16 Algebra CASD Vestibulares

Matemática Frente II

CCAAPPÍÍTTUULLOO 1177 –– FFUUNNÇÇÃÃOO MMOODDUULLAARR

1- O QUE É O MÓDULO? O módulo ou valor absoluto de um número x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. A representação do módulo de x se dá por |x| (x entre duas barras verticais). Vejamos alguns exemplos: |2| = 2 |5| = 5 |-3| = 3 |-0,5| = 0,5

|0| = 0 OBS: Veja que, se o número é negativo, o módulo tem o efeito de trocar o seu sinal. Isso vai ser útil para entender o tópico 2. Pense agora quanto vale |1,2| e |-20|. Se você respondeu 1,2 e 20, você está apto a seguir em frente na leitura.

2 – DEFINIÇÃO MATEMÁTICA

2.1 – Definição algébrica Uma maneira diferente de dizer o que acabamos de definir é:

Por exemplo:

, pois

, pois 4 < 0 (aqui, o sinal de menos que colocamos tem o efeito de trocar o sinal) Esta definição é importante principalmente quando dentro do módulo temos expressões mais complicadas. Por exemplo: Digamos que queiramos

saber quais valores de x são tais que . Fazemos o seguinte:

Faremos isso com freqüência em equações e inequações modulares.

2.2 – Definição geométrica Outra maneira de ver o módulo de um número é a distância deste número à origem na reta real. Por exemplo, na figura abaixo estão indicados os pontos 7 e -4 na reta real:

Observe que a distância do ponto -4 à origem é de 4

unidades |-4| = 4, e a distância do ponto 7 à

origem é de 7 unidades |7| = 7.

3 – EQUAÇÕES MODULARES Agora que sabemos a definição algébrica de módulo, podemos utilizar isso para resolver equações que envolvem módulos. Veja os exemplos abaixo:

Exercício Resolvido 1

Resolva: Resolução:

Para que o módulo de valha 10, deve ser 10 ou -10. Vamos então dividir em 2 casos:

Caso 1: Neste caso, temos:

Caso 1: Neste caso, temos:

Resposta:

Exercício Resolvido 2

Resolva: Resolução Dividamos novamente em dois casos:

Caso 1:

Aqui, temos:

Caso 2:

Aqui, temos:

Resposta:

Exercício Resolvido 3

Resolva Resolução:

Chamemos :

Resolvendo a equação do 2º grau: ou

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Como

Assim nossas soluções são

3 – FUNÇÃO MODULAR O ato de aplicar módulo em uma função tem um efeito bastante interessante. Para exemplificar, tome

a função . Sabemos, com o que vimos no capítulo 7, que a função é uma reta crescente que intercepta os eixos coordenados em (1,0) e (0,-1), conforme o gráfico abaixo:

A pergunta agora é: O que aconteceria com o gráfico

se a função fosse ? A resposta é simples: O módulo transforma as imagens negativas em positivas(“reflete-as” para cima do eixo x). Veja

abaixo o sinal das imagens de :

Sendo assim o gráfico de ficaria da seguinte forma:

Podemos abstrair esse raciocínio para qualquer outro tipo de gráfico. Veja:

Exercício Resolvido 4

Esboce o gráfico de Resolução: A primeira coisa a se fazer é esboçar o gráfico da função sem o módulo

Conforme vimos no Capítulo 9: é uma

parábola com concavidade para cima ( ) e que

intercepta o eixo x nos pontos e (suas raízes)

Sendo assim, temos o gráfico de :

“Refletindo” as imagens negativas, temo o gráfico de

:

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Assim, se conhecemos o gráfico de uma função qualquer, podemos facilmente esboçar o gráfico de seu módulo. IMPORTANTE: Muitos problemas de vestibular demandam esboçar gráficos de funções cujas expressões não estão totalmente envolvidas no módulo. Nesses casos, separamos em dois casos usando a definição de módulo. Veja o exemplo abaixo:

Exercício Resolvido 5

Esboce o gráfico de Resolução: Utilizando a definição, temos:

Dividamos então em dois casos:

Caso 1: , ou seja:

Neste caso, , que é uma parábola com concavidade para baixo que intercepta o eixo x nas suas raízes(0 e 1).

Esboçando o gráfico para

Caso 2: , ou seja,

Neste caso, , que é uma parábola com concavidade para cima que intercepta o eixo x nas suas raízes (0 e 1).

Esboçando o gráfico para :

Juntando os dois gráficos, chegamos ao resultado:

Cada problema então exige um raciocínio individual, mas em geral a divisão em dois casos pela definição funciona bem.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nìvel I

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1. Resolva as equações modulares abaixo. Se necessário, consulte os exercícios resolvidos 1,2 e 3:

a)

b) = 0

c)

d)

e)

f)

g) 2. Esboce o gráfico das funções abaixo. Se necessário, consulte a teoria do item 3 e os exercícios resolvidos 4 e 5:

a)

b)

c)

d)

3. Dadas as funções e definidas

por e , o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 4. (ITA-2011) O produto das raízes da equação:

é igual a: a) -5 b) -1 c) 1 d) 2 e) 5 5. (UFJF-2006) Sobre os elementos do conjunto-

solução da equação , podemos dizer que: a) São um número natural e um número inteiro b) São números naturais c) O único elemento é um número natural d) Um deles é um número racional, o outro é um número irracional e) Não existe, isto é, o conjunto-solução é vazio. 6. (UFV-2002) Se x e y são números reais quaisquer, então é CORRETO afirmar que:

a) Se então

b) Se então

c) Se , então

d)

e) 7. (UFPI-2000) A soma das raízes da equação

é: a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2

8. (FATEC-2000) A igualdade é verdadeira para todos os elementos do conjunto

a)

b)

c)

d)

e) 9. (UFMG-2000) Considere a equação

O número de raízes DISTINTAS dessa equação é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

10. (UFRJ-2008) Considere a função

definida por . Determine os valores de

x para os quais 11. (UFPE-2005) Sejam x e y números reais tais que

e . Analise a veracidade das afirmações a seguir:

( )

( )

( )

( )

( ) 12. (PUC-PR-2005) Sendo x e y números reais, quais das afirmações são verdadeiras?

I. Se então

II. Se , então

III. Se então

IV. Se então

V.

13. Se então as raízes irracionais

da equação são:

a) e b) e

c) e d) e

14. (Ufscar-2002) Sejam as funções e

.

a) Calcule as raízes de

b)Esboce o gráfico de Nível II

15. (CEFET-CE-2005) Para , simplificando a

expressão , tem-se:

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a) b) c)

d) e) 16. (PUC-RS-2003) Considerando a função f definida

por , a representação gráfica da

função g dada por é:

17. (Udesc-2009) A alternativa que representa o

gráfico da função é:

18. (Fuvest-2002) O módulo de um número real x

é definido por se e se

. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da função

é:

19. (UEG-2007) Dada a função ,

a) esboce o gráfico da função f b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = -1 e x = 2 20. (UECE-2007) Sobre o conjunto M dos pontos de

interseção dos gráficos das funções

e é possível afirmar que M: a) É o conjunto vazio b) é o conjunto unitário c) possui dois elementos d) possui três elementos 21. (ITA-2007) Sobre a equação na variável real x,

Podemos afirmar que: a) ela não admite solução real b) a soma de todas as suas soluções é 6 c) ela admite apenas soluções positivas d) a soma de todas as soluções é 4 e) ela admite apenas duas soluções reais 22. (MACK-1997) A soma das soluções reais da equação a seguir é:

a) 8 b) 10 c) 6 d) 4 e) 2 Nível III

23. (FUVEST-2004) Seja um número real e sejam f e g funções reais definidas por

e a) Esboçar, no plano cartesiano os gráficos de f e g

quando e

b) Determinar as raízes de quando

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c) Determinar, em função de m, o número de raízes

da equação

GABARITO

1.

a) ou

b)

c) ou

d)

e) ou

f) ou g) Não existem soluções reais(nem complexas :P) 2. a)

b)

c)

d)

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3. b 4. a 5. a 6. c 7. a 8. c 9. c

10. ou 11. VVFFV 12. As corretas são II e III 13. c

14. a) ou b)

15. d 16. a 17. a 18. E 19. a)

b) 5,5 20. c 21. d 22. a 23. a)

b) , ou c)

2 soluções

4 soluções

3 soluções

2 soluções

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