และ 2 4 2. 0r และ 4 2

3. 0r และ 2 4 4. 0r และ 4 2

วธท า กรณท 1 : 0r และ 2 4

จากโจทยก าหนดใหเราม 0r และ 20 2

3

สงทตองการคอ 2 4 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนมากกวาชวงทมอย 2

ดงนน 22 2 4

3

จะได 8

2 43

พกดในรปแบบอนของ 22,

3

ในกรณท 1 คอ 82,

3

กรณท 2 : 0r และ 4 2


3

สงทตองการคอ 4 2 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนนอยกวาชวงทมอย 4

ดงนน 24 4 2

3

จะได 10

4 23


3


3



3

สงทตองการคอ 2 4 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนมากกวาชวงทมอย 2

แตรศมทโจทยก าหนดกบรศมทโจทยตองการนนตางกนตองน า ค

ดงนน 22 3 4

3

จะได 11

2 43


3


3



ภาพท 2-7 ความสมพนธของระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว



3

สงทตองการคอ 4 2 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนนอยกวาชวงทมอย 4

แตรศมทโจทยก าหนดกบรศมทโจทยตองการนนตางกนตองน า ค

ดงนน 24 3 2

3

จะได 7

4 23


3


3

2.3 ความสมพนธระหวางพกดเชงขวและพกดฉาก

(Relationships between polar and rectangular coordinates)

หวขอทผานๆ มาหากเราสงเกตจะพบวาระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขวนนมความสมพนธ

ซงกนและกนอย โดยบางปญหาเราอาจจะตองใชทงสองระบบเขามาแกปญหาในหวขอนจงขอกลาวถง การแปลง

จากระบบพกดฉากไประบบพกดเชงขว และจากระบบพกดเชงขวไประบบพกดฉาก

พจารณาภาพท 2-7 เราจะพบความสมพนธดงน

1. cosx

r หรอ cosx r

2. siny

r หรอ siny r

3. 2 2 2r x y

4. tany

x เมอ 0x


....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

x

y

, ,x y r

0,0 x

y

r



ตวอยางท 1 จงหาพกดฉากของจดทมพกดเชงขวเปน o3,225

วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ ,r o3,225 สงทตองการคอ ,x y

จากความสมพนธขอท 1. และขอท 2. เราจะได

cos 3x r o 2 3 2cos 225 3

2 2

sin 3y r o 2 3 2

sin 225 32 2

ดงนนพกดฉากของพกดเชงขว o3,225 คอ 3 2 3 2,

2 2

ตวอยางท 2 จงหาพกดฉากของจดทมพกดเชงขวเปน 3452,

4

วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ ,r 345

2,4

สงทตองการคอ ,x y

จากความสมพนธขอท 1. และขอท 2. เราจะได

cos 2x r 345 2

cos 2 24 2

sin 2y r 345 2

sin 2 24 2

ดงนนพกดฉากของพกดเชงขว 3452,

4

คอ 2, 2

ตวอยางท 3 จงหาพกดเชงขวของจดทมพกดฉากเปน 1, 1

วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 1, 1x y สงทตองการคอ ,r

จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 2 22 2 2 1 1 2r x y

ดงนน 2, 2r ขนตอนตอไปเราจะหา จากความสมพนธในขอท 4.

1tan 1

1

y

x

ท าใหทราบวา ทเปนไปไดคอ o o45 , 225

พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหจะทราบวาต าแหนงทแทจรงตองอยทจตภาคท 3

เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 1, 1 คอ o2,225 และ o2,45



ตวอยางท 4 จงหาพกดเชงขวของจดทมพกดฉากเปน 0, 2

วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 0, 2x y สงทตองการคอ ,r

จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 22 2 2 20 2 4r x y


2tan

0

y

x

จากสมการดงกลาวท าใหไมสามารถหาคา tan ไดดงนนเราจงพจารณาจากความสมพนธขออนๆ เชน

0cos 0

2

x

r หรอ 2

sin 12

y

r

จากการพจารณาดงกลาวท าใหทราบวา ทเปนไปไดคอ o270

พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหพบวาต าแหนงตองอยบนแกน y

เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 0, 2 คอ o2, 270 และ o2,90

ตวอยางท 5 จงหาพกดเชงขวในรป , , ,r r ของจดทมพกดฉากเปน 2 3, 2

วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 2 3, 2x y สงทตองการคอ ,r

จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 2 22 2 2 2 3 2 16r x y


2 1tan

2 3 3

y

x

ท าใหทราบวา ทเปนไปไดตองอยในจตภาคท 2 หรอ 4 นนคอ 5 11,

6 6

พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหจะทราบวาต าแหนงทแทจรงตองอยทจตภาคท 4

เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 2 3, 2 คอ 114,

6

และ 54,

6


....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................



แบบฝกหดทายบทท 2

1. ก าหนดใหพกดเชงขว 42,

3

จงเขยนพกดในรปแบบอนโดยมเงอนไขดงน

1.1 0r และ 8 10 1.2 0r และ 10 8

1.3 0r และ 4 6 1.4 0r และ 8 6

2. ก าหนดใหพกดเชงขว 52,

6

จงเขยนพกดในรปแบบอนโดยมเงอนไขดงน

2.1 0r และ 8 10 2.2 0r และ 10 8

2.3 0r และ 4 6 2.4 0r และ 8 6

3. จงหาพกดฉากของพกดเชงขวตอไปน

3.1 76,

3

3.2 74,

4

3.3 19872,

6

3.4 7884,

3

4. จงหาพกดเชงขวของพกดฉากตอไปน

4.1 3,1 4.2 2,2 3

4.3 5, 5 4.4 3, 3

เฉลยแบบฝกหดบทท 2

1. 1.1 282,

3

1.2 262,

3

1.3 13

2,3

1.4 232,

3

2. 2.1 372,

6

2.2 592,

6

2.3 31

2,6

2.4 412,

6

3. 3.1 3 3,3 3.2 2 2,2 2 3.3 3,1 3.4 2, 3

4. 4.1 2, 26

n

หรอ 72, 2

6n

, n I

4.2 24, 2

3n

หรอ 5

4, 23

n

, n I

4.3 55 2, 2

4n

หรอ 5 2, 2

4n

, n I

4.4 52 3, 2

3n

หรอ 2

2 3, 23

n

, n I

Documents

21 ระบบพิกัดฉาก ( Rectangular Coordinate System...2.1 ระบบพ ก ดฉาก (Rectangular Coordinate System) ระบบพิกัดฉาก