2.4.2 平面向量

数量积的坐标表示、模、夹角

一、复习引入

.cos;0

)2(

cos)1(

2

ba

bababa

aaaaaa

baba

；或

我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算 , 那么怎样用 a b a b

和的坐标表示 呢？

二、新课学习

1 、平面向量数量积的坐标表示

如图， 是 x 轴上的单位向量， 是 y轴上的单位向量，

由于 所以

i j

cosa b a b

x i

j

y

o

B(x2,y2) a

b

A(x1,y1)

ii jj

ijji

. .

.

1 1

0

下面研究怎样用.baba 的坐标表示和

设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2), 则a b

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

,

( ) ( )

a x i y j b x i y j

a b x i y j x i y j

x x i x y i j x y i j y y j

x x y y

故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即

i

j

x o

B(x2,y2)

A(x1,y1)

ab

y

.2121 yyxxba

根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

；或 aaaaaa 2

)1(

221

221

2211

22222

))

),,(),

2

,),,(

)1(

yyxxAB

yxByxA

yxayxayxa

（（则

、（设）两点间的距离公式（

；或则设

向量的模

2 、向量的模和两点间的距离公式

0 baba（ 1 ）垂直

0

),,(),,

2121

2211

yyxxba

yxbyxa 则（设

3 、两向量垂直和平行的坐标表示

0//

),,(),,

1221

2211

yxyxba

yxbyxa 则（设（ 2 ）平行

4 、两向量夹角公式的坐标运算

ba

ba

ba

cos

1800

则

），（的夹角为与设

0.0

.cos)180(0

),,(),,

22

22

21

21

22

22

21

21

2121

2211

yxyx

yxyx

yyxx

bayxbyxa

，其中

则

，夹角为与且（设

三、例题分析例 1： .),4,6(),7,5( baba

求设

2)4()7()6(5 ba解：

想一想

的夹角有多大？ba,

.

),4,2(),3,2( (2)

）（）则（

已知

baba

ba

2 2

2 2

(0,7), (4, 1)

0 4 7 ( 1) 7.

13 20 7

a b a b

a b a b

a b a b a b

a b

法一：

（ ）（ ）

法二：（ ）（ ）

例 2 已知 A(1 ， 2) ， B(2 ， 3) ， C(-2 ，5) ，

试判断 ABC 的形状，并给出证明 .

A(1,2)

B(2,3)

C(-2,5)

x0

y

.ABC是直角三角形三角形

)1,1()23,12(AB: 证明

)3,3()25,12(AC

031)3(1ACAB

ACAB

练习 2 ：以原点和 A （ 5 ， 2 ）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ， B=90 ，求点 B 的坐标 .

yB

A

O x），或（

），的坐标为（答案：

2

3

2

72

7

2

3

B

四、逆向及综合运用 例 3 （ 1 ）已知 = （ 4 ， 3 ），向量 是垂直于 的单位向量，求 .

a ba b

.//)2,1(,102 的坐标，求，且）已知（ ababa

.4

3)5,(),0,3(3

的值求

，的夹角为与，且）已知（

k

bakba

.532222222

).5

4,

5

3()

5

4,

5

3(1

k

bb

））；（，）或（，）（（

或）答案：（

提高练习

的坐标为，则点

，，且，、已知

CABBC

OBACOBOA

//)5,0()1,3(1

)3

29,3(C

2 、已知 A(1 ， 2) 、 B(4 、 0) 、 C(8 ，6) 、 D(5 ， 8) ，则四边形 ABCD 的形状是 .

矩形

3 、已知 = (1 ， 2) ， = (-3 ， 2) ，

若 k +2 与 2 - 4 平行，则 k = .

a baa b b - 1

小结

１、理解各公式的正向及逆向运用；

２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；

３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。