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2永磁同步电动机的数学模型和矢量控制

随着永磁材料性能的不断提高，永磁同步电动机得到了广泛应用。作为能量转换

的装置，永磁同步电动机有多种结构和分类。本章首先简要叙述了永磁同步电动机的基

本结构和主要分类，然后对其数学模型进行了分析，给出了永磁同步电机的运动方程

等，从而为对其进行矢量控制奠定了理论基础。

2.1永磁同步电动机的分类和结构

永磁同步电动机的基点是用永磁体取代绕线式同步电动机转子中的励磁绕组，从而

省去了励磁线圈、滑环和电刷。永磁同步电动机的定子与绕线式同步电动机基本相同，

要求输入定子的电流仍然是三相正弦的，所以称为三相永磁同步电动机。

和普通同步电动机一样，永磁同步电动机也是由定子和转子两大部分组成，其基本

结构如图21所示。电机定子由定子铁心〔由冲有槽孔的硅钢片压叠而成)、定子绕组(在

铁心槽中嵌放三相电枢绕组)。转子通常由轴、永久磁钢及磁扼等部分组成，其主要作

用是在电动机的气隙内产生足够的磁感应强度，与通电后的定子绕组互相作用产生转矩

以驱动自身运转。

根据转子极对数的不同，永磁同步电动机分为单极和多极。图21是具有一对极对

数的永磁同步电机。

定子绕组

转子

图2.1具有一对极的永磁同步电机

根据永磁体在转子上安装位置的不同，永磁同步电机有表面式、嵌入式和内埋式。

前两种形式又统称为外装式结构，其可使转子做得直径小，惯量低，特别使是若将永磁

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体直接粘接在转轴上，还可以获得低电感，有利于改善动态性能。正因如此，许多交流

永磁伺服电动机都采用这种外装式结构。

另一种转子结构是将永磁体埋装在转子铁心内部，每个永磁体都被铁心所包容，通

常称之为内埋式永磁同步电动机。这种结构，机械强度高，磁路气隙小，所以与外装式

转子相比，适合弱磁运行。

表面式永磁同步电动机实质上是一种隐极式同步电动机，因为永磁材料的磁导率十

分接近空气，所以交、直轴电感基本相同。而嵌入式和内埋式结构属于凸极式同步电动

机，其交轴电感大于直轴电感，这样除产生电磁转矩外，还产生磁阻转矩。若能灵活利

用此磁阻转矩可获得高效率的运转。此方面的特点，尤其受到大家所关注〔19]。

2.2坐标变换原理

在矢量控制中用到几种坐标系，下面将对各坐标系进行逐一分析，并给出之间的变

换关系[l浏。

22.1坐标系介绍

(1) 三相静止坐标系

三相永磁同步电机的定子里有三相绕组，其绕组轴线分别为A、B、C，且彼此互

差120’空间电角度。当通以三相平衡的正弦电流队、电、ic时，就产生了一个旋转的

磁场。三相静止坐标系定义如图22所示，A、B、C三个坐标轴互差120a 。

(2) 两相静止坐标系

为了简化分析，定义一个两相坐标系二、刀，如图23所示。如果在由a、刀组成

的两相绕组内通入两相对称正弦电流时也会产生一个旋转磁场，效果和三相绕组产生的

一样。因此可以由两相坐标系代替三相定子坐标系进行分析，从而简化了运算过程。

图2.2三相静卫卫垒标系 图23两相静止坐标系

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(3) 同步旋转坐标系

将转子轴向定义为d轴，逆时针超前90a方向为q轴，如图2.4所示:

图2.4同步旋转坐标系

对于PMSM来说，用固定于转子的参考坐标来描述和分析它们的稳态和动态性能

是十分方便的。此时取永磁体基波磁场的方向为d轴，而q轴顺着旋转方向超前d轴

90“电角度。转子参考坐标系的旋转速度即为转轴速度。当转子在空间旋转时，d、q

坐标系也在空间旋转，故相对于转子来说，此坐标系是静止的，称为同步旋转坐标系。

2.22坐标变换

如果能将交流电机的物理模型等效地变成类似直流电机的模式，然后再模仿直流机

去进行控制，问题就可以大为简化，坐标变换正是按照这条思路进行的。在这里，不同

电机模型彼此等效的原则是:在不同坐标系下产生的磁动势相同。

(1)三相静止坐标系和两相静止坐标系之间坐标变换

在三相静止坐标系A、B、c和两相静止坐标系。、刀之间的变换，简称3泛变

换。图25绘出了A、B、C和。、刀两个坐标系。

图25三相定子坐标系和两相定子坐标系的变换关系

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为了方便起见，取。轴与A轴重合，设三相系统每相绕组的有效匝数为从，两相

系统每相绕组的有效匝数为从，各相磁动势均为有效匝数及其瞬时电流的乘积。交流

电流的磁动势大小随时间而变，图中磁动势矢量的一长短是任意画的。设磁动势波形是正

弦分布的，当三相总磁动势与两相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在a、刀上的

投影应当相等。

丛ia一凡从一凡协0560。一丛iccos60’-、(、一合、一告、) (2.1)

NZ，一凡iBsin6o’一N3iCsin6o‘-

为了便于求反变换，最好将变换阵表示成可逆的方阵。

增加一相零轴磁动势NZio，并定义为

凡10兰犬叽(iA十iB十Ic)

将以上三式合在一起，写成矩阵形式，得

零、殆一犯’ (2.2)

为此，在两相系统上人为地

(23)

l l

二几川爪 (24)

﹃lesesesesesesesesesJ

.从

·怕

·Ic

厂leseseseseeeseeesL

飞llse一

」

2打12K

2打-ZK

l

o

K

凡-Nz

式中

(2，5)

1----2行一2"

1︷2行-ZK

l

o

K

从-凡

C

是三相坐标系变换到两相坐标系的变换阵。满足功率不变条件时应有

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0万-2行-2

(2石)

显然，两矩阵的乘积应为单位阵

1 l

0亚2卫2

几/2c玉1=2行12K

2石一2尤

(27)3

12

E

门lesesesesesesesesesJ

，︸

o

o

K

2

，.

门

3

-2

0

︸日

0

因此

且

釜一指

‘一岩这就是满足功率不变约束条件的参数关系。把它们代入式(25)，即得三相俩相变

换阵

_ }2

叭“一v了

l 1

(2.10)2卫21-拒

2扼一21-打

反之，如果要从两相坐标系变换到三相坐标系(简称2/3变换)，可求其反变换阵，

得

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(2.11)

1-行上打止打

。五2卫2

2

1

-2

cZ，3=c打2=

在实际电机中并没有零轴电流，因此实际的电流变换式为

1̂

-15

.Ic

(212)一牌行

，气

·而节

(2.13)

如果三相绕组是星形不带零线接法则

从+iB+ic二0 (214)

将式(2.14)代入式(2.12)和式(2，13)，整理后得

(2.15)

厄仁1-万

一

1

‘.L

--

门......J

·la

.，怕

reseses.ee月L

(2.16)朴以川

霜1一拓

resesesesesesesesesesesesesL

--

﹁lesesesesesJ

‘从

·龟

干

.

.

.

(2)两相俩相旋转变换(2妮r变换)

图2乃和图2.4中两相静止坐标系a、刀和两相旋转坐标系d、q之间的变换称为两

相/两相旋转变换，简称2岁2:变换，其中5表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一

起，即为图2石。

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一火;。早一}一‘梦R二 d

0、一 一 .卜

1o a

图2.6dq坐标系和叨坐标系之间变换关系

图中d轴·q轴和矢量1，都以口;转速旋转，因此分量id、凡的长短不变，相当于

d、q绕组的直流磁动势。但a轴和刀轴是静止的，a轴与d轴的夹角尹随时间而变

化，因此1，在a轴和声轴上的分量ia和乍的长短也随着时间变化，相当于。、刀绕组交

流磁动势的瞬时值。由图可见，ia、钻和钻、几之间存在着下列关系

1。=ldcos中一lqsln尹

乍=idsin尹+几cos尹

写成矩阵形式，得

﹁lesesesesesJ

·与

节勺

一smp

COSp }=。虎5! (2.17)

门lesesesesesJ

·枯

石尹

厂lesesesesesL

式中 。r/25一[CgS， Lsln尹

一5111仍

COS卯

(2.18)

是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。

对式(2.17)两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得﹁||||||习

·、

·﹄p

r.esesesesesL

一

J

﹁||||||日

·气

.口甲

r胜.....L

百

工-一.1

.es.esJ

一sln尹

COS切

COSp

一Sln沪

Sm夕

匕05们

(2.19)

﹁||||||日

-勺

带勺

厂lesesesesesL

则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是

(2.20)沪

卯

.m

os

e

C

COS尹

一Sln尹

电压和磁链的旋转变换阵与电流(磁动势)旋转变换阵相同。

(3)由三相静止坐标系到任意两相旋转坐标系上的变换(3蛇:变换)

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如果要从三相静止坐标系ABc变换到任意转速的两相旋转坐标系dqo，其中“0”

是为了凑成方阵而假想的零轴，可以利用前面导出的变换阵，先将ABC坐标系变换到

静止的叨。坐标系(取。轴与A轴一致)，然后再从叨0坐标系变换到dqo坐标系。后

者可采用两相/两相旋转变换式q虎，，令d轴与a轴的夹角为0，由(2.19)可得

(221)

﹁lesJJJ.es

l

·与

.与

10

r

吐胜一

IL

由式(2注0)可知

1一2迈21一打

(222)

一2厄粗1-扼

1

011扼

一胆行

.从

怡

·Ic

cs/一︸

﹁

||||||||||习

.枯

..，

·勺

resesesesesesesesesL

合并以上两式，可得从三相ABC坐标系到二相dqo旋转坐标系的变换式qor为

2行-21-扼

1一2万-21

C、2，=

sino

COSO

0

打 (2.23)

cos夕

一sino

l

万

cos(0一120’)一sin(0一120‘

cos(0+120’)一sin(0+120’

1

拒

其反变换式为

一sin夕

0

11

-石几

0

-

、

C

qr/3，=喝万=以。。= cos(夕一120’)

cos(口+120。)

sin(夕一120’)

5111(刀+120

(224)

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式(223)和式(224)同样适用于电压和磁链的变换。

23永磁同步电动机的数学模型

当永磁同步电机的定子通入三相交流电j时，电枢电流在定子绕组电枢电阻凡上产

生电压降jR。由三相交流电流j产生的旋转电枢磁动势Fa，及建立的电枢磁场汽，一

方面切割定子绕组并在定子绕组中产生感应反电动势凡，另一方面以电磁力拖动转子

以同步转速ns旋转。电枢电流j还会产生仅与定子绕组相交链的定子绕组漏磁通。并在

定子绕组中产生感应漏电动势凡·此外转子永磁极产生的磁场必。以同步转速切割定子

绕组，从而产生空载电动势右。。因此永磁同步电动机运行时的电磁关系如下所示:

转子

定子它咔 1十 瓦咔艺它

图2.7永磁同步电动机电磁关系图

分析永磁同步电动机最常用的方法就是dq轴数学模型，它不仅可用于分析永磁同

步电动机的稳态运行性能，也可用于分析电动机的瞬态性能。在建立数学模型之前，先

做如下假设[‘只，]:

(1) 忽略铁心饱和;

(2)不计涡流和磁滞损耗;

(3)转子上没有阻尼绕组;

(4)永磁材料的电导率为零;

(5) 相绕组中感应电动势波形是正弦的。

永磁同步电机的定子和普通三相同步电动机的定子是相似的，如果永磁体产生的感

应电动势(反电动勤与励磁线圈产生的感应电动势一样也是正弦的，那么永磁同步电机

的数学模型就与电励磁同步电动机基本相同。

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由式(224)可知定子三相静止坐标系及转子两相旋转坐标系，有如下的变换关系:

上打上打上万

一sin口

一sin(0一120 (225)

一sin(口+120[1i]=c[iE1=该变换将转子两相旋转坐标系中的量直接变换到定子三相静止坐标系中，对电流、

电压、磁链都适用。由此可得:

、一霜(，d。。5。一、51·“·岩‘。)

·A一涯(·d一。一qsi·。·岩一)

。一霜(。。。5。一。5、。·岩少。)

(226)

由里。狄。口品吩出山二「劝舒1、，王能‘由升牡t__d少 白立六L七。出比，匕层山争。执_讯户七 J牛川止五口J弓口月卫，日么州J乡门，曰 岁沁旧 1卜2凡卜匕孟丫」歹J，‘一一二一 ， 产七 J夕1刀目’匕认J之.“一刘2入州立‘夕」夕〕‘之人

dt

定子电阻压降凡1相平衡。由此原理可写出A相的电压平衡方程式

业八+足1‘=。* dt ’“ 几

(227)

将式(226)中的变量代入式(227)，可得

d灼___。.._:_。dod叽_:_。『，__。。do.ld钧. 一万尸‘。万口一尹d巧111口~二， 一一下下一。1llU一尹q‘u。口不丁下币万一下丁 下 口不 QJ Q不 一 以J 习乙 “七

(2.28)

、‘d。。5“一、、5‘·“·斋、一0二。5‘·“一石uo=O整理得

(争一、子·尺，d一)一“·(一鲁一。芸一凡、一，5‘·“·(229)1，d肠 .。: _.、_。

一下=气— 宁 1肠君n一 以nl一 U

VZ’dt

口角为任意值时上式均应成立，故可得到定子电压方程

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(230)

·弘

.，勺

凡

凡汽=

d口

一叽丽+

d0

十钧万+

dt

叽

，O

其中

d怖 .。材。=一 +人归In

dt

殉二几钻十树r

叽=气气(231)

电机的电磁转矩可根据下式求得

奚m=Pn(叽lq一价，id)

综上所述，可以得到永磁同步电机在旋转坐标系下的数学模型为

(232)

定子电压方程

定子磁链方程

Ud=尸少d一叽口r十凡钻

叽=p叽十钧梦，+凡iq(233)

灼二与钻十叭

叽=气、(234)

电磁转矩方程 瑞=几(i0灼一几叽卜几伸rio+(与一几)iu10] (235)

电机运动方程 编一:·侧·JP周 (236)

式中:叽、叽一 d、q轴电压;

钻、与一 1、q轴电流;

几、几一 卜q轴电感;

凡— 定子相电阻:

口r— 转子电角速度;

俨d·梦q一一刊、q轴磁链;

鸭— 永磁体基波励磁磁场链过定子绕组的磁链;

尸— 微分算子;

Pn— 极对数;

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兀— 负载转矩;

B— 粘深摩擦系数;

」- 转子和所带负载的总转动惯量;

从(235)式可以看出，永磁同步电机的电磁转矩基本上决定于定子交轴电流分量和

转子磁链。在永磁同步电机中，由于转子磁链恒定不变，故几乎都采用转子磁链定向方

式来控制永磁同步电机。

2.4永磁同步电动机的矢量控制

24.1矢量控制基本原理

矢量控制思想是1971年由德国Blaschke等人提出的，首先是应用在感应电机(B勺

中。从那时起人们运用矢量控制理论为改善IM的伺服驱动性能做了大量研究。矢量控

制的原理和方法同样可以应用于三相永磁同步电动机口MS呱。可以说，正是因为运用

了矢量控制理论，才使PMSM 的伺服驱动性能达到直流电动机的水平，甚至超过了直

流电动机。

众所周知，在他励直流电动机中，励磁磁场与电枢磁动势间的空间角度由电刷和机

械换向器所固定。通常情况下，两者正交。因此，当励磁不变时，电枢电流和电磁转矩

间存在线性关系。通过单独调节电枢电流可以直接控制转矩。为使电动机在高速区能以

J恒功率方式运行，还可以单独调节励磁，进行弱磁控制。正是因为在很宽的运行范围内

都能提供可控转矩，直流电动机才在电气传动系统中得到了广泛的应用。

在同步电动机中，励磁磁场与电枢磁动势间的空间角度不是固定的，它随负载而变

化，特别在动态情况下，这将会引起磁场间十分复杂的作用关系，因此也就不能简单地

通过调节定子电流来控制转矩。

倘若能够利用电动机外部的控制系统，即通过外部条件能对定子磁动势相对励磁

磁动势的空间角度实施定向控制，就可以直接控制两者间的空间角度。我们将此称为

“角度控制”。若对定子电流幅值也能独立地直接控制，就将永磁同步电动机模拟为他

励直流电动机。这实际是对定子电流空间矢量相位和幅值的控制，所以称之为“矢量控

制”po，22]。

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永磁同步电动机的矢量控制与异步电动机、电励磁同步电动机一样，都是一种基于

磁场定向的控制策略，只是前者转子永磁体所提供的磁场恒定，加之其结构和参数各

异，故控制方法和其他电机也有所不同。同步电动机按照磁链定向控制的方法分类可以

分为四种控制方案:转子磁链定向控制，定子磁链定向控制，气隙磁链定向控制和阻尼

磁链定向控制。根据刀角(定子电流礼相对鸭的空间角度)的控制范围，矢量控制有三种

形式123]:

(l)刀=900方式。在这种方式下几一0，几=15，转矩表达式变为:Tc，=从。电磁

转矩仅仅依靠交轴电流与，从而实现了力矩表达式中的交、直轴电流解祸，达到了矢量

控制的目的。永磁同步电动机的电流磁势与励磁磁势正交，当磁路为线性时，定子电枢

电流对转子励磁磁场既无助磁作用也无去磁作用，永磁同步电动机的电磁转矩与电枢电

流交轴分量成正比，且电动机的转矩系数最大。

(2)90’<刀<180’方式。在这种方式下id一issin刀<0，几=iscos刀>0，定子电枢

绕组电流存在直流分量，且该直流分量对永磁体的励磁磁场有去磁作用，永磁同步电动

机伺服系统工作在基速以上时，可以在该方式控制下实现弱磁升速控制。

(3)0‘<刀<90’方式。在这种方式下，id=心sin刀>0，

流存在直轴分量，且该直轴分量对转子励磁磁场有助磁作用，

方式下可在一定程度上提高其输出转矩。

佑=礼cos刀>0电枢绕组电

永磁同步电动机工作在该

凸极永磁同步电机组成的伺服驱动系统中，可以灵活地利用磁阻转矩。例如，在基

速以下恒转矩运行区中，控制刀角，使其在9了<刀<1800范围内，就可以提高转矩

值。在恒功率运行区，通过调整和控制刀角可以提高输出转矩和扩大速度范围。

本章主要讨论刀=90‘，即钻=0的控制方式。

2点2永磁同步电动机矢量控制的实施方案

钻=0控制既磁场定向控制，从电动机端口看，相当于是一台他励直流电动机，定

子电流中只有交轴分量(i0一15)，转矩表达式变为Te。=从。电磁转矩仅仅依靠交轴电

流枯，从而实现了力矩表达式中的交、直轴电流解祸，达到了矢量控制的目的。磁场定

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向控制的时间向量图如图2.8所示，从图中可以看出，此时电枢反应磁场与永磁体励磁

磁场正交，即元超前再卯’，而与反电动势向量EO同相。此时，每安培电流产生的转

矩值最大，电机损耗最小，显然这是一种很有吸引力的运行状态。在高性能伺服系统

中，20kw左右或以下的电动机几乎都采用“磁场定向”控制。

图2.8磁场定向控制的时间向量图

钻=0控制方案的实施也很简单，只要能准确检测转子空间位置(d轴)，控制逆变

器使三相定子的合成电流(磁动勤矢量位于q轴上就可以了。电动机转子位置检测的方

法很多，既可采用霍尔效应检测元件、光电编码器或解码器的直接检测方法，也可以利

用电流和电压信号以形成观测器的间接检测方法。近年来，还提出一些新颖的电动机转

子位置自检测方案，如利用电动机自身绕组的阻抗变化原理构成转子位置检测系统，探

测线圈的自感和互感变化原理构成的转子位置检测系统以及利用监测电流波形的转子位

置检测系统等。

按转子磁链定向并使几=。的正弦波永磁同步电机调速系统定子电流与转子永磁磁

通互相独立(解祸)，控制系统简单，转矩稳定性好，可以获得很宽的调速范围，适用于

高性能的数控机床、机器人等场合。

通常几=0的实施方案有两种，即采用电流滞环控制和转速和电流的双闭环控制。

从严格意义上说其实前一种控制方案也是实施了转速和电流的双闭环控制，只不过它的

电流环控制采用了BA五G-书ANG控制。本文主要介绍速度和电流的双闭环控制法。

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永磁同步电机磁场定向控制的原理性框图如图2.9所示:

牌匣粤凡c

困塑与

百门绝电流逆

变器

班 !凡位置和速度测量

图2.9永磁同步电机矢量控制的原理性框图

从框图中可以看到，这种控制方案包含了速度和电流两个闭环。其中速度控制作为

外环，电流闭环作为内环。给定转速与反馈回来的转速进行比较，差值经过速度Pl调

节输出气，同时给定钻=0，再对钻、几进行电流双闭环控制从而实现几一0的控制。

2点3永磁同步电动机矢量控制策略的仿真研究

MATLAB[24-2刀现已成为国际公认的最优秀的科技应用软件，它集数值计算、图形

处理、图像处理于一体，己成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处

理、数据序列分析、动态系统仿真等课程的基本数学工具。在设计研究单位和工业部

门，五IATLAI〕被广泛地用于研究和解决各种具体工程问题。

作为MATLAB的重要组成部分，5且吐LJL州K具有相对独立的功能和使用方法，确

切地说，它是对动态系统进行建模、仿真和分析的一个软件包，它支持线性和非线性

的，连续时间系统、离散时间系统、连续和离散混合系统，也支持具有多种采样频率的

系统。5〕Ml」LINK实现了多工作环境间文件互用和数据交换。

毫无疑问，对加L气TLAB及其51入ILrLINK仿真环境的充分应用，将极大地方便对永

磁同步电机控制算法的研究，以便快速的设计出所需的控制算法。同时，对于复杂控制

规律的仿真往往无法直接应用SIMULINK仿真环境，需要引入5函数将MATL气B与

SB卫JLINK有机结合起来，发挥两者各自的优势，实现永磁同步电机控制系统的仿真。

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根据前述永磁同步电机矢量控制策略，我们首先构造了如下基于SIMI几创K的

几=。控制的电流速度双闭环的仿真模型。

图2.10永磁同步电机矢量控制双闭环仿真框图

图中5曲system模块的功能是实现反clalke变换，SubsystelllZ实现反palk变换·

仿真系统参数为:定子电阻凡=2.875Q，转动惯量J=sxlo一3kgjnZ，极对数

Pm一4，定子电感Ld一L。一L一住0085H，转子磁链笋f=让175Wh ，额定功率

Pe。=3kw，额定转速n=1500r八nin，电流调节器比例系数踢二5，电流调节器积分

系数KI=2。速度调节器比例系数K，=50，速度调节器积分系数K:=2.6。

转速阶跃给定为1500r/nlin，电机带额定负载19.IN·m启动，仓4秒后突加10N·m

负载，转速响应曲线如图211所示。

厂节它﹁uJ/J)瑕耸

时间 (5)

图2.11传统rD)控伟1速度响应曲线

从图2.11可以看出，系统转速响应较快，对负载扰动有较强的鲁棒性，这说明该

电流、速度双闭环的控制方案及基于SINll儿INK的系统仿真模型设计合理。