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普通物理：23 Electric Fields (2008)
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第 23 章電場 (Electric Fields)
這補充講義，學生上課時必須帶著。老師上課使用英文的畫面，學生若看不懂原文，以這份文件(中文為主、英文為副)對照一下，瞭解名詞含義。學習專業知識，瞭解專有名詞是第一步，老師不希望學生學習專業或基礎知識，語言或文字是學習的障礙。英文是目前國際上主流文字，無論商業或科技文章皆是以英文為主，所以本課程教科書是英文原文書，希望學生們能要求自己看原文書，要讓自己習慣看懂，否則現在不克服，將來亦是障礙。必要時，自己到圖書館借中文的普通物理，亦可使用網路資源查詢，例如維基百科。老師有幾本中文的普通物理，同學可以借，但是借期一星期。
電、磁、一些歷史 (Electricity and Magnetism, Some History)
許多的應用
可分巨觀(macroscopic)和微觀(microscopic)
在中國的歷史記載
文件上表示於西元前 2000 年磁現象已被觀察到。
在希臘
於西元前 700 年電和磁的現象已被觀察到。
已有實驗使用到琥珀(amber)和磁鐵(magnetite)
在西元 1600 年
William Gilbert 發表電效應(electrification effects)並不是只有琥珀才存在。
電效應是一般的自然現象(general phenomena)。
在西元 1785 年
Charles Coulomb 確定電力(electric forces)的大小滿足反平方定律(inverse square law) 。
在西元 1819 年
Hans Oersted 發現『羅盤(或指南針) (compass)靠近攜帶電流(electric current)的導線(wire)時，指針(needle)會轉動』。
在西元 1831 年
Michael Faraday 和 Joseph Henry 發表『當導線(wire)向磁鐵(magnet)移動時，導線內部會產生電流』。
在西元 1873 年
James Clerk Maxwell 透過觀察(observations)和其它實驗事實(experimental facts)做為根據而建立(formulating) 電磁學(electromagnetism)的定律(laws)。
結合電學(electricity)和磁學(magnetism)而構成統一的(Unified)電磁學理論。
在西元 1888 年
Heinrich Hertz 驗證(verified) Maxwell 的預測(predictions)，並提出電磁波(electromagneticwaves) 。
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電荷 (Electric Charges)
自然存在兩種電荷，一種稱為正(positive)；另一種稱為負(negative)。
如電子(electron)型式帶負電；
如質子(proton)型式帶正電。
同類電荷互相排斥(repel)；異類電荷互相吸引(attract)。
擦 拭 過 的 橡 膠 桿 (rubber rod) 具 負 電 荷 (negativelycharged)。
擦拭過的玻璃桿(glass rod)具正電荷(positively charged)。
當這兩桿靠近時，會互相吸引(attract)。
第一個擦拭過的橡膠桿具負電荷。
第二個擦拭過橡膠桿亦具負電荷。
當這兩桿靠近時，會互相排斥(repel)。
在一個孤立的系統(isolated system)，電荷的總量是維持不變的(conserved)。
例如，擦拭(rubbing)兩個在一起的物件的過程(process)中，電荷不會被建立(created)也不會消失。
起電、帶電(electrification)現象是由於電荷從一物件至另一物件的傳遞(transfer)。
電荷守恆 (Conservation of Electric Charges)
第一個擦拭過的橡膠桿具負電荷。
第二個擦拭過橡膠桿亦具負電荷。
當這兩桿靠近時，會互相排斥(repel)。
以絲綢(silk)擦拭玻璃桿(glass rod)。
電子(electron)從玻璃桿傳遞到絲綢。
每一個電子傳到絲綢，絲綢就增加一個負電(negative charge)。
同時，玻璃桿移去電子，玻璃桿就留下相同量的正電荷(positivecharge)。
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電荷的量化 (Quantization of Electric Charges)
電荷 q, 稱為量化(quantized)。
符號 q 是個標準的符號(standard symbol)，用來當作電荷的變數(variable)。
電荷存在如同分離的封包(discrete packets)。
q = N e
N 為整數(integer)
e 是一個電荷的基本單位(fundamental unit)
|e| = 1.6 × 10-19 C
一個電子(electron)的帶電量：q = -e
一個質子(proton)的帶電量：q = +e
導體 (Conductors)
電導體(electrical conductor)是一種材料(material)內含電子為自由電子(free electron)。
所謂自由電子就是在原子(atom)內部沒有受到拘束(bound) 。
這些電子可以相當自由地穿過材料來移動。
良好的導體範例包含銅(copper)、鋁(aluminum)、以及銀(silver)等，一般為金屬材料。
當良導體內一小區域帶電，電荷會分散至導體材料整體而重新配置。
絕緣體 (Insulators)
電的絕緣體(electrical insulator)是一種材料(material)內含的電子全部拘束在原子內部，而無法移動至原子的外部。
絕緣體的電子沒有自由，以致無法穿過材料來移動。
良好的絕緣體範例包含玻璃(glass)、橡膠(rubber)、以及木頭(wood)等，一般為非金屬材料。
當絕緣體內一小區域帶電，電荷不能分散至導體其它的區域。
半導體 (Semiconductors)
半導體(semiconductor)的電性質(electrical property)位於絕緣體和導體之間。
半導體範例包含矽(silicon)和鍺(germanium)。
感應產生電荷 (Charging by Induction)
藉由感應產生電荷必須與感應電荷的物體沒有接觸(contact)。
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一金屬球(metallic sphere)起始時為電中性(neutral)，換言之，這球具有相同的(thesame)正和負電荷。
一個帶電橡膠桿(charged rubber rod)置於球的近處，但是沒有和球接觸。
在 中 性 球 的 電 子 被 重 新 配 置(redistributed)。
以一導線，將球接地(grounded)。
某些電子透過接地線而離開球體。
將地線(ground wire)移走。
球 體 具 有 更 多 的 正 電 荷 (positivecharges) 。
因此球體已經感應出正電荷。
而後，將負電荷移走。
留存在球體上的電子重新分佈。
球體總電荷依然是正電荷。
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在絕緣體電荷的重新排列 (Rearrangement)
類似於(similar to)感應的過程發生在絕緣體。
材料分子內部的電荷重新排列。
球體總電荷依然是零。
庫倫定律 (Coulomb’s Law)
Charles Coulomb 量測兩個小電荷球之間電力(electric forces)的大小。
他發現電力與球體的電荷和其之間的距離(distance)相關。
兩個靜止(stationary)電荷質點之間的電力由庫倫定律(Coulomb’s Law)決定。
電力大小反正比於(inversely proportional to)質點之間的距離 r 平方，電力方向沿著二質點的連線。
電力大小正比於(proportional to)質點上電荷 q1 和 q2 的乘積。
若電荷為異號 (opposite sign)，則質點之間的力為吸引的(attractive)。
若電荷為同號(like sign)，則質點之間的力為排斥的(repulsive)。
電力是一種保守力(conservative force)。
點電荷(Point Charge)
點電荷係指攜帶電荷、零大小的質點(particle)。
電子和質子電的行為以點電荷模擬它們是很好的模式。
庫倫定律－方程式 (Coulomb’s Law, Equation)
數學上(Mathematically)，庫倫定律表示為：
221
rqq
kF ee
電荷的 SI 單位為 coulomb (C)。
符號 ke 稱為庫倫常數(Coulomb constant)。
ke = 8.9875 × 109 N.m2/C2 = 1/(4eo)
eo 為自由空間(free space)的介電常數(permittivity) 。
eo = 8.8542 × 10-12 C2 / N.m2
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庫倫定律－注釋 (Coulomb's Law, Notes)
記得電荷的單位表示為庫倫(coulomb)
e 是電荷(除了 quark)的最小單位
e = 1.6 × 10-19 C
因此 1 C 的電荷需要 6.24 × 1018 電子(electron)或質子 (proton)
典型的電荷能以 µC 範圍表示
記得力(force)是個向量(vector quantity)
電力的向量特性(Vector Nature of Electric Forces)
以向量形式表示：
rF ˆ2
2112 r
qqke
r̂ 是從 q1 指向 q2 的單位向量(unit vector)。
同類電荷在它們之間產生互斥的力。
電力必須遵循牛頓第三定律(Newton’s Third Law)。
作用在 q1 的力相對於作用在 q2 的力，大小相等且方向相反。
F21 = -F12
對於電荷同號，乘積 q1q2 是正的而力是互斥的。
兩個點電荷的距離為 r。
對於異類電荷(unlike charge)，它們之間的力是吸引力。
對於電荷異號，乘積 q1q2 是負的而力是吸引的。
電力方向
乘積 q1q2 的正負值決定電荷 q1 和 q2 之間力的相對方向。
絕對方向(absolute direction)由電荷的實際位置決定。
氫原子範例 (Hydrogen Atom Example)
依據庫倫定律，電子和質子之間的電力(electrical force)為：The between the electron and
Fe = keq1q2 / r2 = 8.2 × 108 N
和電子和質子之間的重力(gravitational force)相比：
Fg = Gmemp / r2 = 3.6 × 10-47 N
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重疊原理 (The Superposition Principle)
作用在任何一個電荷的總力(resultant force)等於其它個別電荷作用在此電荷的力總和。
記得力是個向量。
作用在電荷 q1 的總力為其它個別電荷作用在此電荷的所有力的和：
F1 = F21 + F31 + F41 +… + Fn1
重疊原理－範例 (Superposition Principle, Example) 電荷 q1 作用在電荷 q3 的力為 F13
電荷 q2 作用在電荷 q3 的力為 F23
作用在電荷 q3 的總力(resultant force)為 F13 和 F23 向量之和。
零總力－範例 (Zero Resultant Force, Example)
什麼位置總力等於零？
兩個個別力(individual forces)的大小相等(equal)
兩個個別力(individual forces)的方向相反(opposite)
滿足上述二條件，位置 x 將形成一個二次(quadratic)方程式。
從方程式的兩個根中，選擇一個根，使得兩個個別力作用在不同方向(in opposite directions)。
電力和其它力的共同作用－範例 (Electrical Force with Other Forces, Example)
這兩個球處於平衡(equilibrium)。
既然它們是分開的 (separated)，它們互相以排斥力(repulsive force)作用在對方。
這兩個電荷是同類電荷(like charges)。
這個問題的進行如同一般的平衡問題 (equilibriumproblem)，注意其中一個力是電力(electrical force)。
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這個自由體圖(free body diagram)包含張力(tension)、電力(electrical force)、重力(weight)的分量。
平衡方程式：
00
yx
yx
FandF
FF 0ii0F
mgTFrqq
kFTF
y
eex
sin0
cos0 2
若已知 m、r，可求出|q| 。
對於這個問題，不能求出電荷 q 的符號，只能判斷這兩個電荷值具有同號(same sign)。
電場－介紹 (Electric Field–Introduction)
電力(electric force)是個場力(Field force)。
場力是空間位置的函數，場力能作在整個空間(space)。
即使物體之間沒有實體接觸(physical contact)，這個效應(effect)依然存在。
Faraday 就是以電場這個項目，發展場(field)的觀念。
電場－定義 (Electric Field–Definition)
電場可以說存在於一個具電荷物體(charged object)的週圍空間。
這個具電荷物體是個源始電荷(source charge)。
當另一個具電荷物體－測試電荷(test charge)進入這電場，電力就會對這個測試電荷產生作用。
電場定義為每單位電荷(per unit charge)作用在測試電荷的電力。
在空間某一點的電場向量－E 定義為作用在測試電荷 qo的電力 F 被測試電荷 qo所除。
E = Fe / qo
電場－注釋 (Electric Field, Notes)
E 是由某個電荷或電荷分佈(charge distribution)作用在測試電荷所產生的場。
電場的存在性是源始電荷(source charge)的一個性質(property)。
有無測試電荷(test charge)的存在不是電場存在的必要條件。
測試電荷可當作場存在的偵測器(detector)。
電力 F 和電場 E 的關係 (Relationship Between F and E)
關係式 Fe = qE
這個式子只對點電荷(point charge)才有效。
點電荷視為不具形狀和不具大小。
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對於比較大的物體，場會隨著物體的尺寸而改變，當然不適合套用這個關係式。
若電荷 q 是正的，電力 F 和電場 E 為同方向(in the same direction)。
若電荷 q 是負的，電力 F 和電場 E 為異方向(in opposite directions)。
電場－注釋 (Electric Field Notes, Final)
電場 E 的方向為作用在正測試電荷的電力 F 之方向。
電場 E 的 SI 單位為 N/C。
若測試電荷在空間某個位置承受一個電力，吾人可說在測試電荷所處的位置存在一個電場。
電場－向量型式 (Electric Field, Vector Form)
記得在源始電荷 q 和源始電荷 q0 之闁，庫倫定律表示為：
rF ˆ2
0
rqq
kee
因此，電場將表示為：
rF
E ˆ2
0 rq
kq e
e
對電場方向更多的注釋 (More About Electric Field Direction)
a) 電荷 q 是正的，電力 F 指向背離電荷 q。
b) 電場 E 的方向也是指離正源始電荷 q。
c) 電荷 q 是負的，電力 F 方向指往電荷 q。
d) 電場 E 的方向也是指往負源始電荷 q。
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電場的重疊 (Superposition with Electric Fields)
在任意點 P，因一群源始電荷引起的總電場(total electric field)等於所有源始電荷個別電場的向量總和。
i
ii
ie r
qk rE ˆ
2
重疊範例 (Superposition Example)
求出因電荷 q1 引起的 E1。
求出因電荷 q2 引起的 E2。
求出總電場 E：
E = E1 + E2
記得，電場可以如同向量作相加。
個別電場的方向為在那個位置作用在正測試電荷的電力方向。
電場－連續電荷分佈 (Electric Field–Continuous Charge Distribution)
在一群電荷內電荷之間的距離可能比這群電荷和目標點(point of interest)的距離更小。
在這種狀況，電荷系統可以被模擬成(be modeled as)連續的(continuous)。
緊密分佈電荷(closely spaced charges)的系統等效於(is equivalent to)沿著某條線(line)、涵蓋某個面()surface、或穿過某個體積(volume)的連續分佈系統。
過程(Procedure)：
將電荷分佈分割成小元素(element)，每一個小元素含有電荷Δq。
計算在位置 P 因每一個小元素所引起的電場。
針對所有電荷元素的影響，將個別電場算和、計算總電場(total field)。
電場－連續電荷分佈方程式 (Electric Field –Continuous Charge Distribution,equations) 對於個別電荷元素(individual charge elements)：
rE ˆ2rq
ke
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因為電荷分佈是連續的(continuous)，所以先取積分再取極限：
rrE ˆˆlim 220 rdq
krq
k ei
ii
i
qei
電荷密度(Charge Densities)
體電荷密度(Volume charge density)：當電荷分佈在一個空間區域(volume)
= Q / V
面電荷密度(Surface charge density)：當電荷分佈在一個面區域(surface area)
= Q / A
線電荷密度(Linear charge density)：當電荷分佈沿著一條線 (line)
= Q / l
在一個小體積電荷的量 (Amount of Charge in a Small Volume)
對一個小空間區域： dq = dV
對一個小面區域： dq = dA
對一條小線段： dq = d l
解題提示 (Problem Solving Hints)
單位(Units)：當使用庫倫常數(Coulomb constant) ke，電荷單位表示為 C 而距離單位表示為 m。
計算點電荷的電場：使用重疊原理，求出在目標點個別電荷的電場，而後如同向量作相加，以求出總電場。
連續電場分佈：對於計算某點總電場的向量和以向量積分(vector integral)取代。
分割電荷分佈區域為無限小片段(infinitesimal pieces)，對整個電荷分佈區域以積分方式計算電場的向量和。
對稱(Symmetry)：利用任何對稱的特性來簡化(simplify)計算(calculation)。
範例－帶電的圓板(Example–Charged Disk)
這個環(ring)的半徑為 R 並具有均勻的電荷密度。
在半徑 r，厚度 dr 的圓圈的電荷量為 dq。
圓圈圈的面積為 2r dr。
將上述參數代入下式，可計算電場：
rE ˆ2r
dqke
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電場線 (Electric Field Lines)
場線提供一種方法以圖形表示電場的分佈。
電場向量 E 總是在每一點與電場線相切(tangent)。
場線的切向和電場向量的方向相同。
垂直於(perpendicular to)場線的面(surface)之單位面積的線數正比於在那個區域電場的大小。
電場線－一般 (Electric Field Lines, General)
穿過面 A 的線密度(density of lines)大於(greater than)穿過面 B 的線密度。
在面 A 的電場大小(magnitude)大於在面 B 的電場大小。
場線在不同位置(locations)指向不同的方向。
這指出電場的分佈是非均勻的(non-uniform)。
電場線,正的點電荷 (Electric Field Lines, Positive Point Charge)
場線對所有方向向外輻射(radiate outward)。
在三維(three dimensions)狀況，電場分佈是球面狀的(spherical)。
場線總是指向背離源始電荷。
一個正測試電荷(positive test charge)將被排斥而背離正源始電荷(positive source charge)。
電場線,負的點電荷 (Electric Field Lines, Negative Point Charge)
場線對所有方向向內輻射(radiate inward)。
在三維(three dimensions)狀況，電場分佈是球面狀的(spherical)。
場線總是指向源始電荷。
一個正測試電荷(positive test charge)將被吸引而朝往負源始電荷(negative source charge)。
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電場線－雙極 (Electric Field Lines–Dipole)
兩個電荷大小相等且反號。
離開正電荷的場線數等於終結於負電荷的場線數。
電場線－同類電荷 (Electric Field Lines–Like Charges)
兩個電荷大小相等且同號。
因為兩個點電荷大小相等，離開每一個電荷的場線數是相同的。
在比較大的距離，電場近似於單一點電荷 2q 的電場。
電場線－不等電荷 (Electric Field Lines, Unequal Charges)
正電荷的大小為負電荷大小的兩倍。
兩條場線離開正電荷，每一條場線最後終結於負電荷。
在比較大的距離，電場近似於單一點電荷+q 的電場。
電場線－繪圖原則 (Electric Field Lines–Rules for Drawing)
場線起始於正電荷而終結於負電荷。
在某些電荷的型式，某些場起始於或終結於無限遠處。
從正電荷至負電荷的場線數，繪圖時正比於電荷的大小。
沒有兩條場線可以交叉(cross)。
帶電質點的運動(Motion of Charged Particles)
當一個帶電質點放置於電場中，它將承受電力。
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若這是質點僅承受的力，它將是作用在質點的淨總力(net force)。
依據牛頓第二定律(Newton’s second law)，淨總力將促使質點加速(accelerate)。
Fe = qE = ma
若電場 E 是均勻的(uniform)，則加速度 a 是常數。
若質點具正電荷，則加速度和電場同方向。
若質點具負電荷，則加速度和電場反方向。
既然加速度是常數，將可應用運動方程式(kinematic equations)。
在均勻電場的電子 (Electron in a Uniform Field, Example)
電子以水平方向投入一個均勻的電場(uniform electricfield)。
電子具有向下的(downward)加速度。
這個加速度是負的，其方向和電場 E 方向相反。
電子在兩塊板子之間的運動軌硛是拋物線(parabolic)。
陰極射線管 (The Cathode Ray Tube, CRT)
陰極射線管經常當作示波器(oscilloscopes)、雷達系統(radar systems)、電視(televisions)等電子資訊的顯示器。
陰極射線管是一個真空管(vacuum tube)，在真空管內，受到電場(electric field)和磁場(magnetic field)的作用電子束(beam of electrons)被加速。
在兩組平板之間，電子被折曲(deflected)成不同的方向。
放置在平板的電荷建立了在平板之間的電場，而充許電子束行進。
