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2.2 方程式的圖形

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2.2 方程式的圖形

學習目標 手繪方程式的圖形。 求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。 寫出圓方程式的標準式。 求兩個圖形的交點。 用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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方程式的圖形

在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係，這些圖形為座標平面上點的集合 ( 參考 2.1 節範例 2) 。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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方程式的圖形

兩個數量的關係常以方程式來表示。例如，華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式 。在這一節，可學到描繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形 (graph) 就是這個方程式所有解的點集合。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

932

5F C

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範例 1 　描繪方程式的圖形

描繪 y ＝ 7 － 3x 的圖形。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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範例 1 　描繪方程式的圖形 （解）

描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，如下所示。例如，當 x ＝ 0 時

y ＝ 7 － 3(0) ＝ 7

所以 (0, 7) 為圖形上的一個解點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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範例 1 　描繪方程式的圖形 （解）

從表可知， (0, 7) 、 (1, 4) 、 (2, 1) 、 (3, － 2) 和 (4, － 5) 是方程式的解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.13 所示。所以方程式的圖形就是通過這五個點的直線。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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學習提示

雖然將圖 2.13 的圖形視為 y ＝ 7 － 3x 的圖形，實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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檢查站 1

描繪 y ＝ 2x ＋ 1 的圖形。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-10

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範例 2 　描繪方程式的圖形

描繪 y ＝ x2 － 2 的圖形。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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範例 2 　描繪方程式的圖形 （解）

首先製作表格，如下所示。

接著，畫出表中的點，如圖 2.14(a) 所示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.14(b) 所示。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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範例 2 　描繪方程式的圖形 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.14

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學習提示

範例 2 所示的圖形為拋物線 (parabola) 。任何一個二次方程式如

y = ax2 + bx + c, a 0

其圖形有相似的形狀。如果 a > 0 ，則拋物線開口向上，如圖 2.14(b) ，如果 a < 0 ，則拋物線的開口向下。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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檢查站 2

描繪 y ＝ x2 － 4 的圖形。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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方程式的圖形

範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的，但是有一些缺點：如果解點太少，可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如，該如何連接在圖 2.15 中的四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.16 中的三個圖形都是合理的。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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方程式的圖形

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.15

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方程式的圖形

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11 圖 2.16

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圖形的截距

含有零的解點，不管是 x 座標或 y 座標，都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點，所以稱為截距 (intercepts) 。

有些書是用點 (a, 0) 的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11~2-12

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圖形的截距

一個圖形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.17 所示。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.17

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代數技巧代數技巧

求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習，可參考本章的代數複習。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-11

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範例 3 　求 x 和 y 截距

求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a. y ＝ x3 － 4x

b. x ＝ y2 － 3

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12

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範例 3 　求 x 和 y 截距 （解）

a. 令 y ＝ 0 ，則 0 ＝ x(x2 － 4) ＝ x(x ＋ 2)(x － 2) 。所以 x ＝ 0 或 x ＝ ±2 。令 x ＝ 0 ，則 y ＝ (0)3－ 4(0) ＝ 0 。 x 截距： (0, 0), (2, 0), ( － 2, 0)

y 截距： (0, 0) 參考圖 2.18

b. 令 y ＝ 0 ，則 x ＝ (0)2－ 3 ＝ － 3 。令 x ＝ 0 ，則 y2 － 3 ＝ 0 的解 y ＝ 。

　　 x 截距： ( － 3, 0) 　 y 截距： (0, ), (0, ) 參考圖 2.19

3

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12

3

3

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範例 3 　求 x 和 y 截距 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.18

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範例 3 　求 x 和 y 截距 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12 圖 2.19

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檢查站 3

求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。a. y ＝ x2 － 2x － 3

b. y2 － 4 ＝ x

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12

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圓

讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型的圖形。例如， y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， a ≠ 0 的二次方程式之圖形是拋物線 ( 參考範例 2) ，另一容易辨識的是圓 (circle) 的方程式。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-12

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圓

考慮如圖 2.20 的圓。一點 (x, y) 在圓上的條件為若且唯若它與圓心 (h, k) 的距離是 r 。由距離公式可得，

將方程式的兩邊平方，即可得到圓方程式的標準式 (standard form of the equation of a circle) 。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

2 2( ) ( )x h y k r

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圓

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13 圖 2.20

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圓

由此，可看出以原點 (h, k) ＝ (0, 0) 為圓心的圓方程式的標準式可化簡為 x2 + y2 = r2 以原點為圓心的圓

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

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範例 4 　求圓的方程式

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13 圖 2.21

已知點 (3, 4) 在圓心為 ( － 1, 2) 的圓上，如圖 2.21 所示。求此圓方程式的標準式。

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範例 4 　求圓的方程式 （解）

圓的半徑等於 ( － 1, 2) 和 (3, 4) 之間的距離。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

2 2[ ( )] ( )

16 4

20

3 1

4

2

r

距離公式

化簡

半徑

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範例 4 　求圓的方程式 （解）

用 (h, k ) = (1, 2) ，則圓方程式的標準式為

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

2 2 2

2 2 2

2 2

1 2 2

( ) (

0

)

[ ( )] ( ) ( )

( 1) ( 2) 20

x h y k r

h k rx y

x y

代入

、 和 的值

寫 出標準式

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檢查站 4

已知點 (1, 5) 在圓心為 ( － 2, 1) 的圓上，求此圓方程式的標準式。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

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圓

若要把一般式改為標準式，可用完全配方 (completing the square) 來處理，如範例 5 所示。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-13

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範例 5 　完全配方

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

描繪一般式為方程式 4x2 ＋ 4y2 ＋ 20x － 16y ＋ 37 ＝ 0 的圓。

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範例 5 　完全配方 （解）

首先將方程式除以 4 ，使得 x2 和 y2 的係數皆為 1 。

從這個標準式可看出圓心為 ( － , 2) 以及半徑為 1 ，如圖 2.22 所示。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

5

2

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範例 5 　完全配方 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14 圖 2.22

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檢查站 5

寫出圓x2 ＋ y2 － 4x ＋ 2y ＋ 1 ＝ 0

之方程式的標準式，並繪出其圖形。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

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圓

一般式的方程式 Ax2 ＋ Ay2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 並非都是圓。事實上，如果完全配方後得到不可能的結果，這個方程式就沒有任何的解點。例如 (x － h)2 ＋ (y － k) 2 ＝ 負數　　　無解

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

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交點

兩個圖形的交點 (point of intersection) 就是這兩個圖形共同的解點。例如，圖 2.23 所示，方程式 y ＝ x2 － 3 和 y ＝ x － 1 的圖形有兩個交點： (2, 1) 和 ( － 1, － 2) 。求交點時，先令兩方程式的 y 值相等，然後解方程式 x2 － 3 ＝ x － 1 以求 x 值。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14 圖 2.23

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交點

交點常見的商業應用就是收支平衡分析 (break-even analysis) 。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時，產品的銷售就達到收支平衡點 (break-even point) 。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成本 (total cost) ，以 R 表示銷售 x 單位產品的總收入 (total revenue) 。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得收支平衡點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

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範例 6 　求收支平衡點

某家公司生產一種產品的單位成本為 $0.65 ，而單位售價為 $1.20 ，生產此產品的期初投資為 $10,000 。如果賣出 18,000 單位的產品，這家公司會收支平衡嗎？要售出多少單位才能收支平衡？

第二章 函數、圖形與極限 P.2-14

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範例 6 　求收支平衡點 （解）

生產 x 單位產品的總成本為　　 C ＝ 0.65x ＋ 10,000 　　成本方程式售出 x 單位的總收入為

　　 R ＝ 1.2x 　　　　　　　收入方程式令成本等於收入，解出 x 值以求得收支平衡點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

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範例 6 　求收支平衡點 （解）

所以如果只售出 18,000 單位，這家公司不會收支平衡，須售出 18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.24 可看出結果。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

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範例 6 　求收支平衡點 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.24

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檢查站 6

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

在範例 6 中，如果產品的單位售價是 $1.45 ，則公司須售出多少單位才能收支平衡？

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交點

經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式 (supply equation) 表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係，供給方程式的圖形稱為供給曲線 (supply curve)( 參考圖 2.25) 。典型的供給曲線是上升的，因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

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交點

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.25

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交點

需求方程式 (demand equation) 表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係，需求方程式的圖形稱為需求曲線 (demand curve)( 參考圖 2.26) 。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

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交點

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.26

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交點

在理想的情況下，如果沒有其他因素影響市場的話，產量應該會固定在供給曲線和需求曲線的交點，這個點稱為平衡點 (equilibrium point)，平衡點的 x 座標稱為平衡數量 (equilibrium quantity) ，而 p 座標稱為平衡價格 (equilibrium price)( 參考圖 2.27) 。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x ，即可得平衡點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15

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交點

第二章 函數、圖形與極限 P.2-15 圖 2.27

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範例 7 　求平衡點

DVD 播放機的需求和供給方程式分別為 p = 195 － 5.8x 需求方程式 p = 150 + 3.2x 供給方程式

其中 p 表示單價 (美元 ) ，而 x 表示數量 (百萬 ) ，求市場的平衡點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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範例 7 　求平衡點 （解）

令需求方程式等於供給方程式。 195 － 5.8x = 150 + 3.2x 令方程式相等 45 － 5.8x = 3.2x 等號兩邊各減

150

45 = 9x 等號兩邊各加 5.8x

5 = x 等號兩邊各除以 9

所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時 ( 參考圖 2.28) 。此時的價格可由代入 x ＝ 5 到任一方程式而求得。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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範例 7 　求平衡點 （解）

例如，代入需求方程式可得p ＝ 195 － 5.8(5) ＝ 195 － 29 ＝ $166

代入 x ＝ 5 到供給方程式也會得到同樣的價格。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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檢查站 7

計算機的需求與供給方程式分別為 p ＝ 136 － 3.5x 和 p ＝ 112 ＋ 2.5x ，其中 p 表示單價 (美元 ) ，而 x 表示數量 (百萬 ) ，求市場的平衡點。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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數學模型

本書將可看到很多使用方程式做為實際生活問題的數學模型 (mathematical models) 的例子。在發展用來表示實際資料的數學模型時，應該朝向兩個 ( 通常是互相牴觸的 ) 目標——準確和簡易。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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範例 8 　數學模型的使用

下表顯示從 2001 到 2005 年 Dillard’s 和 Kohl’s 公司的年營業額 (百萬美元 ) 。在 2006 年夏天， Value Line 預測 2006 年兩家公司年營業額分別為 7625 和 15,400 (百萬美元 ) 。這些預測是如何得到的？ ( 資料來源： Dillard’s 和 Kohl’s 公司 )

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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範例 8 　數學模型的使用 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17

這些預測是用過去的營收來推測未來的營業額所得到的。過去的營收用一個方程式來做模型，而這個方程式是由一種統計學的最小平方迴歸分析方法所得到的。

S = 56.57t2 － 496.6t + 8618, 1 ≤ t ≤ 5 Dillard’s

S = 28.36t2 － 1270.6t 6275, 1 ≤ t ≤ 5 Kohl’s

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範例 8 　數學模型的使用 （解）

用 t ＝ 6 表示 2006 年，則可推測 2006 年營收為

S = 56.57(6)2 － 496.6(6) + 8618 7675 Dillard’s

S = 28.36(6)2 － 1270.6(6) + 6275 14,920 Kohl’s

這兩個預測值非常接近 Value Line 的預測，兩個模型的圖形顯示在圖 2.29 。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17

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範例 8 　數學模型的使用 （解）

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17 圖 2.29

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代數技巧

對範例 8 中式子的求值，如有需要可參考本章代數複習的運算順序。

第二章 函數、圖形與極限 P.2-16

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檢查站 8

下表顯示從 1999 到 2005 年 Dollar General 公司的年營業額，在 2005年夏天， Value Line 預測 2006 年 Dollar General 年營業額為 9300 (百萬美元 ) ，此預測與下列模型的預測如何比較？ ( 資料來源： Dollar General 公司 )

S ＝ 16.246t2 ＋ 390.53t － 951.2, 9 ≤ t ≤ 15

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17

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學習提示

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17

若要評估模型的準確度，可將實際值與模型的預測值做比較。例如，下表比較 Kohl’s 的實際營業額與範例 8 之模型所求得的值。

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數學模型

第二章 函數、圖形與極限 P.2-17

微積分的內容大都以數學模型之圖形的變化為中心，圖 2.30 顯示六個基本代數方程式的圖形，熟悉這些圖形將有助於建立數學模型從而加以應用。

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數學模型

第二章 函數、圖形與極限 P.2-18 圖 2.30