Upload
trankhuong
View
241
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
เอกสารเผยแพรเพอการศกษา
คมอโปรแกรมสาเรจรป Mathcad2000
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คานา
โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมชวยแกปญหาตางๆ ทางคณตศาสตรไดทงระดบมธยมศกษา
และ ระดบอดมศกษา โปรแกรม Mathcad เปนโปรแกรมทมความสะดวกตอการใชเปนอยางมาก เพราะสามารถ
ทจะทาการคานวณโดยตรงแบบเครองคดเลขหรอจะคานวณในรปแบบโปรแกรมกได การใชงานของโปรแกรม
คลายกบการทดเลขบนกระดาษหรอบนกระดานดา กลาวคอเมอเราเขยนสตรหรอพมพสตรเสรจ เมอกด
เครองหมายเทากบกจะไดผลของการคานวณตามทตองการ
การใชงานของโปรแกรม Mathcad เมอเปรยบเทยบกนโปรแกรมอน ๆ จะมขอแตกตางบางอยางทสาคญเชน
บนจอภาพของ Mathcad เราจะพมพสตรคานวณ ณ ตาแหนงทวางใด ๆ บนจอได แตโปรแกรมอน ๆ ตอง
พมพทบรรทดของการรอรบคาสง แตการใชงานกตองระวง เพราะวากตกาการคานวณของ Mathcad จะ
คานวณสตรจากสตรบนลงลาง และคานวณสตรจากสตรทางซายไปทางขวา
ในการใชงาน ถาม การเปลยนคาของตวแปร การเปลยนแปลงสตร โปรแกรม Mathcad จะทาการคานวณ
ใหมโดยอตโนมตทกครง
ระหวางการพมพสตร โปรแกรม Mathcad จะจดรปแบบของสตรใหตามความเหมาะสมของสตร ดงนนการ
พมพสตรในครงแรก ๆ อาจจะทาใหงงได แตเมอพมพเปนแลว การจดรปแบบระหวางการพมพสตร ของ
Mathcad ถอไดวาเปนความสามารถทดเดนมาก
การปรบเปลยนคาตาง ๆ เชน การแสดงทศนยม การกาหนดวธแสดงผลทไดจากการคานวณ การปรบ
รปแบบกราฟ สวนใหญจะใชการกาหนดคาตาง ๆ ทตองการผานคาสงยอยของเมนบาร
สามารถนาแถบเครองมอเชน Calculus Graph แสดงบนจอภาพ เพอเลอกใชงานไดสะดวกขน
สามารถเขยนกราฟไดถง 16 เสนพรอมกน การปรบเปลยนรปแบบของกราฟ ใชการเลอกคาสงผานเมน
format graph ทาใหการปรบเปลยนรปแบบกราฟสะดวกทสด
ดวยความสามารถในการจดรปแบบการพมพอตโนมตทาใหโปรแกรม Mathcad สามารถพมพสตรทาง
คณตศาสตรทมความซบซอนมาก ๆ ไดดกวาโปรแกรมอน ๆ
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา
สารบญ
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad............................................ 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad.......................................................... 11 – 48
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad.................................................................. 49 – 72
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................... 73 – 84
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad................................................ 85 – 90
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad........................................ 91 – 104
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad................................................ 105 – 120
บทท 1.
ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad
ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดมานาเสนอใหดกอนเพอ
ผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ในสวนของการพมพ
คาสง การเขาสโปรแกรม Mathcad และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป
1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร
หมายเหต Mathcad สามารถทาการคานวณไดอยางตอเนอง และ จดรปแบบการพมพได
2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง
3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย
3.25 16.5 19.75
7.5 3.25 4.25
12 3 36
15
43.75
9 3( ) 12
436
2
90.222
2
90.22222
2
90.22222222
3.142 3.14159265 3.14159265358979
cos 1 sin
2
1 tan 45 deg( ) 1
asin 0.5( ) 0.524 asin 1( ) 90deg atan 1( ) 0.785
log 2( ) 0.301 ln 2( ) 0.693 log 100 10( ) 2
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 2
หมายเหต
1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan
2. log คอ ลอการทมฐาน 10 และ ln คอ ลอการทมฐาน e
log(A, x) คอ ลอการทมของ x ฐาน A
3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน
4. คาของ acrsin, arccos, arctan, ... สามารถแสดงไดทงหนวย องศาและเรเดยน
5. ตวอยางฟงกชนอนๆ ดไดจากแถบเครองคดเลขน
4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได
5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย
เมอเรากาหนดคา x = 1, 2, ... , 5
และกาหนดสตร f(x), g(x)
โปรแกรม Mathcad จะแสดงผลการคานวณ
ในรปแบบของตารางไดโดยงาย
6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณไดโดยงาย
การคานวณคา ฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน
การคานวณคา อนเวอรสฟงกชนตรโกณมต arcsin, arscos, ... สามารถแสดงผลไดทงหนวย องศาและเรเดยน
7. สามารถแสดงหนวยของผลการคานวณได
กาหนดให s มหนวยเปน เมตร
t มหนวยเปน วนาท
ผลการคานวณของ Mathcad
คา v = ts มหนวยเปน เมตรตอวนาท
ผลลพธของ Mathcad จะแสดงหนวยการคานวณ
f x( ) x2 3 x 1
f 1( ) 5 f 5( ) 41 f f 1( )( ) 41
x 1 5 f x( ) x2 g x( ) 2 x 1
x
1
2
3
4
5
f x( )
1
4
9
16
25
g x( )
3
5
7
9
11
sin 30 deg( ) 0.5 cos 60 deg( ) 0.5 tan 45 deg( ) 1
sin
6
0.5 cos
4
0.707 tan
3
1.732
asin 0.5( ) 0.524rad asin 0.5( ) 30deg
s 1000 m
t 20 sec
vs
t
v 50m
s
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 3
8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ
8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]
8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]
8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล
นาหนกและสวนสง
น าหนก ความสง
53 156
58 165
55 162
60 170
62 165
68 173
x 5 4.99 5 f x( ) 2 x 3
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
10
5
5
10
15
20
f x( )
x
x 5 4.99 5 f x( ) 2 x 3 g x( ) x2 4
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
10
5
5
10
15
20
f x( )
g x( )
x
ORIGIN 1 i 1 6
x
53
58
55
60
62
68
y
156
165
162
170
165
173
50 55 60 65 70150
160
170
180180
150
yi
7050 xi
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 4
8.4 สามารถเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล
คะแนน และ ความถ
คะแนน ความถ
1 15
2 35
3 40
4 10
8.5 สามารถเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว
ตวอยาง การเขยนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sin, กราฟรปกลบกหลาบ r = 4cos2
8.6 สามารถเขยนกราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour
ตวอยาง กราฟของพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y
ORIGIN 1 i 1 4
grade
1
2
3
4
frequency
15
35
40
10
0 1 2 3 4 5
10
20
30
40
5050
0
frequencyi
50 gradei
M M
i 1 20 j 1 20 xi 2 0.2 i y j 2 0.2 j f x y( ) x2 y2 M i j( ) f xi y j
0 0.01 2
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
543210
3 2 sin ( )
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
543210
4 cos 2 ( )
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 5
8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]
แบบท 1. มแกน X และแกน Y แตไมมสเกล แบบท 2. มแกน X และแกน Y มสเกล
แตไมมตวเลขทสเกล
แบบท 3. มแกน X และแกน Y แบบท 4. มแกน X และแกน Y
มสเกลและมตวเลขทสเกล มสเกล มตวเลขทสเกล
มเสนกรดชวยในการประมาณคา
8.8 สามารถเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกนได
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 5 – 4x บนชวง [–3, 1] และ g(t) = 2t + 10 บนชวง [1, 4]
x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9
0f x( )
x
x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9
f x( )
x
x 4 3.99 4 f x( ) x3 x2 9 x 9
4 3 2 1 0 1 2 3 4
40
20
20
40
f x( )
x
x 3 2.99 1 f x( ) 5 4 x t 1 1.01 4 g t( ) 2 t 10
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
5
10
15
20
f x( )
g t( )
x t
.x 4 3.99 4 f x( ) x
3x2
9 x 9
4 3 2 1 0 1 2 3 4
40
20
20
40
f x( )
x
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 6
9. การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
ตวอยาง 12 ฐาน 8 บวกกบ 15 ฐาน 8 ได 23 ฐาน 10
12 ฐาน 16 บวกกบ 15 ฐาน 16 ได 39 ฐาน 10
หมายเหต อกษร o ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 8 และ อกษร h ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 16
10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร
Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได
11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ
Mathcad สามารถหา ผลบวก ผลตาง อนเวอรส คากาหนด ของเมทรกซได
12. การคานวณจานวนเชงซอน
Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได
13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก
ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข
12o 15o 23
12h 15h 39
u
2
3
6
v
3
4
0
u v
5
7
6
u v
1
1
6
u v
24
18
1
u v 18 u 7
A1
3
2
5
B2
0
0
4
A B2
6
8
20
A B3
3
2
9
4 A4
12
8
20
B 8 A 1 A 1 5
3
2
1
z 3 4i w 5 12i
z w 8 16i z w 33 56i z 5 z 1 0.12 0.16i
1
10
i
i
55
1
10
i
i2
385
1
10
i
i i 1( )
440
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 7
ตวอยาง การหาผลบวกของตวแปร ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , n
14. การคานวณคาสถตเบ องตน
ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16
mean = คาเฉลย min = คาตาสด
median = มธยฐาน max = คาสงสด
var = ความแปรปรวนของประชากร = n
)xx( 2i
n
1 i
stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร = )xvar(
Var = ความแปรปรวนของตวอยาง = 1n
)xx( 2i
n
1 i
Stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง = )x(Var
15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c ได
ตวอยาง การหาความสมพนธเชงเสนตรงระหวาง นาหนก (x) กบสวนสง (y)
น าหนก ความสง
53 156
58 165
55 162
60 170
62 165
68 173
x เปนตวแปรอสระ
y เปนตวแปรตาม
slope(x, y) คอ สมประสทธการถดถอยเชงเสน
intercept(x, y) คอคาคงตวของสมการเสนตรง y = mx + c
corr(x, y) คอ สมประสทธสหสมพนธเชงเสนตรง
ORIGIN 1 i 1 5 xi
23
71216
1
5
i
xi
40
1
5
i
xi 2
462
ORIGIN 1 i 1 5
xi
23
71216
mean x( ) 8
median x( ) 7
stdev x( ) 5.329
var x( ) 28.4
Stdev x( ) 5.958
Var x( ) 35.5
max x( ) 16
min x( ) 2
ORIGIN 1 i 1 6
x
53
58
55
60
62
68
y
156
165
162
170
165
173
m slope x y( ) m 0.995
c intercept x y( ) c 106.109
r corr x y( ) r 0.891
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 8
16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
16.1 การกระจายพหนาม
ตวอยาง
16.2 การแยกตวประกอบ
ตวอยาง
16.3 การจดรปแบบทางพชคณต
ตวอยาง
17. ความสามารถในการหาอนพนธ และอนพนธยอย ทงแบบคาตวเลขและเปนสตร
17.1 การหาอนพนธเปนคาตวเลข
ตวอยาง การหาอนพนธ
ตวอยาง การหาอนพนธยอย
17.2 การหาอนพนธเปนสตร
ตวอยาง การหาอนพนธ
ตวอยาง การหาอนพนธยอย
x 1( ) x 2( ) expand x2 x 2
x 1( ) x 2( )2 expand x3 5 x2 8 x 4
x2 5 x 6 factor x 3( ) x 2( )
x3 5 x2 8 x 4 factor x 1( ) x 2( )2
1
2
2
3 factor
7
6
1
1 2factor 2 1
1
1 x
1
1 x factor
2
x 1( ) x 1( )[ ]
x 1 f x( ) x3 4 x2 5 x 4
f x( ) 6xf x( )d
d16
2xf x( )d
d
214
3xf x( )d
d
36
x 2 y 1
xx3 2 x2 y y4 d
d20
y yx3 2 x2 y y4 d
d
d
d12
xx3 4 x2 5 x 4 d
dexpand 3 x2 8 x 5
2xx3 4 x2 5 x 4 d
d
2expand 6 x 8
xx3 2 x2 y y4 d
dsimplify 3 x2 4 x y
y yx3 2 x2 y y4 d
d
d
dsimplify 12 y2
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 9
18. ความสามารถในการหาปรพนธเปนสตรและคาตวเลข
18.1 การหาปรพนธเปนคาตวเลข
18.2 การหาปรพนธเปนสตร
19. สามารถหาคาลมตได
20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม
ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน
0
2
xx3 1
d 60
1
y0
2
xx3y
d
d 20
1
z1
2
y1
1
xx y3 z
d
d
d 1
xx3 1
d simplify1
4x4 x
yxx3 y
d
d simplify1
8x4 y2
zyxx y3 z
d
d
d simplify1
8x2 y4 z
1
2z2 x y
1xx2 x 1lim
3
1x
x2 1
x 1lim
20x
sin x( )
xlim
1
0x
x
xlim
1
0x
x
xlim
1
x1
1
x
2 x
lim
exp 2( )
a 3
b 4
c 5
sa b c
2
Area s s a( ) s b( ) s c( )
Area 6
1
x2
t4 t3 1
d x8 x2 21
t
y0
t2
x2x 4 y( )
d
d t5 t4 2 t2
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 10
เมอเปลยนคา a, b, c ใหมจะไดผลการคานวณเปนดงน
21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0
เพราะฉะนนรากของสมการ
คอ x = 1.414 และ –1.414
ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0
รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 0.785 radian หรอ 45 degree
22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ
22.1 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + y = 4
9x – 4y = 1
เพราะฉะนน x = 1, y = 2
22.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + 2y = 1
และ x – y = 0
เพราะฉะนน x = 0.707, y = 0.707
23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
dxdy
= 1 + 4x, y(0) = 1
โปรแกรม Mathcad จะสามารถหาผลเฉลย y(x) ได
ความสามารถอน ๆ ในการประยกต
เนอหาคณตศาสตรขอใหศกษาในบทตอไป
x 1 root x2 2 x 1.414
x 1 root x2 2 x 1.414
x 0 y 0
Given
2 x y 4
9x 4 y 1
Find x y( )1
2
x 0 y 0
Given
x2 y2 1
x y 0
Find x y( )0.707
0.707
x 1 root sin x( ) cos x( ) x( ) 45deg
root sin x( ) cos x( ) x( ) 0.785rad
a 5b 12c 13
sa b c
2
Area s s a( ) s b( ) s c( )
Area 30
Givenxy x( )d
d1 4 x y 0( ) 1 .
y Odesolve x 10( )
0 1 2 3 4
816243240
y x( )
x
y 1( ) 4 .
y 2( ) 11
บทท 2.
การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad
ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบคาสง
ของ Mathcad
หมายเหต โปรแกรม Mathcad ทใชในขณะน คอ Mathcad2001i Professional หากเปน Mathcad Version อน
ๆ เขน version 5.0 – 9.0 หรอ Mathcad2000 Professional จะมลกษณะใชงานทใกลเคยงกน
2.1 การเรยกโปรแกรม Mathcad ขนมาใชงาน
1. เปดเครองคอมพวเตอร
2. รอจนจอภาพขนขอความ ภาพและ icon ตาง ๆ ครบสมบรณ
คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก
คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 12
คลกท MathSoft Apps จะขนเมนยอยใหเลอก
คลกท Mathcad 2001i Professional
บนจอภาพจะม Logo ของ Mathcad
เพอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad
หมายเหต Logo ของ Mathcad
อาจแตกตางกนใน version อนๆ
เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน
1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Mathcad Professional
2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช
แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untitled:1
3. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง
4. บรเวณของการทางานตาง ๆ ทเราตองการ
5. แถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ
(หมายเหต ถาไมมแถบเครองมอ ใหคลกทเมน View แลวเลอก Toolbars และเลอก Math)
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 13
2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad
โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานไดงาย
เชน การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5
1. ใหพมพ 45.25 + 17.5
2. แลวพมพ = จะไดผลลพธทนทดงน
ตวอยางการคานวณแบบอน ๆ เชน
เนองจากทางานของโปรแกรม Mathcad
จะทาการจดรปแบบการพมพบนจอภาพใหสอดคลองกบความหมายทางคณตศาสตรเสมอเชน
การหาคา 5
47= 9.4
ขนท 1. พมพ 47
ขนท 2. เมอเรากดเครองหมายหาร (/)
บนจอภาพจะจดรปแบบเปนลกษณะของเศษสวน (ดงรป) ทนท
ขนท 3. ตอไปจงพมพ 5 แลวกด = จะไดผลการคานวณทตองการ
เพราะฉะนน การใชงานโปรแกรม Mathcad จะขอเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพ
ผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจาก การคานวณของ Mathcad และ การจดรปแบบการพมพ
ของ Mathcad
ขอแนะนา ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Mathcad ในตาราง
แสดงผลลพธของการคานวณเบองตน
ตวอยางการคานวณและวธการพมพดวยโปรแกรม Mathcad
1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5
พมพ ผลบนจอภาพ
45.25+17.5= 45.25 17.5 62.75
หมายเหต 1. การคานวณใหมหรอขนบรรทดใหมตองกด ENTER
2. เครองหมาย = เปนการสงใหทาการคานวณ
15 32 480
47
59.4
log 2( ) 0.301
44
256
sin
6
0.5
47
59.4
45.25 17.5 62.75 .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 14
2. การหาผลหาร 5
47
พมพ ผลบนจอภาพ
47
/
5
=
47
59.4
3. การหาผลคณของ 15 กบ 32
พมพ ผลบนจอภาพ
15
*
32
=
15 32 480
4. การคานวณเลขยกกาลง 3
4 และ 4e
พมพ ผลบนจอภาพ
4
^
3
=
43
64
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 15
e
^
4= e4
54.598
5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin(6
), 3 , 5 32 , 5!
พมพ ผลบนจอภาพ
log(2)= log 2( ) 0.301
ln(2)= ln 2( ) 0.693
sin(
Ctrl + Shift+P
หมายเหต
กด Ctrl และ Shift คางไว แลวกด P
Mathcad บาง version เชน version 7.0
กด Ctrl+P จงจะได
/
6
)
=
sin
6
0.5
การหารากท n
\
หมายเหต กด \ ไดสญลกษณการหารากท 2
3= 3 1.732
Ctrl+\
หมายเหต
กด Ctrl+\ ไดสญลกษณการหารากท n
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 16
32
Tab
5
= 532 2
การหาคา 5! แฟกทอเรยล
5!=
5 120
6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x
:
หมายเหต กด : จะได := ซงหมายถง การ
กาหนดคาใหกบตวแปร
4 x 4 .
ความหมาย คอ กาหนดตวแปร x มคาเปน 4
การกาหนดสตรฟงกชน
f(x)
:
x^2
f x( ) x2
f(x)= f x( ) 16 .เปนคาของ f เมอ x = 4
f(3)= f 3( ) 9 .
หมายเหต สญลกษณ := หมายถงการกาหนดคาใหเปน หรอ การกาหนดสตรใหเปน
7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb
a ตวอยางเชน dx)4x( 2
4
1
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x)
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 17
:
x^2
Space bar
หมายเหต การกด Space bar จะทาใหกรอบ
curser ขยายมาคลมทง 2x
+
4 f x( ) x
24 .
&
หมายเหต กด & จะไดเครองหมายปรพนธ
f(x)Tab
หมายเหต การกด Tab จะทาให curser เลอน
ตาแหนงไปตาแหนงถดไป
xTab
1Tab
4=
1
4
xf x( )
d 33
2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]
พมพ ผลบนจอภาพ
กาหนดสตรของ f(x) โดยพมพ
f(x):x^2
Space bar
–3*x–7 f x( ) x
23 x 7 .
กาหนดชวงของ x โดยพมพ
x:–8
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 18
, หมายเหต กด , เพอบอกคาถดไปของ x
–7.9
หมายเหต x เพมคาครงละ 0.1
;
หมายเหต กด ; จะไดสญลกษณ ..
8
x 8 7.9 8 .
หมายเหต x มคาจาก –8 ถง 8 โดยเพมคาครงละ 0.1
@
หมายเหต
กด @ จะไดรปแบบการเขยน
กราฟ
x
Tab
8Tab
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 19
f(x)Tab
–25Tab
–8Tab
100
0
0
100100
25
f x( )
88 x
ผลการคานวณบนจอภาพคอ
f x( ) x2
3 x 7
x 8 7.9 8
0
0
100
f x( )
x
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 20
หมายเหต โปรแกรม Mathcad สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน
แบบท 1. มสเกลทแกน X และ แกน Y แบบท 2. มสเกลแกน X และ Y และมตวเลข
สามารถกาหนดใหเสนกราฟหนาขน
แบบท 3. แกน X แบงเปน 8 สวน แบบท 4. มเสนตาขายชวยในการประมาณคา
เชน f(–4) มคาประมาณ 24
แบบท 5. เหมอนแบบท 2 แบบท 6. ความสามารถในการเขยนกราฟได
แตเปลยนลกษณะของเสนกราฟ หลายเสนพรอมกน
เปนการ plot แบบ dot
การเขยนกราฟแบบตางๆ นจะไดเรยนรคาสงตางๆ ในบทตอไป
100
25
f x( )
88 x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25
f x( )
88 x
8 4 0 4 825
25
50
75
100100
25
f x( )
88 x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25
f x( )
88 x
8 4 0 4 8
25
25
50
75
100100
25
f x( )
2 x 3
88 x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25
f x( )
88 x
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 21
2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยาง การกาหนด A =
3524
พมพ ผลบนจอภาพ
A:
Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ
หลก
ใหพมพ Rows: 2 และ Columns:
2
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
4Tab
หมายเหต การกด Tab ทาให
Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป
–2Tab
–5Tab
3 A4
5
2
3
ในทานองเดยวกนกาหนด B =
3152
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 22
การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, AB , 2A ,
1A,
TA , det(A)
พมพ ผลบนจอภาพ
A= A
4
5
2
3
.
B= B
2
1
5
3
.
การหาผลบวกของเมทรกซ
A+B= A B6
4
3
6
สเกลารคณเมทรกซ
4*A
= 4 A16
20
8
12
การหาเมทรกซยกกาลง
A^
2= A2 26
35
14
19
การหาผลคณของเมทรกซ
A*B= A B6
7
14
16
การหาเมทรกซผกผน
A^
–1= A1 1.5
2.5
1
2
การหาคากาหนดของเมทรกซ
A= A 2
เมทรกซสลบเปลยน
A
Ctrl+!
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 23
= AT 4
2
5
3
การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
A= A4
5
2
3
ORIGIN:1 ORIGIN 1
หมายเหต เปนการกาหนดคาของ Subscript เรมท 1
i:1;2 i 1 2 .
j:1;2 j 1 2 .
A[
(1, 1)
= A1 1( )
4
A[(1, 2)= A1 2( )
2
หมายเหต ตวแปรทมดรรชนลางอาจมจดเรมตนเปน 0 หรอ 1 ตามความเหมาะสมของเนอหาคณตศาสตร เชน
ลาดบ อนกรม มคาเรมตนท 1 แตในเรองของเมทรกซดรรชนลาง ของ ijA ตองเรมท 1 เราจงตองกาหนด
ORIGIN := 1 เพอกาหนดจดเรมตนของตวดรรชนลางเปนเลข 1
2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร
สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =
43 และ v =
21
พมพ ผลบนจอภาพ
u:
Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ
หลก
ใหพมพ Rows: 2 และ Columns:
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 24
1
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
–3Tab
4 u3
4
ในทานองเดยวกนกาหนด v =
21
การหาคา u + v, 4u, vu , u
พมพ ผลบนจอภาพ
u= u3
4
v= v1
2
การบวกเวกเตอร
u+v= u v2
6
สเกลารคณเวกเตอร
4*u= 4 u12
16
u dot v
u*v= u v 5
การหาขนาดของเวกเตอร
u= u 5
v= v 2.236
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 25
ผลการคานวณบนจอภาพคอ
2.6 การกาหนดขอมล
2.6.1 ในรปแบบเวกเตอร สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =
1587532
พมพ ผลบนจอภาพ
x
:
Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก
ใหพมพ Rows: 6 และ Columns:
1
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
u3
4
v1
2
u3
4
v1
2
u v 5
u v2
6
4 u12
16
u 5 v 2.236
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 26
2Tab
หมายเหต การกด Tab จะทาให
curser กระโดดไปทตาแหนงของ
สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป
3Tab
5Tab
7Tab
8Tab
15Tab
x
2
3
5
7
8
15
ใน Mathcad มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน
mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x
var(x) = ความแปรปรวน(ประชากร) x Var(x) = คาความแปรปรวน(ตวอยาง) x
stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ประชากร) x Stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x
max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x
length(x) = จานวนขอมลใน x
ตวอยางของการคานวณเชน
2.6.2 ในรปแบบตวแปรมต
พมพ ผลบนจอภาพ
ORIGIN:1 ORIGIN 1
i:1;10 i 1 10 .
x[i:
2
,
หมายเหต การกด , จะทาใหเกด
ตาแหนงของสเหลยมสดา เพอให
ใสคาตอไป
mean x( ) 6.667 median x( ) 6 length x( ) 6
Stdev x( ) 4.676 Var x( ) 21.867 max x( ) 15
stdev x( ) 4.269 var x( ) 18.222 min x( ) 2
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 27
3,
5,7,8,15
xi
2357
815
หมายเหต 1. การกาหนดขอมลแบบนมความสะดวกในกรณทเราไมทราบจานวนขอมลทงหมด
2. การกาหนดในรปแบบท 2. ตวแปร x จะม 2x1 , 3x2 , ..., 15x6
และตวแปร 0xxxx 10987
2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ
ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:
Ctrl+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก
ใหพมพ Rows: 4 และ Columns: 2
x y 3 12 5 15 9 21 12 32
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 28
จะไดผลบนจอภาพเปน
3Tab
หมายเหต การกด Tab จะทาให
curser กระโดดไปทตาแหนงของ
สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป
12Tab
5Tab15Tab
9Tab21Tab
12Tab32Tab
x
3
5
9
12
12
15
21
32
การแสดงผลทละ 1 column
ORIGIN:1 ORIGIN 1
xCtrl^1=
หมายเหต x1 เปนการเลอก
เฉพาะ column 1 มาใชงาน
x 1
3
5
9
12
xCtrl^2=
x 2
12
15
21
32
x[(1, 1)= x1 1( )
3
x[(2, 1)= x2 1( )
5
mean(xCtrl^2)= mean x 2 20
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 29
2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ
ตวอยาง การหาคาของ
10
1 i
i ,
10
1 i
2i , (i2
4 5
1
10
ii
)
ขนตอนการนาแถบเครองมอคานวณขนมาใชงาน
ขนท 1. เลอกเมน View
ขนท 2. เลอนมาท Toolbars
ขนท 3. เลอนเมาสมาท Math
ขนท 4. คลกเมาสทคาสง Math
จะไดแถบเครองมอของการคานวณ Math
ขนท 5. คลกเมาสท Icon จะไดแถบเครองมอของ Calculus
หมายเหต การเขามาใชงานโปรแกรม Mathcad
ในบางครงอาจมแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ปรากฏอยบนจอภาพแลว
การหาคาของ
10
1 i
i ,
10
1 i
2i , (i2
4 5
1
10
ii
)
พมพ ผลบนจอภาพ
การหาผลบวก
10
1 i
i
คลกทสญลกษณ
จะไดแถบเครองมอดงน
คลกทสญลกษณ
iTab
iTab
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 30
1Tab
10=
1
10
i
i
55
ในทานองเดยวกนจะไดวา
2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb
a ตวอยางการหาคาของ dxx
21
0
พมพ ผลบนจอภาพ
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
x^2Tab
xTab
0Tab
1=
0
1
xx2
d 0.333
1
10
i
i2
385
1
10
i
i2
4 i 5
115
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 31
หมายเหต ในกรณทเรากาหนด f(x) = 2
x จะทาใหการคานวณสะดวกขนดงน
2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f
dx
dn
n
ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2 f x( ) x2
x:1 x 1
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
xTab
f(x)=
xf x( )d
d2
การคานวณ )x(fdx
d2
2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^4 f x( ) x4
.
x:2 x 2 .
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
f x( ) x2
0
1
xf x( )
d 0.3333
3
xf x( )
d 180
3
xf x( )
d 9
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 32
f(x)Tab
xTab
2=
2x
f x( )d
d
248
หมายเหต 1. กดเครองหมาย ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ
2. กด Ctrl + ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ
2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(30)= sin 30( ) 0.988
หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน
sin(30*deg)= sin 30 deg( ) 0.5
หมายเหต 30.deg คอ 30 องศา
atan(1)=
หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน
Tab
d
eg atan 1( ) 45deg
ในทานองเดยวกน
2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
ตวอยาง 12o + 17o = 25 o หมายถงเลขฐาน 8
(12o)(11o) =
10h + 12h = 34 h หมายถงเลขฐาน 16
(2h)(11h) = 32
cos 30( ) 0.154 cos 30 deg( ) 0.866 asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90deg .
s 1000 m t 5 secs
t200
m
s
s 60 km t 2 mins
t500
m
s
s
t30
km
min
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 33
พมพ ผลบนจอภาพ
12o+17o= 12o 17o 25
หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10
12o*11o= 12o 11o 90
หมายเหต 10 ฐาน 8 คณ 11 ฐาน 8 ได 90 ฐาน 10
10h+12h= 10h 12h 34
หมายเหต 10 ฐาน 16 บวก 12 ฐาน 16 ได 34 ฐาน 10
2h*11h= 2h 10h 32
หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10
2.13 การหาผลบวกในรปแบบ
n
1 iix
ตวอยางเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
ORIGIN:1 ORIGIN 1
กาหนดเมทรกซ x และ y
การกาหนดเมทรกซ x และ y
ดทหวขอ 2.6
x
2
3
6
9
y
12
15
14
19
การพมพเพอหาผลบวก
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
ORIGIN 1 x
2
3
6
9
y
12
15
14
19
1
4
i
xi
20
1
4
i
yi
60
1
4
i
xi 2
130
1
4
i
yi 2
926
1
4
i
xi
yi
324
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 34
x[iTab
iTab
1Tab
4=
1
4
i
xi
20
การพมพเพอหาผลบวก 21
4
1 i
x
คลกทสญลกษณ
x[i
Space Bar
^
2Tab
iTab
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 35
1Tab
4=
1
4
i
xi 2
130
การพมพเพอหาผลบวก ii
4
1 i
yx
คลกทสญลกษณ
x[i
Space Bar
*
y[iTab
iTab
1Tab
4=
1
4
i
xi
yi
324
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 36
2.14 การสรางตารางฟงกชน
การสรางตารางฟงกชนมขนตอนทสาคญดงตอไปน
ขนท 1. กาหนดชวงของตวแปร x
ขนท 2. กาหนดสตรของฟงกชน f(x)
ขนท 3. พมพคาของ x และ f(x)
ตวอยางเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:1;4 x 1 4 .
f(x):2*x+4 f x( ) 2 x 4 .
x= x
1
2
3
4
f(x)= f x( )
6
8
10
12
หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนสามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน
2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน
ตวอยาง (3 + 4i) + (5 – 9i) = 8 – 5i
3 + 4i = 5
พมพ ผลบนจอภาพ
z : 3+4i z 3 4i .
w : 5–9i w 5 9i .
x 1 4
f x( ) 2 x 4
x
1
2
3
4
f x( )
6
8
10
12
x
2
5
7
12
f x( ) 2 x 4 f x( )
8
14
18
28
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 37
z+w= z w 8 5i
z= z 5
2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2
Space Bar
–2 f x( ) x2
2 .
x:1 x 1 .
root(f(x), x)= root f x( ) x( ) 1.414 .
หมายเหต คาสง root เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน
โดยกาหนดจดเรมตนของการหารากท x = 1
ตวอยางการหารากของสมการอน ๆ เชน
2.17 การผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8
x + y = 3
พมพ ผลบนจอภาพ
x:0 x 0 .
y:0 y 0 .
Given Given .
2*x+3*y
Ctrl+=
หมายเหต◌ กด Ctrl+= จงจะไดสญลกษณ = ทมสดา
เขม ตามรปแบบของชดคาสง Given
8 2 x 3y 8
x+y
f x( ) x2
x 20
x 1 root f x( ) x( ) 5
x 2 root f x( ) x( ) 4
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 38
Ctrl+=
3 x y 3
Find(x, y)= Find x y( )1
2
หมายเหต ชดคาสง Given และ Find เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธของนวตน
โดยกาหนดจดเรมตนของการหาผลเฉลย x = 0 และ y = 0
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน
การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25
และเสนตรง 3x + 4y = 0
2.18 การคานวณคา rn
C และ rn
P
สตร rn
C = )!rn(!r
!n
สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathcad ไดดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
C(n, r):n!
/
r!*
(n–r)! C n r( )n
r n r( )
C(5, 1)= C 5 1( ) 5
C(5, 2)= C 5 2( ) 10
การกาหนดสตร rn
P = )!rn(
!n
P(n, r):
/
(n–r)! P n r( )n
n r( )
P(5, 1)= P 5 1( ) 5
P(5, 2)= P 5 2( ) 20
x 1 y 1
Given
x2
y2
25 3x 4y 0 .
Find x y( )4
3
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 39
ตวอยางการคานวณในรปแบบตาราง
2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร
โปรแกรม Mathcad สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน
การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2
การแยกตวประกอบ 4x – 2
2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)(2x + x + 1)
การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา
1511
125
43
จดรปเปน
2315
การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x
การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( ผลการคานวณเปนสตรคอ 22x + 7x
สามารถหาคาลมตได 1x
lim
(2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7
การคานวณเพอใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร มขนตอนดงน
1. พมพสตรทตองการคานวณใหเรยบรอย
2. ใชการกด Space bar เพอขยาย curser ใหคลมบรเวณสตร การลดขนาด curser ทคลมสตรใหกด
หรอใชการลากเมาสเขามาคลมบรเวณทตองการผลการคานวณเปนสตร
3. เลอกคาสงใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร
ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)
พมพ ผลบนจอภาพ
(x–1)*(x+2)
Space bar
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน x2
x 2
หมายเหต หลงจากเลอกบรเวณสตรแลว การสงอกแบบทาไดโดยการกด Alt+s คางไว แลวกด x
r 0 4 r
0
1
2
3
4
C 4 r( )
1
4
6
4
1
P 4 r( )
1
4
12
24
24
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 40
ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2
2x – 3x – 2
พมพ ผลบนจอภาพ
x^4Space bar–2*x^2
Space bar–3*x–2
กด Space bar 5 ครง
หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา
คลมบรเวณสตรกได
หมายเหต การกด Space bar แตละครงจะมเสนตง
ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ
คลก บนแถบเมน
จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน x 2( ) x 1( ) x
2x 1
ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา
1511
125
43
จดรปเปน
2315
พมพ ผลบนจอภาพ
3/4Space bar
/
5/12Space bar
+11/15
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 41
กด Space bar 3 ครง
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 15
23
ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x
พมพ ผลบนจอภาพ
?
หมายเหต ? เปน Shortcut ของ
สญลกษณอนพนธอนดบหนง
xTab
x^2 Tab
Space barSpace bar
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 2 x .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 42
ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4(
พมพ ผลบนจอภาพ
Ctrl + I
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด Ctrl + I จะไดสญลกษณปรพนธ
4*x+7Tabx
Space bar
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 2 x2
7 x .
หมายเหต ผลของการหาปรพนธ ดวยโปรแกรม Mathcad จะไมมคาคงตวเหมอนในวชา CALCULUS
ตวอยาง การหาคาลมต 1x
lim
2x + 2x + 4
พมพ ผลบนจอภาพ
Ctrl + L
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด Ctrl + L จะไดสญลกษณลมต
x^2Space bar+2*x+4Tab
xTab
1
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 43
Space bar
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 7
2.20 การใชคาสงในแถบเครองมอ Symbolic ชวยในการคานวณและแสดงผลลพธเปนสตร
การนาแถบเครองมอ Symbolic มาใชงาน
ขนท 1. นาแถบเครองมอ Math
ขนมาบนจอภาพ
ขนท 2. คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอ Symbolic
ตวอยางผลการคานวณโดยการใชคาสง
จากแถบเครองมอ Symbolic
2.20.1 การหาสตรอนพนธ dxd 2x โดยใชเครองมอ จากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
?
หมายเหต ? เปน Shortcut ของ
สญลกษณอนพนธอนดบหนง
xx2d
d2 x
x4x 7
d simplify 2 x2
7 x .
x4
2 x2
3 x 2 factor x 2( ) x 1( ) x2
x 1
1xx2
4 x 2lim
7x 1( ) x 2( ) expand x
2x 2
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 44
xTab
x^2 Tab
Space barSpace bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic แลวกด xx2d
d2 x .
2.20.2 การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( โดยใชคาสง Symplify จากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
Ctrl + I
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด Ctrl + I จะไดสญลกษณปรพนธ
4*x+7Tabx
Space bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 45
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic x4 x 7
d simplify 2 x2
7 x .
2.20.3 การแยกตวประกอบ 4x – 2
2x – 3x – 2 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
x^4Space bar–2*x^2
Space bar–3*x–2
กด Space bar 5 ครง
หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา
คลมบรเวณสตรกได
หมายเหต การกด Space bar แตละครงจะมเสนตง
ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเมน
factor x4
2 x2
3 x 2 factor x 1( ) x 2( ) x2
x 1
2.20.4 การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2) โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
(x–1)*(x+2)
Space bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเมน
expand x 1( ) x 2( ) expand x
2x 2 .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 46
2.20.5 การหาคาลมต 1x
lim
2x + 2x + 4 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
Ctrl + L
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด Ctrl + L จะไดสญลกษณลมต
x^2Space bar+2*x+4Tab
xTab1
Space bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic แลวกด 1xx2
2 x 4lim
7 .
2.20.6 การหาพหนามเทยเลอรดกร k ของฟงกชน ตวอยางการหาพหนามเทยเลอรดกร 3 ของ sin(x)
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(x)
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก series บนแถบเครองมอ
Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 47
5Tab
หมายเหต
เลข 5 เปนการหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5
x sin x( ) series x 5 1 x1
6x3
เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5 ของ sin(x) คอ x – 6
x3
2.20.7 การหาผลการแปลงลาปลาซ ตวอยางเชน L{sin(t)} = 1s
12
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(t)
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก laplace บนแถบเครองมอ
Symbolic
t sin t( ) laplace t1
s2
1
2.20.8 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ตวอยางเชน }1s
1{L2
1
= sin(t)
พมพ ผลบนจอภาพ
1/s^2Space bar+1
Space barSpace bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad – 48
คลก invlaplace บนแถบเครองมอ
Symbolic
s 1
s2
1invlaplace s sin t( )
2.20.9 การแยกเศษสวนยอย ตวอยางเชนการแยกเศษสวนยอย )1x(x
1
= x1 –
1x1
พมพ ผลบนจอภาพ
1/x*(x+1)Space barSpace
bar
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก parfrac บนแถบเครองมอ
Symbolic
x 1
x x 1( )convert parfrac x
1
x
1
x 1( )
ในทานองเดยวกนจะไดวา
2 x3
5 x2
x 6
x2
4 x 3convert parfrac x 2 x 3
4
x 1( )
3
x 3( )
บทท 3.
การเขยนกราฟดวย Mathcad
โปรแกรม Mathcad มความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ
2 มต กราฟ 3 มต ฯลฯ ในบทท 3 นจะเปนทางานเกยวกบ การเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของ
กราฟทมทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม
ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดเชน
กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต
กราฟในพกดเชงขว กราฟ conture plot
8 4 0 4 825
255075
100100
25
x2
3 x 7
88 x
M
0
45
90
135
180
225
270
315
5
04 cos 2 x( )
x
M
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 50
3.1 การเขยนกราฟในพกด XY และการปรบรปแบบของกราฟ
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):2*x+3 f x( ) 2 x 3
x:0,0.1;10 x 0 0.1 10 .
คลก ทแถบเครองมอ
จะไดแถบเครองมอ Graph
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต กดเครองหมาย @
จะไดสญลกษณของการเขยน
กราฟ X-Y เหมอนกน
xTab
10Tab
หมายเหต 1. การกาหนด x:=0,0.1..10 แปลวาคา x มคาเปน 0, 0.1, 0.2, ... , 10
เพราะฉะนนมการเขยนกราฟทงหมด 101 จด
2. ในกรณทพมพเฉพาะ x และ f(x) โปรแกรม Mathcad กสามารถเขยนกราฟได
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 51
f(x)Tab
0Tab
0Tab
30
0 5 100
20
30
0
f x( )
100 x
หมายเหต กดสญลกษณ @ บนแปนพมพจะไดรปแบบของการเขยนกราฟเหมอนกน
ตอไปเราจะทาการเปลยนรปแบบกราฟใหไดหลายๆ แบบเชน
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 10
51015202530
30
0
f x( )
100 x
01 2 3 4 5 6 7 8 910
51015202530
30
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 52
การ Format รปแบบกราฟใหมลกษณะตาง ๆ มขนตอนดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
เลอกรปของกราฟทตองการ
เปลยนรปแบบ โดยการนาเมาส
ไปคลกทบรเวณของกราฟ
จะเกดกรอบคลมบรเวณกราฟ
คลก Format ทเมนบาร
เลอกเมนยอย Graph
เลอกเมนยอย X-Y Plot
จะไดเมนของการ Format กราฟดงน
หมายเหต วธทสะดวกทสดในการ Format กราฟคอ กดดบเบลคลก ในบรเวณกราฟทเราตองการจดรปแบบ
เมนยอยทมคอ X-Y Axes เมนยอยเกยวกบลกษณะของกรอบ และ สเกล
Traces เมนยอยเกยวกบลกษณะของเสนกราฟ สของกราฟ การพลอตจด
Labels เมนยอยเกยวกบการพมพชอของ แกน X แกน Y
Defaults เมนยอยของการกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ
X-Y Axes เมนยอยของการจดรปแบบเกยวกบแกนพกด
Log Scale ใชกาหนดวาแกน X หรอ แกน Y เปนสเกล log
Grids Lines ใชกาหนดวาตองการตเสน grid หรอไม
Numbered ใชกาหนดวาตองการพมพตวเลขทแกน X หรอ แกน Y หรอไม
Autoscale ใชกาหนดวาตองการในคอมพวเตอรคานวณสเกลใหหรอไม
Show Markers ใชกาหนดวาตองการใหพมพสญลกษณท Plot กราฟหรอไม
Auto Grid ใชกาหนดวาตองการกาหนดจานวน grid เองหรอไม
Boxed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟในกรอบสเหลยม
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 53
Crossed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟโดยไมมกรอบสเหลยมลอมรอบ
None เปนการกาหนดวาไมตองเขยนแกน X และ แกน Y
หมายเหต มเครองหมาย ถก ในชองสเหลยมแปลวาตองการเลอก Option นน
Traces เมนยอยของการจดรปแบบ
เกยวกบการพลอตจดของกราฟ
Legend Label ใชแสดงหมายเลขเสนกราฟ
Symbol ใชกาหนดสญลกษณในการเขยนจด
เชนใชเครองหมาย +, x
Line ใชกาหนดชนดของเสนกราฟ
เปนเสบทบ เสนปะ
Color ใชกาหนดสของเสนกราฟเปน
สดา สแดง สนาเงน
Type ใชกาหนดรปแบบของเสนกราฟ
เชน พลอตเปนจด พลอตเปนจดและโยงเสน
Weigth ใชกาหนดความเขมหรอความหนาของเสนกราฟโดยทความเขมเพมจาก 1 ถง 9
ตวอยางของทางเลอก (Options)
ทมใหเลอกดจากภาพน
หมายเหต
การเลอกใหคลกทบรเวณ
ของชองตรงตาแหนงหมายเลข 1
Label เมนยอยของการกาหนดคาอธบายเกยวกบแกนพกด
ตวอยางเชน
กาหนด Title เปน Graph of function y = f(x)
กาหนด Label ของแกน X เปน Value of X
กาหนด Label ของแกน Y เปน Value of Y
และเลอก Option Show Title
ดวยการ check box หนา Show Title ดวย
เสรจแลวคลก OK หรอทดลองคลก Apply
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 54
ภาพทไดคอ
Defaults เมนยอยกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ
ใชในการเลอกการ
การกาหนดลกษณะกราฟ (Format)
ตามทโปรแกรม Mathcad กาหนดไว
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณ
ของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 5 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y
ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 3 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
ขนท 3. คลก OK หรอ คลก Apply ภาพทไดคอ
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x0 5 10
0
20
30
0
f x( )
100 x
0 5 100
20
Graph of function y = f(x)
Value of x
Val
ue o
f y
30
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 55
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมายถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 10 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y
ใหเครองหมายถก หายไป
เพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 6 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
5. คลกทวงกลมหนา Crossed
ใหเกดจดดาในวงกลม
6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply
จะไดภาพตามทตองการ
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
01 2 3 4 5 6 7 8 910
51015202530
30
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x
01 2 3 4 5 6 7 8 910
51015202530
30
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 10
51015202530
30
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 56
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมาย ถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 10 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของแกน Y
ใหเครองหมาย ถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 6 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
5. คลกทชอง Grid Line ใหเกดเครองหมายถก
ทงของแกน X และแกน Y
6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply
จะไดภาพตามทตองการ
3.2 การยอและขยายขนาดของกราฟ
เขยนกราฟ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
เพอเปนตวอยางในการยอและขยาย
ขนตอนการยอและขยายขนาดกราฟ
ขนท 1. ลากเมาสเขาไปคลมบรเวณของกราฟ จะเกดกรอบสเหลยมทมเสนแบบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 57
ขนท 2. ขณะทกรอบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ ใหปลอยมอจะเกดสเหลยมขอบเสนตรงคลมกราฟ
ขนท 3. ลากเมาสไปยงจดสดาทขอบของกรอบสเหลยมจะเกด
สญลกษณ หรอ หรอ การยอหรอขยายทาไดโดยลาก
เมาส ขณะทเกดลกศรตรงขอบทเอาเมาสไปเลอกไว
1. ยอหรอขยายทางดานขาง
2. ยอหรอขยายทางดานบน และ ลาง
3. ยอหรอขยายทงสองดานพรอมกน
ตวอยางการยอหรอขยายเชน
3.3 การ COPY CUT และ PASTE กราฟ
เขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3
บนชวง [0, 10] เพอเปนตวอยาง
นาเมาสเขาไปคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดสเหลยมทมเสนทบคลมรป
กดฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C
เปนการ Copy กราฟรปน
เลอน Curser ไปทบรเวณนอกกราฟรปเดม
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005
1015202530
30
0
f x( )
100 x
01 23 45 6 78 91005
1015202530
30
0
f x( )
100 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
3030
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 58
กดฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V
เปนการ Paste กราฟท Copy
ไวลงตรงตาแหนงท Curser อย
ผลบนจอภาพคอ
หมายเหต หากตองการลบกราฟในกรอบทงทเลอกไว ใหกดฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X
การเคลอนยายรปของกราฟโดยการลากเมาส
ขนท 1. ลากเมาสมาทเสนกรอบสเหลยม จะเกดรปมอทขอบของรปสเหลยมทคลมกราฟ
ขนท 2. กดเมาสคางไวและลากเมาสไปดวย กราฟรปนนกจะเคลอนยายตาม
หมายเหต เมอเลอกบรเวณของสตรบนจอภาพ เชนผลการคานวณ รปกราฟ หรอบางสวนในสตร
การกด ฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณท copy ไว
3.4 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางของขอมลเชน
การเขยนแผนภาพการกระจายของ X และ Y
พมพ ผลบนจอภาพ
กาหนดขอมล x และ y
กาหนดจดเรมตน
ORIGIN:1
และกาหนดตว Subscript
i:1;5
x
2
5
7
11
15
y
4
10
25
32
38
ORIGIN 1 i 1 5 .
กดเครองหมาย @
หรอคลก
บนแถบเครองมอ Graph
x y
2 4
5 10
7 25
11 32
15 38
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 59
x[iTab
16Tab
y[iTab
0Tab
0Tab
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 60
40Tab
0 100
20
4040
0
yi
160 xi
กราฟทไดยงไมเปนแผนภาพการกระจาย ตอไปเราจะทาการ Format กราฟใหใหสวยงามและเหมาะสมเชน
การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Type การพลอตเปน points
3. เลอก Weight การพลอตเปน 3
0 4 8 12 16
10
20
30
4040
0
yi
160 xi
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 61
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Symbol การพลอตเปน box
3. เลอก Type การพลอตเปน lines
4. เลอก Weight การพลอตเปน 1
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
3.5 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
ตวอยางเชนการเขยนกราฟของเสนโคง
ทมสมการพาราเมตรก
x(t) = 80t
y(t) = –162t + 80t
บนชวง 0 t 5
0 4 8 12 16
510152025303540
40
0
yi
160 xi
t 0 0.1 5
x t( ) 80 t
y t( ) 16 t2
80 t
0 200 4000
100
y t( )
x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 62
ขนตอนการเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
พมพ ผลบนจอภาพ
t:0,0.5;5
x(t):80*t
y(t):-16*t^2Tab+80*t
t 0 0.5 5
x t( ) 80 t
y t( ) 16 t2
80 t
กด @
x(t)Tab
400Tab
y(t)Tab
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 63
–25Tab
0Tab
125
กราฟทไดสามารถจดรปแบบไดหลายลกษณะเชน
การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
0 100 200 300 40025
255075
100125
125
25
y t( )
4000 x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 64
ขนท 2. 1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 6
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Type การพลอตเปน points
3. เลอก Weight การพลอตเปน 3
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 6
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
4. เลอกแสดง Grid Lines ท Y–Axis
0 100 200 300 40025
255075
100125
125
25
y t( )
4000 x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 65
ขนท 3. 1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Symbol การพลอตเปน box
3. เลอก Type การพลอตเปน points
4. เลอก Weight การพลอตเปน 1
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
3.6 การเขยนกราฟของสมการในพกดเชงขว
ตวอยางเชนการเขยนกราฟของฟงกชน
r(t) = 5sin(2t) บนชวง ] 2 , 0[
วธทา
ขนตอนการเขยนกราฟพกดเชงขว
พมพ ผลบนจอภาพ
t:0,0.1;2*
r(t):5*sin(2*t)
t 0 0.1 2
r t( ) 5 sin 2 t( )
คลก ทแถบเครองมอ
จะไดแถบเครองมอ Graph
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต Ctrl + 7
จะไดสญลกษณของการเขยน
กราฟพกดเชงขว
tTab
t 0 0.1 2
r t( ) 5 sin 2 t( )
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
420
5
0r t( )
t
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 66
r(t)Tab
0Tab
หมายเหต 0 เปนคานอยทสด
ของ 5sin(2t)
5
หมายเหต 5 เปนคามากทสด
ของ 5sin(2t)
หมายเหต เราสามารถจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวโดยการกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนยอย
ของการจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวเปนดงน
เมนยอย Polar Axes
Log Scale กาหนดใหใชสเกล log
Grid Lines กาหนดใหตเสน grid
Number กาหนดใหมการเขยน
ตวเลขกากบสเกล
Show Markers กาหนดใหแสดงชนดของการ Plot
Auto Grid กาหนดจานวน Grid -ของแนวมม
และ แนวรศม
Perimeter กาหนดให Plot กราฟในแบบวงกลม
Crossed กาหนดให Plot กราฟ
ในแบบทมแกน X และ Y ตดกน
None เลอก Plot กราฟแบบไมมแกนพกด
เมนยอย Traces เมนยอย Labels เมนยอย Defaults
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 67
มหนาทเหมอนกราฟในพกดแกน XY (ดหวขอ 3.1) ตวอยางการจดรปแบบของกราฟและภาพของกราฟทได
3.7 การเขยนกราฟแบบ 3 มต
ตวอยางเชน กราฟของ f(x, y) = 2x –
2y บนชวง [–2, 2] [–2, 2]
การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 1.
พมพ ผลบนจอภาพ
x:-2,-1.99;2 x 2 1.99 2 .
y:-2;-1.99;2 y 2 1.99 2 .
f(x,y):x^2Space bar–y^2 f x y( ) x
2y
2 .
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต Ctrl + 2
จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ
3 มต
f
f.
0
45
90
135
180
225
270
315
543210
5
0r t( )
t
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 68
การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 2.
พมพ ผลบนจอภาพ
i:1;20 i 1 20 .
j:1;20 j 1 20 .
x[i:-2+0.2*i xi
2 0.2 i .
y[j:-2+0.02*j yj
2 0.2 j .
f(x,y):x^2Space bar–y^2 f x y( ) x2
y2
M[(i,j):f(x[iSpace bar,y[j) Mi j( )
f xi
yj
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต Ctrl + 2
จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ
3 มต
M
M
การจดรปแบบของการเขยนกราฟ 3 มต
ทาไดโดยการกดดบเบลคลกทรปของกราฟ
จะไดเมนยอยของการเขยนกราฟ 3 มตคอ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 69
เมน General
View ใชกาหนดเกยวกบมมมองของภาพ
Rotation กาหนดมมทหมนภาพ
องกบแกนมมฉาก ในการมองภาพ
Tilt กาหนดมมกม หรอ มมเงย
ของสายตาในการมองภาพ
Twist กาหนดมมทหมนภาพองกบแกนมมฉาก
ในการมองภาพ
Display As
Surface Plot กาหนดให plot กราฟแบบพนผว
Data Points กาหนดให plot กราฟแบบพนผวแบบกราฟแสดงขอมล
Bar Plot กาหนดให plot กราฟแบบ bar graph
Contour Plot กาหนดให plot กราฟแบบคอนทวร
Vector Field Plot กาหนดให plot สนามเวกเตอร
Patch Plot กาหนดให plot รปแบบพเศษ patch plot
Axes Style
Perimeter กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกด กราฟทดานลางของกราฟ
Corner กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกดในระบบพกด XYZ
None กาหนดใหไมแสดงแกนพกด
Frames
Show Border กาหนดใหแสดงขอบของรป
Show Box กาหนดใหแสดงกลองทคลมรป
เมน Axes
ใชกาหนดเกยวกบเสนของการเขยนกราฟ
X-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน X
Y-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Y
Z-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Z
เมน Apperarance
ใชในการกาหนดส การแรเงา ลกษณะเสน
ของการ plot กราฟ
เชน Alternate Mesh แสดงกราฟในรปแบบตาขาย
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 70
เมนยอย Graph Title
ใชกาหนดเกยวกบชอของกราฟ
เชนแสดงชอของกราฟ ชอของฟงกชน
โดยเลอกแสดงไวเหนอกราฟ ใตกราฟ
หรอไมแสดง
หมายเหต การหมนภาพพนผวสามารถทาไดโดยการนาเมาสไปดบเบลคลกทรป และนา pointer ชในกรอบรป
ของกราฟ การหมนภาพพนผวทาไดโดยใชการเคลอนทของเมาสเปนตวควบคม
ตวอยางของการเขยนกราฟแบบตาง ๆ
รปแบบการเลอกแบบท 1.
รปแบบการเลอกแบบท 2.
รปแบบการเลอกแบบท 3.
กราฟรปแบบ Contour Plot
M
M
M
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 71
3.8 ตวอยางการประยกตวธเขยนกราฟในรปแบบผสม
3.8.1 การเขยนกราฟ 2 เสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + x – 1
และ g(x) = 102x – 12
แนะนาการพมพ
การพมพสตรของฟงกชนบนแกน Y
เมอพมพ f(x) ทตาแหนงแกน Y แลว ใหกด ,
จะเปนการขนบรรทดใหม
ใหพมพ g(x) แลว กด Tab เพอเลอนไปตาแหนงอน ๆ ตอไป
ตวอยาง กราฟพกดเชงขว
ของ f(t) = 5 + 4sin(t)
และ g(t) = 12cos(2t)
3.8.2 การเขยนกราฟใหมลกษณะของการแรเงา
แนะนาการพมพ
กาหนดโดเมนของการ Plot ใหตางกน
แตใชสตรของ f เหมอนกน
กาหนดชวง x และ t ใหตางกน
บนแกน Y ใหพมพ f(x),f(t)Tab
และ บนแกน X ใหพมพ x,tTab เลอกรปแบบการ plot ของเสนกราฟ f(t) เปนแบบ bar graph
3.8.3 การเขยนกราฟของคลาดบ และ กราฟเสนในกรอบเดยวกน
แนะนาการพมพ ทแกน Y ใหพมพ y[i,f(t)Tab
ทแกน X ใหพมพ x[i,tTab
กราฟเสนท 1 เลอก Type ของการ plot เปน points
กราฟเสนท 1 เลอก Weight การ plot เปน 3 และ กราฟเสนท 2 เลอก Type ของการ plot เปน lines
2 1 0 1 2
15
15
3030
15
f x( )
g x( )
22 x
t 0 0.1 2
f t( ) 5 4 sin t( )
g t( ) 12 cos 2 t( )
0
45
90
135
180
225
270
315
12840
12
0
f t( )
g t( )
t
4 3 2 1 0 1 2 3 4
2
4
6
88
0
f x( )
f t( )
44 x t
ORIGIN 1
i 1 5x
3
5
10
15
22
y
12
35
57
63
74
f x( ) 3 x 14
t 0 0.1 30
0 5 10 15 20 25
16
32
48
64
8080
0
yi
f t( )
250 xi t
x 2 1.9 2
f x( ) x3
x 1
g x( ) 10 x2
12 .
f x( ) x2
x 4 3.99 4.
t 2 1.9 2.5
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 72
3.8.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 เสนพรอมกน
แนะนาการพมพ การพมพบนแกน X ใหพมพ x(t), z(t)
การพมพบนแกน Y ใหพมพ y(t), w(t)
กาหนดรปแบบการ Plot ของเสน 1 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนวงกลม
กาหนดรปแบบการ Plot ของเสนท 2 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนสเหลยม
3.8.5 การเขยนกราฟโดยการกาหนดฟงกชนทตาแหนงของแกน และ รปแบบอน ๆ
กราฟของ )x2sin(e3y x กราฟของ y = sinx และ )x2sin(e3y x
กราฟของ x = cosy กราฟของ r = 8cos(2t) และ r = 6(cost + sint)
t 0 0.5 10
x t( ) 80 t
y t( ) 10 t2
100 t
z t( ) 60 t
w t( ) 15 t2
150 t
0 200 400 600 800100
100
200
300
400400
100
y t( )
w t( )
8000 x t( ) z t( )
y 1 0.99 4
2 1 0 1 21
1
2
3
4
y
cos y( )
t 0 0.01 2
0
45
90
135
180
225
270
315
1086420
8 cos 2 t( )
6 cos t( ) sin t( )( )
t
x 0 0.01 6
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
3 ex sin 2 x( )
x
x 0 0.01 6
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
3 ex sin 2 x( )
sin x( )
x
บทท 4.
การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad
ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เชนการพมพสตรคานวณทมความ
ยงยากซบซอน การแกไขสตรทพมพผด การเปลยนแปลงขนาดตวแปร ตวอกษร ตวเลข และการกาหนด
ขอความหรอคาอธบายตาง ๆ ฟงกชนทสาคญทางคณตศาสตร และ ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร
4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข
การกาหนดตาแหนงของทศนยม
คา default ของการแสดงผลทศนยมกาหนดใหแสดง 3 ตาแหนง
การแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง
คา default ของการแสดงผลการคานวณทใหญหรอเลกเกนไปจะแสดงเปนเลขยกกาลง
การกาหนดฐานของตวเลขในการคานวณ
คา default ของการแสดงผลการคานวณโดยทวไปจะคดเปนเลขฐาน 10
ตวอยางเชน
วธเปลยนรปแบบการแสดงผลของตวเลข
ขนท 1. เลอนเมาสไปท Menu Bar คลกท Format จะไดแถบคาสง
ใหเลอกคาสง Result
จะไดเมนยอยของการ Format ตวเลขและการแสดงผลเปนดงน
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 74
เมน Result Format
เมนยอย Number Format
General
Number of decimal places
เลอกวาตองการแสดงผลกตาแหนง
โดยการเปลยนคาในชองตวเลข
Show trailing zeros
กาหนดให ตดศนยทายเลขทศนยม
ทงไปหรอใหแสดงออกมาดวย
Show exponents in engineering format ตองการแสดงผลเปนเลขยกกาลงหรอไม
Exponential threshold ใชกาหนดคา k , k = 1, 2, 3, ... , 15 เพอกาหนดเงอนไขในการแสดงผลตวเลข
ถาตวเลขทตองการแสดงผลมคาสงกวาหรอตากวา k
10
แลวใหแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง
เมนยอย Display Options
Matrix display style
เลอกการแสดงผลของตวแปร
ในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ หรอรปแบบตาราง
Imaginary value
เลอกสญลกษณแทนจานวนเชงซอน 1 เปน i หรอ j
Radix
เลอกการแสดงผลตวเลขเปนเลขฐาน 10, 2, 8 หรอ ฐาน 16
เมนยอย Unit Display
Format units
กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณ
Simplify units when possible
กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณตามความเหมาะสมของผลการคานวณทได
เมนยอย Tolerance
Complex threshold
กาหนดการแสดงผลเกยวกบจานวนเชงซอน
กาหนดคา k = 0, 1, 2, 3, ... , 63
ตวอยางเชน k = 10 ถา 1010
)zIm()zRe( แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Re(z)
ถา 1010
)zRe()zIm( แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Im(z)
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 75
Zero threshold
กาหนดการแสดงของตวเลขวา
ตองการปดเปนศนยหรอไม
k = 0, 1, 2, 3, ... , 307
การแสดงผลของตวเลขจะปดเปนศนยถาคาของตวเลขนนตากวา k10
ตวอยาง 008333.01201
จะแสดงผลตามคาของ Zero threshold ดงน
Zero threshold การแสดงผล
3 1
1200.008333 .
2 1
1200 .
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 76
ตวอยางการแสดงผลแบบเมทรกซกบรปแบบตาราง
ตวอยางผลลพธทเลอกใชคา Complex threshold
Complex threshold ผลการคานวณทแสดงผลออกมา
10 1
120
1
2i 8.333 10
3 0.5i .
1 1
120
1
2i 0.5i
1
4
1
150i 0.25
2 1
120
1
2i 8.333 10
3 0.5i .
Predefined Math Constants คอคาคงตวทโปรแกรม Mathcad กาหนดไวใหมดงน
สญลกษณ ตวแปร การพมพ คาตวเลข
Ctrl + Shift + z 307101
e e e 2.71828182845905 .
Ctrl + Shift + p 3.14159265358979 .
i 1i 1
j 1j 1
% % A% มคา = 100A
เชน 27 % 0.27 .
ORIGIN ORIGIN:k ORIGIN k .
กาหนดคา Subscript เรมตนของตวแปร
TOL TOL:0.000...01 คาท Mathcad กาหนดคอ TOL = 0.001
เราสามารถกาหนดเปนคาอน ๆ ได เชน
TOL 0.00001 .
CTOL CTOL:0.000...01 คาตวเลขทใชควบคมความถกตองของการ
หาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยางเชนการหารากสมการ 2x – 2 = 0 ซงมคาราก x = 2
TOL 0.01 .
x 1 root x2
2 x 1.413828
TOL 0.000001 .
x 1 root x2
2 x 1.414214
คา TOL นอยคารากทไดจะถกตองมากขน คาสง root(f(x),x) คอรากของสมการ f(x) = 0
ORIGIN 1 i 1 3 j 1 3 xi j( )
i j .
x
2
3
4
3
4
5
4
5
6
x
1 2 3
1
2
3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 77
4.2 การพมพสตรทยงยากซบซอน
การพมพสตรทางคณตศาสตรทมความยงยากซบซอนเชน 2
2z
e2
1)z(f
มแปนอกขระชวยในการพมพคอ
Space bar ใชขยายบรเวณของเสนตงฉาก (บรเวณเสนสนาเงนทคลมสตร) คราวละหนงขนตอน
แปนลกศร ใชเลอนตาแหนงของ Curser หรอ เสนตงฉาก ทอยในบรเวณสตร
แปนลกศร ใชยกเลกบรเวณของเสนตงฉากทกาลงคลมสตร
ตวอยางการพมพสตร 2
2z
e2
1)z(f
พมพ ผลบนจอภาพ
f(z):1
\
2*
2*Ctrl + Shift + p
Space bar
เสนตงฉากขยายมาคลมเลข 2
Space bar
เสนตงฉากขยายมาคลม
Space bar
เสนตงฉากขยายมาคลมทงเศษและสวน
*
e^
–z^2
เสนตงฉากคลมเฉพาะเลขกาลง 2
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 78
Space bar
เสนตงฉากขยายคลม 2z
/
เฉพาะบรเวณเสนตงฉากคลมเทานนทถกหาร
2
f z( )1
2 e
z2
2
หมายเหต f(z) เปนฟงกชนทชวยในการหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน เชน P(–1 z 1) = 0.6827
4.3 การลบ การคดลอก สตร ตวแปร และ ตวเลข
ใน Mathcad จะมอง สตร ตางๆ เปนบรเวณทลอมดวยกรอบสเหลยม
เมอทาการกดเมาสคางไว
แลวลากเมาสเขาไปทบรเวณของสตร
จะเหนกรอบสเหลยมคลมสตร
เมอปลอยมอกจะมกรอบสเหลยมคลมสตรทงหมด
และ มเสนตงฉากคลมสตรตวจรงภายใน
เชน ลากเมาสไปคลมสตร x + y = 17
ขณะนเราไดทาการเลอกบรเวณของสตรแลว
ขณะนเราสามารถทาการ copy , cut , paste หรอ เคลอนยายสตรได ดวยการกด
การกด ฟงกชนคย F2 หรอ Ctrl + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F3 หรอ Ctrl + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F4 หรอ Ctrl + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณทเลอกไว
f z( )1
2 e
z2
2
z 4 3.99 4
t 1 0.9 1
1
1
zf z( )
d 0.6827 4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.5
0
f z( )
f t( )
44 z t
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 79
การเคลอนยายสตรทาไดโดยการนาเมาสไปขอบของสเหลยม เมอเรากดเมาสคางไวกจะเปนรปมอทขอบ เมอเรา
ลากเมาสไป กรอบสเหลยมทคลมสตรกจะยายตามไปดวย
4.4 การแกไขเกยวกบการพมพผด
เนองจาก Mathcad จะทาการจดรปแบบการพมพใหเหมาะสมตลอดเวลา ดงนนการทเราจะทาการลบอกษร
บางตวดวย Backspace หรอ Delete หรอการพมพแทรก Insert ภายในสตรอาจจะทาใหรปแบบของ
สตรขณะนนเปลยนแปลงไป อยางไรกตามหากเรามความชานาญในการเอา Pointer ไปชตองตาแหนงทเรา
ตองการ ลบ หรอ พมพแทรก กจะทาใหการแกไขทาไดสะดวกมากขน และทางเลอกสดทายสาหรบผทเรมตนใช
Mathcad ขอใหพมพใหมดทสด หรอพมพอยางชาตามคาแนะนา เมอชานาญแลวคอยพมพใหเรวขน
ตวอยางการแกไขสตรจาก 2
2z
e2
1)z(f
เปน
4ze2
)z(f
พมพ ผลบนจอภาพ
เอา Pointer ไปชทเลข 1 ของสตร
f z( )1
2 e
z2
2
Backspace
2
เอา Pointer ไปชทเลข 2 ของสตร
ในเครองหมาย
Backspace
Delete
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 80
Delete
เอา Pointer ไปชทเลข 2 ของสตร
ทเปนตวหาร 2z
BackspaceDelete
Delete
4 f z( )
2
e
z4
4.5 การทา Remark ใน Mathcad
ในการทางานเราสามารถเขยนคาอธบายเพอเปนหมายเหต
ประกอบสตรคานวณ และ/หรอ คาอธบายของตวโปรแกรม ตวอยางเชน
ในตวอยางน Program 1 addition เปนหมายเหตของตวโปรแกรมซง Mathcad เรยกขอมลแบบนวา Text
การพมพขอมลแบบ Text ใน Mathcad
พมพ ผลบนจอภาพ
“
Program 1 Addition
PageDown Program 1 addition
หมายเหต กด จะไดบรเวณสเหลยมสาหรบพมพขอความ
ในบรเวณกรอบของ Text การกด Enter คอการขนบรรทดใหมภายในกรอบ
การออกจากบรเวณของ Text ตองกด PageDown
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 81
4.6 การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบของตวอกษร และ ตวเลข
การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบตวอกษรตวเลข วธทาคลายกบการใชโปรแกรม Microsoft Word หรอ Excell
แตในโปรแกรม Mathcad จาแนกรปแบบออกเปน 3 กลมคอ
1. กลมตวเลข
2. กลมตวอกษร
3. กลมตวเลข และ ตวอกษรทอยในบรเวณของ Text
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท text
2. ชองแสดงชนดเปน Normal
3. Font ของ text คอ Arial
4. ขนาดของ Font เปน 10 point
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท ตวแปร a
2. ชองแสดงชนดเปน Varibles
3. Font ของ Variables คอ Time New Roman
4. ขนาดของ Font เปน 12 point
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท ตวเลข
2. ชองแสดงชนดเปน Constants
3. Font ของ Constants คอ Tahoma
4. ขนาดของ Font เปน 14 point
การเปลยน Fonts หรอ ขนาดของ Fonts
ขนท 1. ใหนา pointer ไปคลกท Text, Variables หรอ Constants
ขนท 2. เลอกชนดของ Fonts เปน Time New Roman , Tahoma ตามทตองการ
ขนท 3. เลอกขนาดของ Fonts เปน 8, 10, 12, ... ตามทตองการ
ตวอยางเชน การเปลยน Text Variables และ Constants เปน Tahoma 12
Program additiona 1b 2a b 3
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 82
4.7 การหารากสมการ และผลเฉลยของระบบสมการและการควบคมความถกตอง
การคานวณเกยวกบการหารากของสมการ เชนการใชคาสง root หรอ การหาคาตอบของระบบสมการดวย
ชดคาสง Given...Find โปรแกรม Mathcad จะตรวจความถกตองวาคาตอบทไดนนถกตองมากหรอนอย โดย
การตรวจสอบคาคลาดเคลอนกบคาของ TOL และ CTOL ซงเปนตวแปรทกาหนดคาไวลวงหนาแลวเปน
0.001 ดงนนหากเราตองการความถกตองมากขนจะตองลดคาของ TOL หรอ CTOL ใหเลกลงเชนกาหนด
TOL = 0.0000001 หรอ CTOL = 0.00000001
การหารากของสมการ f(x) = 0
ขนท 1. กาหนดสตร f(x)
ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก
ขนท 3. กาหนดคา TOL
ขนท 4. ใชคาสง root(f(x),x)
ตวอยางการหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2Spacebar–2 f x( ) x
22 .
x:1 x 1 .
TOL:0.1 TOL 0.1 .
root(f(x),x)= root f x( ) x( ) 1.406654 .
TOL:0.000001 TOL 0.000001 .
root(f(x),x)= root f x( ) x( ) 1.414214 .
หมายเหต คาจรงทถกตอง 14 ตาแหนงของรากสมการ 2x – 2 = 0 คอ 2 1.4142135623731 .
เมอเขาสโปรแกรม Mathcad ครงแรกคาของ TOL กาหนดไวเทากบ 0.001
การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยชดคาสง Given...Find
ขนท 1. กาหนดคา TOL
ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก
ขนท 3. ใชคาสง Given
ขนท 4. พมพระบบสมการ
ขนท 4. ใชคาสง Find
ตวอยางการหาจดตดของเสนตรง y – x = 0 กบ วงกลม 2x +
2y = 1
พมพ ผลบนจอภาพ
CTOL:0.00001 CTOL 0.00001 .
x:1 x 1 .
y:1 y 1 .
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 83
Given Given .
y-xCtrl+=0 x y 0 .
x^2Spacebar–+y^2
SpacebarCtrl+=1
x2
y2
1 .
Find(x,y)= Find x y( )
0.7071054437
0.7071054437
.
หมายเหต เมอเราลดขนาดของ CTOL ผลการคานวณจะถกตองมากขน ตวอยางเชน
หมายเหต พกดจดตดทแทจรงคอ (x = 0.707106781186547 , y = 0.707106781186547)
4.8 การบนทกแฟมขอมล Mathcad และ เรยกแฟมขอมลขนมาทางาน
เมอเรมทางานครงแรกกบ Mathcad จะเหนวาชอแฟมของงานทเราทาจะมชอทโปรแกรม Mathcad กาหนดคอ
[Untitled: 1] สมมตงานทเราทาขณะนคอ โปรแกรมการหารากสมการ
4.8.1 การบนทกแฟมขอมล
ขนท 1. คลกท File และเลอก คาสง Save
จะไดเมนยอยของการบนทกแฟม
ขนท 2. พมพชอแฟม
ตามทตองการเชน Findroot
CTOL 0.00001
x 1
y 1
Given
x y 0
x2
y2
1
Find x y( )0.707105443654304
0.707105443654304
.
CTOL 0.0000001
x 1
y 1
Given
x y 0
x2
y2
1
Find x y( )0.707106776742374
0.707106776742374
.
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 84
ขนท 4. คลกท Save
จะเหนวา [Untitled: 1] กลายเปน [Findroot] แลว
4.8.1 การเรยกแฟมขอมลเกาขนมาทางาน
สมมตขณะนจอภาพของเราวาง
เนองจากเขามาส Mathcad ครงแรก
ขนท 1. คลกท File และเลอกคาสง Open
จะไดเมนยอยของการเปดแฟม
ขนท 2. พมพชอแฟมทตองการเปดคอ Findroot
ขนท 3. คลก Open จะไดแฟมขอมลทตองการ
หมายเหต คาสง File\New.. คาสง File\Save As.. คาสง File\Close.. มลกษณะใชงานเหมอนกบการทางาน
ทวไปของระบบ Windows
บทท 5.
การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad
ในบทนจะเปนการนาคาสงตางของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการเขยนโปรแกรมเพอเพม
ความสามารถในการคานวณใหมากขน แผนภมสายงานทใชในการคานวณเปนดงน
เรมตน
กาหนดคาตางๆ ของตวแปร
คานวณคาตางๆ ตามสตร
แสดงผลการคานวณ
จบการทางาน
โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c
แนวคดของโปรแกรมภาษา Mathcad คอการนา คาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน
แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน
สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ
Program 1. Find area of triangle
a 3b 4c 5
sa b c
2
Area s s a( ) s b( ) s c( )
Area 6
a 3b 4c 5
sa b c
2
Area s s a( ) s b( ) s c( )Area 6
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 86
เมอเราเปลยนคา a, b, c ใหมกจะไดผลการคานวณใหมดงน
โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A
โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
โปรแกรมท 4. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม
แลวพนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaa
det()21(
13131212
a 5
b 12
c 13
sa b c
2
Area s s a( ) s b( ) s c( )
Area 30
Program 2. Find inverse and adjoint matrix of A
A1
5
2
9
adjA A A1
A 1 A1 9
5
2
1
adjA9
5
2
1
Program 3. Find root of complex number
ORIGIN 0 a 81 b 0 i 1 z a b i n 4 r z
arg z( ) k 0 n 1 k 2 k
n x
knr cos k i sin k
xk
3
3i
-3
-3i
k
0
1
2
3
Program 4. Find area of triangle
a1 0 b1 0 a2 5 b2 0 a3 0 b3 12 .
Area1
2
a2 a1
a3 a1
b2 b1
b3 b1
Area 30
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 87
โปรแกรมท 5. การหาคาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน
โปรแกรมท 6. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0
โปรแกรมท 7. การเขยนกราฟของ f(x) และ )x(f '
โปรแกรมท 8. การหาความนาจะเปน
มลกบอลทงหมด N = 20 ลก เปนสดา k = 5 ลก
หยบออกมาพรอมกน n = 4 ลก
P(x) = ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสดา x ลกเทากบเทาใด
Program 5. Find mean and standard deviation
ORIGIN 1
x
2
5
7
11
15
n length x( )
i 1 n
xbar1
n
i
xi
n xbar 8 sd
1
n
i
xi 2
nxbar
2 sd 4.561
Program 6. Find distance from (xo,yo) to line ax+by+c = 0
a 3 b 4 c 10 xo 2 yo 5
distancea xo b yo c
a2
b2
distance 7.2
Program 8. Find Probability P(x)
C n r( )n
r n r N 20 k 5 n 4 x 0 n P x( )
C k x( ) C N k n x( )
C N n( )
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
5
5
10
15
2020
10
f x( )
fpi x( )
45 x
Program 7. Graph of f(x) and f '(x)
f x( ) x2
4 x 5 fpi x( )xf x( )d
d
x 5 4.99 4
x
0
1
2
3
4
P x( )
0.2817
0.4696
0.2167
0.0310
0.0010
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 88
โปรแกรมท 9. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน
การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3
2x – 4x +6, 0x = 1 สตรการหารากคอ
)x(f
)x(fxx
n'
nn1n
โปรแกรมท 10. การคานวณคาเจาะจงและเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ
โปรแกรมท 11. การคานวณคาความยาวเสนโคง
การหาความยาวเสนโคง r(t) = (62t , 4 2 t, 3
4t ) จาก t = –1 ถง t = 2
โปรแกรมท 12. การหารากของพหนามระดบขน 2 เชนการหารากของสมการ 2x + 2x –3 = 0
Program 10. Find eigen value and eigen vector of A
A1
2
1
2
eigenvals A( )0
3
eigenvec A 0( )0.707
0.707
eigenvec A 3( )0.447
0.894
Program 11. Find length of curve
t1 1 t2 2 x t( ) 6 t2
y t( ) 4 2 t3
z t( ) 3 t4
t1
t2
ttx t( )( )d
d
2
ty t( )( )d
d
2
tz t( )( )d
d
2
d 81
Program 12. Find root of polynomial degree 2
a 1 b 2 c 3
x1b b
24 a c
2 a x2
b b2
4 a c
2 a
x1 3 x2 1
Program 9. Find root of f(x) = 0 using Newton's Method
ORIGIN 0 f x( ) x3
3 x2
4 x 6 fpi x( )xf x( )d
d x
04 n 0 10 .
xn 1 x
n
f xn
fpi xn
n 1 5xn
-4.30000000
-4.26739384
-4.26697468
-4.26697461
-4.26697461
n
1
2
3
4
5
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 89
Program 14. Find area from z = a to z = b
a 1 b 2 f z( )1
2 e
z2
2
z 4 3.99 4 t a a 0.06 b
P a b( ) cnorm b( ) cnorm a( ) P a b( ) 0.1359
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
f z( )
f t( )
z t
โปรแกรมท 13. การหารากของพหนามระดบขน 3 เชนสมการ 3x – 6 2x + 3x + 10 = 0
เพราะฉะนนรากสมการคอ 5, –1, 2
โปรแกรมท 14. การหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน จาก z = a ถง z = b
โปรแกรมท 15. การหาสมการวงกลมทผานจด 3 จดทกาหนดให
จงหาสมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3)
Program 12. Find root of polynomial degree 3
ORIGIN 1 i 1 3 p 6 q 3 r 10 a1
33 q p
2 b
1
272 p
3 9 p q 27 r
A
3
b
2
b2
4
a3
27 B
3
b
2
b2
4
a3
27
x1
A B( )p
3 x
15
x2
A B
2
A B
2
3
p
3 x
21
x3
A B
2
A B
2
3p
3 x
32
Program 15. Find circle
x2
y2
25
25
25
x
3
3
4
y
4
4
3
1
1
1
1
0 8 x2
8 y2
200 0 .
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 90
สมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3) คอ 8 x2
8 y2
200 0 .
จงหาสมการวงกลมทผานจด (1, 1), (1, –1), (–1, 1)
สมการวงกลมคอ 4 x2
4 y2
8 0 .
โปรแกรมท 16. การหาสมการทรงกลมทผานจด 4 จดทกาหนดให
ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 2, 3), (–1, 2, 3), (1, –2, 3), (1, 2, –3)
สมการทรงกลมคอ 48 x2
48 y2
48 z2
672 0 .
ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 1, 1), (–1, 1, 1), (1, –1, 1), (1, 1, –1)
สมการทรงกลมคอ 8 x2
8 y2
8 z2
24 0 .
Program 15. Find circle
x2
y2
2
2
2
x
1
1
1
y
1
1
1
1
1
1
1
0 4 x2
4 y2
8 0 .
Program 16. Find conic equation
x2
y2
z2
14
14
14
14
x
1
1
1
1
y
2
2
2
2
y
3
3
3
3
1
1
1
1
1
0 48 x2
48 y2
48 z2
672 0 .
Program 16. Find conic equation
x2
y2
z2
3
3
3
3
x
1
1
1
1
y
1
1
1
1
y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 8 x2
8 y2
8 z2
24 0 .
บทท 6.
การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad
ในบทนจะเปนการนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATHCAD มาใชในการคานวณเพอเสรมการ
เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม.4 – ม.6
6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ
5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
3 4 7 3 4 1 3 4 123
40.75
34
81 3 1.732532 2
x 1 3 f x( ) x2
x
1
2
3
x
1.0000
1.4142
1.7321
f x( )
1
4
9
y
2
5
7
f y( )
4
25
49
y3 8
125
343
x 3 2.99 3 f x( ) 2 x 3
3 2 1 0 1 2 33
3
6
9
f x( )
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 92
4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10
จากฐาน 8 เปนฐาน 10 32o 26
จากฐาน 16 เปนฐาน 10 12h 18
ตวอยางการคานวณหาผลบวกและผลคณ
5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 012
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ
3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา
4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก
ตวอยางการคานวณ
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
การเขยนกราฟของวงกลม (x - 2)2 + (y + 3)
2 = 16
2h 2h 4 8h 8h 16 8h 9h 17 12o 13h 190
4o 4o 8 5o 3o 8 10h 10o 24 12o 12h 12 40
12 x3
16 x2
5 x 3 factor 2 x 3( ) 2 x 1( ) 3 x 1( )
2 x 3( ) 2 x 1( ) 3 x 1( ) expand 12 x3
16 x2
5 x 3
3 2 1 0 1
10
5
5
10
1515
10
f x( )
0
13 x
f x( ) 6 x3
11 x2
4 x 4
x 3 2.99 2
t 0root f t( ) t( ) 0.5
t 2
root f t( ) t( ) 0.667
x 2 1.99 6
y1 x( ) 3 16 x 2( )2
y2 x( ) 3 16 x 2( )2
4 2 0 2 4 6 8
8
6
4
2
22
8
y1 x( )
y2 x( )
84 x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 93
การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x
81
การเขยนกราฟของวงร 12)1y(
4)2x( 22
การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x
5y 22
2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ
3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา
การเปลยน องศา เปน เรเดยน การเปลยน เรเดยน เปน องศา
x 4 3.99 4
y x( )1
8x2
4 2 0 2 4
1
1
2
33
1
y x( )
44 x
x 4 3.99 0
y1 x( ) 1 2 1x 2( )
2
4
y2 x( ) 1 2 1x 2( )
2
4
5 4 3 2 1 0 1
2
1
1
2
3
44
2
y1 x( )
y2 x( )
15 x
x 4 3.99 4
y1 x( ) 5 1x2
4
y2 x( ) 5 1x2
4
4 2 0 2 4
6
4
2
2
4
66
6
y1 x( )
y2 x( )
44 x
x 1 3 f x( ) x2
3 g x( ) 3 x 2
x
1
2
3
f x( )
4
7
12
g x( )
5
8
11
f g x( )( )
28
67
124
g f x( )( )
14
23
38
degree 0 45 90 radian degree( )degree
180 .
degree
0
45
90
radian degree( )
0.0000
0.7854
1.5708
radian 1 3 degree radian( )radian
180 .
radian
1
2
3
degree radian( )
57.2958
114.5916
171.8873
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 94
4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก
sin
3
0.866 cos
6
0.866 tan
4
1
sin 30 deg( ) 0.5 cos 45 deg( ) 0.707 tan 30 deg( ) 0.577
sec 1 csc
4
1.414 cot
4
1
ORIGIN 1
x
2
3
5
10
AM
1
4
i
xi
4 GM
1
4
i
xi
1
4
HM1
1
6
1
4
i
1
xi
AM 5 GM 4.162 HM 5.294
x 2 2 0.001 2
6.28 3.14 0 3.14 6.28
1.51
0.5
0.51
1.5
sin x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
1.51
0.5
0.51
1.5
cos x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
5
5
tan x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
5
3
1
1
3
5
cot x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
4
2
2
4
sec x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
4
2
2
4
csc x( )
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 95
6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 013
1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต
2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต
2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
2 3
2 39.899
2 3
2 3factor 5 2 2
1
2 3
1
2
12 27 3 6.928 12 27 3 factor 4 3
1
2
a3
b3
a4
b4
factor
a2
a b b2
a b( ) b
2a2
x 2 1.99 4
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
0.5x
x
2 1 0 1 2 3 4
4
8
12
16
2x
x
3 2n
4 2n 2
2n
2n 1
expand 43 2
n 4 2
n 2
2n
2n 1
simplify 4 .
x xx 0.1 0.11 6
0 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
log x 2( )
x
0 1 2 3 4
2
1
1
2
3
4
log x1
2
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 96
หมายเหต log(x, 2) คอลอการทมฐาน 2
3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90deg atan 1( ) 0.785 acsc 1( ) 1.571 acot 1( ) 135deg
acos 0.5( ) 1.047 asec 2( ) 1.047 asec 2( ) 60deg acos 0.5( ) 1.047 asec 2( ) 1.047
x 1 0.99 1
1 0.5 0 0.5 1
1.57
0.79
0.79
1.57
asin x( )
x
1 0.5 0 0.5 1
1.57
3.14
acos x( )
xx 10 9.99 10
10 5 0 5 10
1.57
0.79
0.79
1.57
atan x( )
x
10 5 0 5 10
0.79
1.57
2.36
3.14
acot x( )
xx 10 9.99 10
10 5 0 5 10
1.57
0.79
0.79
1.57
acsc x( )
x
10 5 0 5 10
0.79
1.57
2.36
3.14
asec x( )
x
x 1 4x
1
2
3
4
log x( )
0
0.301
0.477
0.602
log x 2( )
0.0000
1.0000
1.5850
2.0000
2x
2
4
8
16
0.2x
0.2000
0.0400
0.0080
0.0016
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 97
5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ เมทรกซสลบเปลยน คากาหนดของเมทรกซ
การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชกฎคราเมอร
2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชคาสง Given...Find
2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
การดาเนนการเบองตนกบเมทรกซหรอการแปลงแถวของเมทรกซ
แถวท 2 ถกบวกดวย แถวท 1 สลบกบแถวท 2 คาคงตว 10 คณแถวท 2
–2 เทาของแถวท 1
6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 014
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z
3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
6. การหาพนทใตโคงปกต
A2
5
3
8
B5
4
8
7
A 1 AT2
3
5
8
A B7
9
11
15
A B22
57
37
96
4 A8
20
12
32
A1 8
5
3
2
x
1
2
3
8
2
5
3
8
x 2 y
2
5
1
2
2
5
3
8
y 1
x 0 y 0 Given 2 x 3 y 1
5 x 8 y 2 Find x y( )2
1
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2 .
A2
5
3
8
A1 j( )
4 A1 j( )
A8
5
12
8
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2.
A2
5
3
8
tempj
A1 j( )
A1 j( )
A2 j( )
A2 j( )
tempj
A5
2
8
3
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2.
A2
5
3
8
A2 j( )
A2 j( )
2( ) A1 j( )
A2
1
3
2
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 98
z 16 r z arg z( ) k 0 3 x k( )4r cos
2 k
4
i sin 2 k
4
k
0
1
2
3
x k( )
1.414+1.414i
-1.414+1.414i
-1.414-1.414i
1.414-1.414i
ตวอยางการคานวณ
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z
3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
u3
4
v5
12
u v8
16
4 u12
16
u v 63 u 5
i1
0
j0
1
u 3 i 4 j u3
4
u 5 4 u12
16
i 1 z 3 4 i w 5 12 i z w 8 16i z w 33 56i z 5
z
w0.101 0.041i arg z( ) 0.785 arg z( ) 45deg Re w( ) 5 Im w( ) 12
x
2
3
5
10
mean x( ) 5 median x( ) 4 stdev x( ) 3.082 var x( ) 9.5
u1
0
v1
1
angle acosu v
u v
angle 0.7854 angle 45deg .
i
1
0
0
j
0
1
0
k
0
0
1
u 2 i 3 j 6 k v 3 i 2 j 6 k .
v
3
2
6
u
2
3
6
u 7 u v
30
6
13
u v 36
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 99
0 5 10 15 20 25 30
1
1
22
1
an
300 n
1
10
i
i
55
1
10
i
i2
385
1
10
i
2 i 3( )2
2290 .
1
n
i
i
1
2n 1( )
2
1
2n
1
2
1
n
i
i
factor1
2n n 1( )
6. การหาพนทใตโคงปกต
หมายเหต cnorm(k) = พนทใตโคงปกตตงแต - ถง k
P(a, b) = cnorm(b) – cnorm(a) = พนทใตโคงปกตตงแต a ถง b
6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 015
1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ
2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต
4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง
5. การเขยนกราฟของ f, f 6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง
ตวอยางการคานวณ
1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ
2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
z 4 3.99 4 t 0 .04 2
f z( )1
2 e
z2
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5.5
0
f z( )
f t( )
44 z t
n 1 30
an
11( )n
n
cnorm 1( ) 0.8413 cnorm 2( ) 0.9772
P a b( ) cnorm b( ) cnorm a( ).
P 1 2( ) 0.1359 P 0 2( ) 0.4772 P 0 1( ) 0.3413
n1
1( )n
nlim
1
n
2 n 1
3 n 3lim
2
3
n
2 n2
1
n2
3lim
2 .
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 100
0h
x h( )2
x2
hlim
2 x0h
x h( )3
x3
hlim
3 x2
xx2d
d2 x
xx3d
d3 x
2
2xx3d
d
26 x .
3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต
4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง
5. การเขยนกราฟของ f, f
6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล
และ การหาพนทใตโคง
1x2 x 1lim
3
1x
x2
1
x 1lim
20x
x
xlim
1
0x
25 x 5
xlim
1
10
x 3 2.99 7 f x( ) x3
6 x2
x 30 t 1 1.05 2
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
20
10
40
f x( )
f t( )
x t
1
2
xf x( )
d 18.25
3
5
xf x( )
d 8
1
t
xx2
x 1
d1
3t3
1
2t2
t11
6
0
t
xx x2
1
d1
3t2
1 3
2
1
3
1
n
i
i2
1
3n 1( )
3
1
2n 1( )
2
1
6n
1
6
1
n
i
i2
factor1
6n n 1( ) 2 n 1( ) .
0
4
xx
d 80
3
xx2
2
d 15 xx
d1
2x2
xx2
2
d1
3x3
2 x .
x 4 3.99 4 f x( ) 2 x3
3 x2
12 x 7 .
4 2 0 2 420
20
40
60
80
100
120
f x( )
xf x( )
d
d
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 101
6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 016
1. การคานวณ n!, rn P , r
nC และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต และ ใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad
3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณ n!, rn P , r
nC และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
n 5 r 1 n nPr n r( )n
n r( ) nCr n r( )
n
r n r( )
r
1
2
3
4
5
r
1
2
6
24
120
nPr n r( )
5
20
60
120
120
nCr n r( )
5
10
10
5
1
a b( )3expand a
33 a
2 b 3 a b
2 b
3
a b( )4expand a
44 a
3 b 6 a
2 b
2 4 a b
3 b
4
a b( )5expand a
55 a
4 b 10 a
3 b
2 10 a
2 b
3 5 a b
4 b
5
2 x y( )5expand 32 x
5 80 x
4 y 80 x
3 y
2 40 x
2 y
3 10 x y
4 y
5
ORIGIN 1 i 1 5
x
2
3
5
12
18
y
22
32
55
64
92
0 5 10 15 20
20406080100
100
0
yi
200 xi
1
5
i
xi
40
1
5
i
xi 2
506
1
5
i
yi
265
1
5
i
yi 2
17093
1
5
i
xiyi
2839
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 102
3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต
การหาคา m และ c โดยใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad
3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c
6.7 Mathcad กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance
ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ Mathcad เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ Entrance ซงมขอสอบ
Entrance เปนจานวนมากทเราอาจจะหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะได
คาตอบ
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.
0x
lim 3x
1 [ x1 – x1 – )x1)(x1( 2 + )x1)(x1( 2 ] มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 41
3. 21 4. 1
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
m 0 c 0 Given 5 c 40 m 26540 c 506 m 2839
Find m c( )3.866
22.075
m slope x y( ) m 3.866
c intercept x y( ) c 22.075
t 0 0.1 20 ycap t( ) m t c
0 5 10 15 20
20
40
60
80
100
yi
ycap t( )
xi t
0x
1
x3
1 x 1 x 1 x( ) 1 x2
1 x( ) 1 x2
lim
1
2
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 103
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2546 ขอ 11.
ถา xsin1
1
+ xsin1
1
= 8 โดยท x 23 แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 213
2. 213
3. 2
13 4.
213
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2.
2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน 2sin 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2545 ขอ 12.
คาของ 1
47tan
23eccos
43tan
67sec
37sin4
เทากบขอใดตอไปน
1. 25 2.
23
3. 23 4.
25
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
TOL 0.000001 x root1
1 sin x( )
1
1 sin x( ) 8 x
240deg
x root1
1 sin x( )
1
1 sin x( ) 8 x
x 240deg
sin x( ) cos 2 x( ) tan 3 x( ) 1.366
3 1
20.366
3 1
21.366
3 1
21.366
3 1
20.366
1
90
n
1( )nsin n deg( )
2
0.5
4sin7
3
sec
7
6
tan3
4
csc
3
2
tan7
4
1
1.5
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 104
ขอสอบคณตศาสตร 1. ตลาคม 2545 ขอ 22.
กาหนดให f(x) = 2x – 2 x และ g(x) = 2x + 1
( fg )(–3) + ( gf )(3) เทากบขอใดตอไปน
1. –132 2. –84
3. 84 4. 132
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน ( fg )(–3) + ( gf )(3) = –24 + 108 = 84
ขอสอบคณตศาสตร 2. ตลาคม 2545 ขอ 8.
ให x เปนจานวนจรง ซง 0 x 2
ชวงททาให sec x – tan x 0 และ sec x + tan x 0 คอชวงในขอใดตอไปน
1. (0, ) 2. (2 ,
23 )
3. (0, 2 ) (,
23 ) 4. (0,
2 ) (
23 , 2)
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน ชวงททาให sec x – tan x 0 และ sec x + tan x 0 คอ (0, 2 ) (
23 , 2)
f x( ) x2
2 x
g x( ) x2
1
x 3xg f x( )( )d
d24
x 3xf g x( )( )d
d108
x 0 0.001 2
10
10
sec x( ) tan x( )
sec x( ) tan x( )
x
บทท 7.
การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad
ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา
ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการคานวณจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทท 7
จงนา Mathcad มาเสรมการคานวณคณตศาสตรระดบอดมศกษาจาแนกเปนกลมตางๆ ดงน
1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข
4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง
7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathcad
7.1.1 การคานวณคาลมต
7.1.2 การคานวณอนพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
0x
x 4 2
xlim
simplify1
4
0h
1
h
1
2 h
1
2
lim
simplify1
4
0x
x sin x( )
1 cos x( )lim
simplify 2
2x
x2
1
2 x 4lim
simplify
x
x2
4
x 4lim
simplify 12x
x2
1
2 x 4lim
simplify
xx3
x2
1 d
dsimplify 3 x
2 2 x
xx sin x( )d
dsimplify sin x( ) x cos x( )
x 1 f x( ) x3
x2
1xf x( )d
d5
2x
f x( )d
d
28
x2 x
2 y
3 x
3 d
d4 x y
3 3 x
2
y2 x
2 y
3 x
3 d
d6 x
2 y
2
x x2 x
2 y
3 x
3 d
d
d
d4 y
3 6 x
y y2 x
2 y
3 x
3 d
d
d
d12 x
2 y
x y2 x
2 y
3 x
3 d
d
d
d12 x y
2
y x2 x
2 y
3 x
3 d
d
d
d12 x y
2
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 106
7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f และ f
7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]
7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน sin(x)
x 4 3.999 4 f x( ) x3
x2
4 x 4
4 3 2 1 0 1 2 3 4
30
20
10
10
20
30
40
f x( )
xf x( )
d
d
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
30
20
10
10
20
30
40
f x( )
xf x( )
d
d
2x
f x( )d
d
2
x
sin x( ) series x 5 1 x1
6x3
sin x( ) series x 6 1 x1
6x3
1
120x5
f x( ) x2
4 x 6 n 10
a 1 b 3 i 1 n
hb a
n x
0a x
ixi 1 h
S
1
n
i
f xi x
ixi 1
S 4.68
f x( ) x2
4 x 6 n 100
a 1 b 3 i 1 n
hb a
n x
0a x
ixi 1 h
S
1
n
i
f xi x
ixi 1
S 4.6668
0
3
xx2
d 90
xsin x( )
d 21
t
xx2
d1
3t3
1
3
xx2
d simplify1
3x3
xsin x( )
d simplify cos x( ) xln x( )
d x ln x( ) x .
yxx2
y
d
d1
6x3
y2
0
t
y0
s
xx2
y
d
d1
6t2
s3
0
3
y0
2
xx2y
d
d 12
a
b
xf x( )
d 4.667 .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 107
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน cos(x)
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน arctan(x)
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) = 2x1
1
7.1.7 การกาหนดคา ฟงกชนทนยามตางกนเปนเปนชวงๆ และการเขยนกราฟ
ตวอยาง f(x) =
4x232x0x
ตวอยาง f(x) =
x4,44x2,x2x0,2
7.1.8 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos2 และ r = 5sin
0
45
90
135
180
225
270
315
543210
5
04 cos 2 ( )
0
45
90
135
180
225
270
315
6420
6
05 sin ( )
f x( ) if x 2 x 3( ) x 0 4 x
0
1
2
3
4
f x( )
0
1
3
3
3
f x( ) if x 2 2 if x 4 x 4( )( )
x 1 5 x
1
2
3
4
5
f x( )
2
2
3
4
4
1
1 x2
series x 5 1 1 x2
1 x4
1
1 x2
series x 7 1 1 x2
1 x4
1 x6
.
atan x( ) series x 5 1 x1
3x3
atan x( ) series x 7 1 x1
3x3
1
5x5
.
cos x( ) series x 3 11
2x2
cos x( ) series x 5 11
2x2
1
24x4
.
x 0 0.01 5
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
f x( )
x
x 0 0.01 5
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
f x( )
x
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 108
7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x –
2y
7.1.10 การเขยนกราฟของสวนโคง
เชนเสนโคงทเปนรอยทางของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 t 2
7.1.11 การหาพนทระหวางเสนโคง
เชน การหาพนทระหวาง f(x) = 2x + x – 1 และ g(x) = 4x + 3
7.1.12 การคานวณคาความยาวสวนโคง ตวอยางเชน
การหาความยาวเสนโคง r(t) = (62t , 4 2 3t , 3
4t ), –1 t 2
คานวณโดยตรง
หรอใชสตร
3 2 1 0 1 2 3 4 55
5
10
15
2020
5
f x( )
g x( )
53 x
t 0 0.01 2 x t( ) t y t( ) t2
1
2
tt
6 t2
d
d
2
t4 2 t
3 d
d
2
t
3 t4
d
d
2
d 81
x t( ) 6 t2
y t( ) 4 2 t3
z t( ) 3 t4
1
2
tt
x t( )( )d
d
2
ty t( )( )d
d
2
t
z t( )( )d
d
2
d 81
0 1 2
12345
5
0
y t( )
20 x t( )
x 2 1.9 2
y 2 1.9 2
f x y( ) x2
y2
f
.
f x( ) x2
x 1 g x( ) 4 x 3 x 3 2.99 5 .
x 0 root f x( ) g x( ) x( ) 1
x 5 root f x( ) g x( ) x( ) 4
1
4
xg x( ) f x( )( )
d 20.833
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 109
7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathcad
7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก
7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ dxdy
– 2xy = x
สมการเชงเสน dxdy
+ P(x)y = Q(x) มสตรผลเฉลย y = C) + dx)x(Qe(edx)x(Pdx)x(P
เพราะวา P(x) = –2x และ Q(x) = x เพราะฉะนนผลเฉลยดวยการคานวณของ Mathcad คอ
7.2.3 การหารอนสเกยน ตวอยางเชนการหารอนสเกยนของ x xe , 2x xe
เพราะฉะนน W(x xe , 2x xe : x) = 2x x2e
7.2.4 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง กาหนดสมการเชงอนพนธ 2
2
dx
yd + 3
dxdy
– 4y = 0 และ y(0) = 1, y(0) = –5
จงหาคาของ y(1)
หมายเหต สญลกษณ ใน Mathcad ทใชในการพมพ
.
y' 0( ) 5 ไดจากการพมพ Ctrl+F7
0 2 4 6 8 10
5
3
1
1
3
5
5
5
x t( )
0
100 t
x t( ) 4 sin 3 t
3
t 0 0.001 10 .
e
x2 x
d
xe
x2 x
d
x( )
d C
expand1
2exp x
2 C .
x ex
xx e
xd
d
x2
ex
xx2
ex
d
d
x2
exp x( )2
Given
2x
y x( )d
d
23
xy x( )d
d 4 y x( ) 0
y' 0( ) 5
y 0( ) 1
y Odesolve x 3( )
y 1( ) 0.518
0 1 2 3
1
0.5
0.5
11
1
y x( )
30 x
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 110
t2
et
laplace t2
s 1( )3
sin t( ) laplace t1
s2
1
2
s 1( )3
invlaplace s t2
exp t( )1
s2
1invlaplace s sin t( ) .
f x y( ) 1 x x0
0 y0
1 c 1 n 10000 i 1 n hc x
0
n
xi
xi 1 h y
iy
i 1 h f xi 1 y
i 1 yn
2.49995
7.2.5 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน
7.2.6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธดวยวธของออยเลอร (Euler’s method)
ตวอยางเชนกาหนด y = 1 + x และ y(0) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1)
สตรของออยเลอร ny = 1ny + hf( 1nx , 1ny ) เมอ f(x, y) = y, 0x = 0, 0y = 1
หมายเหต สมการ y = 1 + x และ y(0) = 1 มผลเฉลย y(x) = x + 2
x2 + 1 และ y(1) = 2.5
7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathcad
7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)
การคานวณดวย Mathcad แบบท 1.
การคานวณดวย Mathcad แบบท 2. ใชคาสง lspline, pspline, cspline และ interp
หมายเหต lspline, pspline, cspline และ interp เปนฟงกชนสาเรจรปทใชประมาณเสนโคงเมอกาหนดจดผาน
ORIGIN 1 i 1 6 t 0 0.1 20
x
3
6
8
11
15
17
y
4
13
6
10
13
18
m slope x y( )
c intercept x y( )
liney x( ) m x c
0 5 10 15 20
5
10
15
2020
0
yi
liney t( )
200 xi t
Vs lspline x y( )
liney t( ) interp Vs x y t( )
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t
Vs pspline x y( )
liney t( ) interp Vs x y t( )
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t
Vs cspline x y( )
liney t( ) interp Vs x y t( )
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 111
7.3.2 การหารากของสมการ
ตวอยาง การหาราก 2x – 5 = 0
เพราะฉะนนรากสมการ 2x – 5 = 0 คอ x = 2.23607, –2.23607
การหารากของสมการ sinx – cosx = 0
เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0
คอ x = 0.785398 เรเดยน หรอ x = 45 องศา
7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
x + y + z = 12 2x +
2y = 25
x – y + z = 4 x + y = 7
x + y – z = 2 การคานวณดวย Mathcad
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน x = 4, y = 3
เพราะฉะนน x = 3, y = 4, z = 5
7.3.4 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy
และผานจด ( 0x , 0y )
โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx , ny + hf( nx , ny ))
เมอ h = nxc 0
, 1nx = nx + h
จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy
และผานจด (0, 0)
หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282
7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathcad
7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ
f x( ) x2
5 x 2.5 root f x( ) x( ) 2.23607
x 2.5 root f x( ) x( ) 2.23607
A3
4
5
6
B4
6
7
8
A B7
10
12
14
A B42
52
61
76
A1 3
2
2.5
1.5
A 2
TOL 0.000001 x 0 root sin x( ) cos x( ) x( ) 0.785398
root sin x( ) cos x( ) x( ) 45deg
x 0 y 0 z 0
Given x y z 12
x y z 4
x y z 2
Find x y z( )
3
4
5
x 0 y 0
Given x2
y2
25
x y 7
Find x y( )4
3
ORIGIN 0 f x y( ) x y x0
0 y0
0 c 1 n 1000
hc x
0
n i 1 n x
ixi 1 h i 0 n 1
yi 1 y
ih
2
f xi
yi
f xi 1 y
ih f x
iy
i y
n0.718281 .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 112
7.4.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 10
4x – 5y = –2
การคานวณดวย Mathcad
7.4.3 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง
ตวอยางเชน การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของ A =
3104
7.4.4 การหาสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะของ A =
4231
การคานวณดวย Mathcad
7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ
แบบท 1. แถวท 1 คณดวย –2
แบบท 2. สลบแถว 1 กบ 2
แบบท 3. แถว 1 ถกบวกดวย 5 เทา ของแถวท 2
7.4.6 การแปลงเชงเสน
ตวอยาง การหาผลการแปลงเชงเสน T(x, y, z) = (–2y – 6z, 3y + 7z, x – 2y – 5z )
7.4.7 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt
ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =
111
, 2v =
110
, 3v =
100
} การคานวณดวย Mathcad มขนตอนดงน
x 0 y 0 Given 2 x 3 y 10
4 x 5 y 2
Find x y( )2
2
A4
1
0
3
eigenvals A( )3
4
eigenvec A 3( )0
1
eigenvec A 4( )0.707
0.707
A1
2
3
4
1
2
3
4
0 2 5 2
0
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2
A1
3
2
4
A1 j( )
A1 j( )
5 A2 j( )
A16
3
22
4
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2
A1
3
2
4
Tempj
A1 j( )
A1 j( )
A2 j( )
A2 j( )
Tempj
A3
1
4
2
T x y z( )
0
0
1
2
3
2
6
7
5
x
y
z
T 1 0 0( )
0
0
1
T 0 1 0( )
2
3
2
T 0 0 1( )
6
7
5
ORIGIN 1 i 1 2 j 1 2
A1
3
2
4
A1 j( )
2 A1 j( )
A2
3
4
4
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 113
เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =
577.0577.0577.0
, 2u =
408.0408.0816.0
, 3u =
707.0707.00
}
7.4.8 การหาสมการภาคตดกรวยทผานจดทกาหนดให
การหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (4, 5)
การคานวณดวย Mathcad
สมการเสนตรงคอ –2x + 3y – 7 = 0
การหาสมการพาราโบลาทผานจด (-1, 2), (2, 5) และ (4, 10)
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนสมการพาราโบลาคอ
27x – 30y + 32x + 84 = 0
หรอ
54x – 75y + 32y + 192 = 0
การหาสมการวงกลมทผานจด (3, 4), (-3, 4) และ (-4, 3)
การคานวณดวย Mathcad
สมการวงกลมคอ –502x –50
2y + 1250 = 0
v1
1
1
1
v2
0
1
1
v3
0
0
1
u1v1
v1 u1
0.577
0.577
0.577
w2 v2 v2 u1 u1 w2
0.667
0.333
0.333
u2w2
w2 u2
0.816
0.408
0.408
w3 v3 v3 u2 u2 v3 u1 u1 w3
0
0.5
0.5
u3w3
w3 u3
0
0.707
0.707
x
1
4
y
3
5
1
1
1
0 2 x 3 y 7 0 .
x
1
2
4
y
2
5
8
x2
1
4
16
1
1
1
1
0 27 x 30 y 3 x2
84 0 .
x
1
2
4
y
2
5
8
y2
4
25
64
1
1
1
1
0 54 x 75 y 3 y2
192 0 .
x2
y2
25
25
25
x
3
4
3
y
4
3
4
1
1
1
1
0 50 x2
50 y2
1250 0 .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 114
การหาสมการไฮเพอรโบลาทผานจด (1, 1), (–1, 1), (2, -4) และ (-4, 3)
การคานวณดวย Mathcad
สมการไฮเพอรโบลาคอ –122x – 84
2y + 432y – 336 = 0
การหาสมการวงรทผานจด (5, 0), (–5, 0), (0, -4) และ (0, -4)
การคานวณดวย Mathcad
สมการวงรคอ 12802x + 2000
2y – 32000 = 0
7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathcad
7.5.1 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
หมายเหต ฟงกชน dbinom(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p)
7.5.2 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
หมายเหต ฟงกชน dpois(x, ) มคาเทากบ !x
e x เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
0.2 x 0 2 p x( )e
x
x x
0
1
2
p x( )
0.8187
0.1637
0.0164
dpois x 0.2( )
0.8187
0.1637
0.0164
x2
1
1
4
16
y2
1
1
16
4
x
1
1
2
4
y
1
1
4
2
1
1
1
1
1
0 12 x2
84 y2
432 y 336 0 .
x2
25
25
0
0
y2
0
0
16
16
x
5
5
0
0
y
0
0
4
4
1
1
1
1
1
0 1280 x2
2000 y2
32000 0 .
n 4 p 0.2 x 0 n b x n p( )n
x n x( )p
x 1 p( )
n x .
x
0
1
2
3
4
b x n p( )
0.4096
0.4096
0.1536
0.0256
0.0016
dbinom x n p( )
0.4096
0.4096
0.1536
0.0256
0.0016
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 115
7.5.3 การเขยนกราฟของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง z, t, f, 2
Normal distribution
Standard Normal distribution
หมายเหต X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน
dnorm(x, , ) =
2)x
(21
e21
pnorm(k, , ) = dxe21
2)x
(21k
= P(– X k)
qnorm(A, , ) = คาของ k ททาให pnorm(k, , ) มคาเทากบ A
t distribution
z 4 3.99 4 f z( )1
2 e
z2
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
f z( )
z
4 3 2 1 0 1 2 3 4
dnorm z 0 1( )
z
4 2 x 4 3.99 12 f x( )1
2 e
1
2
x
2
4 2 0 2 4 6 8 10 12
f x( )
x
4 2 0 2 4 6 8 10 12
dnorm x 4 2( )
x
dnorm 1 4 2( ) 0.0648
pnorm 4 4 2( ) 0.5
qnorm 0.5 4 2( ) 4
v 14 t 5 4.99 5
dt 2 14( ) 0.0595
pt 2 14( ) 0.9674h t( )
v 1
2
v
2
v
1t2
v
v 1
2
qt 0.9674 14( ) 2
h 2( ) 0.0595
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 116
หมายเหต t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร
dt(t, ) = 212
)vt1(
)2
(
)2
1(
ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมท
pt(k, ) = dt)vt1(
)2
(
)2
1(2
12k
= P(– t k)
qt(A, ) = คาของ k ททาให pt(k, ) มคาเทากบ A
Chi-square distribution
หมายเหต 2 เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร
dchisq(x, ) = 2x
2
2
ex
)2
(2
1
ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร
pchisq(k, ) = 2x
2
2
k
0
ex
)2
(2
1
= P(– 2 k)
qchisq(A, ) = คาของ k ททาให pchisq(k, ) มคาเทากบ A
v 15 x 0 0.1 40
dchisq 10 15( ) 0.0629
f x( )1
2
v
2
v
2
x
v
21
e
x
2
pchisq 10 15( ) 0.1803
qchisq 0.1803 15( ) 10
f 10( ) 0.0629
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.02
0.04
0.06
0.08
f x( )
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.02
0.04
0.06
0.08
dchisq x 15( )
x
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
h t( )
t
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
dt t 14( )
t
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 117
F distribution
หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1 และ 2
dF(f, 1 , 2 ) =
221
2
121
121
21
2
121
)f1)(2
()2
(
f))(2
(
ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ
pF(k, 1 , 2 ) = df
)f1)(2
()2
(
f))(2
(
221
2
121
121
21
2
121k
0
= P(– F k)
qF(A, 1 , 2 ) = คาของ k ททาให pF(k, 1 , 2 ) มคาเทากบ A
7.5.4 การหาคาเฉลย และ ความแปรปรวนของตวแปรสมชนดตอเนอง
X เปนตวแปรสมชนดตอเนองทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน f(x) = 3
x 2 เมอ –1 x 2
เพราะฉะนนตวแปรสม X มคาเฉลย เทากบ 1.25 และ ความแปรปรวนเทากบ 0.6375
v1
4 v2
10 f 0 0.005 8
dF 3 4 10( ) 0.0577h f( )
v
1v
2
2
v1
v2
v1
2
f
v1
21
v
1
2
v2
2
1v
1
v2
f
v1 v2
2
pF 3 4 10( ) 0.9277
qF 0.9277 4 10( ) 3
h 3( ) 0.0577
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
h f( )
f
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
dF f 4 10( )
f
f x( )x2
3
1
2
xx f x( )
d 1.25 variance1
2
xx 2 f x( )
d variance 0.6375
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 118
4.5 5 5.5 6 6.5 72
3
4
ln yi
ln xi 4.5 5 5.5 6 6.5 7
2
3
4
ln yi
ln xi
x
x2
t1
1 t2
d atan x2 atan x( )
1
x
tt
d1
2x2
1
2
x 1
x
tt
dd
dx
x
x
x2
t1
1 t2
dd
d2
x
1 x4
1
1 x2
7.5.5 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ
สมการถดถอยคอ y = a + bx = 0.25 + 8.55x
สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043
7.5.6 การเขยนแผนภาพกระจายขอมลไดหลายๆ แบบ
แผนภาพการกระจายของขอมล
สเกลบนแกน (X, Y) และ (lnY, lnX)
แผนภาพการกระจายของขอมล สเกลบนแกน (lnX, Y) และ (lnY, X)
7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathcad
7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ORIGIN 1 i 1 8
x
150
235
432
511
645
759
834
915
y
10
12
15
23
32
34
36
38
4.5 5 5.5 6 6.5 7
10
20
30
40
yi
ln xi 0 200 400 600 800 1000
2
3
4
ln yi
xi
x
1
3
5
7
9
y
14
23
35
64
79
a intercept x y( ) a 0.2500
b slope x y( ) b 8.5500
r corr x y( ) r 0.9804
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 119
7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคา
7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล
หมายเหต J0(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 0, J1(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 1, Jn(v, x) คอ ฟงกชนเบส
เซลอนดบ v
7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2
n
n
n)1x(
dx
d
!n2
1
x 0.1 0.101 5 2( ) 1 3( ) 2 1.772454
0 1 2 3 4 5
510152025
x( )
x
1
2
1.772454 3
2
0.886227
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
x 0 0.01 10 J0 0( ) 1 J1 0( ) 0 Jn 1 0( ) 0 Jn 2 0( ) 0
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
J0 x( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
J1 x( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
Jn 1 x( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
Jn 2 x( )
x
1
21
1 xx2
1 d
d x
1
22
22
xx2
1 2d
d
2
3
2x2
1
2
3x
x4 d
d
324 x
x yy x( )
2x y( )
2 d
d
d
d8 y x
x yln x
2y
2 d
d
d
d4
y
x2
y2
2 x .
x ysin x( ) cos y( )( )d
d
d
dcos x( ) sin y( )
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 120
7.6.7 การหาสมประสทธ 0a , na , nb ของอนกรมฟเรยร
ตวอยาง f(x) = x และ f(x + 2) = f(x)
ตวอยาง f(x) = 2x และ f(x + 2) = f(x)
การเขยนกราฟของ f(x) และ อนกรมฟเรยรทหาได
7.6.8 การคานวณปรพนธตามเสนโคง
การหาคา C
dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = t + i2t , 1 t 2
การหาคา C
dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = cost + isint , 4 t
2
3.14 1.57 0 1.57 3.14
3.14
1.57
1.57
3.14
f x( )
S n x( )
x
i 1 z t( ) t i t2
f z( ) z
1
2
tf z t( )( )tz t( )d
d
d 6 7i
i 1 z t( ) cos t( ) i sin t( ) f z( ) z
4
2
tf z t( )( )tz t( )d
d
d 0.5 0.5i
f x( ) x1
xf x( )
d expand 01
xf x( ) cos n x( )
d expand 0 .
1
xf x( ) sin n x( )
d expand2
n2
sin n
2
ncos n
f x( ) x2
1
xf x( )
d expand2
3
2
1
xf x( ) sin n x( )
d expand 0 .
1
xf x( ) cos n x( )
d expand 2
n sin n
4
n3
sin n
4
n2
cos n
f x( ) x ORIGIN 0 n 0 5
.a
01
xf x( )
d an
1
xf x( ) cos n x( )
d bn
1
xf x( ) sin n x( )
d
Sn x( )a
0
21
5
n
an
cos n x( ) bn
sin n x( )