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중학수학 3̀(하)
Red
(중3-하)Red(001~004) 2015.6.1 9:28 PM 페이지1
Red 구성살펴보기
6 Ⅳ. 통계
암기노트
Ⅳ. 통계
1. 대표값과 산포도
1. 대푯값의뜻
자료의분포상태를요약하거나두개이상의자료를비교하고자할때, 각자료
전체의중심적인경향이나특징을대표적인하나의수로나타낸값을대푯값이
라고한다.
2. 대푯값의종류
⑴평균：전체변량의총합을변량의개수로나눈값을평균이라한다.
대푯값으로가장많이쓰이는것이평균이다.
⑵중앙값：각변량을크기순으로나열할때, 중앙에오는값을중앙값이라한다.
①자료의개수가홀수이면중앙에있는자료의값이중앙값이다.
②자료의개수가짝수이면중앙에있는두값의평균이중앙값이다.
자료가 2, 3, 6, 8, 9인경우의중앙값은 6이다.
자료가 2, 3, 6, 8, 9, 10인경우의중앙값은 =7이다.
⑶최빈값：각변량중에서가장자주나타나는값, 즉도수가가장큰값을최
빈값이라한다.
①자료의값중에서도수가가장큰값이한개이상있으면그값이모두최
빈값이다.
②각자료의값의도수가모두같으면최빈값은없다.
자료가 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5인경우에최빈값은 1과 3이다. 자료가 2, 3, 5, 7인
경우에최빈값은없다.
예
6+8
2
예
참고
3. 산포도
⑴산포도：대푯값을중심으로자료가흩어져있는정도를하나의수로나타낸
값을산포도라한다.
⑵산포도가크면자료들이대푯값으로부터멀리흩어져있고, 산포도가작으면
자료들의대푯값주위에밀집되어있다.
자료의 전체적인 경향을 알아보기 위하여 평균, 중앙값, 최빈값 등의 대푯값을 이용하
지만 이것만으로 자료의 흩어진 정도를 알 수 없다. 즉 어떤 두 자료의 변량이 달라도
평균이 같아질 수 있기 때문에 대푯값만으로는 두 자료를 비교하기에 충분하지 않다.
따라서자료의흩어진정도를파악할수있는산포도가필요한것이다.
참고
단원의핵심이되는개념의원리를이해하기쉽도록요약하여
정리하였습니다. 암기노트란에서는써보면서익힌개념을점
검해보고, 추가학습내용을메모할수있도록하였습니다.
개념원리
중요
8 Ⅳ. 통계
오른쪽표는 5명의수학점수와과학점수
를 나타낸 것이다. 대푯값으로 다음을 사
용할때, 수학과과학중어느과목의점수
가더높다고할수있는지말하여라.
⑴평균
⑵중앙값
대푯값
1
오른쪽그래프는어느중학교 1반학생이한달
동안본영화편수를조사하여나타낸것이다.
이 자료의평균, 중앙값, 최빈값을각각구하여
라. (단, 평균은 소수점 아래 둘째 자리에서 반
올림한다.)
대푯값
3
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 (편)
(명)
민호의 4회에걸친영어시험성적은 100점, 60점, 80점, x점이고, 최빈값은 80점
이다. 5회의영어시험성적이높아서 5회까지의평균이 4회까지의평균보다 3점
올랐다면 5회의성적은몇점인지구하여라.
대푯값
4
어느학교의농구팀선수 13명의키의평균은 190 c̀m이고, 중앙값은 188 c̀m이
다. 그런데이선수들중에서한선수가다른학교로전학을가고, 다른학교에서
한선수가전학을온후에키의평균이 191c̀m가되었다. 13명의키가모두다를
때, 다음물음에답하여라.
⑴전학을온선수의키는전학을간선수의키보다몇 cm가더큰지구하여라.
⑵전학을온선수의키가 189c̀m라할때, 중앙값은 188c̀m보다커지는지말하여라.
대푯값
2
이름 수학(점) 과학(점)
승준 100 80
지훈 90 75
윤미 70 80
은정 65 65
민우 70 65
개념과원리를완성하고실력수준의문제를풀어봄으로써상
위권 도약의 기반이 되도록 하는 과정으로 수학적 사고력과
문제해결력을기를수있도록하였습니다.
실력다짐
개념원리
암기노트
실력다짐
(중3-하)Red(001~004) 2015.6.1 9:28 PM 페이지2
Red 구성살펴보기
실력완성
12 Ⅳ. 통계
변량 a, b, c, 8, 9, 9, 12, 14의중앙값이 11, 최빈값이 12일때, a+b+c의값을
구하여라.
1
중학교 2, 3학년학생들이참가하는퀴즈대회예선에정환이네학교학생 50명이
출전하였다. 정환이네중학교 2학년학생의수는 3학년학생의수보다 50%가더
많았고, 3학년학생의평균점수는 2학년학생의평균점수보다 40%가더높았
다. 이대회에출전한정환이네중학교학생들의전체평균이 58점일때, 3학년학
생의평균을구하여라.
3
다음표는 5명의학생의몸무게와그평균의차를나타낸것이다. 여기에학생A
보다 8`̀kg 더무거운학생 F의몸무게를더하였더니평균이 4% 증가하였다. 이
때, 가장가벼운학생은몇 kg인지구하여라.
4
세변량 x, y, z의평균은 30이고, 곱은 16000이다. z=50일때, 나머지두수의
역수의합을구하여라.
2
학생 A B C D E
(몸무게)-(평균) 4 -7 6 -5 2
앞서배운내용들에대한실력을완성하는단계로서높은난
이도의문제들로구성하여보통수준이상의실력을안정되게
쌓을수있도록하였습니다.
심화도전
1. 대푯값과산포도 15
자연수 x에대하여변량 4, 6, 7, x, 9의중앙값을 a, 변량 3, 6, x, 8, 10의중앙값
을 b, 변량 3, x, 5, 10, 9의중앙값을 c라할때, a<b<c가성립한다. 이때, x의
값의범위를구하여라.
1 ★★★ ★★
다음은어느중학교 1학년학생들의수학성적을남녀별로나타낸줄기와잎그림
이다. 이때, 남녀별각각상위 20%인학생들의전체평균을구하여라.
(남학생 40명) (여학생 35명)
8 3 3 1 0 4 5 6 8
7 4 4 4 2 2 5 1 1 2 5 5 7
9 9 8 8 7 5 3 3 1 6 0 3 5 6 6 8 9
8 8 6 5 5 5 3 2 7 2 3 4 4 7 8 8 9 9
8 6 6 2 2 1 0 8 1 1 2 5 8 8
8 5 2 2 0 9 0 4 4 9
2 ★★★ ★★
다음표는 8명의학생의수행평가점수를조사하여주훈이의점수를 a점이라할
때, 다른학생들의점수를 a를사용하여나타낸것이다. 8명의학생들의점수의표
준편차를반올림하여소수둘째자리까지구하여라.
3 ★★★ ★★
학생 정은 선희 주훈 진우 아영 하늘 윤아 성민
점수(점) a+1 a+5 a a+3 a-2 a-5 a+4 a+2
앞서배운내용들에대한최고수준의문제들로구성하여상
위권수준에맞춰마무리학습을할수있도록하였습니다.
실력완성
심화도전
(중3-하)Red(001~004) 2015.6.1 9:28 PM 페이지3
Ⅳ. 통계
1. 대푯값과산포도 115
Ⅴ. 피타고라스정리
1. 피타고라스정리 117
2. 피타고라스정리의활용⑴ 131
2. 피타고라스정리의활용⑵ 145
Ⅵ. 삼각비
1. 삼각비 159
2. 삼각비의활용 173
Ⅶ. 원의성질
1. 원과직선 189
2. 원주각 101
3. 원주각의활용⑴ 115
3. 원주각의활용⑵ 129
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CONTENTS
(중3-하)Red(001~004) 2015.6.1 9:28 PM 페이지4
Ⅳ.통계
1. 대푯값과산포도
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.1 9:25 PM 페이지5
6 Ⅳ. 통계
암기노트
Ⅳ. 통계
개념원리 1. 대표값과 산포도
1. 대푯값의뜻
자료의분포상태를요약하거나두개이상의자료를비교하고자할때, 각자료
전체의중심적인경향이나특징을대표적인하나의수로나타낸값을대푯값이
라고한다.
2. 대푯값의종류
⑴평균：전체변량의총합을변량의개수로나눈값을평균이라한다.
대푯값으로가장많이쓰이는것이평균이다.
⑵중앙값：각변량을크기순으로나열할때, 중앙에오는값을중앙값이라한다.
①자료의개수가홀수이면중앙에있는자료의값이중앙값이다.
②자료의개수가짝수이면중앙에있는두값의평균이중앙값이다.
자료가 2, 3, 6, 8, 9인경우의중앙값은 6이다.
자료가 2, 3, 6, 8, 9, 10인경우의중앙값은 =7이다.
⑶최빈값：각변량중에서가장자주나타나는값, 즉도수가가장큰값을최
빈값이라한다.
①자료의값중에서도수가가장큰값이한개이상있으면그값이모두최
빈값이다.
②각자료의값의도수가모두같으면최빈값은없다.
자료가 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5인경우에최빈값은 1과 3이다. 자료가 2, 3, 5, 7인
경우에최빈값은없다.
예
6+82
예
참고
3. 산포도
⑴산포도：대푯값을중심으로자료가흩어져있는정도를하나의수로나타낸
값을산포도라한다.
⑵산포도가크면자료들이대푯값으로부터멀리흩어져있고, 산포도가작으면
자료들의대푯값주위에밀집되어있다.
자료의 전체적인 경향을 알아보기 위하여 평균, 중앙값, 최빈값 등의 대푯값을 이용하
지만 이것만으로 자료의 흩어진 정도를 알 수 없다. 즉 어떤 두 자료의 변량이 달라도
평균이 같아질 수 있기 때문에 대푯값만으로는 두 자료를 비교하기에 충분하지 않다.
따라서자료의흩어진정도를파악할수있는산포도가필요한것이다.
참고
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.1 9:25 PM 페이지6
1. 대푯값과산포도 7
암기노트4. 분산과표준편차
⑴편차：어떤자료의변량에서평균을뺀값을편차라한다.
(편차)=(변량)-(평균)
①편차의총합은항상0이다.
②평균보다큰변량의편차는양수이고, 평균보다작은변량의편차는음수이다.
⑵분산：각편차의제곱의합을전체변량의개수로나눈값, 즉편차의제곱의
평균을분산이라한다.
(분산)=
⑶표준편차：분산의음이아닌제곱근을표준편차라한다.
(표준편차)='∂(분산)다음은 7개의 200 mL들이 우유 팩에 들어 있는 우유의 실제량을 조사한 자료이다. 이 우유
의실제량의표준편차를반올림하여소수점아래둘째자리까지구하여라.
7개의우유팩에들어있는우유의실제량의전체합계가 1435 mL이므로평균은
=205 (mL)이다.
한편, 편차와편차의제곱을구하면
우유의실제량의분산은편차의제곱의합이 3.46이므로 (분산)= ?0.4943
따라서구하는표준편차는 (표준편차)='ƒ(분산)?'ƒ0.4943?0.70 (mL)
3.467
14357
예
{(편차)¤의총합} {(변량)의개수}
5. 도수분포표에서평균과분산, 표준편차
오른쪽도수분포표와같은계급값x¡, x™, x£, y,
xn의도수가각각 f¡, f™, f£, y, fn일때,
⑴ (평균)=
⑴ (평균)=
⑵ (분산)=
⑴ (평균)= (단, m은평균)
⑶ (표준편차)='∂(분산)(계급값)_(도수)의 총합은모든변량의총합이다.참고
(x¡-m)¤ f¡+(x™-m)¤ f™+y+(xn-m)¤ fn
N
{(편차)¤ _(도수)의총합} {(도수)의총합}
x¡ f¡+x™ f™+x£ f£+y+xn fn
N
{(계급값)_(도수)의총합} {(도수)의총합}
실제량(mL) 203.9 204.1 204.9 205.5 205.9 205.6 205.1 합계
편차 -1.1 -0.9 -0.1 0.5 0.9 0.6 0.1 0
(단위：mL)
203.9 204.1 204.9 205.5 205.9 205.6 205.1
(편차)¤ 1.21 0.81 0.01 0.25 0.81 0.36 0.01 3.46
계급값
x¡
x™
x£
y
xn
합계
도수
f¡
f™
f£
y
fn
N
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.1 9:25 PM 페이지7
중요
8 Ⅳ. 통계
실력다짐
오른쪽표는 5명의수학점수와과학점수
를 나타낸 것이다. 대푯값으로 다음을 사
용할때, 수학과과학중어느과목의점수
가더높다고할수있는지말하여라.
⑴평균
⑵중앙값
⑴ 평균을 기준으로 하면 수학 점수가 더 높다고 할 수 있다.⑵ 중앙값을 기준으로 하면 과학 점수가 더 높다고 할 수 있다.답⃞ ⑴ 수학 ⑵ 과학
⑴ 평균이 1 cm 더커졌으므로전학을온선수의키는전학을간선수의키보다 13 cm가더크다.⑵ 전학을 온 선수의 키가 189 cm이므로 전학을 간 선수의 키는 176 cm이다.농구 팀은 13명이므로 키가 작은 사람부터 차례로 나열하면 중앙값 188 cm는 7번째 선수의키이다. 176 cm<188 cm<189 cm이므로 176 cm인 선수가 전학을 가고 189 cm인선수가전학을오면원래중앙값인 188 cm인선수가 6번째가되므로중앙값은 188 cm보다 커진다.
답⃞ ⑴ 13 cm ⑵ 커진다.
최빈값이 80점이므로 x=80(점), 이때 4회까지의 평균은 =80(점)
5회까지의 평균은 80점에서 3점이 오른 83점이므로 5회의 성적을 a점이라 하면
=83, 320+a=415 ∴ a=95(점) 답⃞ 95점100+60+80+80+a
5
100+60+80+804
대푯값
1
오른쪽그래프는어느중학교 1반학생들이한
달동안본영화편수를조사하여나타낸것이
다. 이 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구
하여라. (단, 평균은소수점아래둘째자리에서
반올림한다.)
대푯값
3
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 (편)
(명)
민호의 4회에걸친영어시험성적은 100점, 60점, 80점, x점이고, 최빈값은 80점
이다. 5회의영어시험성적이높아서 5회까지의평균이 4회까지의평균보다 3점
올랐다면 5회의성적은몇점인지구하여라.
대푯값
4
어느학교의농구팀선수 13명의키의평균은 190 c̀m이고, 중앙값은 188 c̀m이
다. 그런데이선수들중에서한선수가다른학교로전학을가고, 다른학교에서
한선수가전학을온후에키의평균이 191c̀m가되었다. 13명의키가모두다를
때, 다음물음에답하여라.
⑴전학을온선수의키는전학을간선수의키보다몇 cm가더큰지구하여라.
⑵전학을온선수의키가 189c̀m라할때, 중앙값은 188c̀m보다커지는지말하여라.
대푯값
2
이름 수학(점) 과학(점)
승준 100 80
지훈 90 75
윤미 70 80
은정 65 65
민우 70 65
수학(점) 과학(점)
평균 79 73
중앙값 70 75
(평균)=(1_4+2_5+3_8+4_7+5_4+6_2)÷30=3.26y
∴ 3.3(편)중앙값은 15번째와 16번째 값의 평균이므로
=3(편)이고, 최빈값은 도수가 가장 큰 자료의 값이므로 3편이다.
답⃞ 평균：3.3편, 중앙값：3편, 최빈값：3편
3+32
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.1 9:25 PM 페이지8
1. 대푯값과산포도 9
=70에서 x¡+x™+y+xª=630이므로 구하는 10개의 변량의 평균은
(평균)= = =67
답⃞ 67
630+4010
x¡+x™+y+xª+4010
x¡+x™+y+xª9
이 중학교의 3학년 여학생 수를 x명이라 하면 남학생 수는 x명이므로 3학년 전체 학생 x명
의 점수의 평균은
(평균)= = =225+10_ =229(점)
답⃞ 229점
25
225_{;2#;+1}+101111111
;2%;225_;2#;x+235_x111111112
;2%;x
52
32
자료의 흩어져 있는 정도가 가장 큰 것은 D이므로 하루 방문자 수의 표준편차가 가장 큰 홈페이지는 D이다.답⃞ D
ㄱ. =5이므로 x¡+x™+y+x¡º=50 ∴ 참
ㄴ. x¡=x™=y=x¡º=5이면 표준편차가 0이다. ∴ 거짓
ㄷ. 표준편차가 1이므로 -5¤ =1¤ ∴ x¡¤ +x™¤ +y+x¡º¤ =260 ∴ 참
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답⃞ ㄱ, ㄷ
x¡¤ +x™¤ +y+x¡º¤10
x¡+x™+y+x¡º10
9개의변량 x¡, x™, y, xª의평균이 70일때, 10개의변량 x¡, x™, y, xª, 40의평
균을구하여라.대푯값
5
어느중학교의 3학년남학생수는여학생수의 1.5배이다. 모의고사의통계에따
르면평균점수는 400점만점에남학생은 225점이고여학생은 235점이다. 이때,
3학년학생전체의평균점수를구하여라.
대푯값
6
중요
다음은 4개의홈페이지A, B, C, D의최근 4일간방문자수를막대그래프로나
타낸것이다. 4개의홈페이지의하루평균방문자수가 25명으로모두같을때, 하
루방문자수의표준편차가가장큰홈페이지를구하여라.
25
명 25
명 25
명 25
명
A B C D
분산과표준편차
7
10개의자료 x¡, x™, y, x¡º의평균은 5, 표준편차가 1일때, 옳은것을모두골라
라.분산과표준편차
8ㄱ. x¡+x™+y+x¡º=50
ㄴ. x¡=x™=y=x¡º=5
ㄷ. x¡¤ +x™¤ +y+x¡º¤ =260
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.2 4:26 PM 페이지9
10 Ⅳ. 통계
다음표는학생 5명의몸무게에대한편차를나타낸것이다. 정민이의몸무게의편
차를 x kg이라하고, 학생 5명의몸무게의분산을 y kg이라고할때, x+y의값
을구하여라.
분산과표준편차
9이름 지현 정민 하나 수아 은혜
편차(kg) 4 x 0 -2 -1
중요
변량 a, b, c, 3, 6, 6의평균이 5이고, 표준편차가 2일때, 변량 a, b, c의표준편
차를구하여라.분산과표준편차
10
3개의변량 a, b, c의평균이 10, 표준편차가 4일때, 변량 3a, 3b, 3c의평균은
m, 표준편차는n이다. 이때m-n의값을구하여라.분산과표준편차
11
한상자에들어있는 10개의달걀을 4개와 6개의묶음으로나누었다. 4개묶음에
있는달걀무게의평균은 60 g, 분산은 4 g이고, 6개묶음에있는달걀무게의평
균은 60 g, 분산은 3 g이다. 이때, 달걀 10개전체의무게의분산을구하여라.
분산과표준편차
12
a, b, c의 평균과 표준편차가 각각 10, 4이므로 =10
=16
이때, 3a, 3b, 3c의 평균은 m= = =3_10=30
3a, 3b, 3c의 분산은
n¤ = = =9_16=144
∴ n='∂144=12∴ m-n=30-12=18답⃞ 18
9{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ }3
(3a-30)¤ +(3b-30)¤ +(3c-30)¤3
3(a+b+c)3
3a+3b+3c3
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤3
a+b+c3
4+x+0+(-2)+(-1)=0 ∴ x=-1(편차)¤`̀을 구하면 각각 16, 1, 0, 4, 1이므로
(분산)= =4.4 ∴ y=4.4
∴ x+y=-1+4.4=3.4답⃞ 3.4
16+1+0+4+15
a, b, c, 3, 6, 6의 평균이 5이므로 =5 ∴ a+b+c=15
표준편차가 2이므로 분산은 2¤ =4이다.
=4 ∴ (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ =18
a, b, c의 평균을 구하면 = =5
a, b, c의 분산을 구하면 = =6
∴ (표준편차)='6답⃞ '6
183
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤3
153
a+b+c3
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(-2)¤ +1¤ +1¤6
a+b+c+3+6+66
달걀 4개의 무게의 분산이 4 g이므로 (분산)= =4에서 (편차)¤의 총합은 4_4=16
달걀 6개의 무게의 분산이 3 g이므로 (분산)= =3에서 (편차)¤의 총합은 3_6=18
4개의 묶음과 6개의 묶음의 평균이 같으므로 달걀 10개의 전체의 무게의 분산은 = =3.4 답⃞ 3.43410
16+1810
(편차)¤의 총합6
(편차)¤의 총합4
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1. 대푯값과산포도 11
중요
다음표는축구선수 60명의일주일동안의개인연습시간을조사하여만든도수
분포표이다. 개인연습시간의표준편차를반올림하여소수둘째자리까지구하여
라.
분산과표준편차
13
한개의주사위를던져서처음나온눈의수를 p, 나중에나온눈의수를 q라할
때, p+q의분산을구하여라.분산과표준편차
14
오른쪽히트토그램은지혜네반학생들의몸무게를조사
하여 나타낸 것이다. 이 자료의 표준편차가 2'a kg일
때, 상수 a의값을구하여라.
분산과표준편차
15
다음은네명의학생이 4회에걸쳐치른사회과목의수행평가의결과를나타낸
표이다.
A, B, C, D, E를각각 5점, 4점, 3점, 2점, 1점으로환산하여계산할때, 표준편
차가가장작은학생을구하여라.
분산과표준편차
16
계급(시간) 4이상~9미만 8~12 12~16 16~20 20~24 24~28 합계
도수(명) 9 7 13 15 8 8 60
2
030 40 50 60 70 80 {kg}
4
6
8
(명)
회1 2 3 4 5
이름
승우 B C D D E
재웅 D C C B B
정은 D C D C D
다현 C B C C C
자료의 평균은
= =55(kg)
따라서 분산은
;2¡0;{(35-55)¤ _2+(45-55)¤ _4+(55-55)¤ _8+(65-55)¤ _4+(75-55)¤ _2}
= =120
이므로 표준편차는 '∂120=2'ß30(kg) ∴ a=30답⃞ 30
240020
110020
35_2+45_4+55_8+65_4+75_22+4+8+4+2
주사위 눈의 수의 합 p+q를도수분포표로 나타내면(평균)
= = =7
∴ (분산)= {(2-7)¤ _1+(3-7)¤ _2+y+(12-7)¤ _1}
∴ (분산)= _2_(25+32+27+16+5)= 답⃞356
356
136
136
25236
2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+1236
(계급값)_(도수)의 합이 960이므로
(평균)= =16(시간)이다.
편차, (편차)¤ , (편차)¤_(도수)를 차례로 구하면 다음과 같다.
따라서 개인 연습 시간의 분산은 (분산)= =39.2
이므로 구하는 표준편차는 (표준편차)="√(분산)='ƒ39.2에서반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하면 6.26(시간)이다.답⃞ 6.26시간
235260
96060
점수의 변동이 가장 작은 다현이의 표준편차가 가장 작다. 답⃞ 다현
계급값 도수(명) (계급값)_(도수) 편차 (편차)¤ (편차)¤_(도수)
6 9 54 -10 100 900
10 7 70 -6 36 252
14 13 182 -2 4 52
18 15 270 2 4 60
22 8 176 6 36 288
26 8 208 10 100 800
합계 60 960 2352
p+q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 합계
도수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
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12 Ⅳ. 통계
실력완성
변량 a, b, c, 8, 9, 9, 12, 14의중앙값이 11, 최빈값이 12일때, a+b+c의값을
구하여라.
1
중학교 2, 3학년학생들이참가하는퀴즈대회예선에정환이네학교학생 50명이
출전하였다. 정환이네중학교 2학년학생의수는 3학년학생의수보다 50%가더
많았고, 3학년학생의평균점수는 2학년학생의평균점수보다 40%가더높았
다. 이대회에출전한정환이네중학교학생들의전체평균이 58점일때, 3학년학
생의평균을구하여라.
3
다음표는 5명의학생의몸무게와그평균의차를나타낸것이다. 여기에학생A
보다 8`̀kg 더무거운학생 F의몸무게를더하였더니평균이 4% 증가하였다. 이
때, 가장가벼운학생은몇 kg인지구하여라.
4
세변량 x, y, z의평균은 30이고, 곱은 16000이다. z=50일때, 나머지두수의
역수의합을구하여라.
2
학생 A B C D E
(몸무게)-(평균) 4 -7 6 -5 2
최빈값이 12이고 9가 2개이므로 a, b, c 중 적어도 두 수는 12여야 한다.a=12, b=12라 하고, c를 제외한 7개의 변량을 크기순으로 나열하면 8, 9, 9, 12, 12, 12, 14이다.
중앙값이 11이므로 9<c<12여야 하고 =11 ∴ c=10
∴ a+b+c=12+12+10=34답⃞ 34
c+122
세 변량의 평균이 30이므로 =30, x+y+50=90
∴ x+y=40
xyz=16000이므로 xy= =320
∴ + = = =
답⃞18
18
40320
x+yxy
1y
1x
1600050
x+y+z3
3학년 학생 수를 x명이라 하면 2학년 학생 수는 x명이고, 2학년 학생의 평균을 y점이라 하면
3학년 학생의 평균은 y점이므로 x+ x=50 ∴ x=20(명)
즉, 3학년 학생 수는 20명, 2학년 학생 수는 30명이므로
2학년 학생 점수의 총합은 30y, 3학년 학생 점수의 총합은 20_ y=28y에서
(전체 평균)= =58 ∴ y=50
따라서 3학년 학생의 평균은 _50=70(점)
답⃞ 70점
75
30y+28y50
75
32
75
32
평균 몸무게를 m kg이라 하면 (6명의 몸무게의 평균)= =m+2
평균은 2 kg 증가했고 이것이 m의 4 %가 되므로 m_0.04=2 ∴ m=50 (kg)따라서 가장 가벼운 학생은 B이고 (B의 몸무게)-50=-7이므로(B의 몸무게)=-7+50=43 (kg) 답⃞ 43 kg
5m+(m+12)6
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1. 대푯값과산포도 13
다음표는 5명의학생A, B, C, D, E의수학점수를나타낸것이다. 5명모두수
학점수를 1점씩올려줄때, 평균과표준편차를구하여라.
5
어느중학교 3학년학생의턱걸이기록에서A 모둠 5명의평균은 7회, 표준편차
는 1회이고, B 모둠 6명의평균은 7회, 표준편차는 '3회였다. A, B 두모둠의학생 11명의분산을구하여라.
6
학생 A B C D E
점수(점) 5 8 7 6 9
5개의변량 9, 5, 11, x, y의평균이 6이고분산이 12일때, x와 y의값을각각구
하여라. (단, x<y)
7
네개의변량 x¤ , (x-1) ¤ , (x-2) ¤ , (x-3)¤의평균이최소가될때의분산을구
하여라.
8
(처음 평균)= =7(점),
(처음 분산)= {(5-7)¤ +(8-7)¤ +(7-7)¤ +(6-7)¤ +(9-7)¤ }= =2
∴ (표준편차)='2(점)5명 모두 1점씩 올려주었을 때의 평균은 7+1=8(점)이고 표준편차는 변하지 않으므로 '2점이다.답⃞ 평균：8점, 표준편차：'2점
105
15
5+8+7+6+95
11명의 평균은 = =7(회)
A 모둠 5명의 표준편차는 =1(회)
∴ (x¡-7)¤ +(x™-7)¤ +y+(x∞-7)¤ =5
B 모둠 6명의 표준편차는 ='3(회)∴ (y¡-7)¤ +(y™-7)¤ +y+(y§-7)¤ =18A, B 모둠 11명의 분산은
= =
답⃞ 회2311
2311
5+1811
(x¡-7)¤ +y+(x∞-7)¤ +(y¡-7)¤ +y+(y§-7)¤11
(y¡-7)¤ +(y™-7)¤ +y+(y§-7)¤æ≠11111111≠11111113
6
(x¡-7)¤ +(x™-7)¤ +y+(x∞-7)¤æ≠11111111≠11111113
5
35+4211
5_7+6_711
평균이 6이므로 =6
x+y=5 ∴ y=5-x yy`㉠편차는 각각 3, -1, 5, x-6, y-6그런데 ㉠에 의해서 편차는 각각 3, -1, 5, x-6, -x-1
분산이 12이므로 =12
(x-6)¤ +(x+1)¤ =25, x¤ -12x+36+x¤ +2x+1=25, 2x¤ -10x+12=0x¤ -5x+6=0, (x-2)(x-3)=0∴ x=2 또는 x=3㉠에서 x=2일 때, y=3, x=3일 때, y=2그런데 x<y이므로 x=2, y=3답⃞ x=2, y=3
3¤ +(-1)¤ +5¤ +(x-6)¤ +(-x-1)¤5
9+5+11+x+y5
(평균)= {x¤ +(x-1)¤ +(x-2)¤ +(x-3)¤ }=x¤ -3x+ ={x- } 2 +따라서 x= 일 때 평균은 최소이며 최솟값은 이다.
이때, 네 개의 변량은 , , , 이므로 분산은
{1¤ +(-1)¤ +(-1)¤ +1¤ }= =1 답⃞ 144
14
94
14
14
94
54
32
54
32
72
14
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14 Ⅳ. 통계
다음표는어느모둠학생들의수학성적에대한편차이다. 이들의수학성적의표
준편차가 'å1å1.6점일때, |x|+|y|의값을구하여라.9
학생 A B C D E
편차(̀점) x -2 3 y -2
지민이는 학교 근처 지역의 등고선을 오른쪽 그림과 같
이그렸다. 등고선간격이 100 m일때, 등고선위의다
섯개의지점A, B, C, D, E의해발고도의표준편차를
구하여라.
10A
B
C
D
E
길이가각각 4 cm, 8 cm, 12 cm, 16 cm인 4개의철사가있다. 이들의 평균을
a cm, 표준편차를 b cm라한다. 이 4개의철사로 4개의정사각형을만들때, 넓
이의평균을 a, b를사용하여나타내어라.
12
다음표는 3명의학생A, B, C에대하여일주일의수면시간을조사하여나타낸
것이다. 일주일의수면시간의분산이가장작은학생을구하여라.
11요일
일 월 화 수 목 금 토학생
A 9 9 4.5 9.5 4 9 4
B 9 6.5 7 10 6 9.5 8
C 10 7 8.5 5 6 6 6.5
(단위：시간)
편차의 합은 0이므로 x+(-2)+3+y+(-2)=0 ∴ x+y=1 yy`㉠
또, 표준편차가 'ƒ11.6점이므로 =('ƒ11.6)¤∴ x¤ +y¤ =41 yy`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x¤ +(1-x)¤ =41, x¤ -x-20=0
∴ [ 또는 [ ∴ |x|+|y|=9 답⃞ 9x=5
y=-4
x=-4
y=5
x¤ +(-2)¤ +3¤ +y¤ +(-2)¤5
C 지점의 해발 고도를 a m라 하면 A, B, C, D, E 지점의 해발고도는 각각 a+200, a+100, a, a-100, a-200이고,
평균은 =a (m)
분산은 =20000
∴ (표준편차)='ƒ20000=100'2 (m)답⃞ 100'2 m
200¤ +100¤ +(-100)¤ +(-200)¤5
a+200+a+100+a+a-100+a-2005
a= =10, b¤ = =20 ∴ b=2'54개의 철사로 만든 4개의 정사각형의 넓이는 각각 1 cm¤ , 4 cm¤ , 9 cm ¤ , 16 cm¤이므로
이들의 평균을 a' cm¤라 하면 a'= =7.5 (cm¤ )
이때, =7.5이므로 a'= 답⃞a¤ +b¤16
a¤ +b¤16
a¤ +b¤16
1+4+9+164
(4-10)¤ +(8-10)¤ +(12-10)¤ +(16-10)¤4
4+8+12+164
A의 수면 시간의 평균을 구하면
= =7
따라서 분산은
=42.57
2¤ +2¤ +(-2.5)¤ +2.5¤ +(-3)¤ +2¤ +(-3)¤7
497
9+9+4.5+9.5+4+9+47
B의 수면 시간의 평균을 구하면 = =8(시간)
따라서 분산은 =
C의 수면 시간의 평균을 구하면 = =7(시간)
따라서 분산은 =
그러므로 수면 시간의 분산이 가장 작은 학생은 B이다. 답⃞ B
17.57
3¤ +0¤ +1.5¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +(-1)¤ +(-0.5)¤7
497
10+7+8.5+5+6+6+6.57
14.57
1¤ +(-1.5)¤ +(-1)¤ +2¤ +(-2)¤ +1.5¤ +0¤7
567
9+6.5+7+10+6+9.5+87
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1. 대푯값과산포도 15
심화도전
자연수 x에대하여변량 4, 6, 7, x, 9의중앙값을 a, 변량 3, 6, x, 8, 10의중앙값
을 b, 변량 3, x, 5, 10, 9의중앙값을 c라할때, a<b<c가성립한다. 이때, x의
값의범위를구하여라.
1 ★★★ ★★
다음은어느중학교 1학년학생들의수학성적을남녀별로나타낸줄기와잎그림
이다. 이때, 남녀별각각상위 20%인학생들의전체평균을구하여라.
(남학생 40명) (여학생 35명)
8 3 3 1 0 4 5 6 8
7 4 4 4 2 2 5 1 1 2 5 5 7
9 9 8 8 7 5 3 3 1 6 0 3 5 6 6 8 9
8 8 6 5 5 5 3 2 7 2 3 4 4 7 8 8 9 9
8 6 6 2 2 1 0 8 1 1 2 5 8 8
8 5 2 2 0 9 0 4 4 9
2 ★★★ ★★
다음표는 8명의학생의수행평가점수를조사하여주훈이의점수를 a점이라할
때, 다른학생들의점수를 a를사용하여나타낸것이다. 8명의학생들의점수의표
준편차를반올림하여소수둘째자리까지구하여라.
3 ★★★ ★★
학생 정은 선희 주훈 진우 아영 하늘 윤아 성민
점수(점) a+1 a+5 a a+3 a-2 a-5 a+4 a+2
1…x…5이면 a=6, b=6, c=5x=6이면 a=6, b=6, c=6x=7이면 a=7, b=7, c=7x=8이면 a=7, b=8, c=8xæ9이면 a=7, b=8, c=9따라서 a<b<c가 성립하는 x의 값의 범위는 xæ9답⃞ xæ9
상위 20% 이내의 학생 수는 각각 남 : 40_ =8(명), 여 : 35_ =7(명)
남녀별 각각 상위 8등 이내, 7등 이내의 학생들의 점수를 순서대로 기록하면 다음과 같다.남학생 : 98, 95, 92, 92, 90, 88, 86, 86여학생 : 99, 94, 94, 90, 88, 88, 85
이들 15명의 평균은 =91(점)
답⃞ 91점
98+95+y+86+99+94+y+8515
15
15
학생들의 점수의 평균을 구하면 =a+1(점)
이때, 각 변량의 편차와 (편차)¤을 구하면 오른쪽 표와 같다.
분산을 구하면 =9.5
따라서 표준편차를 구하면 '∂9.5에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하면 3.08점이다. 답⃞ 3.08점
768
8a+88
학생 정은 선희 주훈 진우 아영 하늘 윤아 성민 합계
편차 0 4 -1 2 -3 -6 3 1 0
(편차)¤ 0 16 1 4 9 36 9 1 76
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16 Ⅳ. 통계
오른쪽과같이자연수를한행에홀수개씩규칙적
으로나열해나갈때, 10번째행에나열된수들의
평균과분산을각각구하여라.
{단, 1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ =
을이용한다.}
n(n+1)(2n+1)6
6 ★★★★ ★
변량 a, b, c의평균이 5, 표준편차가 3일때, 변량 a+3, b+3, c+3, 12의분산
을구하여라.
4 ★★★ ★★
5개의자료A, B, C, D, E의평균이 2, 표준편차가 5일때,
f(t)=(A-t)¤ +(B-t) ¤ +(C-t) ¤ +(D-t)¤ +(E-t)¤
의최솟값을구하여라.
5 ★★★ ★★
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
⋯
변량 a, b, c에 대하여 (평균)= =5 ∴ a+b+c=15
(표준편차)¤ = =3¤이므로
a¤ +b¤ +c¤ -10(a+b+c)+3_25=27 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =102이제, 변량 a+3, b+3, c+3, 12에 대하여
(평균)= = =9
각 변량의 편차는 a-6, b-6, c-6, 3
∴ (분산)= =
= =9.75
답⃞ 9.75
102-12_15+3_6¤ +94
a¤ +b¤ +c¤ -12(a+b+c)+3_6¤ +94
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +3¤4
15+214
a+3+b+3+c+3+124
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤3
a+b+c3
=2이므로 A+B+C+D+E=10
=5¤이므로
(A-2)¤ +(B-2)¤ +(C-2)¤ +(D-2)¤ +(E-2)¤ =125A¤ +B¤ +C¤ +D¤ +E¤ -4(A+B+C+D+E)+20=125이므로 A¤ +B¤ +C¤ +D¤ +E¤ =145f(t)=(A-t)¤ +(B-t)¤ +(C-t)¤ +(D-t)¤ +(E-t)¤
=5t¤ -2(A+B+C+D+E)t+(A¤ +B¤ +C¤ +D¤ +E¤ )=5t¤ -2_10_t+145=5(t-2)¤ +125
따라서 t=2일 때, f(t)는 최솟값 125를 갖는다. 답⃞ 3.08점
(A-2)¤ +(B-2)¤ +(C-2)¤ +(D-2)¤ +(E-2)¤5
A+B+C+D+E5
⁄ 1번째 행의 평균 : 1
⁄ 2번째 행의 평균 : 3+ =3
⁄ 3번재 행의 평균 : 7+ =7
⁄ ⋯
(5-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)+(9-7)5
(2-3)+(3-3)+(4-3)3
⁄ 10번째 행의 수의 개수는 100-82+1=19(개)이므로 10번째 행의 수 : 82, 83, y, 91, y, 100⁄ 따라서 10번재 행의 수의 평균은 가운데 수인 10번째 수이므로 91이다.¤ (분산)={(82-91)¤ +(83-91)¤ +y+(90-91)¤ +0¤ +(92-91)¤ +y+(100-91)¤ }÷19
⁄ (분산)= = = _
⁄(분산)=30답⃞평균：91, 분산：30
9(9+1)(18+1)6
219
2(1¤ +2¤ +y+9¤ )19
9¤ +8¤ +y+1¤ +0¤ +1¤ +y+9¤19
Red(중3-하)4-005~016 2015.6.1 9:25 PM 페이지16
