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2.5 窄带随机过程. 随机过程通过以 fc 为中心频率的窄带系统的输出,即是窄带过程。所谓窄带系统,是指其通带宽度 Δf
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2.5窄带随机过程
随机过程通过以 fc 为中心频率的窄带系统的输出,即是窄带过程。所谓窄带系统,是指其通带宽度 Δf<<fc ,且 fc 远
离零频率的系统。实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪声又是随机的,则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形,则如图 2 - 6(b) 所示,它是一个频率近似为 fc ,
包络和相位随机缓变的正弦波。
图 2-6 窄带过程的频谱和波形示意
£ fc O
S ( f )
f f
fc f
(a )
tO
S ( f ) 缓慢变化的包络 [a ( t ) ]
频率近似为 fc
(b )
因此,窄带随机过程 ξ(t) 可用下式表示 :
ξ(t)=aξ(t) cos [ ωct+φξ(t) ] , aξ(t)≥0 (2.5 - 1) 等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.5 - 2)
其中 ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) (2.5 - 3)
ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) (2.5 - 4)
式中 , aξ(t) 及 φξ(t) 分别是 ξ(t) 的随机包络和随机相位, ξc(t) 及 ξs(t) 分别称为 ξ(t) 的同相分
量和正交分量, 它们也是随机过程, 显然它们的变化相对于载波 cosωct 的变化要缓慢得多。
由式( 2.5 - 1 )至 (2.5 - 4) 看出, ξ(t) 的统计特性可由 a
ξ(t) , φξ(t) 或 ξc(t),ξs(t) 的统计特性确定。反之,如果已知 ξ
(t) 的统计特性则可确定 aξ(t),φξ(t) 以及 ξc(t) , ξs (t) 的统计
特性。
2.5.1同相和正交分量的统计特性
设窄带过程 ξ(t) 是平稳高斯窄带过程,且均值为零, 方差为 σ2ξ 。下面将证明它的同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 也是零均值的平稳高斯过程,而且与 ξ(t) 具有相同的方差。
1. 数学期望
对式( 2.5 - 2 )求数学期望 :
E [ ξ(t) ] =E [ ξc(t) ] cosωct-E [ ξs(t) ] sinωct
(2.5 - 5) 可得
E [ ξc(t) ] =0
E [ ξs(t) ] =0 (2.5 - 6)
2. 自相关函数
Rξ(t, t+τ)=E [ ξ(t)ξ(t+τ) ]
=E {[ ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct ]
· [ ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ) sinωc(t+τ)]}
=Rc(t, t+τ) cosωct cosωc(t+τ)-Rcs(t, t+τ) cosωctsinωc(t+τ)
-Rsc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t, t+τ) sinωctsinωc(t+τ)
式中
Rc(t, t+τ)=E [ ξc(t)ξc(t+τ) ]
Rcs(t, t+τ)=E [ ξc(t)ξs(t+τ) ]
Rsc(t, t+τ)=E [ ξs(t)ξc(t+τ) ]
Rs(t, t+τ)=E [ ξs(t)ξs(t+τ) ]
因为 ξ(t) 是平稳的,
故有 Rξ(t, t+τ)=R(τ)
这就要求式( 2.5 - 7 )的右边也应该与 t 无关, 而仅与时间间隔 τ 有关。 若取使 sinωct=0 的所有 t 值,则式( 2.5
- 7 )应变为
Rξ(τ)=Rc(t, t+τ) cosωcτ-Rcs(t, t+τ)sinωcτ (2.5 - 8)
这时,显然应有
Rc(t, t+τ)=Rc(τ)
Rcs(t, t+τ)=Rcs(τ)
所以,式( 2.5 - 8 )变为
Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ) sinωcτ (2.5 - 9)
再取使 cosωct=0 的所有 t 值,同理有
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (2.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ)
Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知, 如果窄带过程 ξ(t) 是平稳的,则 ξc(t) 与 ξs(t) 也必将是平稳的。
进一步分析, 式( 2.5 - 9 )和式( 2.5 - 10 )应同时成立,
故有 Rc(τ)=Rs(τ) (2.5 - 11)
Rcs(τ)=-Rsc(τ) (2.5 - 12)
可见,同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 具有相同的自相关函数,而且根据互相关函数的性质,应有
Rcs(τ)=Rsc(-τ)
将上式代入式( 2.5 - 12 ),可得
Rsc(τ)=-Rsc(-τ) (2.5 - 13)
同理可推得
Rcs(τ)=-Rcs(-τ) (2.5 - 14)
式( 2.5 - 13 )、( 2.5 - 14 )说明, ξc(t) 、 ξs(t) 的
互相关函数 Rsc(τ) 、 Rcs(τ) 都是 τ 的奇函数,在 τ=0 时
Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)
于是, 由式( 2.5 - 9 )及式( 2.5 - 10 )得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15)
于是,由式( 2.5 - 9 )及式( 2.5 - 10 )得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16)
即 σ2ξ=σ2c=σ2s (2.5 - 17)
这表明 ξ(t) 、 ξc(t) 和 ξs(t) 具有相同的平均功率或方差(因为均值为 0 )。
另外,因为 ξ(t) 是平稳的,所以 ξ(t) 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量, 故在式( 2.5 - 2 )中有
取 t=t1=0 时, ξ(t1)=ξc(t1)
取 t=t2=3π2ωc 时, ξ(t2)=ξs(t2)
所以 ξc(t1) , ξs(t2) 也是高斯随机变量,从而 ξc(t) 、 ξs
(t) 也是高斯随机过程。又根据式( 2.5 - 15 )可知, ξc(t) 、 ξs(t) 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量, 因而它们还是统计独立的。
上所述,我们得到一个重要结论:一个均值为零的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ,它的同相分量 ξc(t) 和正交分量 ξs(t) 也是平稳高斯过程, 而且均值都为零,方差也相同。此外, 在同一时刻上得到的 ξc 和 ξs 是互不相关的或统计独立的。
2.5.2包络和相位的统计特性
由上面的分析可知, ξc 和 ξs 的联合概率密度函数为
f(ξc, ξs)=f(ξc)·f(ξs )= ]2
exp[2
12
22
2
c
设 aξ,φξ 的联合概率密度函数为 f(aξ, φξ) ,则利用概率论知识, 有
f(aξ, φξ)=f(ξc, ξs)
,(
,(
asc
根据式( 2.5 - 3 )和式( 2.5 - 4 )在 t 时刻随机变量之间的关系
ξc=aξcosφξ
ξs=aξsinφξ
得到
),(),(
asc
a
c
a
s
c
s
Cosφξ sinφ ξ
-aξsinφξ aξcosφξ =
于是f(aξ,φξ) =aξf(ξc, ξs)= ]
2
)sin()cos(exp[
2
22
2
aaa
]2
(exp[
2 2
2
2
aa
注意,这里 aξ≥0, 而 φξ 在 (0 , 2π) 内取值。
再利用概率论中边际分布知识将 f(aξ,φξ) 对 φξ 积分, 可求得包络 aξ 的一维概率密度函数为
d
adafaf ]
2exp[),()(
2
0 2
0],2
exp[2
2
2
a
aa
可见, aξ 服从瑞利分布。
同理, f(aξ, φξ) 对 aξ 积分可求得相位 φξ 的一维概率密度函数为
f(φξ)=
20,2
1])
2exp([
2
1),(
2
2
0 20
da
aadaaf
可见, φξ 服从均匀分布。
综上所述,我们又得到一个重要结论:一个均值为零, 方差为 σ2ξ 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ,其包络 aξ(t) 的一维分布是瑞利分布,相位 φξ(t) 的一维分布是均匀分布,并且就一维分布而言, aξ(t) 与 φξ(t) 是统计独立的,即有下式成立:
f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ) (2.5 - 23)