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Fluidmechanik Hydrostatik 1___________________________________________________________________________________________________________________
2. Hydrostatik
2.1 Druck
2.2 Druckmessung
2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen
2.4 Statischer Auftrieb
2.5 Stabilität schwimmender Körper
2.6 Fluide unter Beschleunigung
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 2___________________________________________________________________________________________________________________
2.1 Druck
Zustandsgröße zur Beschreibung eines thermodynamischen Zustands
innerhalb eines Systems
Druck, ähnlich wie Temperatur oder Dichte, ist eine ungerichtete, also
skalare Größe
Zur Beschreibung des Drucks ist immer ein Referenzniveau erforderlich
z.B.
Vakuum Absolutdruck
Umgebungsdruck Differenzdruck
Beliebiges Druckniveau Differenzdruck
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 3___________________________________________________________________________________________________________________
2.1 Druck
Druckeinheiten
Einheit MultiplikationsfaktorPa = N/m² 1hPa = mbar 10²MPa 106
bar 105
atm 1,01325105
mm WS = mm Wassersäule 9,80665mm Hg = mm Quecksilbersäule = Torr mmHg 133,32
760 mm Hg = 1 atmpsi = lb/in² 6894,757
lb = engl. pound force, 1 lb = 4,448 Nin = engl. inch = Zoll = 25,4 mm
psf = lb/ft² 47,88ft = engl. foot = 12 inch = 0,3048 m
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 4___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐1Vor dem Antritt ihrer Fahrt in den Winterurlaub prüfen Sie an einer Tankstelle in München (H = 500 m) den Reifendruck an ihrem Fahrzeug. Das Manometer zeigt einen Druck von pR = 2,3 bar an. Das Fahrzeug war über Nacht am Straßenrand geparkt und die Reifen‐temperatur entspricht der Umgebungstemperatur von T = ‐2°C. An diesem Tag herrscht in München ein Luftdruck von pM = 954 hPa (nicht umgerechnet auf Meeresniveau). Bei einem Tankstopp am Brennerpass (H = 1370 m) prüfen Sie erneut den Reifendruck. An der Tankstelle lesen Sie am dort angebrachten Barometer einen Luftdruck von pH = 856 hPa ab. Die Reifen wurden infolge der Fahrt auf der Autobahn bereits warm gefahren und haben eine Temperatur von TH = 30°C.
Welchen Druck zeigt das Manometer an der Tankstelle am Brennerpass an?
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 5___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.1 Hydrostatischer Druck
Kräftegleichgewicht𝑝 ∙ d𝐴 𝐹 𝑝 ℎ ∙ d𝐴 0
mit𝐹 𝜌 ∙ d𝐴 ∙ ℎ ∙ 𝑔
folgt für den Druck in der Tiefe h𝑝 ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
dAp 0
dA)h(p
0p0p
hgp 0
00 zgp
0z h
z z
GF
)z(p
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 6___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen
Druck auf die Innenseite der Bodenplatte𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
Äußerer Druck auf die Bodenplatte𝑝 𝑝
Beide Drücke wirken auf die Fläche A, also gilt𝐹 𝑝 𝑝 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝐴
h
A A A A
FFFF
p0
p0
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 7___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen
Belastung durch virtuelles Volumen𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝐴
h
A A A A
FFFF
p0
p0
Vvirtuell Vvirtuell Vvirtuell Vvirtuell
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 8___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße
p0 p0
(1)
(1)
(2)
(2)
z
0
z1
z2
z0
h1
h0 h0
h22
1
Kommunizierende Gefäße mit Öl (1) und Wasser (2) befüllt
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 9___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße
Linke Seite: Bilanz (1 ‐ 1)𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝
Rechte Seite: Bilanz (2 ‐ 2)𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝
Wegen p1 = p2 folgt𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝
also
𝜌 𝜌 ∙ℎℎ
a) b)
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 10___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.4 Hydraulische Presse
z1z2
F1
F2
A1
A2
p1
p2
p0
(1)
(2)
Hydraulische Presse
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 11___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.4 Hydraulische Presse
Kräftebilanz am Kolben (1)𝑝 ∙ 𝐴 𝐹 𝑝 ∙ 𝐴
Kräftebilanz am Kolben (2)𝑝 ∙ 𝐴 𝐹 𝑝 ∙ 𝐴
Druckunterschied an denn Kolbenunterseiten𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑧 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧
bzw.𝐹𝐴 𝑝
𝐹𝐴 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧
Kraftverstärkungsverhältnis𝐹𝐹
𝐴𝐴
𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴𝐹
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 12___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐2Für die skizzierte hydraulische Presse sind folgende Fragen zu klären: Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) erforderlich um die Masse m = 10 t auf dem
Kolben (2) zu halten Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)? Wie groß ist der Fehler bei Vernachlässigung des Höhenunterschieds zwischen den
Unterseiten der beiden Kolben?
p0 = 1 bar
p2(1)
m = 10 t
(2)
= 900 kg/m30,5 m
3 m
D2 = 500 mmD1 = 50 mm
p1
F1
(1)
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 13___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe
pipu
H
h
(1)
(1)
(2)
(2)
p0
W
Saugpumpe an einem Brunnen
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 14___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe
Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1) – (1)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
Druckbilanz im Brunnenschacht (2) – (2)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
Messpunkte für p1 und p2 liegen auf dem gleichen Niveau befinden, also gilt𝑝 𝑝
und somit𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
𝐻𝑝 𝑝𝜌 ∙ 𝑔
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 15___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe
Maximale theoretische Förderhöhe
𝐻𝑝
𝜌 ∙ 𝑔10
10 ∙ 9,81 10m
Reale Förderhöhe
𝐻𝑝 𝑝 𝑇
𝜌 ∙ 𝑔
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 16___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe
Reale Förderhöhe:
𝐻∙
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 17___________________________________________________________________________________________________________________
2.1.6 Kavitation
Kavitationsschäden an einem Schiffspropeller
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 18___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen
Ruhendes System
Keine Relativbewegung zwischen Sensor und Fluid
Gemessene Größe = statische Größe = Totalgröße
pmess = ps = pt
Beispiel
Messung des aktuellen Luftdrucks im Raum mittels eines Barometers
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 19___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen
Bewegtes System
Fall 1: Sensor bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit, wie das Fluid
Keine Relativbewegung zwischen Sensor und Fluid
Gemessene Größe = statische Größe ps = ps + /2c2
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 20___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.2 Einbau von Drucksonden
c90°
p0pstatisch
h
c
cp0pstatisch
h
pstatisch
pstatisch
pstatisch
c
c
pt pstatisch
h
pstatisch
pstatisch
cpt
M MM
a) statische Wanddruckbohrung b) statische Drucksonde c) Prandtl‐Rohr
a) b)
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 21___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.3 U‐Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer
Druckbilanz im linken Schenkel (1)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦
Druckbilanz m rechten Schenkel (2)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
Wegen p1 = p2 gilt𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
also𝑝ü 𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦
Vereinfachung für Gase (𝜌 ≫ 𝜌 )
𝑝ü 𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
p0
h
Hg
(1) (2)
pi
K
x
y
pü
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 22___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.3 U‐Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer
𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿 ∙ sin𝛼
h
L
p1
p0
M
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 23___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung
Barometer sind auf eine Referenztemperatur kalibriert, (0°C oder 20°C)
Abweichende Temperaturen bedingen Fehlanzeige infolge der
Wärmedehnung
Korrektur der Wärmedehnung
𝐿 𝐿 ∙ 1 1,81 ∙ 10 ∙ 𝑇 oder 𝐿 𝐿
L0 mmHg Länge der Quecksilbersäule, umgerechnet auf T = 0°CLT mmHg Länge der Quecksilbersäule, abgelesen bei Umgebungs‐
temperaturT °C Umgebungstemperatur
Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 24___________________________________________________________________________________________________________________
2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung
Berechnung der Luftdichte aus Druck‐ und Temperaturmessung: =p/RT
Trockene Luft: R = 287,05 J/kgK
Korrektur der Luftfeuchte
𝑅𝑅
1 1 𝑅𝑅 ∙𝜑 ∙ 𝑝
𝑝
𝑅
1 0,3773 ∙ 𝜑 ∙ 𝑝𝑝mit
R J/kgK spezifische Gaskonstante von Luft bei = 0%RD J/kgK spezifische Gaskonstante von Wasserdampf % relative Luftfeuchtep Pa LuftdruckpD Pa Sättigungsdampfdruck von Wasser bei der vorliegenden
Raumtemperatur, pD aus Tab. A‐4 bis Tab. A‐7 oder Magnus‐Formel (T in °C)
𝑝 611,213 ∙ e, ∙
,
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 25___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche
𝐹 𝐹 𝐹 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 ∙ 𝐴 𝑝 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 ∙ 𝐴
H
p0
p0
Fi
FaA
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 26___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche
Kraft auf infinitesimales Flächenelement dA
d𝐹 d𝐹 d𝐹 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴 𝑝 ∙ d𝐴
d𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
H
p0
p0
dFdA
A
SzS
D
zD z
Fz
yx
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 27___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche
Belastung der gesamten linken Seitenfläche
d𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
Flächenschwerpunktskoordinate zS
𝑧 1𝐴 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
Kraft F𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴
Kraft F auf eine beliebig geformte ebene Fläche hängt nur von dem Druck
p(zS) am Ort des Flächenschwerpunkts S
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 28___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckpunkt oder Kraftangriffspunkt
H
p0
p0
z
yx
p = p(z)
pi
p0p = const.
Flüssigkeit Gas
S
DS = D
F
F
zS = zDzS zD
Druckpunktlage a) Flüssigkeiten b) Gase
zD > zS zD = zS
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 29___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Berechnung der Druckpunktlage Momentgleichgewicht um die x‐Achse
𝐹 ∙ 𝑧 𝑧 ∙ d𝐹 𝑧 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche A um die x‐Achse
𝑧 ∙ 𝑑𝐴
Kraft F𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴
also𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐼
bzw.𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝐼
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 30___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Berechnung der Druckpunktlage mit
𝐼 𝐼 𝑧 ∙ 𝐴
eingesetzt in das Momentengleichgewicht 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝐼 𝑧 ∙ 𝐴
also
𝑧𝐼 𝑧 ∙ 𝐴
𝑧 ∙ 𝐴𝐼
𝑧 ∙ 𝐴 𝑧
Versatz d des Druckpunkts unterhalb des Schwerpunkts
𝑑 𝑧 𝑧𝐼
𝑧 ∙ 𝐴
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 31___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Berechnung der Druckpunktlage bei unsymmetrischen Flächen Druckpunkt liegt nicht senkrecht unterhalb des Flächenschwerpunkts laterale Verschiebung xD aus dem Momentengleichgewicht um die z‐Achse
𝐹 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ d𝐹
𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
mit
𝐼 𝑥 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴
𝑥𝐼
𝑧 ∙ 𝐴
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 32___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐3Gesucht ist die Belastung auf die kreisförmige Klappe des skizzierten Behälters. Auf die Wasseroberfläche als auch auf die Seitenwände des Behälters wirkt der äußere Umgebungsdruck p0. Berechnen Sie das Moment Mx der Klappe um die Drehachse a-a, die Kraft Fges auf die linke Seitenwand bei geschlossener Klappe und die Lage des Kraftangriffspunktes zD,Wand für folgende Werte:p0 = 1 bar, = 10³ kg/m³, zS = 2 m, Klappenfläche A = 0,19635 m², Pegelstand im Behälter H = 6 m, Breite des Behälters B = 10 m
p0
p0
A
S zS
D
zDF
z
yx
a a
b
b
H
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 33___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche
p0
p0
A
S zS
D
zDF
z
yx
a a
b
b
ttStD S
D
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 34___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche
Kraft F berechnet sich aus hydrostatischem Druck im Flächenschwerpunkt S𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴
mit zD = tDcos und zS = tScos
𝑑 𝑡 𝑡𝐼
𝑡 ∙ 𝐴
Sonderfall der ebenen, senkrechten Fläche = 0, cos = 1 zD = tD und zS = tS
𝑑 𝑧 𝑧𝐼
𝑧 ∙ 𝐴 𝑡 𝑡𝐼
𝑡 ∙ 𝐴
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 35___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen
z
y x
(1)
(2)
(3)
(4) (4')
(3')
(2')
(1'')
(2'')
A1
A2A3
A1,x
A2,x
S1,x
D1,x
D2,x
S2,xS3,xD3,x
zD2,xzS2,x
zS1,x
zD1,x
F1,x
F2,xF3,xA3,x
V
Fz
Fz
F1,x
F
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 36___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen
Horizontale Kraftkomponente Fx
Teilfläche A1𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,
𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,
𝑧 , ∙ 𝐴 ,Teilfläche A2
𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,
𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,
𝑧 , ∙ 𝐴 ,Teilfläche A3
𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,
𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,
𝑧 , ∙ 𝐴 ,
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 37___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen
Horizontale Kraftkomponente FxEs gilt
𝐴 , = 𝐴 ,
𝑧 , = 𝑧 ,
𝑧 , 𝑧 ,
𝐼 , , = 𝐼 , ,
𝐹 , 𝐹 ,
𝐹 𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,
Vertikale Kraftkomponente FzGewicht des virtuellen Volumens über der Gesamtfläche A = A1 + A2 + A3
𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉virt
z
y x
(1)
(2)
(3)
(4) (4')
(3')
(2')
(1'')
(2'')
A1
A2A3
A1,x
A2,x
S1,x
D1,x
D2,x
S2,xS3,xD3,x
zD2,xzS2,x
zS1,x
zD1,x
F1,x
F2,xF3,xA3,x
V
Fz
Fz
F1,x
F
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 38___________________________________________________________________________________________________________________
2.3.3 Druckkraft auf nicht‐abwickelbare Flächen
(2)
(3)
(4)
(1)
(2')
(3')
(4')
(1')
A
A'
S'
D'
dy'
dz'
(2'')
(3'')
(4'')
(1'')
A''
D''dz''
dx''
S''
Fy
Fz
F
z
y
x
FxFy
Fx
S
VFz
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 39___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐4Gesucht ist Kraft auf einen Staudamm, der die Form eines Kugelsegments hat. Zu berechnen ist die Gesamtkraft F auf den Staudamm sowie die Lage des Kraftangriffspunkts P. Pegelstand H des Stausees und Radius R des Staudamms betragen R = H = 100 m.
HR
R
xy
z
gx
y
z
Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 40___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐4
HinweiseFlächenschwerpunkt ‐ Halbkreis:
𝑥 0, y ∙∙
‐ Viertelkreis:𝑥 𝑦 0,576 ∙ 𝑅
Flächenträgheitsmoment eines Halbkreises
𝐼∙
∙ 9 ∙ π 64
y
x
yS
xS
S
R
y
xyS S R
Fluidmechanik Hydrostatik – Kraft auf Begrenzungsflächen 41___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐5
Zwei Behälter sind durch eine Zwischenwand getrennt. Im Punkt Mist eine drehbare halbkreisförmige Klappe K gelagert, die sich zwischen den Endpositionen 1 und 2 bewegen kann und in den Endpositionen abdichtet. Behälter A ist mit Luft, Behälter B ist mit Luft und Wasser befüllt. An der Oberseite der Behälter befindet sich je ein Ventil VA und VB. Außen herrscht der Umgebungsdruck p0. Die Gewichtskräfte der Klappe und der Luft sind zu vernachlässigen.
h
2r
VA VB
A B
W
p0
pATA
pBTB
Luft Luft
Wasser
Position 1
Position 2
Mx
y
1
2
K
Tiefe der Behälter in z-Richtung: t
z H
a b
g
Fluidmechanik Hydrostatik – Kraft auf Begrenzungsflächen 42___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐5
1. Ventil VA ist geschlossen, Ventil VB ist geöffnet. Der Druck pA ist so groß, dass die Klappe in Position 1 gehalten wird. Geben Sie die Kräfte Fx und Fy auf die Klappe K als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen an.
2. Ventil VA und Ventil VB sind geschlossen.Bestimmen Sie den erforderlichen Luftdruck pA im Behälter A, so dass die Klappe K gerade noch in Position 2 gehalten wird als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen.
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 43___________________________________________________________________________________________________________________
2.4 Statischer Auftrieb
Erstes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren Überprüfung des Goldanteils in der Krone von König Hieron II von Syrakus
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 44___________________________________________________________________________________________________________________
2.4 Statischer Auftrieb
a) b)
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 45___________________________________________________________________________________________________________________
2.4 Statischer Auftrieb
Statischer Auftrieb als Ergebnis einer Druckdifferenz
z1
p0
z2
F1
F2
FG
F
K
A
A
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 46___________________________________________________________________________________________________________________
2.4 Statischer Auftrieb
Druckkraft F1 an der Oberseite 𝐹 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑝 ∙ 𝐴
Druckkraft F2 an der Unterseite 𝐹 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑝 ∙ 𝐴
Auftriebskraft FA𝐹 𝐹 𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉
𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉
Gewichtskraft FG𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉
Resultierende Gesamtkraft Fges. ergibt sich mit VF = VK zu𝐹 . 𝐹 𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 47___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐6Bei einem Ausflug ins Elsass kommen Sie an dem Schiffshebewerk in Saint‐Louis‐Arzviller vorbei und bestaunen die Ingenieursleistung aus dem 20. Jahrhundert. Hierbei werden Schiffe in einer großen Wanne mit einem Schrägaufzug über einen Höhenunterschied von 44,55 m befördert. Eine der am häufigsten gestellten Fragen lautet: Ist die Wanne mit dem Schiff schwerer als die Wanne ohne Schiff?
Waage Waage
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 48___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐7Angesichts der Diskussion um den Klimawandel gilt es die Frage zu klären, um wieviel der Meeresspiegel ansteigen wird, wenn das gesamte arktische Eis abtaut. Diese Frage berührt Sie besonders, da Sie vor der schwierigen Entscheidung stehen, sich für eine Berghütte in den Alpen, ein Ferienhaus an der französischen Atlantikküste oder für ein Hotel mit Tauchbasis auf den Malediven zu entscheiden.Gehen Sie bei der rechnerischen Abschätzung von folgenden Werten aus:
Mittlere Dichte von Eis: Eis = 920 kg/m³Mittlere Dichte von Meerwasser: Meerwasser = 1025 kg/m³
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 49___________________________________________________________________________________________________________________
2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs
Archimedisches Prinzip
Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluides
Voraussetzung
Körper ist vollständig benetzt
Ist diese Voraussetzung nicht gegeben
Auftriebskraft entspricht der Druckdifferenz von der Ober‐ zur Unterseite
des Körpers
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 50___________________________________________________________________________________________________________________
2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs
Beispiel
Saugnapf
Erforderlicher Durchmesser bei m = 100kg, p0 = 1bar
𝐹 𝐹 𝐹 𝑝 𝑝 ∙ 𝐴𝐴
𝑚 ∙ 𝑔𝑝
also
𝑑4 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔
π ∙ 𝑝4 ∙ 100 ∙ 9,81
π ∙ 10 0,112 m
p1 = 0
p2 = p0
A
F = mg
F1
F2
Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 51___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐8Berechnen Sie den Messfehler einer konventionellen Badezimmerwaage für einen leicht untergewichtigen Menschen mit einer Gesamtmasse von mK = 100 kg.Die Messung findet auf Meeresniveau statt, das heißt die Luftdichte beträgt Luft = 1,225 kg/m3
Fluidmechanik Hydrostatik – Stabilität schwimmender Körper 52___________________________________________________________________________________________________________________
2.5 Stabilität schwimmender Körper
g
xy
zFG
FA
FG
FASA
SKd SK
SASA'
Schwimmachse
Schwimmfläche Metazentrum
d
h0 0
a
Fluidmechanik Hydrostatik – Stabilität schwimmender Körper 53___________________________________________________________________________________________________________________
2.5 Stabilität schwimmender Körper
Stabilitätsmaß entspricht der metazentrischen Höhe h
ℎ𝐼𝑉 𝑑
h > 0: stabil
h = 0: indifferent
h
Fluidmechanik Hydrostatik – Stabilität schwimmender Körper 54___________________________________________________________________________________________________________________
2.5 Stabilität schwimmender Körper
1 Seenotrettungskreuzer, 23m2 Seenotrettungsboot, 8,3m3 Patrouillenboot, 38m4 Motoryacht4a 100% Vorräte4b 25% Vorräte
5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t
6 Gorch Fock6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck6b Rumpf ohne Aufbauten
Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 55___________________________________________________________________________________________________________________
2.6 Fluide unter Beschleunigung
Starrer Körper
Änderung der Geschwindigkeitsvektoren zwischen den Zeitpunkten t1 und t2
Betrag der Geschwindigkeit: Translatorischen Beschleunigung
Richtung: Rotatorische Beschleunigung
Geschwindigkeit + Richtung
Momentanbeschleunigung 𝑎 zum Zeitpunkt t1 ergibt sich aus dem Ortsvektor
𝑟 zu
𝑎 𝑡 lim→
𝑐 𝑡 𝑐 𝑡𝑡 𝑡
d𝑐d𝑡
d 𝑟d𝑡
𝑟
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 56___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung
Niveauflächen (Isobarenfläche) Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden
Massekräften (Gravitation, Trägheit) Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck
belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen An der freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer ein
Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 57___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung
xy
z
g
dm
dFG = dm.g = dR
adm
dR
dFT = dm.a
dFG = dm.g
tan𝛼𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
d𝐹d𝐹
d𝑚 ∙ 𝑎d𝑚 ∙ 𝑔
𝑎𝑔
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 58___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐9Sie schwimmen bei Bregenz, am Südostufer des Bodensees in Ufernähe und blicken über den See in nordwestlicher Richtung. Wie hoch müsste in Konstanz, das in ungefähr 44 km Entfernung liegt, ein Turm sein, so dass Sie die Turmspitze noch sehen könnten?
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 59___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
g
dR
dFT = dm 2 r
dFG = dm.g
z
rR R
dmzmax
zmin
z0
tan𝛼𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
d𝐹d𝐹
d𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔d𝑚 ∙ 𝑔
𝜔𝑔 ∙ 𝑟
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 60___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Form der freien Oberfläche
tan𝛼d𝑧d𝑟
d𝐹d𝐹
𝜔𝑔 ∙ 𝑟
also
d𝑧𝜔𝑔 ∙ 𝑟 ∙ d𝑟
Integration über den minimalen und maximalen Pegelstand
d𝑧𝜔𝑔 ∙ 𝑟 ∙ d𝑟
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 61___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Form der freien Oberfläche
Rotation um die Symmetrieachse des Behälters: r(zmin) = 0 und r(zmax) = R
𝑧 𝑟 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟
Maximale Steighöhe am Rand des Behälters: r = R und z(r) = zmax
𝑧 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 62___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Form der freien Oberfläche ‐ Rotationsparaboloid
𝑉 π ∙ 𝑟 𝑧 ∙ d𝑧 = ∙ 𝑉 ∙ π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 𝑧
z
rR R
zmax
zmin
z0
KVrot
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 63___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Form der freien Oberfläche ‐ Rotationsparaboloid
Volumen der Flüssigkeit ergibt sich aus dem Pegelstand z0 bei =0 zu
𝑉 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧12 ∙ π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 𝑧 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧
𝑉 2 ∙ 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅
𝑧 𝑧𝜔
4 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅
Einsetzen von zmin in
𝑧 𝑟 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟
ergibt die gesuchte Gleichung der freien Oberfläche z = z(r, , R, z0)
𝑧 𝑟 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟𝑅2
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 64___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐10Während Sie beim Frühstück den Zucker in Ihrer Kaffeetasse verrühren, überlegen Sie sich, mit welcher Maximalgeschwindigkeit Sie den Kaffee umrühren können, bevor dieser über den Tassenrand schwappt und wie tief das Minimum der freien Oberfläche unterhalb des Tassenrands liegt.Ihre Kaffeetasse hat einen Innendurchmesser von d = 76 mm und eine Höhe H = 80 mm. Im Ruhezustand liegt der Pegelstand des Kaffees bei z0 = 65 mm.
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 65___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Druckverteilung bei rotierenden Fluiden
𝑝 𝑟, ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑟 ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧𝜔
2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟𝑅2 ℎ
g
z
r
zmax
h
z(r)
p0
Isobarenfläche
t
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 66___________________________________________________________________________________________________________________
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Kraft auf einen Deckel bei einem rotierenden Fluid
𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉mit
𝑉 𝑉 𝑉 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 ℎ π ∙ 𝑟 𝑧 ∙ d𝑧
z
rR R
zmax
h
VAr(z) VR
p0
p0
Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 67___________________________________________________________________________________________________________________
Übung 2‐11Sie betrachten wieder eine Kaffeetasse mit einem Innendurchmesser von d = 78 mm und einer Höhe von h = 80 mm. Der Pegelstand im Ruhezustand beträgt z0 = 65 mm. Auf Ihrer kleinen Drehbank in Ihrem Keller fertigen Sie sich einen Deckel, der sich passgenau in das Innere der Tasse einfügt und diese zur Wandseite hin abdichtet.Welche Masse hat der Deckel, wenn bei einer Rotationsgeschwindigkeit von n = 3,21 s‐1 der Deckel von dem rotierenden Fluid mit seiner Unterseite in eine Höhe von h = 75 mm getragen wird?