수능에서 논술까지 한번에! 한권으로 완성하는 수학 수학II(하) · 수학II(하) 한완수 14개의 Critical Point로 수능 수학을 정복하고 34개의 특강으로

수능에서 논술까지 한번에!

한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 권으로 완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 성하는 수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학학

수학II(하)

한완수

14개의 Critical Point로 수능 수학을 정복하고

34개의 특강으로 수능 수학의 풀이속도와 수리논술을 정복한다!

이해원 지음

저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 저자 이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원이해원저자 이해원

연세대학교 수학과

성광고등학교 졸업

2010 고려대학교 정보통신대학 합격

2011 연세대학교 이과대학 수학과 합격

2011 고려대학교 이과대학 수학과 합격

2012 고려대학교 사범대학 수학교육과 합격

2011 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 100점

2012 대학수학능력시험 수학 100점

2012 Xi-story 자이스토리 수학 수기 저자

tbs 기적의 TV - 상담 받고 대학가자: 공부의 비법 <수학영역>편 출연

주요 저서

한권으로 완성하는 수학 - 수학 II

한권으로 완성하는 수학 - 기하와 벡터

한권으로 완성하는 수학 - 적분과 통계

이해원 모의고사 수학영역 A형, B형

저자 이해원이 주로 활동하는 곳 - (닉네임: 난만한)

오르비스 옵티무스 (orbi.kr)

이 책의 내용을 검토한 사람들

김동하(연세대학교 수학과)

박종혁(연세대학교 수학과)

임은성(연세대학교 수학과)

이덕영(연세대학교 수학과)

김태영(연세대학교 수학과)

김문석(연세대학교 수학과)

가철순(연세대학교 수학과)

허혁재(연세대학교 컴퓨터과학과)

이현기(연세대학교 화공생명공학부)

김경묵(연세대학교 전기전자공학부)

김진세(연세대학교 치의예과)

박천익(한양대학교 기계공학부)

김희태(한양대학교 의예과)

조해창(한양대학교 의예과)

신승호(한양대학교 신소재공학부)

김환철(한양대학교 융합전자공학부)

윤영진(한양대학교 컴퓨터공학부)

한근희(고려대학교 화학과)

전동기(고려대학교 수학교육과)

김은식(고려대학교 영어영문학과)

곽호연(서울대학교 수학교육과)

김명식(서울대학교 수학교육과)

윤현욱(서울대학교 의예과)

이정범(서울대학교 전기정보공학부)

박경태(서울대학교 경영학과)

홍성훈(서울대학교 물리천문학부)

원윤수(성균관대학교 전자전기컴퓨터공학계열)

박준혁(성균관대학교 공학계열)

김용욱(서강대학교 전자공학부)

임동준(울산대학교 의예과)

김도헌(울산대학교 의예과)

이기준(울산대학교 의예과)

박재효(건국대학교 수의예과)

박윤수(한국교원대학교 수학교육과)

박주혁(메가스터디 재수정규반 강사)

김철현

최홍서

정상현

김세훈

박재석

윤태원

장재훈

김태훈

최지욱

강성서

우범준

홍현빈

최지헌

임주현

곽진원

박종훈

김종운

한완수 완벽 커리큘럼 (이과 수학영역 B형 백분위 98%이상이면 2단계부터)

(1단계 : 기본완성단계) / (2단계 : 수능완성단계) / (심화완성단계) / (실전연습단계)

로 구분 된다. 여기서 (1단계, 2단계)를 완벽히 하는 것은 96점 이상의 실력을 만드는 과정이고,

(심화완성단계 / 실전연습단계)에서는 실력을 고정 100점으로 만드는 과정이다.

시중 다른 책과는 다르게 [2013학년도] [2014학년도] 최신 기출을 개념설명에서 제외함으로써

최신 기출문제들은 30문제를 한 번에 수능처럼 풀면서 실전연습을 할 수 있도록 책을 구성했다.

1회독 : 기본완성단계

교과서, 익힘책 정독 (완벽하다 생각되면 생략)

한완수 Critical Point 정독

2회독 ~ 회독 : 수능완성단계 (마스터할 때까지 반복)

한완수 Critical Point 정독 (부족하면 교과서 같이 보기)

한완수 수능특강 정독

심화완성단계 (2단계까지 마스터 후 실전연습과 병행)

한완수 Critical Point, 수능특강 정독

한완수 심화특강 정독 → (논술 응시할 시) 논술문제 풀기

실전연습단계 (2단계까지 마스터 후 심화완성과 병행)

[2013.6] [2013.9] [2013] [2014.6] [2014.9] [2014]

기출문제를 풀고 스스로 한완수의 관점에서 분석하고

한완수 수학(하)와 적분과 통계(하)의 분석을 참고한다.

방향 및 주의사항

15월 초가 되기 전에 논술 문제 풀이를 제외한 [교과서] [한완수 Critical Point] [한완수 수능특강]

공부를 마치고, [2013.6] [2014.6] 기출문제를 100분의 시간을 재고 푼 후, 스스로 분석한다.

→ 수학2(하)의 [2013.6] [2014.6] 분석으로 공부

28월 초에 모든 단원에 대해서 [교과서] [한완수 수능특강] 공부를 마친 후

[2013.9] [2013.11] [2014.9] [2014.11] 최신기출문제를 각각 100분의 시간을 재고 푼 후, 스

스로 분석한다. → 적분과 통계(하)의 [2013.9] [2013.11] [2014.9] [2014.11] 분석으로 공부

32013, 2014 최신기출문제를 개념을 공부하기 전에 풀어버린다거나, 자신이 풀어보기 전에 다른

사람의 해설을 먼저 본다거나 하는 일이 없도록 하자. 그러면 다른 수험생보다

[실전연습] [약점체크]를 더 확실하게 할 수 있어 우위를 점할 수 있다.

4주어진 커리큘럼이 끝이 아니다. 본인의 필요에 따라 계속해서 반복학습을 해줘야 한다. 또한 공부

중 본인의 성적이 오르면 그 성적에 따라 다른 커리큘럼을 따르면 된다. 궁극적인 목표는 모든 학

생이 [최상위권 커리큘럼]을 따르는 것이다.

5책의 모든 내용을 공부하면서 [9월~10월 1차 논술 기간]과 [11월 수능 이후 2차 논술 기간] 에

논술 대비로 [논술문제]를 집중적으로 풀면 된다. 그때까지 한완수를 제대로 공부했다면 보통 수험

생보다 훨씬 수월하게 논술을 공부할 수 있을 것이다.

6한권으로 완성하는 수학 수학2(하) - [2013.6] [2014.6] 분석 포함

한권으로 완성하는 수학 적분과 통계(상) - 논술 심층분석 포함

한권으로 완성하는 수학 적분과 통계(하) - [2013.9] [2013.11] [2014.9] [2014.11] 분석 포함

수능 수학2 심화 수학2

01 방정식과 부등식 Critical Point 01~04

수능특강01: 동치전개와 고차부등식

수능특강02: 분수식의 정리방법

수능특강03: 분점과 실생활문제

수능특강04: 방정식 근의 변형

수능특강05: 무리함수의 그래프의 논리

02 삼각함수 Critical Point 05~06

수능특강06: 삼각함수의 합성

수능특강07: 탄젠트 덧셈정리의 활용

수능특강08: 삼각함수의 좌표해석

03 함수의 극한 Critical Point 07~09

수능특강09: 0으로 가는 속도와 근사

수능특강10: 꼴의 극한

수능특강11: 극한의 존재, 연속성의 판단

04 미분법 Critical Point 10~13

수능특강12: 사칙연산, 합성함수의 그래프

수능특강13: 다항함수의 다양한 성질

수능특강14: 함수의 대칭성과 주기성

수능특강15: 역함수와 미분법

수능특강16: 최대, 최소 문제의 해법

수능특강17: 볼록, 오목과 관련된 식

수능특강18: 중간값의 정리, 평균값의 정리

01 방정식과 부등식

심화특강01: 절댓값 그래프의 논리

심화특강02: 가우스 그래프의 논리

심화특강03: 분수함수와 합성 자기장 (물리 통합)

01 방정식과 부등식 논술문제

02 삼각함수

심화특강04: 공식과 증명의 논리

심화특강05: 부등식의 영역

심화특강06: , ,

02 삼각함수 논술문제

03 함수의 극한

심화특강07: 제곱근 극한과 쌍곡선

심화특강08: 직관적 극한의 논리적 서술법

03 함수의 극한 논술문제

04 미분법

심화특강09: 합성함수 그래프의 논리

심화특강10: 함수와 대칭성과 주기성 심화

심화특강11: 특별한 미분법

심화특강12: 미분계수의 엄밀한 논리

심화특강13: 다항함수의 전개와 그 활용

심화특강14: 곡선의 닮음

심화특강15: 매개변수 곡선

심화특강16: 다항함수의 다양한 성질 심화

04 미분법 논술문제

한권으로 완성하는 수학 백서 시리즈

특전 제목 내용 위치

수능백서1 수능을 100점 맞는 방법에 대한 이론과 체계 수학2(상), 기벡, 적통(상) 제일 앞

수능백서2 직관과 논리의 차이와 수능을 공부하는 방법 수학2(하), 적통(하) 제일 앞

논술백서1 직관적 문제풀이에서 논리적 문제풀이까지 적통(상) 논술문제 앞

논술백서2 논술 문제의 심층분석과 논술에 대한 방법론 적통(상) 논술문제 앞

기출백서1 [2013.6] [2014.6] 기출 심층분석 수학2(하) 심화특강 앞

기출백서2 [2013.9] [2014.9] [2013.11] [2014.11] 기출 심층분석 적통(하) 심화특강 앞

수학2(하)

라이프니츠 (Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646~1716)

“발명의 근원을 아는 것보다 더 중요한 것은 없다.

내 생각으로 그것은 발명자체보다도 더 흥미롭다.”

미분법

수학자의 명언

미분법

특강 - 교과서의 이론을 여러 가지 소재로 연습하는 단계 (수능 추가개념 완성, 논리력+응용력+사고력 배양)

수능특강12: 사칙연산, 합성함수의 그래프

수능특강13: 다항함수의 다양한 성질

수능특강14: 함수의 대칭성과 주기성

수능특강15: 역함수와 미분법

수능특강16: 최대, 최소 문제의 해법

수능특강17: 볼록, 오목과 관련된 식

수능특강18: 중간값의 정리, 평균값의 정리

Critical Point - 교과서의 이론을 다시 한 번 체계적으로 정리하는 단계 (수능 기본개념 완성)

10.미분가능의 정의에 따라 미분가능성을 확인하라.

11.다양한 미분방법을 완벽히 숙지하라.

12.접선 문제는 모든 점에서의 접선 ′ 을 도입하라.

13.다항함수의 그래프의 개형은 미분과 개형을 활용하라.

14.초월함수의 그래프의 개형은 기본연산과 미분을 활용하라.

원리 없이 결과만을 외운다면, 언젠가 크게 혼날거야.

수능에서 논술까지 한번에!

한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한한̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌한̌권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로권으로 완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완완̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌완̌성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는성하는 수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수수̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌̌수̌학학학학학학학학학학학학학학학학학학

저자의 잔소리

1) 수리논술에서도 미분가능의 정

의는 매우 중요하다.

2) 결국 미분계수는 극한으로 정

의되므로 좌극한과 우극한을 확인

해야 한다.

3) 양수에서 음수, 혹은 음수에서

양수로 바뀌는 점을 의미하는데

반드시 인 점 중에 하나

임을 알 수 있다.

CP 10 미분가능의 정의에 따라 미분가능성을 확인하라.

수능에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이나 여러 문항에서 미분가능성에 대하여 묻는 문제가 많다. 여

러 가지 화려한 기술보다 [미분가능의 정의]를 완벽하게 익혀두고 사용하는 것이 수

능에서 가장 중요하다. 수능에서는 다른 스킬은 거의 쓸모없고 정의가 핵심이다.

에서 미분가능하다.

⇔ 에서의 미분계수 ′가 존재한다.

⇔ 극한값 lim→

이 존재한다.

존재하면 그 값을 ′로 약속

위와 같은 미분가능성의 정의를 철저히 숙지하도록 하고, 자주 나오는 유형

두 가지를 다음과 같이 정리해두도록 하자.

① 에서 함수가 바뀔 때, 에서의 미분가능성

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 , 에 대하여

≧

이라 할 때, 함수 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 필요충분조건은

′ ′

이다.

② 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여 의 미분가능성

≧

에서 와 는 미분 가능하므로

“에서 로” 혹은 “ 에서 로” 함수가 바뀌는 경계점에서의 미

분가능성을 확인해야 하는데, 그 경계점을 라 하면

′ ′

여야 하므로 ′ 이 되는 것을 알 수 있다.

따라서 문제에서 의 미분가능성을 물을 때에는, 의 부호가 바뀌는 점을

라 할 때, ′ 인지만 확인하면 된다.

기

본

개

념

완

성

00000000000000000000000000000000 04.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법미분법4.미분법Annotation

20 ⋯ 미분법

수

능

미분법

미분가능성 문제의 해법

① 미분가능성의 정의에 따라 확인한다.

② 구간별로 함수를 써낸 후 , ′ ′라는 간소한 조건을

활용하는 것도 좋은 방법이다.

Annotation

All in One ⋯ 21

1) 정답 : 1

*이 문제가 풀리지 않는다면

다시 한완수 전 단계인 교과서

공부로 돌아가셔서 완벽히

공부하고 오셔야 합니다.

2) 정답 : ㄱ, ㄷ

*자세한 해설은 향후 기출문제를

모아서 풀 때 볼 수 있다.

지금 이 문제가 안 풀린다면 반드

시 교과서의 개념으로 돌아가서

다시 한 번 개념을 공부한 후

이 문제를 풀도록 하자.

*문제가 안 풀리면 참고해보자.

“미분가능의 정의”만 열심히 적용

하면 된다.

3) 함수의 극한에서 연속성 후보

찾는 것과 유사하다. 잘 모르면

수학2(상)에서 복습하도록 하자.

① ±×에서 미분불가능

후보는 가 미분불가능한

와 가 미분불가능한

② ∘에서 미분불가능

후보는 가 미분불가능한

와 가 미분불가능한 에 대

하여 의 실근

STEP1 교과서 수준의 문제에 Critical Point를 적용해보자.⋯

≥ , 에 대하여 가 실수 전체의 집합에서

미분가능하게 되는 의 값을 구하시오.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

STEP2수능 수준의 문제에 Critical Point를 적용해보고 교과서 수준의

문제와 비교해서 풀이의 공통성에 대하여 스스로 생각해보자. ⋯

함수 가

≦

≧

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [2007]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

두 문제에 대하여 이상한 암기한 지식을 동원하지 말고 미분가능의 정의에 따라 차

근차근 해결해보자.

<STEP1의 풀이>

라 하면 의 미분불가능 후보는 이다. 따라서

에서만 미분가능한지 확인하면 된다.

lim→

lim→

우극한 lim→

lim→

lim→

좌극한 lim→

lim→

lim→

따라서 에서 임을 알 수 있다.

Annotation

기

본

개

념

완

성

ㄱ. 는 에서 미분가능하다.

ㄴ. 는 에서 미분가능하다.

ㄷ. 가 에서 미분가능하도록 하는 최소의 자연수 는

이다.

<보 기>

22 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) <STEP1의 다른 풀이>

≥

라 할 수 있는데 와

는 모두 미분가능한 함수이

므로 각각을 미분해서 확인해도

된다. 즉 를 미분하면

인데 을 대입하면 ,

이므로 미분하면 이므로

을 대입하면 이다. 즉,

에서 임을 알 수

있다.

미분가능의 정의보다 풀이는 훨씬

간단하지만 미분가능의 정의 풀이

를 통달한 사람에게만 허용되는

풀이이다. 또한 미분가능한 함수

에 대해서만 가능함을 명심해야

한다.

2) <STEP2의 다른 풀이>

ㄱ. 과

을

미분해서 을 대입했을 때의

값이 같으면 된다. (참)

ㄴ. 의 오른쪽에서

이 음수이므로 으로

바꾸어 생각하면 된다.

를 미분해서 0을 대입한 값

과 을 미분해서 0을 대입

한 값이 다르므로 미분 불가능하

다. (거짓)

ㄷ. 이므로 에서는

이고,

≦에서는

이다. 따라서 각각을 미분해서

을 대입한 값이 같으면 된다

미분하면 각각

.

이므로 일 때에는 을 대입

하면 서로 다르고 일 때에

는 을 대입하면 서로 같아진다.

(참)

<STEP2의 풀이>

ㄱ. 미분가능의 정의에 따라 확인하자. lim→

이 존재해야 하므로 우

극한과 좌극한이 같아야 한다.

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

(참)

ㄴ. 마찬가지로 정의에 따라 확인하자.

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

(거짓)

ㄷ. 마찬가지로 정의에 따라 확인하자.

lim→

× lim→

lim→

lim→

× lim→

lim→

lim→

lim→

이 되어야하는데 이면 달라지고

이면 같아진다. (참)

따라서 ㄱ, ㄷ이 정답임을 알 수 있다.

이처럼 미분가능에 대해서 정의에 따라 차근차근 확인하는 습관을 들이는 것이

가장 중요하다. 사실 STEP2 같은 문제에 주어진 함수는 범위 각각을 보면

미분가능한 함수이므로 주석 1), 2)에 있는 풀이를 적용할 수도 있지만 주석의 풀이

는 이미 미분가능에 대해 통달한 사람에게만 허용되는 풀이이다. 일단 최우선으로

미분가능의 정의를 완벽하게 적용하는 연습을 하도록 한 후, 주석의 풀이까지 완벽

하게 공부하고 넘어가도록 하자. 즉, 주석의 풀이는 앞서 배운 “구간별 함수 써내기”

를 활용한 후에 , ′ ′라는 간소한 풀이를 적용하는 것이므로

주석 풀이까지 완벽하게 마스터하고 넘어가야 한다. 반드시 시키는 대로 다 공부

하세요.

Annotation

All in One ⋯ 23

1) 음함수의 이해

원의 방정식 은

함수가 아니다. 하지만

≧일 때,

이라 하면 함수가 된다.

마찬가지로

일 때,

이라 하면 함수가 된다.

이처럼 와 가 정의되는 구간

을 적당히 정해서 가 에 대한

함수가 되는 것을 음함수라고 한

다.

2) 예를 들어 음함수

의 도함수를 구해

보자. 양변을 에 대하여 미분하

면

∙

,

,

(단, ≠)

3) 반드시 스스로 모든 미분법

공식을 유도해보도록 하자.

CP 11 다양한 미분방법을 완벽하게 숙지하라.

교과서에서 배우는 미분법의 종류를 정리해보면 다음과 같다.

① 곱의 미분법 ′ ′ ′

② 몫의 미분법 ′

′ ′

③ 합성함수의 미분법 ′ ′′

④ 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 , 일 때,

′′

⑤ 음함수의 미분법

음함수 에서 를 에 대한 함수로 보고, 각 항을

에 대해 미분하여

를 구하면 된다.

⑥ 역함수의 미분법

미분가능한 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능할 때,

의 도함수는

위의 미분법은 모두 “미분가능의 정의”로부터 유도가 가능하고 위의 미분법과 미

분가능의 정의로부터 다항함수 , 삼각함수 sin , 분수함수

,

sin cos, cos로 표현된 매개변수 함수, 로 표현된 음

함수 등 대부분의 함수를 미분할 수 있게 된다. 따라서 모든 미분법을 완벽하게 숙

지하도록 해야 한다.

여기서 ① 곱의 미분법, ② 몫의 미분법, ③ 합성함수의 미분법은 미분하는 방법

자체로는 저난이도 문제밖에 출제되지 않는다. 앞으로 배울 CP13, 14의 함수의 그

래프와 엮어서 출제되는 경우가 대부분이다.

하지만 ④ 매개변수의 미분법, ⑤ 음함수의 미분법, ⑥ 역함수의 미분법 중 특히

⑤, ⑥는 미분하는 방법 자체로도 난이도가 꽤 있기 때문에 고난도 문제가 출제되기

도 한다. 그 활용에 대하여 다음페이지에서 알아보자.

Annotation

기

본

개

념

완

성

24 ⋯ 미분법

수

능

미분법

역함수의 미분법에 대하여

역함수의 미분법에서 단독개념으로 수능에서 출제되는 유형은 한정되어 있다. 따라

서 대표 예제를 통해 정리하고 넘어가도록 하자.

함수 의 역함수를 라 할 때, ′의 값을 구하시오.

<역함수 미분법 풀이 방법>

역함수 미분법 문제를 풀 때 다음과 같이 기계적으로 식을 활용해주는 것이 좋다.

′에 대해 물으므로 을 양변 미분하면 ′가 나타남을 이용하자.

미분하면 ′′ 이므로 ′′

양변에 1을 대입하면

′′

인데 ⇔ 에서 임을 알 수 있다.

따라서 ′′

′ 이다.

위의 역함수의 미분법 풀이를 정리하면 다음과 같다.

의 역함수 에 대하여 ′를 구하는 풀이 알고리즘

① 를 미분하여 ′′

을 유도한다.

② 를 대입하면 가 필요한 것을 알 수 있다.

⇔ 임을 활용하여 의 값을 찾는다.

③ ′′

′

에서 최종적으로 ′를 찾아 대입한다.

AnnotationAnnotation

All in One ⋯ 25

음함수의 미분법에 대하여

마찬가지로 단독개념으로 출제되는 유형이 한정되어 있으므로 예를 들어보자.

벽에 길이 5m의 막대를 두고 그 아래끝을 매초 12cm의 속력으로

수평으로 당길 때, 아래 끝이 벽에서부터 3m의 위치에 왔을 때의

위끝이 내려오는 속력을 구하시오.

그림의 직각삼각형에서 밑변을 , 높이를 라 하면 이다.

그리고 양변을 에 대하여 미분하면 음함수의 미분법에 의하여

이다. 그런데 문제에서

, 일 때의

를 물었

으므로 대입하면 ×× ×

인데 일 때 이므로

×

에서

이다. 따라서 내려오는 속력은 9(초)가

된다.

간단한 문제 하나에서 아래와 같은 변화율 문제를 해결하는 대원리를 알 수 있다.

(에 대한 변화율) (와 의 관계식) → (에 대한 변화율)

즉, 하나의 변화율을 주고 다른 변화율을 묻는 문제는 두 변수의 관계식만 찾고,

음함수의 미분을 활용하면 반드시 해결 된다.

위의 음함수의 미분법 문제 풀이를 정리하면 다음과 같다.

문제에서 에 대한 변화율을 알 때, 에 대한 변화율 구하는 방법

① 와 에 대한 관계식 를 찾는다.

② 음함수 을 에 대하여 음함수의 미분을 적용한다.

③ 주어진 조건을 대입하여 원하는 변화율

를 찾는다.

위와 같이 음함수의 미분 단독개념문제로 “변화율 문제”가 상당히 훌륭하지만 2007

수능 이후로 아직 출제되지 않고 있다. 교육청이나 사설모의고사에서는 아직 자주

나오고 있고, 수능에 언제 다시 등장할지 알 수 없으니 위의 풀이 알고리즘을 완벽

히 숙지해두고 이 책에 있는 변화율 기출문제를 반복해서 풀어보도록 하자.

AnnotationAnnotation

기

본

개

념

완

성

26 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 정답 :





2) 정답 : 2/5



지금 이 문제가 안 풀린다면 반드

시 교과서의 개념으로 돌아가서

다시 한 번 개념을 공부한 후

이 문제를 풀도록 하자.


①

라 할 때,

′이다.

3) , 일 때,

가 되는 것은 가

역함수가 존재하는 일대일 대응

함수이기 때문이다.


가 의 함수일 때, 곡선 ln 위의 점 에서의 접선의 기울기는?

[2007.9]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



함수 를

sin

라 하자. ″ 일 때, ′의 값은?

(단, 는

인 상수이다.) [2009]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

두 문제의 난이도 차이는 상당한데 STEP1의 문제는 단순히 미분법 중 하나인 “음함

수의 미분법”만 적용하면 되고 STEP2의 문제는 주어진 조건 ″ 를 활용

해야 한다는 것만 다를 뿐 마찬가지로 “역함수의 미분법” “합성함수의 미분법”만 적

용하면 된다.

<STEP2의 풀이>

sin에서 ″ 을 활용하기 위해 미분하자.

′ sin, ″ cos에서 cos 이므로

cos

이다.

에서

임을 알 수 있다.

의 역함수를 라 하면 구하는 것은 ′이다. 따라서 함수 을 미분

한 후 을 대입한 식을 활용하자. 정리해보면 ′′

이다.

그런데 ⇔ 에서 를 찾아야 한다.

sin

에서 이므로 임을 알 수 있다.

따라서 ′′

′ sin

sin

이다.

이처럼 STEP2 정도의 문제에서 문제 풀이 알고리즘에 따라 완벽하게 풀 수 있을

정도까지 미분법을 공부해야 하고, STEP2 문제는 상당히 어려워 보이지만 문제 풀

이 알고리즘에 전혀 벗어나지 않는 매우 정석적인 문제임을 알아야 한다.

Annotation

All in One ⋯ 27

1) 점 가 곡선

를 따라 움직이는 모습

을 상상하면 가장 좋다. 점이 움

직임에 따라 접선도 계속해서 바

뀌어 간다.

2) 접선 문제를 만났을 때, 기계

적으로 식

′

을 도입해야 한다. 그리고 도입하

면서 머릿속에서 접선이 곡선을

따라 움직이고 있어야 한다.

CP 12 접선 문제는 모든 점에서의 접선 ′ 을 도입하라.

함수 의 그래프가 왼쪽과 같을 때 임의의 점 에서의 접선은 오른쪽과

같다.

여기서 는 곡선 위의 임의의 점이므로 접선

′ 는 곡선 위의 모든 점에서의 접선이 된다.

즉, 자취를 그리면 왼쪽처럼 무수히 많은 “모든 점에서의 접선”이 되고

′ 의 영역을 좌표평면에 나타내어 보면 오른쪽

그림과 같다. 이처럼 모든 점에서의 접선을 이해하고 있다면 접선 문제를 완전히 이

해하면서 해결할 수 있다.

∙

′

Annotation

기

본

개

념

완

성

28 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 특히 ③의 유형이 난이도가

있어 자주 출제 되는데, 정신없이

계산해서 를 찾고 나면 그 가

무엇인지 잊어버리는 경우가 많

다. 문제의 조건을 활용해서 찾은

는 “접점의 좌표”임을 명심하

길 바란다.

접선 문제의 대표적인 유형은 세 가지가 있다.

곡선 위의 모든 점에서의 접선 ′ 에 대하여

① 곡선 위의 점이 주어졌을 때

: 와 가 주어진 것이므로 바로 접선을 구할 수 있다.

② 접선의 기울기 이 주어졌을 때

: ′가 주어진 것이므로 방정식 ′ 에서 를 찾으면 된다.

③ 밖의 점 에서 곡선에 그은 접선을 구할 때

: 모든 점에서의 접선 ′ 중에 를 지나는 접선을 찾아

야하므로 대입한 방정식 ′ 에서 를 찾으면 된다.

세 가지 유형에서 보듯이 결국 접점의 좌표인 를 찾는 것이 목표이다. ①에서는

가 바로 주어져 있는 것이고 ②에서는 방정식 ′ , ③에서는 방정식

′ 을 풀면 접점의 좌표인 를 찾을 수 있다.

이처럼 접선 문제가 나왔을 때 가장 먼저 도입해야 할 것은 곡선 위의 모든 점에서

의 접선 ′ 이다.

접선의 방정식 문제 푸는 방법

① 모든 점에서의 접선 ′ 을 도입한다

→ 앞서 배운 세 가지 유형 중 어떤 유형인지 파악한다.

② 주어진 조건을 활용해서 접점의 좌표 를 찾는다.

③ 문제에서 요구하는 것에 맞춰 문제를 푼다.

여기서 응용이 많이 된 고난도 문제의 경우 “접선”을 찾아야 한다는 사실을

숨겨두는 경우가 많다. 따라서 다음과 같은 풀이 알고리즘을 가진다.

접선의 방정식 문제 푸는 방법 - 고난도 문제

① 문제를 해석해서 풀어나가다 보면 “접선”이 필요한 것을 알 수 있다.

② 모든 점에서의 접선 ′ 을 도입한다.

→ 앞서 배운 세 가지 유형 중 어떤 유형인지 파악한다.

③ 주어진 조건을 활용해서 접점의 좌표 를 찾는다.

④ 문제에서 요구하는 것에 맞춰 문제를 푼다.

Annotation

All in One ⋯ 29

1) 정답 :





2) 정답 : 15/4




① 곡선 과

직선 의 그래프를

그린 후 을 ∞부터 차근 차

근 크게 하면서 교점의 개수를

생각해보자.


에서 곡선 ln에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



실수 에 대하여 점 를 지나고 기울기가 인 직선이 곡선

과 만나는 점의 개수를 이라 하자. 함수 이 구간

∞ 에서 연속이 되게 하는 실수 의 최댓값은? [2012]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

두 문제는 모두 접선 유형 중 ③에 해당하는 “밖의 점 접선 유형”이다. 그런데

STEP2의 문제는 “밖의 점 접선 유형”이라는 사실을 깊이 숨겨둔 상태임을 스스로

알아내야 해서 난이도가 매우 높다. 2012수능 최고난도 문제 중 하나였으니 풀리지

않더라도 좌절하지 말고 해설을 보며 제대로 공부하도록 하자.

<STEP1의 풀이>

밖의 점 접선 유형이므로 에서의 접선 ′ 를 도입하자.

모든 점에서의 접선 ln 중 을 지나는 접선을 찾아야 한

다. 따라서 을 대입하면 ln이므로 임을 알 수 있다. 이 값을

다시 ln에 대입하면

<STEP2의 풀이>

에서 삼차함수에 직선을 그어보면

왼쪽 그림처럼 일단 기울기가 ∞에서 점점 커지면서 임을 알 수 있다.

그런데 삼차함수의 변곡점 부근을 지날 때 아래의 그림과 같이 교점이 2개, 3개인

순간이 생길지 아니면 계속 1개인지 알 수 없다.

Annotation

기

본

개

념

완

성

30 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 라는 방정식의

실근의 개수를 생각해보자.

인 순간 변곡점에서의 접선

이 되는데 이 근방에서는 실근이

계속 1개인 것을 알 수 있다. 이

와 같은 성질을 활용한 것이다.

2) 수식으로 확인가능한 부분이

다. 1)처럼 삼차함수와 접선을 연

립해보면 알 수 있다.

따라서 에서 삼차함수에 그은 접선의 방정식이 무엇인지 구해보자.

에 을 대입하면

이므로 ,

인데, 일 때 은 변곡점이

므로 은 변곡점에서의 접선이 되고 나머지 접선은

이

된다.

따라서 오른쪽 그림처럼 기울기가 커지면서 교점이 계속 1개인데 기울기가

가 되는 순간 교점이 2개가 된다. 따라서 최댓값은

두 문제에서 얻을 수 있는 교훈은 어려운 문제의 경우 포장이 잘되어 있지만 결국

은 쉬운 문제와 같이 “밖의 점에서 그은 접선”과 관련된 문제라는 걸 깨닫고

′ 만 도입하면 문제가 풀린다는 것이다.

또 한 가지 더 교훈이 있다면 어려운 문제는 변곡점에서의 접선 부근에서는 실근의

개수가 바뀌지 않는다는 성질이 직관적으로 보이지 않는다면 상당히 어려울 수 있

었다.

Critical Point에서는 쉬운 문제와 어려운 문제의 차이점보다 공통점에 입각해서

공부를 해나가도록 하자.

Annotation

All in One ⋯ 31

1) 이는 ln, sin등의 초월함

수에 대해서도 마찬가지이다.

2) 고차부등식에서 그래프는 보조

수단이었고 부호가 중요했던 것처

럼 도함수를 파악할 때도 “부호”

가 중요한 것이지 도함수의 그래

프의 정확한 개형은 중요하지 않

다. 부호만 정확하게 판정해주면

된다.

CP 13 다항함수의 그래프의 개형은 미분과 개형을 활용하라.

다항함수든 초월함수든 수능에서 가장 중요한 것은 일단 미분해서 개형을 추론하는

것이다. 미분해서 도함수를 활용하는 것이 모든 수능 문제 해결의 기본이고 거의 전

부이다.

평가원에 출제되었던 다항함수를 보자.

≥

미분하면

′ ≥

이 되고 풀이의 실마리를 찾을 수 있게 된다.

이처럼 모든 다항함수 문제는 결국 “도함수를 찾는 것”이 가장 중요하다.

왜냐하면 도함수를 찾으면 ′ 일 때 가 증가, ′ 일 때 가

감소한다는 성질을 통해서 원함수 의 그래프의 개형을 거의 완벽하게 추론할

수 있기 때문이다.

앞서 미분해서 구한 도함수 ′ ≥ 으로 원함수의 그

래프를 추론해보자.

먼저 왼쪽 그림과 같이 도함수 ′의 부호 , 을 값에 따라 판정한 후

일 때 가 증가, 일 때 가 감소한다는 성질을 이용해서 의

그래프의 개형을 그린다. 이후 에서 이라는 정보를 얻어서 오른쪽

그래프처럼 축까지 그릴 수 있다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

32 ⋯ 미분법

수

능

미분법

′

⋆ 일반적인 함수인

와 같

은 함수는 그래프를 그릴 때 도함

수뿐만 아니라 정의역, 치역, 절

편, 점근선 등 매우 다양한 정보

를 고려해서 그래프를 그려야 한

다.

하지만 다항함수의 경우 정의역은

∞ ∞로 정해져있고 그래프

의 개형 또한 한정적이기 때문에

위의 ①, ②, ③으로 모든 다항함

수 그래프의 개형을 완벽하게 그

려낼 수 있다.

1) 도함수 ′의 그래프의 개

형이 중요한 것이 아니라 “부호”

가 중요한 것이다. 실제로 다항함

수가 아닐 때에는 도함수 ′

의 그래프를 그리기가 매우 힘들

고 부호만 판정해야 하는 경우가

허다하게 많다.

2) 다항함수의 그래프의 개형을

파악할 때도 역시 미분해서 도함

수를 활용하는 것이 중요하다.

수능 출제 원리는 그래프의 개형

을 외우라는 것은 아니다.

모든 함수는 도함수로부터 개형을

추측해야 하는 것이 원리지만, 다

항함수에 한정해서보면 개형을 외

우고 있으면 쉽게 해결할 수 있는

기출문제가 매우 많으므로 삼차함

수, 사차함수 정도 까지는 그래프

의 개형을 대략적으로 기억하는

것이 좋다.

3) 개형이 머릿속에 기억될 때까

지 그래프 추론과정을 반복 연습

해야 한다. 결과적으로 그래프의

개형까지 암기되는 것이 좋다.

이처럼 어떠한 함수를 문제에서 발견하면 반드시 도함수를 구하는 것이 최우선인데,

다항함수 그래프의 개형을 그리는 알고리즘을 정리해보면 다음과 같다.

다항함수 의 그래프의 개형을 그리는 방법⋆

① 도함수 ′를 구한다.

② 도함수 ′의 부호를 값에 따라 판정한다.

→ 다항함수이므로 ′ 의 실근의 개수가 중요

③ ′ 인 구간에서는 가 증가, ′ 인 구간에서는 가 감소

한다는 성질을 활용해서 원함수 의 그래프의 개형을 그린다.

다항함수의 식은 ⋯ 으로 한정적이고 그래프의 개형 또한

한정적이므로 삼차함수, 사차함수 정도까지는 많은 반복을 통해 ①, ②, ③의 추론

과정뿐만 아니라 대략적인 그래프의 개형의 종류까지 완벽히 마스터해두면 모든

차 함수에 대하여 동등하게 적용할 수 있을 것이다. ⋯

먼저 이차함수의 그래프의 개형은 고1 과정에서 배운 것 그대로 꼭짓점, 대칭축 등

을 활용해서 그리면 되고, 삼차함수부터는 도함수를 통해서 차근차근 그래프의 개형

을 완성해보자.

→ ′

이므로 ′ 는 이차방정식이므로 “′의 부호를 조사”할 때 “판별식”이 중요

하다는 것을 알 수 있다. 판별식 의 부호에 따라 그래프의 개형을

나누어보면 다음과 같다.

이처럼 삼차함수의 그래프를 그리는 과정에서 ①, ②, ③을 연습할 수 있는데,

삼차함수 그래프의 개형 세 가지가 자연스럽게 머릿속에서 도함수로부터 유도되어

떠오를 때까지 반복해서 연습하도록 하자.

Annotation

All in One ⋯ 33

1) 실근의 개수, 즉 부호변화를

기준으로 그래프의 개형을 나누는

데,

는 사차함수가

에 대해 대칭인 함수가

되어 특징이 있다. 그래서

출제가 자주 되는 편이다.

2) ①의 ⋆처럼 출제가 자주

되는 그래프의 개형이다.

′을 만족하면서 극대나

극소가 아닌 특이점이 존재하기

때문이다.

이제 사차함수의 그래프의 개형을 추론하면서 ①, ②, ③의 과정을 연습해보자.

사차함수 을 미분하면 도함수

′ 을 구할 수 있다. 도함수의 부호변화를

관찰해야 하는데 도함수 또한 한 번에 그래프를 그릴 수 없는 삼차함수이므로 삼차

함수를 또 미분해서 이차함수 ″ 로부터 삼차함수의 그래프

의 개형을 그린 후, 삼차함수의 부호변화를 살펴야 한다. 따라서 사차함수를 추론할

때에는 앞서 공부했던 삼차함수 그래프의 추론과정이 자연스럽게 포함되게 된다.

도함수 ′의 부호변화를 관찰하기 위해 방정식 ′ 의 실근의 개수에 따라

그래프의 개형을 나누면 다음과 같다.

① ′ 의 실근의 개수가 3개일 때

⋆′ 의 세 실근 , ,

에 대하여

일 때

→

② ′ 의 실근의 개수가 2개 일 때

기

본

개

념

완

성

Annotation

34 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 앞서 배운 ①, ②의 경우

″의 실근이 2개로 고정

되어 있어 경우를 나눌 필요가 없

었다.

2) ′′의 실근이 0개일 때

나 1개일 때 모두 ′의 변곡

점이 존재하지 않으므로 한 번에

생각해도 큰 문제는 없다.

3) 이와 같은 사차함수의 식을

꼴이라고 착각할 수 있는데

도 포함된다.

실제로 이 그래프는

의 그래프이다.

4) 수능 출제 원리는 그래프의

개형을 외우라는 것은 아니다.

모든 함수는 도함수로부터 개형을

추측해야 하는 것이 원리지만,

다항함수에 한정해서보면 개형을

외우고 있으면 쉽게 해결할 수 있

는 기출문제가 매우 많으므로 삼

차함수, 사차함수 정도 까지는 그

래프의 개형을 대략적으로 기억하

는 것이 좋다.

③ ′ 의 실근의 개수가 1개, ″ 의 실근의 개수가 2개 일 때

④ ′ 의 실근의 개수가 1개, ″ 의 실근의 개수가 1개 이하 일 때

⋆가 선대칭일 때

→

이처럼 사차함수의 그래프의 개형을 찾을 때에는 두 번 미분한 이차함수 ″로부

터 삼차함수 ′의 그래프의 개형을 찾은 후, ′의 부호변화로부터 사차함수

의 그래프를 완성해야 한다. 하지만 시험에 사차함수가 출제될 때마다 이렇게

유도하면 시간적으로 손해가 있으므로 사차함수 그래프의 결과를 몇 개 정도는

기억하고 있는 것이 좋다.

삼차함수와 사차함수의 그래프의 개형 중 기억할만한 개형 몇 개를

다음 페이지에서 알아보자.

Annotation

′ ′

All in One ⋯ 35

1) 물론, ≠이다.

삼차함수의 특징적인 개형 3가지

① 극점 2개 존재 ② 단순히 증가해서 역함수 존재

사차함수의 특징적인 개형 4가지

① 극점 3개 존재 ② 극점 3개 존재 + 선대칭

③ ′ 의 실근 2개, 극점 1개 ④ ′ 실근이 1개 (변곡점 2개)

위 정도의 개형은 완전히 머릿속에 넣어두는 것이 좋고 사차함수의 경우 앞서 유도

했듯이 훨씬 더 많은 개형이 존재하므로 반드시 도함수, 이계도함수로부터 차근

차근 개형을 유도해낼 수 있어야 한다.

또한 다항함수에 대해서는 “실근을 활용한 식 세우기”를 알아두는 것이 좋다.

간단한 이차함수로 예를 들어 식을 세워보자.

위와 같이 이차함수 와 일차함수 를 봤을 때, 함수 각각에 대하여 식을

세우려 하지 말고 다음과 같이 식을 세우는 것이 좋다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

36 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 물론, ≠이다.

앞으로도 식을 세우는 파트에서

최고차항의 계수는 0이 아니라고

약속하자.

2) 왼쪽부터 차례대로

왼쪽그림, 가운데그림, 오른쪽그

림의 빼기 함수 그래프라고 생각

하면 된다.

3) 직관적으로 일단 이해하는 것

이 좋다. 예를 들어 삼차함수

와 직선 는 에서 접

하므로 세제곱인 것을 생각해보면

좋다.

이처럼 함수의 그래프에서 식을 세울 때 “빼기 함수”를 활용하는 것이 중요하다.

이차함수의 예를 하나 더 보자.

그림과 같이 포물선과 직선이 접할 때에는

라 식을 세울 수 있다. 이처럼 빼기 함수의 식을 세우면서 “교점과 접점의 좌표”

를 활용해주는 것이 좋다. 이와 같은 성질을 동일하게 적용해서 삼차함수의 식을 세

워보자.

왼쪽 그림 :

가운데 그림 :

오른쪽 그림 :

→ 다시 빼기 함수 의 그래프를 그려보자.

가운데 그림에서 접하면 제곱이 되는 성질을 활용해서 깔끔하게 식을 세우면 되고

오른쪽 그림에서는 변곡점에서 접하면 세제곱이 되는 성질을 활용하면 된다. ⋯ 3)

이처럼 식을 세울 때 빼기 함수를 이용하되, 빼기 함수의 그래프의 개형까지 그려낼

수 있는 것이 좋다.

Annotation

All in One ⋯ 37

1) 왼쪽부터 차례대로

왼쪽그림, 오른쪽그림의 빼기

함수 그래프라고 생각하면 된다.

2) 정확히는

접하면

변곡점에서 접하면

이지만 오차함수, 육차함수 등의

고차함수가 아니면 ,

인 경우가 대부분이다.

3) 삼차함수, 사차함수의 경우

그래프의 개형의 결과까지 어느

정도 암기해두는 것이 문제풀이에

유리한 경우가 많다.

이렇게 이차함수, 삼차함수까지만 제대로 식을 세울 수 있으면 사차함수부터는

얼마든지 같은 방법으로 식을 세울 수 있다. 특징적인 사차함수 몇 가지만 예를

들어보자.

왼쪽 그림 :

오른쪽 그림 :

→ 다시 빼기 함수 의 그래프를 그려보자.

식 세우는 방법과 앞서 배운 그래프를 그리는 방법을 총정리해보면 다음과 같다.

다항함수 와 일차함수 를 활용해 식을 세우는 방법

① 곡선 과 의 교점의 좌표 를 찾는다.

② 그냥 교점은 , 접하면 , 변곡점에서 접하면 ⋯

임을 활용해서 빼기 함수 의 식을 세운다.

③ 빼기 함수 의 그래프를 그려두면 상황 이해에 큰 도움이 된다.

다항함수 의 그래프의 개형을 그리는 방법






기

본

개

념

완

성

Annotation

38 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 정답 : 25





2) 정답 : 12




최고차항의 계수가 인 사차함수 는 축에 대하여 대칭이고

극소가 되는 점 중 한 점의 좌표가 이다. 을 구하시오.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



사차함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, ′′

의 값을 구하시오. [2009.6]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

두 문제를 풀면서

도함수 ′의 식을 세울지, 원함수 의 식을 세울지 선택하는 방법

에 대하여 공부해보자.

<STEP1의 풀이>

위의 그래프 중 주어진 조건을 만족하는 그래프의 개형이 있는지 생각해보자.

축에 대하여 대칭이므로 두 번째 그래프가 만족할 것이라 예측할 수 있다.

따라서 두 번째 그래프와 함께 도함수 ′의 그래프의 개형을 동일선상에 그리면

오른쪽 그림과 같다.

미분 문제를 접근할 때 항상 오른쪽과 같이

개형의 암기로 접근했더라도 도함수로부터

원함수를 그리듯이 두 함수를 항상

같이 그려두어야 한다. 도함수가 항상

출제의도이기 때문에 반드시 오른쪽과 같이

그려주어야 한다. 이제 함수의 식을

세워야 하는데 문제에서 묻는 것이

이므로 도함수의 식보다 원함수의 식을

한 번에 세우는 것이 좋다. 원함수의 그래프를 보면 임을

알 수 있고 이다.

Annotation

(가) 함수 는 에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 은 오직 에서만 미분가능하지 않다.

O

′

All in One ⋯ 39

<STEP2의 풀이>

네 가지 그래프의 개형 중 (나)를 만족하는 개형은 세 번째 그래프임을 알 수 있다.

그림에서 알 수 있듯이 (가)까지 만족하려면 오른쪽 그래프가 되어야 한다.

이제 식을 세워야 하는데 문제에서 묻는 것이 ′′

이므로 도함수의 식을 세우는

것이 유리하다. 도함수의 식을 세우는데 최고차항의 계수를 알 수 없으므로

′ 이라 할 수 있다. 따라서 ′′

이처럼 미분 문제를 풀 때에는 다음과 같은 순서를 지키는 것이 좋다.

다항함수 문제를 푸는 순서 - 와 ′ 중 어느 식을 세우는 것이 유리한가?

① 도함수 ′와 원함수 를 동일선상에 그래프를 그려둔다.

② 문제에서 묻는 것과 필요한 것이 무엇인지 잘 따져서

의 식을 먼저 세울지, ′의 식을 먼저 세울지 결정한다.

③ 식을 세워 문제를 해결한다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

40 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 정확히는

접하면

변곡점에서 접하면

이지만 오차함수, 육차함수 등의

고차함수가 아니면 ,

인 경우가 대부분이다.

이처럼 미분법에 대한 풀이를 대략적으로 완성해봤다. 미분법 문제는 응용될 수

있는 범위가 엄청나게 넓기 때문에 모든 것을 한 번에 정리하는 것은 무리가 있고

향후 특강에서 좀 더 세밀한 유형에 대해서 공부하도록 하자.

이제껏 배운 알고리즘을 총 정리해보면 다음과 같다.

다항함수 의 그래프의 개형을 그리는 방법






다항함수 와 일차함수 를 활용해 식을 세우는 방법

① 곡선 과 의 교점의 좌표 를 찾는다.

② 그냥 교점은 , 접하면 , 변곡점에서 접하면 ⋯

임을 활용해서 빼기 함수 의 식을 세운다.

③ 빼기 함수 의 그래프를 그려두면 상황 이해에 큰 도움이 된다.

다항함수 문제를 푸는 순서 - 와 ′ 중 어느 식을 세우는 것이 유리한가?

① 도함수 ′와 원함수 를 동일선상에 그래프를 그려둔다.

② 문제에서 묻는 것과 필요한 것이 무엇인지 잘 따져서

의 식을 먼저 세울지, ′의 식을 먼저 세울지 결정한다.

③ 식을 세워 문제를 해결한다.

마지막으로 강조할 것은 다항함수에서 “그래프의 개형”을 하나하나 암기하는 것은

고교과정에서 추구하는 방향이 아니므로 반드시 도함수로부터 그래프의 개형을 추론

하는 연습이 되어 있어야 한다. 하지만 몇 개의 그래프의 개형 정도는 외워주는 것

이 문제풀이에서 유리한 고지를 점할 수 있으므로 어느 정도만 유연성을 가지자는

것이고, 도함수의 중요성을 절대 잊지 않으면 된다.

Annotation

All in One ⋯ 41

1) 고교과정에서는 다항함수가 아

닌 거의 대부분의 함수를 초월함

수라 해도 크게 문제없다.

2) 최고차항의 계수가 짝수면

∞이고 홀수면 ∞ ∞

임을 그래프를 생각해보면 쉽게

알 수 있다.

3) 다항함수의 경우

상수함수를 제외하고는 절대

라는

식을 만족시킬 수 없다.

4) 외울 필요 없음.

CP 14 초월함수의 그래프의 개형은 미분과 기본연산을 활용하라.

다항함수든 초월함수든 수능에서 가장 중요한 것은 일단 미분해서 개형을 추론하

는 것이다. 미분해서 도함수를 활용하는 것이 모든 수능 문제 해결의 기본이고 거의

전부이다.

일단 초월함수의 특징에 대하여 몇 가지 생각해보자.

① 정의역과 치역이 매우 다양하다.

다항함수는 항상 정의역이 ∞ ∞이고 치역은 ∞혹은 ∞ ∞이다.

하지만 초월함수의 경우 정의역이나 치역이 매우 다양할 수 있다.

예를 들어

의 경우 ≤ 이므로 ≤ 이므로 치역의 범위

가 인 것을 알 수 있다.

② 주기성 혹은 대칭성을 가지는 경우가 있다.

앞서 공부한

의 경우 를 만족하므로 축 대칭함수이다.

또한 sin sin와 같은 초월함수는 다항함수와는 다르게

를 만족하므로 주기가 인 주기성을 가진다.

③ 점근선을 가지는 경우가 있다.

앞서 공부한

으로 확인해보자.

lim→∞ , lim

→ ∞ 이므로 축이 곧 점근선임을 예측할 수 있다.

위의 특징 ①, ②, ③은 주로 다항함수와의 차이점으로 부각되는 것들이고

일반적으로 도함수를 통해서 초월함수의 그래프의 개형을 추론하는 것은 완전히

동등하고 초월함수에서도 매우 중요하다.

위의 방법들을 토대로 초월함수의 그래프 그리는 방법을 교과서에서 다음과 같이

설명한다.

① 곡선이 존재하는 범위 (정의역, 치역)을 찾는다.

② 곡선의 대칭성, 주기성을 파악한다.

③ 절편과 절편을 찾는다.

④ 함수의 증가와 감소, 극값을 찾는다. ← ′를 이용하는 중요한 과정

⑤ 곡선의 오목과 볼록, 변곡점을 찾는다. ← ′′를 이용하는 중요한 과정

⑥ 극한값, 점근선을 찾는다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

42 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 함수를 어떻게 더하지?

라고 생각할 수 있는데

단순히 숫자 대입이다.

예를 들어

에

을 대입하면

를 대입하면

을 대입하면

⋯

이 된다는 것을 적극 활용해서

그래프의 개형을 추론하는 것이

다. 조금만 연습하면 금방 숙달시

킬 수 있다.

하지만 이 방법을 모두 암기해서 차근차근 해나간다는 것은 상당히 곤혹스러운

일이다. 사실 ④, ⑤를 제외한 과정은 기본적인 사칙연산이나 대입, 합성함수 등을

통해서 충분히 추론이 가능하고 대입은 중학교 때부터 활용해오던 그래프를 그리는

매우 훌륭한 방법에 속한다. 따라서 그래프를 그리는 방법을 다음과 같이 기억하자.

초월함수의 그래프의 개형을 그리는 방법

① 함수 의 형태를 보고 사칙연산이나 대입, 합성함수 등을 통해

대략적인 그래프의 개형만 추론한다.

② 도함수 ′를 구한다.


한다는 성질을 활용해서 원함수 의 그래프의 개형을 더 정확히 그린다.

일단 위의 방법을 읽으면 ①에서 의문이 생기는데 몇 가지 예를 들어 그래프를

그려보면서 이야기를 풀어나가도록 하자.

먼저 유명한 초월함수인

의 그래프를 그리면서 더하기 함수를 알아보자.

함수

을 처음 딱 보면 어렵다는 생각을 하겠지만

대부분의 함수는 “아는 함수의 사칙연산 혹은 합성”으로 구성되어 있다.

따라서

로 생각할 수 있고 그림과 같이 두 함수

,

를 따로 따로 그린 후 실제로 두 함수를 직접 더하면서 그래프를 대략적으로

추측해볼 수 있다.

Annotation

All in One ⋯ 43

1) 극한으로 표현하면 다음과 같

이 이해할 수 있다.

lim→∞

≒

lim→

≒ lim

→ ≒∞

(lim 에 ≒와 같은 표현은

수학적으로 올바르지 않지만

위의 식을 직관적으로 이해하기에

큰 문제는 없을 것이다.)

2) 도함수는 부호만 중요하므로

이라 생각해보

면 분모 은 부호에 영향을 주

지 않으므로 만 생각해보

면 쉽다. 이렇게 부호에 영향을

주지 않는 것을 무시하는 방법은

초월함수의 미분법에서 매우 자주

활용되니 완벽하게 숙지해두자.

오른쪽 그림과 같이

를 직접 대입했다고 생각하면

이므로 두 함숫값

을 그림과 같이 직접 더해서 점을 찍어 주면 된다.

이 같은 행위를 계속해서 반복하면 오른쪽의 그래프인

의 그래프를 대략적으

로 그려낼 수 있다. 여기서 주의할 것은 점근선을 대입하면서 자연스럽게 파악할 수

있다는 것인데 에 점점 큰 값을 대입하면

은 점점 에 가까워 지므로 보다

매우 약간만 큰 함숫값을 가지게 된다는 것이다. 따라서 가 점근선임을 알 수

있다. 또한 양수 를 점점 에 가깝게 대입하다보면 가 점점 사라져서

이 점

근선임을 알 수 있다.

이처럼 한 점씩 직접 대입한다는 생각으로 더하기 함수를 직접 그리면 점근선 또한

그래프를 그리는 과정에서 바로 추론 할 수 있고 대략적인 그래프의 개형까지 완성

할 수 있다. 하지만 여기까지는 정확한 논리가 아닌 숫자를 통한 추론에 불과하므로

반드시 미분을 통해 확인과정을 거쳐야 한다.

미분해보면 ′

이므로 인 구간에서 도함수

의 부호를 생

각해보면 에서 음수, ∞에서 양수이므로 에서 극소를 가지는 것을

알 수 있고 앞서 더하기 함수를 통해 추론했던 그래프가 거의 정확한 것까지 알 수

있다. 즉 함수

의 그래프의 개형은 오른쪽 그림이 맞고 극점 ,

까지 미분을 통해 정확하게 알아낼 수 있다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

∙

44 ⋯ 미분법

수

능

미분법

이제 빼기 함수에 대하여 알아보자.

① 빼기 함수는 다항함수에서 자주 활용된다.

→ 빼기 함수 의 그래프 그리기

그림과 같이 단순히 함숫값을 직접 뺀다고 생각하고, 또한 삼차함수라

는 것을 생각해주면 어렵지 않게 그래프를 그릴 수 있다. 이와 같은 원리를 활용하

면 이차함수, 삼차함수, 사차함수 ⋯ 등의 모든 다항함수에 대하여 빼기 함수 그래

프를 그릴 수 있을 것이다.

② 빼기 함수는 도함수의 부호를 판정할 때 매우 유용하다.

초월함수 sin sin의 그래프를 그린다고 해보자. 도함수를 찾으면

′ cos cos인데 도함수의 부호를 판단하기가 만만치 않다.

여기서 함수 cos와 cos를 각각 그려서 뺀다고 생각하면 다음과 같이

도함수의 부호를 판단할 수 있게 된다.

또한

′ cos cos cos cos cos cos

이므로 cos

에서 cos와 cos의 교점의 좌표 까지 구할 수 있다.

Annotation

O

cos

cos

All in One ⋯ 45

1) 곱하기를 통해 대략적인 그래

프의 개형을 추론한 후 미분을 통

해 반드시 확인과정을 거쳐야 한

다.

′

인데 도함수의 부호만 중요하기

때문에 다음과 같이 식을 변형하

자.

따라서 만 보고 부호를 판

정하면 되므로 ±에서 극

대, 극소를 가지는 것을 쉽게 알

아낼 수 있다. 이처럼 도함수의

부호에 집착하는 연습을 반드시

해야 한다. 그렇지 않고 도함수

자체를 살피려하면 도함수가 너무

어려워서 멘탈이 무너질 것이다.

이처럼 다항함수에서 빼기 함수의 그래프를 그릴 때, 초월함수에서 도함수의 부호를

판정할 때 “빼기 함수”를 적극적으로 활용하면 된다. 하지만 일반적으로

와 같은 그래프를 그릴 때에는 빼기 함수가 아닌

라

생각해서 앞서 배운 더하기 함수로 그래프를 그리는 것이 편하다.

따라서 더하기 함수와 빼기 함수에 대해서는 다음과 같이 정리하면 된다.

더하기 함수와 빼기 함수, ±를 활용해서 그래프를 그리는 방법

① 도함수의 부호 판정이나 다항함수의 빼기 함수가 필요한 경우가 아니면

더하기 함수로 해석하는 것이 편한 경우가 많다.

② 잘 아는 함수 와 ±의 그래프를 그린다.

③ 두 함수에 직접 , , ⋯ 등을 대입한다는 심정으로 직접 함숫값을

더하면서 그래프의 대략적인 개형을 완성한다.

④ 도함수 ′±′의 부호를 통해서 그래프의 증감을 정확히 한다.

이제 곱하기 함수, 나누기 함수 그래프 그리기에 대하여 배워보자.

일단 나누기 함수는

× 이므로 항상 곱하기 함수로 해석해서

그래프를 그릴 수 있으므로 곱하기 함수에 대해서만 정확하게 알아두면 된다.

예를 들어 의 그래프를 그려보자.

그림과 같이 와 의 그래프를 그린 후 두 함수의 함숫값이 이 되는 점

을 먼저 표시한다. 다음 구간 에서는 양수 곱하기 음수로 음수가 되고

에서는 양수 곱하기 양수로 양수가 되는 것을 알 수 있다. 따라서 대략적인

개형은 위의 그래프와 같이 완성할 수 있다. 이처럼 곱하기 함수의 경우

함숫값이 이 되는 점과 부호만 판정할 수 있으면 매우 쉽게 그래프의 개형을 그려

낼 수 있다. 미분을 통한 정확한 추론 드시 읽기

기

본

개

념

완

성

Annotation

46 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 힘의 세기라는 표현은 수학적

으로 훌륭한 표현은 아니지만

직관적으로 이해하기에 좋으므로

일단은 이렇게 공부하도록 하자.

2) 을 미분하면

인데

도함수의 부호만 판단하면 되므로

는 무시하고 생각해주면 된다.

따라서 ∞ 에서 감소하고

∞에서 증가하는 것을 알 수

있고, 에서 극소를 가지는 것

을 알 수 있다.

3) 이 부분에 대해서 일단은

증명보다는 직관적으로 가 훨

씬 빨리 무한대로 가고 ln가 느

린 속도로 무한대로 간다는 것을

생각해주는 것이 좋다.

이번에는 의 그래프를 그려보자.

먼저 함숫값이 이 되는 점을 찾아보면 밖에 없다. 즉, 을 표시한 후에

부호를 살펴보면 ∞ 에서는 음수, ∞에서는 양수인 것을 알 수 있다.

∞인 구간에서는 →∞이면 두 함수 와 모두 ∞로 가서 걱정 없이

무한대로 발산하는 그래프를 그려주면 된다. 하지만 ∞ 에서 →∞일 때

생각해보면 는 ∞로 발산하지만 는 으로 수렴하게 된다. 이렇게

±으로 가는 함수와 ±∞로 발산하는 함수가 곱해지면 결과 값이 ±으로 갈지

±∞로 갈지 판단을 해줘야한다. 즉 위의 그래프에서 lim→ ∞

or ∞

임을 판단해줘야 하는데 다음과 같이 힘의 세기를 기억하고 있자.

⋯ ⋯ ln

따라서 보다 의 힘이 더 세므로 의 이 우세하기 때문에 lim→ ∞

이 된다. 즉 ∞ 인 구간에서는 음수이면서 으로 수렴하는 그래프의 개형을

그려주면 된다. 미분을 통한 정확한 추론 드시 읽기

마찬가지로 ln와 같은 그래프를 그릴 때에도 으로 갈 때

× ∞ 형태이므로 판단을 해줘야 하는데 다항함수인 의 힘이 더 세므로

음수이면서 으로 수렴한다는 것을 알 수 있다.

위의 두 가지 예를 통해 곱하기 함수 그리는 방법을 정리해보면 다음과 같다.

곱하기 함수와 나누기 함수, ×÷를 활용해서 그래프를 그리는 방법

① 와 ×÷의 함숫값이 이 되는 점을 모두 표시한다.

② 각 구간에서 부호를 판정해서 그래프를 그린다. 예를 들어

이고 에서 양수면 그냥 위로 볼록하게 일단 그린다.

③ 미분을 해서 정확한 그래프의 개형을 파악한다.

④ ±× ±∞ ± or ±∞을 판정할 때, 힘의 세기를 고려한다.

Annotation

All in One ⋯ 47

1)

에서

±임을 알 수 있다.

2)

라 하면

이므로 는

기함수이다. 따라서 ∞구간

의 그래프를 원점 대칭이동하여

그래프를 완성하는 방법도 있다.

3) 주어진 식을 미분해보면

인데 도함수의 부호만

중요하므로 양수가 되는 분모는

무시하고 만으로 부호를

따져보면 ±에서 극대, 극소를

가진다는 것을 알 수 있다.

마지막으로 나누기 함수의 예를 몇 가지만 들어보자.

예를 들어

와 같은 그래프를 그릴 때에는 와 를 그려서 직접 나누는 것이

아니라 와

를 그린 후 곱한다고 생각하면 된다.

하지만

나

같은 경우

과

의 그래프를 그릴 수 있어야 하므

로 두 그래프의 개형을 알아보면 다음과 같다.

그림과 같이

의 그래프의 개형을 그릴 때 의 그래프를 그린 후 한 점씩

대입하면서

,

⋯ 등의 점을 표시해보면 그래프의 개형을 어느 정도 완

성할 수 있다. 물론 미분을 해서 더 정확하게 그릴수도 있다.

또한 역수그래프를 그릴 때에는 와

의 교점의 좌표는 항상 ±이 된다

는 것 정도는 자연스럽게 알 수 있고 실제 수능에서도 한 번 출제된 적이 있다.

마지막으로 나누기 함수를 통해서

의 그래프를 그려본 후 사칙연산과 그래

프 그리기를 마무리하도록 하자.

× 에서 함숫값이 이 되는 을 표시한다. 이후 ∞에서는

양수라는 것을 알 수 있는데 ∞× 이므로 직접 극한으로 판단해줘야 한

다. lim→∞

이므로 위와 같이 완성할 수 있다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

∙

48 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 직접

의 도함수, 이계도

함수를 찾아서 극점의 위치와 변

곡점의 위치를 정확히 확인하고

합성함수로 추론한 개형이 정확한

지 확인하도록 하자.

사실 앞서 배운 사칙연산 그래프에 대한 이론은 이론이 아니라 중학교 때부터 해오

던 , ⋯ 을 대입해서 모눈종이에 점을 찍던, 그 이론이라 생각하면 된

다. 한 점씩 대입해서 직접 함숫값으로 그래프를 추론한 후에 미분으로 그래프의 개

형을 “논리적으로” 완성한다고 생각하면 된다.

이제 합성함수의 그래프도 몇 가지만 그려보자. 교과서 대표 예제로 있는 함수

의 그래프는 우리가 잘 알고 있는 함수의 사칙연산으로 표현이 되지 않는다.

하지만 , 이라 하면 두 함수의 합성으로 표현할 수 있다.

따라서 두 함수를 따로 따로 그린 후 사칙연산 그래프와 마찬가지로 한 점씩 직접

대입하면서 그래프를 추론하면 된다.

함성함수 에서 가장 중요한 것은 의 치역이 다시 의 정의역이 된다는 것

이다. 위의 의 그래프에서 에 , , ⋯를 하나하나 대입해보면 치역이

부터 시작해서 점점 작아져서 ∞로 가는 것을 알 수 있다.

이 치역이 다시 의 정의역이 되면 부터 시작해서 점점 으로 수렴하는 것

을 알 수 있다. 따라서 ∞인 구간에서

의 그래프를 대략적으로 그려보면

왼쪽 그림과 같다.

또한 이므로

은 축에 대하여 대칭인 것을 알 수 있으므

로 오른쪽 그림과 같이 그래프의 개형을 완성할 수 있다.

이처럼 함성함수 또한 한 점씩 대입하는 것을 활용해서 그래프의 개형을 추론한 후

에 미분을 통해서 정확한 그래프의 개형을 확인하는 것이 좋다.

Annotation

All in One ⋯ 49

1) 여기서 도함수의 그래프가 중

요한 것이 아니라 도함수의 부호

만 중요하다는 것을 명심해야 한

다.

2) 대표 예제

, ,

3) 대표 예제

, ,

, ,

ln, ln,

ln

4) 대표 예제

ln ,

여기까지 “사칙연산과 그래프 그리기” “합성함수와 그래프 그리기”를 배웠다.

이 내용은 사실은 중학교 때 배운 한 점씩 대입하는 원리에서 오는 것임을 알아두

고 아무리 어려운 그래프가 나와도 한 점씩 대입하는 방법은 절대 무너지지 않는

좋은 방법임을 알아두자. 총 정리해보면 다음과 같다.







더하기 함수와 빼기 함수, ±를 활용해서 그래프를 그리는 방법

① 도함수의 부호 판정이나 다항함수의 빼기 함수가 필요한 경우가 아니면

더하기 함수로 해석하는 것이 편한 경우가 많다.

② 잘 아는 함수 와 ±의 그래프를 그린다.

③ 두 함수에 직접 , , ⋯ 등을 대입한다는 심정으로 직접 함숫값을

더하면서 그래프의 대략적인 개형을 완성한다.

④ 도함수 ′±′의 부호를 통해서 그래프의 증감을 정확히 한다.

곱하기 함수와 나누기 함수, ×÷를 활용해서 그래프를 그리는 방법

① 와 ×÷의 함숫값이 이 되는 점을 모두 표시한다.

② 각 구간에서 부호를 판정해서 그래프를 그린다. 예를 들어

이고 에서 양수면 그냥 위로 볼록하게 일단 그린다.


④ ±× ±∞ ± or ±∞을 판정할 때, 힘의 세기를 고려한다.

합성함수 의 그래프를 그리는 방법

① 와 의 그래프의 개형을 각각 그린다.

② 의 치역이 의 정의역이 되는 것을 생각하면서 한 점씩 대입해서

그래프의 개형을 추론한다.


기

본

개

념

완

성

Annotation

50 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 정답 :

∞ 에서

에서

에서

∞에서





2) 정답 : 15/4




방정식 ln 의 실근의 개수를 라 하자.

(1) 곡선 ln와 직선 의 그래프를 활용해서 의 그래프를 완성하시오.

(2) 곡선

ln와 직선 의 그래프를 활용해서 의 그래프를 완성하시오.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



실수 에 대하여 점 를 지나고 기울기가 인 직선이 곡선

과 만나는 점의 개수를 이라 하자. 함수 이 구간

∞ 에서 연속이 되게 하는 실수 의 최댓값은? [2012]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

먼저 STEP1의 (1)과 (2)의 문제를 풀면서 각 풀이의 장단점을 파악해보고 어떤

풀이가 본인에게 잘 맞는지 생각해보자.

<STEP1의 풀이>

(1) 교점 개수를 찾기 위해 그림과 같이 가 ∞로부터 차근차근 커진다고 생각

해보자. ln의 그래프의 개형을 쉽게 그릴 수 있기 때문에 에서 교점이

한 개라는 것을 쉽게 알 수 있다.

또한 일 때에는 여전히 교점이 1개이지만 과 같이 양수가 되는 순간

화살표를 따라가면 언젠가 곡선 ln과 한 번 더 만나서 교점이 2개가 된다.

를 계속해서 더 크게 만들면서 그래프를 그려보면 결국 그림과 같이 접하는 순간

에 교점이 1개이고 더 커지면 교점이 없어지는 것을 알 수 있다.

즉 이 문제는 교점의 개수 문제이지만 결국은 “접선 문제”인 것을 알아야 한다.

Annotation

ln

O

All in One ⋯ 51

에서 ln에 그은 접선을 찾아야 하므로 ln에서의 접선

ln

을 도입하자. 을 대입하면 ln 에서 임을 알 수 있다. 를

다시 대입하면 접선

를 찾을 수 있다. 따라서

일 때 교점이 1개인

것을 알 수 있고 의 그래프를 완성하면 다음과 같다.

(2)

ln의 그래프를 그려야 문제를 해결할 수 있다. 따라서 (1)에서 ln를 그리

는 것 보다 일단 난이도가 높다.

ln ln×

이므로 ln와

을 그린 후

두 함수를 곱하면 된다.

왼쪽 그림에서 알 수 있듯이 함숫값이 이 되는 점은 뿐이다. 점 을

표시한 후에 ∞에서는 양수, 에서는 음수임을 알 수 있고 으로 가

는 값을 살펴보면 ∞× ∞ ∞이고 ∞로 가는 값을 살펴보면

∞× 이므로 힘의 세기를 따져보면 다항함수 출신인

가 더 세므로

∞× 임을 알 수 있다. 따라서 오른쪽 그래프의 개형을 완성할 수

있다. 이렇게 곱하기 함수로 추론한 개형을 논리적으로 확인하기 위해 미분해보자.

ln ′

ln

에서 ln만 부호에 영향을 준다. 따라서 에서 극댓

값

을 가지는 것을 알 수 있으므로 의 개형을 쉽게 완성할 수 있다.

기

본

개

념

완

성

Annotation

ln

52 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 실제로 STEP2의 문제에 대하

여 접선 단원에서 푼 풀이를 보면

변곡점에서 접할 때 교점이 계속

1개라는 것을 논리적으로 판단하

는 것은 힘든 일이다. 어느 정도

의 직관에 동원된다.

<STEP2의 풀이>

를 지나는 직선은 이므로

에서 ,

이므로

의 그래프를 그려보자.

그래프를 그리기 위해서 왼쪽과 같이 이라 생각한 후 두 그래프

를 그린 후 더하면서 대략적인 개형을 추측하자. 또한 미분해보면

′

에서

에서 극소를 가지고 이

점근선이 되는 것을 알 수 있고 그래프는 오른쪽과 같이 그려진다.

또한 극솟값이

인 것을 알 수 있으므로 최댓값은

이다.

STEP1 문제의 경우 (1)의 풀이는 ln 자체로 분석하면 “접선 문제”가 되고

ln 로 분석하면 “그래프의 개형 문제”가 된다.

STEP2 문제도 마찬가지로 자체로 분석하면 “접선 문제”가

되었고

으로 분석하면 “그래프의 개형 문제”가 된다.

두 풀이에는 모두 각각 장단점이 있다. 접선문제로 풀게 되면 접선을 찾아야 한다는

단점이 있고 교점의 개수가 명확하게 눈에 안 들어오는 경우가 있기 때문에 어느

정도 직관을 동원해서 교점의 개수를 판단해야 한다. 하지만 그래프의 개형으로

문제를 풀게 되면 그래프의 개형을 그리는 것이 조금 더 어려워지고 교점의 개수는

명확하게 알 수 있다. 따라서 두 풀이 모두 숙지해두고 상황에 따라 풀이를 잘 선택

하는 능력을 길러야 한다.

Annotation

All in One ⋯ 53

1)

마지막으로 다음 몇 가지 함수들에 대하여 도함수의 부호에 집착하는 연습을 하고

문제로 넘어가도록 하자.

다음 함수의 도함수를 구해서 값에 따른 부호를 조사하시오.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

ln

(6) ln

(7)

(1) 이므로 가 아닌 이차함수 로 도함수의

부호를 판정하면서 원함수의 그래프를 그리면 된다. 즉, 핵심은 이차함수

(2)

→ 의 부호 조사

(3)

→ 의 부호 조사

(4)

→

의 부호 조사

기

본

개

념

완

성

Annotation

54 ⋯ 미분법

수

능

미분법

(5)

→ 의 부호조사

(6)

ln → ln의 부호조사

(7)

→ 의 부호조사

위의 문제풀이에서 볼 수 있듯이 아무리 복잡한 함수가 출제되더라도 부호에 집착

하면 반드시 원함수의 증감을 파악할 수 있게 출제됨을 명심하자.

도함수에서 중요한 것은 도함수 자체의 그래프의 개형이 아니라 부호이다.







→ 도함수에서 중요한 것은 도함수의 그래프가 아니라 도함수의 부호이다.

Annotation

All in One ⋯ 55

CP 10 미분가능의 정의에 따라 미분가능성을 확인하라.

CP 11 다양한 미분방법을 완벽하게 숙지하라.

CP 12 접선 문제는 모든 점에서의 접선 ′ 을 도입하라.

CP 13 다항함수의 그래프의 개형은 미분과 개형을 활용하라.

CP 14 초월함수의 그래프의 개형은 기본연산과 미분을 활용하라.

정답 및 첨언

01

(1) 정답:

: ′

에서

이고 ′이므로

에서

이 된다.

(2) 정답:

02

(1) 정답:

: ′

에서 ′이므로

이다. 즉

따라서 ,

이다.

(2) 정답:

03

(1) 정답: ,

: ′은

인데

를 지나야 하므로

대입해서 에 대한 방정식을 풀

면 or 이다.

따라서

혹은

(2) 정답:

01

02

03

Annotation

기

본

개

념

완

성

기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제기본예제CPCPCPCPCPCPCPCPCPCPCPCPCP를 를 를 를 를 를 를 를 를 를 를 를 를 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 교과서 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 기본 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 예제에 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 적용해보는 단계단계단계단계단계단계단계단계단계단계단계단계단계, , , , , , , , , , , , , 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 다음 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 단계인 CP를 교과서 기본 예제에 적용해보는 단계, 다음 단계인

기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 기출문제에서 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 같은 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 원리를 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 적용하는 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 연습을 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 해야 한다한다한다한다한다한다한다한다한다한다한다한다한다.............기출문제에서 같은 원리를 적용하는 연습을 해야 한다.

다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.

(1)

(2) sin

다음 곡선에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하여라.

(1)

(2) ln

다음 주어진 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

(1)

(2)

56 ⋯ 미분법

수

능

미분법

정답 및 첨언

04

정답:

: 미분하기 전에 과 의 곱하

면서 그래프의 개형을 대충 그려

놓은 후 미분하는 것이 좋다.

05

정답: 0

06

정답: 0

04

05

06

Annotation

방정식 의 실근이 3개일 때, 실수 의 범위를 구하시오.

함수 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 의 값을

구하시오.

함수

ln ≧

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때,

의 값을 구하시오.

All in One ⋯ 57

정답 및 첨언

07

정답:

: 함수 의 그래프를 그

리면 된다.

07

기

본

개

념

완

성

Annotation

방정식 의 실근이 2개일 때, 의 값을 구하시오.

58 ⋯ 미분법

수

능

미분법

[수능적 해법]

① ②

③ ④

④는 불연속점이 1개, ①③은 불연속점이 2개, ②는 불연속점이 3개이다. 따라서 ①

③ 중 하나가 된다.

그림에서 보듯이 ③의 개형은 ′ 을 만족시킬 수 없다. ③개형을 좌우 대칭한

개형도 마찬가지로 만족시킬 수 없으므로 ①의 개형으로 확정이다.

최고차항의 계수가 이고, , ′ 인 사차함수 가 있다. 실수 에 대하여 집합 를

함수 가 에서 미분가능하지 않다.

라 하고, 집합 의 원소의 개수를 라 하자. 함수 가 과 에서만 불연속일 때, 의

값을 구하시오. [2011]

다항함수의 개형

기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 기출예제 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출문제기출예제 & 기출문제

예제 01

All in One ⋯ 59

1) 수능 문제를 해결할 때 문제

의 주어진 조건은 항상 딱 맞다.

부족하지 않고 남지도 않는다.

2)

을 미분해보면 에서

극대를 가지는 것을 알 수 있다.

따라서 이다.

그림에서 식을 세우면 이고 아직 에서 불연속이 됨

을 이용하지 않았다. 따라서 임을 활용하면 에서

임을 알 수 있다. 즉 이므로 정답은 이 된다.

[정답] 147

O

기

출

예

제

&

기

출

문

제

60 ⋯ 미분법

수

능

미분법

1) 수능에서 아래로 볼록, 위로

볼록을 판정할 때 이계도함수를

구하는 방법도 있지만 대부분 도

함수의 증가, 감소를 판정하면 된

다.

[수능적 해법]

ㄱ. 위로 볼록을 묻기 때문에 주어진 함수를 미분하면

′ cos가 된다. 여기서 ′가 감소함수면 위로 볼록이 된다.

구간 에서 ′는 감소한다. 따라서 위로 볼록이 된다. (참)

ㄴ. 구간 에서 는 양수, ′또한 양수이다. 또한 에서 의

치역 또한 이므로 ′도 양수이다. 따라서 ′ ′′

이므로 는 구간 에서 증가한다. (참)

ㄷ. 이고 이므로 평균값의 정리에 의해서 참이다. (참)

[정답] ㄱ,ㄴ,ㄷ

[스피드 해법]

① 함수 그리기로 sin의 그래프를 그린다.

② 합성함수에서 접선의 기울기 곱의 원리에 따라 합성함수의 그래프는 푸른색 그

래프가 된다.

이렇게 그래프만 완성하고 나면 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참임을 알 수 있다.

함수 sin에 대하여 함수 를

∘

로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [2008]

초월함수의 개형

ㄱ. 함수 의 그래프는 개구간 에서 위로 볼록하다.

ㄴ. 함수 는 개구간 에서 증가한다.

ㄷ. ′ 인 실수 가 개구간 에 존재한다.

<보 기>

O

∘

예제 02

All in One ⋯ 61

1) 만약 사차방정식에서 삼 중근,

한 실근을 가지면 실근을 , ,

, 로 잡아야 한다.

[수능적 해법]

함수 에서 모든 점에서의 접선을 도입하면

′ 이다. 그런데 로 주어져 있으므로

가 된다.

이제 에서 모든 점에서의 접선을 도입하면

′ 이

다. 그런데 이 접선이 와 같아야 하므로 에서 이다.

또한 에서 이다.

[스피드 해법]

가 에 접하면 중근을 가지는 것을 이용해보자.

에서 가 중근을 가지므로 세 실근을

, , 라 하고 근과 계수의 관계를 적용하면

⋯ ① , + ⋯ ② , ⋯ ③

①에서 이므로 ③에 대입하면 에서 따라서 이므로

②에 대입하면 이 된다.

[정답] -7

곡선 위의 점 에서의 접선이 곡선 에 접할 때, 상수 의 값은? [2010.6]

접선의 방정식

기

출

예

제

&

기

출

문

제

예제 03

62 ⋯ 미분법

수

능

미분법

[수능적 해법 1]

의 그래프를 그려보자.

ㄱ. 일 때,

시각 에서 까지 움직인 거리



이므로 (참)

ㄴ.

이므로

이고

이므로 거짓 (거짓)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 의 시각 ≦ ≦ 에서의 속도 가 다음과 같다.

≦

≦ ≦ ≦

인 실수 에 대하여 점 가

시각 에서 까지 움직인 거리,

시각 에서 까지 움직인 거리,


중에서 최소인 값을 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [2011]

예제 04 미분가능성과 미적분의 활용

ㄱ.

ㄴ.

ㄷ. 함수 는 에서 미분가능하다.

<보 기>

O

All in One ⋯ 63

ㄷ. 에서의 미분가능을 물으므로 lim→

과

lim→

을 비교해야 한다.



시각 에서 까지 움직인 거리 라 하자.

ㄱ에서 일 때를 구했는데 일 때 일 때보다 는 더

커지고, 는 더 작아지므로 가 된다. 또한 일 때 일

때보다 는 더 작아지고, 는 더 커지므로 가 된다.

lim→

lim→

lim→

lim→

×

lim→

이고

lim→

lim→

lim→

lim→

lim→

이므로 에서 미분불가능하다. (거짓)

[정답] ㄱ

[수능적 해법 2]

ㄷ.

일 때,

시각 에서 까지 움직인 거리 ××

≦ 일 때,


××

×

이므로 는 에서 미분계수가 존재하지 않는다. (거짓)

미분가능성을 묻는데 미분가능의 정의 외에 다른 여러 가지가 떠오른다면 아직

수능에 대해 잘 모르는 것이다. 극한값의 존재성, 함수의 연속성, 미분가능성은

수능에서 철저히 정의에 따라 확인해야 한다.

기

출

예

제

&

기

출

문

제

64 ⋯ 미분법

수

능

미분법

01

미분가능성 문제를 푸는 방법

① 정의에 따라 확인하는 방법

② 구간별 함수 써내기

위의 2가지 방법을 모두 해보자.

CP에서 배운 바 있다.

01

02

함수 가

≦

≧


자연수 , 에 대하여

함수 lim→∞

이 에서 미분가능할 때,

의 값을 구하시오. [2008.6]

ㄱ. 는 에서 미분가능하다.

ㄴ. 는 에서 미분가능하다.

ㄷ. 는 에서 미분가능하도록 하는 최소의 자연수 는 이

다.

<보 기>

All in One ⋯ 65

03

lim→

은 미분

가능성을 나타내는 식과는 약간

다르다. ㄴ의 경우 수렴하는 극한

lim→

이 주어

져 있으므로

lim→

을

수렴하는 극한으로 표현해서 푸는

것이 정석이다.

또한 ㄷ은 단순히

을 lim→

에

대입해서 푸는 것이 가장 좋다.

(ㄷ에서 여러 가지 명제나 의미를

얻어낼 수 있는데 그것은 심화특

강에서 배우도록 하자.)

03

04

ㄱ. lim→

이면 lim

→ 이다.

ㄴ. lim→

이면 lim

→

이다.

ㄷ. 일 때, lim→

이다.

<보 기>

함수 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[2007.6]

세 다항함수 , , 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모

두 고른 것은? [2006.6]

ㄱ. 이면 ′ 이다.

ㄴ. 모든 실수 에 대하여 이면 ′ 이다.

ㄷ. 모든 실수 에 대하여 ≦ 이면 ′ 이다.

<보 기>

기

출

예

제

&

기

출

문

제

66 ⋯ 미분법

수

능

미분법

05

06

다항함수 는 모든 실수 , 에 대하여

을 만족시킨다.

lim→

′

일 때, ′의 값을 구하시오. [2006.6]

실수에서 정의된 미분가능한 함수 는 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 임의의 실수 , 에 대하여

(나) ′

함수 가 에서 극댓값을 갖고 에서 극솟값을 가질 때,

의 값을 구하시오. [2005.6]

All in One ⋯ 67

07

직관이나 그래프에 의존한 풀이와

수식을 활용한 풀이 2가지 모두

공부하는 것이 중요하다.

07

08

최고차항의 계수가 인 사차함수 에 대하여 함수 가 다음 조건

을 만족시킨다.

함수 가 모든 실수에서 연속이고, ≠ 인 모든 의 값에 대하

여 미분계수 ′가

′


(가) ≦ 일 때, 이다.

(나) 모든 실수 에 대하여 이다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [2010]

ㄱ. 이고 ′ ′이면, 는 실수 전체의 집합에

서 미분가능하다.

ㄴ. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면, ′′ 이다.

ㄷ. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 ′ 이면, 구간

∞ 에 ′ 인 가 존재한다.

<보 기>

ㄱ. 함수 는 에서 극값을 갖는다.

ㄴ. 모든 실수 에 대하여 이다.

ㄷ. 이면 이다.

<보 기>

기

출

예

제

&

기

출

문

제

68 ⋯ 미분법

수

능

미분법

09

10

삼차함수 의 그래프 위의 점 P 을 접점으

로 하는 접선을 이라 하자. 직선 에 수직이고 점 P를 지나는 직선이 곡

선 와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 의 값의 범위는?

[2008.6]

좌표공간에서 평면 위의 세 점 A ,

B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 내부에 점

P 가 있다. 점 P의 평면 위로의 정사영을 Q , 평면 위로의

정사영을 R , 평면 위로의 정사영을 S라 하자. QRQS일 때, 사면

체 QPRS의 부피의 최댓값을 구하시오. [2007]

C

A

BQ

RS

P

O

All in One ⋯ 69

1) 수학을 공부할 때, 항상 필요

충분을 확인하는 습관은 매우 중

요하다. 반드시 숙달시켜두자.

무리방정식의 무연근은 실체화할 수 있다.

분수방정식과 무리방정식을 풀 때, 무연근을 제외시키는 과정이 반드시 포함된다.

여기서 분수방정식과는 달리 무리방정식에서는 무연근을 그래프에서 교점으로 확인

할 수 있다.

⋯ ①

라는 무리방정식을 풀어보자. 여기서 양변을 제곱하면 이고, 식을 정리

하면 가 된다. 방정식을 풀면

∴ 또는

두 값을 첫 무리방정식에 대입해보면 은 무연근임을 확인할 수 있다.

여기서 주어진 무리방정식과 제곱한 방정식은

×

○

다음과 같이 필요충분조건이 아니다. 여기서 서로 필요충분조건인 두 식은

○

○

⋯ ②

○

○ ≧ ⋯ ③

두 가지 이다. ②식을 그래프로 그려서 해석해보면

수능특강01 동치전개와 고차부등식

O

54 ⋯ 방정식과 부등식

수

능

동치전개와 고차부등식

1) 을 만족한다

고 모두 무연근인 것은 아니다.

을 만족하

는 는 또한 만

족하게 되는데, 그 값은 명백한

주어진 무리방정식의 근이다.

그림에서 보듯이 ②의 방정식 에서 무연근이 생긴 것을 확인할 수

있다. 일반적으로 설명해보면 무리방정식

가 있을 때, 양변을 제곱한 방정식 에 대하여

○

○

인데, 아래에 있는 방정식 ⋯ 에서 무연근이 그래프에서 실체

화 되어서 나타난다. 따라서 무연근 자체를 묻는 문제가 출제될 수도 있다.

여기까지 무리방정식의 무연근에 대하여 이해한 후 다음 페이지에서 식의 동치전개

에 대하여 자세히 알아보자.

All in One ⋯ 55

1) 동치

수학에서 동치(同値)란 두 문장

(혹은 식)이 논리적으로 같다는

것을 의미한다. 즉, 필요충분조건

과 같은 의미로 사용된다.

2) 만약, 정리한 오른쪽 식과 왼

쪽 식이 필요충분조건을 만족한다

면 “무연근 확인”이라는 특별한

절차는 필요 없다. 필요충분조건

이란 똑같은 식을 의미하기 때문

인데, “무연근 확인”을 해야 하는

이유는 두 방정식은 명백히 다른

방정식이기 때문이다.

동치전개를 습관화 한다면 정확도를 높일 수 있다.

기출문제에서 봤던 분수방정식

을 예를 들어 보자. 양변에 를 곱하면

이 되는데, 여기서 만약

⇔

가 필요충분하다면 오른쪽 방정식을 풀어서 무연근을 제외시키는 과정 없이 올바

른 정답을 낼 수 있다. 하지만 두 방정식은 필요충분하지 않다. 두 식의 관계는

×

○

위와 같고 필요충분조건을 만족시키기 위해서는 아래와 같이 해야 한다.

○

○

≠ ≠

오른쪽 방정식에 (분모≠) 조건을 추가하면 된다.

그렇다면, 왼쪽 방정식과 오른쪽 방정식은 명백하게 필요충분조건을 만족하므로

왼쪽 방정식을 푼 것이나, 오른쪽 방정식을 푼 것이나 같은 결과가 나오게 된다.

다음 페이지에서 무리방정식의 동치변형에 대하여 공부해보자.


수

능


1) 이 페이지 아래 부분에서 식

을 끝까지 정리해서 무연근까지

확인해보자.

기출 무리방정식

에서 라고 치환하면

×

○

단순히 위오 같이 전개해서 문제를 풀게 되면 “필요충분”이 아니므로 반드시

“무연근 확인”과정을 거쳐야한다.

○

○ ≧

⋯

하지만 이런 식으로 “동치변형”을 이용한다면 “무연근 확인”과정은 생략해도 된다.

즉, 시험문제를 풀 때, “동치전개”를 습관화 하고 “무연근 확인”과정도 꼭 하길 바란

다. 그렇다면 “실수”할 확률을 극도로 낮출 수 있을 것이다.

분수방정식의 동치변형 :

⇔ ≠

무리방정식의 동치변형 : ⇔ ≧

<식 마무리>

1)의 ≧ 을 정리하면 ≧

,

≧ 이므로 만 근이고

은 ≧

에

서 무연근임을 알 수 있다. 하지만

을 에 대입해봐도

이므로 만족하지 않는 것을 알 수 있다.

이처럼 “무연근 확인”에 대한 장치 두 가지 “동치전개” “원래 식에 대입하여 확인”

을 모두 습득해 두도록 하자.

All in One ⋯ 57

1)

이므로 바로 약분 가능하다.

2) 즉 부호를 조사하면서

함수가 음수인지, 양수인지만

확인해서 그래프의 개형만

적절히 그려주면 된다.

고차부등식을 해결하기 위한 고차함수의 그래프

분수부등식 문제를 해결할 때 통분하여 동치변형하게 되면 고차부등식을 얻게 된다.

이러한 고차부등식을 해결할 때, CP 03과 같이 부호를 조사하여 그래프를 그려서

해결하는 것이 가장 바람직하다. 여기서 중요한 것은 정밀한 그래프보다, 양수인지

음수인지 부호만을 정확하게 나타내는 그래프면 충분하다는 것이다. 일단 아래의

분수부등식을 해결해보자.

≦

위의 분수부등식을 동치변형하면 아래와 같다.

≦ ≠ ≠±

라 하면 lim→∞∞이므로 축의 양의

방향부터 그려나가면서, 에서 부호가 변하지 않고, , , ±에

서 부호가 변화 하는 것을 고려하면 아래와 같이 그려진다.

따라서 부등식의 해는 , ≦ , 이다.

그런데 여기서 분수부등식

≦ 을 만났을 때,

부호변화에 대해서 숙달이 된다면 위의 분수부등식 상태에서 바로 위의 그래프를

그려낼 수 있을 것이다.

또한 부호변화를 판단할 때 각 인수의 개별 그래프를 그려서 판단하는 것이 가장

좋다.

위의 부등식에서 는 부호가 변하고, , 은 부호가 변하

지 않음을 쉽게 알 수 있다.


수

능

부호변화 0이 된다.

, ⋯ ○ ○

, ⋯ × ○

, ⋯ × ○

○ ○

○ ×

⋯

○ ×

± ⋯ × ×


1)

이므로 그래프를 그려보면

, 에서 이 되지만

부호는 변하지 않는 것을 쉽게 알

수 있다.

2) 일 때를 예를 들어보면

이므로 그래프를 그려보면

다음과 같다.

따라서 이 되지는 않지만

에서 부호가 바뀌는 것을

알 수 있다.

그런데 사실,

과 같은 식

을 만났을 때, 고교과정에 맞는

접근은 “통분”이므로 제대로 접근

해보면

이고, 은

부호에 영향을 주지 않으므로

에서 에서 부호가 바뀌

는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, 개

별 그래프 판단이라는 좋은 방법

을 배웠지만 결국은 교과서에서

강조하는 “이항 후 통분”이 가장

중요하다.

하지만

과 에 대해서는 부호변화에 대한 판단이 쉽지 않은데, 함수

과 의 그래프를 따로 그려보면 아래와 같으므로

은 에서 부호가 변하지만 함숫값이 0이 되지 않고,

은 ±에서 부호가 변하고 함숫값도 0이 됨을 알 수 있다.

따라서

≦ 이 출제 되었을 때,

, , , , 에 대한 부호변화를 판단하면서 바로 그래

프를 그려서 문제를 해결하면 된다.

(단 ≠ , ≠ , ≠ 임을 주의하면서 그려야 한다.)

이처럼 분수부등식이 출제 되었을 때, 동치변형을 하지 않고 부호변화만을 생각하면

서 그래프를 바로 그려내서 해결하면 빠른 문제 풀이가 가능하다.

(단, 분모≠임을 주의하면서 그려야 한다.)

아래는 여러 가지 인수에 대한 에서의 부호변화 여부, 함숫값이 0이 되는지의

여부이다. 다음 페이지에서 기출문제를 같이 풀어보자.

All in One ⋯ 59

1)

≦을

보면 바로 0, 1, , 에서

부호가 바뀌는 것을 알 수 있으므

로 즉시 부호 변화를 나타내는 그

래프를 그리면 된다. (익숙하지

않다면 동치 변형 한 후에 그래프

를 그리자.)

[정답] 51

2) 통분하면

≦이다.

따라서 로 치환한 후

즉시 부호 변화를 나타내는 그래

프를 그리면 된다. (익숙하지 않

다면 동치 변형 한 후에 그래프를

그리자.)

[정답] 1/2

3)

≦에서 바

로 부호 변화를 나타내는 그래프

를 그리면 된다.

[정답] 3

(1)

(2)

(3)

그림과 같이 삼차함수 의 그래프와 직선 은 세 점에서

만나고 그 교점의 좌표는 , , 이다. 부등식

≥

을 만족시키는 실수 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 의

값은? [2009.6]

에 대한 분수부등식

≦

을 만족시키는 정수 가 개가 되도록 하는 자연수 의 값을 구하시오.

[2006.6]

O

두 자연수 에 대하여 분수부등식

≦

을 만족시키는 정수 가 개가 되도록 하는 순서쌍 의 개수는?

[2006]


수

능


4) 라 하면

이다. 제곱하면서

동치 전개를 해주면

⇔

(≧

)

이므로 ≧

에서 무연근을 제

거할 수 있고, 주어진 방정식

에 대입하는 방법

으로도 무연근을 제거할 수 있다.

[정답] 8

5)

에서 양변을 제곱하면

이

다. 그런데 동치 전개로 생각하면

≧의 조건이 있어야 한

다.

[정답] 4

6) 분수부등식 문제가 아직

어렵고 생소하다면 동치변형하는

연습을 꾸준히 하도록 하자.

익숙해지면 동치변형하기 전에

그냥 바로 그래프를 그려버리면

된다.

(4)

(6)

동치전개와 고차부등식에 대한 요약

① 분수방정식, 무리방정식 문제를 해결할 때 동치전개를 해주면 무연근에서

실수할 확률을 극도로 낮출 수 있다.

② 분수부등식에서 부호 변화를 나타내는 그래프를 그릴 때, 굳이 고차부등식으로

동치변형하지 않아도 얼마든지 그릴 수 있고, 풀이 시간 단축을 할 수 있다.

구간 에서 정의된 연속함수 의 그래프가 그림과 같다.

방정식 의 실근의 개수를 구하시오. [2009.9]

O

대칭축이 인 이차함수 의 그래프가 그림과 같다.

방정식 의 모든 실근의 합은? [2011.9]

All in One ⋯ 61

분석 및 해제에는 특강의 개념을 활용한 풀이만 있으므로 정석적인 풀이는 반드시

스스로 해봐야 한다. 정석 풀이를 아는 사람만이 심화풀이를 할 자격이 있음을 명심해라.

01. 함수 의 그래프가 아래와 같다.

무리방정식 를 풀면 나오는 실근 와 무연근 에 대하여 라 한다.

를 구하시오.

02. 다항함수 에 대하여 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. ⇔ ≠

ㄴ. ≧ ⇔ ≧

ㄷ.

≦ ⇔ ≦

<보 기>

수

능

특

강01

연

습

문

제


수

능


03. 무리방정식 의 근을 라 하고, 무리방정식 의 근을 라 할 때,

다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

04. 무리방정식 에 대하여 집합 의 원소는 , 집합 의

원소는 , 라 한다. 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ.

ㄴ.

ㄷ.

<보 기>

ㄱ. 는 무리방정식 의 무연근이다.

ㄴ.

ㄷ.

<보 기>

All in One ⋯ 63

05. 무리함수 , 일차함수 의 그래프가 아래와 같다.

무리방정식 의 실근이 9이고 무연근이 1이라고 한다. 곡선 와 직선 의 교점

의 좌표를 구하시오.

06. 아래의 분수부등식을 만족하는 정수 의 개수를 구하시오.

≦

수

능

특

강01

연

습

문

제


수

능


07. 이차함수 에 대하여 이다. 곡선 와 직선 가 그림과 같이 주어져

있을 때, 방정식

의 실근의 개수는? (단, 점선은 좌표축에 평행하다.) [2005.3]

08. 최고차항의 계수가 1인 이차식 에 대하여 일 때, 분수방정식

을 만족시키는 모든 실수 의 곱을 구하시오. [2010.4]

09. 부등식

≦

을 만족하는 정수 의 개수를 구하시오. [2004.9]

All in One ⋯ 65

Documents

수능에서 논술까지 한번에! 한권으로 완성하는 수학 수학II(하) · 수학II(하) 한완수 14개의 Critical Point로 수능 수학을 정복하고 34개의 특강으로