2301286 PROB/STATpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301286/286_62_2nd... · 2020-01-02 · คือเซตที่มีสมาชิกเป นผลลัพธ ที่เป

เอกสารประกอบการสอน

2301286 PROB/STAT

ภาคปลาย ปการศึกษา 2562

ชุดท่ี 1

เอกสารประกอบการสอน 2301286 PROB/STAT

ภาคปลาย ปการศึกษา 2562 ชุดที่ 1

สารบัญ หนา

1 ปริภูมิตัวอยางและการนับจำนวนวธิ ี 1

2 ความนาจะเปนแบบมีเง่ือนไขและกฎของเบย 19

3 ตัวแปรสุม 39

4 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 45

5 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง 68

6 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 2 ตัว 78

7 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง 2 ตัว 100

8 การแจกแจงยูนิฟอรม 124

9 การแจกแจงแบรนูลลี 126

10 การแจกแจงทวินาม 130

11 การแจกแจงเรขาคณิต 138

12 การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริก 142

13 การประมาณการแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริกดวยการแจกแจงทวนิาม 146

14 การแจกแจงปวซง 151

15 การประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปวซง

และการประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปกติ

159

2301286 PROB/STAT ชุดท่ี 1

เอกสารประกอบการสอน 2301286 PROB/STAT ภาคปลาย ปการศึกษา 2562

1

1.1 ปริภูมิตัวอยางและการนับจำนวนวิธี

ปริภูมิตัวอยาง (Sample Space)

การทดลองสุม (Random Trial) ไดแกการกระทำใด ๆ ท่ีผูกระทำไม

สามารถทราบผลลัพธลวงหนาจนกวาจะไดทำเสร็จสิ้นไปแลว จงึจะ

ทราบผลลัพธท่ีถูกตอง

ตัวอยางเชน การโยนเหรียญ ซ่ึงมีผลลัพธท่ีอาจเกิดขึ้น 2 แบบ คือหัว

หรือกอย กอนโยนเหรียญไมสามารถบอกไดแนชัดวาผลการโยนเปน

หัวหรือกอย

1. ปริภูมิตัวอยาง คือเซตท่ีมีสมาชิกเปนผลลัพธท่ีเปนไปไดท้ังหมด

ของการทดลองสุม

2. จุดตัวอยาง คือสมาชิกของปริภูมิตัวอยาง

3. เหตุการณ (Event) คือสับเซตของปริภูมิตัวอยาง

จากนิยามจะเห็นวาปริภูมิตัวอยาง S และ ∅ ก็เปนเหตุการณดวย

ตัวอยาง 1.1.1 ในการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก เพ่ือดูแตมท่ีปรากฏ

ผลลัพธท่ีเปนไปไดท้ังหมดคือ 1, 2, 3, 4, 5, 6

ปริภูมิตัวอยางจะเขียนไดดังนี้ 1S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

แตถาสนใจวา ขึ้นแตมคูหรือคี่

ปริภูมิตัวอยางคือ 2S = { คู, คี่ }



2

1.2 การนับจำนวนจดุตัวอยาง

ทฤษฎีบท 1.2.1 ถาตองการทำงานสองอยางโดยงานอยางแรกมีวิธี

เลือกทำได 1n วิธี และในแตละวิธีท่ีเลือกทำงานอยางแรกแลวมีวิธี

เลือกทำงานอยางท่ีสองได 2n วิธี

จำนวนวิธีท่ีเลือกทำงานท้ังสองอยางคือ 21nn วิธี

ตัวอยาง 1.2.2 ในการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 2 ลูกพรอมกัน

จงหาจำนวนจุดตัวอยางในปริภูมิตัวอยาง

วิธีทำ ในการทอดลูกเตาแตละลูก อาจไดแตมซ่ึงตางกันคือ 1, 2, 3,

4, 5, 6

ขั้นที่ 1 ลูกเตาลูกท่ีหนึ่ง มีวิธีขึ้นแตมได 6 วิธี

ขั้นที่ 2 ในแตละวิธีท่ีลูกเตาลูกท่ีหนึ่งขึ้นแตม ลูกเตาลูกท่ี 2 ขึ้นแตม

ได 6 วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีท้ังหมดท่ีลูกเตา 2 ลูก จะขึ้นแตม = 6 × 6 = 36 วิธี



3

ทฤษฎีบท 1.2.2 ถางานอยางหนึ่งมีวิธีเลือกทำได 1n วิธี ในแตละวิธี

ท่ีเลือกทำงานอยางแรกมีวิธีเลือกทำงานอยางท่ีสองได 2n วิธี และใน

แตละวิธีท่ีเลือกทำงานอยางแรกและอยางท่ีสอง มีวิธีเลือกทำงาน

อยางท่ีสามได 3n วิธี ฯลฯ

จำนวนวิธีท้ังหมดท่ีจะเลือกทำงาน k อยาง

เทากับ 1n 2n ... kn วิธี

ตัวอยาง 1.2.3 เม่ือโยนเหรียญเท่ียงตรง 3 เหรียญ พรอมกัน 1 ครั้ง

จงหาจำนวนวิธีท่ีเหรียญจะขึ้น

วิธีทำ ในการโยนเหรียญเท่ียงตรง

เหรียญแรกมีวิธีขึ้นได 2 วิธี คือหัวหรือกอย

ดังนั้นเหรียญแรกมีวิธีขึ้นได 2 วิธี

ในแตละวิธีท่ีเหรียญแรกขึ้น เหรียญท่ีสองจะขึ้นได 2 วิธี

ในแตละวิธีท่ีเหรียญแรกและเหรียญท่ีสองขึ้น

เหรียญท่ีสามจะขึ้นได 2 วิธี

เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีท่ีเหรียญ 3 เหรียญ จะขึ้นได

= 2 × 2 × 2 = 8 วิธี



4

ตัวอยาง 1.2.5

ก. มีจำนวนซ่ึงประกอบดวยเลข 3 หลักตาง ๆ กันกี่จำนวน ซ่ึงจัดจาก

ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยใหเลขแตละตัวใชไดครั้งเดียวเทานั้น

ข. มีจำนวนกี่จำนวนตามท่ีกลาวในขอ ก. ท่ีเปนจำนวนคี่

วิธีทำ

ก. ขั้นที่ 1 เลขหลักรอยจัดได 5 วิธี

คือตัวหนึ่งตัวใดในเซต { 1, 2, 3, 4, 5 }

ขั้นที่ 2 ในแตละวิธีท่ีจัดเลขหลักรอย เลขหลักสิบจัดได 5 วิธี

ขั้นที่ 3 ในแตละวิธีท่ีจัดเลขหลักรอย และ เลขหลักสิบ แลวเลือกเลข

หลักหนวยได 4 วิธี

ดังนั้นมีเลข 3 หลักตาง ๆ กันอยู = 5 × 5 × 4 = 100 จำนวน



5

ข. มีจำนวนกี่จำนวนตามท่ีกลาวในขอ ก. ท่ีเปนจำนวนคี่

ขั้นที่ 1 เลขหลักหนวยจัดได 3 วิธี

คือ ตัวหนึ่งตัวใดในเซต { 1, 3, 5 }

ขั้นที่ 2 ในแตละวิธีท่ีจัดเลขหลักหนวย

เลขหลักรอยจัดได 4 วิธี

ขั้นที่ 3 ในแตละวิธีท่ีจัดเลขหลักหนวยและหลักรอย

เลขหลักสิบจัดได 4 วิธี

ดังนั้นมีเลขคี่ 3 หลักอยูท้ังหมด = 3 x 4 x 4 = 48 จำนวน



6

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

บทนิยาม 1.2.2 n แฟคทอเรียล หมายถึงผลคูณของเลขจำนวนเต็ม

บวก ตั้งแต 1 ถึง n

ดังนั้น n! = (1)(2)(3) ... (n – 2)(n – 1)n

ทฤษฎีบท 1.2.3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซ่ึงแตกตางกัน

ท้ังหมด โดยนำมาจัดทีละ n สิ่ง มีคาเทากับ n! วิธี

ทฤษฎีบท 1.2.4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซ่ึงแตกตางกัน

ท้ังหมด โดยเรียงสับเปลี่ยนทีละ r สิ่ง เม่ือ r < n เทากับ )!rn(

!n−

วิธี

ตัวอยาง 1.2.6 จงหาจำนวนวิธีท่ีจะจับสลาก 2 ใบเพ่ือเปนรางวัลท่ี 1

และรางวัลท่ี 2 จากสลาก 20 ใบ

วิธีทำ จำนวนวิธีจับสลาก 2 ใบ จาก 20 ใบ เพ่ือใหไดรางวัลท่ี 1 และ

รางวัลท่ี 2 คือ

220 P = )!220(

!20−

= !18!20 = ! 18

)! 18)(19)(20( = 380 วิธี



7

ทฤษฎีบท 1.2.6 ในการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซ่ึงมี

1n สิ่งท่ีเหมือนกัน

2n สิ่งท่ีเหมือนกัน

:

kn สิ่งท่ีเหมือนกัน

จะไดจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเทากับ !n ... !n !n !n!n

k321 วิธี

หมายเหตุ n = 1n + 2n + ... + kn

ตัวอยาง 1.2.10 จงหาจำนวนวิธีท่ีจะจัดหลอดไฟสีแดง 3 หลอด สี

เหลือง 4 หลอด และสีน้ำเงิน 2 หลอด เพ่ือประดับรั้ว ถาสายไฟมีขั้ว

สำหรับใสหลอดอยู 9 อัน และหลอดไฟสีเดียวกันเหมือนกัน

วิธีทำ

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนท่ีแตกตางกัน = !2 !4 !3

!9 = 1260 วิธี



8

การจัดหมู (Combination)

บทนิยาม 1.2.3 การจัดหมูของเซตของสิ่งของท่ีตางกันท้ังหมด

คือการหาสับเซตใด ๆ ของเซต โดยไมคำนึงถึงลำดับท่ีในสับเซตนั้น

ทฤษฎีบท 1.2.7 จำนวนวิธีจัดหมูของ n สิ่ง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมด

จัดทีละ r สิ่ง คือ

rn = )!rn( !r

!n−

วิธี

ตัวอยาง 1.2.11 มีกี่วิธีในการเลือกกรรมการ 3 คน จากสามีภรรยา

4 คู

ก. ถาทุก ๆ คนมีโอกาสไดรับเลือกเทากัน

ข. ถากรรมการตองประกอบดวยหญิง 2 คน ชาย 1 คน

ค. ถาเลือกท้ังสามีภรรยาจากคูเดียวกันเปนกรรมการท้ัง 2 คนไมได

วิธีทำ

ก. จำนวนวิธีเลือกกรรมการ =

38 =

!5 !3!8 = 56 วิธี

ข. จำนวนวิธีท่ีจะเลือกผูหญิง 2 คน =

24 = 6 วิธี

แตละวิธีท่ีเลือกผูหญิง เลือก ผูชาย 1 คน ได =

14 = 4 วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีท่ีจะเลือกผูหญิง 2 คน ผูชาย 1 คน

เปนกรรมการ = 6 × 4 = 24 วิธี



9

ค. เนื่องจากท้ังสามีและภรรยาจากคูเดียวกันเปนกรรมการไมได

ขั้นตอนการนับจำนวนวิธีเปนดังนี้

ขั้นที่ 1 เลือก 3 คู จาก 4 คู ทำได

34 = 4 วิธี

หลังจากเลือกคูแลว

ขั้นที่ 2 คูแรกท่ีเลือกมาจะเลือกสามีหรือภรรยาไดอีก 2 วิธี

คือเลือกสามีหรือภรรยา

ขั้นที่ 3 คูท่ีสองเลือกสามีหรือภรรยาไดอีก 2 วิธี

ขั้นที่ 4 เลือกสามีหรือภรรยาจากคูท่ีสามไดอีก 2 วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีท่ีจะเลือกกรรมการเม่ือท้ังสามีและภรรยาจากคู

เดียวกันเปนกรรมการท้ังสองคนไมได

คือ 4 × 2 × 2 × 2 = 32 วิธี



10

การแบงกลุม (Partitioning)

โดยท่ัวไป ถาตองการแบงของ n สิ่ง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมด เปน 2

กลุม

กลุมแรกมี 1n สิ่ง กลุมท่ีสองมี 2n สิ่ง และ 1n ≠ 2n

จำนวนวิธีแบงกลุม =

21 n , nn =

!n !n!n

21 วิธี

ตัวอยาง แบง { 1, 2, 3 } ออกเปน 2 กลุม กลุมละ 1, 2

ทำได 3 วิธีคือ

{ 1 }, { 2, 3 }

{ 2 }, { 1, 3 }

{ 3 }, { 1, 2 }

โดยใชสูตรจำนวนวิธี = 2! 1!3! = 3

ให n = 1n + 2n + 3n , 1n ≠ 2n , 1n ≠ 3n และ 2n ≠ 3n

จำนวนวิธีแบงของ n สิ่ง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมด เปน 3 กลุม

กลุมแรกมี 1n สิ่ง กลุมท่ีสองมี 2n สิ่ง กลุมท่ีสามมี 3n สิ่งเทากับ

= )!nn( !n

!n321 + !n !n

)!nn(32

32 +⋅ = !n!n !n

!n321

วิธี



11

ตัวอยาง 1.2.12 จงหาจำนวนวิธีท่ีจะแบงกลุมเด็กนักเรียน 10 คน

เพ่ือนั่งรถยนต 3 คัน ถารถยนตแตละคันมีท่ีวางสำหรับเด็ก 5 คน 3

คน และ 2 คน ตามลำดับ

วิธีทำ จำนวนวิธีท่ีแบงเด็ก 10 คน เปน 3 กลุม ใหขึ้นรถท่ีมีท่ีวาง

สำหรับเด็ก 5 คน 3 คน และ 2 คน

= 2! 3! 5!

10! = 2,520 วิธี

หมายเหตุ 2520 วิธี เปนจำนวนวิธีแบงนักเรียนขึ้นรถเทานั้น ไมคลุม

ถึงการจัดท่ีนั่งในรถแตละคัน



12

ทฤษฎีบท 1.2.9 จำนวนวิธีแบงของ n สิ่งตางกัน เปน r กลุม

กลุมแรกมี 1n สิ่ง

กลุมท่ีสองมี 2n สิ่ง

:

กลุมท่ี r มี rn สิ่ง

มีคาเทากับ

n, ... ,n,n,nn

r321 = !n ... !n !n !n

!nr321

วิธี

เม่ือ 1n + 2n + 3n + ... + rn = n และ in ≠ jn ทุกคา i ≠ j

ตัวอยาง แบง { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ออกเปน 4 กลุม

กลุมละ 1, 2, 3, 4 ทำได 4! 3! 2! 1!10! = 12,600 วิธี



13

หมายเหตุ

ในกรณีท่ีมีจำนวนกลุมซ้ำกัน ใหหารท้ิงดวยจำนวนกลุมท่ีซ้ำ

ตัวอยาง แบง { 0, 1 } ออกเปน 2 กลุม กลุมละ 1, 1 ทำได 1 วิธี

คือ { 0 }, { 1 }

โดยสูตรจำนวนวิธี = 2! 1( )1! 1! 2! = 1

ตัวอยาง แบง { a, b, c, d, e, f } ออกเปน 3 กลุม กลุมละ 2, 2, 2

ทำได = )!31)( 2! 2! 2!

6!( = 15

โดยการแจงกรณี

1. { a, b }, { c, d }, { e, f } 2. { a, b }, { c, e }, { d, f }

3. { a, b }, { c, f }, { d, e } 4. { a, c }, { b, d }, { e, f }

5. { a, c }, { b, e }, { d, f } 6. { a, c }, { b, f }, { d, e }

7. { a, d }, { b, c }, { e, f } 8. { a, d }, { b, e }, { c, f }

9. { a, d }, { b, c }, { e, f } 10. { a, e }, { b, c }, { d, f }

11. { a, e }, { b, c }, { d, f } 12. { a, e }, { b, d }, { c, f }

13. { a, f }, { b, c }, { d, e } 14. { a, f }, { b, d }, { c, e }

15. { a, f }, { b, e }, { c, d }



14


ก. จงหาจำนวนวิธีท่ีจะแบงดินสอ 12 แทงตาง ๆ กัน เปน 4 มัด มัด

ละเทา ๆ กัน

ข. จงหาจำนวนวิธีท่ีจะแจกดินสอ 12 แทงตาง ๆ กัน ใหเด็ก 4 คน

คนละเทา ๆ กัน

วิธีทำ

ก. จำนวนวิธีแบง = )!41( 3! 3! 3! 3!

12! = 13,200 วิธี

ข. ในแตละ 1 วิธีในขอ ก. ท่ีแบงสามารถแจกใหเด็ก 4 คน ได 4! วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีท่ีจะแจกดินสอ 12 แทงตาง ๆ กัน

ใหเด็ก 4 คน ๆ ละเทา ๆ กัน

= (13,200)(4!) = (13,200)(24) = 316,800 วิธี



15

1.3 ความนาจะเปน (Probability)

บทนิยาม 1.3.1 ให S เปนปริภูมิตัวอยาง และ A เปนเหตุการณใด ๆ

ความนาจะเปนของเหตุการณ A คือผลบวกของน้ำหนักของทุก ๆ จุด

ตัวอยาง ในเหตุการณ A

ดังนั้น 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(S) = 1

ตัวอยาง 1.3.1 โยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 2 ครั้ง

จงหาความนาจะเปนท่ีเหรียญจะขึ้นหัวอยางนอยหนึ่งครั้ง

วิธีทำ ปริภูมิตัวอยางสำหรับการทดลองนี้

คือ S = { H H, H T, T H, T T }

ถาเหรียญเท่ียงตรง ผลลัพธท่ีเกิดขึ้นแตละวิธีมีโอกาสเกิดขึ้น

เทา ๆ กัน

ดังนั้นเรากำหนดน้ำหนัก “w” ใหแกแตละจุดตัวอยาง

เนื่องจากผลรวมของน้ำหนักของจุดตัวอยางในปริภูมิตัวอยาง

เทากับ 1

ดังนั้น w + w + w + w = 1 เพราะฉะนั้น w = 41

ถา A เปนเหตุการณท่ีเหรียญขึ้นหัวอยางนอย 1 ครั้ง

จะได A = { H H, H T, T H }

เพราะฉะนั้น P(A) = 3w = 43



16

ทฤษฎีบท 1.3.1 การทดลองอยางหนึ่งมีผลการทดลองเกิดขึ้นได N

วิธีตาง ๆ กัน แตละวิธีมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน

ถา n วิธีของผลลัพธท่ีเกิดขึ้นใน N วิธีเปนผลลัพธของเหตุการณ A

ความนาจะเปนของเหตุการณ A คือ P(A) = Nn

ตัวอยาง 1.3.3 เม่ือดึงไพ 1 ใบ จากสำรับซ่ึงมีไพ 52 ใบ

จงหาความนาจะเปนท่ีไพใบนั้นจะเปนโพดำ

วิธีทำ ในการดึงไพ 1 ใบ ผลลัพธท่ีเปนไปไดมี 52 วิธี

ซ่ึงแตละวิธีมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน

ใน 52 วิธีนั้น มี 13 วิธีท่ีจะดึงไดไพโพดำ

ให E เปนเหตุการณท่ีดึงไดไพโพดำ

ดังนั้น P(E) = 5213 = 4

1



17

สมบัติของความนาจะเปน

กำหนดให S เปนปริภูมิตัวอยาง และ A, B เปนเหตุการณใด ๆ

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(∅) = 0 และ P(S) = 1

2. P(A′) = 1 – P(A)

3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

4. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

– P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C)

+ P(A ∩ B ∩ C)

5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ≤ P(B)

6. ถา B ⊂ A แลว P(A – B) = P(A) – P(B)

7. P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B)

8. ถา A ∩ B = ∅ แลว P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

9. P(A ∪ B) = P(A – B) + P(A ∩ B) + P(B – A)

บทนิยาม

เหตุการณ A และ B ไมเกิดรวมกัน ก็ตอเม่ือ A ∩ B = ∅



18

การทดลองหยิบสลาก 1 ใบออกจากกลองท่ีมีสลากหมายเลข

1, 2, 3, ... , 9, 10

กำหนดปริภูมิตัวอยางและเหตุการณดังนี้

จงเติมคำตอบ

S = { ....................................................... }

A = { ...................................................... }

B = { ...................................................... }

A ∩ B = { ......................... }

A ∪ B = { ................................................... }

P(A) = .......................... P(B) = .........................

P(A ∩ B) = ...................

P(A ∪ B) = ....................

P(A – B) = ......................



19

1.5 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขและกฎของเบย

ความนาจะเปนแบบมีเง่ือนไข (Conditional Probability)

ให A และ B เปนเหตุการณสองเหตุการณ

ความนาจะเปนท่ีเหตุการณ B เกิดขึ้นเม่ือเหตุการณ A เกิดขึ้นแลว

เรียกวา “ความนาจะเปนแบบมีเง่ือนไข”

แทนดวยสัญลักษณ P(B | A)

อานวา “ความนาจะเปนท่ี B จะเกิดขึ้นเม่ือ A เกิดขึ้นแลว”

หรือ “ความนาจะเปนของเหตุการณ B เม่ือกำหนดเหตุการณ A ให”

ตัวอยางของการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 2 ลูก ปริภูมิตัวอยาง คือ

S = { ( 1x , 2x ) | 1x เปนแตมลูกเตาลูกท่ีหนึ่ง, 2x เปนแตมของ

ลูกเตาลูกท่ีสอง }

= { (1, 1), (1, 2), ... , (6, 5), (6, 6) }

ให A และ B เปนเหตุการณ 2 เหตุการณ

A = { ( 1x , 2x ) | 1x + 2x = 10 }

B = { ( 1x , 2x ) | 1x > 2x }

ดังนั้น A = { (5, 5), (4, 6), (6, 4) } , n(A) = 3

และ P(A) = 363

B = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), ... , (6, 5) } , n(B) = 15

และ P(B) = 3615



20

ในท่ีนี้เราสนใจเฉพาะเหตุการณท่ีจะไดผลรวมของแตมเปน 10

และตองการหาความนาจะเปนของเหตุการณท่ีไดแตมของ

ลูกท่ีหนึ่งมากกวาลูกท่ีสอง

A = { (5, 5), (4, 6), (6, 4) }

B = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), ... , (6, 5) }

ความนาจะเปนท่ีจะไดแตมของลูกเตาลูกท่ีหนึ่งมากกวาลูกท่ีสองเม่ือ

กำหนดใหผลรวมของแตมเทากับ 10

= P( 1x > 2x | 1x + 2x = 10)

= P(B | A)

= 31

ในทำนองเดียวกัน P(A | B) = 151

เนื่องจาก A ∩ B = { (6, 4) } ดังนั้น P(A ∩ B) = 361

ดังนั้น ถาพิจารณาการหา P(B | A) และ P(A | B) ในเทอมของความ

นาจะเปนโดยท่ัวไป

P(B | A) = )A(P)BA(P

)363(

)361(

31 ∩==

P(A | B) = )B(P)BA(P

)3615(

)361(

151 ∩==



21

ความนาจะเปนแบบมีเง่ือนไข

บทนิยาม 1.5.1 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ B เม่ือ

กำหนดใหเหตุการณ A เกิดขึ้นแลว

แทนดวยสัญลักษณ P(B | A)

P(B | A) = )A(P)BA(P ∩ เม่ือ P(A) ≠ 0

การหาคา P(B | A) ทำได 2 แบบคือ

1. หาโดยตรงโดยหาความนาจะเปนของ B เทียบกับปริภูมิตัวอยางท่ี

ลดลงคือ A

2. ใชสูตร P(B | A ) = )A(P)BA(P ∩

เม่ือ P(A ∩ B) และ P(A) หาจากปริภูมิตัวอยางตอนเริ่มตน

(Original Sample Space)



22

ทฤษฎีบท 1.5.1 ทฤษฎีการคูณของความนาจะเปน

ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ จะได

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) เม่ือ P(A) ≠ 0

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) เม่ือ P(B) ≠ 0



23

ทำการทดลองหยิบสลาก 1 ใบ

ออกจากกลองท่ีมีสลากหมายเลข 0, 1, 2, , ... , 9

กำหนดปริภูมิตัวอยางและเหตุการณ ดังรูป

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A = { ....................................... }

B = { ....................................... }

A ∩ B = { ......................... }

P(A) = .......... P(B) = .......... P(A ∩ B) = .........

การหา P(B | A)

แบบที่ 1. คิดจากปริภูมิตัวอยางท่ีลดลง

AS = { 1, 2, 3, 4, 5 }

เหตุการณ B ท่ีเกิดภายใต A คือ { 3, 4, 5 }

เพราะฉะนั้น P(B | A) =

แบบที่ 2. ใชสูตร P(B | A) = )A(P)AB(P ∩ = ................



24

31/32 ผูดูแลบานเชาคนหนึ่งมี master key อยู 8 ดอก เพ่ือจะเปด

บานหลาย ๆ หลัง บานหลังหนึ่ง ๆ มีกุญแจดอกเดียวเทานั้นท่ีจะไข

ได โดยปกติ 40% ของบานเหลานี้ไมใสกุญแจ จงหาความนาจะเปนท่ี

ผูดูแลบานเชาสามารถเขาบานหลังหนึ่งท่ีตองการได ถาเขาเลือก

กุญแจมา 3 ดอก กอนท่ีจะออกจากสำนักงาน

วิธีทำ

P(เขาหยิบกุญแจถูกดอก | บานใสกุญแจ)

=

38

27 1

1

= 83 = 0.375



25

ความนาจะเปนท่ีผูดูแลสามารถเขาบานหลังหนึ่งท่ีตองการ

= P(บานหลังนั้นไมใสกุญแจ หรือ บานหลังนั้นใสกุญแจและเขาหยิบ

กุญแจถูกดอก)

= P(บานหลังนั้นไมใสกุญแจ)

+ P(บานหลังนั้นใสกุญแจและเขาหยิบกุญแจถูกดอก)

= 0.4 + P(บานหลังนั้นใสกุญแจ) P(เขาหยิบกุญแจถูกดอก | บานใส

กุญแจ)

= 0.4 + (0.6)(0.375)

= 0.625



26

33/32 ทอดลูกเตาเท่ียงตรง 2 ลูก 1 ครั้ง ถาทราบมากอนวาลูกเตา

ลูกหนึ่งขึ้นแตม 4 จงหาความนาจะเปนท่ี

ก. อีกลูกหนึ่งขึ้นแตม 5

ข. ผลรวมของแตมบนลูกเตาท้ังสองมากกวา 7

วิธีทำ S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), ... , (6, 5), (6, 6) }

n(S) = 36

A = เหตุการณท่ีลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตม 4

= { (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2),

(4, 3), (4, 5), (4, 6) }

B = เหตุการณท่ีลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตม 5

= { (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2),

(5, 3), (5, 4), (5, 6) }

A ∩ B = { (4, 5), (5, 4) }

n(A) = 11, n(B) = 11 และ n(A ∩ B) = 2

ก. P(อีกลูกหนึ่งขึ้นแตม 5 | ทราบมากอนวาลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตม 4)

= P(B | A)

= )A(P)BA(P ∩

= 112



27

การหาความนาจะเปนท่ีผลรวมของแตมบนลูกเตาท้ังสองมากกวา 7

C = ผลรวมของแตมบนลูกเตาท้ังสองมากกวา 7

C = { (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4),

(5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

A ∩ C = { (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (6, 4) }

n(A ∩ C) = 5

P(ผลรวมของแตมบนลูกเตาท้ังสองมากกวา 7 | ทราบมากอนวา

ลูกเตาลูกหนึ่งขึ้นแตม 4)

= P(C | A)

= )A(P)CA(P ∩

= 115



28

เหตุการณเปนอิสระตอกัน

เหตุการณ B เปนอิสระจากเหตุการณ A เม่ือการเกิดขึ้นของ

เหตุการณ A ไมมีผลตอการเกิดขึ้นของเหตุการณ B

บทนิยาม 1.5.2 เหตุการณ B เปนอิสระจากเหตุการณ A

ก็ตอเม่ือ P(B | A) = P(B)

จากบทนิยาม 1.5.2 จะไดวา

1. ถา เหตุการณ A เปนอิสระจากเหตุการณ B

แลว เหตุการณ A จะเปนอิสระจากเหตุการณ B′ 2. ถา เหตุการณ A เปนอิสระจากเหตุการณ B

แลว เหตุการณ A′ จะเปนอิสระจากเหตุการณ B′ 3. ถา เหตุการณ A เปนอิสระจากเหตุการณ B

แลว เหตุการณ B จะเปนอิสระจากเหตุการณ A

ซ่ึงในกรณีนี้เรากลาววา เหตุการณ A และ B เปนอิสระตอกัน

(event A and B are independent)



29

ทฤษฎีบท 1.5.2 ทฤษฎีการคูณของความนาจะเปนของ 2

เหตุการณ ท่ีเปนอิสระตอกัน

A และ B เปนอิสระตอกัน ก็ตอเม่ือ P(A ∩ B) = P(A) P(B)



30

28/32 กำหนดให P(E) = 0.3 , P(F) = 0.5

จงหา P(E ∪ F) , P(E | F) และ P(E ′ ∩ F ′) ก. ถา E และ F เปนเหตุการณท่ีไมเกิดรวมกัน

ข. ถา E และ F เปนเหตุการณท่ีเปนอิสระตอกัน

วิธีทำ ก. ถา E และ F เปนเหตุการณท่ีไมเกิดรวมกัน

เพราะฉะนั้น P(E ∩ F) = 0

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) = 0.3 + 0.5 = 0.8

P(E | F) = )F(P)FE(P ∩ = 5.0

0 = 0

P(E ′ ∩ F ′) = P((E ∪ F) ′) = 1 – P(E ∪ F)

= 1 – 0.8 = 0.2

ข. ถา E และ F เปนเหตุการณท่ีเปนอิสระตอกัน

เพราะฉะนั้น P(E ∩ F) = P(E)P(F) = (0.3)(0.5) = 0.15

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)

= 0.3 + 0.5 – 0.15 = 0.65

P(E | F) = )F(P)FE(P ∩ = 5.0

15.0 = 0.3

P(E ′ ∩ F ′) = P((E ∪ F) ′) = 1 – P(E ∪ F)

= 1 – 0.65 = 0.35



31

ผลแบงก้ันของปริภูมิตัวอยาง S

บทนิยาม 1.4.1 เซตของเหตุการณ { 1B , 2B , ... , nB } ประกอบกัน

เปน ผลแบงก้ัน (partition) ของปริภูมิตัวอยาง S

ถา 1. iB ∩ jB = ∅ ทุกคา i ≠ j

2.

n

1 iiB

= = S

และ 3. P( iB ) > 0 ทุกคา i = 1, 2, ... , n

หมายเหตุ ถา เซตของเหตุการณ { 1B , 2B , ... , nB } เปนผลแบงกั้น

ของ S แลว ∑=

n

1iP( iB ) = P(

n

1 iiB

=) = P(S) = 1

ทฤษฎีบท 1.5.3

ใหเซตของเหตุการณ { 1B , 2B , ... , nB }

ประกอบกันเปนผลแบงกั้นของปริภูมิตัวอยาง S

ถา A เปนเหตุการณหนึ่งของ S

แลว P(A) = ∑=

n

1 iii )B|A(P)B(P



32

กำหนดเหตุการณและผลแบงกั้น

S = { 1, 2, 3, ... , 20 }

1B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

P( 1B ) = 205 P(A | 1B ) = 5

2

2B = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

P( 2B ) = 207 P(A | 2B ) = 7

5

3B = { 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }

P( 3B ) = 208 P(A | 3B ) = 8

4

P(A) = ∑=

3

1 iii )B|A(P)B(P

= P( 1B ) P(A | 1B ) + P( 2B ) P(A | 2B ) + P( 3B ) P(A | 3B )

= ( 205 )( 5

2 ) + ( 207 )(7

5 ) + ( 208 )(8

4 )

= 20452 ++

= 2011



33

ตัวอยาง 1.5.5 สินคารุนหนึ่งประกอบดวยของท่ีอยูในสภาพดี 80

ชิ้น และมีขอบกพรอง 20 ชิ้น หยิบสินคามา 2 ชิ้น โดยวิธีสุมโดย

ไมไดใสของชิ้นแรกกลับท่ีเดิมกอนหยิบชิ้นท่ีสอง

ให A เปนเหตุการณท่ีของชิ้นแรกท่ีหยิบมาตรวจพบวามีขอบกพรอง

B เปนเหตุการณท่ีของชิ้นท่ีสองท่ีหยิบมาตรวจพบวามีขอบกพรอง

จงหา P(B)

วิธีทำ เพราะวา B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A′) เพราะฉะนั้น P(B) = P((B ∩ A) ∪ (B ∩ A′)) P((B ∩ A) ∪ (B ∩ A′)) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A′) = P(A) P(B | A) + P(A′) P(B | A′) =

9920

10080

9919

10020 ⋅+⋅

= 51



34

ตัวอยาง 1.5.6 โรงงานแหงหนึ่งมีเครื่องจักร 3 เครื่อง A, B และ C

ซ่ึงสามารถผลิตสินคาได 50% 30% และ 20% ของปริมาณสินคา

ท้ังหมดท่ีผลิตจากโรงงานแหงนี้ ตามลำดับ เปอรเซ็นตของสินคาท่ีพบ

ขอบกพรองซ่ึงผลิตโดยเครื่องจักรท้ังสามเครื่องคือ 3% 4% และ 5%

ตามลำดับ ถาเลือกสินคาชิ้นหนึ่งโดยวิธีสุมแลวตรวจสภาพ จงหา

ความนาจะเปนท่ีของชิ้นนี้จะมีขอบกพรอง

วิธีทำ ให A, B และ C เปนเหตุการณท่ีสินคาผลิตจาก

เครื่องจักร A, B และ C ตามลำดับ

เพราะฉะนั้น { A, B, C } เปนเซตของเหตุการณและเปนผลแบงกั้น

ของ S

ให D เปนเหตุการณท่ีตรวจพบวาสินคาท่ีหยิบมามีขอบกพรอง

S = CBA ∪∪

D = )CD()BD()AD( ∩∪∩∪∩

เพราะฉะนั้น P(D) = P( )CD()BD()AD( ∩∪∩∪∩ )

= )CD(P)BD(P)AD(P ∩+∩+∩

= P(A) P(D | A) + P(B) P(D | B) + P(C) P(D | C)

= (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037



35

กฎของเบส (Bayes’ Rule)

ทฤษฎีบท 1.6.1 (กฎของเบส)

ให { 1B , 2B , ... , nB } เปนเซตของเหตุการณซ่ึงเปนผลแบงกั้นของ S

P( iB ) > 0 ทุกคา i

ถา A เปนเหตุการณหนึ่งของปริภูมิตัวอยาง S ซ่ึง P(A) > 0

แลว )A|B(P k = )A(P)BA(P k∩ ทุกคา k

= ∑=

n

1 iii

kk

)B|A(P)B(P

)B|A(P)B(P



36

44/33 สมมติวาลูกแกวสีตาง ๆ แยกใสไวในกลองดังนี ้

กลองที่ 1 กลองที่ 2 กลองที่ 3

แดง 2 4 3

ขาว 3 1 4

น้ำเงิน 5 3 3

เลือกกลองมา 1 ใบ แลวสุมเลือกลูกแกวมาลูกหนึ่ง ถาพบวาลูกแกว

เปนสีแดง จงหาความนาจะเปนท่ีกลองท่ี 3 ถูกเลือก

วิธีทำ P( iB ) = ความนาจะเปนท่ีเลือกกลองท่ี i ; i = 1, 2, 3

เพราะฉะนั้น P( 1B ) = P( 2B ) = P( 3B ) = 31

แผนภาพตนไมของการทดลอง

R = เหตุการณท่ีหยิบไดลูกแกวสีแดง

R′ = เหตุการณท่ีหยิบไมไดลูกแกวสีแดง



37

สุมเลือกลูกแกวมาลูกหนึ่ง

ถาพบวาลูกแกวเปนสีแดง ความนาจะเปนท่ีกลองท่ี 3 ถูกเลือก

= P(กลองท่ี 3 ถูกเลือก | พบวาลูกแกวเปนสีแดง)

= P( 3B | R)

= )R(P)RB(P 3 ∩

= )B|R(P)B(P)B|R(P)B(P)B|R(P)B(P)B|R(P)B(P

33221133++

= )10

3)(31()8

4)(31()10

2)(31(

)103)(3

1(

++

= 103



38

48/34 มีกลองใสเครื่องประดับ 3 กลองตางกัน แตละกลองมี 2

ลิ้นชัก แตละลิ้นชักของกลองแรกมีนาิกาเรือนเงินอยู 1 เรือน แตละ

ลิ้นชักของกลองท่ีสองมีนาิกาเรือนทองอยู 1 เรือน กลองท่ีสามมี

นาิกาเรือนทองและเงินใสไวอยางละลิ้นชัก ถาเขาสุมเลือกกลองมา

1 กลอง แลวดึงลิ้นชักมาลิ้นชักหนึ่ง พบวามีนาิกาเรือนทอง

จงหาความนาจะเปนท่ีอีกลิ้นชักหนึ่งจะมีนาิกาเรือนทอง

วิธีทำ iB = เหตุการณท่ีกลองท่ี i

ถูกเลือก ; i = 1, 2, 3

G = เหตุการณท่ีไดนาิกาเรือนทอง

ความนาจะเปนท่ี

อีกลิ้นชักหนึ่งจะมีนาิกาเรือนทอง

ถาดึงลิ้นชักหนึ่งพบวามีนาิกาเรือนทอง

= P(กลองท่ี 2 ถูกเลือก | ไดนาิกาเรือนทอง)

= P( 2B | G)

= )G(P)GB(P 2 ∩

= )B|G(P)B(P)B|G(P)B(P)B|G(P)B(P)B|G(P)B(P

33221122++

= )5.0)(3

1()1)(31()0)(3

1(

)1)(31(

++ = 3

2



39

ตัวแปรสุม

บทนิยาม 2.1.1

ตัวแปรสุม X คือฟงกชันท่ีมีคาเปนจำนวนจริง

ซ่ึงกำหนดโดยแตละสมาชิกในปริภูมิตัวอยาง

เพราะฉะนั้น X : S → R

X เปนตัวแปรสุม

S เปนโดเมน

R เปนพิสัย



40

ทำการทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง ปริภูมิตัวอยาง

คือ

S = { T T T, T T H, T H T, H T T, T H H, H T H, H H T, H H H }

ตัวแปรสุม X เปนจำนวนหัวท่ีขึ้นเม่ือโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง

เพราะฉะนั้น X : S → R

X(T T T) = 0

หรือกลาววา X มีคาเปน 0 เม่ือผลการทดลองได กอย 3 เหรียญ

X(T T H) = 1

หรือกลาววา X มีคาเปน 1

เม่ือผลการทดลอง ครั้งท่ี 1, 2, 3 ขึ้น กอย, กอย, หัว

:

X(H H T) = 2

หรือกลาววา X มีคาเปน 2

เม่ือผลการทดลอง ครั้งท่ี 1, 2, 3 ขึ้น หัว, หัว, กอย

X(H H H) = 3

หรือกลาววา X มีคาเปน 3 เม่ือผลการทดลองได หัว 3 เหรียญ

ขอตกลง เราสนใจเฉพาะคาของ X ท่ีเปนไปไดคือ X = 0, 1, 2, 3



41

ตัวอยาง 2.1.1 หยิบลูกบอลอยางสุมทีละลูก 2 ครั้ง โดยหยิบแลวไม

ใสคืน จากกลองท่ีมีลูกบอลสีแดง 4 ลูกและสีขาว 3 ลูก

ถา X เปนจำนวนลูกบอลสีแดงท่ีหยิบได

จงแสดงวา X เปนตัวแปรสุม

วิธีทำ

S = { ( 1c , 2c ) | 1c สีของลูกบอลในการหยิบครั้งท่ี 1

2c สีของลูกบอลในการหยิบครั้งท่ี 2 }

= { (แดง, แดง), (แดง, ขาว), (ขาว, แดง), (ขาว, ขาว) }

หรือเขียนโดยยอเปน

S = { แดง แดง, แดง ขาว, ขาว แดง, ขาว ขาว }

วิธีที่ 1 ให X : S → R

กำหนดโดย X คือจำนวนลูกบอลสีแดงท่ีหยิบได

เพราะวา X(แดง แดง) = 2

X(แดง ขาว) = 1

X(ขาว แดง) = 1

X(ขาว ขาว) = 0

เพราะฉะนั้น X มีคาเปน 0, 1, 2

เพราะฉะนั้น X : S → { 0, 1, 2 }

เพราะฉะนั้น X เปนตัวแปรสุม



42

วิธีที่ 2

X มีคาเปน 0 เม่ือหยิบได ขาว ขาว

X มีคาเปน 1 เม่ือหยิบได ขาว แดง หรือ แดง ขาว

X มีคาเปน 2 เม่ือหยิบได แดง แดง

เพราะวา 0, 1, 2 เปนจำนวนจริงและมีคาไดเม่ือการทดลองเกิดผล

ดังกลาว

ดังนั้น X เปนฟงกชันท่ีมีคาเปนจำนวนจริงซ่ึงกำหนดโดยสมาชิกของ

ปริภูมิตัวอยาง S




43

ตัวแปรสุมมี 2 ชนิด

1. ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง (discrete random variable)

2. ตัวแปรสุมตอเนื่อง (continuous random variable)

ตัวแปรสุม X เปน ตัวแปรสุมไมตอเนื่อง ถา X มีคาเปนจำนวนท่ีนับ

ไดถวน หรือ X มีคาเปนจำนวนท่ีจับคูชนิด 1 – 1 กับจำนวนเต็มบวก

ท้ังหมดได

ในการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก

X แทนจำนวนครั้งในการทอดลูกเตาจนกระท่ังขึ้นหนา 5

เปนครั้งแรก

เพราะฉะนั้น X เปนตัวแปรสุมท่ีมีคาเปน 1, 2, 3, 4, ...

ดังนั้น X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

ในการโยนเหรียญเท่ียงตรง 5 เหรียญ X แทนจำนวนหัวท่ีได

เพราะฉะนั้น X เปนตัวแปรสุมท่ีมีคาเปน 0, 1, 2, 3, 4, 5


ในการหยิบลูกแกว 8 ลูกออกมาพรอมกันจากกลองท่ีมีลูกแกว

สีดำ 10 ลูกและ ลูกแกวสีขาว 15 ลูก

X แทนจำนวนลูกแกวสีดำท่ีได เพราะฉะนั้น X เปนตัวแปรสุม

ท่ีมีคาเปน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8




44

ตัวแปรสุมตอเนื่อง

ตัวแปรสุม X เปน ตัวแปรสุมตอเนื่อง ถา X มีคาตอเนื่องกันไดหลาย

คานับไมถวน

ตัวอยางเชน

t เปนอายุของหลอดภาพโทรทัศน

ดังนั้น t มีคามากกวาหรือเทากับ 0

ปริภูมิตัวอยาง S = { t | t ≥ 0 } เปนปริภูมิตัวอยางตอเนื่อง

x เปนจำนวนจริงท่ีสุมเลือกมาจากชวง [0, 1]

ปริภูมิตัวอยาง S = { x | 0 ≤ x ≤ 1 } เปนปริภูมิตัวอยางตอเนื่อง

w เปนน้ำหนักของเด็กแรกเกิดในกรุงเทพมหานคร

ดังนั้น w > 0

ปริภูมิตัวอยาง S = { w | w > 0 } เปนปริภูมิตัวอยางตอเนื่อง



45

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

ให S เปนปริภูมิตัวอยาง

X : S → R เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

และ X = 1x , 2x , ... , nx , ...

เราสนใจฟงกชัน f(x) ท่ีทำให P(X = ix ) = f( ix )

ตัวอยาง การทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง

ปริภูมิตัวอยางคือ S = { T, H }

ตัวแปรสุม X เปนจำนวนหัวท่ีขึ้น

X = 0, 1

ให f(x) =

==

1xเมื่อ2

10xเมื่อ2

1

P(X = 0) = P(โยนเหรียญขึ้นกอย) = 12 = f(0)

P(X = 1) = P(โยนเหรียญขึ้นหัว) = 12 = f(1)

เพราะฉะนั้น P(X = x) = f(x) ทุกคา x = 0, 1



46

ตัวอยาง 2.2.1 โยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง

ให X แทนจำนวนหัวท่ีขึ้น


เพราะวาเหรียญเท่ียงตรง เพราะฉะนั้น P(H) = P(T) = 21

ผลการโยนจะมีแบบตาง ๆ กันดังนี้

สมาชิกของปริภูตวัอยาง X แทนจำนวนหัวท่ีขึ้น

T T T 0

T T H 1

T H T 1

H T T 1

T H H 2

H T H 2

H H T 2

H H H 3

จากตารางจะได P(X = 0) = 81

P(X = 1) = 83

P(X = 2) = 83

P(X = 3) = 81



47

ตัวอยาง ทำการทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง

ปริภูมิตัวอยางคือ

S = { T T T, T T H, T H T, H T T, T H H, H T H, H H T, H H H }

ตัวแปรสุม X เปนจำนวนหัวท่ีขึ้นเม่ือโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง

เพราะฉะนั้น X = 0, 1, 2, 3 ให f(x) =

====

3xเมื่อ81

2xเมื่อ83

1xเมื่อ83

0xเมื่อ81

เพราะฉะนั้น P(X = ix ) = f( ix ) ทุกคา ix , i = 1, 2, 3, 4

ขอตกลง การกำหนดสูตร f(x) สามารถเขียนในรูปแบบตาราง

x f(x) 0

81

1 83

2 83

3 81

หรือกำหนดเปนสูตรในเทอมของ x

P(X = x) = f(x) = x3x )21( )2

1( )!x3(!x!3 −−

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3



48


ให X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องท่ีมีคาเปน 1x , 2x , 3x , ... , nx , ...

ดวยความนาจะเปน f( 1x ), f( 2x ), f( 3x ), ... , f( nx ), ... ตามลำดับ

ให A เปนสับเซตของ { 1x , 2x , 3x , ... , nx , ... }

จะได P(X ∈ A) = x A∑∈

f(x)

บทนิยาม 2.2.2 ฟงกชัน f(x) เปน ฟงกชันความนาจะเปน

(probability function) หรือ การแจกแจงความนาจะเปน

(probability distribution) ของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง X

ถาสำหรับแตละคา x มีสมบัติดังนี้

1. f(x) ≥ 0

2. )x(f x∑ = 1

3. P(X = x) = f(x)

บทนิยาม 2.2.3 การแจกแจงความนาจะเปนสะสม F ของตัวแปร

สุมไมตอเนื่อง X ซ่ึงมีการแจกแจงความนาจะเปน f(x) คือ

F(x) = P(X ≤ x) = ∑≤ x t

f(t)

และ P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)



49

ตัวอยาง 2.2.2 ทำการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 2 ลูก ให X เปนจำนวน

ลูกเตาท่ีขึ้นแตม 1 หรือ 2 จงสรางตารางการแจกแจงความนาจะเปน

ของ X

วิธีทำ X = 0, 1, 2 แตมลูกที่ 2

แตมลูกที่ 1

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

x = 0 เม่ือลูกเตาไมขึ้นแตม 1 หรือ 2 เลย

จำนวนวิธีท่ีลูกเตาท้ังสองลูกไมขึ้นแตม 1, 2 มี 16 วิธี

P(X = 0) = f(0) = 3616 = 9

4

x = 1 เม่ือลูกเตาขึ้นแตม 1 หรือ 2 เพียงลูกเดียว

ลูกเตาขึ้นแตม 1 หรือ 2 เพียงลูกเดียว มี 16 วิธี

P(X = 1) = f(1) = 3616 = 9

4

x = 2 เม่ือลูกเตาท้ังสองลูกขึ้นแตม 1 หรือ 2 ซ่ึงมีอยู 4 วิธี

P(X = 2) = f(2) = 364 = 9

1

เพราะฉะนั้นตารางการแจกแจงความนาจะเปนของ X คือ

x 0 1 2 รวม

ความนาจะเปนที่ X = x 94 9

4 91 1



50

2/62 กลองใบหนึ่งมีลูกบอล 6 ลูก เปนสีดำ 4 ลูกและสีเขียว 2 ลูก

หยิบลูกบอลทีละลูกอยางสุม 3 ครั้ง โดยหยิบแลวคืนกลับท่ีเดิมกอน

จะหยิบลูกตอไป จงหาการแจกแจงความนาจะเปนของจำนวนลูก

บอลสีเขียวท่ีหยิบได

วิธีทำ

X = จำนวนลูกบอลสีเขียวท่ีหยิบได

= 0, 1, 2, 3

S = ปริภูมิตัวอยางของการหยิบลูกบอลทีละลูกอยางสุม 3 ครั้ง

โดยหยิบแลวคืนกลับท่ีเดิมกอนหยิบลูกตอไป

= { (A, B, C) | A, B, C เปนลูกบอลสีดำลูกท่ี 1, 2, 3, 4 หรือ ลูก

บอลสเีขียวลูกท่ี 1, 2 }



51

เพราะวาเปนการหยิบแลวคืนกอนหยิบครั้งตอไป

เพราะฉะนั้น n(S) = (6)(6)(6) = 216

x เหตุการณ จำนวนวิธี P(X = x)

0 ไดสีดำทุกครั้ง (4)(4)(4) = 64 278

21664 =

1 ไดสีดำ 2 ลูก สีเขียว 1 ลูก 96)4)(2)(4( 23 =

27

1221696 =

2 ไดสีดำ 1 ลูก สีเขียว 2 ลูก 48)2)(2)(4( 13 =

27

621648 =

3 ไดลูกบอลสีเขียวทุกครั้ง (2)(2)(2) = 8 271

2168 =

P(X = x) =

x3 x)6

2( x3)64( −

=

x3 x)3

1( x3)32( − เม่ือ x = 0, 1, 2, 3

เพราะฉะนั้น f(x) =

x3 x)6

2( x3)64( − เม่ือ x = 0, 1, 2, 3

เปนฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุม X



52

5/62 เครื่องรับโทรทัศน 6 เครื่อง มีเครื่องท่ีบกพรอง 2 เคร่ือง

โรงแรมแหงหนึ่งตองการซ้ือ 3 เครื่อง ถา X เปนจำนวนเครื่องท่ี

บกพรองท่ีโรงแรมไดรับไป

จงหาการแจกแจงความนาจะเปนของ X

วิธีทำ

เครื่องรับโทรทัศน 6 เครื่อง มีเครื่องท่ีบกพรอง (D) 2 เครื่อง และมี

เครื่องท่ีดี (G) 4 เครื่อง

X เปนจำนวนเครื่องท่ีบกพรองท่ีโรงแรมไดรับไป = 0, 1, 2

S = ปริภูมิตัวอยางของการหยิบโทรทัศน 3 เครื่อง จากโทรทัศน 6

เครื่อง

เพราะฉะนั้น n(S) =

36 = 20



53

x เหตุการณ จำนวนวิธี P(X = x)

0 ไดเครื่องดีท้ัง 3 เครื่อง 434 0

2 =

5

1204 =

1 ไดเครื่องบกพรอง 1 เครื่อง

ไดเครื่องดี 2 เคร่ือง 122

4 12 =

5

32012 =

2 ไดเครื่องบกพรอง 2 เครื่อง

ไดเครื่องดี 1 เคร่ือง 41

4 22 =

5

1204 =

P(X = x) =

−

36

x34 x

2

เม่ือ x = 0, 1, 2

เพราะฉะนั้น f(x) =

−

36

x34 x

2

เม่ือ x = 0, 1, 2

เปนฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุม X



54

8/62 จงหาการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุม X ในขอ

5/62 และหาคาของ

ก. P(X = 1) ข. P(0 < X ≤ 2)

วิธีทำ X เปนจำนวนเครื่องท่ีบกพรองท่ีโรงแรมไดรับไป

X = 0, 1, 2

x P(X = x) F(x) = P(X ≤ x)

0 51 5

1

1 53 5

4

2 51 1

เพราะฉะนั้น F(x) =

≥

<≤

<≤<

2x 1

2x154

1x0 51

0x 0

เมื่อ

เมื่อ

เมื่อเมื่อ

ก. P(X = 1) = 53

ข. P(0 < X ≤ 2)

= P(X = 1) + P(X = 2)

= 51 + 5

3 = 54



55

คาคาดคะเน


ให X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องมีฟงกชันความนาจะเปน f(x)

คาคาดคะเน ของ X แทนดวย E(X)

E(X) = ∑x

)x(f x

ขอตกลง คาเฉลี่ยของตัวแปรสุม X คือ E(X)

ใชสัญลักษณแทนดวย µ หรือ Xµ

ตัวอยาง 1 ในกลองมีสลาก 3 ใบเปนหมายเลข 1, 2, 3

สุมหยิบสลาก 1 ใบ

กำหนดตัวแปรสุม X = แตมของสลากท่ีได

เพราะฉะนั้น X = 1, 2, 3

และ P(X = x) = f(x) = 31

E(X) = ∑x

)x(f x = (1)(31 ) + (2)(3

1 ) + (3)(31 ) = 2



56

ตัวอยาง 2 ในกลองมีสลาก 3 ใบเปนหมายเลข 1, 1, 2

สุมหยิบสลาก 1 ใบ

X = แตมของสลากท่ีได

เพราะฉะนั้น X = 1, 2

P(X = 1) = f(1) = 32

P(X = 2) = f(2) = 31

E(X) = ∑x

)x(f x = (1)( 32 ) + (2)(3

1 ) = 34



57

ตัวอยาง 2.6.1 เลือกกรรมการ 3 คนอยางสุมจากผูสมัครท้ังหมด 7

คน ซ่ึงเปนนักเคมี 4 คน และนักชีววิทยา 3 คน จงหาคาคาดคะเน

ของจำนวนนักเคมีท่ีไดรับเลือกเปนกรรมการ

วิธีทำ ให X เปนจำนวนนักเคมีท่ีไดรับเลือกเปนกรรมการ

P(X = x) = f(x) =

−

37

x33 x

4

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3 รวม

f(x) 351 35

12 3518 35

4 1

x f(x) 0 3512 35

36 3512 35

60

E(X) = ∑=

3

0 x)x(f x = 35

60 = 1.7

ดังนั้น ในการเลือกกรรมการ 3 คนอยางสุมจากนักเคมี 4 คน

และนักชีววิทยา 3 คน หลาย ๆ ครั้ง

โดยเฉลี่ยจะเลือกไดนักเคมี 1.7 คน



58

สมบัติของคาคาดคะเน

สำหรับจำนวนจริง a, b ใด ๆ

1. E(b) = b

2. E(aX) = aE(X)

3. E(aX + b) = aE(X) + b

4. u(X), v(X) เปนฟงกชันคาจรงิของตัวแปรสุม X

4.1 E(u(X)) = ∑x

)x(f )x(u

4.2 E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)]

4.3 E( 2X ) = ∑x

2 )x(f x

ประโยชนของคาคาดคะเน

1. ใชอธิบายคาเฉลี่ยของตัวแปรสุม

2. หาผลตอบแทนท่ีไดในการลงทุน

3. ใชอธิบาย การเลนเกม หรือ การพนันวายุติธรรมหรือไม



59

ตัวอยาง 1

กติกา ในการจายเงิน 15 บาทเพ่ือเลนเกมหยิบลูกบอล

ถาไดลูกบอลสีดำทางรานจายเงิน 20

ถาไดลูกบอลสีขาวรานจายเงิน 10

คำถาม

กติกานี้ใครไดประโยชนมากกวากัน ระหวางทางราน กับ ผูเลนเกม

ตอบ X = จำนวนเงินท่ีได = 20, 10

P(X = 20) = 74

P(X = 10) = 73

คาคาดคะเนของ X = E(X) = ∑ =x

)xX(P x

= (20)(74 ) + (10)(7

3 )

= 7110

= 15.7143

เพราะวา คาคาดคะเนของเงินท่ีผูเลนไดรับ มากกวา คาเลนเกม

เพราะฉะนั้น ผูเลนไดประโยชนมากกวาเจาของรานเกม



60

30/64

ในการลงทุนของชายผูหนึ่งปรากฏวาใน 1 ป เขาจะมีกำไร 60000

บาท ดวยความนาจะเปน 0.3 หรือขาดทุน 20000 บาท ดวยความ

นาจะเปน 0.7 จงหาคาคาดคะเนของการลงทุนนี ้

วิธีทำ X = จำนวนผลตอบแทนท่ีไดจากการลงทุน

เพราะฉะนั้น X = 60000, –20000

เพราะวา X = 60000 เม่ือทำการลงทุนแลวไดกำไร

เพราะฉะนั้น P(X = 60000) = 0.3

เพราะวา X = –20000 เม่ือทำการลงทุนแลวไดขาดทุน

เพราะฉะนั้น P(X = –20000) = 0.7

คาคาดคะเนของตัวแปรสุม X = E(X)

= ∑ =x

)xX(P x

= (60000)P(X = 60000) + (–20000)P(X = –20000)

= (60000)(0.3) + (–20000)(0.7)

= 18000 – 14000

= 4000



61

31/65 การเลนเกมพนันเกมหนึ่ง ถาชายผูหนึ่งดึงไพออกจากสำรับซ่ึง

มีไพ 52 ใบเปน J หรือ Q เขาจะไดรับเงิน 2 บาท และถาดึงไพ

ออกมาเปน K หรือ A เขาจะไดรับเงิน 5 บาท แตถาดึงไดไพใบอ่ืนเขา

จะไมไดรับเงินจากเจามือ อยากทราบวาเขาควรจะจายเงินคาเกม

เทาไรจึงจะทำใหเกมนี้เปนเกมยุติธรรม

วิธีทำ การหยิบไพหนึ่งใบออกจากสำรับ

ให X = จำนวนเงินท่ีไดรับ = 2, 5, 0

P(X = 2) = P(ได J หรือ Q ) = 528 = 13

2

P(X = 5) = P(ได K หรือ A ) = 528 = 13

2

P(X = 0) = P(ไดไพใบอ่ืน ๆ ท่ีไมใช J, Q, K, A ) = 5236 = 13

9

เกมยุติธรรมหมายถึง เขาควรจะจายเงินคาเกมเทากับ คาคาดคะเน

ของผลตอบแทนท่ีไดจากการเลนเกม

เพราะวา E(X) = ∑ =x

)xX(P x

= (2)(132 ) + (5)(13

2 ) + (0)(139 )

= 1314

= 1.0769

เพราะฉะนั้นเขาควรจายเงิน 1314 บาทจึงจะยุติธรรม



62

36/65 ในการแขงขันครั้งหนึ่ง นักขับรถแขงจะประกันรถของเขาเปน

จำนวนเงิน 200000 บาท บริษัทประกันประมาณวา ความนาจะเปน

ท่ีจะจายเงินท้ังหมดคือ 0.002 ความนาจะเปนท่ีจะจายเงิน 50% คือ

0.01 และความนาจะเปนท่ีจะจายเงินเพียง 25% คือ 0.1 หากไมคิด

คาใชจายปลีกยอยอ่ืน บริษัทประกันควรเก็บคาเบี้ยประกันจากผูเอา

ประกันจำนวนเทาไรจึงจะไดกำไร 2000 บาท

วิธีทำ X = จำนวนเงินท่ีบริษัทประกันตองจายเงิน

X = 200000, 100000, 50000, 0 บาท

P(X = 200000) = 0.002

P(X = 100000) = 0.01 และ P(X = 50000) = 0.1

เพราะฉะนั้น P(X = 0) = 1 – 0.002 – 0.01 – 0.1 = 0.888

E(X) = ∑ =x

)xX(P x

= (200000)(0.002) + (100000)(0.01) + (50000)(0.1)

+ (0)(0.888)

= 400 + 1000 + 5000 + 0 = 6400

คาคาดคะเนท่ีบริษัทประกันตองจายคือ 6400 บาท

เม่ือบริษัทประกันตองการกำไร 2000 บาท

ตองเก็บเบี้ยประกัน 2000 + 6400 = 8400 บาท



63


ความแปรปรวน ของตัวแปรสุม X แทนดวยสัญลักษณ 2σ

2σ = E( 2)X( µ− )

ทฤษฎีบท 2σ = E( 2X ) – 2µ


σ เรียกวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวแปรสุม X



64

ตัวอยาง

x f(x) x f(x) 2x f(x)

0 81 0 0

1 83 8

3 83

2 83 8

6 812

3 81 8

3 89

รวม 5.1812 = 38

24 =

เพราะฉะนั้น µ = E(X) = 1.5

E( 2X ) = 3

2σ = E( 2X ) – 2µ

= 3 – 2)5.1(

= 0.75



65

45/66 จากชาย 5 คน และหญิง 3 คน สุมเลือกตัวแทน 3 คน

ถา X แทนจำนวนหญิงท่ีไดรับเลือก

จงหาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของ X

วิธีทำ ให X แทนจำนวนหญิงท่ีไดรับเลือก ดังนั้น X = 0, 1, 2, 3

เพราะฉะนั้น

−

===

38

x35 x

3

)x(f)xX(P เม่ือ x = 0, 1, 2, 3

x P(X = x) x f(x) 2x f(x)

0 5610 0 0

1 5630 56

30 5630

2 5615 56

30 5660

3 561 56

3 569

รวม 5663

5699



66

C n r,( )n!

r! n r−( )!⋅:= P x( )

C 3 x,( ) C 5 3 x−,( )⋅

C 8 3,( ):= x 0 3..:=

x

0123

= P x( )

0.1785710.5357140.2678570.017857

= x P x( )⋅

00.5357140.5357140.053571

=

µ

0

3

x

x P x( )⋅∑=

:= µ 1.125=

0

3

x

x P x( )⋅∑=

1.125=

0

3

x

x2 P x( )⋅∑=

1.767857=

0

3

x

x µ−( )2 P x( )⋅∑=

0.502232=

เพราะฉะนั้น µ = E(X) = 5663 = 1.125

E( 2X ) = 5696

2σ = E( 2X ) – 2µ

= 5699 – 2)56

63(

= 448225

= 0.502232

การคำนวณดวยโปรแกรม MATHCAD



67

สมบัติของความแปรปรวน

ให 2Xσ เปนความแปรปรวนของตัวแปรสุม X

ให a, b เปนจำนวนจริง จะได

1. ให Y = X + b จะได 2Yσ = 2

bX+σ = 2Xσ

2. ให Y = aX จะได 2Yσ = 2

aXσ = 2a 2Xσ

3. ให Y = aX + b จะได 2Yσ = 2

baX+σ = 2a 2Xσ

ตัวอยาง ให 10X =µ , 2Xσ = 16 และ Y = 2X + 5

จงหา คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุม Y

วิธีทำ 255)10(252 x5X2Y =+=+µ=µ=µ +

2Yσ = 2

5X2 +σ = 22 2Xσ = (4)(16) = 64

ตัวอยาง ให X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องของอุณหภูมิมีหนวยเปน oC

ให Y = ( 10032212− ) X + 32

ให 30X =µ และ 2Xσ = 4 จงหา Yµ และ 2

Yσ

วิธีทำ Y = ( 10032212− ) X + 32 = 1.8X + 32

32X8.1Y +µ=µ = 8632)30(8.132 8.1 x =+=+µ

2Yσ = 2

32X8.1 +σ = 2)8.1( 2Xσ = 2)8.1( (4) = 12.96



68

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง

ตัวแปรสุม X เปน ตัวแปรสุมตอเนื่อง ถา X มีคาตอเนื่องกันไดหลาย

คานับไมถวน

เชน X เปนจำนวนจริงท่ีสุมเลือกมาจากชวง [0, 1]

X เปนอายุของหลอดภาพโทรทัศน

X เปนน้ำหนักของเด็กแรกเกิด

บทนิยาม 2.3.1 ฟงกชัน f(x) จะเปน ฟงกชันความหนาแนนของ

ความนาจะเปน (p.d.f) หรือ ฟงกชันความนาจะเปน ของตัวแปร

สุมตอเนื่อง X

ถา 1. f(x) ≥ 0 สำหรับทุกคา x ท่ีเปนจำนวนจริง

2. ∫∞

∞− f(x) dx = 1

3. P(a < X < b) = ∫b

a f(x) dx



69

ตัวอยาง ตัวแปรสุม X เปนจำนวนจริงท่ีสุมมาจากชวง [0, 4]

ให f(x) =

<<

มีคาอื่นๆx เมื่อ0

4x0เมื่อ41

จงแสดงวา f เปนฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง X

วิธีทำ

1. f(x) ≥ 0 สำหรับทุกคา x ท่ีเปนจำนวนจริง เปนจริง

2. ∫∞

∞− dx)x(f = ∫

4

041 dx = [ 4

x ] 0x4x

== = 1 เปนจริง

3. ให A = (a, b) และ A ⊂ [0, 4]

เพราะวา [0, 4] และ (a, b) เปนเซตอนันตแบบนับไมได

เพราะฉะนั้น P(a < X < b) ใชสัดสวนความยาวของชวง (a, b) และ

ความยาวของชวง [0, 4]

เพราะฉะนั้น P(a < X < b) = 04ab

−− = 4

ab −

dx )x(fA∫ = ∫

b

adx )x(f = ∫

b

a 41 dx = [ 4

x ] axbx

== = 4

ab −

เพราะฉะนั้น P(X ∈ A) = dx )x(fA∫ = P(a < X < b) เปนจริง

เพราะฉะนั้น f เปนฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุมตอเนื่อง X



70

บทนิยาม 2.3.2 การแจกแจงความนาจะเปนสะสม ของตัวแปรสุม

ตอเนื่อง X ซ่ึงมี p.d.f. เปน f(x) คือ

F(x) = P(X ≤ x) = dt )t(f x

∫∞−

เม่ือ x เปนจำนวนจริงใด ๆ

จากนิยามของ F(x) จะได P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

และ dx)x(dF = f(x)

ตัวอยาง ตัวแปรสุม X มี p.d.f. เปน

f(x) =

เมื่อ 1<x<4

0 เมื่อ x มีคาอื่นๆ

2x15

จงหา การแจกแจงความนาจะเปนสะสม F(x)

วิธีทำ กรณี x ≤ 1; F(x) = dt )t(f x

∫∞−

=

x

0 dt

− ∞∫ = 0

กรณ ี 1 < x < 4 ; F(x) = dt )t(f x

∫∞−

= ∫x

1dt 15

t2 = xt1t

2 ] 15

t [ == = 15

1x2 −

กรณี x ≥ 4 ; F(x) = dt )t(f x

∫∞−

=

4

1

2t dt15∫ =

2 t 4t 1

t[ ] 15== =

1615 –

115 = 1


≤

≥

0 เมื่อ x12x 1 เมื่อ 1<x<4151 เมื่อ x4

-



71

ขอควรจำ

1. ตัวแปรสุมตอเนื่อง X มี p.d.f. เปน f(x) และ A = (a , b)

จะไดวา

P(a < X < b) = P(X ∈ A) = dx f(x) A∫ = dx )x(f

b

a∫

2. A = (a, b), A = [a, b), A = (a, b] หรือ A = [a, b]

จะได P(X ∈ A) = dx f(x) A∫ dx = dx )x(f

b

a∫ มีคาเทาเดิม

เพราะฉะนั้น P(a < X < b) = P(a ≤ X < b)

= P(a < X ≤ b)

= P(a ≤ X ≤ b)

3. P(X = a) มีคาเปน 0 เสมอ

4. สำหรับ iA = ( ia , ib ) , i = 1, 2, ... , k

และ A = 1A ∪ 2A ∪ ... ∪ kA

โดยท่ี iA ∩ jA = ∅ ทุกคา i ≠ j

จะได P(X ∈ A) = ∫1b

1adx )x(f + ∫

2b

2adx )x(f + ... + ∫

kb

kadx )x(f



72

2

4

x227

1 x+( )⋅⌠⌡

d 0.5926=

3

4

x227

1 x+( )⋅⌠⌡

d 0.3333=

14/63

ตัวแปรสุมตอเนื่อง X ซ่ึงมีคาอยูระหวาง x = 2 และ x = 5 มี p.d.f.

เปน f(x) =

เมื่อ 2<x<5

0 เมื่อ x มีคาอื่นๆ

2 (1+ x)27

จงหาคา ก. P(X < 4)

ข. P(3 ≤ X < 4)

วิธีทำ ก. P(X < 4) = dx )x1(272 dx )x(f

4

2

4+= ∫∫

∞−

2716)27

4274()27

16278(2x

4x] 27x

27x2 [

2=+−+==

=+=

= 0.5926

ข. P(3 ≤ X < 4) = dx)x1(272dx)x(f

4

3

4

3+= ∫∫

31

279)27

9276()27

16278(3x

4x] 27x

27x2 [

2==+−+==

=+=

= 0.3333




73

16/63

จาก p.d.f. ในขอ 14/63

จงหาฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x)

และใช F(x) ท่ีไดหาคาของ P(3 ≤ X < 4)

วิธีทำ กรณี x ≤ 2; F(x) = dt )t(f x

∫∞−

= x

0 dt

− ∞∫ = 0

กรณี 2 < x < 5 ; F(x) = dt )t1(272 dt )t(f

x

2

x+= ∫∫

∞−

2txt]27

t27

t2[2

==+=

27)2x)(4x(

278x2x)27

4274()27

x27x2(

22 −+=−+=+−+=

กรณี x ≥ 5 ; F(x) = x 5

2

2 f (t) dt (1 t) dt27−∞

= +∫ ∫

2 t 52t t[ ]t 227 27== + = = 35

27 – 827 = 1


≤

≥

0 เมื่อ x 2(x+4)(x-2) เมื่อ 2 < x < 527

1 เมื่อ x5

P(3 ≤ X < 4) = F(4) – F(3) 31

277

2716 =−=



74


ให X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง มีฟงกชันความนาจะเปน f(x)

คาคาดคะเน ของ X แทนดวย E(X) คือ

E(X) = ∫∞

∞− dx )x(f x

ขอตกลง

1. คาเฉลี่ยของ X คือ E(X) ใชสัญลักษณแทนดวย µ หรือ Xµ

2. คาคาดคะเนของตัวแปรสุม 2X แทนดวย E( 2X )

E( 2X ) = ∫∞

∞−

2 dx )x(f x

3. E(u(X)) = ∫∞

∞− dx )x(f u(x)

บทนิยาม ความแปรปรวน ของตัวแปรสุม X

ใชสัญลักษณแทนดวย 2σ หรือ Var(X)

2σ = E( 2)X( µ− ) = ∫∞

∞−

µ−

2 dx)x(f)x(

ทฤษฎีบท 2σ = E( 2X ) – 2µ



75

34/65

จงหาคาคาดคะเนของตัวแปรสุม X ซ่ึงมี p.d.f. ดังนี้

f(x) =

<<

+π มีคาอื่นๆ x เมื่อ0

1x0 เมื่อ)2x(1

4

วิธีทำ E(X) = dx )x(f x∫∞

∞−

= dx)x1(

x42

1

0 +π∫

= dxx1x2 2

2

1

0 +π ∫

= )x1(dx1

1 2 22

1

0+

+π ∫

= π2 [ )x1(n 2+ ] 0x

1x==

= ))1(n)2(n(2 −

π

= π

2n2



76

f x( ) 2 x2⋅13

+:=

0

1xx f x( )⋅

⌠⌡

d23

→ 0.667=

0

1

xx23

−

2f x( )⋅

⌠⌡

d115

→ 0.067=

48/66 กำหนดใหฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุม X คือ

f(x) =

<<+

มีคาอื่นๆ x เมื่อ0

1x0 เมื่อ3122x

จงหา ก. E(X) ข. ความแปรปรวนของตัวแปรสุม X

วิธีทำ ก. E(X) = dx )x(f x∫∞

∞−

= dx )31x2(x 2

1

0+∫ = dx )3

xx2( 31

0+∫

= [ 2x4 + 6

x2 ] 0x1x

== = 3

2 = 0.66667

ข. 2σ = ))X((E 2µ−

= dx)x(f)32x( 2−∫

∞

∞−

= dx)31x2()3

2x( 221

0+−∫ = 15

1




77

สมบัติของคาคาดคะเน

สำหรับจำนวนจริง a, b ใด ๆ

1. E(b) = b

2. E(aX) = aE(X)

3. E(aX + b) = aE(X) + b

4. u(X), v(X) เปนฟงกชันคาจรงิของตัวแปรสุม X

4.1 E(u(X)) = ∑x

)x(f)x(u

4.2 E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)]

4.3 E( 2X ) = ∑x

2 )x(f x

สมบัติของความแปรปรวน

ให 2Xσ เปนความแปรปรวนของตัวแปรสุม X

ให a, b เปนจำนวนจริง จะได

1. ให Y = X + b จะได 2Yσ = 2

bX+σ = 2Xσ

2. ให Y = aX จะได 2Yσ = 2

aXσ = 2a 2Xσ

3. ให Y = aX + b จะได 2Yσ = 2

baX+σ = 2a 2Xσ



78

การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 2


ในปริภูมิตัวอยางเราสามารถกำหนดตัวแปรสุมไดมากกวาหนึ่ง



1. การทดลองทอดลูกเตาเท่ียงตรง 2 ลูกพรอมกัน

S = { (1, 1), (1, 2), ... , (6, 5), (6, 6) }

X = จำนวนผลบวกของแตม = 2, 3, ... , 12

Y = คาสัมบูรณของผลตางของแตม = 0, 1, ... , 5

จะได P(X = 2 และ Y = 0) = 361

P(X = 5 และ Y = 0) = 0



79

2. ในกลองมีลูกแกวสีแดง 5 ลูก สีดำ 4 ลูก สีขาว 1 ลูก

ทำการทดลองหยิบลูกแกวออกมาพรอมกัน 3 ลูก

X = จำนวนลูกแกวสีแดงท่ีได = 0, 1, 2, 3

Y = จำนวนลูกแกวสีดำท่ีได = 0, 1, 2, 3

จะได P(X = 2 และ Y = 1) =

310

01 1

4 25

= 31

120)1)(4)(10( =

P(X = x, Y = y) = f(x, y) =

−−

310

yx31 y

4 x5

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1, 2, 3 และ 2 ≤ x + y ≤ 3



80


f(x, y) เปน ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน (joint probability

function) ของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง X และ Y

ถา

1. f(x, y) ≥ 0 สำหรับทุกคาของ (x, y)

2. ∑ ∑x y

f(x, y) = 1

3. P((X, Y) ∈ A) = (x, y) A

∑∈

f(x, y) เม่ือ A เปนสับเซตของ 2R



81

ตัวอยาง 2.5.2 กลองใบหนึ่งมีลูกบอลสีดำ 3 ลูก สีแดง 2 ลูก และ สี

เขียว 3 ลูก หยิบลูกบอล 2 ลูกอยางสุมพรอมกัน

ให X เปนจำนวนลูกบอลสีดำท่ีหยิบได และ Y เปนจำนวนลกูบอลสี

แดงท่ีหยิบได

จงคำนวณการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y

วิธีทำ สมมติหยิบลูกบอล 2 ลูก ไดสีดำ x ลูกและสีแดง y ลูก

ดังนั้นหยิบลูกบอลสีเขียวได = 2 – x – y ลูก

จำนวนวิธีหยิบลูกบอล 2 ลูก

จากลูกบอลท้ังหมด 8 ลูก =

28

จำนวนวิธีหยิบลูกบอลสีดำ x

ลูกจากลูกบอลสดีำ 3 ลูก =

x3

จำนวนวิธีหยิบลูกบอลสีแดง y ลูก

จากลูกบอลสีแดง 2 ลูก =

y2

จำนวนวิธีหยิบลูกบอลสีเขียว (2 – x – y) ลูก

จากลูกบอลสีเขียว 3 ลูก =

−− yx23

ดังนั้น P(X = x, Y = y) =

−−

28

yx23 y

2 x3

เม่ือ x = 0, 1, 2 ; y = 0, 1, 2 และ 0 ≤ x + y ≤ 2



82

ตารางการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y

f(x, y) = P(X = x, Y = y)

x

y

0 1 2

0 283 28

9 283

1 286 28

6 0

2 281 0 0



83

18/63

ถุงใบหนึ่งบรรจุผลไม 3 ชนิด คือ สม 3 ผล มะมวง 2 ผล และมังคุด

3 ผล สุมเลือกผลไม 4 ผล

ถา X แทนจำนวนสม และ Y แทนจำนวนมะมวงท่ีหยิบได

จงหา ก. การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y

ข. P[(X, Y) ∈ A] เม่ือ A = { (x, y) | x + y ≤ 2 }

วิธีทำ

X = จำนวนสมท่ีหยิบได = 0, 1, 2, 3

Y = จำนวนมะมวงท่ีหยิบได = 0, 1, 2

จำนวนวิธีหยิบของ 4 สิ่ง จาก 8 สิ่ง = 70!4 !4!8

48 ==

ความนาจะเปนท่ีจะได สม x ผล และ มะมวง y ผล

= P( X = x, Y = y)

= f(x, y) =

−−

48

yx43 y

2 x3

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1, 2

และ 1 ≤ x + y ≤ 4



84

สรุปในรูปแบบตารางความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y

x

y

0 1 2 3

0 0 703 70

9 703

1 702 70

18 7018 70

2

2 703 70

9 703 0

ข. P[(X, Y) ∈ A]

= f(0, 1) + f(0, 2) + f(1, 0) + f(1, 1) + f(2, 0)

= 709

7018

703

703

702 ++++

= 7035

= 21



85

การแจกแจงมารจินัล (marginal distribution)

บทนิยาม 2.5.3 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องมี f(x, y)

เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน

การแจกแจงมารจินัลของ X แทนดวย g(x)

กำหนดโดย g(x) = ∑y

)y,x(f

การแจกแจงมารจินัลของ Y แทนดวย h(y)

กำหนดโดย h(y) = ∑x

)y,x(f



86

ตัวอยาง 2.5.4 จากตัวอยาง 2.5.2 จงหา g(x) และ h(y)

P(X = x, Y = y) =

−−

28

yx23 y

2 x3

เม่ือ x = 0, 1, 2 ; y = 0, 1, 2 และ 0 ≤ x + y ≤ 2

x

y

0 1 2 h(y)

0 283 28

9 283 28

15

1 286 28

6 0 2812

2 281 0 0 28

1

g(x) 2810 28

15 283



87

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข

จากนิยามของความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ B เม่ือ

กำหนดเหตุการณ A

P(B | A) = )A(P)BA(P ∩ เม่ือ P(A) > 0

A เปนเหตุการณท่ี X = x และ B เปนเหตุการณท่ี Y = y

P(Y = y | X = x) = )xX(P)yY,xX(P

===

หรือ f(y | x) = )x(g)y,x(f เม่ือ g(x) > 0

ในทำนองเดียวกัน f(x | y) = )y(h)y,x(f เม่ือ h(y) > 0

f(y | x) เรียกวาการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

Y เม่ือกำหนด X = x

f(x | y) เรียกวาการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

X เม่ือกำหนด Y = y

ในทำนองเดียวกัน f(y | x) = )x(g)y,x(f เม่ือ g(x) > 0

คือฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขของตัว

แปรสุมตอเนื่อง Y เม่ือกำหนด X = x

และ f(x | y) = )y(h)y,x(f เม่ือ h(y) > 0


แปรสุมตอเนื่อง X เม่ือกำหนด Y = y



88

23/64 กำหนดให X และ Y มีการแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน

จงหา การแจกแจงมารจินัลและการแจกแจงความนาจะเปนแบบมี

เงื่อนไข

วิธีทำ ตารางของการแจกแจงมารจินัลคือ

x

y

1 2 3 h(y)

1 0 61 12

1 41

2 51 9

1 0 4514

3 152 4

1 181 180

79

g(x) 155 36

19 365

เพราะฉะนั้นจะไดการแจกแจงมารจินัลของ X และ Y เปนดังนี้

การแจกแจงมารจินัลของ X

x 1 2 3

g(x) 31 36

19 365

การแจกแจงมารจินัลของ Y

y 1 2 3

h(y) 41 45

14 18079



89

การแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข

P(X = x | Y = y) = f(x | y) คอื

P(X = 1 | Y = 1) = 0)1(h0

)1(h)1,1(f

)1Y(P)1Y , 1X(P ===

===

P(X = 2 | Y = 1) = 32

4161

)1(h)1 , 2(f

)1Y(P)1Y , 2X(P ===

===

P(X = 3 | Y = 1) = 31

41

121

)1(h)1 , 3(f

)1Y(P)1Y , 3X(P ===

===

ในทำนองเดียวกัน

P(X = 1 | Y = 2) = 149

451451

)2(h)2 , 1(f

)2Y(P)2Y , 1X(P ===

===

P(X = 1 | Y = 3) = 7924

18079152

)3(h)3 , 1(f

)3Y(P)3Y , 1X(P ===

===

P(X = 2 | Y = 3) = 7945

1807941

)3(h)3 , 2(f

)3Y(P)3Y , 2X(P ===

===

P(X = 3 | Y = 3) = 7910

18079181

)3(h)3 , 3(f

)3Y(P)3Y , 3X(P ===

===



90

ตารางการแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข f(x | y)

x 1 2 3

f(x | 1) 0 32 3

1

f(x | 2) 149 14

5 0

f(x | 3) 7924 79

45 7910



91

การแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข

P(Y = y | X = x) = f(y | x) คอื

P(Y = 1 | X = 1) = 0)1(g0

)1X(P)1Y , 1X(P ==

===

P(Y = 2 | X = 1) = 53

3151

)1(g)2 , 1(f

)1X(P)2Y , 1X(P ===

===

P(Y = 3 | X = 1) = 52

31

152

)1(g)3 , 1(f

)1X(P)3Y , 1X(P ===

===

P(Y = 1 | X = 2) = 196

361961

)2(g)1 , 2(f

)2X(P)1Y , 2X(P ===

===

:

P(Y = 3 | X = 2) = 199

361941

)2(g)3 , 2(f

)2X(P)3Y , 2X(P ===

===

P(Y = 1 | X = 3) = 53

365

121

)3(g)1 , 3(f

)3X(P)1Y , 3X(P ===

===

:

P(Y = 3 | X = 3) = 52

365

181

)3(g)3 , 3(f

)3X(P)3Y , 3X(P ===

===



92

ตารางการแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข f(y | x)

y 1 2 3

f(y | 1) 0 53 5

2

f(y | 2) 196 19

4 199

f(y | 3) 53 0 5

2



93

บทนิยาม ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องมี f(x, y) เปน

ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน

X, Y เปนอิสระกัน

ก็ตอเม่ือ เหตุการณท่ี X เกิดกอนไมมีผลตอเหตุการณ Y

และ เหตุการณท่ี Y เกิดกอนไมมีผลตอเหตุการณ X

ก็ตอเม่ือ P(Y = y | X = x) = P(Y = y)

และ P(X = x | Y = y) = P(X = x) ทุกคา x, y

ก็ตอเม่ือ )x(g)y,x(f = h(y) และ )y(h

)y,x(f = g(x) ทุกคา x, y

ก็ตอเม่ือ f(x, y) = g(x) h(y) ทุกคา x, y


X, Y เปนอิสระกัน ก็ตอเม่ือ f(x, y) = g(x) h(y) ทุกคา x, y

เพราะฉะนั้น X, Y ไมเปนอิสระกัน ก็ตอเม่ือ มี x, y อยางนอยหนึ่งคู

ท่ีทำให f(x, y) ≠ g(x) h(y)



94

ตัวอยาง 1 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องมี f(x, y) เปน

ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังตาราง

x

y

1 2 h(y)

1 0.08 0.12 0.2

2 0.12 0.18 0.3

3 0.20 0.30 0.5

g(x) 0.4 0.6


x 1 2

g(x) 0.4 0.6


y 1 2 3

h(y) 0.2 0.3 0.5

เพราะวา f(x, y) = g(x) h(y) ทุกคา x, y

เพราะฉะนั้น X, Y เปนอิสระกัน



95

ตัวอยาง 2 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง

มี f(x, y) เปน ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังตาราง

x

y

0 1 2 h(y)

0 0.15 0.25 0.05 0.45

2 0.03 0.20 0.02 0.25

4 0.02 0.05 0.23 0.30

g(x) 0.20 0.50 0.30


x 0 1 2

g(x) 0.20 0.50 0.30


y 0 2 4

h(y) 0.45 0.25 0.30

เพราะวา f(0, 0) = 0.15

และ g(0) h(0) = (0.20)(0.45) = 0.09

ดังนั้น f(0, 0) ≠ g(0) h(0)

เพราะฉะนั้น X, Y ไมเปนอิสระกัน



96

ความแปรปรวนรวม (covariance)

บทนิยาม 2.8.2 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง และ f(x, y)


ความแปรปรวนรวม (covariance) ของตัวแปรสุม X และ Y

เขียนแทนดวยสัญลักษณ XYσ หรือ cov(X, Y)

กำหนดโดย XYσ = E[(X – Xµ )(Y – Yµ )]

= ∑x∑y

(x – Xµ )(y – Yµ )f(x, y)

ทฤษฎีบท 2.8.2 XYσ = E(XY) – E(X)E(Y)

หรือ XYσ = E(XY) – Xµ Yµ

เม่ือ E(XY) = ∑x∑y

xy f(x, y)

Xµ = E(X) = ∑x∑y

x f(x, y) หรือ E(X) = ∑x

x g(x)

Yµ = E(Y) = ∑x∑y

y f(x, y) หรือ E(Y) = ∑y

y h(y)

ทฤษฎีบท ถา X, Y อิสระกัน แลว XYσ = 0

ในทางกลับกัน ถา XYσ ≠ 0 แลว X, Y ไมเปนอิสระกัน



97

จากตัวอยาง 1

เพราะวา X, Y เปนอิสระกัน เพราะฉะนั้น XYσ = 0

จากตัวอยาง 2

E(XY) = ∑x∑y

xy f(x, y)

= (0)(0)f(0, 0) + (0)(1)f(0, 1) + ... + (2)(4)f(2, 4)

= (0)(0)(0.15) + (0)(1)(0.25) + ... + (2)(4)(0.23)

= 0 + 0 + 0 + 0 + (1)(2)(0.20) + (2)(2)(0.02) + 0

+ (1)(4)(0.05) + (2)(4)(0.23)

= 0.4 + 0.08 + 0.2 + 1.84

= 2.52

E(X) = ∑x

x g(x) = 0 + (1)(0.5) + (2)(0.3) = 1.1

E(Y) = ∑y

y h(y) = 0 + (2)(0.25) + (4)(0.3) = 1.7

XYσ = E(XY) – E(X)E(Y)

= 2.52 – (1.1)(1.7)

= 0.65



98

สมบัติความแปรปรวนและความแปรปรวนรวม

ทฤษฎีบท 2.9.4 ถา X และ Y เปนตัวแปรสุม

จะได 2bYaX+σ = 2

X2a σ + 2

Y2b σ + 2ab XYσ

ทฤษฎีบทประกอบ 2.9.5

ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมซ่ึงเปนอิสระตอกัน


Y22

X2 ba σ+σ



99

54/66

ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมท่ีเปนอิสระตอกัน

มี 2Xσ = 5 และ 2

Yσ = 3

จงหาคา 2Zσ เม่ือ Z = X + 4Y – 3

วิธีทำ 2Zσ

2Y

22X

22Y4X

23Y4X )4(1 σ+σ=σ=σ= +−+

= (1)(5) + (16)(3)

= 53

55/66

ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมท่ีไมเปนอิสระตอกันมี 2Xσ = 5, 2

Yσ = 3 และ XYσ = 1

จงหาคา 2Zσ เม่ือ Z = 2X – 3Y + 5

วิธีทำ 2Zσ 2

Y)3(X22

Y3X22

5Y3X2 −+−+− σ=σ=σ=

XY2Y

22X

2 )3)(2(2)3(2 σ−+σ−+σ=

= (4)(5) + (9)(3) + 2(2)(–3)(1)

= 35



100

การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุมตอเนื่อง 2

ตัวแปร

บทนิยาม 2.5.2 f(x, y) เปน ฟงกชันความหนาแนนรวมกัน (joint

density function) ของตัวแปรสุมตอเนื่อง X และ Y

ถา

1. f(x, y) ≥ 0 สำหรับทุกคาของ (x, y)

2. dxdy )y,x(f ∫∫∞

∞−

∞

∞− = 1

3. A

P[(X,Y) A] f (x, y) dxdy∈ = ∫∫ เม่ือ A เปนสับเซตของ 2R



101


กำหนดใหฟงกชันความหนาแนนรวมกันของ X และ Y คือ

f(x , y) =

<<<<+

ๆมีคาอื่น y x,เมื่อ0

1y0 , 2x0 เมื่อ4

)23yx(1

จงหา P[(X , Y) ∈ A]

เม่ือ A = { (x , y) | 0 < x < 1 , 41 < y <

21 }

วิธีทำ P[(X , Y) ∈ A] = P(0 < X < 1 , 41 < Y <

21 )

= dxdy4)y31(x

21

0

21

41

+∫∫ = dy

8yx3

8x

1x

0x

22221

41

=

=

+∫

= dy 8y3

81 22

1

41

+∫

= 21y

41y

3

8y

8y

=

=

+ =

+−

+

5121

321

641

161 =

51223


14

12

y

0

1

xx 1 3 y2⋅+( )⋅4

⌠⌡

d⌠⌡

d 23512

→ 0.0449= .



102

22/63

ตัวแปรสุม X และ Y มีฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน คือ

f(x, y) =

<<<<+

มีคาอื่นๆ y x,เมื่อ0

2y0 , 1x0 เมื่อ 3xy2x

จงหาคาของ ก. P(X > 21 )

ข. P(Y < X)

วิธีทำ ก. P(X > 21 ) = P(

21 < X < 1, 0 < Y < 2)

∫ ∫ +=1

21

2

0

2 dydx )3xyx(

dx 0y2y] 6

xyyx [ 1

21

22∫ =

=+=

dx )3x2x2(

1

21

2∫ +=

21x1x

] 3x

3x2 [

23==

+=

= 65)12

1121()3

132( =+−+

= 0.8333



103

หรือ P(X > 21 ) = P( 2

1 < X < 1, 0 < Y < 2)

65dxdy 3

xyx 2

0

1

21

2 =+= ∫ ∫ เหมือนกัน

ข. P(Y < X)

= ∫ ∫ +1

0

x

0

2 dydx3xyx

= dx 0yxy ] 6

xyyx [1

0

22∫ =

=+

= ∫ +1

0

33dx)x6

x(

= ∫1

0

3dx 6

x7

= 247

= 0.2917

หรือ P(Y < X) = ∫ ∫ +1

0

1

y

2 dxdy )3xyx( = 24

7 เหมือนกัน



104

การคำนวณดวย MATHCAD

f x y,( ) x2 x y⋅3

+:=

P a b, c, d,( )a

bx

c

dyf x y,( )

⌠⌡

d⌠⌡

d:=

P 12

1, 0, 2,

0.8333=

12

1x

0

2yx2 x y⋅

3+

⌠⌡

d⌠⌡

d 0.8333=

0

1x

0

xyx2 x y⋅

3+

⌠⌡

d⌠⌡

d 0.2917=

0

1y

y

1xx2 x y⋅

3+

⌠⌡

d⌠⌡

d 0.2917= .



105

20/63 ตัวแปรสุม X และ Y มีฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน คือ

f(x, y) = <<<<+

มีคาอื่นๆ y x,เมื่อ04y1 , 2x0 เมื่อ )2y2k(x

จงหาคาของ

ก. k

ข. P(1 < X < 2, 2 < Y ≤ 3)

ค. P(1 ≤ X ≤ 2)

ง. P(X + Y > 4)

วิธีทำ เพราะวา 1dxdy)y,x(f =∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

เพราะฉะนั้น 1 = ∫ ∫∫ ∫ +=∞

∞−

∞

∞−

4

1

2

0

22 dxdy)yx(k dxdy)y,x(f

= ∫=

=+

4

1

23dy)

0x

2xxy3

x(k

= k dy)y238(

4

1

2∫ +

= k 1y4y] 3

y23y8 [

3

==+

= k( )32

38()3

1283

32( +−+ )

= 50k

เพราะฉะนั้น k = 501



106

ข. P(1 < X < 2, 2 < Y ≤ 3)

∫∫ ∫ ==+=+=

3

2

2x1x

233

2

2

1

22 dy)] xy3x [50

1dxdy)yx(501

= dy)y31()y23

8(501 2

3

2

2 +−+∫

= dy)y37(50

13

2

2∫ +

= 501 [ 3

y7 + 3y3

] 2y3y

==

= 7513)3

26(501))3

83

14()327

321((50

1 ==+−+

ค. P(1 ≤ X ≤ 2) = P(1 ≤ X ≤ 2, ∞− < Y < ∞ )

∫ ∫∞

∞−

+=2

1

22 dxdy)yx(501

∫∫ ∫ ==+=+=

4

1

2x1x

234

1

2

1

22 dy) ] xy3x [50

1dxdy)yx(501

= dy)y31()y23

8(501 2

4

1

2 +−+∫

= dy)y37(50

14

1

2∫ +

= 501 [ 3

y7 + 3y3

] 1y4y

==

= 2514)3

84(501))3

137()3

64328((50

1 ==+−+



107

ง. P(X + Y > 4)

∫ ∫−

+=2

0

4

x4

22 dydx)yx(501

= 501 ∫

2

0[ 2x y + 3

y3 ] x4y

4y−=

= dx

dx)3)x4()x4(x()3

64x4(501

2

0

322∫

−+−−+=

dx)16x34x4(50

12

0

32∫ ++−=

= 501 [ 3

x4 3− + 3x4

+ 16x ] 0x2x

==

))0()32316

332((50

1 −++−=

= 15080

= 158



108

หรือ P(X + Y > 4) = ∫ ∫−

+4

2

2

y4

22 dxdy )yx(501

dy y4x 2x ] xy3

x [ 501

4

2

23∫ −=

=+=

dy )y)y4(3)y4(()y23

8( 501

4

2

23

2∫ −+−−+=

dy )3y4y16y63

56( 501 4

2

32∫ ++−−=

= 2y4y ] 3

yy8y23y56 [50

1 423

==++−−

= 158



109


การคำนวณทีละขั้นตอนดวยโปรแกรม MATHCAD

2

3

y

1

2

x150

x2 y2+( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d 0.1733=

1

4

y

1

2

x150

x2 y2+( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d 0.56=

2

4

y

4 y−

2

x150

x2 y2+( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d 0.5333=

0

2

x

4 x−

4

y150

x2 y2+( )⋅⌠⌡

d⌠⌡

d 0.5333=

150 2

4

y4 y−

2

xx2 y2+( )⌠⌡

d⌠⌡

d⋅

150

2

4

y23

2− y+( )⋅ 2 y2⋅ 5 y⋅− 14+( )⋅⌠⌡

d⋅

150

803

⋅

815

150 0

2

x4 x−

4

yx2 y2+( )⌠⌡

d⌠⌡

d⋅

150

0

2

x43

x⋅ 3− x⋅ x2+ 12+( )⋅⌠⌡

d⋅

150

803

⋅

815



110

การแจกแจงมารจินัล (marginal distribution)

บทนิยาม 2.5.3 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องมี f(x, y)


การแจกแจงมารจินัลของ X แทนดวย g(x)

กำหนดโดย g(x) = ∫∞

∞− dy )y,x(f

การแจกแจงมารจินัลของ Y แทนดวย h(y)

กำหนดโดย h(y) = ∫∞

∞− dx )y,x(f



111

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข

ให X และ Y เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง มี f(x, y) เปนฟงกชันความ

นาจะเปนรวมกัน

f(y | x) = )x(g)y,x(f เม่ือ g(x) > 0


แปรสุมตอเนื่อง Y เม่ือกำหนด X = x

และ f(x | y) = )y(h)y,x(f เม่ือ h(y) > 0


แปรสุมตอเนื่อง X เม่ือกำหนด Y = y


X, Y เปนอิสระกัน ก็ตอเม่ือ f(x, y) = g(x) h(y) ทุกคา x, y

เพราะฉะนั้น X, Y ไมเปนอิสระกัน ก็ตอเม่ือ มี x, y อยางนอยหนึ่งคู

ท่ีทำให f(x, y) ≠ g(x) h(y)



112


กำหนดฟงกชันความหนาแนนรวมกันของ X และ Y คือ

f(x, y) =

<<<<+

ๆมีคาอื่น y x,เมื่อ 0

1y0 , 2x0 เมื่อ4)23yx(1

จงหา

1. g(x), h(y), f(x | y), f(y | x) 2. P( 4

1 < X < 21 | Y = 3

1 )

3. P(0 < Y < 21 | X = 1)

วิธีทำ การหาการแจกแจง g(x)

g(x) = ∫∞

∞− f(x, y) dy

= dy4)y31(x 21

0

+∫

= 1y0y

3 ] 4

xy4xy [ =

=+

= 2x

เพราะฉะนั้น g(x) =

<<

ๆมีคาอื่น x เมื่อ 0

2x0 เมื่อ2x



113

การหาการแจกแจง h(y)

h(y) = ∫∞

∞− f(x, y) dx

= dx4)y31(x 22

0

+∫

= 2x0x

222 ] 8

yx38

x [ ==+

= 2y31 2+

เพราะฉะนั้น h(y) =

<<+

ๆมีคาอื่น yเมื่อ 0

1y0 เมื่อ2

23y1



114

การแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเง่ือนไข f(x | y)

f(x | y) = )y(h)y,x(f

=

2y31

4)y31(x

2

2

+

+

= 2x เม่ือ 0 < x < 2 และ 0 < y < 1


P( 41 < X <

21 | Y =

31 ) = ∫

21

41

f(x | y) dx

= dx 2x2

1

41∫

= 643

= 0.0469



115

การคำนวณดวย Mathcad

step_1 f x y,( ) x 1 3 y2⋅+( )⋅4

:=

step_2 h y( )0

2xf x y,( )

⌠⌡

d:=

step_3 y 13

:=

step_4

14

12

xf x y,( )h y( )

⌠⌡

d 0.0469=



116

การแจกแจงความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข f(y | x) f(y | x) = )x(g

)y,x(f

= 2x4

)y31(x 2+

= 2y31 2+ เม่ือ 0 < x < 2 และ 0 < y < 1


P(0 < Y < 21 | X = 1) = ∫

1

0 f(y | x) dy

= dy 2y31 22

1

0

+∫

= 165

= 0.3125



117

การคำนวณดวย Mathcad

step_1 f x y,( ) x 1 3 y2⋅+( )⋅4

:=

step_2 g x( )0

1yf x y,( )

⌠⌡

d:=

step_3 x 1:=

step_4

0

12

yf x y,( )g x( )

⌠⌡

d 0.3125=



118

ความแปรปรวนรวม (covariance)

บทนิยาม 2.8.2 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง

f(x, y) เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน

ความแปรปรวนรวม (covariance) ของตัวแปรสุม X และ Y

เขียนแทนดวยสัญลักษณ XYσ หรือ cov(X, Y)

กำหนดโดย XYσ = E[(X – Xµ )(Y – Yµ )]

= ∫∞

∞−∫∞

∞−

(x – Xµ )(y – Yµ ) f(x, y) dxdy

ทฤษฎีบท 2.8.2 XYσ = E(XY) – E(X)E(Y)

หรือ XYσ = E(XY) – Xµ Yµ

เม่ือ E(XY) = ∫∞

∞−∫∞

∞−

xy f(x, y) dxdy

Xµ = E(X) = ∫∞

∞−∫∞

∞−

x f(x, y) dxdy = ∫∞

∞−

x g(x) dx

Yµ = E(Y) = ∫∞

∞−

y f(x, y) dxdy = ∫∞

∞−

y h(y) dy

ทฤษฎีบท ถา X, Y อิสระกัน แลว XYσ = 0

ในทางกลับกัน ถา XYσ ≠ 0 แลว X, Y ไมเปนอิสระกัน



119

39/65 ให X และ Y เปนตัวแปรสุมตอเนื่องท่ีเปนอิสระตอกันมี

g(x) =

8 เมื่อx>23x 0 เมื่อx มีคาอื่น ๆ

และ h(y) =

2y เมื่อ0<y<1 0 เมื่อy มีคาอื่น ๆ

จงหาคาคาดคะเนของ Z = XY

วิธีทำ แบบที่ 1 เพราะวา X, Y เปนอิสระตอกัน

เพราะฉะนั้น f(x, y) = g(x) h(y)

เพราะฉะนั้น E(Z) = E(XY) = ∫∫∞

∞−

∞

∞− xy f(x, y) dydx

= ∫∫∞

∞−

∞

∞−xy g(x) h(y) dydx

= dydx)y2(x8xy 3

1

02∫∫

∞

dx ) 0y1y ] 3

y [ ( x16 dydx

xy16

2

3

22

21

02∫∫∫∞∞

====

dx x316

22∫

∞=

= )616()x3

16lim(x

−−−∞→

= 38



120

แบบที่ 2 เพราะวาตัวแปรสุม X และ Y เปนอิสระตอกัน

เพราะฉะนั้น E(Z) = E(XY) = E(X)E(Y)

เพราะวา

E(X) = 4)4x8lim(2x

x] x8 [dx

x8 dx )x(g x

x22 =−−==

∞→−==∞→

∞∞

∞−∫∫

และ

E(Y) = 32

0y1y ] 3

y2 [dyy2dy )y(h y 3

21

0==

=== ∫∫∞

∞−

เพราะฉะนั้น E(Z) = E(XY) = E(X)E(Y) = (4) )32( 3

8=



121

49/66 ใหฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y

f(x, y) = <<<

มีคาอื่นๆ y x,เมื่อ0 1yx0 เมื่อ2

จงหาความแปรปรวนรวมของ X, Y

วิธีทำ E(XY) = dxdy )2(xydxdy )y,x(f xyy

0

1

0∫∫∫∫ =

∞

∞−

∞

∞−

= ∫1

0[ 2x y ] 0x

yx== dy = ∫

1

0

3y dy = [ 4y4

] 0y1y

== = 4

1

E(X) = dxdy )2(xdxdy )y,x(f yy

0

1

0∫∫∫∫ =

∞

∞−

∞

∞−

= ∫1

0[ 2x ] 0x

yx== dy = ∫

1

0 2y dy = [ 3

y3 ] 0y

1y== = 3

1

E(Y) = dxdy )2(ydxdy )y,x(f yy

0

1

0∫∫∫∫ =

∞

∞−

∞

∞−

= ∫1

0[ 2xy ] 0x

yx== dy = ∫

1

0 2 2y dy = [ 3

y2 3 ] 0y

1y== = 3

2

361

3689)3

2)(31(4

1)Y(E)X(E)XY(EXY =−=−=−=σ

เพราะฉะนั้นความแปรปรวนรวม ของ X และ Y มีคาเทากับ 361



122

สมบัติความแปรปรวนและความแปรปรวนรวม

ทฤษฎีบท 2.9.4 ถา X และ Y เปนตัวแปรสุม


X2a σ + 2

Y2b σ + 2ab XYσ

ทฤษฎีบทประกอบ 2.9.5

ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมซ่ึงเปนอิสระตอกัน


Y22

X2 ba σ+σ



123


ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมท่ีเปนอิสระตอกัน

มี 2Xσ = 4 และ 2

Yσ = 2

จงหาคา 2Zσ เม่ือ Z = 2X – 3Y – 3

วิธีทำ 2Zσ

2Y

22X

22Y3X2

23Y3X2 )3(2 σ−+σ=σ=σ= −−−

= (4)(4) + (9)(2)

= 16 + 18

= 24


ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมท่ีไมเปนอิสระตอกัน

มี 2Xσ = 2, 2

Yσ = 3 และ XYσ = –1

จงหาคา 2Zσ เม่ือ Z = 3X – 4Y + 5

วิธีทำ 2Zσ 2

Y)4(X32

Y4X32

5Y4X3 −+−+− σ=σ=σ=

XY2Y

22X

2 )4)(3(2)4(3 σ−+σ−+σ=

= (9)(2) + (16)(3) + 2(2)(–4)(–1)

= 18 + 48 + 16

= 82



124

การแจกแจงยูนิฟอรม (Uniform Distribution)

การทดลอง 1 ครั้งมีผลได k แบบ

แตละแบบมีความนาจะเปนท่ีจะเกิดเทา

ตัวอยาง โยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ มีผลเปน H, T

ทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก มีผลเปน 1, 2, 3, 4, 5, 6

การแจกแจงของตัวแปรสุมซ่ึงคาแตละคาของตัวแปรสุมมีความนาจะ

เปนท่ีจะเกิดเทา ๆ กัน เรียกวา การแจกแจงยูนิฟอรม

ลักษณะท่ัวไปของการแจกแจงยูนิฟอรมมีดังนี้

1. คาของตัวแปรสุม X มี k คา

X = 1x , 2x , ... , kx

2. P(X = x) มีคาเทากันทุกคา x

การแจกแจงยูนิฟอรมของ X คือ

f(x ; k) = k1 เม่ือ x = 1x , 2x , ... , kx

ทฤษฎีบท 3.1.1 ถา X เปนตัวแปรสุมยูนิฟอรม

แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต µ = ∑=

k

1 iix k

1

ความแปรปรวน ∑=

µ−=σk

1 i

2i

2 )x( k1 หรือ ∑

==σ

k

1 i

2i

2 x k1 – 2µ



125

ตัวอยาง 3.1.1 ในการโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 อัน 1 ครั้ง

ให X = จำนวนหัวท่ีได = 0, 1

X มีการแจกแจงยูนิฟอรม

f(x ; 2) = 21 เม่ือ x = 0, 1

µ = 21 (0 + 1) = 0.5

2σ = 21 ( 22 )5.01()5.00( −+− ) = 0.25

ตัวอยาง 3.1.2 ในการทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง

ให X เปนแตมท่ีได = 1, 2, ... , 6

X มีการแจกแจงยูนิฟอรม

f(x ; 6) = 61 เม่ือ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตัวอยาง 3.1.3 ทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก 1 ครั้ง และ X เปนแตมท่ี

ได

จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต µ และความแปรปรวน 2σ ของตัวแปรสุม X

วิธีทำ µ = 61 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5

2σ = 61 ( 222 )5.33()5.32()5.31( −+−+−

+ 222 )5.36()5.35()5.34( −+−+− )

= 1235



126

การแจกแจงแบรนูลลี (Bernoulli Distribution)

การทดลอง 1 ครั้ง เราสนใจผล 2 แบบ


1. โยนเหรียญเท่ียงตรง 1 เหรียญ มีผลได 2 แบบคือ H, T

P(H) = 0.5, P(T) = 0.5

2. ทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก มีผลได แตมคู, แตมคี่

P(แตมคู) = 0.5, P(แตมคี่) = 0.5

3. ในกลองมี ลูกบอลสีขาว 4 ลูก ลูกบอลสีดำ 6 ลูก

หยิบลูกบอล 1 ลูก มีผลได สีขาว, สีดำ

P(สีขาว) = 0.4, P(สีดำ) = 0.6



127

รูปแบบท่ัวไปของการทดลอง

1. ทำการทดลองเพียง 1 ครั้ง เทานั้น

2. ในการทดลอง 1 ครั้งมีผลได 2 แบบเทานั้น คือ

ความสำเร็จ (success) หรือ ความไมสำเร็จ (failure)

3. ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความสำเร็จเทากับ p

4. ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความไมสำเร็จเทากับ q ซ่ึง p + q = 1

X เปนตัวแปรสุมแทนจำนวนครั้งท่ีเกิดความสำเร็จ

ในการทดลอง 1 ครั้ง

ถาการทดลองเกิดความสำเร็จ แลว X = 1

ถาการทดลองเกิดความไมสำเร็จ แลว X = 0

X = 0, 1

5. P(X = 0) = P(เกิดความไมสำเร็จ) = q

P(X = 1) = P(เกิดความสำเร็จ) = p

ตัวแปรสุม X เรียกวา ตัวแปรสุมแบรนูลลี

ฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุม X คือ

f(x) = P(X = x) = xp x1q − เม่ือ x = 0, 1

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X

เรียกวา การแจกแจงแบรนูลลี



128


คาเฉลี่ย µ และ ความแปรปรวน 2σ ของการแจกแจงแบรนูลลี

คือ µ = p และ 2σ = pq

ขอพิสูจน µ = E(x)

= ∑x

x f(x)

= (0)f(0) + (1)f(1)

= p

2σ = ∑x

2)x( µ− f(x)

= (0 – p)2f(0) + (1 – p)2f(1)

= 2p q + 2q p

= pq(q + p)

= pq

หรือ 2σ = E( 2X ) – 2µ

= ∑x

2x f(x) – 2p

= ( 20 )f(0) + ( 21 )f(1) – 2p

= p – 2p

= p(1 – p)

= pq



129

ตัวอยาง ในกลองมี ลูกบอลสีขาว 4 ลูก ลูกบอลสีดำ 6 ลูก

หยิบลูกบอล 1 ลูก มีผลได สีขาว, สีดำ

P(สีขาว) = 0.4, P(สีดำ) = 0.6

X = จำนวนลูกบอลสีขาว

X = 0, 1

f(x) = x1x )6.0()4.0( − เม่ือ x = 0, 1

µ = 0.4

2σ = (0.4)(0.6) = 0.24



130

การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)

รูปแบบท่ัวไปของ การทดลองทวินาม (binomial experiment)

คือ


ความสำเร็จ (success) หรือ ความไมสำเร็จ (failure)



4. การทดลองแตละครั้งเปนอิสระตอกัน

5. ทำการทดลองท้ังหมด n ครั้ง

ให X เปนตัวแปรสุมแทนจำนวนครั้งท่ีเกิดความสำเร็จในการทดลอง

n ครั้ง

เพราะฉะนั้น X = 0, 1, 2, 3, ... , n

ตัวแปรสุม X เรียกวา ตัวแปรสุมทวินาม



131

แนวคิดของการหาความนาจะเปนแบบทวินาม

มีสินคาท้ังหมด 4 กลอง

แตละกลองมีสินคา 100 ชิ้น มีสินคาดี 80 ชิ้นและมีสินคาเสีย 20 ชิ้น

การทดลองสุมตัวอยางสินคากลองละ 1 ชิ้น


ให ความสำเร็จ คือ ไดสินคาเสีย (S)

ให ความไมสำเร็จ คือ ไดสินคาดี (F)

2. ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความสำเร็จเทากับ p = 0.2

3. ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความไมสำเร็จเทากับ q = 0.8

เพราะฉะนั้น p + q = 1


5. ทำการทดลองท้ังหมด 4 ครั้ง

X = จำนวนสินคาเสียท่ีได

X = 0, 1, 2, ... , 4



132

แนวคิดของการหาความนาจะเปนแบบทวินาม

การทดลอง 1 ครั้ง มีผล 2 แบบคือ

ความสำเร็จ S และ ความไมสำเร็จ F

P(S) = p = 0.2 และ P(F) = q = 1 – p = 0.8

ปริภูมิตัวอยาง = { SSSS, SSSF, ... , FFFF }

X = จำนวนความสำเร็จ = 0, 1, 2, 3, 4

P(SSSF) = (0.2)(0.2)(0.2)(0.8)

P(SSFS) = (0.2)(0.2)(0.8)(0.2)

P(SFSS) = (0.2)(0.8)(0.2)(0.2)

P(FSSS) = (0.8)(0.2)(0.2)(0.2)


P(SSSF) = P(SSFS) = P(SFSS) = P(FSSS) = )8.0()2.0( 3

P(X = 3) = P({ SSSF, SSFS, SFSS, FSSS }) = !1 !3!4 )8.0()2.0( 3

ในทำนองเดียวกัน

P(X = x) = 4!x! (4 x)!−

x 4 x(0.2) (0.8) − เม่ือ x = 0, 1, 2, 3, 4



133

กรณีท่ัวไป มีสินคาท้ังหมด n กลอง

แตละกลองมีสัดสวนสินคาดี = p และมีสัดสวนสินคาเสีย = q

การทดลองสุมตัวอยางสินคากลองละ 1 ชิ้น

ความสำเร็จคือการสุมไดสินคาเสีย

X = จำนวนความสำเร็จ

X = จำนวนสินคาเสียท่ีได

X = 0, 1, 2, ... , n

ปริภูมิตัวอยาง = { SSS...S, SSS...SF, ... , FFF...F }

X = จำนวนความสำเร็จ

= 0, 1, 2, 3, 4, ... , n

P(SSSFFFFF...F) = 3n3qp −

P(SSFSFFFF...F) = 3n3qp −

:

P(FFFFF...FSSS) = 3n3qp −

P(X = 3)

= P({ SSSFFFFF...F, SSFSFFFF...F, ... , FFFFF..FSSS })

= )!3n( !3!n−

3n3qp −

ในทำนองเดียวกัน P(X = x) = )!xn(!x!n−

xp xnq −

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3, ... , n



134

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมทวินาม

P(X = x) = b(x ; n, p) = xnxqp xn −

= xnx )p1(p x

n −−

เม่ือ x = 0, 1, 2, ... , n


ถา X = 0, 1, 2, ... , n มีการแจกแจงทวินาม b(x ; n, p)

แลว คาเฉลี่ย µ = np

ความแปรปรวน 2σ = npq


ในกลองมีลูกแกวสีดำ 1 ลูก

และสีขาว 4 ลูก

หยิบทีละ 1 ลูกแลวคืน ทำแบบนี้ 5 ครั้ง เพราะฉะนั้น n = 5

กำหนดความสำเร็จคือไดลูกแกวสีดำ

เพราะฉะนั้น p = 51 = 0.2

X = จำนวนครั้งไดลูกแกวสีดำ = 0, 1, 2, 3, 4, 5

P(X = x) = b(x ; 5, 0.2) = x5x )8.0()2.0( x5 −

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

P(X = 0) = 0.3277

คำถาม P(X ≤ 3) = ?



135

การเปดตารางความนาจะเปนทวินามตารางท่ี 1

ตารางท่ี 1 เปนตารางผลรวมความนาจะเปนทวินาม ∑=

r

0 x b(x ; n, p)

เม่ือตองการหาคา

P(X ≤ r) = B(r ; n, p) = ∑=

r

0 x b(x ; n, p) = ∑

=

−

r

0 x

xnx q p xn

ตัวอยางเชน n = 5, r = 3, p = 0.2

การหาคา P(X ≤ 3) = ∑=

3

0 x b(x ; 5, 0.2)

p n r 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 1 0.9774 0.9185 0.8352 0.7373 0.6328 0.5282 2 0.9988 0.9914 0.9734 0.9421 0.8965 0.8369 3 1.0000 0.9995 0.9978 0.9933 0.9844 0.9692 4 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9976 5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1. ดูแถวท่ี n = 5

2. ดูแถวท่ี n = 5 และ แถวท่ี r = 3

3. ดูหลักท่ี p = 0.2 ไดคา 0.9933

เพราะฉะนั้น P(X ≤ 3) = ∑=

3

0 x b(x ; 5, 0.2) = 0.9933

ในทำนองเดียวกัน 7373.0)0.2 , 5 ;x (b 1

0 x =∑

=

9844.0)0.25 , 5 ;x (b 3

0 x =∑

=



136

9/87 จากการสำรวจผูพักอาศัยของเมือง ๆ หนึ่งในสหรัฐอเมริกา

แสดงวา 20% ของพลเมืองเหลานี้ชอบใชเครื่องรับโทรศัพทสีขาว

มากกวาสีอ่ืน ๆ ท่ีมีอยู

จงหาความนาจะเปนท่ีในการติดตั้งเครื่องรับโทรศัพทในเมืองนี้ 20

เครื่อง จะมีผูตองการโทรศัพทสีขาวมากกวาครึ่งหนึ่ง

วิธีทำ ความสำเร็จคือการติดตั้งเครื่องรับโทรศัพทสีขาว

เพราะฉะนั้น p = 0.20

เพราะวาทำการติดต้ังโทรศัพทในเมืองนี้ 20 เคร่ือง

เพราะฉะนั้น n = 20

X = จำนวนท่ีติดตั้งเครื่องรับโทรศัพทสีขาว = 0, 1, 2, ... , 20

P(X = x) = b(x ; 20, 0.2)

= x20x )2.01()2.0( x20 −−

= x20x )8.0()2.0( x20 −

เม่ือ x = 0, 1, 2, ... , 20

ความนาจะเปนท่ีจะมีผูตองการโทรศัพทสีขาวมากกวาครึ่งหนึ่ง

= P(X ≥ 11)

= ∑=

20

11 x b(x ; 20, 0.2)

= 1 – ∑=

10

0 x b(x ; 20, 0.2)

= 1 – 0.9994 = 0.0006



137

8/87 วิศวกรท่ีควบคุมการจราจรรายงานวา 75% ของยวดยานท่ีผาน

จุดตรวจเปนรถท่ีมาจากในเมือง จงหาความนาจะเปนท่ีจะมีรถจาก

นอกเมืองผานจุดตรวจนี้อยางนอย 3 คัน จากรถ 5 คันท่ีจะมาถึง

วิธีทำ การทดลองแตละครั้งความสำเร็จคือเปนรถจากนอกเมืองผาน

จุดตรวจ เพราะฉะนั้น p = ความนาจะเปนของความสำเร็จ = 0.25

เพราะวาทำการตรวจรถท้ังหมด 5 คัน เพราะฉะนั้น n = 5

X = จำนวนรถจากนอกเมืองผานจุดตรวจ

X = 0, 1, 2, ... , 5

P(X = x) = b(x ; 5, 0.25) = x5x )25.01()25.0( x5 −−

= x5x )75.0()25.0( x5 −

เม่ือ x = 0, 1, 2, ... , 5

ความนาจะเปนท่ีจะมีรถจากนอกเมืองผานจุดตรวจนี้อยางนอย 3 คัน

จากรถ 5 คันท่ีจะมาถึง = P(X ≥ 3)

P(X ≥ 3) = ∑=

5

3 x b(x ; 5, 0.25)

= 1 – ∑=

2

0 x b(x ; 5, 0.25)

= 1 – 0.8965

= 0.1035



138

การแจกแจงเรขาคณิต (Geometric Distribution)

ตัวอยาง 1 การทดลองทอดลูกเตาเท่ียงตรง 1 ลูก และจะหยุดเม่ือ

ลูกเตาขึ้นแตม 6

X = จำนวนครั้งท่ีตองโยนจนกระท่ังไดแตม 6

X = 1, 2, 3, ...

P(X = 1) = 61 , P(X = 2) = (6

5 )(61 ), P(X = 3) = (6

5 )(65 )(6

1 )

ในทำนองเดียวกัน P(X = x) = (65 ) 1x− (6

1 ) เม่ือ x = 1, 2, 3, ...

ตัวอยาง 2 สินคาแตละกลองมีสัดสวนสินคาชำรดุ 5%

สุมสินคา 1 กลองเพ่ือตรวจสอบหาสินคาชำรุด

หากไมพบสินคาชำรุด จะหยิบกลองตอไปมาตรวจสอบ

และจะหยุดเม่ือพบกลองท่ีมีสินคาชำรุด

X = จำนวนกลองท่ีตองตรวจสอบจนกระท่ังไดกลองท่ีมีสินคาชำรุด

X = 1, 2, 3, ...

P(X = 1) = 0.05

P(X = 2) = (0.95)(0.05)

P(X = 3) = (0.95)(0.95)(0.05)

ในทำนองเดียวกัน P(X = x) = )05.0()95.0( 1x− เม่ือ x = 1, 2, 3, ...



139

รูปแบบท่ัวไปของ การทดลองเรขาคณิต

1. ในการทดลอง 1 ครั้งมีผลได 2 แบบเทานั้น

คือ ความสำเร็จ (success) หรือ ความไมสำเร็จ (failure)




5. ทำการทดลองไปเรื่อย ๆ และหยุดเม่ือพบความสำเร็จเปนครั้งแรก

X เปนตัวแปรสุมแทนจำนวนครั้งท่ีทดลองจนพบความสำเร็จเปนครั้ง

แรก

เพราะฉะนั้น X = 1, 2, 3, ...

บทนิยาม 3.4.1 X เรียกวา ตัวแปรสุมเรขาคณิต

การแจกแจงความนาจะเปนของ X คือ

g(x ; p) = p 1xq − เม่ือ x = 1, 2, 3, ...

ทฤษฎีบท 3.4.1 ถา X เปนตัวแปรสุมเรขาคณิต

แลว คาเฉลี่ย µ = p1 และ ความแปรปรวน 2σ = 2p

q



140

54/91 ความนาจะเปนท่ีนักเรียนฝกการบินสอบผานขอเขียน เพ่ือรับ

ใบขับขี่สวนบุคคลเปน 0.7 ตอคร้ัง จงหาความนาจะเปนท่ีชายคน

หนึ่งสอบผานขอเขียน ของเหตุการณตอไปนี้

1. สอบครั้งเดียวผาน

2. ในการสอบครั้งท่ี 3

3. กอนท่ีจะสอบครั้งท่ี 4

วิธีทำ

การทดลองคือการสอบขอเขียน ความสำเร็จคือการสอบผาน

ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความสำเร็จ p = 0.7

X = จำนวนครั้งท่ีตองสอบจนกระท่ังสอบได

X = 1, 2, 3, ... เปนตัวแปรสุมเรขาคณิต

ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ

g(x ; 0.7) = 1x)3.0)(7.0( − เม่ือ x = 1, 2, 3, ...

1. ความนาจะเปนท่ีสอบครั้งเดียวผาน

= P(X = 1)

= 0.7



141

2. ความนาจะเปนท่ีนักเรียนฝกการบินสอบผานขอเขียนในการสอบ

ครั้งท่ี 3

= P(X = 3)

= g(3 ; 0.7)

= 13)3.0)(7.0( −

= 0.0630

3. ความนาจะเปนท่ีสอบผานขอเขียนกอนท่ีจะสอบครั้งท่ี 4

= P(X ≤ 3)

= ∑=

3

1 x g(x ; 0.7)

= 11)3.0)(7.0( − + 12)3.0)(7.0( − + 13)3.0)(7.0( −

= 0.7000 + 0.2100 + 0.0630

= 0.9730



142

การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริก

1. ในกลองมีลูกแกวสีดำ 5 ลูก ลูกแกวสีขาว 7 ลูก

หยิบออกมาพรอมกัน 5 ลูก

X = จำนวนลูกแกวสีดำท่ีได = 0, 1, 2, 3, 4, 5

ความนาจะเปนท่ีจะไดลูกแกวสีดำ 3 ลูก = P(X = 3) =

5 73 2

125

2. ในหองเรียนมีนักเรียนชาย 10 คน นักเรียนหญิง 8 คน

เลือกตัวแทนออกมาพรอมกัน 6 คน

X = จำนวนนักเรียนชายท่ีได = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

ความนาจะเปนท่ีจะไดนักเรียนชาย 4 คน = P(X = 4) =

618

28 4

10

3. สินคารุนหนึ่งจำนวนท้ังหมด 20 ชิ้น มีสินคาเสียปนอยู 6 ชิ้น

เลือกออกมาตรวจพรอมกัน 3 ชิ้น

X = จำนวนสินคาท่ีเสียท่ีได = 0, 1, 2, 3

ความนาจะเปนท่ีจะไดสินคาเสียจำนวน 2 ชิ้น

= P(X = 2) =

320

114 2

6



143

รูปแบบท่ัวไปของ การทดลองไฮเพอรจีออเมตริก คือ

1. มีของท้ังหมด N แบงออกเปน 2 กลุม

2. มีอยู k รายการท่ีจำแนกไวในพวกท่ีเรียกวา

ความสำเร็จ (success)

3. มีอยู N – k รายการท่ีจำแนกไวในพวกท่ีเรียกวา

ความไมสำเร็จ (failure)

4. ทำการทดลองโดยการหยิบสิ่งของออกมาพรอมกัน n

X เปนตัวแปรสุมแทนจำนวนความสำเร็จ

เพราะฉะนั้น X ∈ { 0, 1, 2, 3, ... , n}

บทนิยาม 3.7.1 X เรียกวา ตัวแปรสุมไฮเพอรจีออเมตริก

P(X = x) = h(x ; N, n, k) =

−−

nN

xnkN x

k

เม่ือ x ∈ { 0, 1, 2, 3, ... , n}

หมายเหตุ คาต่ำสุดของ x คือ max{0, n – (N – k)}

คาสูงสุดของ x คือ min{n, k}

ทฤษฎีบท 3.7.1 ถา X เปนตัวแปรสุมไฮเพอรจีออเมตริก

แลว คาเฉลี่ย µ = Nnk

และ ความแปรปรวน 2σ = )Nk 1( N

k n 1NnN −

−−



144

31/89

พลุสีกลองหนึ่งมี 10 อัน เปนสีเหลือง 3 อัน นอกนั้นเปนสีมวง

สุมเลือกพลุ 4 อัน แลวยิง จงหาความนาจะเปนท่ี

ก. ท้ัง 4 อัน ท่ีเลือกมาเปนสีมวง

ข. อยางมาก 2 อัน เปนสีเหลือง

วิธีทำ การทดลองคือการสุมเลือกพลุ 4 อัน จากท้ังหมด 10 อัน

จำนวนพลุท้ังหมด N = 10

ความสำเร็จคือการไดพลุสีเหลือง

เพราะฉะนั้นจำนวนความสำเร็จ k = 3

เลือกพลุออกมา n = 4 อัน

X = จำนวนพลุสีเหลอืงท่ีได = 0, 1, 2, 3

เปนตัวแปรสุมไฮเพอรจีออเมตริกมีฟงกชันความนาจะเปน

f(x) = P(X = x) = h(x ; 10, 4, 3) =

−

410

x47 x

3

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3

ก. ความนาจะเปนท่ีท้ัง 4 อัน ท่ีเลือกมาเปนสีมวง = P(X = 0)

= h(0 ; 10, 4, 3)

=

410

47 0

3

= 1667.061

21035 ==



145

ข. ความนาจะเปนท่ีอยางมาก 2 อัน เปนสีเหลือง

= P(X ≤ 2)

= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= h(0 ; 10, 4, 3) + h(1 ; 10, 4, 3) + h(2 ; 10, 4, 3)

=

410

47 0

3

+

410

37 1

3

+

410

27 2

3

= 21063

210105

21035 ++

= 210203

= 0.9667



146

การประมาณ

การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริกดวยการแจกแจงทวินาม

ตัวอยาง ในกลองมีลูกบอล 1000 ลูก เปน ลูกบอลสีขาว 50 ลูก

ลูกบอลสีดำ 950 ลูก หยิบลูกบอลออกมา 3 ลูกพรอมกัน

X = จำนวนลูกบอลสีขาวท่ีได

X = 0, 1, 2, 3

X เปนตัวแปรสุมไฮเพอรจีออเมตริก

ความนาจะเปนท่ีจะไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก = P(X = 2)

=

31000

250 1

950

= 0.007003496482454

หมายเหตุ 1. เครื่องคิดเลขบางเครื่องอาจคำนวณไมได

2. คาท่ีคำนวณดวย Mathcad คือ

c n r,( )n!

r! n r−( )!⋅:=

c 950 1,( ) c 50 2,( )⋅c 1000 3,( )

4655664668

→

4655664668

0.007003496482454=



147

ใชแนวคิดหยิบทีละ 1 ลูกโดยไมคืน ทำซ้ำกัน 3 ครั้ง

ชวยในการประมาณคากรณีหยิบลูกบอลออกมา 3 ลูกพรอมกัน

ใหความสำเร็จคือการไดลูกบอลสีขาว

การหยิบครั้งท่ีหนึ่ง

P(ไดลูกบอลสีขาว) = 100050 = 0.05

เพราะวา ไมคืนกอนหยิบครั้งท่ีสอง

เพราะฉะนั้น การหยิบครั้งท่ีสอง

P(ไดลูกบอลสีขาว) = 99950 หรือ 999

49 ≈ 0.05

เพราะวา ไมคืนกอนหยิบครั้งท่ีสาม

เพราะฉะนั้น การหยิบครั้งท่ีสาม

P(ไดลูกบอลสีขาว) = 99848 หรือ 998

49 หรือ 99850 ≈ 0.05

เพราะวาความสำเร็จคือการไดลูกบอลสีขาว เพราะฉะนั้นความนาจะ

เปนท่ีจะเกิดความสำเร็จแตละครั้งมีคาประมาณ 0.05

ให X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 เปนตัวแปรสุมทวินาม

มีคา p = 0.05

P(X = 2) = b(2, 5, 0.05)

=

23 2)05.0( (0.95)

= 0.007125



148

ถาตัวอยางท่ีสุม n มีขนาดเล็กมากเม่ือเทียบกับประชากรท่ีมีขนาด N

แลวการกระทำแตละครั้งจึงเกือบจะไมมีผลกระทบกับการกระทำครั้ง

ตอไป

เพราะฉะนั้น การสุมแบบใสกลับคืน กับ การสุมแบบไมใสกลับคืน

มีผลของการคำนวณคาความนาจะเปนใกลเคียงกัน

การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริก h(x ; N, n, k) =

−−

nN

xnkN x

k

การแจกแจงทวินาม b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−

แทนคา p = Nk

การประมาณคา

h(x ; N, n, k) =

−−

nN

xnkN x

k

≈ b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−



149

32/89 ในการออกเสียงของคนท่ีอาศัยอยูในเมือง 10000 คน

ประมาณไดวา 4000 คน ไมเห็นดวยกับการเก็บภาษีแบบใหม ถา

เลือกสุมผูออกเสียงมา 15 คน และถามความเห็นของเขา จงหาความ

นาจะเปนท่ีอยางมาก 7 คน เห็นดวยกับการเก็บภาษีแบบใหมนี้

วิธีทำ การทดลองคือการสุมตัวอยางคน 15 คน

จากท้ังหมด 10000 คน

จำนวนคนท้ังหมด N = 10000

ความสำเร็จ คือเห็นดวยกับการเก็บภาษีแบบใหม

เพราะฉะนั้นจำนวนความสำเร็จ k = 6000

สุมตัวอยางคนออกมา n = 15 คน

X = จำนวนคนท่ีเห็นดวยกับการเก็บภาษีแบบใหม

= 0, 1, 2, 3, ... , 15

เปนตัวแปรสุมไฮเพอรจีออเมตริก มีฟงกชันความนาจะเปน

f(x) = P(X = x)

= h(x ; 10000, 15, 6000)

=

−

1510000

x154000 x

6000

เม่ือ x = 0, 1, 2, ... , 15



150

เพราะวาประชากรมีขนาดใหญ (N = 10000)

และตัวอยางท่ีสุมมามีขนาดเล็ก (n = 15)

เพราะฉะนั้นประมาณคา h(x ; 10000, 15, 6000)

ดวย b(x ; n, p) เม่ือ n = 15

และ p = 6.0100006000

Nk ==

ความนาจะเปนท่ีอยางมาก 7 คน เห็นดวยกับการเก็บภาษีแบบใหม

= P(X ≤ 7)

= ∑=

7

0 x h(x ; 10000, 15, 6000)

≈ ∑=

7

0 x b(x ; 15, 0.6)

= 0.2131



151

การแจกแจงปวซง (Poisson Distribution)

การทดลองท่ีมีคาของตัวแปรสุม X ซ่ึงแสดงจำนวนครั้งของ

ความสำเร็จใน ชวงเวลา หนึ่งท่ีกำหนดใหหรือภายใน อาณาบริเวณ

หนึ่งโดยเฉพาะ

การทดลองนี้เรียกวา การทดลองปวซง

ชวงเวลา อาจเปน หนึ่งนาที หนึ่งวัน หนึ่งสัปดาห หนึ่งเดือน หรอื

หนึ่งป

อาณาบริเวณ อาจเปน สวนของเสนตรง พ้ืนท่ี ปริมาตร


X = จำนวนครั้งของโทรศัพทท่ีเรียกเขา ตอวันในบริษัทแหงหนึ่ง

X = จำนวนวันท่ีโรงเรียนปดเนื่องจากน้ำทวมใน ฤดูฝน

X = จำนวนครั้งท่ีเกิดอุบัติเหตุ ณ สี่แยกแหงหนึ่ง ในหนึ่งวัน

X = จำนวนของหนูในนา ตอหนึ่งไร

X = จำนวนแบคทีเรียท่ีพบ ตอหนึ่งสไลด

X = จำนวนคำท่ีพิมพผิด ตอหนึ่งหนา



152

ลักษณะของการทดลองปวซงมีดังนี้

1. จำนวนครั้งของความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นในชวงเวลาใดชวงเวลาหนึ่ง

หรืออาณาบริเวณใดบริเวณหนึ่ง เปนอิสระ กับจำนวนครั้งของ

ความสำเร็จท่ีเกิดในชวงเวลาอ่ืน หรืออาณาบริเวณอ่ืน

2. ความนาจะเปนของการไดความสำเร็จหนึ่งครั้งในชวงเวลาท่ีสั้น

มากชวงหนึ่ง หรืออาณาบริเวณท่ีเล็กมากบริเวณหนึ่ง เปนปฏิภาค

โดยตรงกับชวงเวลาหรือขนาดของอาณาบริเวณนัน้ และไมขึ้นกับ

จำนวนครั้งของความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นนอกชวงเวลาหรือนอกอาณา

บริเวณดังกลาว

3. ความนาจะเปนของการไดความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นมากกวาหนึ่งครั้งใน

ชวงเวลาท่ีสั้นมาก หรือภายในอาณาบริเวณท่ีเล็กมาก มีคานอยมาก

จนสามารถตัดท้ิงได



153

บทนิยาม 3.8.1 ตัวแปรสุม X ท่ีแสดงจำนวนครั้งของความสำเร็จท่ี

ไดจากการทดลองปวซง เรียกวา ตัวแปรสุมปวซง

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมปวซง X

เรียกวา การแจกแจงปวซง และเขียนแทนดวย p(x ; µ)

µ คือคาเฉลี่ยของจำนวนครั้งของความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นในชวงเวลาใด

เวลาหนึ่ง หรือ ในอาณาบริเวณใดบริเวณหนึ่ง


การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมปวซง X ซ่ึงแสดงจำนวน

ครั้งของความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นในชวงเวลาหนึ่ง หรือในอาณาบริเวณ

หนึ่ง คือ p(x ; µ) = !xe xµµ− เม่ือ x = 0, 1, 2, 3, ...

โดยท่ี µ คือคาเฉลี่ยจำนวนครั้งของความสำเร็จท่ีเกิดขึ้นในชวงเวลา

หรือในอาณาบริเวณดังกลาว

ทฤษฎีบท 3.8.2 คาเฉลี่ย และ ความแปรปรวน ของการแจก

แจงปวซง p(x ; µ) ตางก็มีคาเทากับ µ



154

39/90 จำนวนอุบัติเหตุอันเนื่องมาจากการจราจรท่ีสี่แยกแหงหนึ่งมี

การแจกแจงปวซงโดยมีคาเฉลี่ย 3 รายตอสัปดาห จงหาความนาจะ

เปนท่ีจะมีอุบัติเหตุ 5 ราย ท่ีสี่แยกแหงนี้ในสัปดาหหนึ่ง

วิธีทำ X = จำนวนอุบัติเหตุท่ีสี่แยก

เพราะฉะนั้น X = 0, 1, 2, 3, ....

คาเฉลี่ยจำนวนอุบัติเหตุท่ีสี่แยกมีคาเทากับ µ = 3 รายตอสัปดาห

X เปนตัวแปรสุมปวซงมีคาเฉลี่ย µ = 3 รายตอสัปดาห

มีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ

f(x) = p(x ; 3) = !x3e x3−

; x = 0, 1, 2, ...

ความนาจะเปนท่ีจะมีอุบัติเหตุ 5 ราย

= P(X = 5)

= p(5 ; 3)

= !53e 53−

= 0.1008

คำถาม ความนาจะเปนท่ีจะมีอุบัติเหตุนอยกวา 5 ราย เทากับเทาใด



155

การเปดตารางผลรวมของความนาจะเปนของการแจกแจงปวซง

ตารางท่ี 2 เปนตารางผลรวมของความนาจะเปนปวซง

P(X ≤ r) = P(r ; µ) = ∑=

r

0 x p(x ; µ)

สำหรับคาท่ีเลือกมาบางคาของ µ ตั้งแต 0.1 ถึง 18.0

ตัวอยางการหาคา ∑=

5

0 xp(x ; 2) และ ∑

=

6

0 xp(x ; 2)

1. ดูหลักท่ีคา µ = 2 ... (1)

2. ดูหลักซายสุดท่ีแถวท่ี r = 5 ... (2)

3. ตรงตำแหนงท่ีหลัก และ แถวตรงกันมีคา = 0.9834

เพราะฉะนั้น ∑=

5

0 xp(x ; 2) = 0.9834

r

µ 1.0 1.5 (1)

↓ 2.0

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 1 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 0.1991 0.1359 0.0916 0.0611 0.0404 2 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 0.4232 0.3208 0.2381 0.1736 0.1247 3 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 0.6472 0.5366 0.4335 0.3423 0.2650 4 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 0.8153 0.7254 0.6288 0.5321 0.4405

(2) → 5 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 0.9161 0.8576 0.7851 0.7029 0.6160 6 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 0.9665 0.9347 0.8893 0.8311 0.7622

ในทำนองเดียวกัน ∑=

6

0 xp(x ; 2) = 0.9955



156

42/90 จากการตรวจสอบคลังสินคาแหงหนึ่งพบวามีสินคาอยูชนิด

หนึ่งจำนวนสินคาท่ีเก็บเขาคลังสินคามีการแจกแจงปวซง โดยมี

คาเฉลี่ย 5 ครั้งตอวัน จงหาความนาจะเปนท่ีวันตอมา

ก. มีสินคาชนิดนั้นเก็บเขาคลังสินคามากกวา 5 ครั้ง

ข. ไมมีสินคาชนิดนั้นเขาคลังสินคาเลย

วิธีทำ X = จำนวนสินคาท่ีเก็บเขาคลังในหนึ่งวัน

เพราะฉะนั้น X = 0, 1, 2, 3, ...

X เปนตัวแปรสุมปวซงมีคาเฉลี่ย µ = 5 ครั้งตอวัน


f(x) = p(x ; 5) = !x5e x5−

; x = 0, 1, 2, ...

ก. ความนาจะเปนท่ีวันตอมามีสินคาชนิดนั้นเก็บเขาคลังสินคา

มากกวา 5 ครั้ง = P(X ≥ 6)

= ∑∞

= 6 x p(x ; 5) = 1 – ∑

=

5

0 x p(x ; 5)

= 1 – 0.6160 = 0.3840

ข. ความนาจะเปนท่ีวันตอมาไมมีสินคาชนิดนั้นเขาคลังสินคาเลย

= P(X = 0)

= 0067.0!05e 05

=−



157

41/90 จำนวนครั้งท่ีชายฝงตะวันออกของประเทศหนึ่งถูกพายุไตฝุน

ในหนึ่งปมีการแจกแจงปวซงโดยมีคาเฉลี่ย 6 ครั้งตอป จงหาความ

นาจะเปนท่ีในปตอไป

ก. ชายฝงแหงนี้จะถูกพายุไตฝุนนอยกวา 4 ครั้ง

ข. ชายฝงแหงนี้จะถูกพายุไตฝุนตั้งแต 6 ถึง 8 ครั้ง

วิธีทำ

X = จำนวนครั้งท่ีชายฝงตะวันออกของประเทศหนึ่งถูกพายุไตฝุนใน

หนึ่งป

X = 0, 1, 2, 3, ...

คาเฉลี่ยท่ีถูกพายุไตฝุนเทากับ µ = 6 ครั้งตอป

X เปนตัวแปรสุมปวซง มีคาเฉลี่ย µ = 6 ครั้งตอป


f(x) = p(x ; 6) = !x6e x6−

; x = 0, 1, 2, ...

ก. ความนาจะเปนท่ีชายฝงแหงนี้จะถูกพายุไตฝุนนอยกวา 4 ครั้ง

= P(X ≤ 3)

= ∑=

3

0 x p(x ; 6)

= 0.1512



158

ข. ความนาจะเปนท่ีชายฝงแหงนี้จะถูกพายุไตฝุนตั้งแต 6 ถึง 8 ครั้ง

= P(6 ≤ X ≤ 8)

= ∑=

8

6 x p(x ; 6)

= ∑=

8

0 x p(x ; 6) – ∑

=

5

0 x p(x ; 6)

= 0.8472 – 0.4457

= 0.4015



159

การประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปวซง

และประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปกติ


ให X เปนตัวแปรสุมทวินามท่ีมีการแจกแจง b(x ; n, p)

ถา ∞→n , 0p → และ µ = np เปนคาคงตัว

แลวการแจกแจงทวินามจะประมาณไดดวยการแจกแจงปวซง

p(x ; µ)

เพราะฉะนั้น b(x ; n, p) = xn)p1(xp xn −−

≈ p(x ; µ)

= !xe xµµ−



160

47/91 บริษัทประกันชีวิตทราบวา 0.006% ของผูชายท่ีประกันชีวิต

จะเสียชีวิตเนื่องจากอุบัติเหตุชนิดหนึ่ง จงหาความนาจะเปนท่ีบริษัท

ประกันชีวิตจะตองจายคาประกันมากกวา 3 ราย ในหนึง่หม่ืนราย

จากผูชายท่ีประกันชีวิตเนื่องจากอุบัติเหตุชนิดนี้

วิธีทำ การทดลองคือการสุมตัวอยางผูชายท่ีซ้ือประกันชีวิต

ความสำเร็จ คอืผูชายท่ีซ้ือประกันชีวิตจะเสียชีวิตเนื่องจากอุบัติเหตุ

ชนิดหนึ่ง

เพราะวาบริษัทประกันชีวิตทราบวา 0.006% ของผูชายท่ีประกันชีวิต

จะเสียชีวิตเนื่องจากอุบัติเหตุชนิดหนึ่ง

เพราะฉะนั้น สัดสวนความสำเร็จ p = 0.00006

ทำการทดลองท้ังหมด n = 10000 ครั้ง

X = จำนวนผูชายท่ีซ้ือประกันจะเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ

X = 0, 1, 2, 3, ... , 10000

เพราะฉะนั้น X เปนตัวแปรสุมทวินาม

มีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน b(x ; 10000, 0.00006)



161

เพราะวา n = 10000 ถือวามีคามาก

และ สัดสวนความสำเร็จ p = 0.00006 ถือวามีคานอย

เพราะฉะนั้น เราประมาณคาความนาจะเปนของตัวแปรสุมทวินาม

b(x ; 10000, 0.00006) ดวยความนาจะเปนของตัวแปรสุมปวซงท่ีมี

คาเฉลี่ย µ = np = 10000(0.00006) = 0.6

และมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน p(x ; 0.6) = !x)6.0(e x6.0−

เม่ือ x = 0, 1, 2, 3, ...

ความนาจะเปนท่ีบริษัทประกันชีวิตจะตองจายคาประกันมากกวา 3

ราย

= P(X ≥ 4)

= 1 – P(X ≤ 3)

= 1 – ∑=

3

0 x b(x ; 10000, 0.00006)

≈ 1 – ∑=

3

0 x p(x ; 0.6)

= 1 – 0.9966

= 0.0034



162

สรุปการประมาณคา

การประมาณคาไฮเพอรจีออเมตริกดวยการแจกแจงทวินาม

♣ การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริก h(x ; N, n, k) =

−−

nN

xnkN x

k

เม่ือ ∞→N และ n มีคานอยเม่ือเทียบกับ N

♣ การแจกแจงทวินาม b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−

แทนคา p = Nk

♣ การประมาณคา

h(x ; N, n, k) =

−−

nN

xnkN x

k

≈ b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−



163

การประมาณคาการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปวซง

♣ การแจกแจงทวินาม

b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−

เม่ือ ∞→n , 0p → , µ = np

♣ การแจกแจงปวซง p(x ; µ) = !xe xµµ−

♣ การประมาณคา

b(x ; n, p) = xnx )p1(p xn −−

≈ p(x ; µ) = !x

e xµµ−



164

การประมาณของความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจง

ทวินามดวยการแจกแจงปกติ

ตัวแปรสุม X ท่ีมีการแจกแจงทวินาม b(x ; n , p) เม่ือ n มีคานอย

จะหาคา b(x ; n , p) ไดจากตารางท่ี 1 ในบทท่ี 3 ไดใชการแจก

แจงปวซงหาคาโดยประมาณของความนาจะเปนท่ีมีการแจกแจงทวิ

นามเม่ือ n มีคามาก และ p มีคาใกล 0 หรือ 1 แตในท่ีนี้จะใช n(z ;

0 , 1) หาคาโดยประมาณของ b(x ; n , p) เม่ือ n มีคามากพอโดย

อาศัยทฤษฎีตอไปนี้

ทฤษฎีบท 4.3.1 ถา X เปนตัวแปรสุมทวินามท่ีมีคาเฉลี่ย µ = np

และความแปรปรวน 2σ = npq เม่ือ n มีคามากพอ การแจกแจงของ

Z = X npnpq− จะเปน n(z ; 0 , 1)

โดยท่ัวไป ถา n ใหญ และ p → 12 การใชการแจกแจงปกติในการ

ประมาณคาของ b(x ; n , p) จะไดผลลัพธเทากับการใช b(x ; n , p)

โดยตรง ถา n เล็ก และ p ไมใกล 0 หรือ 1 มากนัก

การประมาณคาดวย n(z ; 0 , 1) จะยังคงใหผลพอใช

เชน เม่ือ n = 15 , p = 0.4 , b(4 ; 15 , 0.4) = 0.1268

แตถาใช n(z ; 0 , 1) ในการหาคาโดยประมาณของ b(4 ; 15 , 0.4)

จะตองพิจารณาคา z ในชวง x = 3.5 ถึง x = 4.5 เม่ือ z = X npnpq−



165

ดังนั้น P(3.5 < X < 4.5)

= P( 3.5 (15)(0.4)15(0.4)(0.6)− < Z < 4.5 (15)(0.4)

15(0.4)(0.6)− )

= P(–1.32 < Z < –0.79)

= P(Z < –0.79) – P(Z < –1.32)

= 0.2148 – 0.0934

= 0.1214

แสดงวา เม่ือ n เล็กเพียง 15 แต p = 0.4 ไมใกล 0 หรือ 1

การใช n(z ; 0 , 1) จะไดคา P(X = 4) = 0.1210 ใกลเคียงกับคาท่ี

ถูกตอง 0.1268 พอสมควร

ทำนองเดียวกัน ถาตองการหา P(7 ≤ X ≤ 9) เม่ือ X มีการแจกแจง

b(x ; 15 , 0.4) คาท่ีถูกตองคือ

P(7 ≤ X ≤ 9) = 9

x = 0∑ b(x ; 15 , 0.4) –

6

x = 0∑ b(x ; 15 , 0.4)

= 0.9662 – 0.6098

= 0.3564



166

ถาใช n(z ; 0 , 1) หาคานี้โดยประมาณ จะได

P(7 ≤ X ≤ 9) = P(6.5 < X < 9.5)

= P( 6.5 (15)(0.4)15(0.4)(0.6)− < Z < 9.5 (15)(0.4)

15(0.4)(0.6)− )

= P(0.26 < Z < 1.84)

= P(Z < 1.84) – P(Z < 0.26)

= 0.9671 – 0.6026

= 0.3645 ซ่ึงใกลกับ 0.3564 พอสมควร

สังเกตวา เม่ือ X มีการแจกแจง b(x ; n , p) และ X เปนตัวแปรไม

ตอเนื่อง แตเม่ือใช n(z ; 0 , 1) ในการประมาณคาความนาจะเปน

ของ X ตัวแปรในการแจกแจงปกติเปนตัวแปรตอเนื่อง จึงตองมีการ

แกไขคาของตัวแปรไมตอเนื่องเล็กนอย โดยพยายามขยายให

ครอบคลุมไปถึงคาท่ีตองการ เชน การใชชวง 6.5 ถึง 9.5 เพ่ือใหคลุม

คาตั้งแต 7 ถึง 9



167

ตัวอยาง 4.3.1 ในการผลิตสินคาชนิดหนึ่งทราบวามีท่ีชำรุดประมาณ

10% ถาสุมเลือกผลิตภัณฑเหลานี้มา 100 ชิ้น จงหาความนาจะเปน

ท่ีจะไดสินคาท่ีชำรุดมากกวา 13 ชิ้น

วิธีทำ ให X แทนจำนวนสินคาท่ีชำรุดท่ีพบจากตัวอยาง

ดังนั้น X มีการแจกแจง b(x ; 100 , 0.10)

โดยท่ี n = 100 มีคามากพอ การใช n(z ; 0 , 1) หาคาโดยประมาณ

ของ P(X > 13) จะใหผลดี

µ = np = 100(0.1) = 10 , σ = npq = 100(0.1)(0.9) = 3

P(X > 13) = P(Z > 13.5 103− )

= P(Z > 1.17)

= 1 – P(Z < 1.17)

= 1 – 0.8790

= 0.121

ในการท่ีใชคา x = 13.5 ก็เพ่ือใหคลุมคาของ X ตั้งแต 14 เปนตนไป

เพราะโจทยตองการ X มีคามากกวา 13



168

ตัวอยาง 4.3.2 ขอสอบแบบปรนัย 200 ขอ แตละขอมีคำตอบให

เลือกตอบ 4 ขอ ซ่ึงจะมีคำตอบท่ีถูกตองรวมอยู 1 ขอ ถามีขอสอบ

80 ขอ ท่ีคาดวานักเรียนไมมีความรูท่ีจะตอบไดจริงๆ จงหาโอกาสท่ี

นักเรียนจะตอบถูกโดยการเดาไดตั้งแต 25 ถึง 30 ขอ

วิธีทำ ให X แทนจำนวนคำตอบท่ีถูกตองโดยการเดา

ถา p แทนโอกาสท่ีจะตอบถูกโดยการเดา ดังนั้น p = 14 = 0.25 และ

X มีการแจกแจงทวินาม P(X = x) = b(x ; 80 , 0.25)

คาจริง P(25 ≤ X ≤ 30) = 30

x = 25∑ b(x ; 80 , 0.25)

µ = np = 80(0.25) = 20, σ = npq = 80(0.25)(0.75) = 3.87

คาประมาณ P(25 ≤ X ≤ 30) = P(24.5 < X < 30.5)

= P( 24.5 203.87− < Z < 30.5 20

3.87− )

= P(1.16 < Z < 2.71)

= P(Z < 2.71) – P(Z < 1.16)

= 0.9966 – 0.8770

= 0.1196

เพราะฉะนั้นขอสอบท่ีจะตองเดาคำตอบ 80 ขอ โอกาสท่ีจะเดา

คำตอบไดถูกตองต้ังแต 25 ถึง 30 ขอ = 0.1196

Documents

2301286 PROB/STATpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301286/286_62_2nd... · 2020-01-02 · คือเซตที่มีสมาชิกเป นผลลัพธ ที่เป