2102204 Electrical Mathematics Ipioneer.netserv.chula.ac.th/~smana/2102204 Web/2102204... · 2006-06-20 · 2102204 Electrical Engineering Mathematics I เนื้อหา บทที่1-4

2102204 Electrical Engineering Mathematics I

ตอน 2 ตึก 3 หอง 304มานะ ศรียุทธศักดิ์หอง 508 ตึกภาควิชาวิศวกรรมไฟฟา 6 ชั้น

ตํารา คณิตศาสตรวิศวกรรมไฟฟา ศ.ดร.มงคล เดชนครนิทร สํานักพิมพจฬุาฯ

การวัดผลการเรียน การบาน ทดสอบ 10 %

สอบกลางภาค 45 %

สอบปลายภาค 45 %

2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.

2102204 Electrical Engineering Mathematics I

เนื้อหา

บทที่ 1-4 สมการเชิงอนุพันธธรรมดาอันดับ 1 และอันดับสูงกวา 1บทที่ 5-6 ผลเฉลยแบบอนุกรมสําหรับสมการเชิงอนุพันธธรรมดา(สามัญ)

บทที่ 12-14 สมการเชิงอนุพันธยอยบทที่ 15 ปญหาขอบเขต

บทที่ 22 ฟงกชนัของตัวแปรเชิงซอน ฟงกชันวิเคราะห การอินติเกรตในระนาบเชิงซอน อนุกรมเทเลอร อนุกรมโลรองต ทฤษฎีบทเรซิดวิและการประยุกต การสงคงรูป(คงแบบ)


สมการเชิงอนุพันธสามัญ

(ordinary differential equation :ODE)

xyydxdy

yx

', : อนพุันธของ เทียบกับ

)(',)( xfyxfdxdy

==

: ตัวแปรตน (independent variable): ตัวแปรตาม (dependent variable)



(ordinary differential equation :ODE)ODE Linear ODE

สมการเชิงอนุพันธสามญั

เชิงเสน

Nonlinear ODEสมการเชิงอนุพันธสามญั

ไมเชิงเสน

ตัวแปรตาม(y) ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชงิเสน

อนุพันธของตัวแปรตาม (y’, y’’, ..)

ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชงิเสน

ไมมีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…

มีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…

Note: ไมสนใจวา x จะเปนอยางไร

y’’+5xy’+4y=0y’’+5xy’+4y=cos(x)

y’’+5yy’+4y=cos(x)y’’+ 5xy’+cos(y)=0




ODE Homogeneous ODE :เอกพันธ

NonhomogeneousODE :ไมเอกพันธ

Note1: สนใจวา x จะเปนอิสระจาก y, y’,..หรอืไม

x หรือ f(x) อยูติดกับ y, y’,.. เสมอ

มีพจน x หรือ f(x) ที่ไมอยูตดิกับ y, y’,..

Note2: ตองจัดรูปให y, y’.. ไมมีกําลังเปนลบ

y’’+5xy’+4y=0y’’+ 5xy’+cos(y)=0

y’’+5xy’+4y=cos(x)




อันดับ(order)ของสมการ ODE

ระดับขั้น(degree) ของสมการ ODE

y’’+5xy’+4y=cos(x)

y’’’+5x(y’’)2+4xy’+4y=0 3 1(y’’’)2+ 5xy’’+4xy’+4y3=0 3 2

=อันดับสูงสุดของ

อนุพันธ

=เลขชี้กําลังสูงสุดของ

อนุพันธอันดับสูงสุด

2 1


ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

รูปแบบ ลักษณะของผลเฉลย Ex:ผลเฉลยทั่วไป

(general soln.)ติดคาคงตัวไมเจาะจง อยางนอย 1 ตัว

y’’-y =oy=Aex, y=Be-x

ผลเฉลยเฉพาะ

(particular soln.)ผลเฉลยทั่วไปที่แทนคาคง

ตัวไมเจาะจงดวยตัวเลข

y’’-y =oy=2ex, y=3e-x

ผลเฉลยบริบูรณ

(complete soln.)ผลเฉลยทั่วไปที่

ประกอบดวยผลเฉลย

ยอยๆทีเ่ปนอิสระเชิงเสน

y’’-y =oy=Aex + Be-x

ผลเฉลยเอกฐาน

(singular soln.)ไมอาจหาไดจากผลเฉลย

ทัว่ไปของสมการเชิง

อนุพันธ

(y’)2-xy’+y=0y=cx-c2 : gen. soln.

y=x2/4 : singular

สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดบัที่ 1 (1st order ODE)

1st ODE Form1.ตัวแปรแยกกันได(variables separable form)2.เอกพันธ(homogeneous form)3.แมนตรง(exact form)4.เชิงเสน(linear form)

xN

yMdyyxNdxyxM

∂∂

=∂∂

=+ ,0),(),(

dyyxNdxyxM ),(),( =

dyygdxxf )()( =

)()( xQyxPdxdy

=+


dyyN

dxxM

yNxMdxdyIII

dyyQyqdx

xPxp

dyyqxPdxyQxpIIdyygdxxfI

)(1)(

)()(:

)()(

)()(

)()()()(:)()(:

=

=

=

==


1st ODE แบบตวัแปรแยกกันได (variables separable form)

1st ODE แบบตวัแปรแยกกันได (variables separable form)

2/122

2

2

2

12

2

12

2

22

2

)]1([1)1(

)1(

)1()1(2

)1()1(

)1(21)1(

)1()1(1:

)1()1(1)1()1(:ln

:)12(

)()()()(:

xkykexy

exyCC

xyn

Cxnyndxx

xdyy

dxx

xdyy

dxyxdyxSo

xdxdyxdyxydxSolveEx

CdyygdxxfdyygdxxfI

C

C

−=⇒=±=−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⇒=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−=−−⇒−

=−

−=

−⇒−=−

+=+−

+=⇒=

∫ ∫∫

∫ ∫

m

l

ll


1st ODE แบบเอกพนัธ (homogeneous form)

degreesame:),(),,(2.functionshomogeneou:),(),,(.1

),(),(

yxNyxMyxNyxM

dyyxNdxyxM =

Homogeneous function

reenyxFyxF

yyxxyxF

n

deg:),(),(

,:0),(

λλλλ

⇒

→→>


Condition:


)(

)0(:),1(/),1(

)0(:),1(/),1(),(/),(

/1,0/1,0

),(/),(),(/),(),(),(),(),(

xyR

dxdy

xxyN

xyM

xxyN

xyMyxNyxM

xxwhilexxwhile

yxNyxMyxNyxMyxNyxNandyxMyxM nn

=

<−

−−

−=

>=

−=<=>

===

λλ

λλλλλλλλλλfunctionshomogeneou:),(),,(

),(),(yxNyxM

dyyxNdxyxM =


Note: M(x,y), N(x,y) ที่มี คาคงที่ในฟงกชนั จะไมเปนฟงกชนัเอกพันธ Ex: M(x,y)=(4xy+5)


formseparablevariables})({:)2(

formseparablevariables1)(1})({:)1(

)()(

,)()(,

)(),(),(),(),(

⇒=⇒===

⇒=−

≠

=−⇒+=∴

+===⇒=

==⇒=

xdx

ydy

xy

dxdythen

xyuuRif

dxx

duuuR

thenuuRif

dxduxuuR

dxduxuuR

dxduxu

dxdyuR

xyRu

xyuxyif

xyR

yxNyxM

dxdydyyxNdxyxM


1st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)

##][)/(

1

1)21(2

2222))(2(

:A2

##][)/(

)/1(22

)(2)21()(2)21(

:A1functions. shomogeneoudegree 2are2)2(:

2)2(:)32(

2/111

2

1

2

12

332

23222

2/12

2

2222

nd22

22

CxnxyCxnxy

CynxyynxnCyn

vvn

dyy

dvvv

dyvydvydvv

vdyydvydvvvdydyvdyvyydvvdyvy

ydvvdydxvyxset

CxnxyCxnxy

Cxnudxxuduuxdudx

xduudxudxuxduudxuxdxux

xduudxdyuxysetxyandyxSolution

xydydxyxSolveEx

−±=⇒−=⇒

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⇒+−=−⇒

−=+⇒−=+⇒

=+++⇒=++⇒

+=⇒=

+±=⇒+=⇒

+=⇒⇒=⇒=⇒

+=+⇒+=+⇒

+=⇒=+

=+−

∫

∫

ll

lllll

ll

l


1st ODE แบบแมนตรง (exact form)


##...0)2()23(

)2()(3)2(

0)2()(3)2(

0)22()33()4(

3)223(3)134()223()223()134()134(

.shomogeneounotare)223()134(:0)223()134(:)42(

##00),(),(

),(),(),(),(:),(

,0),(),(

22

22

22

=⇒=−−+−+⇒

=−++−⇒⇒

=−++−⇒

=−+++−⇒∴∂∂

=∂∂

⇔=∂

−+∂=

∂++−∂

−+≠−+++−≠++−−+++−

=−++++−−

⇒⇒=⇒=∂

∂+

∂∂

⇒∴

∂∂

=∂

∂=∃

∂∂

=∂∂

=+

∫

∫

yCxxyxy

Cyyxyxx

yydxydxxd

dyydyxdyydxxdxdxxN

yM

xyxand

yyxbut

yxyxandyxyxyxandyxSolution

dyyxdxyxSolveEx

fdfdyy

yxfdxx

yxfy

yxfyxNandx

yxfyxMyxf

xN

yMdyyxNdxyxM

λλλλλQ



#...#)ln(210)ln(

21

0)()(

210

formexact)(

)2(1)()2(

01)(

1

.factorgintegratinas)(offunctionaiswhich)(

1use

).(21)(

21

.formexactinnot2)(0)(:

0)(:)52(

2222

22

22

22

2222222222

222222

2222

2222

22

22

=⇒=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

=−++

⇒=−++

⇒

⇔+

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−∂∂

=∂∂

=+

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+∂

∂=

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−+

⇒+

⇒

++

+⇔+=+

∴⇒−=∂

−+−∂=

∂∂

≠=∂∂

=∂∂

=−+−−

∫ yCyyxyyxd

dyyxyxddy

yxydyxdx

yxxy

yxy

xxN

yxyx

yxx

yyMNow

dyyx

ydxyx

xyx

multiply

yxyx

yxofformaldifferentiexactyxdydyxdxbut

xx

yyxxN

yx

yMSolution

dyyyxxdxSolveEx


##...211

02110

)()(

.factorgintegratinas)/(1usingthen)(offormaldifferentiis)(Since

0)(0)(:

form.exactnot)()(.2

function.shomogeneounotare)(),(1.:.factorgintegratinusing)(:)62(

2

22

2

2323

23

23

23

=⇒=+−

⇒⇒

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⇒=+⇒

+=+⇒=++⇒

∴∂+∂

≠∂∂

+

++−

∫ yCxxy

xxy

dxdxxyxyd

xyxydydxxdy

dxyxxyddxyxydxxdyreformy

yyxxx

yyxxSolutiondxyyxxdySolveEx



#.#2tan21

02tan210

)/(411

414)(

.factorgintegratinas1usingthen:but

form.exactnot:)(),4(.2eous.nonhomogen:)(),4(.1:

)4(:)72(

1

12

2

2

22

2

22

22

22

22

Cxxy

xxyddx

xyd

xy

dxxy

xyddx

xyx

xydxxdy

xxydxydxxdy

xyyxxyyxSolution

dxyxydxxdySolveEx

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

−∴

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

+−−

+−−

+−=−−

−

−

∫



Finding integrating factor:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

≠∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

≠∂∂

=+

∫

∫

dxyM

xN

My

yyM

xN

Mbut

xN

yMif

dxxN

yM

Nx

xxN

yM

Nbut

xN

yMif

dyyxNdxyxMFor

1exp)(isfactorgintegratinthen

)(1.2

1exp)(isfactorgintegratinthen

)(1.1

0),(),(

μ

μ

μ

μ



[ ]

( )[ ] ( )

( ) ( ) #.#)(21

21)(2

021

0)()2

(*0)()2

(

0)()(0)(

2exp1exp)(isfactorgintegratinthen

)(2)02(11.2

.1exp)(factorgintegratinusenotcanthen

)())2(0()(

11.1:

0)()52)(82(

12222

222222

22222

222222

2222

2

22

22

CCnyyxnCnyxnyn

Cyxeyxed

dyyxeyxdeedyyxyxd

dyyxydyxdxdyyyxxdx

edydxyM

xN

My

yxxy

MxN

Mbut

xN

yM

dxxN

yM

Nx

xxyyxx

NyM

Nand

xN

yMSolution

dyyyxxdxSolveEx

yy

yyy

y

==−+⇒=++−⇒⇒

=+⇒⇒=+⇒

=+−+

⇒⇒=+−+

⇒

=+−+⇒=−+−∴

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

=−=−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

≠∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

≠−−−+−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

≠∂∂

=−+−−−

−−

−−−

−

∫

∫∫

∫

lllll

μ

μ

μ

μ


1st ODE แบบเชิงเสน (linear form)


∫+∫∫=∫

+∫∫

=∴

+=⇒

+=⇒⇒=⇒

==+

∫=∫±=⇒+=⇒

=⇒=

=+⇒

=+

−−

∫∫

∫

∫∫

∫

dxxPdxxPdxxP

dxxP

dxxP

dxxP

dxxPdxxPk

CedxxQeeek

CdxxQekek

y

xCdxxQx

xy

CdxxQxyxdxxQxyxd

xQxdx

yxdydx

xddxdyxthen

ekeexkdxxPxn

dxxPxxdxPx

dxxdsatisfythatxselect

xQxyxPxdxdyxx

xQyxPdxdy

)()()(

)(

)(

)(

)()(

)(]['

')(]'['

1)(

')()()(

1

')()()()()(])([

)()(])([)()(

')()()(

)()()()()()()(

)()()()()()(factorgintegratinusing

)()(

φφ

φ

φφφφ

φφφφ

φφ

φφφφφ

φφφφ

l

1st ODE แบบเชิงเสน (linear form)


##5451

411

#.#44

0)4(4)(4)(:formaldifferenti

1)(1)4(formExact0)4(04':3

##444)(

4)(])[(

)(factorgintegratinusing:2

#.#)4(]/4][[1)(

')()()(

1since

)/1()(,')(factorgintegratinusing

/4)(,/1)(,/4)/1(':Solution1

11,04':)92(

)(

)()(

xyCCyx

xCyCxxy

xyddxxyddxydxxdyxx

xN

yy

yM

dxyxdyyxySolutionxCyCxxydxxyd

dxxyd

dxdxy

dxdyxy

dxdyxxxbymultiply

xexSolution

xC

xCdxxx

xxCdxxQx

xy

xeexndxxdxxPekx

xxQxxPxyxy

xwhenyyxySolveEx

dxxP

xndxxPdxxP

+−=⇒=⇒+−==⇒=

+−=⇒=+⇒

=+=+=++∴

=∂∂

=∂∂

==∂+∂

=∂∂

⇔=++⇒=++

+−=⇒+−=⇒⇒−=⇒

−==+=+⇒=

=∫=

+−=+−=+=

==∫⇒∴==∫∫=

−==−=+⇒

===++−

∫

∫

∫∫

∫

Q

l l

φ

φ

φφ

φ

φ

การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา

.00.:)102( ==− tatitoffunctionasiFindEx


#.#)1(

0,00,

*

*)*(***)(bymultiply

)(:factorgintegratin

)()(

,,:

)(

tLRt

LR

tLR

tLR

tLR

eREe

RE

REi

RECC

REitCe

REi

CeRL

LECdte

LEei

eLEeide

LEei

LRe

dtdix

eeex

tQitPdtdi

LEi

LR

dtdiERi

dtdiL

RiVdtdiLVEVVSolution

tLRt

LR

tLRt

LRt

LRt

LR

tLR

dtLR

dtxP

RLRL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=−=⇒

−=⇒+=⇒=→=+=⇒

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=⇒

=⇒=+⇒

=∫=∫=

=+⇔=+⇒=+⇒∴

===+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫∫

φ

φ


การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา

EX: ความชันของเสนแรงสนามไฟฟาจะเปนผลหารระหวางสวนประกอบในแนวแกน y (Ey) กับสวนประกอบในแนวแกน x (Ex) ถา E=(1/x)ax – (1/y)ay จงตัง้และแกสมการอนุพันธ

##)(

0)(21

0)/1()/1(

1,1:

22

22

Cyx

yxd

ydyxdxyx

xy

dxdy

yE

xESolution yx

=+⇒

=+⇒

=+⇒

−=−

=∴

−==


Bernoulli equation:

)()()(

)(1)(

22222

2/:

)()1()()1()()1()()1(

)()()1(

)1()1(

)1(:

22

'2''

''2))1(1('

'

1'

'

'''

''1

xCdxxQx

xzeex

xzzxyzyxy

yz

yyzyyzyxyyEx

ODELinearxQnzxPnzxQnyxPnz

yxQyxPn

yzn

yzyn

zy

yynzyzassume

xdx

n

nn

n

n

nn

φφ

φφ +=⇒=∫=

=+⇒=+⇒=+⇒

=⇒==⇒=+

≡−=−+

−=−+

=+−

∴

−=

−=

−=⇒=

∫

−−

−

−

−−

nyxQyxPy )()(' =+


Riccati equation:

1)21(':

)()]()(2[

)()()(21

)()()(2)]()()([

)()1)(()12)((1)()()(

11:

)()()()(

2

'

2'

2

22

22'

2'

2'

'2

''

2'

−+−+=

≡++=−

++=−

+++++=

+++++=−∴

++=

−=+=

++==

xyxxyyEx

ODELinearxPzxQuxPz

zxQ

zxP

zuxPz

z

zxQ

zxP

zuxPxRuxQuxP

xRz

uxQzz

uuxPzz

u

xRyxQyxPy

zz

uythenz

uyassume

xRuxQuxPuthensolutionaisxuyif

)()()(' 2 xRyxQyxPy ++=

Documents

2102204 Electrical Mathematics Ipioneer.netserv.chula.ac.th/~smana/2102204 Web/2102204... · 2006-06-20 · 2102204 Electrical Engineering Mathematics I เนื้อหา บทที่1-4