2. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Movimiento en 2 dimensiones o en el plano

Trayectoria situada en el plano

Corresponden a este movimiento:

- El movimiento de un proyectil disparado.

- Una piedra que gira en el extremo de una cuerda.

- Movimiento de un satlite alrededor de la Tierra, etc.

Problemas del movimiento parablico

1. Conocida la trayectoria del mvil, determinar la v, a y la FR en la partcula.

2.Conocida la FR que acta en una partcula, hallar la ecuacin del movimiento.

Desplazamiento, velocidad y aceleracin media e instantnea en el plano

Desplazamiento:

Considerar la trayectoria arbitraria de una partcula en el plano.

Vector desplazamiento en los t1 y t2.

Los y se expresan en funcin de sus componentes rectangulares y los

vectores unitarios direccionales:

1 1 1

2 2 2

r x i y j

r x i y j

vector posicin que ubica P en el plano.

vector posicin que ubica Q en el plano.1r

2r

1r 2r

El vector desplazamiento entre P y Q:

2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )r r r x i y j x i y j x x i y y j x i y j

Q

Velocidad media e instantnea:

Velocidad media:

jvivjt

yi

t

x

t

rv yxm

El se representa en el punto

medio de P y Q, en la misma

direccin de ; y esta asociado

con todo el desplazamiento . r

r

Velocidad instantnea:

jvivjt

yi

t

x

t

rv yx

ttt

000limlimlim

Si Q P, la direccin de tiende a la

tangente a la trayectoria en P.

La en un punto cualesquiera es

tangente a la trayectoria en dicho

punto, independientemente de la

complejidad del movimiento.

r

Q

Aceleracin media e instantnea

Considerar la trayectoria circular de un mvil. Sean v1 y v2 en los puntos P y Q. Las

v difieren en magnitud y direccin, por lo tanto hay a.

Aceleracin instantnea:

Aceleracin media:

Componentes rectangulares:

Movimiento referido a un sistemade referencia fijo.

Las componentes rectangulares a:

dt

dv

t

va

dt

dv

t

va

yy

ty

xx

tx

0

0

lim

lim

jaiaa yx

jd t

ydi

d t

xdj

d t

dvi

d t

dva

yx 2

2

2

2

x

y

yx

a

aarctg

aaa

22

Componente normal y tangencial:

Definir un eje tangencial y normal a latrayectoria.

Descomponer a en P en una aT y aN Las direcciones no son fijas, pero tienen

significado directo.

aT , paralela a la v.

aN , perpendicular a la v.

aT: responsable del cambio de la

magnitud de la v.

aN: responsable del cambio en la

direccin de la v.

Componentes de la aceleracin instantnea

2.1 MOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES O

Movimiento PARABLICO

Proyectil

Objeto con una v0 y sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitatoria

y la resistencia aire.

Hiptesis simplificadoras del movimiento parablico idealizado

Los resultados son exactos para el movimiento en el

vaco, en una Tierra plana sin rotacin.

Si la nica fuerza que acta es el peso, w constante en

magnitud, direccin y sentido.

La wx = 0 y wy = w, entonces:

gaa yx 0

Como a = 0 significa v = ctte, el movimiento de un proyectil puede definirse como una

combinacin del movimiento horizontal con v = ctte y un movimiento vertical con a =

ctte.

La clave para el anlisis del movimiento parablico est: Todas las relacionesvectoriales que se necesitan, incluida la segunda ley de Newton y las definiciones

de v y a pueden expresarse por separado, respecto a las componentes x e y.

Principio de superposicin

Los movimientos en x e y son independientes. Pueden analizarse por separado. El movimiento real es la superposicin de estos movimientos.

Principio de superposicin

Anlisis matemtico del movimiento parablico

Consideremos el movimiento de un proyectil disparado con una y encima del eje

x, como se muestra:00v

Para un t0= 0 la partcula est en el origen . y son componentes de la velocidad en cualquier instante (t). y las componentes de la aceleracin.

00 , yxxv yv

0xa ga y

Las componentes de :0v

000

000 cos

senvv

vv

y

x

La posicin en un instante t:

200

00

2

1

cos

tgtsenvy

tvx

Entonces:

2

2

0

22

00

22

0

22

2

1cos

tgtsenvvyxr

x

ytgarc

La velocidad en el instante t:tgsenvv

vv

y

x

00

00 cos

Entonces:

x

y

yx

v

vtgarc

vvv

22

Componentes rectangulares del r y la v instantnea:

La ecuacin de la parbola:

Si de despejamos el tiempo:tvx 00 c o s

00 cos v

xt

Reemplazando en:

2 2

0 0 0 2 2

0 0

1

2 2 cos

gy v sen t g t tg x x

v

Si para un caso determinado y permanecen

constantes, entonces:0v

0

2 2

0 02 cos

a tg ctte

gb ctte

v

Sustituyendo en la ecuacin del alcance vertical obtenemos:

2xbxay

Ecuacin de la parbola, por eso se tiene certeza de que la trayectoria que describe un

proyectil es efectivamente el de una parbola.

0

Deduccin de la altura mxima y el alcance mximo horizontal:

Altura mxima, h

Si cuando una partcula alcanza la altura mxima:0yv

g

senvt

senvtg

tgsenvv y

00

00

00 0

Haciendo un cambio de variable, y reemplazando en la ecuacin del alcance

vertical y se tiene:

g

senvh

g

senv

g

senvh

g

senvg

g

senvsenvh

tgtsenvy

2

2

1

2

1

2

1

0

22

0

0

22

00

22

0

2

0

22

000

00

2

0

hy

Alcance mximo horizontal, R

Cuando el proyectil disparado toca nuevamente el eje x,

el alcance vertical es cero; es decir, y = 0 bajo esta

consideracin, se puede calcular el tiempo de vuelo:0

2

1 200 tgtsenvy

El tiempo de vuelo es:g

senvt 00

2

Sustituyendo en la ecuacin del alcance horizontal y haciendo el cambio de variable,

x = R, se tiene:

g

senvR

g

senv

g

senvvR

tvx

0

2

0

00

2

000

00

00

2

cos22cos

cos

Considerando la identidad trigonomtrica: 000 c o s22 s e ns e n

Alcance mximo horizontal:

Si se toma en cuenta el valor mximo de la funcin trigonomtrica vemos que es 1;

es decir:s e n

45

9012

12

0

0

0

senarc

senEntonces, el ngulo es de 45, es el ngulo que da el alcance

mximo horizontal para una .0v

Siempre que el R sea inferior al alcance mximo horizontal

da 2 valores comprendidos entre 0 y 90.

Cualquiera de estos ngulos proporciona el mismo alcance. El tiempo de vuelo como la

altura mxima son mayores para la trayectoria de corresponde a un ngulo mayor. Para

comprobar, consideremos el siguiente caso, suponga:

0 2

0

01 0

02 0

2

2 60

30

R garc sen

v

= 20 m/s

R = 35.35 m0v :0v

2.1.1 Movimiento parablico con:

1. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 100 m/s y un ngulo de 60 con la

horizontal. Calcule: a) el alcance mximo horizontal, b) la altura mxima, c) el tiempo de

vuelo, d) la velocidad y la altura despus de 10 s, e) la velocidad y la altura despus de

20 s Rta.- a) 883.7 m, b) 382.6 m, c) 7.67 s, d) 51.28 m/s, 376 m. e)

Ejemplo de aplicacin:

h

0 0

2. Desde el pie de un plano inclinado un ngulo

por encima de la horizontal se dispara un

proyectil con una rapidez inicial y un ngulo de

lanzamiento como se muestra en la Fig. a)

Cul es alcance R, medido a lo largo del

plano?, b) Comprubese que para , la

expresin de R se reduce a la del alcance

horizontal.

0

2

00

2

0

cos

cos)(

g

senvR

3. En la figura se lanza un cuerpo hacia debajo de un plano

inclinado y choca con este a una distancia R=76.4 m si el

cuerpo sube hasta una altura mxima de 19.3 m, calcular

la v0 y el ngulo . Rta.- v0= 24.33 m/s;

2.1.2 Movimiento parablico con:

1. Un bombardero vuela horizontalmente a

una altura de 1.2 km con una rapidez

constante de 360 km/h. a) Cunto tiempo

antes de que el avin este sobre su objeto

deber soltar la bomba?, b) Cul es la

velocidad de la bomba cuando llega a tierra?,

c) Cul es la distancia horizontal que recorre

la bomba? Rta.- a) 15.65 s, b) 183.1 m/s, c)

1565 m.

0 0

2. Un avin vuela horizontalmente a una altura de 1 km con rapidez constante de 200 km/h

deja caer una bomba la cual deber golpear a un barco que se mueve en la misma direccin

y el mismo sentido con una velocidad de 20 km/h. Compruebe que la bomba debe lanzarse

cuando la distancia horizontal entre el avin y el barco es de 715 m.

3. Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un edificio que tiene 35 m

de alto. La pelota choca contra el piso en un punto que se encuentra a 80 m de la base del

edificio. Calcular: a) El tiempo que la pelota se encuentra en el aire, b) Su velocidad inicial, c)

Las componentes x y y de la velocidad precisamente ante de que choque contra el suelo.

Rtas.: a) 2.67 s, b) 29,9 i m/s, c) (29.9 i-26.2j) m/s

2.1.3

1. Una bola de nieve rueda del techo de un granero con inclinacin de 40 . El borde del techo est

a 14.0 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7.00 m/s al dejar el techo. Puede despreciarse la

resistencia del aire. (a) A qu distancia del borde del granero golpea la bola el piso sino golpea otra

cosa al caer ? (b) Dibuje graficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento de la pared (c) Un hombre

de 1.9 m de estatura est parado a 4.0 m del granero. Lo golpeara la bola?

0 0

2. La esquiadora deja la nieve a una velocidad de 11 m/s, a 23 debajo de la horizontal y aterriza

ms adelante sobre la pendiente de 55 a) Dnde y cuando aterriza?, b) Cul es su velocidad

cuando llega a la nieve? Rta..- (a) 37m, 2.1 s. (b) 26.9 m/s.

0

x

y (x,y)

R

23

55

3. Un avin vuela horizontalmente a una altura de 1 km con rapidez constante de 200 km/h deja

caer una bomba la cual deber golpear a un barco que se mueve en la misma direccin y el mismo

sentido con una velocidad de 20 km/h. Compruebe que la bomba debe lanzarse cuando la

distancia horizontal entre el avin y el barco es de 715 m.

2.2 MOVIMIENTO CIRCULAR

Otro ejemplo del movimiento en 2 dimensiones.

Movimiento circular de partcula:

Si la trayectoria de un mvil es curva, la magnitud y ladireccin de su v cambian, esto implica una componente de la

a perpendicular y normal a la trayectoria.

Caractersticas del movimiento circular

1. El mdulo del vector posicin permanece constante con

respecto al eje de giro.

2. Para describir este movimiento se hace necesario 2 clases

de magnitudes lineales y angulares.

Anlisis del movimiento circular

1. y las velocidades instantneas en

los puntos P y Q.

2. vector incremento de velocidad.

3. y son las componentes normal y

tangencial de la .

2v

1v

v

Nv

Tv

v

Los tringulos OPQ y opq son semejantes, ya que ambos son issceles y tienen sus

lados proporcionales entre s:

1N

vv s

R

1

Nv s

v R

t

s

R

v

t

va NN

1La aceleracin normal media:

La aN instantnea en P es el valor lmite de la aN media , cuando Q tiende a P:

2

1 1 1 11lim lim

0 0

N

v v v vs sa v

R t R t R R

t t

En general, si en cualquier instante:vv 1

2

N

va

R

La aN instantnea (central o radial), es igual al cuadrado de la v dividida por el radio Rde la trayectoria circular, su direccin y sentido es hacia el centro de la circunferencia.

La aT instantnea est definida:

00

limlim

tt

td

vd

t

vaa TT

Posibilidades en el movimiento circular:

1. Movimiento circular uniforme:

Una partcula gira en crculo con rapidez constante. Ejemplos:

En el movimiento circular uniforme la componente aT es nula. La componente aN de la

aceleracin causa el cambio de direccin de la v.

Un auto que da vuelta a una curva de R constante con v constante. Un satlite en rbita circular. Un patinador que describe un crculo con v constante.

2.Caractersticas del movimiento circular uniforme:

La componente aT = 0 . La componente aN causa el cambio dedireccin de la v.

El movimiento es distinto al movimiento parablico, donde la g esconstante en magnitud y direccin.

La a siempre es perpendicular a la v; al cambiar la direccin desta, cambia la de la a.

La a en cada punto de la trayectoria apunta al centro del crculo.

2. Movimiento circular no uniforme:

La v vara en magnitud y direccin:

Un carrito de montaa rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical.

Caractersticas del movimiento circular no uniforme:

La aN es perpendicular a la v, dirigida al centro de la circunferencia. La v vara en diferentes puntos. La aN es > donde la v es >. La aT es paralela a la v, tangente al crculo e igual:

La a resultante: a = aN + aT. La aT tiene la direccin de la v si la partcula est acelerada y opuesta si estdesacelerada.

En la figura se muestra la v y a para unapartcula que pasa por P de una trayectoria

curva con rapidez (a) constante (b) creciente

(c) decreciente.

td

vdaT

Diferencias entre el movimiento circular uniforme y no uniforme:

1. El radio de la rbita terrestre (supuesta circular) es 150 E+6

km, y la Tierra recorre esta rbita en 365 das. a) Cul es la

rapidez de la Tierra sobre su rbita en km/h?, b) Cul es la

aceleracin normal de la Tierra hacia el Sol en m/s2?.Rta.: a)

107589 km/h, b) 0.00594 m/s2.

2. Un estudiante hace girar una pelota sujeta al extremo de una cuerda que tiene 0.6 m

de longitud en una circunferencia vertical. La rapidez de la pelota es de 4.3 m/s en un

punto ms alto y 6.5 m/s en su punto ms bajo. Calcular la aceleracin de la pelota. (a)

en su punto ms alto, (b) en su punto ms bajo. Resp. (a) -30.8 j m/s2 (b) 70.4 j m/s2.

2.2.1 Ejemplos de aplicacin del Movimiento circular uniforme

a

2.2.2 Ejemplo de aplicacin no uniforme:

1. En la figura se representa la a total de una partcula que se

mueve en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de

una circunferencia de r = 2.5 m, y en un instante dado. En ese

instante, calcular: a) La aN. b) Su aT. c) La rapidez de la partcula.

Rta..- ; b) ; c) .

2. Un nio hace girar una piedra en un crculo

horizontal de 2 m de radio a una altura sobre el piso

de 1.5 m, por medio de una cuerda. La cuerda se

rompe y la piedra vuela horizontalmente, chocando

con el piso a 10 m de distancia. Cul es la aNmientras se encuentraba en movimiento circular ?

Rta.: 163.33 m/s

3. Un pndulo que se balancea en un arco circular bajo la

influencia de la gravedad, como se muestra en la figura tiene

ambos componentes de la aceleracin aN y aT (a) Si el pndulo

tiene una rapidez de 2,7 m/s cuando la cuerda hace un ngulo de

15 con la vertical, cules son las magnitudes de las

componentes de la aceleracin en este momento? (b) Cundo

llega la aN mxima? Cul es el valor de la aT en este momento?

Resp. (a) aT = 2.5 m/s2, aN = 9.8 m/s

2, (b) en el punto ms bajo del

vaivn, aT = 0.