Embed Size (px)
Citation preview
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
Εξίσωση 2ου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής : αχ βχ γ α2 0 0+ + = ≠,
Οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης Ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα μιας εξίσωσης,αν και μόνο αν την επαληθεύει. Δηλαδή ισχύει αρ βρ γ2 0+ + = .
Διακρίνουσα της εξισώσης 2ου βαθμού ονομάζεται ο αριθμός Δ=β αγ2 4−
ΔΙΑΚΡINOYΣΑ ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Δ>Ο
Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
1 2 2,χ β
α=− ± ∆
Δ=0
Μία διπλή ρίζα την
χ βα
= − 2
Δ<0 Δεν έχει ρίζες. (αδύνατη). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α)Αν για τους συντελεστές ισχύει α=β=γ=0 τότε κάθε χ είναι λύση της εξίσωσης και ονομάζετε αόριστη β)Αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει τρείς ρίζες τότε α=β=γ=0 δηλαδή είναι αόριστη (η απόδειξη να γίνει από τους μαθητές) γ)Αν η συντελεστές είναι ρητοί αριθμοί και η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο τότε οι λύσεις είναι ρητοί αριθμοί
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1)Αν η εξίσωση (χ+α+β)2+(α+2)(β-2)=(α+β)2 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Έχουμε χ2+α2+β2+2αχ+2χβ+2αβ+(α+2)(β-2)=α2+2αβ+β2 χ2+2(α+β)χ+(α+2)(β-2)=0 για να έχει η εξίσωση διπλή ρίζα θα πρέπει Δ=0 4(α+β)2-4(α+2)(β-2)=0 α2+2αβ+β2-αβ+2α-2β+4=0 α2+β2+αβ+2α-2β+4=0 α2+α(β+2)+β2-2β+4=0 καταλήξαμε σε μια εξίσωση ως προς α δευτέρου βαθμού άρα για να έχει λύση θα πρέπει Δ1≥0 (β+2)2-4(β2-2β+4)≥0 β2+4β+4-4β2+8β-16≥0 -3β2+12β-12≥0 (β-2)2 ≤0 β=2 άρα α=-2.Η εξίσωση άρα γίνεται χ2=0 και η διπλή ρίζα είναι το χ=0 2)Να δειχθεί ότι η εξίσωση (α+β)χ2-2(β+ αγ )χ+β+γ=0 με β>0,είναι αδύνατη. ΛΥΣΗ Για να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη θα πρέπει Δ≤0 4(β+ αγ )2-4(α+β)(β+γ) ≤0 (β+ αγ )2 ≤ (α+β)(β+γ) αβ+αγ+β2+βγ≥β2+αγ+2β αγ αβ+βγ≥2β αγ όμως επειδή β>0 άρα αρκεί να δειχθεί ότι α+γ≥2 αγ .Ισχύει ότι ( ) αγγαβα ≥+⇔≥− 0
2 άρα αποδειχθήκε 3)Αν α ρητός αριθμός να βρεθεί το κ ώστε η εξίσωση αχ2+(α+κ)χ+κ2-2=0 να έχει ρητές λύσεις ΛΥΣΗ Για να έχει η εξίσωση αχ2+(α+κ)χ+κ2-2=0 ρητές λύσεις θα πρέπει η διακρίνουσα τις εξίσωσης είναι Δ=(α+κ)2-4α(κ2-2) να είναι τέλειο τετράγωνο.Αρα Δ=α2+2ακ+κ2-4ακ2+8α=α2+2α(κ-2κ2+4)+κ2 είναι ένα τριώνυμο ως προς α άρα για να είναι τέλειο τετράγωνο θα πρέπει Δ1=0 4(-2κ2+κ+4)2-4κ2=0 (-2κ2+κ+4-κ)(-2κ2+κ+4+κ)=0 άρα κ2-2=0 ή κ2-κ-2=0 κ1=+ 2 ,κ2=- 2 ,κ3=2,κ4=-1 4)Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα τότε και η εξίσωση ανχ2+2βνχ+γν=0 έχει και αυτή διπλή ρίζα ΛΥΣΗ
Αφού η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα άρα 4β2-4αγ=0β2-αγ=0(1).Η εξίσωση ανχ2+2βνχ+γν=0 έχει Δ=4β2ν-4ανγν=4[(β2)ν-(αγ)ν]=4(β2-αγ)(…) λόγω της (1) έχουμε Δ=0 άρα η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης 1)Αν η εξίσωση (β2+1)χ2-2 2 χ+αβ+α-β=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση (απ. β=0) 2)Αν η εξίσωση χ2-2(α+β+γ)χ+α2+β2+γ2=0 έχει μια διπλή ρίζα να δειχθεί ότι 3222 =++
γβα
βαγ
αβγ
3)Αν η εξίσωση χ2+(α+β)χ+α2-2β+2=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση (απ.α=-1,β=2) 4)Αν η εξίσωση χ2+α(χ+α+2)+β(χ+β+2) όπου α,β ακέραιοι αριθμοί,έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση 5)Δίνεται η εξίσωση 2χ2+2(2α+3β+1)χ+7(α2+β2+1)=0
α)Αν έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β (απ. α=2,β=3) β)Για τις τιμές των α,β που βρήκατε να λυθεί η εξίσωση
6)Να λυθεί η εξίσωση α(α+1)χ2-2(α2+3α+1)χ+(α+2)(α+3)=0 7)Αν η εξίσωση (α+γ-2β)χ2+(α+β-2γ)χ+β+γ-2α=0 έχει διπλή ρίζα τότε να δειχθεί ότι είναι αόριστη 8)Αν ισχύει α3+β3+γ3=3αβγ με α≠ β≠ γ≠ 0 τότε η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζες το 1 και
αγ
9)Αν ισχύει η σχέση α3+8β3+27γ3=18αβγ και η εξίσωση αχ2+(2β+3γ)χ-9=0 έχει ρίζα το 1 να βρεθεί η άλλη ρίζα της 10)Αν η εξίσωση (α2+β2+γ2)χ2+2(α+β+γ)χ+3=0 έχει πραγματικές ρίζες τότε να λυθεί 11)Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=3 και Γ εσωτερικό σημείο του έτσι ώστε ΑΓ*ΓΒ=β2 όπου β ακέραιος.Να βρεθούν τα ΑΓ,ΓΒ
12)Αν οι εξισώσεις α1χ2+β1χ+γ1=0 και α2χ2+β2χ+γ2=0 έχουν μια κοινή
ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση 0 γ γ
γ γ
2β β
22
11
22
112
22
11 =+−ββ
ψαα
ψαα έχει μια διπλή
ρίζα 13)Aν υπάρχει μοναδικό α ώστε το σύστημα
−+=+++
=++
=++
1)1)((2)1(2)1(
2222
22
22
ψχψχβα
ψψχβ
χψχα
να έχει λύση,τότε να βρεθεί το β
(Απ β=32
± )
14)Aν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζα το 1 α)Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2χ2-2(α2+β2+γ2)+α4+β4+γ4=0 έχει μια διπλή ρίζα. β)Αν αβ+βγ+γα=1 να βρεθεί η διπλή ρίζα (Απ. χ=1) 15)Να λυθεί η εξίσωση
))()((3111
γχβχαχγχβχαχ −−−=
−+
−+
− αν
γνωρίζουμε ότι α+β+γ=5 και αβ+βγ+γα=32
− (Απ.χ=32,
38 )
16)Αν α θετικός ακέραιος αριθμός και η εξίσωση χ2+ανχ-(αλ+κ)=0 και ισχύουν λ<ν<2λ και
41 <κ<1.Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει άρρητη λύση
17)Αν η εξίσωση (α2+1)χ2-2(αβ+1)χ+β2+1=0 έχει λύση να βρεθεί η λύση αυτή (Απ.χ=1) 18)Αν η εξίσωση αβγχ2-2χ+α+β+γ=0 έχει διπλή ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση χ2-2χ+(α+β)(β+γ)=0 δεν έχει ρίζες 19)Aν ισχύει 0111
=++γβα
τότε να λυθεί η εξίσωση χ2-2αχ-β2-γ2=0
20)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με 0=+ γαγα α)Να δειχθεί ότι έχει δύο ρίζες άνισες β)Αν έχει ρίζα το γ να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το β 21)Έστω η εξίσωση χ2+(α+β+γ)χ+μ(αβ+βγ+γα)=0 με α,β,γ θετικοί αριθμοί.Να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η εξίσωση
α) Να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η εξίσωση να έχει πραγματικές λύσεις β)Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες (Απ. α.μ≤
43 ,β.μ>1)
22)Aν ισχύουν οι σχέσεις γββα 22 +<− και γαβ 2< να δειχθεί ότι η
εξίσωση βχ2+( 1+γ )χ-4γ =0 έχει έχει πραγματικές λύσεις
23)Aν η εξίσωση αχ2-2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση (α+γ)χ2+2(α+β+γ)(χ+1)=0 δεν έχει ρίζες 24)Δίνεται η εξίσωση χ2-2αβχ-α2-β2=0 όπου α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί.Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακέραιες περιττές ρίζες 25)Δίνονται οι εξισώσεις αχ2+2βχ+γ=0,βψ2+2γψ+α=0,γω2+2αω+β=0 με αντίστοιχες διακρίνουσες Δ1,Δ2,Δ3 και ισχύει Δ1+Δ2+Δ3=0.Να λυθούν οι εξισώσεις 26)Δίνονται οι ευθείες ε1:ψ=2χ+κ και ε2:ψ=2χ+κ+3.Να βρεθεί ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στις ε1,ε2 τμήμα (ΑΒ)= 5 όπου Α ανήκει στην ε1 και Β ανήκει στην ε2 (Απ.ψ=-
27 χ ή ψ=-
23 χ)
27)Nα δειχθεί αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β,γ ρητούς έχει ρίζα το 3 2 τότε α=β=γ=0 28)Αν η εξίσωση χ2+αχ+β=0 με α,β ρητοί αριθμοί έχει ρίζα τον αριθμό 1-
2 τότε να βρεθούν τα α,β και η άλλη ρίζα της εξίσωσης 29)Aν α,β,γ πλευρές τριγώνου και η εξίσωση χ2-(α2+β2+γ2)χ+α2(β2+γ2)=0 έχει μια διπλή ρίζα να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 30)Aν α,β,γ πλευρές τριγώνου με
γβ ακέραιος και η εξίσωση 4γχ2-
(α+β)χ+α+β-γ=0 έχει λύση να βρεθεί το είδος του τριγώνου 31)Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης χ2-Δχ+3=0 να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης
32)Αν η εξίσωση αβγχ2+2(αβ+βγ+γα)χ+3(α+β+γ)=0 έχει μια διπλή λύση να δειχθεί ότι α3+β3+γ3=3αβγ 33)Aν α,β,γ πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα β να δειχθεί ότι η εξίσωση 2αχ2+2βχ+γ=0 έχει πραγματικές ρίζες.Αν έχει μια διπλή λύση να βρεθεί το είδος του τριγώνου 34)Η εξίσωση (α2+β2)χ2+2(αγ+βδ)χ+γ2+δ2=0 έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν ισχύει αδ=βγ 35)Αν η εξίσωση (α+β+γ)χ2-6χ+
γβα111
++ =0 έχει λύση να δειχθεί ότι
α=β=γ 36)Αν οι εξισώσεις αχ2+2χ+β=0,βψ2+4ψ+γ=0,γω2+6ω+α=0 έχουν διπλές ρίζες να βρεθούν α)Να βρεθούν τα α,β,γ β)Να βρεθούν οι ρίζες των εξισώσεων Ερωτήσεις σωστού-λάθους 1. Αν η εξίσωση αx2+2x+β=0 έχει Δ=8 τότε α,β ομόσημοι Σ-Λ 2. Η εξίσωση αx2 + 1 = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. Σ-Λ 3. Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 έχει μία ρίζα ίση
με το μηδέν, όταν η διακρίνουσά της είναι ίση με το μηδέν.
Σ-Λ
4. Οι αριθμοί 1 και -2 είναι ρίζες της εξίσωσης x2-x-2 = 0 Σ-Λ 5. Η εξίσωση -αx2+βx+γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α>0
και γ>0. Σ-Λ
6. Αν Δ=0 τότε η εξίσωση αx2+βx+γ=0 έχει μια διπλή ρίζα την x=
αβ
−2
Σ-Λ
7. Aν στην εξίσωση αx2+βx+γ=0 είναι αγ<0, τότε Δ>0. Σ-Λ 8. Αν στην εξίσωση αx2+βx+γ=0 ισχύει Δ>0 τότε είναι α,γ
ετερόσημοι Σ-Λ
9. Αν η εξίσωση αx2+2βx+α=0 έχει μια διπλή ρίζα, τότε χ=1 ή -1
Σ-Λ
10. Η εξίσωση αx2+βx+γ=0 με α>0,β=0 και γ>0 είναι αδύνατη.
Σ-Λ
11. Η εξίσωση βx2+x-γ=0 έχει δύο ρίζες άνισες, τότε 4βγ≥1 Σ-Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Αν η εξίσωση 3x2-2x-α = 0 έχει για διπλή ρίζα το 3, τότε ο α ισούται
με:
Α. 21 Β. – 11 Γ. 41 Δ. - 41 Ε. 0 2.Η εξίσωση x2+4x-λ=0, για λ=-4 Α. είναι αδύνατη Β. έχει μια διπλή ρίζα Γ. έχει δύο ρίζες άνισες και πραγματικές Δ. έχει τρεις ρίζες Ε. τίποτε από τα προηγούμενα 3. Αν η εξίσωση βx2+x-γ=0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε :
Α. 4βγ<1 Β. 4βγ>1 Γ. 4βγ<-1 Δ. 4βγ>-1 Ε. 4βγ=1
4. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=12
12 +−
+xx
x είναι το:
Α.κενό Β. [-1,+∞) Γ. [-5,1)∪(3,+ ∞) Δ. (-1,1)∪(1,10) Ε.-1
5. Αν η εξίσωση x2-4x+2κ = 0 έχει 2 ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει:
Α. κ<2 Β. κ ≤ 2 Γ. κ<-2 Δ. κ>- 1 Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ • Αν ρ ρ1 2, , είναι οι ρίζες της εξίσωσης αχ βχ γ α2 0 0+ + = ≠, ,S το
άθροισμα και P το γινόμενο τους,τότε ισχύουν οι τύποι του Vieta:
S = + = −ρ ρβα1 2
P=ρ ργα1 2. =
• Με την βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση αχ βχ γ α2 0 0+ + = ≠, γράφεται ισοδύναμα ως εξής: x 2− + =Sx P 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το πρόσημο των ριζών μπορούμε να το βρούμε και χωρίς να λύσουμε την εξίσωση,ανάλογα με τις τιμές των Δ,Ρ,S όπως φαίνεται από το παρακάτω πίνακα Δ Ρ S Ρίζες της αχ2+βχ+γ=0 + + + 2 θετικές ρίζες + + - 2 αρνητικές ρίζες + - + 2 ρίζες ετερόσημες με απολύτως μεγαλύτερη την θετική + - - 2 ρίζες ετερόσημες με απολύτως μεγαλύτερη την αρνητική
+ - 0 2 ρίζες αντίθετες + 0 + μία ρίζα 0 και η άλλη θετική + 0 - μία ρίζα 0 και η άλλη αρνητική 0 + + μια διπλή θετική 0 + - μια διπλή αρνητική 0 0 0 μια διπλή το 0 - Δεν έχει ρίζες στο R ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Aν χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-αχ+β=0 και της χ2ν-ανχν+βν=0 όπου ν∈Ν και είναι β ≠ 0 να δειχθεί ότι (χ1+χ2)ν=χ1
ν+χ2ν
ΛΥΣΗ Αφού χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-2χ+β=0 άρα χ1+χ2=α (1) και χ1χ2=β (2) και επειδή χ1,χ2 οι ρίζες της χ2ν-ανχν+βν=0 άρα χ1
ν-ανχ1ν+βν=0 λόγω
των (1) και (2) έχουμε χ12ν-( χ1+χ2)νχ1
ν+ χ1ν χ2
ν=0 είναι όμως χ1χ2=β≠ 0 και άρα χ1 ≠ 0 άρα χ1
ν-( χ1+χ2)ν+ χ2ν=0 (χ1+χ2)ν=χ1
ν+χ2ν
2)Αν χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης
βχαχ111
=−
+ με β≠0 και ισχύει χ1-
χ2=γ να εκφράσετε το α συναρτήση των β και γ ΛΥΣΗ Από την
βχαχ111
=−
+ θα πρέπει χ≠0 και χ≠α το ΕΚΠ=βχ(α-χ) άρα η
εξίσωση γίνεται β(α-χ)+χβ=χ(α-χ) αβ-χβ+βχ=αχ-χ2 χ2-αχ+αβ=0.Επειδή ισχύει χ1-χ2=γ (χ1-χ2)2=γ2 (χ1+χ2)2-4 χ1χ2=γ2 όμως χ1+χ2=α και χ1χ2=αβ άρα α2-4αβ=γ2 α2-4αβ-γ2=0 που είναι δευτεροβάθμια με Δ=16β2+4γ2>0 άρα
α= 2222
422424
γββγββ
+±=+±
3)Αν 2(κ+λ+μ)=α2+β2+γ2 και οι λύσεις των εξισώσεων χ2+αχ-κ=0 και χ2+βχ-λ=0 είναι β,γ και γ,α αντίστοιχα,να δειχθεί ότι τα α,β είναι λύσεις της εξίσωσης χ2+γχ-μ=0 ΛΥΣΗ Για να είναι λύσεις τα α,β θα πρέπει να δειχθεί ότι α+β=-γ και αβ=-μ.Αφού οι λύσεις των εξισώσεων χ2+αχ-κ=0 και χ2+βχ-λ=0 είναι β,γ και γ,α αντίστοιχα άρα β+γ=-α (1) και βγ=-κ (2) και γ+α=-β και γα=-λ (3)
Από την (1) έχουμε α+β=-γ.Από την σχέση 2(κ+λ+μ)=α2+β2+γ2 λόγω (2),(3) έχουμε 2(-βγ-γα+μ)= α2+β2+γ2 2μ=α2+β2+γ2+2βγ+2γα 2μ=(α+γ)2+β2+2βγ 2μ=2β2+2βγ μ=β(β+γ)=-αβ -μ=αβ άρα αποδείχθηκε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης 1)Αν για την εξίσωση χ2+βχ+γ=0 ισχύει χ1
2+χ22=(1-β)3-1 να δειχθεί ότι
β=0 ή β=γ+1
2)Αν για την εξίσωση χ2-βχ=γ=0 ισχύει Δ=4 να δειχθεί ότι 221 =− χχ 3)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 και χ1
2+χ22 ≤2γ να δειχθεί ότι η
εξίσωση έχει διπλή ρίζα
4)Δίνεται η εξίσωση αχ2-αχ+γ=0 και ισχύει ότι χ13+χ2
3=1 να δειχθεί ότι α)γ=0 και β)να λυθεί η εξίσωση
5)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β ομόσημους να δειχθεί ότι είναι αδύνατο να ισχύει 121 =− χχ
6)Έστω χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+β=0 και ρ1=χ1+4 και ρ2=χ2+4 οι ρίζες της 2χ2+10αχ+β=0.Να βρεθούν τα α,β
7)Αν οι εξισώσεις χ2+αχ+βγ=0 και χ2+βχ+γα=0 έχουν μια κοινή ρίζα να δειχθεί ότι οι άλλες δύο ρίζες είναι ρίζες της εξίσωσης χ2+γχ+αβ=0 8)Αν χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+1=0 και ισχύει χ1
5+χ25=χ1+χ2 να
βρεθεί το α 9) Αν χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+6=0 και ισχύει χ1
4+χ24=χ1
2+χ22 να
βρεθεί το α 10)Αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζα το 1 και ισχύει γβα =+ να δειχθεί ότι η άλλη ρίζα είναι αρνητική 11)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+α=0 με α>0 α)Να δειχθεί ότι Ρ+ 3
11
11
21
≥+
++ χχ
β)Αν ισχύει η ισότητα να λυθεί η εξίσωση
12)Αν χ1,χ2≠1 οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+α=0 με α>0 να δειχθεί ότι η εξίσωση (χ1
2+2002χ1+1)ψ2-4008ψ+χ22+2002χ2+1=0 δεν έχει λύσεις
13)Αν η εξίσωση 6χ2-6γχ+β2-α2=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές τιμές του S,P της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 ώστε αυτή να έχει λύση 14)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 και Ρ,S διαδοχική ακέραιοι αριθμοί α)Να δειχθεί ότι οι δύο ρίζες της εξίσωσης είναι ακέραιες β)Να δειχθεί ότι η διακρίνουσα Δ είναι πολλαπλάσιο του α2 γ)Αν η Δ=4α2 να βρεθούν οι ρίζες τις εξίσωσης 15)Αν η εξίσωση αχ2+βχ-β=0 έχει ακέραιες ρίζες τότε να βρεθούν αυτές 16)Έστω η εξίσωση αβχ2+2χ-γδ=0 όπου α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί ακέραιοι θετικοί αριθμοί.Να δειχθεί ότι α)έχει ακέραιες ρίζες β)ότι 52`1 ≥− χχ .Αν ισχύει η ισότητα να βρεθούν τα α,β,γ,δ και να λυθεί η εξίσωση 17)Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση που οι ρίζες της χ1,χ2 και S,P αποτελούν διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς το κάθε ζεύγος 18)Δίνεται η εξίσωση χ2+βχ-4=0 και ισχύει για τις ρίζες χ1,χ2 ότι
111 222
211 =
++
++ χχχχ .Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης
19)Αν οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 (αγ≠0) είναι ανάλογες με του
φυσικούς αριθμούς μ και ν,να δειχθεί ότι αγβ
µν
νµ 2
2 =++
20)α)Έστω χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 (1).Να σχηματιστεί δευτεροβάθμια εξίσωση της οποία οι ρίζες προκύπτουν από της ρίζες της (1) αυξημένες κατά κ β)Αν υπάρχει μοναδικό κ ώστε η εξίσωση που προκύπτει από το α) να έχει ρίζα το 1 να βρεθεί ο Γ.Τ. του σημείου Α(α,γ) 21)Έστω η εξίσωση α(αχ+β)4+β(αχ+β)2+γ=0 να βρεθεί το γινόμενο των ριζών ρ1ρ2ρ3ρ4
22)Αν χ1,χ2 ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες
21
1βχαχ +
,12
1βχαχ +
23)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠β και ισχύει
βαβ
χχ −=+
21
11 να
βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης 24)Αν χ1,χ2 οι ρίζες της χ2+(α+1)χ+β+2=0 να βρεθούν τα α,β ώστε να ισχύουν χ1
2+χ22=α2,χ1χ2=β2
25)Αν το σύστημα
=+=+22
1ψχβψαχ είναι αόριστο να σχηματιστεί β΄βάθμια
εξίσωση με ρίζες χ1,χ2 για τις οποίες ισχύει
++
=++
βχχχχ
αχχχχ
212
22
1
2121
26)Να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ1,χ2 που αποτελούν τις κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 8 και εμβαδό 9
Ερωτήσεις σωστού-λάθους 1)Αν S το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης αx2-x+γ=0 με α≠0 τότε ισχύει ότι α,S αντίστροφοι
Σ-Λ
2)Αν S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αx2+βx+γ=0 με α≠0, τότε ισχύει:α2+β2=S2-2P
Σ-Λ
3)Η εξίσωση που έχει ως ρίζες τις α και 2α είναι η x2-α2χ+3α=0
Σ-Λ
4)Αν p1, p2 είναι ρίζες της αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 οι - p1, - p2 είναι ρίζες της αx2 - βx + γ = 0.
Σ-Λ
5)Αν α,β,γ ομόσημοι και x1,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2+βx+γ=0, τότε οι x1,x2 είναι ομόσημες,θετικές
Σ-Λ
6)Αν για την εξίσωση αx2+βx+γ=0 ισχύει α=γ≠0 και έχει άνισες ρίζες,τότε ισχύει S2>4
Σ-Λ
7)Aν η εξίσωση αx2+βx+γ=0 με α≠0 έχει Δ=0, τότε είναι Ρ≥0. Σ-Λ 8)Όταν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α>0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός.
Σ-Λ
9)Αν x1,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2+αx+β=0 με x1<0<x2 τότε είναι β>0.
Σ-Λ
10)Δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε : α+β=2 και αβ=3.
Σ-Λ
11)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με 0=+ γαγα τότε S>0 Σ-Λ 12)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με Ρ,S διαδοχική ακέραιοι Σ-Λ
αριθμοί τότε Δ είναι τέλειο τετράγωνο Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1)Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών μιας εξίσωσης, τότε αυτή είναι: Α. x2+Sx+P=0 Β. x2-Sx-P=0 Γ. x2-Px+S=0 Δ. αx2-Sx+P=0 Ε x2-Sx+P=0 2)Oι αριθμοί 2 και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης: Α. x2-2x+ 3 =0 Β. x2-(2+ 3 )x+2 2 =0 Γ. x2+(2+ 3 )x+2 3 =0 Δ. 3 x2-2x+1=0 Ε x2-2 3 x+(2+ 3 )=0
3)Aν x1,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2-(λ+2)x+λ=0, τότε η παράσταση x1
2+x22 ισούται με:
Α. 2λ-4 Β. λ2+1 Γ.4 Δ. λ2+4 Ε λ+1. 4)Αν οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + λ2x + λ = 0 είναι θετικές, τότε ο λ είναι: Α.λ<α Β. λ < 0 Γ. λ = 0 Δ. α >0 Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 5)Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5x2 + (λ2-2λ+1) x - 1 = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 1 Δ. λ =-5 Ε. λ =1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τις ασκήσεις της κατηγορίας αυτής τις αντιμετωπίζουμε συνήθως με αντικατάσταση ή μετασχηματισμό ώστε να οδηγηθούμε σε μια εξίσωση 2ου βαθμου.Οι μετασχηματισμοί διαφέρουν από άσκηση σε άσκηση και για το λόγο αυτό χρειάζεται η εμπειρία και η εφευρετικότητα του λύτη. Μερικές συνηθισμένες μορφές εξισώσεων είναι οι εξής 1)Η εξίσωση αχ2+β χ +γ=0 εδώ η αντικατάσταση είναι y= χ και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0 (ισχύει ότι y2= χ2= 2χ ) 2)Η εξίσωση αχ4+βχ2+γ=0 εδώ η αντικατάσταση είναι y=χ2 με y>0 και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0
3)Γενικότερα στις εξίσωσης με μορφή αf(x)2ν+βf(x)ν+γ=0 η αντικατάσταση είναι y=f(x)ν και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0 4)Ισχύει ότι α2+β2=0 α=β=0 ή 0=+ βα α=β=0 ή 0=+ βα α=β=0 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Έστω η ευθεία y=κχ+λ και η παραβολή y=αχ2+βχ+γ τότε η λύση του
σύστηματος
++=
+=
γβχαχ
λκχ2y
y είναι τα σημεία τομής τους.Ανάλογα με
τις λύσεις της εξίσωσης αχ2+(β-κ)χ+γ-λ=0 έχουμε α)Αν Δ>0 τότε η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία β)Αν Δ=0 τότε η ευθεία είναι εφαπτομένη της παραβολή γ)Αν Δ<0 τότε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Nα λυθεί η εξίσωση (χ2-2χ+2)(χ2-χ-1)+1=2χ2-3χ+1 ΛΥΣΗ Θέτουμε α=χ2-2χ+2 και β=χ2-χ-1 άρα η εξίσωση θα γίνει αβ+1=α+β αβ-α-β+1 (α-1)(β-1)=0 α=1 ή β=1 χ2-2χ+2=1 ή χ2-χ-1=1 χ2-2χ+1=0 ή χ2-χ-2=0 χ=1(διπλή) ή χ=2 ή χ=-1 2)Να λυθεί η εξίσωση (χ-1)(χ-2)(χ-3)(χ-4)=20χ(χ-5) ΛΥΣΗ Εδώ δεν έχουμε κάποια ομοιότητα ώστε να κάνουμε μετασχηματισμό.Θα προσπαθήσουμε να την εμφανίσουμε με κατάλληλους πολλαπλασιασμούς
Έχουμε
*
*
*
)5(20)4()3)(2()1( −=−−−− χχχχχχ
(χ2-5χ+4)(χ2-5χ+6)=20(χ2-5χ) θέτουμε y=χ2-5χ (y+4)(y+6)=20y y2+10y+24=20y y2-10y+24=0 y=4 ή y=6
άρα χ2-5χ=4 ή χ2-5χ=6 χ2-5χ-4=0 ή χ2-5χ-6=0 2
4151
+=χ ή
2415
2−
=χ ή χ3=6 ή χ4=-1
3)Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου να δειχθεί ότι το
σύστημα
=++
=++
0
0
γβχα
γβαχ
y
y είναι αδύνατο
ΛΥΣΗ Έχουμε
=++
=++
0
0
γβχα
γβαχ
y
y
=++
−−=
0γβχα
αγβχ
y
y
=++−−
−−=
02
γβγβ
αα
γβχ
yy
y
=+−++
−−=
0)( 2222 βγαγββγα
γβχ
yy
yγια να μην έχει λύση το σύστημα θα
πρέπει θα πρέπει να ισχύει Δ<0 Δ=(β2+γ2-α2)2-4β2γ2=(α+β+γ)(β+γ-α)(β-γ-α)(β-γ+α) όμως από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι α<β+γ ,β<α+γ ,γ<α+β άρα Δ<0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Να λυθούν οι εξισώσεις α)χ2-3 χ +2=0 β)(χ+1)2- 1+χ -2=0 γ)χ4-4χ2+3=0 δ)(χ+2)4-2(χ+2)2-3=0
2)Να λυθεί η εξίσωση 212
1112
22
=
−−
+
−−
χχ
χχ
3)Να λυθεί η εξίσωση
χχ
χχ 11
33 +=+
4)Να λυθεί η εξίσωση 0212112
23
3 =+
+−+++χ
χχ
χχ
χ
5)Να λυθεί η εξίσωση 11
11
6565
6565
2
2
2
2
2
2
2
2
++++
++++−
=+−++
++++−
χχχχ
χχχχ
χχχχ
χχχχ
6)Να λυθεί το σύστημα
=+
=−−
10065
22
22
yxyxyx
7)Να λυθεί το σύστημα
=++
=+
121
87
xyyx
yx
8)Να λυθεί το σύστημα
=++
=+++
1923)(2
22
22
xyyxyxyx
9)Να λυθεί το σύστημα
=+
=+
15162
2
2
yxyxyx
10)Να βρεθεί το α ώστε το σύστημα
=+−
=+
112
22 yxyax
να έχει μια λύση και
μετά να βρεθεί αυτή (Απ.α= 3± )
11)Να λυθεί το σύστημα
=++
−=++
βχψψχ
χψψχ22
1 όταν β ακέραιος αριθμός
(Απ.β=2 και χ=2
53+− ,ψ=2
53−− ή ψ=2
53+− ,χ=2
53−− )
12)Αν α,β,γ διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί να λυθεί το σύστημα
1=+βψ
αχ , 33 β
ψαχ
= , 3 23 23 2 γψχ =+ (Απ.χ=2527 ,ψ=
2564 ή χ=-1,ψ=0)
13)Αν οι παραβολές y=λx2+2 και y=χ2+2χ+γ,με κ,γ ακέραιοι αριθμοί,έχουν ένα κοινό σημείο τότε να βρεθούν οι δύο παραβολές 14)Αν η ευθεία y=λχ+1 είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχ-γ2+2γ με α>0 να βρεθεί το γ 15)Nα λυθεί η εξίσωση ( )( ) 15421 242 =+−+−++ χχχχχ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f x( )= + +αχ βχ γ2 Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση (τριώνυμο ) f x( )= + +αχ βχ γ2 αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων ως εξής:
f x( )= + +αχ βχ γ2
Δ>0 Δ=0 Δ<0 ( )( )α x x x x− −1 2 ( )α x x− 1
2 δεν αναλύεται
οπου x x1 2, οπου x1 η σε γινόμενο οι ρίζες της διπλή ρίζα πρωτοβαθμίων της παραγόντων
Αποδεικνύεται επίσης ότι: f x( )= + +αχ βχ γ2 =αβα α
x +
−2 4
2 ∆
οπότε η γραφική της παράσταση προκύπτει αν η γραφική παράσταση της φ α( )x x= 2 (παραβολή) μετατοπιστεί οριζόντια κατά βα2
και κατακόρυφα κατά ∆4α
πίνακας μεταβολών της f x( )= + +αχ βχ γ2 αν α>0 Χ − ∞ − β
α2 + ∞
f x( )= + +αχ βχ γ2
- ∆4α
ελάχιστο πίνακας μεταβολών της f x( )= + +αχ βχ γ2 αν α<0 Χ − ∞ − β
α2 + ∞
f x( )= + +αχ βχ γ2
- ∆4α
μέγιστο άρα η συνάρτηση f x( )= + +αχ βχ γ2 παρουσιάζει μέγιστο στο
−βα2
το - ∆4α
όταν α>ο ενώ όταν α<ο παρουσιάζει
ελάχιστο στο − βα2
το - ∆4α
.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1)Να βρεθεί το χ ώστε η παράσταση 962
2
2
+−−−
xxxx να γίνει ελάχιστη
ΛΥΣΗ
Θέτουμε 962
2
2
+−−−
xxxx =μ χ2-χ-2=μ(χ2-6χ+9) (μ-1)χ2-(6μ-1)χ+9μ+2=0
η εξίσωση θα πρέπει να έχει λύση άρα Δ 0≥ (6μ-1)2-4(μ-1)(9μ+2) 0≥ 1+12μ+36μ2-4(-2-7μ+9μ2) 0≥ 16μ+9 0≥ μ
169
−≥ άρα η
μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το μ είναι 169
− για χ=57
)1(216
=−−
µµ
2)Για ποία τιμή του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης χ2-(λ-1)χ+(λ-3)=0 είναι ελάχιστο ΛΥΣΗ Το χ1
2+χ22=(χ1+χ2)2-2χ1χ2=(λ-1)2-4(λ-3)=λ2-6λ+12 η συνάρτηση
f(λ)= λ2-6λ+12 θα πρέπει να να πάρει την ελάχιστη τιμή.Η τιμή αυτή είναι λ= 3
26= και το χ1
2+χ22=λ2-6λ+12=3
3)Να προσδιορισθούν οι συντελεστές του τριωνύμου f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να έχει ρίζα το 2 και να έχει ελάχιστο -1 για χ=3 ΛΥΣΗ Αφού το είναι ρίζα άρα 4α+2β+γ=0 (1).Για να πάρει το τριώνυμο
f(χ)=αχ2+βχ+γ την ελάχιστη τιμή θα πρέπει fmin=-1 14
4 2
−=−αβαγ (2)
και για το χ=αβ
2−
αβ
2− =3 (3).Αρκεί να λύσουμε το σύστημα
=−−=−
=++
αβαβαγ
γβα
644
0242 …4α(1-α)=0 α=0ή α=1 άρα έχουμε δύο λύσεις
(α,β,γ)=(0,0,0) ή (1,-6,-8).Άρα το τριώνυμο χ2-6χ-8 4)Για ποία τιμή του α η ελάχιστη τιμή της παράστασης (χ-α)2+(χ-2α)2-(χ-3α+1)2 γίνεται μέγιστη ΛΥΣΗ Η παράσταση γίνεται (χ-α)2+(χ-2α)2-(χ-3α+1)2=χ2-2χ-4α2-6α+1.Η
ελάχιστη τιμή της είναι 2644
)164(444
22
−+−=−+−−
−=∆
− ααααα
.Η
παράσταση αυτή είναι τριώνυμο ως προς α και αφού ο συντελεστής του α2 είναι -4<0 άρα παρουσιάζει μέγιστο για α=
43
86
=−
−
5)Δίνεται η f(χ)=χ2-2(α+β)χ-2αβ(γ-1)+γ2 όπου α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί με β>α και γ άρτιος.Να εξεταστεί αν μπορεί η f(χ) να γραφεί σαν τέλειο τετράγωνο ΛΥΣΗ Για να γραφεί η f(χ) σαν τέλειο τετράγωνο θα πρέπει Δ=0 Δ=4(α+β)2+4[2αβ(γ-1)-γ2]=0α2+2αβ+β2+2αβγ-2αβ-γ2=0 α2+β2+2αβγ-γ2=0 γ2-2αβγ-α2-β2=0.Η τελευταία εξίσωση είναι δευτεροβάθμια ως προς γ και η οποία θα πρέπει να έχει λύση Δ1=4 α2β2+4(α2+β2)=4(α2β2+α2+β2) Όμως α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί άρα β=α+1.Άρα Δ1=4[α2(α+1)2+α2+(α+1)2]=4(α4+2α3+3α2+2α+1)=4(α2+α+1)2
Έχουμε )1()1(2
)1(22 22
2,1 ++±+=++±
= αααααααβγ
Άρα γ1=-1 ή γ2=2α(α+1)+1(περιττός αφού είναι της μορφής 2κ+1) όμως γ άρτιος και δεν μπορεί άρτιος να είναι ίσος με περιττό.Άρα καμία λύση δεν είναι δεκτή και επομένως η f(χ) δεν μπορεί να γραφεί σαν τέλειο τετράγωνο 6)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+γ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί η διακρίνουσα της f(χ) ΛΥΣΗ
Αφού η f(χ) τέμνει τον χχ’ σε δύο σημεία άρα Δ>0.Το Α(α
β2
∆−− ,0),το
Β(α
β2
∆+− ,0) και Κ(αβ
2− ,
α4∆− ).Έχουμε ότι ΚΑ=ΚΒ=ΑΒ.Όμως
ΚΑ=22
422
∆−
+
−−
∆+−αα
βα
β = 2
2
2 164 αα∆
+∆
ΚB=22
422
∆−
+
−−
∆−−αα
βα
β = 2
2
2 164 αα∆
+∆
AB=2
22
∆+−−
∆−−α
βα
β = 2α∆ .Αφού ΚΑ=ΚΒ=ΑΒ άρα ΚΑ2=ΑΒ2
2
2
22 164 ααα∆
+∆
=∆ 16Δ=4Δ+Δ2Δ(Δ-12)=0 όμως Δ>0 άρα Δ=12
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης
1)Να βρεθεί το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να έχει ρίζα το 3 και να έχει ελάχιστο -1 για χ=2 2)Για ποία τιμή του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης χ2-(λ+2)χ-(λ-3)=0 είναι ελάχιστο 3)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ (Ο=900 ) παίρνουμε στην ΟΑ σημείο Μ και φέρουμε την ΜΝ παράλληλη στην ΟΒ. ( το Ν επί της ΑΒ ). Αν είναι (ΟΑ)=4 , (ΟΒ) =3 και (ΟΜ) =χ, και Ε(χ) το εμβαδον του τριγώνου ΒΜΝ, α.Να αποδείξετε ότι: (ΜΝ)=
4)4(3 x− , και Ε(χ)= - xx
23
83 2 +
β. Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν Ε(χ) μεγιστοποιείται. Ποια είναι η μέγιστη τιμή; 4)Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 2α ποιο είναι εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδό; 5)Να προσδιοριστεί η παραβολή f(χ)=αχ2+βχ+γ στις παρακάτω περιπτώσεις. α. όταν διέρχεται από τα σημεία Α(0,2), Β(1,0) , Γ(3 , 2) β. όταν τέμνει τον άξονα ψ΄ψ στο σημείο Α(0,2) και έχει κορυφή Κ(1,-2) 6)α)Aν α+β=γ(σταθερό),να δειχθεί ότι αβ γίνεται μέγιστο όταν α=β=
2γ
β)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90) με σταθερή την υποτείνουσα ίση με 4.Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές ώστε το γινόμενο τους να γίνει μέγιστο. 7) Δίνεται η συνάρτηση f (χ)=κχ2+λχ+3
α. Να βρείτε τα κ και λ ώστε να έχει στη θέση χ=1 τοπικό ακρότατο ίσο με –2 β. Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση χ=1;
8)Δίνεται ευθεία ΑΒ=α,να βρεθεί σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ2+ΒΓ2 να γίνει ελάχιστο.Εφαρμογή α=2
9)Να λυθεί το σύστημα
=+=+λψχ
ψλχ 2 όταν η παράσταση Α=3χ2-4ψ2
γίνεται μέγιστη
10)Να λυθεί το σύστημα
++=+
+=+−
−=−+
22)1(
1
24
2
2
ααωχψ
αωψχ
αωψχ
όταν το ψ παίρνει τη
μέγιστη τιμή του 11)Nα βρεθούν οι τριάδες α,β,γ διδοχικών ακέραιων και θετικών αριθμών τέτοιοι ώστε να ισχύουν αχ+βψ=γ και το άθροισμα χ2+ψ2 να έχει ελάχιστο μεγαλύτερο από 1 (Απ.(α,β,γ)=(1,2,3)ή(2,3,4))
12)Να βρεθούν τα α,β της παράστασης χ
βαχχ ++2
ώστε να έχει μέγιστο
1 και ελάχιστο 3 (Απ.α=2,β=41 )
13)Δίνεται η παράσταση χ
λλχχ 122 −++ .Να δειχθεί ότι το μέγιστο της
παράστασης είναι αντίστροφο του ελαχίστου της. 14)Έστω η παράσταση χ2-(αγ+1)χ+γ.Να δειχθεί ότι α)Παριστάνει το εμβαδό ορθογωνίου παραλληλογράμμου και να βρεθούν οι διαστάσεις του β)Αν για χ=4α+3 το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο γίνεται τετράγωνο να βρεθούν τα α,γ 15)Aν η κορυφή της f(χ)=αχ2+βχ+
α1 ανήκει στην ευθεία χ= 2 ψ να
βρεθεί το β (Απ.α=4 2 ή α=-2 2 ) 16)Αν η κορυφή της f(χ)=αχ2+2αχ+1 απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση 1 να βρεθεί το α (Απ.α=
41 )
17)Αν υπάρχει μοναδικό α και f(χ)=αχ2+2(α+1)χ+α+2=0 να βρεθεί η απόσταση της κορυφής της f(χ) από την αρχή των αξόνων 18)Έστω η f(χ)=αχ2+χ+5 να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της απόστασης της κορυφής της f(χ) από την αρχή των αξόνων 19)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+γ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ(2,1) η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθούν τα α,β,γ (Απ. α=-3,β=12,γ=-11)
20)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+α6 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή
της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το β (Απ.β=±6) 21)Έστω τα σημεία Α(α,β) και Β(2-α,δ) να βρεθεί σημείο του χχ’ ώστε το άθροισμα ΜΑ2+ΜΒ2 να γίνει ελάχιστο 22)Να βρεθεί σημείο Β της παράστασης f(χ)= 4)1( +−χα ώστε να
απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α(2
2+α ,0)
23)Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνων και το τριώνυμο f(χ)=
αγχ
γβχ
βα
++2 είναι τέλειο τετράγωνο και γα ακέραιος αριθμός να
δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 24) Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με β>α>γ και το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+
2γ είναι τέλειο τετράγωνο να βρεθούν οι
γωνίες του τριγώνου 25)Έστω οι συναρτήσεις f(χ)=χ2+αχ+β και g(χ)=χ2+γχ+δ και ισχύουν οι σχέσεις 2α+δ=β+5 και α=γ+4.Να βρεθεί η απόσταση των κορυφών των παραβολών 26) Έστω οι συναρτήσεις f(χ)=χ2+αχ+β και g(χ)=χ2+γχ+δ και ισχύουν οι σχέσεις α+δ=β και α=γ+4.Να βρεθεί το α ώστε η απόσταση των κορυφών των παραβολών να γίνετε ελάχιστη 27)Οι συναρτήσεις f(χ)=χ2-αχ+1 και g(χ)=αχ2-χ+1 τέμνονται στα σημεία Α,Β.Να βρεθεί το α ώστε το μήκος του ΑΒ να γίνετε ελάχιστο 28)Αν η σχέση βγχχγαχχαβχχ ++=+++++ 222 ισχύει αν και μόνο αν χ <1 να δειχθεί α3+β3+3αβγ=γ3 29)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ γίνεται θετική για χ <1 να δειχθεί ότι ν2γ+νβ+α≥0 για ν >1 30)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+(β-2004)ψχ+ψ2 γίνεται αρνητική για κάθε χ,ψ∈[-1,1].Να βρεθούν τα α,β
31)Να βρεθούν οι συναρτήσεις f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να ισχύει f(α)=α, f(β)=β και f(γ)=γ 32)Έστω η f(χ)=(α-1)χ2+βχ+α τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο και ισχύει f(α)=α να βρεθεί η f(χ) (Απ.β=-2 και γ=2 ή –1) 33)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+α+1 της οποίας η κορυφή έχει ίδια τετμημένη και τεταγμένη.Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε για κάθε β η f(χ) να τέμνει τον χχ΄ 34) Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+α-1 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ) που έχει ίδια τετμημένη και τεταγμένη.Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθούν τα α,β 35)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ-
α1 που τέμνει τον ψψ΄ στο Α και τον
χχ΄ στο Β,Γ και Κ η κορυφή της παραβολής α)Να βρεθούν οι αποστάσεις ΚΑ,ΒΓ β)Να βρεθεί το β ώστε ΚΑ=ΒΓ 36)Nα βρεθούν τα κ,λ ώστε η παράσταση (λ2+λκ+1)χ2+χ+2κ να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού Ασκήσεις σωστού-λάθους Να σημειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το Λ αν είναι λάθος σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις για τη συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ 1)Αν α>0 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+ ∞ ) Σ Λ 2)Αν α>0 έχει ελάχιστο το –Δ/(4.α2) Σ Λ 3)Είναι γνήσια μονότονη στο R Σ Λ 4)Αν α>ο έχει ελάχιστο στο –β/2.α Σ Λ 5)Αν α<0 είναι γνησίως αύξουσα στο (-∞ , -β/2.α) Σ Λ 6)Αν α<0 και β>0 είναι γνησίως μονότονη στο (β/2.α ,-β/2.α) Σ Λ 7)Έχει κορυφή το σημείο (-Δ/4.α , -β/2.α) Σ Λ 8)Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία χ=-β/2.α Σ Λ Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2 -αx -β2, α,β≠ 0 έχει με τον άξονα x΄x:
Α. ένα κοινό σημείο Β. ένα κοινό σημείο που είναι το Ο (0, 0) Γ. κανένα κοινό σημείο Δ. δύο κοινά σημεία
Ε. δύο κοινά σημεία που το ένα είναι το Ο (0, 0). 2)Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2-αx+α-1,α≠0 εφάπτεται στον άξονα x΄x, τότε το κ ισούται με: Α. 2 Β. 3 Γ. - 2 Δ. -1 Ε. -3 3)Ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι:
Α. f (x) = x2 - 2x – 1 Β. φ (x) = x2 - 6x + 9 Γ. h (x) = x2 - 2x + 1 Δ. g (x) = x2 - 6x - 9 Ε. k (x) = x2 + 4x + 4
4)Αν f (x) = αx2 + βx + γ και Δ < 0 τότε το τριώνυμο f (x) γράφεται:
Α. f (x) = 2
2αβ -x
Β. f (x) =
2
2αβ +x
Γ. f (x) = α
2
2αβ +x
Δ. f (x) = α
24α
Δ +x Ε. f (x) = α
2
2
4α
Δ + )
2αβ +(x
5)Η συνάρτηση f(x) =χ2-4χ+3 Α. έχει ελάχιστο στο 2 Β. έχει ελάχιστο το 1 Γ. είναι γνησίως αύξουσα στο[-2 , 2] Δ. κανένα από τα προηγούμενα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x)=αχ2+βχ+γ Δ>0 Τότε ΕΚΤΟΣ των ριζών το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α και ΕΝΤΟΣ των ριζών το τριώνυμο είναι ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του α.
x − ∞ x1 x2 + ∞ f x( )
ομόσημο ετερόσημο ομόσημο του α 0 του α 0 του α
Δ=0 Τότε το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΓΙΑ ΟΛΕΣ τιμές του χ
ΕΚΤΟΣ απο την τιμή x0 2=− βα
που την μηδενίζει.
x − ∞ − β
α2 + ∞
f x( )
ομόσημο ομόσημο του α 0 του α
Δ<0 Τότε το τριώνυμο ειναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΓΙΑ ΟΛΕΣ τις τιμές του χ.
x − ∞ + ∞ f x( )
ομόσημο του α
ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Α(χ)Β(χ)…Γ(χ)<ή>0 Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά κατά τα γνωστά και στη συνέχεια το πρόσημο του γινομένου με τη βοήθεια πίνακα. ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0
Β(χ)Α(χ) ή0
)()(
<>ΒΑ
χχ
Ισχύει ότι 0A(x)B(x)0)()(
>⇔>ΒΑ
χχ και ομοίως 0A(x)B(x)0
)()(
<⇔<ΒΑ
χχ
Οπότε αναγόμαστε στην παραπάνω μορφή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Έστω η συνάρτηση f(x)=(χ-α1)2+(χ-α2)2+…+(χ-αν)2 να δειχθεί ότι ν(α1
2+α22+…+αν
2)≥ (α1+α2+…+αν)2 ΛΥΣΗ Αφού η συνάρτηση f(x)=(χ-α1)2+(χ-α2)2+…+(χ-αν)2 είναι άθροισμα τετραγώνων θα πρέπει να ισχύει ότι f(x)≥0 Όμως f(x)=νχ2-2(α1+α2+…+αν)χ+α1
2+α22+…+αν
2≥0 για να ισχύει αυτό θα πρέπει Δ 0≤ 4(α1+α2+…+αν)2-4ν(α1
2+α22+…+αν
2) 0≤ ν(α1
2+α22+…+αν
2)≥ (α1+α2+…+αν)2 2)Αν ισχύει η σχέση (χ2-2χ+1)(ψ2+ψ+1)+(ψ2-4ψ+4)(χ2+χ+1)=0 να βρεθούν τα χ,ψ ΛΥΣΗ
Η σχέση (χ2-2χ+1)(ψ2+ψ+1)+(ψ2-4ψ+4)(χ2+χ+1)=0 (χ-1)2(ψ2+ψ+1)+(ψ-2)2(χ2+χ+1)=0 όμως το τα τριώνυμα ψ2+ψ+1 και χ2+χ+1 έχουν διακρίνουσες ίσες -3<0 άρα δεν έχουν λύσεις και έιναι πάντα θετικά αφού ο συντελεστής του των χ2,ψ2 είναι το 1>0. Επίσης (χ-1)2≥0 και (ψ-2)2≥0 και επομένως έχουμε άθροισμα θετικών ίσων με το μηδέν άρα χ=1 και ψ=2
3)Να λυθεί η εξίσωση 012
)1)(32(2
32
<−+−
−−+χχχχχ
ΛΥΣΗ
Η ανίσωση 012
)1)(32(2
32
<−+−
−−+χχχχχ γίνεται
0)12)(1)(32( 232 <−+−−−+ χχχχχ (χ2+2χ-3)(χ-1)(χ2+χ+1)(χ2-2χ+1)>0(χ2+2χ-3)(χ-1)(χ2+χ+1)(χ-1)2>0 όμως το χ2+χ+1>0 αφού η διακρίνουσα του είναι Δ=-3<0 και ο συντελεστής του χ2 είναι θετικός,επίσης (χ-1)2>0.Άρα η ανίσωση γίνεται (χ2+2χ-3)(χ-1)>0.Το τριώνυμο χ2+2χ-3 μηδενίζετε για χ=-3 και χ=1 ενώ το χ-1 μηδενίζετε για χ=1.Έχουμε τον πίνακα Χ -∞ -3 1 +∞ χ-1 - - ο + χ2+2χ-3 + ο - ο + γινόμενο - + + Άρα οι λύσεις είναι το διάστημα (-3,+ ∞) 4)Να βρεθούν οι τιμές του γ ώστε να ισχύει χ2-2χ+2γ-γ2≤0 αν και μόνο αν το χ∈[κ,κ2] με κ≠1,0 ΛΥΣΗ Έστω f(χ)=χ2-2χ+2γ-γ2.Παρατηρούμε ότι α=1>0 άρα για να ισχύει η σχέση θα πρέπει Δ≥0 γιατί αλλιώς αν Δ<0 τότε f(χ)≥0 άτοπο.Αφού Δ≥0 άρα έχει δύο ρίζες χ1,χ2 και για να ισχύει η σχέση χ2-2χ+2γ-γ2≤0 θα πρέπει το χ∈[χ1,χ2] άρα χ1=κ και χ2=κ2.Έχουμε ότι κ2-2κ+2γ-γ2=0(1) και κ4-2κ2+2γ-γ2=0(2).Αφαιρούμε την (1) από την (2) και έχουμε κ2-2κ-κ4+2κ2=0-κ4+3κ2-2κ=0 κ(κ3-3κ+2)=0 κ=0 (απορρίπτεται) ή κ3-3κ+2=0κ3-κ-2κ+2=0κ(κ-1)(κ+1)-2(κ-1)=0(κ-1)(κ2+κ-2)=0 κ=1 (απορρίπτεται) ή κ2+κ-2=0 κ=-2 ή κ=1 (απορρίπτεται).Άρα κ=-2 και το διάστημα είναι το [-2,4] και χ1=-2 και χ2=4 άρα f(-2)=f(4)=8+2γ-γ2=0 γ2-2γ-8=0 έχουμε Δ=4+4*8=36>0 άρα έχουμε δύο άνισες ρίζες 2,4
262
2,1 −=±
=γ
5)Έστω ότι η ανίσωση αχ2+βχ+γ≤0 έχει μοναδική λύση,να δειχθεί ότι
β2-4αγ=0 και α>0 ΛΥΣΗ Έστω ότι α<0.Θα διακρίνουμε τις περιπτώσεις Δ>0,Δ<0,Δ=0 Αν Δ>0 τότε η ανίσωση έχει λύσεις σε δύο διαστήματα άρα όχι μοναδική Αν Δ<0 τότε είναι αδύνατη Αν Δ=0 τότε ισχύει για κάθε χ άρα όχι μοναδική Έστω ότι α>0.Θα διακρίνουμε τις περιπτώσεις Δ>0,Δ<0,Δ=0 Αν Δ>0 τότε η ανίσωση έχει λύσεις σε δύο διαστήματα άρα όχι μοναδική Αν Δ<0 τότε ισχύει για κάθε χ άρα όχι μοναδική Αν Δ=0 τότε α(χ+
αβ
2)2≤0(χ+
αβ
2)2≤0χ=-
αβ
2 μοναδική λύση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Να βρεθεί το κ ώστε να ισχύει χ2+ψ2+2>(ψ+κ)χ
2)Να λυθεί το σύστημα
+=+
=+3344
2yxyx
yx
3)Να λυθούν οι ανισώσεις α)(1-χ)(χ2-10χ+21)(-χ2+χ-5)<0 β)(χ2+χ+1)(χ2-4χ-5)(-χ2+χ-3)2003>0 4)Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση χ2-(λ-1)χ+λ2-3λ+2=0 ώστε να έχουν θετικές λύσεις 5)α)Aν f(χ)=αχ2+βχ+γ και υπάρχει ξ∈R ώστε να είναι αf(ξ)<0,να αποδείξετε ότι το f(χ) έχει ρίζες χ1,χ2 άνισες και χ1<ξ<χ2 β)Αν α3+β3+γ3=3αβγ με α,β,γ διάφορα μεταξύ τους με α>0 και για την f(χ)=αχ2+βχ+γ ισχύει (β+γ)f(ξ)>0 να δειχθεί ότι 1<ξ ή ξ<1 6)Αν α<β<γ να δειχθεί ότι η εξίσωση 0111
=−
+−
+− γχβχαχ
7)Nα βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για την εξίσωση (λ-1)χ2-(λ2-2)χ+λ-3=0 να ισχύει χ1+χ2+χ1χ2<0 8)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3(χ2+1),χ2-χ+1,χ2-χ+2 όπου χ ακέραιος.Να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου
9)Αν α,β,γ αρνητικοί αριθμοί και ισχύει 222 222 χχγχχβχχα −+=−++−+ τότε να δειχθεί ότι α+β≤γ-1
10)Αν ισχύει χ2+ψ2-αχ-βψ+γ>0 για κάθε χ,ψ∈ℜ να δειχθεί ότι γ>4
22 βα +
Εφαρμογή: Αν ισχύει χ2+ψ2-γχ- 3 ψ+γ>0 για κάθε χ,ψ∈ℜ να βρεθεί ο ακέραιος γ 11)Να βρεθούν τρεις ακέραιοι διαδοχικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα των τετραγώνων να είναι μικρότερο του 3 12)Αν οι εξισώσεις χ2+(2λ+1)χ+λ=0 και λχ2+(3λ+4)χ+1=0 έχουν μια κοινή θετική ρίζα να βρεθούν τις τιμές που μπορεί να πάρει το λ 13)Αν χ2+ψ2=α και χ+ψ=β και να βρεθούν οι τιμές του α ώστε να ισχύει χ+χψ+ψ>1 για κάθε χ,ψ ∈ℜ 14)Αν για α,β ισχύει η σχέση β2+(α-2) αβ -2α3<0 να βρεθούν οι ακέραιες
τιμές του λόγου αβ
15)Αν υπάρχει μοναδικό γ ώστε η εξίσωση αχ2+(γ+1)χ+γ≤0 να έχει μοναδική λύση να βρεθεί το α 16)Αν η ανίσωση αχ2+2(α+3)χ+β≤0 έχει μοναδική ακέραια ρίζα να βρεθεί το α 17)Να βρεθούν τα χ,ψ ώστε η ανίσωση (ψ-1)χ2 +ψχ+1≤0 να έχει μοναδική λύση ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να λυθεί η εξίσωση 2(α3+β3)χ2-3χ+α+β=0 όταν οι αριθμοί α,β
αποτελούν ρίζες της εξίσωσης χ2-λχ+2
12 −λ =0
ΛΥΣΗ
Αφού α,β αποτελούν ρίζες της εξίσωσης χ2-λχ+2
12 −λ =0 άρα α+β=λ και
αβ=2
12 −λ .Θα πρέπει να βρούμε το άθροισμα α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
(1).Ισχύει ότι α2+β2=(α+β)2-2αβ=λ2-2(2
12 −λ )=1 άρα η (1) γίνεται
α3+β3=λ(1-2
12 −λ ) και η εξίσωση γίνεται 2λ(1-2
12 −λ )χ2-3χ+λ=0
(2λ-λ3+λ) χ2-3χ+λ=0 (3λ-λ3)χ2-3χ+λ=0 α)Αν 3λ-λ3=0 λ=0 ή λ=± 3 τότε έχουμε λύση την χ=
3λ
β)Αν 3λ-λ3≠0 λ≠0 ή λ≠± 3 τότε Δ=9-4λ(3λ-λ3)=9-12λ2+4λ4=(2λ2-3)2
β1)Αν λ=±23 τότε έχουμε μια διπλή ρίζα την χ=-
32
β2)Αν λ≠±23 τότε έχουμε δύο άνισες ρίζες τις
)3(2323
2
2
1 λλ
λχ
−
−+= ή
)3(2323
2
2
2 λλ
λχ
−
−−=
αν 2λ2-3>0 λ<-23 και λ>
23
τότε 22
2
1 3)3(2323
λλ
λλλχ
−=
−−+
= ήλλλ
λλλ
λχ 1)3(2
26)3(2323
2
2
2
2
2 =−
−=
−+−
=
αν 2λ2-3<0 - 23 <λ<
23
τότε λλλ
λλλ
λχ 1)3(2
26)3(2323
2
2
2
2
1 =−
−=
−+−
= ή 22
2
2 3)3(2323
λλ
λλλχ
−=
−−+
=
2)Αν η εξίσωση 3 βα + χ2+4 β−8 χ+4 α−6 -56=0 έχει μια ρίζα το 2,να βρεθεί η άλλη ρίζα ΛΥΣΗ Αφού η εξίσωση έχει ρίζα το 2 άρα 12 βα + +8 β−8 +4 α−6 -56=0 3 βα + +2 β−8 + α−6 -14=0
Θέτουμε κ= βα + ,λ= β−8 ,μ= α−6 άρα κ2+λ2+μ2=14 (1) και 3κ+2λ+μ=14 (2).Πολλαπλασιάζουμε την (2) με το 2 και την αφαιρούμε από την (1).Έχουμε κ2+λ2+μ2-6κ-4λ-2μ+14=0(κ-3)2+(λ-2)2+(μ-1)2=0 κ=3 και λ=2 και μ=1 β=4,α=5.Άρα η εξίσωση γίνεται 9χ2+8χ-52=0 και Δ=1936 άρα χ1,2= 18
448 ±− χ1=2 , χ2=-926
3)Έστω α,β,γ πλευρές τριγώνου με α≥β , α≥γ τότε αν υπάρχει μοναδικό χ κατά το οποίο ελαττόμενες οι πλευρές α,β,γ γίνονται πλευρές ορθογωνίου τριγώνου να δειχθεί ότι το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές ΛΥΣΗ Οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι α-χ υποτείνουσα γιατί α≥β , α≥γ και οι κάθετες πλευρές είναι β-χ,γ-χ.Άρα από πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε (α-χ)2=(β-χ)2+(γ-χ)2 χ2+2(β+γ-α)χ+β2+γ2-α2=0 και αφού υπάρχει μοναδικό χ άρα η διακρίνουσα θα πρέπει είναι Δ=0 4(β+γ-α)2-4(γ2+β2-α2)=0 α2+β2+γ2-2αβ-2αγ+2βγ-γ2-β2+α2=0 …α2-α(β+γ)+βγ=0 (α-β)(α-γ)=0 α=β ή α=γ άρα το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές 4)Aν η εξίσωση χ2+αχ+1=β έχει θετικές ακέραιες ρίζες τότε να δειχθεί ότι ο αριθμός α2+β2 είναι ακέραιος και σύνθετος ΛΥΣΗ Αν χ1,χ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε χ1+χ2=-α και χ1χ2=1-β.Άρα α2+β2=( χ1+χ2)2+(1-χ1χ2)2=χ1
2+χ22+2χ1χ2+1-2χ1χ2+χ1
2χ22=
χ12+χ2
2+1+χ12χ2
2=(χ12+1)(χ2
2+1) άρα ο αριθμός α2+β2 είναι ακέραιος ως γινόμενο ακεραίων και σύνθετος αφού γράφετε σαν γινόμενο 5)Έστω η εξίσωση αχ4+βχ2+γ=0 α)Να δειχθεί ότι για να έχει η εξίσωση τέσσερις πραγματικές ρίζες θα πρέπει τα α,γ να είναι ομόσημα ενώ β ετερόσημο των α,γ β)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η εξίσωση (α2+α-2)2003χ2+β2004χ+(α-α-6)2005=0 ΛΥΣΗ α)Θέτουμε όπου χ2=ψ και άρα έχουμε την εξίσωση αψ2+βψ+γ=0 (1).Για να έχουμε τέσσερις πραγματικές ρίζες θα πρέπει ψ>0 γιατί μόνο τότε θα έχει ρίζες η εξίσωση χ2=ψ.Άρα οι ρίζες τις (1) θα πρέπει να είναι θετικές
δηλαδή πρέπει S,P>0αβ− >0 α,β<0 άρα ετερόσημα και
αγ >0α,γ>0 άρα ομόσημα.Άρα α,γ είναι ομόσημα ενώ β ετερόσημο των
α,γ β)Σύμφωνα με το α) θα έχουμε ότι β2004>0 άρα (α2+α-2)2003(α-α-6)2005<0(α2+α-2)(α2-α-6)<0.Ο πρώτος παράγοντας έχει ρίζες –2,1 ενώ ο δεύτερος παράγοντας έχει ρίζες 3,-2 άρα σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα -∝ -2 1 3 +∝
α2+α-2 + - + + α2-α-6 + - - +
γινόμενο + + - + Το γινόμενο πρέπει να είναι αρνητικό άρα α∈(1,3) 6)α)Να βρεθεί η συνάρτηση f:R→R που ικανοποιεί την σχέση 2f(χ)+f(χ-1)=αχ2+χ+1 (1) για κάθε χ∈R β)Να βρεθεί η συνάρτηση g:R→R που ικανοποιεί την σχέση g(χ+1)≤χ≤g(χ)+1 (2) για κάθε χ∈R γ)Αν η συνάρτηση g(χ) είναι εφαπτομένη της f(χ) να βρεθεί το α ΛΥΣΗ α)Αφού η σχέση ισχύει για κάθε χ άρα θα ισχύει και για χ-1 άρα 2f(χ-1)+f(χ)=α(χ-1)2+(χ-1)+12f(χ-1)+f(χ)=αχ2-2αχ+α+χ (3).Οι σχέσεις (1) και (3) αποτελούν σύστημα.Από την (1) έχουμε ότι f(χ-1)=αχ2+χ+1-2f(χ) και την θέτουμε στην (3) και έχουμε 2[αχ2+χ+1-2f(χ)]+f(χ)=αχ2-2αχ+α+χ 2αχ2+2χ+2-4f(χ)+f(χ)= αχ2-2αχ+α+χ -3f(χ)=-αχ2-2αχ-2χ+χ+α-2-3f(χ)=-αχ2-2αχ-χ+α-2 f(χ)=
3α χ2+(
31α2 + )χ+
32 α− άρα η f(χ) είναι παραβολή
β)Αφού η σχέση g(χ+1)≤χ≤g(χ)+1 ισχύει για κάθε χ∈R άρα μπορούμε να θέσουμε όπου χ το χ-1 άρα θα έχουμε g[(χ-1)+1)≤χ-1≤g(χ-1)+1 g(χ)≤χ-1≤g(χ-1)+1 άρα από την πρώτη ανισότητα έχουμε χ≥ g(χ)+1 άρα έχουμε g(χ)+1≤χ≤g(χ)+1 χ=g(χ)+1 g(χ)=χ-1 άρα από g(χ) είναι ευθεία γ)Αφού η συνάρτηση g(χ) είναι εφαπτομένη της f(χ) άρα θα πρέπει οι δύο συναρτήσεις να έχουν ένα κοινό σημείο.Για να βρούμε το σημείο αυτό πρέπει να λύσουμε την εξίσωση g(χ)=f(χ) χ-1=
3α χ2+(
31α2 + )χ+
32 α−
3χ-3=αχ2+(2α+1)χ+2-ααχ2+2(α-1)χ+5-α=0 η εξίσωση θα πρέπει να έχει μια λύση άρα Δ=04(α-1)2-4α(5-α)=0α2-2α+1-5α+α2=0
2α2-7α+1=0 η εξίσωση έχει Δ=49-4*2=41 άρα α=4
417 ±
7)Έστω χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-αχ+β=0.Να βρεθούν τα α,β ώστε το ελάχιστο της παράστασης Α=χ1
2(χ2+1)+χ22(χ1+1) να είναι ίσο
με 4 ΛΥΣΗ Πρώτα θα πρέπει να γράψουμε την παράσταση Α ως άθροισμα και γινόμενο των ριζών χ1,χ2 με χ1χ2=β και χ1+χ2=α Α=χ1
2χ2+χ12+ χ2
2χ1+χ22=χ1χ2(χ1+χ2)+χ1
2+χ22= χ1χ2(χ1+χ2)+(χ1+χ2)2-
2χ1χ2=βα+α2-2β=α2+αβ-2β.Η παράσταση είναι τριώνυμο ως προς α με τον συντελεστή του β2 να είναι το 1>0 άρα παρουσιάζει ελάχιστο για
α=2β− και η Α γίνεται Αmin= βββ 2
24
22
−− =4
82 ββ −− όμως Αmin=4
-β2-8β=16β2+8β+16=0(β+4)2=0β=-4 και α=2β− =2
8)Δίνεται η εξίσωση αχ2+Δχ+α+γ=0 με διακρίνουσα Δ.Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί πάρει το γ ώστε η εξίσωση,για κάθε α,να έχει πάντα δύο άνισες λύσεις ΛΥΣΗ Αφού Δ είναι η διακρίνουσα άρα Δ=Δ2-4α(α+γ) Δ2-Δ-4α(α+γ)=0 (1) ή εξίσωση θα πρέπει να έχει τουλάχιστον μια ρίζα άρα Δ1≥0 1+4*4α(α+γ)≥01+16α(α+γ)≥016α2+16αγ+1≥0.Η ανισόσητα είναι ένα τριώνυμο ως προς α και θα πρέπει να ισχύει για κάθε α.Άρα αφού α=16>0 πρέπει να ισχύει ότι Δ2≤0(16γ)2-4*16≤0 4γ2-1≤0γ2≤
41 .Έχουμε λοιπόν τον πίνακα
-∞ -21 +
21 +∞
γ2- 41
+ - +
Άρα για γ2≤41-
21 ≤γ≤
21 έχουμε ότι υπάρχει τιμή του Δ έτσι ώστε
Δ∈R.Όμως θα πρέπει για μία από τις δύο λύσεις τις (1) να ισχύει και Δ>0.Παρατηρούμε ότι το Δ1+Δ2=1.Αν Δ1<0 και Δ2<0 τότε Δ1+Δ2=1<0 αδύνατο άρα τουλάχιστον μια εκ των Δ1,Δ2 είναι θετική και άρα η αρχική μας εξίσωση θα έχει δύο ρίζες άνισες
9)Να βρεθούν τα α,β,χ,ψ,με ψ ακέραιο αριθμό,ώστε η ανίσωση χ2+(α+β-1)ψχ+αψ+3≤0 να έχει μοναδική λύση ΛΥΣΗ Η εξίσωση είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς χ άρα για να έχει μια μοναδική λύση θα πρέπει Δ=0 (δες λυμένο παράδειγμα σελίδα ) Έχουμε ότι (α+β-1)2ψ2-4(αψ+3)=0(α+β-1)2ψ2-4αψ-12=0 αφού όμως ψ ακέραιος αριθμός άρα θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο άρα Δ1=16α2+4*12*(α+β-1)2=64α2+96α(β-1)+(β-1)2 άρα η διακρίνουσα είναι δευτεροβάθμια ως προς α και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο άρα η Δ2=0962(β-1)2-4*64(β-1)2=0β=1 και έχουμε Δ1=64α2 και ψ1,2= 2
84α
αα ± ψ1= 212αα =
α6 ,ψ2= αα
α 242 −=
− για να είναι ψ
ακέραιος αριθμός θα πρέπει το α να είναι διαιρέτης των 2,6 άρα α=±1,±2 Α)Αν α=1 τότε ψ1=6 και ψ2=-2.Για ψ1=6 τότε χ=-3 και για ψ2=-2 τότε χ=1 Β) Αν α=-1 τότε ψ1=-6 και ψ2=2.Για ψ1=-6 τότε χ=-3 και για ψ2=2 τότε χ=1 Γ)Αν α=2 τότε ψ1=3 και ψ2=-1.Για ψ1=3 τότε χ=-3 και για ψ2=-1 τότε χ=1 Δ)Αν α=-2 τότε ψ1=-3 και ψ2=1.Για ψ1=-3 τότε χ=-3 και για ψ2=1 τότε χ=1 10)Nα βρεθούν τα α,β ώστε η παράσταση ημθ=2χ2+αχ+β,με θ οξεία γωνία,να ορίζεται αν και μόνο αν χ∈[1,2] ΛΥΣΗ Α)Γνωρίζουμε ότι ημθ≤1 άρα θα πρέπει 2χ2+αχ+β-1≤0.Θεωρούμε την f(χ)= 2χ2+αχ+β-1 παρατηρούμε ότι α=2>0 άρα για να ισχύει η σχέση θα πρέπει Δ≥0 γιατί αλλιώς αν Δ<0 τότε f(χ)≥0 άτοπο. Αφού Δ≥0 άρα έχει δύο ρίζες χ1,χ2 και για να ισχύει η σχέση θα πρέπει 2χ2+αχ+β-1≤0 το χ∈[χ1,χ2] άρα χ1=1 και χ2=2.Άρα έχουμε f(1)=2+α+β-1=0 α+β=-1 (1) και f(2)=8+2α+β-1=02α+β=-7 (2).Οι σχέσεις (1),(2) αποτελούν σύστημα με λύσεις α=-6 και β=5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Αν η σχέση (α3+β3+γ3)χ2+(α+β+γ)χ+α+β-γ-2=0 ισχύει για κάθε χ τότε να βρεθούν τα α,β,γ
2)Να δειχθεί ότι για το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+γ ισχύει f( 2003
2−
S )=f( 20032+
S )
3)Αν (κ-α)2+(κ-β)2=(κ-γ)2+(κ-δ)2 και (λ-α)2+(λ-β)2=(λ-γ)2+(λ-δ)2 και (μ-α)2+(μ-β)2=(μ-γ)2+(μ-δ)2 με κ≠ λ≠ μ≠ κ να δειχθεί (2003-α)2+(2003-β)2=(2003-γ)2+(2003-δ)2 4)Αν η ευθεία y=αχ και η παραβολή y=αχ2+2χ+γ έχουν δύο κοινά σημεία με γ ακέραιος και η παραβολή διέρχεται από το σημείο (2,3) να βρεθούν η ευθεία και η παραβολή 5)Aν α,β,γ ρητοί αριθμοί τότε να βρεθεί το α≠ 0 έτσι ώστε η εξίσωση αχ2+βχ+β+1=0 να έχει ρητές ρίζες 6)Να βρεθούν οι τιμές του γ ώστε ότι αν η ευθεία y=λχ+κ είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχ+γ,όπου α,β,γ ρητοί αριθμοί και γ≠ κ,τότε οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 να είναι ρητοί αριθμοί 7)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β,γ α≠ 0 και ρητοί αριθμοί και ισχύει P+S=
α2004 .Να βρεθεί το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι
ρητοί αριθμοί 8)Αν η ευθεία y=α με α ακέραιος αριθμός τέμνει τις παραβολές y1=χ2+χ+1 και y2=-x2+x+1 σε τέσσερα σημεία να βρεθεί το α 9)Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ευθεία y=(β2+λβ+1)χ+γ είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχ+γ 10)Έστω α,β,γ,μ,ν πραγματικοί αριθμοί διάφοροι μεταξύ τους και του
μηδενός και ισχύει αγν
βµ
=+22
.Να δειχθεί ότι η εξίσωση
χ2-(α+β+γ)χ+βγ+γα+αγ-μ2-ν2=0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες 11)Nα βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη ταυτόχρονα στις παραβολες y=χ2+χ+1 και y=χ2-χ+1 12)Να δειχθεί πως για κάθε τριάδα αριθμών χ,ψ,α ισχύει χ2+2ψ2-α 2 χ-2 2 ψ+α2+1≥0
13)Αν υπάρχει μοναδικό κ έτσι ώστε οι παραβολές y=κχ2+αχ+κ και y=χ2+κχ+1 να τέμνονται σε ένα σημείο τότε να βρεθούν οι παραβολές αυτές
14)Αν η εξίσωση 022
=+++
+ γχβαγβ
αχ έχει διπλή ρίζα ρ τότε να δειχθεί
ότι ρ=±β ή ρ=±γ 15)Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου να δειχθεί ότι η εξίσωση χ2-4αγχ+(α2-β2+γ2)2=0 έχει δύο ρίζες άνίσες και άρρητες 16)Αν ισχύει α2+β2=1 και η εξίσωση
81 χ2-(α4+β4+α2β2)χ+α8+β8+1=0 έχει
ρίζα το 4 να βρεθούν τα α,β 17)Aν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠0 έχει ρίζα το S να δειχθεί ότι η εξίσωση 2χ2+2(αβ+βγ+γα)χ+α4+β4+γ4=0 έχει διπλή ρίζα 18)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 όπου οι ρίζες χ1,χ2 είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί.Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της P-S 19) Έστω ότι εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες με α>0 και ισχύει ότι ( )( ) 111 22 =++++ PPSS α)Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το S
β)Αν α=4
62 −β και β ακέραιος να βρεθούν τα α,β,γ
20)Έστω η f(χ)=χ2+αχ+β τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το εμβαδό του ΚΑΒ (Απ. Ε=3 3 ) 21)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ-
α2 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή
της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Κ 22)Έστω η f(χ)=λχ2+λ(λ+1)χ+λ+1 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το λ (Απ.λ=3 ή -2) 23)Έστω η συνάρτηση f(χ)=βχ2+2χ+γ είναι τέλειο τετράγωνο και η εξίσωση χ2+βχ+γ=0.Να δειχθεί ότι
α)Οι ευθείες ψ=Pχ+S και ψ=Sχ+Ρ είναι κάθετες β)Αν από το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών διέρχεται η f(χ) να βρεθεί η f(χ) 24)Να βρείτε όλους τους ακέραιους ν για τους οποίους η εξίσωση
ψν
ψ +=+
xx211 δεν έχει πραγματικές και άνισες λύσεις
25)Nα βρεθεί η εξίσωση με ακέραιες ρίζες που ικανοποιούν την σχέση χ1
3+χ23=(χ1+χ2)2
26)Έστω η f(χ)= αχ2+βχ+γ με γ≠0 τέμνει τον άξονα των χ σε δύο σημεία με θετικές ακέραιες τετμημένες διαφορετικές μεταξύ τους.Να δειχθεί ότι f3(1) ≠α3+β3+γ3 27)Αν για την εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 ισχύει 13
23
1 =+ χχ να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(χ)=χ2-2αγχ+γ(α+β)3 εφάπτεται με τον χχ΄ 28)Αν για την εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 ισχύει 12α 3 γ = 3 α (64α-β) να βρεθεί η τιμή της παράστασης 3
23
1 χχ + 29)Να σχηματιστεί η εξίσωση με ρίζες χ1= 1++ κκ ,χ2= 1++ λλ με κ,λ>0 και Ρ=1 30)Έστω ένα σύστημα 2x2.Αν Dχ+Dy είναι κοινή ρίζα των εξισώσεων χ2-2χ-2(Dχ+Dy-1)=0 και χ2-Dχ+2=0 τότε να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος 31) Δίνονται οι ευθείες ε1:ψ=2χ+κ και ε2:ψ=2χ+κ+1.Μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στις ε1,ε2 τμήμα (ΑΒ) όπου Α ανήκει στην ε1 και Β ανήκει στην ε2.Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του ΑΒ (Απ.ΑΒmin= 5
1 )
32)Δίνεται ένα σύστημα 2x2 και η εξίσωση D2+2λD-(λ4+3λ2+4)=0 και η εξίσωση χ2-2λχ+2(DχDy+λ2)=0 έχει ρίζα την Dχ-Dy.Να βρεθεί το λ ώστε η D να γίνει μέγιστη και μετά να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος 33)Δίνεται ένα σύστημα 2x2 που έχει μοναδική λύση (χο,ψο) οι οποίες αποτελούν και λύσεις της εξίσωσης Dχ2+Dχχ+Dψ=0.Να βρεθούν τα χο,ψο [Απ.(χο,ψο)=(1,-2) ή (-
21 ,-
21 )]
34)Δίνεται σύστημα 2χ2 που έχει μια εξίσωση χ-ψ=3 και η συνάρτηση f(χ)= Dχ2+Dχχ+Dψ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Β,Γ.Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μήκους ΒΓ (Απ.ΒΓ=2 2 )
35)Αν υπάρχει μοναδικό β ώστε το σύστημα
=+=+βαψχ
αψαχ 1 να έχει
μοναδική λύση και η εξίσωση χ2+(α+β)χ+α=0 έχουν D=Δ να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης και του συστήματος 36)Δίνονται οι ευθείες ε1:λχ+4ψ=8,ε2:χ+λψ=4 που τέμνονται στην κορυφή Α της παραβολής f(χ)=-(λ+2)χ2+βχ+60λ α)Να βρεθεί η κορυφή της παραβολής [Απ.(8,4)] β)Αν η f(χ) τέμνει τον άξονα χχ΄ στα σημεία Β,Γ.Να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές γ)Να βρεθεί το εμβαδό του ΑΒΓ [Απ.(ΑΒΓ)=8] 37) Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+α(α2+α+1)=0 με α≠β και ισχύει
βαβ
χχ −=+
21
11 .Να βρεθούν τα α,β και ώστε οι ρίζες να παίρνουν τις
ελάχιστες τίμες
38)Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=αχ2+3αχ+γ που τέμνει τον άξονα χχ΄ σε διαδοχικά σημεία Α,Β με τετμημένες ακέραιούς διαδοχικούς αριθμούς. α)Να βρεθούν οι τετμημένες αυτές όταν ΑΒ γίνει ελάχιστο β)Αν ΑΒmin= 5 να βρεθεί το α
39)Έστω η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 και το σύστημα
=+=+αγψβχγβψαχ με
α,β,γ≠0. α)Αν το σύστημα είναι αόριστο να λυθεί η εξίσωση β)Αν Δ+4D=0 και οι λύσεις τις εξίσωσης είναι η λύση του συστήματος να βρεθούν οι τιμές που παίρνει το S
40)Έστω το σύστημα
==+
βχψψχ 122
με λύσεις χ0,ψ0 και χ0≠ψ0 και ισχύει η
σχέση χ2+βχ+γ≤0 για κάθε χ∈[ χ0,ψ0].Να λυθεί το σύστημα
41)Έστω οι ευθείες ε1:αχ+βψ=α+κ και ε2:βχ+αψ=β+λ με Α(χ0,ψ0) το σημείο τομής τους και η εξίσωση (κ+λ-2)χ=(α2-β2)2+(β+1)(β-1)-(α2+1) που είναι αόριστη α)Να βρεθούν τα α,β β)Αν η απόσταση ΑΟ,όπου Ο η αρχή των αξόνων,γίνεται ελάχιστη να βρεθούν τα κ,λ
42)α)Να λυθεί το σύστημα
=++=+
λλψχλψλχ 1
β)Αν χο,ψο οι λύσεις του συστήματος να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το λ ώστε να ισχύει χο+ψο>1 43)Έστω η σχέση (α-β+γ-1)χ≥αψ2+βψ+γ ισχύει για κάθε χ και αν και μόνο αν το χ∈[β,α].Να βρεθούν τα α,β,γ 44)Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε η εξίσωση
34+χχ =1-(2μ+1)2 να έχει
ακέραιες ρίζες 45)Να βρεθούν τα α,β ώστε στην εξίσωση χ2+αχ+β=0 αν θέσουμε χ=
ψψ
+−
11 η εξίσωση που προκύπτει ως προς ψ να έχει την ίδια ρίζα με την
αρχική 46)Aν η εξίσωση 011 22 =+++++ χαχαχχ έχει μια μόνο λύση να βρεθεί το α 47)Αν η συνάρτηση f(χ)=χ2+αχ+β και ισχύει f(β)=β να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης f(χ)=0 48)Αν η ανίσωση χ2+2(ψ+ω)+(ψ+1)(ω-1)≤0 έχει μοναδική λύση να βρεθούν τα χ,ψ,ω 49)Aν οι ευθείες ε1:ψ=(α2+β2+γ2)χ και ε2:ψ=(αβ+βγ+γα)χ+1 α)Πότε οι ευθείες είναι παράλληλες; β)Να βρεθούν τα κ,λ ώστε τα σημεία Α(κ,1)∈ε2 και Β(1,λ)∈ε1 γ)Να βρεθούν τα α,β,γ έτσι ώστε ΑΒ να είναι ελάχιστη 50)Aν υπάρχει μοναδικό χ ώστε να ισχύει συν2θ=αχ2+βχ+γ τότε να βρεθεί το θ
51)α)Nα σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ1,χ2 που ικανοποιούν τις εξισώσεις χ1+χ1χ2+χ2=α2-α+1 και (α-1)2(χ1+χ2)+αχ1χ2=2α(α-1)2 β)Να διερευνυθεί η παραπάνω εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α γ)Να δειχθεί ότι αν έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τότε αυτές είναι θετικές δ)Να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f(χ)=χ2-(χ1+χ2)χ+χ1χ2 να έχει ελάχιστη τιμή fmin=-
41
52)Έστω ότι υπάρχει γωνία θ έτσι ώστε ημθ=χ+α και συνθ=χ+β να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της διαφοράς α-β 53)Αν υπάρχει μοναδικό χ ώστε για γωνία θ να ισχύει ημθ=
γχα+
και
συνθ=γχ
β+
όπου α,β,γ πλευρές τριγώνου,να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι
ισοσκελές 54)Να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ1,χ2 για τις οποίες ισχύει χ1
2+χ22=α2,χ1χ2=(α-1)2 και το άθροισμα χ1+χ2 να είναι ελάχιστο
55)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+β-1=0 με β ρητό αριθμό και χ1,χ2 οι ρίζες της που είναι οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.Να βρεθεί το το α ώστε η υποτείνουσα να είναι ρητός αριθμός
56)Να λυθεί το σύστημα
=++
=++
322
4224
ψχψχ
αψψχχ αν το άθροισμα χ+ψ είναι
ελάχιστο 57)Έστω οι εξίσωσεις αχ2+βχ+γ=0 και (αγ)2 αγ χ2+4χ+β2=0 έχουν ταυτόχρονα ρίζες α)Να δειχθεί ότι οι εξισώσεις έχουν από μια διπλή ρίζα β)Αν οι ρίζες των εξισώσεων είναι οι συντελεστές διεύθυνσης δύο ευθειών να βρεθεί το α ώστε οι δύο ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους 58)Έστω η συνάρτηση f(χ)= xx −++ 32 α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(χ) β)Αν f(χ)=3 και θέσουμε 2+x =α και x−3 =β να δειχθεί ότι α+β=3,α2+β2=5 γ)Να λυθεί το σύστημα α+β=3,α2+β2=5 δ)Να βρεθεί η λύση της εξίσωσης f(χ)=3
59)Έστω τα σημεία Α(χ,2),Β(3,χ),Γ(5,2-χ) α)Να βρεθούν τα μήκη των ΑΒ,ΑΓ β)Αν ΑΓ-ΑΒ=1 να βρεθούν τα ΑΒ,ΑΓ και μετά το χ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΕΜΙΡΤΖΟΓΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
