3 7 บทที่ 7 ฟงกั์ชนัเอกซ์ ... · 2019-08-20 · 1 บทที่ 7 ฟงกั์ชนัเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชนัลอการิทมึ

ตวสบายคณต เลม 3 http://www.pec9.com บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม

1

บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

7.1 เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ บทนยำม ถา a เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว an = a . a . a . a ……… a a0 = 1 เมอ a ≠ 0 a– n = na

1 เมอ a ≠ 0

เรยก an วาเลขยกก าลง เรยก a วาฐานของเลขยกก าลง เรยก n วาเลขชก าลง

เชน 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 (–2)3 = (–2) x (–2) x (–2) – 23 = – (2)3 = – ( 2 x 2 x 2 )

บทนยำม ถา a เปนจ านวนจรง และ p , q เปนจ านวนเตมท (p , q) = 1 , q > 0

และ q1a R โดยเมอ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0

qpa = ( q1a ) p

ทฤษฏบท ให m , n เปนจ านวนตรรกยะ และ am , an , bn เปนจ านวนจรง จะได 1. am . an = am+n

2. nama = am–n เมอ a ≠ 0

3. (am)n = am n 4. (a.b)n = an . bn

5. nba =

nbna เมอ b ≠ 0

n ตว


2

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. 23 . 22 =

2. 2757 =

3. 52 + 53 =

4. 32 . 42 =

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. (23)2 =

2. (3 . 4 )2 =

3. 3)34( =

ฝกท ำ. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก 1. 7–2 =

2. 231 =

3. 35a 8 =

4. 554 =

5. 381 =

1. z c 3

y ba

x เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใดตอไปน

1. xa zcy b3 . 2. xa 3

zc yb . 3. xc y b. za 3 4. xc 3

y b. za


3

2. 2

3 b23a1

เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใด

1. 6 b94a 2. 6b

4a 9 3. 6b4a 3 4. 6 b3

4a

3. ( 2

1 x–3y2)– 4 เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใดตอไปน

1. 12x 168y 2. 8 y16

12x 3. 8y12x 16 4. 12x

8 y16

4. 3x4x) (2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 16 x 2. x16 3. 8 x 4. x8


4

5. b4 ( 31 b2 ) (12 b–8 ) เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใดตอไปน

1. 2b4 2. 4 b2 3. 24 b

1 4. 42b

6. (a–5 b7) (a–2 b–7 c0) เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใดตอไปน 1. 7a

c 2. c a7 3. 7a1 4. a7

7. 1

8x z 5y2z y 1x

เมอเขยนใหอยในรปทมเลขชก าลงเปนบวก จะเทากบขอใดตอไปน

1. 7x3z 6y 2. 6y

3z 7x 3. 3z6y7x 4. 6y7x

3z


5

8. คาของ 32

27 + 4116

เทากบขอใดตอไปน 1. 8.0 2. 8.5 3. 9.5 4. 10.0

9. คาของ (–125) 31

. 321251 เทากบขอใดตอไปน

1. –5 2. 5 3. 51 4. – 51

10. 2164 y4x

เทากบขอใดตอไปน

1. 2 x2 y3 2. 3y22x1 3. x2 y3 4. 3y2x

1


6

11. 31

y627x4 y3x 125


1. y3x 35 2. y3

3x 5 3. 5 y3x 3 4. 3

y3x 5

กฏเกยวกบเลขยกก ำลง (เพมเตม) (x2 – y2) = (x – y) (x + y) ผลตางก าลง 2 (x3– y3) = (x – y) (x2 + xy+ y2) ผลตางก าลง 3 (x3 + y3) = (x + y) (x2 – xy+ y2) ผลบวกก าลง 3

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

12.

1y1x2y2x


1. ( y + x ) 2. ( y – x ) 3. x yx y 4. x y

x y

ก าลงสองสมบรณ


7

13. คาของ 1x2x112x2x


1. ( x + 1 ) 2. ( x – 1 ) 3. 1 x 1 4. 1 x

1

14. คาของ

3

2y3

1y3

1x3

2x3

1y3

1x เทากบขอใดตอไปน

1. ( x + y ) 2. ( x – y ) 3. x y yx 4. x y

yx

7.2 รำกท n ในระบบจ ำนวนจรงและจ ำนวนจรงในรปกรณฑ

บทนยำม เมอ n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง แลว รากท n ของ a จะเทากบ b กตอเมอ bn = a

นนคอ n a = b กตอเมอ bn = a

เชน 2 25 = 5 เพราะ 52 = 25

3 64 = –4 เพราะ (–4)3 = –64

4 81 = 3 เพราะ 34 = 81


8

สมบตเกยวกบรำกท n ทควรร

1. n x เมอ n เปนจ านวนเตมค ใหตอบเฉพาะค าตอบทเปนบวกเทานน

เชน 2 25 = 5 เทานน

2. ถา x < 0 แลว n x จะคดได 2 กรณ ดงน

n x จะหาคาจ านวนจรงไมได ถา n เปนเลขค เชน 2 9 หาคาไมได

n x จะหาคาได ถา n เปนเลขค เชน 3 8 = –2

3. n x = n1x เชน 3 8 = 31

8 เปนตน

ลองพจารณา 3 35 = 31

)3(5 = 5 จ างาย ๆ 3 35 = 5

4. ( n x )n = x เชน ( 7 3 )7 = 3

x เมอ n เปนเลขค เชน 3 38 = –8

x เมอ n เปนเลขค เชน 2 26 = –6 = 6

6. n

yx = n y

n x เมอ x > 0 และ y > 0 และ n เปนจ านวนเตมบวกทไมใช 1

n x y = n x n y ถา x < 0 และ y < 0 จะใชได เมอ n เปนจ านวนเตมบวกค

15. พจารณาขอความตอไปน

ก. 49 = –7 ข. 3

8 = –2 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

5. n nx =


9


ก. 16 = –4 ข. 3

64 = –4 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด


)xx(3


1. x 2. 21

x 3. 41

x 4. 81

x


)xx(4


1. x 2. 21

x 3. 41

x 4. 81

x


10

19. ขอความตอไปน มกขอทเปนจรง

a. 2

5 = 5 b. 464 = –6 c.

393 = –9

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. เทจทกขอ 20. ขอความตอไปน มกขอทเปนจรง

a. 5 57 = –7 b.

6 63 = –3

b. 4 45 = 5 d.

3 35 = –5 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. เทจทกขอ

21. คาของ 3 273

+ 4 256 เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 1 3. 3 4. 4


11


a. 57 = 35 b. 3 3 3 2 = 6 6

c. 927 = 3 d. 3 6

3 72 = 6 12

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. เทจทกขอ 23. ขอความตอไปน มกขอทเปนจรง

a. 7512 = 30 b. 3

4 543 = 6 c. 2793 = 9 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. เทจทกขอ

24. คาของ 2x 8 เทากบขอใดตอไปน 1. 2 x 2. 4 x 3. 2 2 x 4. 2 2 x


12

25(แนว O–Net) 4 4 3 3 125 2 18 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –10 2. 10 3. –10 – 3 2 4. 10 – 3 2

26. คาของ 50 + 32 – 18 เทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. 10 3. 6 2 4. 10 2

27. คาของ 3 4 5 + 3 32 2 – 3 108 เทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. 10 3. 6 3 4 4. 10 3 4


13

28. คาของ 23 + 32 – 4 64 เทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 8 3. 5 2 4. 8 2

29. คาของ 1473 – 7 271 – 3

1131 เทากบขอใดตอไปน

1. 313 2. 315 3. 317 4. 319


a. 25 = 2

10 b. 1521 = 5

35 c. 12296 = 2

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. เทจทกขอ


14

31. คาของ 3 5 ( 10 +2 5 ) เทากบขอใดตอไปน 1. 30 2. 50 3. 15( 2 + 2) 4. 15 2 32. คาของจ านวนแตละขอตอไปนมคาเทากบตวเลอกใด ก. ( 3 + 2 ) ( 3 – 2 ) ข. (2 + 3 )2 1. ก. 1 ข. 7 2. ก. 1 ข. 7 + 4 3 3. ก. 5 ข. 7 4. ก. 5 ข. 7 + 4 3

33. คาของ ( 5 – 2 ) ( 2 5 – 1 ) เทากบขอใดตอไปน 1. 12 + 5 5 2. 12 – 5 5 3. 15 2 4. 30


15

34. คาของ 3 221


1. 63 2. 64 3. 53 22 4. 5

3 22

35. 3 22

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 (2 – 3 ) 2. 2 (2 + 3 ) 3. 2

3 2 4. 2

3 2

36. 72 63 72610


1. 8 + 42 2. 8 – 42 3. 342 8 4. 3

42 8


16

37. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ x – 8 = 0 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 20] 2. (20 , 40 ] 3. (40 , 60] 4. (60 , 100] 38. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 1 5x + 6 = 10 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]

39. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 7 x = x – 5 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]


17

40. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 7 x = 1 3x อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 5] 2. (5 , 10 ] 3. (10 , ) 4. ไมมขอทถก

41. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ x 1 x = 2 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 5] 2. (5 , 10 ] 3. (10 , ) 4. ไมมขอทถก

42. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 5 3x 4 3x = 9 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 5] 2. (5 , 10 ] 3. (10 , ) 4. ไมมขอทถก


18

43. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2 x 1 4x = 3 x อยในชวงขอใด 1. (0 , 5] 2. (5 , 10 ] 3. (10 , ) 4. ไมมขอทถก

44. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 52x = x อยในชวงขอใดตอไปน 1. (0 , 5] 2. (5 , 10 ] 3. (10 , ) 4. ไมมขอทถก


19

7.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล บทนยำม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชน f = { (x , y) R x R y = ax เมอ a > 0 และ a 1 }

ขอควรทรำบ 1) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลม 2 แบบไดแก

1.1 ฟงกชนเพม 1.2 ฟงกชนลด

ฟงกชนน เมอ x เพมขนคา y จะเพม ตาม จะเกดเมอ a > 1 เชน y = 2x

ฟงกชนน เมอ x เพมขนคา y จะลดลง จะเกดเมอ 0 < a < 1

2) โดเมนของฟงกชนเอกซโพแนนเซยล คอเซตของจ านวนจรง เรนจของฟงกชนเอกซโพแนนเซยล คอเซตของจ านวนจรงบวก

45. จากฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกเอกซโพเนนเชยล a. y = 5x b. y = ( 2

3 )x c. y = 0x d. y = –0.5x e. y = 1x 1. 2 ขอ 2. 3 ขอ 3. 4 ขอ 4. 5 ขอ

Y

X (0 , 1)

Y

X

(0 , 1)


20

46. จากฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพม

a. y = 5x b. y = ( 71 )x c. y = x2 d. y = (sin 45)x e. y = x21

1. 2 ขอ 2. 3 ขอ 3. 4 ขอ 4. 5 ขอ

47. จ านวน 100100 , 101000 , 100010 เมอเรยงล าดบจากนอยไปมากจะไดดงขอใด 1. 100100 , 100010 , 101000 2. 100010 , 100100 , 101000 3. 100100 , 100010 , 101000 4. 100010 , 101000 , 100100

48. จ านวน 7157 , 7255 , 7109 เมอเรยงล าดบจากนอยไปมากจะไดดงขอใด

1. 7157 , 7255 , 7109 2. 7255 , 7157 , 7109

3. 7255 , 7109 , 7157 4. 7109 , 7157 , 7255


21

วธกำรแกสมกำรเอกซโพเนนเชยล ขนท 1 ท าใหฐานเทากน

ขนท 2 ตดฐานทง คดเฉพาะตวชก าลงทเหลอ

49. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 10x = 100 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (– , 0] 2. (0 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10] 50. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 3x = 27

1 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (– , 0] 2. (0 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]

51. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 16x = 4 อยในชวงขอใดตอไปน 1. (– , 0] 2. (0 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]


22

52. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 4–x = 641 อยในชวงขอใดตอไปน

1. (– , 0] 2. (0 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]

53. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2x21 = 64 อยในชวงขอใดตอไปน

1. (– , 0] 2. (0 , 4 ] 3. (4 , 6] 4. (6 , 10]

54(แนว มช) ถา 4x + 22x = 8 แลว xx เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


23

55. ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล y = ax ของกราฟในตอไปน คอขอใด 1. y = 3x 2. y = ( 3

1 )x 3. y = ( 2

9 )x 4. y = ( 9

2 )x

56. ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล y = ax ของกราฟในตอไปน คอขอใด 1. y = 2x 2. y = ( 2

1 )x 3. y = ( 3

8 )x 4. y = (– 3

8 )x

X –2 0 2

2 4 6 8

10

Y

(2 , 9)

X

4 6

–2 0

(–3, 8 )

2

8 Y


24

วธแกอสมกำรเอกซโพเนนเชยล ขนท 1 ท าใหฐานเทากน ขนท 2 ตดฐานทง คดเฉพาะตวชก าลงทเหลอ แตระวงวา หาก 0 < ฐาน < 1 ตองเปลยนเครองหมายอสมการเสมอ ( เปลยนจากมากกวาเปนนอยกวา หรอเปลยนจากนอยกวาเปนมากกวา )

57. คาของ x ทสอดคลองกบอสมการ 16x > 4 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , –3] 2. (–3 , –1 ] 3. (–1 , 0] 4. (0 , )

58. คาของ x ทสอดคลองกบอสมการ 4–x 641 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน

1. (– , 10] 2. (10 , 30 ] 3. (30 , 50] 4. (–50 , )


25

7.4 ฟงกชนลอกำรทม

พจารณาตวอยางตอไปน จาก 34 = 81 อาจเขยนเปน 4 = log3 81

จาก 23 = 8 อาจเขยนเปน 3 = log2 8

จาก log2 16 = 4 อาจเขยนเปน 16 = 24

จาก log10 100 = 2 อาจเขยนเปน 100 = 102

ฝกท ำ. จงเขยนสมการตอไปนใหอยในรปลอการทม

1. 42 = 16 2. 32

27 = 9 3. ( 21 )2 = 4

1 4. 2–6 = 641 5. 31 = 3

ฝกท ำ. จงเปลยนใหอยในรปเลขยกก าลง 1. log10 100 = 2 2. log5 1 = 0 3. log3 3 = 1 4. 25

51log = –3 5. log2 32 = 5

59(แนว En) ถา x2log9 = 729 แลว x มคาเทากบเทาใด 1. 1 2. 8 3. 18 4. 21


26

จากฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ax = y เมอ a > 0 และ a 1 อนเวอรสของฟงกชนนคอ ay = x เมอ a > 0 และ a 1 ซงอาจเขยนรปใหมเปน y = loga x เมอ a > 0 และ a 1 ฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพแนนเซยลน เรยกฟงกลอกำรทม

บทนยำม ฟงกชนลอการทม คอ { (x , y) R+ x R y = loga x เมอ a > 0 และ a 1 } เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกโพเนนเชยล

{ (x , y) R x R y = ax เมอ a > 0 และ a 1 }

ขอควรทรำบเกยวกบฟงกชนลอกำรทม 1) ฟงกชนลอการทม ม 2 แบบไดแก 1.1) ฟงกชนเพม

คอ ฟงกชนซงเมอคา x เพมแลว คา y จะเพมตามเกดเมอ a > 1

1.2) ฟงกชนลด คอ ฟงกชนซงเมอคา x เพมแลว คา y จะลดลงเกดเมอ 0 < a < 1

2) โดเมนของฟงกชนลอการทม คอจ านวนจรงบวก

เรนจของฟงกชนลอการทม คอจ านวนจรง

60. จากฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพม a. y = log5 x b. y = x log

2 c. y = log0.5 x

1. 0 ขอ 2. 1 ขอ 3. 2 ขอ 4. 3 ขอ

Y

X (1 , 0)

Y

X (1 , 0)


27

สมบตของลอกำรทม 1. loga (M.N) = loga M + loga N

2. loga )NM( = loga M – loga N

3. loga Mx = x loga M 4. Mxa

log = x1 loga M

5. Mxalog = x1M alog

6. loga M = xMxalog

7. loga a = 1 8. log a 1 = 0 9. Maloga = M

10. logN M = NalogMalog

11. loga N1 = Na1

log

12. loga b = ablog1

13. loga x = loga y กตอเมอ x = y ฝกท ำ. จงเตม ตอไปนใหสมบรณ

1. log y2 = log y 2. log 1/2x = log x 3. log 3 k = log k

ฝกท ำ. จงเตม ตอไปนใหสมบรณ 1. z)6(3log = log3 z 2. x)8(4log = log4 x

ฝกท ำ. จงเตม ตอไปนใหสมบรณ

1. )4(x)5(3log = log3 x 2. )2(6)3(ylog = logy 6

3. )4(xk

log =

หมายเหต ; loga 0 = หาไมได log0 a = หาไมได log1 a = หาไมได


28

ฝกท ำ. จงเตม ตอไปนใหสมบรณ

1. x)(z

log43 = logz x 2. 6

)2(zlog = logz 6

3. x)z(

log = logzx 4. )5(2zlog = log 2

ฝกท ำ. จงเตม ตอไปนใหสมบรณ 1. log7 7 = 2. log71 = 61. คาของ log3 (35) + log3 9 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 5 3. 7 4. 10

62. คาของ (log2 4 ) ( log2 3 2 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3

1 3. 32 4. 3

4


29

63. คาของ log10 100 + log10 0.1 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 64. คาของ loga (loga a) + log3 (loga a

3) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 65. คาของ log2 (log2 4) – log10 (0.001)12 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 24 3. 30 4. 37


30


6441log มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

67. คาของ 25 log25 log 55 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

68. ก าหนดให y = log2 log3 log4 (log5 2532) แลว คาของ y เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 6 4. 7


31

69. ก าหนดให log6 5 = 0.8982 แลวคาของ log36 5 เทากบขอใดตอไปน 1. –0.8982 2. –0.4491 3. 0.4491 4. 0.8982

70. ก าหนดให log4 46 = 2.7617 แลวคาของ log64 46 เทากบขอใดตอไปน 1. –1.3809 2. –0.9206 3. 0.9206 4. 1.3809

71. คาของ 3log7 7 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


32

72. คาของ (10)log

3 33 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 32

3 4. 32

10

73. ก าหนดให y = log2 16 + log3 ( 91 ) + 2log9 3 แลว คาของ y เทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 5 3. 6 4. 7

74. ก าหนดให A = 2) log4 log 5 log (181 3981 แลว คาของ A เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 81 3. 405 4. 581


33

75. ก าหนดให A = log3 21 + log3 18 – log3 7 + log3 9 – log3 6 แลว คาของ A เทากบ ขอใดตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6

7.5 กำรหำคำลอกำรทม

ลอการทมทใชมากในการค านวณคอ ลอกำรทมสำมญ (common logarithm) ลอกำรทมสำมญ คอลอการทมทมฐานเปน 10 เชน log10a การเขยนลอการทมสามญ อาจไมตองเขยนแสดงฐาน 10 ละไวในฐานทเขาใจกได เชน log10 a = log a เปนตน

ลองพจำรณำและจดจ ำตวอยำงตอไปน log 10 = log10 10 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2(1) = 2 log 1000 = log 103 = 3 log 10 = 3(1) = 3 log 0.01 = log 10–2 = –2 log 10 = –2(1) = –2 log 1 = log10 1 = 0

76. log 100000 + log 0.0001 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2


34

77. ( log 2 + log 50 ) ( log 3 – log 300 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4 78. log 35 + log 6 – log 7 + log 10 – log 3 มคาเทากบเทาใด

79(แนว มช) 6 log 5 – log 4 + log 108 log 2 มคาเทากบเทาใด


35

การหาลอการทมสามญ สามารถหาไดจากตองใชตารางลอการทมดงน

จากตารางจะไดวา log 1.25 = 0.0969 และ log 2.00 = 0.3010 เปนตน

ฝกท ำ. ก าหนด log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771 จงหาคาตอไปน 1. log 8 2. log 9 3. log 6 4. log 300 5. log 0.02

80. ก าหนดให log 3.51 = 0.5453 แลวคา log ตอไปนตรงกบตวเลอกใด ก. log 3510 ข. log 0.351

1. ก. 3.5453 , ข. –0.4547 2. ก. 3.5453 , ข. –0.5453 3. ก. 3.4547 , ข. –0.4547 4. ก. 3.4547 , ข. –0.5453


36

81. ก าหนดให log 9.87 = 0.9943 และ log M = 3.9943 แลว M มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1.30 x 102 2. 1.30 x 103 3. 9.87 x 102 4. 9.87 x 103 82. ก าหนด log 5.73 = 0.7582 ถา log K = –4.2418 แลว คาของ K เทากบขอใดตอไปน 1. 5.73 x 10–4 2. 5.73 x 10–5 3. 1.75 x 10–4 4. 1.75 x 10–5

7.6 กำรเปลยนฐำนลอกำรทม

การเปลยนฐานลอการทมจากฐานเดมไปเปนฐานอนๆ สามารถท าไดโดยใชสมบตตอไปน

logN M = N alogM alog

เชน log3 2 = 3 10log2 10log

= 0.47710.3010 = 0.6309

83. คาของ log2 10 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –3.3322 2. –1.6661 3. 1.6661 4. 3.3222


37

84. คาของ log3 6 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1.6309 2. –0.8155 3. 0.8155 4. 1.6309 ลอกำรทมธรรมชำต ( ลอกำรทมแบบเนเปยร ) คอลอการทมฐาน e เมอ e คอจ านวนธรรมชาตซงเทากบ 2.71828 ลอการทมฐาน e อาจเขยนใหอยในรป ln กได เชน loge a = ln a ตวอยำงกำรหำคำลอกำรทมธรรมชำต ln 2 = loge2 = elog

2log = 2.71828log 2log = 0.4343

0.3010 = 0.6931

85. คาของ ln 103 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –6.9077 2. –3 3. 3 4. 6.9077

86. ก าหนดให A = ln 2 + ln 10 – ln 20 และ B = e(ln 5 + ln 4 – ln 2) แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 10 3. 20 4. 25


38

7.7 สมกำรเอกซโพเนนเชยลและสมกำรลอกำรทม

87. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log 2x = 3 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , ) 88. เซตค าตอบของสมการ log2 (x – 1) = 5 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 10] 3. (10 , 100] 4. (100 , 120]

89. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 2 log 2x = 2 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , )


39

90. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log4 log3 log2 (x2 – 2x) = 0 เปนสบเซตของชวงขอใด

ตอไปน 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , ) 91. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log4 2 log 10 + log2 (1 + 3 log2 x) = 2

1 เปน สบเซตของชวงขอใดตอไปน

1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , ) 92. คา x ทสอดคลองกบสมการ log3 x + log9 x + log27 x = 11 เปนสบเซตของชวงขอใด 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , )


40

93. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log a + log (a – 9) = 1 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , 0] 2. (0 , 10 ] 3. (10 , 100] 4. (100 , ) 94. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log5 (x + 1) – log5 (x – 1) = 2 เปนสบเซตของชวงขอใด 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 ,100] 4. (100 , ) 95. คา x ทสอดคลองกบสมการ log x = log 2 + log 5 เปนสบเซตของชวงขอใด 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , )


41

96. คา x ทสอดคลองกบสมการ log 2x = 3 log 5 + 4 log 2 – 3 เปนสบเซตของชวงขอใด 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , ) 97. คา x ทสอดคลองกบสมการ log2 3 + log2 x = log2 5 + log2 (x – 2) เปนสบเซตของ ชวงขอใดตอไปน 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , )

98(แนว มช) ถา (log3x y

3) (log5 3x) = logxx3 แลว y มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. 10


42

99. คา x ทสอดคลองกบสมการ (log3 5) (log5 10) (log10 x) = 8log 24 64 เปนสบเซตของ ชวงขอใดตอไปน 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , ) 100(แนว En) ในชวงเปด (a , b) เปนเซตค าตอบของอสมการ log (3x + 4) log (x – 1) + 1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด

101(แนว A–Net) จ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการ 21log [ log3 (x + 1) ] –1 มจ านวน

เทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. 7 3. 8 4. มากกวา 8


43

102. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ 22x – 3. 2x + 2 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 103. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ 32x+1 + 9 = 28 (3x) เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

104. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ 34x+2 – 2 32x+1 + 86 = 89 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2


44

105. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ 3x = 310 – 3–x เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 106. ผลบวกของค าตอบของสมการ x2x2 = 2 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4

107. ผลบวกของค าตอบของสมการ 33

x 7 2x + 12 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 9 3. 91 4. 256


45

108. ผลบวกของค าตอบของสมการ (log2 x)3 – (log2 x)2 – 2 (log2 x) = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 2

9 4. 211

109. ผลบวกของค าตอบของสมการ log3 x + 4 logx 3 = 5 เทากบขอใดตอไปน 1. 36 2. 62 3. 84 4. 256 110. สมการ log4 x + logx 4 = 417 มค าตอบกจ านวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


46

111. ค าตอบของสมการ log16 x + logx2 4 = 1 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 4 3. 16 4. 64

112. คา x ทสอดคลองกบสมการ 2x = 32 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , ) 113. คาของ x จากสมการ 3x = 36 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. log 2 2. log 3 3. 3log

2log 2 4. 3log 3log 2 2log 2


47

114. คาของ x จากสมการ 5x = 4x+1 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2log 3 1

2log 2 2. 3log 1

2log 2 3. 2log 3 1

2log 2 4. 3log 1

2log 2

115. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ x2 2x – 2x = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

116. คา x ทสอดคลองกบสมการ 4x3 e–3x – 3x4 e–3x = 0 เปนสบเซตของชวงขอใด 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , )


48

7.8 กำรประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอกำรทม

117. จ านวนแบคทเรยในการเพาะเชอจลนทรย ใน t ชวโมง มสตร n(t) = 500 e0.45 t จงหาวาเปนเวลานานกชวโมง จงจะมจ านวนแบคทเรย 10000 ตว 118. ในป พ.ศ. 2541 จ านวนประชากรของจงหวดหนงเทากบ 112,000 คน และมอตราการ การเตบโตเทากบ 4% ตอป ถามวาจงหวดน จะมประชากร 200,000 คน ป พ.ศ.ใด

ก าหนดให n(t) = no (1 + r)t เมอ n(t) แทน จ านวนประชากรเมอเวลาผานไป t

no แทน จ านวนประชากร ณ จดเรมตน r แทน อตราการเตบโตของจ านวนประชากรตอเวลา t แทน เวลา


49

119. ธาตซเซยม-137 มครงชวต 30 ป ถามธาตซเซยมทเปนกลมตวอยางจ านวน 10 กรม จงหาวาจะใชเวลานานกป จงจะมซเซยมเหลออย 2 กรม

ก าหนดให m(t) = mo e–rt เมอ m(t) แทน ปรมาณของสารกมมนตภาพรงสทเหลออยเมอเวลาผานไป t

m0 แทน ปรมาณของสารกมมนตภาพรงส ณ จดเรมตน r แทน

h2ln

h แทน ครงชวต

120. ถาสารกมมนตภาพรงสจ านวน 250 มลลกรม สลายตวเหลออย 200 มลลกรม ในเวลา 48 ชวโมง จงหาครงชวตของสารนในหนวยชวโมง


50

เฉลยบทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 3. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 4. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 3. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 1. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 2. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 4. 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 2. 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 3. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 4. 66. ตอบขอ 2. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 3. 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 4. 73. ตอบขอ 3. 74. ตอบขอ 2. 75. ตอบขอ 3. 76. ตอบขอ 3. 77. ตอบขอ 1. 78. ตอบ 2 79. ตอบ 6 80. ตอบขอ 1. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 2. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบขอ 4. 88. ตอบขอ 3. 89. ตอบขอ 2. 90. ตอบขอ 2. 91. ตอบขอ 2. 92. ตอบขอ 4. 93. ตอบขอ 2. 94. ตอบขอ 2. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 2. 98. ตอบขอ 3. 99. ตอบขอ 4. 100. ตอบ 3 101. ตอบขอ 2. 102. ตอบขอ 3. 103. ตอบขอ 3. 104. ตอบขอ 2. 105. ตอบขอ 2. 106. ตอบขอ 1. 107. ตอบขอ 3. 108. ตอบขอ 4.


51

109. ตอบขอ 3. 110. ตอบขอ 3. 111. ตอบขอ 2. 112. ตอบขอ 2. 113. ตอบขอ 4. 114. ตอบขอ 3. 115. ตอบขอ 2. 116. ตอบขอ 1. 117. ตอบ 7 118. ตอบ 2556 119. ตอบ 70 120. ตอบ 149


52

ตะลยโจทยท วไป บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

7.1 เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม

1. 43 2373


1. 3 2. 9 3. 27 4. 81

2. 8y 5x 25y7x 6 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 x2 y3 2. 2x3 y3 3. 3 y2x

3 4. 3y2x 3

3. 3x4(2x) 9x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 8 x10 2. 8 x13 3. 16 x10 4. 16 x13

4. 6575 + ( 93

83 . 3656 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 8 2. 11 3. 17 4. 20

5. (2 x 3)2 . 232 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 16 3. 32 4. 64

6. (23)2 . 12 2

1


1. 8 2. 16 3. 32 4. 64

7. (–5)–1 + 121 + 1

65 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 52 2. 2

5 3. 1 4. 3


53

8. (8 x–5 y2)–3 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 6 y15x38 2. 6 y15x

8 3. 6 y815x 4. 6y38

15x

9. (2ab–1) (ab2)–2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 7a

1 3. 7a2 4. 5ab

2

10. y2x

3)4(xy )3y2(x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 10y3x1 3. x3 y5 4. x3 y10

11. 3

3c2 b1a


1. 9c 6 b3a1 2. 9c

6 b3a 3. 6 b3a9c 4. a3 b6 c9

12. 1

3545 25


1. 251 2. 5

1 3. 5 4. 52

13. 2

3c2 b4a


1. 6c 4 b8a1 2. 6c 8a

4b 3. 4b6c 8a 4. a8 b4 c6

14. 32

27 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 64

27 2. 1 3. 43 4. 9


54

15. 23


1. 6427 2. 1 3. 4

3 4. 9

16. 32


1. 41 2. 1 3. 4 4. 6

17. 32

81


1. 41 2. 1 3. 4 4. 6

18. 32

1251 + 31125)(


1. – 256 2. – 25

4 3. 256 4. 25

4

19. 2164y4x


1. 3 y22x 2. 3y2x 2

1 3. 23y2x 4. 2x 2

3y

20. 326y

3x 27


1. 4y2x 9 2. 6y

3x 9 3. 18y9x 9 4. 12y

6x 9

21.

3

23

x

32

x


1. 1 2. x 3. x3 4. 213

x


55

22.

2

41

x

31

y21

x


1. 1 2. x y 3. 32 y21x 4. 32x y

23. 31

y627x4 y3x 125


1. 35 x3y 2. 3

5 x9y3 3. 925 x3y 4. 9

25 x9y3

24. 2 b) (a2 b 2a

+ 2

b1a1

ab2


1. 1 2. a b 3. ba1 4. 2 b) (a

ba

25. a13a4a9


1. (a4 + 3) 2. a (a4 + 3) 3. (a2 + 3) 4. a (a2 + 3) 26. (a + b)–1 (a–1 + b–1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. a b 3. ba

1 4. 2 b) (a ba

27. 1 b 1a1 b) (a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. a b 3. ba1 4. 2 b) (a

ba

28. ( 1q 1r1q 1r ) ( q r

q r ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. r q 3. r)(q r)(q 4. 2 r)(q

2q) (r


56

29. 1x2x112x2x


1. x 2. x1 3. 1 – x 4. x 11

30. 1y1x3y3x


1. x 2. yx 1 3. 2y2x

2 y2x 4. 2y2x2 yxy 2x

31. เซตค าตอบของสมการ 23

x = 8 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4.

32. ผลบวกค าตอบของสมการ 32

x – 2 31

x – 3 = 0 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 18 2. 22 3. 24 4. 26

33. ผลบวกค าตอบของสมการ 2 31

x + 2 31

x

= 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 8

59 2. 865 3. 3

59 4. 365

7.2 รำกท n ในระบบจ ำนวนจรงและจ ำนวนจรงในรปกรณฑ


x2x3x เทากบขอใดตอไปน

1. x 2. 21

x 3. 35

x 4. 37

x


aaa84


1. a 2. 21

a 3. 41

a 4. 81

a


57


32

)3[(a ] . 31

2)3a[( ] เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. a 3. 21

a 4. 31

a

37. คาของ 61)7a ( )9 3a(61)

4 3a( เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. a 3. 83

a 4. 85

a

38. คาของ 125

)5 6m(32)4 3m( + 6 5b21)3 5b( เทากบขอใดตอไปน 1. m 2. m + 1 3. m + b 4. m2 + b

39. คาของ 324 3)21 y32(x }{


1. yx 2. 41 y

2x 3. 41 y

31x 4. 43 y

32x

40. คาของ 4 3

a a 1 เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. a 3. 21

a 4. 61

a

41. คาของ

33b1a

2

1ab21 b32a เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 ba 3. 3a

2b 4. 2b3a

42. 5 x

20 x x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. x 2. x + 4 3. x + 5 4. 4 x

1


58

43. 1 x

2 x 3 x3

33

2


1. 3

x 2. 3

x + 1 3. 3

x + 2 4. 1 x

13

44. 3 64 + 6


1. 25 2. 2

7 3. 29 4. 2

11

45. 37125 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 105 2. 7

5 3. 75 4. 7

10

46. 68 3 2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 2 2 3. 3 4. 5 3


1. 2 2. 2 2 3. 3 4. 5 3

48. 333

204 10 2 5 3 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3

52 3

2 2. 3

52 2

3 3. 3

25 3

2 4. 3

25 2

3


1. 105 2. 2

5 3. 1015 4. 2

10


59


1. 105 2. 2

5 3. 1015 4. 2

10


1. 42 2. 4

3 3. 45 4. 4

6

52. 12 + 27 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 4 3 4. 5 3 53. 20 + 45 – 125 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 4 3 4. 6 3 54. 3 20 + 2 18 – 45 + 8 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 + 2 2. 5 – 2 3. 3 5 – 8 2 4. 3 5 + 8 2

55. 18 + 3 128 + 8 – 3 54 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 5 2 – 3 2 2. 5 2 + 3 2 3. 3 2 – 3 2 4. 3 2 + 3 2

56. 3 81 + 3 375 – 3 192 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 3 2. 2 3 3 3. 3 3 3 4. 4 3 3

57. 4 64 32 23 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 5 2 3. 4 2 4. 5 4 2

58. b350ab 38ab a 3b318a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2abab4 2. 2abba4 3. – 2abba4 4. 2abab4


60

59. 3a a5 – 5 5a + 10 5

a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. a 3. 3 a 4. a56

60. 23 3

2 + 32 2

3 – 3 61 + 62


1. 0 2. 6 3. 665 4. 65

6 61. (2 3 + 7 ) (2 3 – 7 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 7 4. 9 62. 2 3

1


1. 22 2. 3 3. 72 3 4. 7

2 3

63.

3 221


1. 22 2. 3 3. 5

3 22 4. 5

3 22

64. 3 22


1. 2 (2 + 3 ) 2. 2 (2 – 3 ) 3. 2

3 2 4. 2

3 2

65. 5 2 3

1


1. 30 12 18 2. 30 12 18

3. 1230 12 18 4. 12

30 12 18

66. 7 3 2

4


1. 7 3 2. 21

3. 3)73(2

4. 3

)73(2 3


61

67. 2 51

2 51


1. 2 2. 4 3. 5 4. 10

68. 1 71 7

1 71 7


1. 8 2. 42 3. 38 4. 3

42

69. 24210 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 6 – 6 2. 6 + 6 3. 2 – 6 4. 2 + 6

70. 324 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 – 3 2. 3 + 3 3. 1 – 3 4. 1 + 3

71. ........222 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 2 3. 2 2 4.

72. 4 4 4 7......... 7 7 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 7 2. 7 3. 3 7 4. 4 7

73. ........222 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 2 3. 2 2 4. 74. ผลบวกค าตอบของสมการ 32x = 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 5 4. 7 75. ผลบวกค าตอบของสมการ 7 53x = 28 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 5 4. 7


62

76. ผลบวกค าตอบของสมการ 9x + 11 = x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 16 3. 17 4. 23 77. ผลบวกค าตอบของสมการ 2x – 32x = 3 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 23 2. 2

5 3. 27 4. 2

9

78. ผลบวกค าตอบของสมการ x 7x = 7 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 9 3. 22 4. 42 79. ผลบวกค าตอบของสมการ 8x – 1x + 1 = 0 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 16 3. 17 4. 23 80. ผลบวกค าตอบของสมการ 32x – 7x + 2 = 0 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 24 3. 42 4. 44 81. เซตค าตอบของสมการ 12 x + x = 2 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. 82. เซตค าตอบของสมการ 1 x – x = 2 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4.

83. เซตค าตอบของสมการ – 21 2x = x + 3 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. 84. เซตค าตอบของสมการ 4 3x + 5 3x = 9 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4.


63

85. เซตค าตอบของสมการ 1 4x – 2 x = 3 x เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4.

7.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

86. ถา f (x) = 2–x และ g (x) = 3x แลว g (3) + f (0) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 27 4. 28 87. ถา f (x) = 2–x และ g (x) = 3x แลว (f o g) (1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 8

1 2. 21 3. 2 4. 8

88. ฟงกชนตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพม ก. y = x) 21 (

ข. y = 2–x ค. y = x) 23 ( ง. y = x) 43 ( 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 89. ฟงกชนตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพม

ก. y = x) 54 ( ข. y = x) 56 (

ค. y = x) a 1 a ( ง. y = x

2a2a 1

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 90. ขอใดตอไปนถกตอง 1. ( 4

1 )3 > ( 41 )5

2. 2

)a1a( <

3)a1

a( เมอ a > 0

3. 2

)a 1a( > 3

)a 1a( เมอ a > 0 4. ถกทกขอ

91. จ านวน 7157 , 7255 , 7109 จ านวนทมากทสดคอขอใดตอไปน

1. 7255 2. 7157 3. 7109 4. เปรยบเทยบไมได


64

92. เซตค าตอบของสมการ x21 = 16 เปนสบเซตของขอใดตอไปน

1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. 93. เซตค าตอบของสมการ 4x–3 = 1 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 94. เซตค าตอบของสมการ 8x–2 = 4 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 95. เซตค าตอบของสมการ 8 (29x) = (64)x+3 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 96. เซตค าตอบของสมการ (4x– 1) (4x –2) = 0 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 97. ถา m เปนรากของสมการ 2x – 2x–2 = 3 และ n เปนรากของสมการ 7x – 7x–1 = 6 แลว m + n มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

98. ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล y = ax ของ กราฟทก าหนด คอขอใดตอไปน 1. y = ( 4

1 )x

2. y = ( 21 )x

3. y = 3x 4. y = 5x

X

2 4 6 8

10 12 14 Y

(2,9)


65


1 )x

2. y = ( 21 )x

3. y = 3x 4. y = 5x 100. ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล y = ax ของ กราฟทก าหนด คอขอใดตอไปน 1. y = ( 4

1 )x

2. y = ( 21 )x

3. y = 3x 4. y = 5x


1 )x

2. y = ( 21 )x

3. y = 3x 4. y = 5x

X

2

4

6

–2 0

(–1, 51 )

2

Y

X

4 6

–2 0

(–3, 8 )

2

8

10 Y

X

2

4

6

–2 0

(2, 161 ) 2

Y


66

102. เซตค าตอบของอสมการ 2x+3 > 4 คอขอใดตอไปน 1. (– , –1) 2. (– , 0) 3. (–1 , ) 4. (0 , ) 103. เซตค าตอบของอสมการ 52x–3 > 5x+8 คอขอใดตอไปน 1. (– , –1) 2. (– , 0) 3. (0 , ) 4. (11 , ) 104. เซตค าตอบของอสมการ 12x) 2

1 ( > 41 คอขอใดตอไปน

1. (– , –2) 2. (– , 21 ) 3. ( 2

1 , ) 4. (–2 , )

105. เซตค าตอบของอสมการ 4x31 > 3 คอขอใดตอไปน

1. (– , –2) 2. (– , – 23 ) 3. (– , – 4

1 ) 4. (–4 , ) 106. เซตค าตอบของอสมการ x4

1 < 256 คอขอใดตอไปน 1. (– , –2) 2. (– , – 2

3 ) 3. (– , – 41 ) 4. (–4 , )

107. เซตค าตอบของอสมการ 43x2x21 < 9x

21 คอขอใดตอไปน

1. (– , –3) (0 , ) 2. (–3 , 0) 3. (– , –1) (5 , ) 4. (–1 , 5)

108. เซตค าตอบของอสมการ 2x 2x) 32 ( > 27


1. (– , –1) (3 , ) 2. (–1 , 3) 3. (– , –2) (4 , ) 4. (–2 , 4)

109. เซตค าตอบของอสมการ 8 2x) 31 ( > x) 9

1 ( คอขอใดตอไปน

1. (– , –1) (3 , ) 2. (–1 , 3) 3. (– , –2) (4 , ) 4. (–2 , 4)


67

110. เซตค าตอบของอสมการ )23 3x 2(x

5

< 5 5 คอขอใดตอไปน 1. (– , –3) (0 , ) 2. (–3 , 0) 3. (– , –1) (5 , ) 4. (–1 , 5)

7.4 ฟงกชนลอกำรทม

111(แนว En) ถา a , b , c และ d เปนจ านวนจรงบวก ซงไมเทากบ 1 แลว dcba เปนค าตอบของ

สมการใด 1. loga [logb (logc x)] = d 2. logb [logc (logd x)] = a 3. logc [logb (loga x)] = d 4. logd [logc (logb x)] = a 112. จากฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพม a. y = x log

2 b. y = x

21log c. y = x

23log

1. 0 ขอ 2. 1 ขอ 3. 2 ขอ 4. 3 ขอ 113. log2 32 + log3 81 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9 114. log25 125 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9 115. 64log

41


1. –3 2. –1 3. 1 4. 3 116. log2 (sin 30o) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9


68

117. 31 log


1. –1 2. – 61 3. – 3

2 4. 38

118. 3 49 7

1 log มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. – 61 3. – 3

20 4. 380

119. 2

1log 81log 2

81log 8

21log 82 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. – 61 3. – 3

20 4. 380

120. log4 0.25 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9

121. log25 0.04 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9 122. log50 0.02 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9 123. log5 0.2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

3 4. 9

124. log2 log3log4 (3225log5 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 5

125. 52log2 + 35log 25 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 8 4. 14


69

126. 5log4 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5

1 2. 1 3. 5 4. 25

127. 3log8 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 27

1 2. 31 3. 3 4. 27

128. log2 16 + log3 ( 91 ) + 2log9 3 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 4 4. 6

129. 2) log 5 (log7 77 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 6 3. 10 4. 16

130. 3)log 2 2log (35 5 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 24 3. 48 4. 72

131. 5)log (18 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 10 3. 100 4. 1000

7.5 กำรหำคำลอกำรทม

132. log 35 + log 6 – log 7 + log 10 – log 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 10 133. log 35 – log 4

7 + log 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 10 134. log 12139 – log 6613 + log 215 – log 773 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 10


70

135. log 65133 – log 90143 + log 17177 + 2 log 713 – log 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 10 136. (log3 9) (log4 16) + 3 log 20 – log 8 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 7 4. 10 137. (log2 8) (log3 81) + log 256 – 4 log 400 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 138. ก าหนดให log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 แลว log 36 มคาเทากบเทาใด 139. ก าหนดให log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 แลว log 15 มคาเทากบเทาใด 140. ก าหนดให log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 แลว log 1.2 มคาเทากบเทาใด 141. ก าหนดให log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771 แลว log 1.25 มคาเทากบเทาใด 142. ก าหนดให log 6.81 = 0.8331 และ log N = 2.8331 แลว N มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 6.81 x 10–4 2. 6.81 x 10–2 3. 6.81 x 102 4. 6.81 x 104 143. ก าหนดให log 6.81 = 0.8331 และ log N = –3.1669 แลว N มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 6.81 x 10–4 2. 6.81 x 10–2 3. 6.81 x 102 4. 6.81 x 104

7.6 กำรเปลยนฐำนลอกำรทม

144. ก าหนดให log5 3 = 0.68 แลวคาของ (log2 3) (log5 2) มคาเทากบเทาใด 145. (logb a) (logc b) (loga c) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. log a 3. log b 4. log c


71

146. (log3 2) (log4 3) (log5 4) ……. (log16 15) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 41 3. 1 4. 10 147. (log2 1) (log3 2) (log4 3) ……. (log101 100) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 41 3. 1 4. 10 148. abc clog

1abc blog

1abc alog


1. 0 2. 41 3. 1 4. 10 149. ก าหนดให log3 2 = 0.631 แลวคาของ log4 9 มคาเทากบเทาใด 150. eln 3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. e 4. 3e 151. e(ln x + ln 3) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. x 2. 3x 3. xe 4. xe

7.7 สมกำรเอกซโพเนนเชยลและสมกำรลอกำรทม

152. เซตค าตอบของสมการ log3 x = 4 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 10] 3. (10 , 100] 4. (100 , 120] 153. เซตค าตอบของสมการ logx 125 = 3 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 10] 3. (10 , 100] 4. (100 , 120] 154. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log (2x + 4) = 2 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 , 100] 4. (100 , )


72

155. ผลบวกของค าตอบของสมการ log6 (x2 – x) = 1 เทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 1 3. 10 4. 18 156. ผลบวกของค าตอบของสมการ log2 (x2 – 2x) = 3 เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. 2 3. 6 4. 10

157. ผลบวกของค าตอบของสมการ log10 (log10 x) = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 1 3. 10 4. 18

158. ผลบวกของค าตอบของสมการ log3 log2 log (x2 + 36) = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 6 4. 8

159. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log4 log3 log22x)2(xlog

7 7 = 0 เปนสบเซตของชวง

ขอใดตอไปน 1. (– , –20] 2. (–20 , 10 ] 3. (10 , 100] 4. (100 , ) 160. ผลบวกของค าตอบของสมการ log [3 + 2 log (1 + x) ] = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. – 10

9 2. 0 3. 1 4. 109

161. ผลบวกของค าตอบของสมการ logx 4 + logx 16 + logx 64 = 12 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 5 162. เซตค าตอบของสมการ log16 x + log4 x + log2 x = 7 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 10] 3. (10 , 100] 4. (100 , 120]

163. ผลบวกของค าตอบของสมการ 5 log5 x – 3 log3 9 = 2 log5 x เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 10 3. 25 4. 125


73

164. ผลบวกของค าตอบของสมการ log2 (x + 1) – log2 x = 3 เทากบขอใดตอไปน 1. 71 2. 1 3. 3 4. 7 165. ผลบวกของค าตอบของสมการ log2 (x + 2) + log2 (x – 1) = 2 เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. 2 3. 6 4. 10 166. ผลบวกของค าตอบของสมการ log9 (x – 5) + log9 (x + 3) = 1 เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. 2 3. 6 4. 10 167. เซตค าตอบของสมการ log (x2 + 4) = 2 log x + 1 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. (10 , 20] 168. เซตค าตอบของสมการ log (2 – x) = log (4 + 2x) – 2 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. (10 , 20]

169. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (x2 + 1) – 2 log x = 1 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3

1 3. 1 4. 3 170. เซตค าตอบของสมการ 2 log 21x = 2 – log x เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. (10 , 100] 171. ผลบวกของค าตอบของสมการ 4 log x – log 81 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –3 2. 0 3. 3 4. 9 172. เซตค าตอบของสมการ log x – log 9 = 1 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 10] 3. (10 , 100] 4. (100 , 120]


74

173. เซตค าตอบของสมการ 2 log5 x – log5 (x + 6) = 0 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. (10 , 100] 174. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (x – 2) = log x – log 2 เทากบขอใด 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6 175. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (x + 2) + log (3x – 4) = log (1 + 2x) เทากบขอใตอไปน 1. – 3 2. 0 3. 3 4. 3 176. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (2x – 5) + log (x + 1) = log (x2– x + 3) เทากบขอใด 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6 177. เซตค าตอบของสมการ log5 (x – 3) – log5 (x – 2) = log5 (x + 1) – log5 (2x – 1) เปนสบ- เซตของชวงขอใดตอไปน 1. (–10 , 0) 2. (0 , 5] 3. (5 , 10] 4. (10 , 100] 178. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (4x2 –16) – log (x2 – 4) = log x2 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3

1 3. 1 4. 3 179. คา x ทสอดคลองกบสมการ (log3 5) (log5 10) (log10 x) = 4 เปนสบเซตของชวงขอใด ตอไปน 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , ) 180. ผลบวกของค าตอบของสมการ log2 5 (log5 2 – log5 16) + x 81log 3 = 5 เทากบขอใด

1. 1 2. 17 3. 455 4. 4

69 181. ชวงค าตอบของอสมการ log5 (x + 1) < 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , –1) 2. (– , 24) 3. (–1 , 24) 4. (–1 , )


75

182. ชวงค าตอบของอสมการ log3 (3x–1) > 1 คอขอใดตอไปน 1. (– , 3

1 ) 2. (– , 34 ) 3. ( 3

1 , ) 4. ( 34 , )

183. ชวงค าตอบของอสมการ log4 x > 2 คอขอใดตอไปน 1. (– , 0) 2. (– , 256) 3. (0 , ) 4. (256 , ) 184. ชวงค าตอบของอสมการ 2 log3 (x – 1) – log3 (2x – 5) 1 คอขอใดตอไปน 1. (– , 2

5 ) 2. ( 25 , 4) 3. ( 2

5 , ) 4. ( 25 , 4) (4 , )

185. ชวงค าตอบของอสมการ log3 )3x3x( 0 คอขอใดตอไปน

1. (– , –3) 2. (–3 , 3) 3. (3 , ) 4. (– , –3) (3 ,) 186. ชวงค าตอบของอสมการ 2 log x 3 คอขอใดตอไปน 1. (– , 10) 2. (10 , 100) 3. (10 , ) 4. (100 , )

187. ชวงค าตอบของอสมการ log x 1 คอขอใดตอไปน 1. (– , 10) 2. (0 , 10) 3. ( 10

1 , 10) 4. ( 101 , )

188. ชวงค าตอบของอสมการ 15)(2x)(log

31 0 คอขอใดตอไปน

1. (– , 215 ) 2. ( 2

15 , 8)

3. ( 215 , ) 4. (– , 2

15 ) (8 , ) 189. ในชวงเปด (a , b) เปนเซตค าตอบของอสมการ log (3x + 4) log (x – 1) + 1 แลว a + b มคาเทาใด 1. 3 2. 6 3. 9 4. 12


76

190. เซตค าตอบของสมการ 32x – 3x = 72 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 191. เซตค าตอบของสมการ 42x – 3 .4x + 2 = 0 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 192. เซตค าตอบของสมการ 42x – 6 (4x) + 8 = 0 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 193. เซตค าตอบของสมการ 22x + 2x+1 = 3 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. [0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 194. ผลบวกของค าตอบของสมการ 22x+2 – 9 (2x) + 2 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 2

1 3. 1 4. 2 195. คาของ x ทมากกวา 0 ของสมการ 32x+1 – 3x = 3x+3 – 9 คอขอใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 196. ผลบวกของค าตอบของสมการ 32x+3 – 55 = 28 (3x – 2) เทากบขอใดตอไปน 1. –3 2. –1 3. 0 4. 3 197. ผลบวกของค าตอบของสมการ 9x + 27 = 4 (3x+1) เทากบขอใดตอไปน 1. –3 2. –1 3. 0 4. 3 198. ผลบวกของค าตอบของสมการ 4x+1 + 64 = 2x+5 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 2

1 3. 0 4. 2


77

199. ผลบวกของค าตอบของสมการ 34x + 4 (32x) – 21 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 2

1 3. 0 4. 2 200. เซตค าตอบของสมการ 42x = 22x+1 + 8 เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. (0 , 2] 2. (2 , 4] 3. (4 , 6] 4. 201. ให x เปนจ านวนจรงบวก ซงสอดคลองสมการ 2x = 2 – 2–x คา x เทากบขอใด

1. 0 2. 1 3. log 2 4. 2log 1

202. ผลบวกของค าตอบของสมการ 4 (4x + 4–x) = 17 เทากบขอใดตอไปน 1. –3 2. –1 3. 0 4. 3 203. ผลบวกของค าตอบของสมการ 613x) 23

x) 32 ( ( เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 2

1 4. 1

204. ผลบวกของค าตอบของสมการ x34 + x4

3 = 1225 เทากบขอใดตอไปน

1. –3 2. –1 3. 0 4. 3

205. ผลบวกของค าตอบของสมการ x – 21

x – 6 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 9 3. 128 4. 256

206. ผลบวกของค าตอบของสมการ 2 x 2x33

= 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 9 3. 128 4. 256

207. ผลบวกของค าตอบของสมการ 44 1x 8 x = 2 เทากบขอใดตอไปน

1. 7 2. 9 3. 91 4. 256


78

208. ผลบวกของค าตอบของสมการ (log4 x)3 – (log4 x)2 – 2 (log4 x) = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 17 3. 4

55 4. 469

209. ผลบวกของค าตอบของสมการ log4 x + 4 logx 4 = 5 เทากบขอใดตอไปน 1. 36 2. 62 3. 128 4. 260 210. ผลคณของค าตอบของสมการ log3 x + logx 3 = 3


1. 0 2. 3

3 3. 33

3 4. 273

3 211. ผลคณของค าตอบของสมการ log3 x + 25 logx 3 = 2

7 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 9 3 4. 27 3 212. ผลคณของค าตอบของสมการ log9 x + logx2 3 = 1 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 9 4. 27 213. ผลบวกของค าตอบของสมการ (x2 – 11)log 7 = 5log 49 เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 214. สมการ log x = log5 2x มค าตอบกจ านวน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 215. ค าตอบของสมการ 2x = 25 มคาเทากบเทาใด 216. ค าตอบของสมการ 2x = 36 มคาเทากบเทาใด 217. ผลบวกค าตอบของสมการ 22x – 4.2x + 3 = 0 มคาเทากบเทาใด


79

218. ค าตอบของสมการ 23x+1 = 3x–2 เทากบขอใดตอไปน

1. 2 log 3 – 3 log 2 2. 3 log 2 – 2 log 3 3. 3log 2log 32log 3log 2

4. 3log 2log 3

23log 3log 2

219. ค าตอบของสมการ xlog x = 102x มคาเทากบเทาใด

7.8 กำรประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอกำรทม

220. สารกมมนตภาพรงสชนดหนงมครงชวต 1600 ป ถาเดมมสารนอย mo มลลกรม และ m m เปนปรมาณของสารกมมนตภาพรงสทเหลอเมอเวลาผานไป t ป mo และ m ม ความสมพนธดงน m = mo 2kt แลว k มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1600 2. 1600 3. – 1600

1 4. 16001

221. สารกมมนตรงสชนดหนงมการสลายตวเปนไปตามสมการ m = mo e–t โดยท m เปนมวลของสารเหลออย เมอเวลาผานไป t mo เปนมวลของสาร ณ เวลาเรมตน e เปนคาคงทซงมคาเทากบ 2.7182818 เปนคาคงตวการสลายตว ถาหากวาสารกมมนตรงสกอนหนงมมวลเรมตน 1600 กรม และเมอเวลาผานไป 2 ชวโมง จะเหลอมวล 1200 กรม อยากทราบวาอก 4 ชวโมงตอมา สารกอนนจะเหลอมวลกกรม


80

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 4. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 4. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 2. 56. ตอบขอ 4. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 2. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 1. 65. ตอบขอ 3. 66. ตอบขอ 4. 67. ตอบขอ 2. 68. ตอบขอ 3. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 2. 75. ตอบขอ 4. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 2. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 1. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 4. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 3. 85. ตอบขอ 3. 86. ตอบขอ 4. 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 2. 89. ตอบขอ 2. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 1. 92. ตอบขอ 1. 93. ตอบขอ 2. 94. ตอบขอ 2. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 4. 98. ตอบขอ 3. 99. ตอบขอ 4. 100. ตอบขอ 1. 101. ตอบขอ 2. 102. ตอบขอ 3. 103. ตอบขอ 4. 104. ตอบขอ 2.


81

105. ตอบขอ 3. 106. ตอบขอ 4. 107. ตอบขอ 3. 108. ตอบขอ 2. 109. ตอบขอ 4. 110. ตอบขอ 2. 111. ตอบขอ 3. 112. ตอบขอ 3. 113. ตอบขอ 4. 114. ตอบขอ 3. 115. ตอบขอ 1. 116. ตอบขอ 1. 117. ตอบขอ 3. 118. ตอบขอ 2. 119. ตอบขอ 1. 120. ตอบขอ 1. 121. ตอบขอ 1. 122. ตอบขอ 1. 123. ตอบขอ 1. 124. ตอบขอ 1. 125. ตอบขอ 4. 126. ตอบขอ 4. 127. ตอบขอ 1. 128. ตอบขอ 4. 129. ตอบขอ 3. 130. ตอบขอ 4. 131. ตอบขอ 4. 132. ตอบขอ 3. 133. ตอบขอ 3. 134. ตอบขอ 2. 135. ตอบขอ 1. 136. ตอบขอ 3. 137. ตอบขอ 4. 138. ตอบ 1.5562 139. ตอบ 1.1761 140. ตอบ 0.0396 141. ตอบ 0.0485 142. ตอบขอ 3. 143. ตอบขอ 1. 144. ตอบ 0.68 145. ตอบขอ 1. 146. ตอบขอ 2. 147. ตอบขอ 1. 148. ตอบขอ 3. 149. ตอบ 1.5848 150. ตอบขอ 2. 151. ตอบขอ 2. 152. ตอบขอ 3. 153. ตอบขอ 2. 154. ตอบขอ 3. 155. ตอบขอ 2. 156. ตอบขอ 2. 157. ตอบขอ 2. 158. ตอบขอ 1. 159. ตอบขอ 2. 160. ตอบขอ 1. 161. ตอบขอ 2. 162. ตอบขอ 3. 163. ตอบขอ 4. 164. ตอบขอ 1. 165. ตอบขอ 2. 166. ตอบขอ 3. 167. ตอบขอ 2. 168. ตอบขอ 2. 169. ตอบขอ 2. 170. ตอบขอ 4. 171. ตอบขอ 3. 172. ตอบขอ 3. 173. ตอบขอ 2. 174. ตอบขอ 3. 175. ตอบขอ 3. 176. ตอบขอ 3. 177. ตอบขอ 2. 178. ตอบขอ 1. 179. ตอบขอ 4. 180. ตอบขอ 1. 181. ตอบขอ 3. 182. ตอบขอ 4. 183. ตอบขอ 4. 184. ตอบขอ 4. 185. ตอบขอ 1. 186. ตอบขอ 2. 187. ตอบขอ 3. 188. ตอบขอ 2. 189. ตอบขอ 1. 190. ตอบขอ 1. 191. ตอบขอ 1. 192. ตอบขอ 1. 193. ตอบขอ 1. 194. ตอบขอ 1. 195. ตอบขอ 2. 196. ตอบขอ 1. 197. ตอบขอ 4. 198. ตอบขอ 4. 199. ตอบขอ 2. 200. ตอบขอ 1. 201. ตอบขอ 1. 202. ตอบขอ 3. 203. ตอบขอ 2. 204. ตอบขอ 3. 205. ตอบขอ 2. 206. ตอบขอ 1. 207. ตอบขอ 4. 208. ตอบขอ 4. 209. ตอบขอ 4. 210. ตอบขอ 4. 211. ตอบขอ 4. 212. ตอบขอ 2. 213. ตอบขอ 1. 214. ตอบขอ 2. 215. ตอบ 4.6445 216. ตอบ 5.1701


82

217. ตอบ 1.5850 218. ตอบขอ 3. 219. ตอบ 10 220. ตอบขอ 3. 221. ตอบ 675

ตวสบายคณต เลม 3 http://www.pec9.com บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

1

บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

8.1 ฟงกชนไซนและโคไซน

การก าหนดคาของฟงกชนตรโกณมต ท าไดโดยใชวงกลมรศมยาว 1 หนวย ซงมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) ซงจะเรยกวาวงกลมหนงหนวย (The unit circle) หากเราวดความยาวเสนโคงจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนครบ 1 รอบ จะไดว า ความยาวเสนโคง 1 รอบ = เสนรอบวง = 2 R = 2 (1) = 2 ดงนน ความยาวเสนโคงครงรอบวงกลม = ความยาวเสนโคง 4

1 รอบวงกลม = 2π

ความยาวเสนโคง 43 รอบวงกลม = 2

3π และทจดนาสนใจอนๆ ความยาวเสนโคงจะเปน ดงรป ความยาวสวนโคงดงกลาวนจะมหนวย เปนเรเดยน

ฝกท ำ. จากรปทก าหนด จงเตมความยาวเสนโคง ของวงกลมหนงหนวยซงวดจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนถงจดทก าหนดใหนน ความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย สามารถเทยบเปนมมองศาได โดยถอหลกวา 2 เรเดยน ( 1 รอบวงกลม ) มขนาดเทากบ 360o ดงนน เรเดยน จงมขนาดเทากบ 180o จากหลกการดงกลาวเราน าไปใชเปลยนความยาวสวนโคงเปนมมองศา หรอเปลยนมมองศาเปนความยาวสวนโคง ไดดงตวอยางตอไปน ตวอยำง จงหาวาความยาวสวนโคง 6

π เรเดยน มขนาดเทากบกองศา

แนวคด ใหเปลยน เรเดยน เปน 180o ไดโดยตรงดงน

6π = 6

180 = 30o


2

ตวอยำง จงหาวา 150o มคาเทากบกเรเดยน แนวคด ใหคณดวย 180

π ดงน

150o = 150o x 180π = 6

5π เรเดยน

ฝกท ำ. จากรปทก าหนด จงเตมความยาวเสนโคง ของวงกลมหนงหนวยซงวดจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนถงจดทก าหนดใหนน ทงในรปแบบ เรเดยน และมมเปนองศา ฝกท ำ. จงหาวาความยาวสวนโคงเปนเรเดยนตอไปน มขนาดเทากบกองศา

1. 3 2π 2. 6

5π 3. 3 11π 4. 4

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาเปลยนมมขนาดตอไปนใหเปนความยาวสวนโคง ( เรเดยน ) 1. 300o 2. –315o 3. 120o 4. –510o

แนวคด เมอพจารณาพกด ( x , y ) ของจดซงมความยาวสวนโคง ใดๆ บนวงกลมหนงหนวย จะพบวา ในควอรดรนตท 1 0o < < 90o และ คา x เปนบวก คา y เปนบวก ในควอรดรนตท 2 90o < < 180o และ คา x เปนลบ คา y เปนบวก ในควอรดรนตท 3 180o < < 270o และ คา x เปนลบ คา y เปนลบ ในควอรดรนตท 4 270o < < 360o และ คา x เปนบวก คา y เปนลบ


3

ฝกท ำ. จงค าลงในชองวางใหถกตองและสมบรณ ฟงกชนโคไซน คอเซตของคอนดบ ( , x ) ฟงกชนไซน คอเซตของคอนดบ ( , y ) เขยนแทนดวย x = cos และ y = sin เมอ ( x , y ) เปนจดปลายสวนโคงทยาว หนวย บนวงกลมหนงหนวย

เชนจากรปจะไดวา sin 0o = 0 cos 0o = 1 sin 90o = 1 cos 90o = 0 sin 180o = 0 cos 180o = –1 sin 270o = –1 cos 270o = 0

sin 30o = 21 cos 30o = 2

3

+Y

+X X

Y

( , ) ( , )

( , ) ( , )


4

sin 45o = 22 cos 45o = 2

2

sin 60o = 23 cos 60o = 2

1

ฝกท ำ. จงค าลงในชองวางใหถกตองและสมบรณ

ฝกท ำ. จงหาคาตรโกณมตตอไปน sin 0o = cos 0o = sin 90o = cos 90o = sin 180o = cos 180o = sin 270o = cos 270o = sin 30o = cos 30o = sin 45o = cos 45o = sin 60o = cos 60o = โปรดสงเกต 1) เนองจำกวงกลมหนงหนวยมรศมยำว 1 หนวย ดงนน – 1 x 1 จงไดวำ – 1 cos 1 และ – 1 y 1 จงไดวำ – 1 sin 1 2) จำกสมกำรกลมซงมรศมยำว 1 หนวย จดศนยกลำงอยทจด (0 , 0)

x2 + y2 = 1 จงไดวำ cos2 + sin2 = 1

Y

X 1

1

–1

–1


5

8.2 คำของฟงกชนไซนและโคไซน

วธกำรหำคำ sin และ cos ทวไป ขนท 1 ถา มคาเปนลบ ใหใชสตรตอไปน sin ( – ) = – sin และ cos ( – ) = cos ขนท 2 ถา มคามากกวา 360o ใหน า ลบออกดวย 360o ซ าเรอยๆ จนกวา จะมคานอยกวา 360o แลวจงน าคาทเหลอไปคดตอ ขนท 3 ถา อยในควอรดรนต 2 ใหใชสตร sin = sin ( 180o – ) และ cos = – cos ( 180o – ) ถา อยในควอรดรนต 3 ใหใชสตร sin = – sin ( – 180o ) และ cos = – cos ( – 180o ) ถา อยในควอรดรนต 4 ใหใชสตร sin = – sin ( 360o – ) และ cos = cos ( 360o – ) ตวอยำง จงหาคาของ cos (–690o) แนวคด ขนท 1 มคาเปนลบ ใหใชสตร cos (–) = cos cos (–690o ) = cos 690o ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o cos (690o ) = cos ( 690o – 360o ) = cos 330o ขนท 3 330o อยในควอดรนตท 4

จะไดวา cos 120o = cos ( 360o– 330o ) ] = cos 30o = 23

ตวอยำง จงหาคาของ sin (–570o) แนวคด ขนท 1 มคาเปนลบ ใหใชสตร sin (–) = – sin sin (–570o ) = – sin 570o ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o –sin (570o ) = – sin ( 570o – 360o ) = – sin 210o ขนท 3 210o อยในควอดรนตท 3 จะไดวา – [sin 210o ] = – [ –sin ( 210o–180o ) ] = sin 30o = 2

1


6

ตวอยำง จงหาคาของ cos 150o แนวคด 150o อยในควอดรนตท 2

ดงนน cos 150o = – cos ( 180o – 150o ) = – cos 30o = – 23

ตวอยำง จงหาคาของ sin 240o แนวคด 240o อยในควอดรนตท 3

ดงนน sin 240o = – sin ( 240o – 180o ) = – sin 60o = – 23

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sin 120o 2. sin 210o 3. sin 315o

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. cos 120o 2. cos 210o 3. cos 315o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sin 495o 2. cos 510o 3. cos 540o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. cos (–315o) 2. sin (–120o) 3. sin (–690o)

แนวคด


7

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. )6

17(sin π 2. )4 29( cos π 3. )34(sin π

แนวคด ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. 34 cos π 2. 35sin π 3. 611 cos π

แนวคด ฝกท ำ. จงหาจ านวนจรง มาหาจ านวนทท าให sin = 1

8.3 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ทควรรจกไดแก tangent = tan = θ cos

sin θ เมอ cos 0

cotangent = cot = θtan 1 = θ

θcin

cos เมอ sin และ cos 0

secant = sec = θ cos1 เมอ cos 0

cosecant = cosec = θsin 1 เมอ sin 0

คำ tan ทควรจดจ ำ tan 0o = 0 , tan 90o = หาคาไมได , tan 180o = 0 , tan 270o = หาคาไมได tan 30o = 3

1 , tan 45o = 1 , tan 60o = 3

วธกำรหำคำ tan ทวไป ขนท 1 ถา มคาเปนลบ ใหใชสตรตอไปน tan ( – ) = – tan ขนท 2 ถา มคามากกวา 360o ใหน า ลบออกดวย 360o ซ าเรอยๆ จนกวา จะมคานอยกวา 360o แลวจงน าคาทเหลอไปคดตอ


8

ขนท 3 ถา อยในควอรดรนต 2 ใหใชสตร tan = – tan ( 180o – ) ถา อยในควอรดรนต 3 ใหใชสตร tan = tan ( – 180o ) ถา อยในควอรดรนต 4 ใหใชสตร tan = – tan ( 360o – ) ตวอยำง จงหาคาของ tan ( –570o ) แนวคด ขนท 1 เนองจาก มคาเปนลบ จงใชสตร tan ( – ) = – tan ดงนน tan ( –570o ) = – tan (570o ) ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o จะได 570o – 360o = 210o ขนท 3 210o อยในควอดรนตท 3 ดงนน tan (150o ) = – tan ( 180o – 150o ) ] = – tan 30o = – 3

1

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. tan 120o 2. tan 210o 3. tan 315o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. tan 480o 2. tan (–570o) 3. tan (–675o) แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sec 150o 2. sec (–240o) 3. sec (–330o)

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. csc 120o 2. csc (–210o) 3. csc (–315o)


9

1(แนว มช) sin ( 6π ) – cos ( 6

5π ) tan ( 6 7 π ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 33

2(แนว มช) 425 cot 310 sec 67 cosec π ππ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 8 4. 0 ควำมเกยวพนธของฟงกชนตรโกณทควรทรำบ cos2 + sin2 = 1 cos2 = 1 – sin2

cos = θ2sin1 sin2 = 1 – cos2

sin = θ2cos1 sec2 = 1 + tan2 csc2 = 1 + cot2 sin ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค

– sin ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค cos ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค

– cos ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค

Co – Function sin A = cos ( 90o – A ) เชน sin 20o = cos 70o

tan A = cot ( 90o – A ) เชน tan 10o = cot 80o sec A = cosec ( 90o – A ) เชน sec75o = cosec15o tan A . tan( 90o – A ) = 1 เชน tan 20o tan70o = 1 cot A . cot( 90o – A ) = 1 เชน cot 10o cot 80o = 1

cos ( n ) =

sin ( n ) =


10

ฝกท ำ. จงเตมค าตอบทถกตอง cos2 + sin2 = cos2 = cos = sin2 = sin = sec2 = csc2 = 3. ก าหนดให 0 < < 2

π และ cos = 0.6 แลว คาของ sin (–) มคาเทากบขอใด 1. –0.8 2. –0.6 3. 0.6 4. 0.8 4. จากขอทผานมา คาของ tan + sec มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0.33 2. 0.50 3. 2 4. 3 5. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 0.6 แลว คาของ cos + sin (–) เทากบขอใด 1. –0.2 2. 0.2 3. 0.6 4. 0.8


11

ฝกท ำ. จงเตมค าลงในชองวางตอไปน cos (2 + 2

π ) = sin (4 + 6

π ) = cos (3 + 2

π ) = sin (7 + 4

π ) = cos (6 – 2

π ) = cos (8 – 4

π ) = cos (7 – 4

π ) = sin (180o + 50o ) =

cos (360o + 25o ) =

6. ก าหนดให 0 < < 2π และ cos = 0.20 แลว คาของ sin (3 – ) + cos ( – ) ม

คาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.98 2. –0.78 3. 0.20 4. 0.78 ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ 1 sin 40o = cos …… 2 tan 40o = cot ….. 3 sec 40o = cosec……. 4 cos 10o = ..…. 80o 5 cot 20o = ….. 70o 6 cosec30o = …. …60o

7. B) 2( cos π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. sin B 2. –sin B 3. cos B 4. –cos B


12

8. ก าหนดให 0 < A < 2π แลว คาของ tan (90o – A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. cos A 2. sec A 3. cosec A 4. cot A

9. ก าหนดให 0 < < 2

π และ cos = 0.6 แลว คาของ sin ( 2π – ) + cos ( 2

π + ) ม คาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.8 2. –0.6 3. –0.2 4. 0.2 10. ก าหนดให 0 < A < 2

π แลว คาของ cosec (270o + A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – cos A 2. – sec A 3. – cosec A 4. – cot A

8.4 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสำมเหลยมมมฉำก

พจารณารปสามเหลยมมมฉากดงรป ก าหนดให ความยาวดานตรงขามมมฉาก = ฉาก ความยาวดานตรงขามมม = ขาม ความยาวดานตรงประชดมม = ชด

จะไดวา sin = ฉากขาม

cos = ฉากชด

tan = ชดขาม

ฉาก

ชด

ขาม


13

11(แนว มช) ถา น.ส. กอยยนอยทจด A หางจากตนไม 150 เมตร แลวสงเกตเหนวามมระหวาง พนดนและยอดของตนไม

ทมความสง h คอ 30o (ดงรป) ขอใดคอความสง h ของตนไม

1. 50 2. 50 3 3. 150 3 4. 450 3

12. ตกสองหลงทมหลงคาเรยบตงอยหางกน 60 ฟต

จากหลงคาของตกทเตยกวา ซงสง 40 ฟต มมท วดจากหลงคาของตกทเตยกวาไปยงหลงคาของ ตกทสงกวามขนาด 40o ดงรป ตกทสงกวาจะ มความสงเทากบกฟต (tan40o = 0.8391 ) 1. 80.2 2. 85.5 3. 90.3 4. 95.8

13(แนว O–Net) ถารปสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวความยาวเสนรอบรป ของสามเหลยมรปนยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 23 หนวย 2. 2 3 หนวย 3. 3 3 หนวย 4. 3 หนวย

60 ฟต 40o

40 ฟต

A 150 ม.

30o ตนไม

h


14

14. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = 5

4 แลว sec + cosec มคาเทากบขอใด 1. 5

3 2. 54 3. 5

7 4. 1235

15. ก าหนดให sin = 5

3 และ 2π < < แลวคาของ cos . tan เทากบขอใดตอไปน

1. 53 2. – 5

4 3. 2031 4. 20

12

16. ก าหนดให cos = – 54 และ < < 23π แลวคาของ sin . tan เทากบขอใด

1. – 53 2. 5

1 3. – 2012 4. 20

12

17. ก าหนดให 23π < < 2 และ tan = – 3

1 แลว 2 cos + cot มคาเทากบขอใด

1. 15103 2. 15103 3. 515103 4. 5

15103


15

18. ก าหนดให sin > 0 โดยท cos = – 53 แลว คาของ sec + cosec เทากบขอใด

1. – 124 2. 12

4 3. – 125 4. 12

5

19. ก าหนดให sin < 0 โดยท cos = 54 แลว คาของ 4 cot เทากบขอใดตอไปน

1. – 5 2. –3 3. – 316 4. 12

5

8.5 กรำฟของฟงกชนตรโกณมต

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = sin x

จากลกษณะของกราฟ y = sin x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. เรนจของฟงกชน คอ [ –1 , 1 ] นนคอ –1 sin x 1 4. คาบมความยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชน = 1 (แอมปลจด อาจจะเรยกวาเปนความสงของคลนไซนกได )


16

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cos x จากลกษณะของกราฟ y = cos x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. เรนจของฟงกชน คอ [ –1 , 1 ] นนคอ – 1 cos x 1 4. คาบมความยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชน = 1

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = tan x

จากลกษณะของกราฟ y = tan x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ผานจด (0 , 0) 2. โดเ มนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n + 2

π เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง นนคอ – < tan x < 4. คาบของฟงกชนยาว = 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม เพราะฟงกชนไมมคาสงสด และต าสด


17

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cosec x

จากลกษณะของกราฟ y = cosec x เราสรปไดดงน 1. กราฟไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ y 1 หรอ y – 1 4. คาบของฟงกชนยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม พจำรณำกรำฟฟงกชน y = sec x

จากลกษณะของกราฟ y = sec x เราสรปไดดงน

1. กราฟไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n + 2

π เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ y 1 หรอ y – 1 4. คาบของฟงกชนยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม


18

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cot x จากลกษณะของกราฟ y = cot x เราสรปไดดงน 1. กราฟไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง นนคอ – cot x 4. คาบของฟงกชนยาว = 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม เพราะฟงกชนไมมคาสงสดและต าสด

ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนเปนฟงกชนทเปนคาบ คอสามารถแบงแกน X ออกเปนชวงยอย โดยทความยาวของแตละชวงยอยเทากน และกราฟในแตละชวงยอยมลกษณะเหมอนกน คำบ ( period ) ของฟงกชน คอความยาวของชวงยอยทสนทสดซงแตละชวงยอยนนมกราฟเหมอนกน

แอมพลจด ( amplitude ) ของฟงกชนคอคาทเทากบครงหนงของคาสงสดลบดวยคาต าสดของฟงกชน การหาคาบและแอมปลจด ของฟงกชนตรโกณมต ก าหนดให a , b , c และ d เปนคาคงทใดๆ และ b > 0

ล าดบ รปทวไปอยางงาย สตรหาคาบ สตรหาแอมปลจด

1. y = a sin bx b 2π a

2. y = a cos bx b 2π a

3. y = a cosec bx b 2π ไมม

4. y = a sec bx b 2π ไมม

5. y = a tan bx bπ ไมม

6. y = a cot bx bπ ไมม


19

20. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 4 sin x เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

21. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 4 cos ( 2x – 2 ) + 4 เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

22. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = –3 tan 2

1 x เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

23. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 41 cosec ( 3

1 x + 6π ) เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 2 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = 6 , แอมปลจด = 2 4. คาบ = 6 , แอมปลจด = หาคาไมได


20

24. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 21 sec ( 2x – 3

π ) + 1 เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

8.6 ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตำงของจ ำนวนจรงหรอมม

ฟงกชนของผลบวกหรอผลตำง cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A

tan (A + B) = B tan A tan 1B tan Atan

tan (A – B) = B tan A tan 1B tan Atan

cot (A + B) = A cot B cot1 B cot A cot

cot (A – B) = A cot B cot1 B cot A cot

ฟงกชนทใชเปลยนผลคณเปนผลบวก 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) ฟงกชนทใชเปลยนผลบวกเปนผลคณ sin A + sin B = 2 sin 2

BA . cos 2BA

sin A – sin B = 2 cos 2BA . sin 2

BA cos A + cos B = 2 cos 2

BA . cos 2BA

cos A – cos B = – 2 sin 2BA . sin 2

BA


21

ฟงกชนทมมมเปน 2A sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = A2 tan 1

A tan 2

cos 2A = cos2A – sin2A cos 2A = 2 cos2A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin2A tan 2A = A2 tan 1

A tan 2

cot 2 A = A cot 21 A 2cot

ฟงกชนทมมมเปน 2A

sin 2A = 2

cosA 1

cos 2A = 2

cosA 1

tan 2A = A cos 1

cosA 1

ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ ค าตอบ (รอบ 1) ค าตอบ (รอบ 2)

cos(A + B ) cos(A – B ) sin(A + B ) sin(A – B )

= = = =

= = = =

25. sin 15o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 426 2. 4

26

3. 423 4. 4

23

26. cos 75o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 426 2. 4

26 3. 423 4. 4

23


22

27. sin 105o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 426 2. 4

26 3. 423 4. 4

23

28. คาของ cos( 9π ) cos ( 18

π ) – sin ( 9π ) sin ( 18

π ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 21 4. 2

3

ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ ค าตอบ (รอบ 1) ค าตอบ (รอบ 2) ค าตอบ (รอบ 3)

tan(A + B )

tan (A – B )

cot(A + B )

cot (A – B )

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

29. tan 75o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 + 3 2. 2 – 3 3. 23 2 4. 2

3 2


23

30. จงพจารณาขอความตอไปน ก. tan (45o + A) = tanA 1

tanA 1

ข. otan25otan20 1otan25otan20

= 1

ขอความตอไปนขอใดถก 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด


2 sinA cosB 2 cosA sinB 2 cosA cosB 2 sinA. sinB

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)


2 sinA . cosB 2 cosA. sinB 2 cosA. cosB 2 sinA. sinB

= ……………………………………. = ……………………………………. = ……………………………………. = …………………………………….

= ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. = ……………………………………….

31. คาของ 2 sin75ocos15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 23 1 2. 2

3 1 3. 23 2 4. 2

3 2


24

32. คาของ 2 cos75o sin15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 23 1 2. 2

3 1 3. 23 2 4. 2

3 2

33. คาของ 2 cos75o cos15o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 2

3 2. – 21 3. 2

3 4. 21

34. คาของ 2 sin75o sin15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 23 2. – 2

1 3. 23 4. 2

1

35. คาของ 2 cos10o cos40o – cos50o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 23 2. – 2

1 3. 23 4. 2

1

36. คาของ sin 45o cos 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 4 1 3 2. 4

1 3 3. 2 1 3 4. 2

1 3


25


sinA + sinB

sinA – sinB

cosA + cosB

cosA – cosB

= 2…….. 2BA ……… 2

BA = 2…….. 2

BA ……… 2BA

= 2…….. 2BA ……… 2

BA = –2…….. 2

BA ……… 2BA

= = = =

37. คาของ sin 75o + sin 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6

38. คาของ sin 75o – sin 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6

39. คาของ cos 75o + cos 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6

40. คาของ cos 80o + sin 50o – cos 20o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 2 4. 2

3


26


sin2A sin2A cos2A cos2A cos2A tan2A cot2A

41. ถา cos x = 73 แลว cos 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 4931 2. – 25

7 3. 4931 4. 25

7

42. ถา sin x =

54 แลว cos 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 4931 2. – 25

7 3. 4931 4. 25

7 43. ถา tan x = 2

1 แลว tan 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 43 2. – 3

4 3. 43 4. 3

4


27

44. 2x cos 1 2xsin เทากบขอใดตอไปน

1. sin x 2. cos x 3. tan x 4. cot x


sin 2A

cos 2A

tan 2A

=

=

=

=

=

=

=

=

=

45. คาของ cos 15o เทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 32 3. 232 4. 2

32

46(แนว มช) ถา cos 70o = k เมอ k เปนคาคงตว แลว sin 35o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 k 2. – 2

1 k 3. 2 k 1 4. – 2

k 1


28

47. ก าหนดให ππ A 2 และ sin A = 53 แลว tan 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 1 4. 3

8.7 เอกลกษณและสมกำรตรโกณมต

8.7.1 เอกลกษณ เอกลกษณตรโกณมต คอสมการตรโกณมตซงเปนจรงเสมอ เชน cos2 + sin2 = 1 สมการนเปนจรงเสมอไมวา จะมคาเปนเทาใดกตาม สมการนจงเรยกเอกลกษณตรโกณมต

48. พจารณาขอความตอไปน a) csc cos = cot b) sin cot = cos c) cot sec sin = 0 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 49. พจารณาขอความตอไปน a) θ

θθθ

cossin

csc sec = 2 tan

b) 1x cscxsin x sec x cos c) cot cos + sin = csc ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


29

50. พจารณาขอความตอไปน a) tan cot – cos2 = sin2 b) cos ( tan + cot ) = csc c) csc x – sin x = cos x cot x ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 51. พจารณาขอความตอไปน a) 3 sin2 + 4 cos2 = 3 + cos2 b) (sin + cos )2 + (sin – cos )2 = 1 c) sin2 cot2 + tan2 cos2 = 1 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

52. พจารณาขอความตอไปน a) 3 sin2 + 4 cos2 = 3 + cos2 b) (sin + cos )2 + (sin – cos )2 = 1 c) sin2 cot2 + tan2 cos2 = 1 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


30

53. พจารณาขอความตอไปน (ก) sec – sec sin2 = cos (ข) 2 sin2 – 1 = 1 – 2 cos2 ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


(ก) tan2 – sin2 = tan2 sin2 (ข) sin2 tan + cos2 cot + 2 sin cos = tan + cot ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด

55. ถา A + B + C = 180o จงพจารณาขอความตอไปน

(ก) sin A = sin (B + C) (ข) cos A = – cos(B + C) ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


31

56. ถา A + B + C = 180o จงพจารณาขอความตอไปน (ก) cos2A + cos2 (60o+A) + cos2 (60 o – A) = 2

1 (ข) cos 20o cos 40 o cos 80 o = 2

1 ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด

8.7.2 สมกำรตรโกณมต

สมการตรโกณมต คอสมการทมฟงกชนตรโกณมตปรากฏอย ขนตอนการแกสมการตรโกณมตเบองตน

ขนท 1 หาวาค าตอบจะอยในควอดรนตทเทาใด ขนท 2 หาค าตอบพนฐาน โดยไมตองสนใจคาบวกและลบของฟงกชนตรโกณมต ขนท 3 หาค าตอบจรงในควอดรนตทหาไวจาก ในควอรดรนต 1 = ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 2 = 180o – ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 4 = 360o – ทไดจากขน 2

ตวอยำง จงแกสมการ sin = – 23

แนวคด ขนท 1 เนองจากคา sin เปนลบ แสดงวา อยในควอดรนตท 3 และ 4

ขนท 2 คดเฉพาะ sin = 23

จะได = 60o ขนท 3 ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 = 180o + 60o = 240o ในควอรดรนต 4 = 360o – ทไดจากขน 2 = 360o – 60o = 300o ดงนน เซตค าตอบ คอ { 240o , 300o }


32

ตวอยำง จงแกสมการ tan = 1 แนวคด ขนท 1 เนองจากคา tan เปนบวก แสดงวา อยในควอดรนตท 1 และ 3 ขนท 2 คดเฉพาะ tan = 1 จะได = 45o ขนท 3 ในควอรดรนต 1 = ทไดจากขน 2 = 45o ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 = 180o + 45o = 225o ดงนน เซตค าตอบ คอ { 45o , 225o }

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน

1. sin = 21 2. cos = – 2

3 3. tan = – 3

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน

1. sin = – 23 2. cos = 2

1 3. tan = 1

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน 1. sin = 1 2. sin = 0 3. sin = –1 4. cos = 1 5. cos = 0 6. cos = –1

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน 1. sec = –2 2. cot = 3

1 3. cosec = – 32


33

57. ถา 0o 360o แลวผลบวกค าตอบของสมการ 2 sin – 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. 90o 2. 180o 3. 270o 4. 360o

58. ถา 0o 360o แลวสมการ 3 tan2 – 1 = 0 มค าตอบกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

59. ถา 0 x 2 แลว เซตค าตอบของสมการ 4 sin2 x – 3 = 0 คอขอใดตอไปน 1. { 2

π , 32π , , 3

5π } 2. { 3π , 3

2π , 34π , 3

5π }

3. { 2π , 3π , 3

4π , 35π } 4. { 2

π , 3π , 4π , 6π }

60. คาของ x จากสมการ 4 cos x = 3 sec x เมอ 0o x 360o มกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


34

61. คา ทเปนค าตอบของสมการ sin2 – 3cos2 = 0 เมอ 90o 180o มกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

62. ถา 0 2 แลว ค าตอบของสมการ 2 cos2 + cos = 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. { 2

π , 32π , , 3

5π } 2. { 3π , 3

2π , 34π , 3

5π }

3. { 2π , 2

3π , 32π , 3

4π } 4. { 2π , 3π , 4π , 6π }

63. ถา 0 x 2 แลวค าตอบของสมการ 2 cos2 x – 3 cos x = 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. { 2

π , 32π , , 3

5π } 2. { 3π , 3

2π , 34π , 3

5π }

3. { 2π , 2

3π , 32π , 3

4π } 4. { 6π , 2π , 2

3π , 611π }

64. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 – sin – 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกค าตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


35

65. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 – 3 cos = 3 จะมค าตอบทงหมดกค าตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

66. ถา 0 x 2 แลวสมการ 3 sec x – cos x + 2 = 0 จะมค าตอบทงหมดกค าตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

67. ถา 0o 360o ผลบวกของคา x จากสมการ cos 2 = sin ตรงกบขอใด

1. 270 2. 390 3. 450 4. 540

68. ถา 0o x 360o ผลบวกของคา x จากสมการ sin 5x cos3x – cos 5x sin 3x = cos x ตรงกบขอใด 1. 270 2. 390 3. 450 4. 540


36

เทคนค กำรแกสมกำรตรโกณมตของมม 2 , 3 , 4 , ……

ขนท 1 หาคา n ในชวง 0 x 2 กอน ขนท 2 หากตองการหาค าตอบของ n ใหน า 2 , 4 , 6 , ..... , 2n บวกมมจากขน 1 ขนท 3 น า 2 , 3 , 4 , .... , n หารตลอด

69. ถา 0 x 2 แลว ผลบวกค าตอบของสมการ sin 3x = 0 มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

70. ถา 0 x 2 แลว ผลบวกค าตอบของสมการ 2 cos 2x = 1 มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

8.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต

f = { (x , y) y = sin x , – 2π x 2

π } ฟงกชนไซน

f–1 = { (x , y) x = sin y , – 2π y 2

π } ฟงกชนอารคไซน f–1 = { (x , y) y = arcsin x , – 2

π y 2π } ฟงกชนอารคไซน

g = { (x , y) y = cos x , 0 x } ฟงกชนโคไซน g–1 = { (x , y) x = cos y , 0 y } ฟงกชนอารคโคไซน g–1 = { (x , y) y = arccos x , 0 y } ฟงกชนอารคโคไซน

h = { (x , y) y = tan y , – 2π x 2

π } ฟงกชนแทนเจนต h–1 = { (x , y) x = tan y , – 2

π y 2π } ฟงกชนอารคแทนเจนต

h–1 = { (x , y) y = arctan x , – 2π y 2

π } ฟงกชนแทนเจนต


37

สตรส ำหรบหำคำ arc ของจ ำนวนจรงทมคำเปนลบ arccos ( –x ) = 180o – arccos ( x ) arcsin ( –x ) = – arcsin ( x ) = 360o – arcsin ( x ) arctan ( –x ) = – arctan ( x ) = 360o – arctan ( x )

สตรส ำหรบหำคำ arccot , arcsec , arccosec arccot (x) = arctan ( x1 )

arcsec (x) = arccos ( x1 ) arccosec (x) = arcsin ( x1 )

สตรทควรทรำบเกยวกบ arc

arcsin (x) = arccos ( 2x1 )

arccos (x) = arcsin ( 2x1 ) sin (arcsin x) = x เมอ –1 x 1 cos (arccos x) = x เมอ –1 x 1 tan (arctan x) = x เมอ – x +

arcsin (sin x) = x เมอ – 2π x 2

π

arccos (cos x) = x เมอ 0 x arctan (tan x) = x เมอ – 2

π x 2π

arcsin x + arccos x = 2π

arctan x + arccot x = 2π

arcsec x + arccosec x = 2π

arctan A + arctan B = arctan A.B 1B A

หาคาไดเลย ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน

1) arcsin ( 21 ) 2) arccos ( 2

3 ) 3) arctan ( 31 )


38

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1) arcsin (1) 2) arcsin (0) 3) arcsin (–1) 4) arccos (1) 5) arccos (0) 6) arccos (–1) ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน

1) arcsin (– 22 ) 2) arctan (–1) 3) arccos (– 2

2 )

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1) arcsec (2) 2) arccosec ( 3

2 ) 3) arccot ( 3 )

71. คาของ tan (arccos 23 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 1 3. 3 4. หาคาไมได

72(แนว En) cos ( 4

+ (arcsin 21 + arctan 1) ) เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. – 21 3. 2

1 4. 1


39

ใช 73. คาของ cos (arctan 512 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 13

5 2. 1312 3. 12

5 4. 1 74. คาของ sin (arctan [– 9

40 ]) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 41

40 2. – 419 3. 41

40 4. 419

75. คาของ tan (arccos [– 41

40 ]) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 40

41 2. – 409 3. 40

41 4. 419

76(แนว มช) sin [ 2 arctan (– 12

5 ) ] มคาเทากบคาในขอใด 1. – 13

12 2. 1312 3. 169

120 4. – 169120


40

77(แนว En) cos (2 arcsin 31 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 2

1 3. 2 4. 3

sin ( arcsin x ) = x

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน

1) tan arc tan (–1) 2. tan arc cot (– 3 ) 3) cos arc sec (– 1213 )

4) sin arc cosec 2 5) cos arc sin 54 6) sin arc cos 5

4

7) cos – arc cos x 8) cos (arccos 7 ) 9) sin (arccosec 91 )

78(แนว มช) arcsin (sin 150o) มคาเทากบคาในขอใด 1. 30o 2. 150o 3. 210o 4. 330o


41

arcsin x + arccos x = 90 79(แนว En) sec 2

1 (arcsin 53 + arccos 5

3 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 1 + 2 4. 2 + 3

80(แนว En) tan 21 (arcsec 54 + arccosec 54 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 81(แนว En) ถา arccos x – arcsin x = 6

π แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 1 4. 2

arctan A + arctan B = arctan AB 1

B A

82(แนว A–Net) sin (arctan 2 + arctan 3) เทากบขอใดตอไปน 1. – 2

1 2. – 21 3. 2

1 4. 21


42

8.9 กฏของโคไซนและไซน

พจารณาสามเหลยมทมมมเปน A , B , C และมดานตรงกนขามแตละมมยาวเทากบ a , b และ c ตามล าดบ ดงรป

กฎของไซน กลำววำ Csin

c Bsin b sinA

a

กฎของโคไซนกลำววำ a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b 2 = a2 + c2 – 2ac cos B c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C สตรส ำหรบหำพนทรปสำมเหลยม พนท ABC = 2

1 ab sin C พนท ABC = 2

1 bc sin A พนท ABC = 2

1 ac sin B

83. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 120o , B = 45o , b = 5 2 แลว a มคา เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 5 3 3. 10 4. 10 3

84. ในสามเหลยม ABC ถา a = 2 , b = 2 2 และ A = 30o แลว แลวมม B มขนาดเทาใด 1. 45o 2. 90o 3. 135o 4. ขอ 1. และขอ 2. ถก

a = ?

45 o 120 o b = 5 2

A B

A

B

C

a

b

c


43

85. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 60o , b = 40 และ c = 60 แลว a มคาเทากบขอใด 1. 10 2. 10 7 3. 20 4. 20 7 86. ในรปสามเหลยม ABC ถา B = 120o , a = 4 และ c = 6 แลว b มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 2 19 3. 4 4. 4 19

87. ในรปสามเหลยม ABC ถา B = 60o , a = 4 และ c = 8 แลว b มคาเทากบเทาใด 88. ในรปสามเหลยม ABC ถา a = 12 , b = 7 และ c = 8 แลว cos B มคาเทากบขอใด 1. 0.65 2. 0.78 3. 0.83 4. 0.92


44

89. ในรปสามเหลยม ABC ถา c = 10 , b = 4 และ A = 45o แลว พนทของรปสาม เหลยม ABC มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 14.14 2. 68.3 3. 86.6 4. 141.4

8.10 กำรหำระยะทำงและควำมสง

90. พเชษฐยนอยหางจากตกหลงหนง 18 เมตร มองเหนยอดตกและเสาอากาศซงอยบนยอดตกเปน มมเงย 30o และ 60o ตามล าดบ แลวความสงของเสาอากาศในหนวยเปนเมตร

1. 6 2 2. 6 3 3. 12 2 4. 12 3

91. เรอสองล าทอดสมออยหางกน 60 เมตร และอยในแนวเสนตรงเดยวกบประภาคาร ทหารใน เรอแตละล ามองเหนยอดประภาคารเปนมมเงย 45o และ 30o จงหาวาเรอล าทอยใกลประภาคาร อยหางจากประภาคารกเมตร

1. 10 ( 3 +1 ) 2. 20 ( 3 +1 ) 3. 30 ( 3 +1 ) 4. 40 ( 3 +1 )


45

เฉลยบทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1 . 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 3. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 4. 51. ตอบขอ 3. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 4. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 4 59. ตอบขอ 2. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 3. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 3. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 3. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 4. 77. ตอบขอ 1. 78. ตอบขอ 1. 79. ตอบขอ 1. 80. ตอบขอ 2. 81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 2. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบ 6.93 88. ตอบขอ 3. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 4. 91. ตอบขอ 3.


46

ตะลยโจทยท วไป บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

8.1 ฟงกชนไซนและโคไซน

1. 45π มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 150o 2. 225o 3. 255o 4. 420o 2. 65π มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –150o 2. –225o 3. –255o 4. –420o 3. 3

7π มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –150o 2. –225o 3. –255o 4. –420o 4. –390o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

2 π 2. 3 5π 3. 3

π7 4. 3 13π

5. 120o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

2 π 2. 3 5π 3. 3

π7 4. 3 13 π

8.2 คำของฟงกชนไซนและโคไซน


1. 21 2. 2

2 3. 23 4. 1

7. cos 225o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. – 2

2 3. – 23 4. 2

2


1. – 21 2. – 2

2 3. – 23 4. 2

2


47

9. cos (–930o) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. – 2

2 3. – 23 4. 2

2 10. sin (–570o) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 2

2 3. 23 4. – 2

2

11. 32sin π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 2

2 3. 23 4. – 2

2 12. 43 cos π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 2

2 3. 23 4. – 2

2 13. )37(sin π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. – 2

2 3. – 23 4. 2

2

14. 45sin π + 6

11 cos π + )37(sin π + 49 cos π + 613sin π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 2

2 3. 23 4. – 2

2

15. )4

3( cos π – )65( cos π + )37(sin π + )49( cos π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 22 4. 2

3 16. )3

5(sin π + )611(cos π + )47( cos π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 22 4. 2

3


48

8.3 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

17. tan 150o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. – 3

1 3. – 3 4. หาคาไมได

18. tan 210o มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3

1 3. 3 4. หาคาไมได

19. tan (–600o) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. – 3

1 3. – 3 4. หาคาไมได

20. tan (–660o) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3

1 3. 3 4. หาคาไมได

21. sec (–300o) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 2 2. – 3

2 3. 32 4. 2

22. cosec (–225o) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 2 2. – 3

2 3. 32 4. 2

23. คาของ )o390( cos

)o840(sin )o480(tan


1. 21 2. 1 3. 2 4. 3

24. คาของ

330sin 2300 2sec 135 2 tan3 เทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 1 3. 2 4. 3


49

25. คาของ )()( )

390cos840sin480tan( เทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 1 3. 2 4. 3

26. คาของ 47 tan 4

5 cos 43sin π ππ เทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 1 3. 2 4. 3

27. คาของ 67 tan 65 cos 49tan 35sin 2 cosπ ππππ เทากบขอใดตอไปน

1. 23 34 2. 2

3 34 3. 33 34 4. 3

3 34 28. คาของ 34sin 43 cos 67 tan 65sin π πππ เทากบขอใดตอไปน

1. 263 34 6 2. 3

63 34 6

3. 663 34 6 4. 12

63 34 6


7sin 65 cot 2 cos tan 2

3sin πππππ เทากบขอใดตอไปน

1. 1 3 2 2. 1 3 2 3. 21 3 2 4. 2

1 3 2 30. คาของ 35 tan 35sin 6sin 3 cos 6 cos 3sin π πππππ เทากบขอใดตอไปน

1. 23 2 2. 2

3 2 3. 33 2 4. 3

3 2

31. คาของ 611 2cos 6 2sin 4 2sin 4 2cos ππππ เทากบขอใดตอไปน

1. 21 2. 1 3. 2 4. 3


25 tan 325 cos 6

25sin πππ เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 41 3. 2

1 4. 1


50

33. คาของ )316( tan )4

11( cos )43(sin πππ เทากบขอใดตอไปน

1. 3 2 2. 3 2 3. 3 2 4. 3 2 34. คาของ 3

22sec 452cosec 6

132cot πππ เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 41 3. 2

1 4. 1 35. ก าหนดให 0 < < 2

π และ cos = 0.8 แลว คาของ sin (–) มคาเทากบขอใด 1. –0.8 2. –0.6 3. 0.6 4. 0.8 36. ก าหนดให 0 < < 2

π และ cos = 0.9848 แลว sec + tan มคาเทากบขอใด 1. –1.0154 2. –1.1900 3. 1.0154 4. 1.1900 37. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 53 แลว คาของ sin (2 + ) มคาเทากบขอใด

1. –53 2. – 5

4 3. 53 4. 5

4

38. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 53 แลว คาของ sin (5 + ) มคาเทากบขอใด

1. –53 2. – 5

4 3. 53 4. 5

4

39. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 53 แลว คาของ sin ( – ) มคาเทากบขอใด

1. –53 2. – 5

4 3. 53 4. 5

4

40. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 53 แลว คาของ sin (–3 – ) มคาเทากบขอใด

1. –53 2. – 5

4 3. 53 4. 5

4

41. ก าหนดให 0 < < 2

π และ sin = 53 แลว คาของ cos (11 – ) มคาเทากบขอใด

1. –53 2. – 5

4 3. 53 4. 5

4


51

42. จงพจารณาขอความตอไปน ก. sin (90o – A) = cos A ข. sec(90o – A) = csc A ขอความตอไปนขอใดถก 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

43. ก าหนดให 0 < A < 2π แลว คาของ sin (90o + A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. cos A 2. sec A 3. cosec A 4. tan A 44. ก าหนดให 0 < A < 2

π แลว คาของ sec (90o – A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. cos A 2. sec A 3. cosec A 4. tan A 45. ก าหนดให 0 < A < 2

π แลว คาของ cosec (90o + A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. cos A 2. sec A 3. cosec A 4. tan A

46. ก าหนดให 0 < A < 2π แลว คาของ cot (90o – A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. cos A 2. sec A 3. cosec A 4. tan A

47. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = A แลว คาของ cos ( 2

π – ) มคาเทากบขอใด

1. –A 2. A 3. – 2A1 4. 2A1

48. ก าหนดให 0 < < 2π และ cos = A แลว คาของ sin ( 2

π + ) มคาเทากบขอใด

1. –A 2. A 3. – 2A1 4. 2A1

49. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = A แลว คาของ sin ( 2

π + ) มคาเทากบขอใด

1. –A 2. A 3. – 2A1 4. 2A1

50. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = 0.20 , cos = 0.98 แลว คาของ

sin ( 2π – ) + cos ( 2

π + ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.20 2. 0.20 3. 0.78 4. 0.98


52

51. ก าหนดให 0 < A < 2π แลว คาของ tan (270o – A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. sin A 2. cos A 3. tan A 4. cot A

52. ก าหนดให 0 < < 2π และ cos = A แลว คาของ sin ( 2

3π + ) มคาเทากบขอใด

1. –A 2. A 3. – 2A1 4. 2A1

53. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = A แลว คาของ cos ( 2

3π – ) มคาเทากบขอใด

1. –A 2. A 3. – 2A1 4. 2A1

8.4 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสำมเหลยมมมฉำก

54แนว O–Net) กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 4 เมตร สามารถจบภาพไดต าทสดท มมกม 45o และสงทสดทมมกม 30o ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถ จบภาพไดคอเทาใด ( ก าหนดให 3 1.73 ) 1. 1.00 เมตร 2. 1.46 เมตร 3. 2.00 เมตร 4. 2.92 เมตร

55. แมน าแหงหนงกวาง 50 เมตร นกวายน าจาก จด A ของฝงหนงไปยงจด B ของอกฝงหนง ตามเสนดงรป ระยะทางทนกวายน าวายขาม ฝงมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 53.5 เมตร 2. 55.8 เมตร 3. 57.7 เมตร 4. 59.3 เมตร

56. แกวงลกตมซงยาว 90 เซนตเมตร ตามแนวดง ดวยมม 15o ของแตละขาง ดงรป ระยะระหวาง ต าแหนงสงสดและต าสดของลกตม ( x เซนต- เมตร ) มขนาดเทากบขอใดตอไปน ( ก าหนดให cos15o = 0.9659 ) 1. 2.8 2. 3.1 3. 3.8 4. 4.2

50 เมตร

60o A

B

15o 15o

X เซนตเมตร


53

57. สามเหลยมหนาจวซงมฐานยาว 40 นว และมมทฐานมขนาด 70o จะมความยาวเสนรอบรป เทากบขอใดตอไปน ( ก าหนดให cos 70o = 0.3420 ) 1. 122.8 2. 136.0 3. 146.6 4. 157.0 58(แนว O–Net) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว

18 นว ถา D เปนจดบนดาน AC โดยท CDB = 70o และ DBA = 10o แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 4 3 นว 2. 12 3 นว 3. 6 นว 4. 18 นว

59. ก าหนดให 0 < < 2π และ cos = 5

4 แลว sec + cosec มคาเทากบขอใด 1. 5

3 2. 54 3. 5

7 4. 1235

60. ก าหนดให cos > 0 และ sin = 2

1 แลว sec + tan มคาเทากบขอใด

1. 3 2. 33 3. 3

1 4. 3

3

61. ก าหนดให tan = – 43 และ 2

π < < แลวคาของ tan + sec เทากบขอใด

1. – 21 2. 2

1 3. – 2012 4. 20

12

62. ก าหนดให sec = – 45 และ < < 2

3π แลวคาของ sin . tan เทากบขอใด

1. – 53 2. 5

1 3. – 2012 4. 20

12

63. ก าหนดให cot = –3 และ 23π < < 2 แลวคาของ 2 sin + tan เทากบขอใด

1. 31

102 2. 3

1102 3. 3

1102 4. 3

1102

64. ก าหนดให 0 < < 2π และ tan = 3

1 แลว 2 cos + cot มคาเทากบขอใด

1. 15103 2. 15103 3. 515103 4. 5

15103


54

65. ก าหนดให < < 23π และ cosec2 + cot2 = 9

41 แลว sin มคาเทากบขอใด

1. – 53 2. 5

1 3. – 2012 4. 20

12

8.5 กรำฟของฟงกชนตรโกณมต

66. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 21 sin เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 21 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได

3. คาบ = , แอมปลจด = 21 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

67. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 4 cos 2

1 เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = 4 , แอมปลจด = 4 4. คาบ = 4 , แอมปลจด = หาคาไมได 68. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = –2 cos 2

1 + 5 เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 2 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = 4 , แอมปลจด = 2 4. คาบ = 4 , แอมปลจด = หาคาไมได

69. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = sin (–) – 3 เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 1 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = 4 , แอมปลจด = 1 4. คาบ = 4 , แอมปลจด = หาคาไมได

70. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = –2 tan 21 เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได 71. สมการของคลนชนดหนงคอ y = 1000

1 sin (400 t ) เมอ t แทนเวลาเปนวนาท แลว แอมปลจดและคาบของสมการคอขอใดตอไปน

1. 0.001 , 400 วนาท 2. 0.001 , 200 วนาท 3. 0.001 , 400

1 วนาท 4. 0.001 , 2001 วนาท


55

72. ก าหนดให v = 220 sin (140 t ) เปนสมการแสดงความสมพนธระหวางความตางศกย ไฟฟา V (หนวยเปนโวลต) กบเวลา t (หนวยเปนวนาท) แลวคาสงสดของ V และ คาบของ ฟงกเปนเทาใด

1. 220 โวลต , 140 วนาท 2. 220 โวลต , 117 วนาท

3. 220 โวลต , 701 วนาท 4. 220 โวลต , 70 วนาท

8.6 ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตำงของจ ำนวนจรงหรอมม

73. B) 2(sin π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. sin B 2. –sin B 3. cos B 4. –cos B 74. ก าหนดให ππ A 2 และ 2 B 0 π ถา cos A = 53 และ tan B = 125 แลว cos (A + B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 65

56 2. – 6533 3. 65

33 4. 6556

75. ก าหนดให 2

3 A ππ และ ππ B 2 ถา cos A = 135 และ sin B = 54 แลว cos (A – B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 65

56 2. – 6533 3. 65

33 4. 6556

76. ก าหนดให 2

3 A ππ และ 2 B 0 π ถา sin A = 135 และ cos B = 54 แลว sin (A – B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 65

16 2. – 6556 3. 65

16 4. 6556

77. ถา cos A = 1312 และ sin B = 53 โดยท ππ 2 A 23 และ ππ B 2 แลว

sin (A + B) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 6 2. 2 6 3. 42 6 4. 4

2 6

78. cos 7A cos 3A + sin 7A sin 3A เทากบขอใดตอไปน 1. sin 2A 2. cos 2A 3. sin 4A 4. cos 4A


56

79. คาของ sin (– 2 5π ) sin ( 2

π ) + cos( 2π ) cos (– 2

5π ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

80. คาของ cosAcos3A

sinAsin3A เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 81. tan (–15o) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 + 3 2. 2 – 3 3. 2 3 4. – 2 3

82. tan (–105o) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 + 3 2. 2 – 3 3. 2 3 4. – 2 3

83. ถา cos A = – 54 และ sin B = 135 โดยท ππ A 2 และ 2 B 0 π แลว tan (A – B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 33

56 2. – 6533 3. 65

33 4. 3356

84. ถา tan A = 43 และ tan B = 512 โดยท 23 A ππ และ ππ B 2 แลว tan (A + B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 56

33 2. – 1663 3. 56

33 4. 1663

85. ก าหนดให A + B = 4π และ tan A = 1 n n แลว tan B เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2n 1 2. 1 2n

1 3. 1 4n 22n

1 22n

4. 1 4n 22n1 22n

86. จากขอทผานมา tan (A – B) เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2n 1 2. 1 2n

1 3. 1 4n 22n

1 22n

4. 1 4n 22n1 22n


57

87. พจารณาขอความตอไปน ก. 2 sin 30o cos 20o = sin 50o + sin 10o ข. 2 sin 40o cos 28o = cos 12o – cos 68o ค. cos 43o cos 35o = 21 (cos 78o + cos 8o) ขอความดงกลาว มถกตองอยกขอ 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. ไมมขอทถก 88. 2 sin 2 cos มคาเทากบขอใดตอไปน

1. cos 3 – cos 2. sin 3 – sin 3. cos 3 + cos 4. sin 3 + sin 89. พจารณาขอความตอไปน ก. 2 sin 5 cos = sin 6 + sin 4 ข. 2 sin 2a sin 9a = cos 7a – cos 11a ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด 90. พจารณาขอความตอไปน ก. 2 sin 30o cos 60o = 21 ข. 2 cos 20o cos 40o = 21 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด 91. คาของ cos20o – 2 sin20o sin 40o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 23 2. – 2

1 3. 23 4. 2

1

92. คาของ (cos 75o )2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 4 2 3 2. 4

2 3 3. 2 1 3 4. 2

1 3


58

93. คาของ 74 cos 72 cos 7 cos πππ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 2

1 2. – 41 3. – 7

1 4. – 81

94. คาของ cos 75o – cos 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6

95. พจารณาขอความตอไปน ก. sin 30o + sin 60o = 2 sin 45o cos 15o

ข. cos 70o + cos 50o = 2 cos 60o cos 10o

ค. sin 3A + sin A = 2 sin A cos 2A ง. cos 5A + cos 3A = 2 cos 4A cos A

ขอความดงกลาว มถกตองอยกขอ 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 96. พจารณาขอความตอไปน ก. sin 3A – sin 5A = –2 cos 4A sin A ข. cos A – cos 5A = 2 sin 3A sin 2A ค. sin 2A + 1 = 2 sin(A + 45o) cos(A – 45o) ง. 1 + cos 4A = 2 cos2 2A ขอความดงกลาว มถกตองอยกขอ 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 97. ก าหนดให sin 87o = a แลวคาของ cos 57o + sin 27o มคาตรงกบขอใดตอไปน

1. a 2. 2a 3. 1 + a 4. 1 + 2a

98. ycos x cossin y x sin


1. tan (x + y) 2. tan (x – y) 3. 2 y)(x tan 4. 2

y)(x tan


59

99. 2Bsin 2Asin 2Bsin 2Asin


1. B) (Atan B) (Atan

2. B) (Atan

B) (Atan 3. 2

B) (Atan 4. 2B) (Atan

100. 2A cos 2B cos

2B cos 2A cos มคาเทากบขอใดตอไปน

1. tan (A + B) . tan (A – B) 2. cot (A + B) . cot (A – B) 3. B) (Atan

B) (Atan 4. B) (A cot

B) (A cot

101. ถา ππ A 2 และ sin A = 54 แลว sin 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2524 2. 27 3. 7

17 4. 724 102. จากขอทผานมา cos 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2524 2. 27 3. 7

17 4. 724 103. จากขอทผานมา tan 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2524 2. 27 3. 7

17 4. 724 104. ถา ππ A 2 และ cosec A = 45 แลว tan 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2524 2. 27 3. 7

17 4. 724 105. ถา 2

3 πθπ และ sec = 1213 แลว sin 2 + cos 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7

17 2. 724 3. 169120 4. 169239

106. ถา ππ 2 A 23 และ cos A = 53 แลว cot 2A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 24

7 2. 177 3. – 17

7 4. – 247

107. ถา 2

3 πθπ และ sec = 1213 แลว sin 2 + cos 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7

17 2. 724 3. 169120 4. 169239


60

108. ถา 2 0 πθ และ cot = 73 แลว 3 cos 2 + 7 sin 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 1 4. 3 109. ก าหนดให ππ 2A 2 และ 432Atan แลว tan A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2524 2. 27 3. – 7

17 4. – 724 110. ถา 1352A cos และ ππ 2 2A 23 แลว sin A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 7

17 2. – 169120 3. 717 4. 169120

111. ถา 2 0 πθ และ tan = 31 แลว sin 4 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 2513 4. 2524

112. sin 3A เทากบขอใดตอไปน 1. 1 – 2 sin3 A 2. 3 sin A – 4 sin3 A 3. 2 cos3 A – 1 4. 4 cos3 A – 3 cos A 113. cos 3A เทากบขอใดตอไปน 1. 1 – 2 sin3 A 2. 3 sin A – 4 sin3 A 3. 2 cos3 A – 1 4. 4 cos3 A – 3 cos A 114. 2 cot 2x เทากบขอใดตอไปน 1. 2 cot2 x – 1 2. 1 – 2 tan2 x 3. cot x – tan x 4. cot x + tan x 115. พจารณาขอความตอไปน ก. θ2sin

2 cos 1 θ = tan ข. θ 2sin 2 1

1

= sec 2 ค. tan 2A = A tan A cot 1

ขอความดงกลาว มถกตองอยกขอ 1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. ไมมขอทถก


61

116. คาของ sin 15o เทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 32 3. 232 4. 2

32 117. คาของ cos 8


1. 22 2. 22 3. 222 4. 2

22 118. คาของ 8

3 cot เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2 2. 1 2 3. 21 2 4. 2

1 2 119. ถา ππ 2 A 23 และ tan A = – 43 แลว คาของ cos 2A เทากบขอใดตอไปน

1. – 10103 2. – 13

133 3. 10103 4. 13

133 120. ถา 23 A ππ และ sec A = – 513 แลว คาของ sin 2A เทากบขอใดตอไปน

1. – 10103 2. – 13

133 3. 10103 4. 13

133 121. ถา πθπ 2 และ sin = 135 แลว คาของ tan 2

θ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 3 4. 5 122. ถา 23 a ππ และ cot a = 43 แลว คาของ cosec 2

a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 22 2. 2

3 3. 25 4. 1

123. ถา tan 2 = 34 เมอ 23 2 θ ππ แลว คาของ sin มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 52 2. 5

22 3. 55 4. 5

52

124. 2)2sin 2 (cosθ θ เทากบขอใดตอไปน 1. 1 + sin 2. 1 – sin 3. 1 + cos 4. 1 – cos


62

8.7 เอกลกษณและสมกำรตรโกณมต

8.7.1 เอกลกษณ 125. พจารณาขอความตอไปน a) sin cot = cos b) cos tan = sin c) cos cosec = cot ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 126. พจารณาขอความตอไปน a) (1 – cos2) cosec2 = 1 b) (1 – sin2) sec2 = 1 c) cot2 (1 – cos2) = 1 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 127. พจารณาขอความตอไปน

a) tan θ 2sin1 = 1 b) cosec θ 2sin1 = 1 c) (1 + tan2) cos2 = 1 d) (sec2 – 1) cot2 = 1 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 128. พจารณาขอความตอไปน a) (sec – 1) (sec + 1) = tan2

b) (sec + tan ) (sec – tan ) = 1 c) sec2 – csc2 = tan2 – cot2 ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 29. พจารณาขอความตอไปน

(ก) sin2 (1 + cot2 ) = cos2 (ข) sec – tan = θθ

sin 1 cos

ขอใดถกตอง


63

1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


(ก) θθ

tan1tan 1

= 1 cot

1 cot

θθ (ข)

θθ

sin1sin 1

= 1csc

1 cscθθ

ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด


(ก) θ θ

θ cos sin

sin =

θ cot 11

(ข) sin 1sin 1θθ

= (sec – tan )2



(ก) tan (45o – ) = θθ

tan 1tan 1

(ข) cos (45o – ) – sin (45o – ) = 1



(ก) cot 2 + tan = cosec 2 (ข) θθ

2 cos 12sin

= tan



64

134. พจารณาขอความตอไปน (ก) (sin 2

θ – cos 2θ )2 = 1 – sin (ข) 1 cos 2 cos

sin 2sin θ

θθθ = tan


8.7.2 สมกำรตรโกณมต 135. ถา 0 x 2 แลวสมการ cos x + 2 cos x sin x = 0 มค าตอบกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 136. ถา 0 x 2 แลวสมการ sin2 + sin = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. ไมมค าตอบ

137. ถา 0 2 แลวสมการ 2 cos2 – 3 cos = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 138. ถา 0 x 2 ดงนนผลรวม x ทสอดคลองกบสมการ sin2 x – sin x = 0 เทากบขอใด 1. 6

5π 2. 2 3π 3. 4. 2

139. ถา 0 x 2 ดงนนผลรวม x ทสอดคลองกบสมการ 3 csc2 x + 2 csc x = 0 เทา กบขอใดตอไปน 1. 6

5π 2. 3. 2 4. 3

140. ถา 0 2 แลวสมการ cot2 = cot จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 141. ถา 0 x 2 ดงนนผลรวม x ทสอดคลองกบสมการ tan x sin x + tan x = 0 เทา กบขอใดตอไปน 1. 6

5π 2. 3. 2 4. 3


65

142. ถา 0 2 แลวสมการ sin 2 + sin = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 143. ถา 0 2 แลวสมการ sin 2 cos – sin = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 3 2. 5 3. 6 4. 8 144. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ tan = 2 sin เทากบขอใด 1. 6

5π 2. 3. 2 4. 3

145. ถา 0 2 แลวสมการ sec = cos – tan จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 146. ถา 0 2 แลวสมการ 4 sin3 – sin = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 3 2. 5 3. 6 4. 8 147. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ sin2 – cos2 = 2

1 เทากบ ขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 148. ถา 0 2 แลวสมการ 2 (cos2 – sin2 ) = 1 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 149. ถา 0 2 แลวสมการ 2 cos2 + 5 sin + 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 150. ถา 0 2 แลวสมการ sin2 – cos2 + 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


66

151. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 – 2 cos2 = 3 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. ไมมค าตอบ 152. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 + cos = 1 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 153. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ sin2 – cos + 5 = 0 เทา กบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

π 3. 4. 2

154. ถา 0 2 แลวสมการ cos2 + sin + 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. ไมมค าตอบ 155. ถา 0 2 แลวสมการ cosec + 2 = sin จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. ไมมค าตอบ 156. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ 1 + 2 sin = 3 cosec เทา กบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

π 3. 4. 2

157. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ 2 sin – 3 cot = 0 เทากบ ขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 158. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ cot + 2 sin = csc เทา กบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

π 3. 4. 2


67

159. ถา 0 2 แลวสมการ tan2 – sec = 1 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. ไมมค าตอบ 160. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ 4 tan2 – 3 sec2 = 0 เทา กบขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 161. ถา 0 2 แลวสมการ cos 2 + 3 sin = 2 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 3 2. 5 3. 6 4. 8 162. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ 2 cos 2 – 3 = 0 เทากบ ขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 163. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ 2 cos2 + 2 cos 2 = 1 เทา กบขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 164. ถา 0 2 ดงนนผลรวม ทสอดคลองกบสมการ cos + 4 sin – sin 2 = 2 เทากบขอใดตอไปน 1. 2. 2 3. 3 4. 4 165. ถา 0 2 แลวสมการ 3 sin = 3 cos จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 166. ถา 0 2 แลวสมการ cos + sin = 2 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


68

167. ถา 0 2 แลวสมการ cos + 3 sin = 1 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

168. ถา 0 แลวสมการ 3 sin

cos1 จะมค าตอบทงหมดกคา

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 169. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin4 – sin2 + 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 3 2. 5 3. 6 4. 8 170. ถา 0 2 แลวสมการ sin 3.cos – cos 3.sin = cos จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 171. ถา 0 2 แลวสมการ sin 2 = 2

1 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 172. ถา 0 2 แลวสมการ sin 5 + sin 3 = 0 จะมค าตอบทงหมดกคา 1. 3 2. 5 3. 6 4. 8

8.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต

หาคาไดเลย 173. arccos ( 2

1 ) + arcsin ( 23 ) + arctan ( 3 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2π 3. 4. 2

174. arcsin (1) + arcsin (0) + arcsin (–1) + arccos (1) + arccos (0) + arccos (–1) มคาเทากบขอใด 1. 0 2. 3. 2 4. 4


69

175. arcsin (– 23 ) – arctan (– 3 ) + arccos (– 2

2 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 43 3. 4

5 4. 47

176. arcsec 2 + 2 arccot (1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 6

4 3. 65 4. 6

7 177. arcsec 2 + 2 arccot (1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 6

4 3. 65 4. 6

7 178. arcsec (–2) + arccosec (–

32 ) – arccot (– 3 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2π 3. 4. 2

179. tan ( arccos 23 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 21 3.

31 4. 1

180. sin (arcsin 21 + arcsin 23 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 21 3. 2

3 4. 1

181. tan [ arcsin ( 21 ) ] มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. – 2

1 3. –3

1 4. –1

182. arccos ( sin ( 6π ) ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 43 3. 3

2 4. 65


70

ใช 183. คาของ cosec (arctan 2

1 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. 2

5 3. 5

2 4. 5

184. คาของ sin ( arccot 43 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 13

5 2. 1312 3. 12

5 4. 54

185. คาของ cot

3

2arcsin มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. – 2

14 3. –142 4. – 14

186. คาของ sin [arctan (–3)] มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –3

2 2. – 10103 3. – 3 10 4. – 10

187. คาของ ) )4

3( arccot21 (sin มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 21 2. 2

5 3. 5

2 4. 5

188. คาของ )()( 53arcsin 2 cos 2 43arctan

sin มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 256

101 2. 256

31 3. 257

101 4. 257

31

189. คาของ ] )43(arctan 135[arcsin sec มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 63

65 2. – 6516 3. 65

16 4. 6365

190. คาของ ) 512arctan 53 arccos (sin มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 63

65 2. – 6516 3. 65

16 4. 6365


71

sin ( arcsin x ) = x

191(แนว En) cos arccos (– 21 ) + sin arccosec 2 + tan arccot 3 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 2

1 3. 2 4. 3

192(แนว En) tan arc tan (–1) + cos (arcsec 2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 3

1 2. – 21 3. 2

1 4. 31

193(แนว En) cos arc sin 54 + sin arc cos 2


1. – 1011 2. – 10

9 3. 109 4. 10

11

194(แนว En) cos (arccos 5 ) + sin (arccosec 4

1 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –9 2. 0 3. 9 4. หาคาไมได

195(แนว En) cos 3 – arc cos x + sin 2 + arc sin x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – x 2. 0 3. x 4. หาคาไมได 196(แนว En) cos ( 2π + arcsin 32 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 3

4 2. – 32 3. 3

2 4. 34

197. คาของ sin( 2π + arccos x ) . cos ( – arcsin x) ตรงกบขอใด

1. x 2x1 2. –x 2x1 3. 1 4. 2x

198. คาของ )( 53arcsin 2 cos มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 257 2. – 25

6 3. 256 4. 25

7

199. คาของ sin [ arccos 53 + arcsin (– 5

3 ) ] มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 25

7 2. – 256 3. 25

6 4. 257


72

200. คาของ

52arccos

21arcsin cos มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 10

13 2. 10

13 3. – 101 4.

101

arcsin x + arcsin x = 90

201(แนว En) tan 21 (arcsin 54 + arccos 54 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

202(แนว En) sec 21 (arctan 5

3 + arccot 53 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 1 + 2 4. 2 + 3 203(แนว En) ถา arccos x – arcsin x = 2

π แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 1 4. 2

arctan A + arctan B = arctan AB 1B A

204(แนว A–Net) sec (arctan 2 + arctan 3) เทากบขอใดตอไปน 1. – 2 2. –

21 3.

21 4. 2

8.9 กฏของโคไซนและไซน

205. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 42o , B = 63o และ b = 15 แลว a มคาเทากบขอใด 1. 11 2. 11 3 3. 18 4. 18 3 206. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 100o , C = 34o และ a = 24 แลว b มคาเทากบขอใด 1. 11 2. 11 3 3. 18 4. 18 3


73

207. ในรปสามเหลยม ABC ถา C = 30o , b = 2.4 และ c = 1.2 แลว มม B มขนาดเทาใด 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o 208. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 45o , C = 60o และ b = 20 แลว c มคาเทากบขอใด

1. 1320

2. 1320

3. 13620

4. 13620

209. ในรปสามเหลยม ABC ถา B = 65o , a = 4 และ c = 8 แลว b มคาเทากบขอใด 1. 6.5 2. 7.3 3. 8.4 4. 9.3 210. ในสามเหลยม ABC ม B = 30o , c = 150 และ b = 75 แลว มม A กางกองศา 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o 211. ในสามเหลยม ABC ม a = 3.9 , b = 5.2 และ c = 6.5 แลว มม C กางกองศา 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o 212. ในรปสามเหลยม ABC ถา a = 15 , b = 20 และ C = 30o แลว พนทของรปสาม เหลยม ABC มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 50 2. 75 3. 80 4. 86

213. ถาสามเหลยม ABC มมม BAC = 45 มม ACB = 60 และดาน AC ยาว 20 นว แลว พนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 132300

2.

133300

3.

132200

4.

133300

8.10 กำรหำระยะทำงและควำมสง

214(แนว มช) สามเหลยมรปหนงมฐานยาว 6 เซนตเมตร มมทฐานมมหนงมขนาดเปน 120 องศา ดานทอยตรงขามมมทฐานทก าหนดใหยาว 14 เซนตเมตร ความยาวของดานทเหลอมคาเทากบ กเซนตเมตร


74

215. รปสเหลยมดานขนานรปหนงมขนาดของมมๆ หนงเทากบ 135o ดานประกอบมมนยาว 5 และ 10 เซนตเมตร เสนทแยงมมเสนสนของรปสเหลยมนยาวเทากบขอใด (เซนตเมตร)

1. 25025 2. 25025 3. 250125 4. 250125 216. รปสามเหลยมหนาจวซงมฐานยาว 60 หนวย และขนาดของมมยอดเปน 30 องศา แลว ความยาวของเสนรอบรปของสามเหลยมนมคาเทากบขอใด 1. ) 26( 1 2. ) 26( 1 3. 60 ) 26( 1 4. 60 ) 26( 1 217. ชายคนหนงยนหางจากตก 20 เมตร มองเหนโคนเสาธงซงปกอยบนยอดตกเปนมมเงย 45o และปลายเสาธงเปนมมเงย 60o ความสงของเสาธงมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 11.58 2. 12.64 3. 13.26 4. 14.64 218. ชายคนหนงยนอยทรมเขอนซงสงจากระดบน าทะเล 100 เมตร มองเหนเรอสองล าทอดสมอ อยในทะเลเปนมมกม 30o และ 60o ตามล าดบ จากเสนสายตาระดบเดยวกน เรอทงสองล า นนอยหางจากกนเทากบกเมตร 1. 97.82 2. 107.68 3. 115.47 4. 120.22


75

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 1. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 3. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 1. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 2. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 3. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 4. 58. ตอบขอ 2. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 1. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 1. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 3. 69. ตอบขอ 1. 70. ตอบขอ 2. 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 3.

73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 3. 77. ตอบขอ 4. 78. ตอบขอ 4. 79. ตอบขอ 1. 80. ตอบขอ 2. 81. ตอบขอ 3. 82. ตอบขอ 1. 83. ตอบขอ 1. 84. ตอบขอ 1. 85. ตอบขอ 1. 86. ตอบขอ 3. 87. ตอบขอ 3. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 2. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 2. 93. ตอบขอ 4. 94. ตอบขอ 1. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 4. 97. ตอบขอ 4. 98. ตอบขอ 3. 99. ตอบขอ 2. 100. ตอบขอ 2. 101. ตอบขอ 1. 102. ตอบขอ 2. 103. ตอบขอ 4. 104. ตอบขอ 4. 105. ตอบขอ 4. 106. ตอบขอ 1. 107. ตอบขอ 4. 108. ตอบขอ 4.


76

109. ตอบขอ 4. 110. ตอบขอ 2. 111. ตอบขอ 4. 112. ตอบขอ 2. 113. ตอบขอ 4. 114. ตอบขอ 3. 115. ตอบขอ 2. 116. ตอบขอ 4. 117. ตอบขอ 3. 118. ตอบขอ 1. 119. ตอบขอ 1. 120. ตอบขอ 4. 121. ตอบขอ 4. 122. ตอบขอ 3. 123. ตอบขอ 4. 124. ตอบขอ 2. 125. ตอบขอ 4. 126. ตอบขอ 3. 127. ตอบขอ 2. 128. ตอบขอ 3. 129. ตอบขอ 3. 130. ตอบขอ 1. 131. ตอบขอ 1. 132. ตอบขอ 2. 133. ตอบขอ 1. 134. ตอบขอ 1. 135. ตอบขอ 4. 136. ตอบขอ 3. 137. ตอบขอ 4. 138. ตอบขอ 2. 139. ตอบขอ 4. 140. ตอบขอ 4. 141. ตอบขอ 2. 142. ตอบขอ 4. 143. ตอบขอ 3. 144. ตอบขอ 4. 145. ตอบขอ 2. 146. ตอบขอ 3. 147. ตอบขอ 4. 148. ตอบขอ 4. 149. ตอบขอ 2. 150. ตอบขอ 3. 151. ตอบขอ 4. 152. ตอบขอ 3. 153. ตอบขอ 1. 154. ตอบขอ 1. 155. ตอบขอ 1. 156. ตอบขอ 2. 157. ตอบขอ 2. 158. ตอบขอ 4. 159. ตอบขอ 3. 160. ตอบขอ 4. 161. ตอบขอ 1. 162. ตอบขอ 1. 163. ตอบขอ 4. 164. ตอบขอ 1. 165. ตอบขอ 2. 166. ตอบขอ 1. 167. ตอบขอ 2. 168. ตอบขอ 4. 169. ตอบขอ 3. 170. ตอบขอ 4. 171. ตอบขอ 4. 172. ตอบขอ 4. 173. ตอบขอ 3. 174. ตอบขอ 4. 175. ตอบขอ 2. 176. ตอบขอ 3. 177. ตอบขอ 3. 178. ตอบขอ 2. 179. ตอบขอ 3. 180. ตอบขอ 4. 181. ตอบขอ 3. 182. ตอบขอ 3. 183. ตอบขอ 4. 184. ตอบขอ 4. 185. ตอบขอ 2. 186. ตอบขอ 2. 187. ตอบขอ 3. 188. ตอบขอ 3. 189. ตอบขอ 4. 190. ตอบขอ 2. 191. ตอบขอ 1. 192. ตอบขอ 2. 193. ตอบขอ 4. 194. ตอบขอ 4. 195. ตอบขอ 2. 196. ตอบขอ 2. 197. ตอบขอ 2. 198. ตอบขอ 1. 199. ตอบขอ 4. 200. ตอบขอ 4. 201. ตอบขอ 2. 202. ตอบขอ 1. 203. ตอบขอ 1. 204. ตอบขอ 4.

205. ตอบขอ 1. 206. ตอบขอ 3. 207. ตอบขอ 4. 208. ตอบขอ 4. 209. ตอบขอ 2. 210. ตอบขอ 3. 211. ตอบขอ 4. 212. ตอบขอ 2. 213. ตอบขอ 4. 214. ตอบ 10 215. ตอบขอ 3. 216. ตอบขอ 3. 217. ตอบขอ 4. 218. ตอบขอ 3.

ตวสบายคณต เลม 3 http://www.pec9.com บทท 9 เวกเตอรในสามมต

1

บทท 9 เวกเตอรในสามมต

9.1 ระบบพกดฉากสามมต

รปภาพตอไปน เปนรปแสดงพกดฉากสามมตตามกฏมอขวา

แกน +Z จะมทศไปตามนวหวแมมอ แกน +X จะมทศตามหนามอ แกน +Y จะมทศมาตามแขนขวา ดงรป จด ( x , y , z ) คอ จดซงอยหางจากจด O มาตามแนวแกน X เทากบ x หนวย

และอยหางจากจด O มาตามแนวแกน Y เทากบ y หนวย และอยหางจากจด O มาตามแนวแกน Z เทากบ z หนวย

ฝกท า. จงเขยนจด A (2 , 2 , –1) , B (1 , –3 , 2 ) , C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพกดฉากสามมต การหาระยะระหวางจด 2 จด บนพกดสามมต

หากจด ( x1 , y1 , z1) และ ( x2 , y2 , z2) เปนจดซงอยบนพกด 3 มต ระยะหาง ระหวางจดทงสองสามารถหาคาไดจากสมการ

d = 2)2z1(z2)2y1(y2)2x1(x

เมอ d คอระยะหางระหวางจดทงสองนน

Z

Y

X

O

( x , y , z )

Z

Y

X

3

3 –3


2

1. ระยะทางระหวางจด A ( 1 , 0 , 3 ) และ B (–1 , 3 , 2 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 14 4. 20

9.2 เวกเตอร

ปรมาณเวกเตอร คอปรมาณทตองบอกทงขนาด และทศทางจงจะสมบรณ ปรมาณสเกลลาร คอปรมาณทบอกขนาดเพยงอยางเดยวกสมบรณได

โดยทวไปแลวเราจะใชลกศรเขยนแทนเวกเตอรทงขนาดและทศทางของเวกเตอร และใชอกษรแทนจดเรมตนกบจดสดทายของเวกเตอร และอาจใชอกษรจดเรมตนกบจดสดทายนนมาเขยนเปนชอของเวกเตอรกได นอกจากนการเรยกชอของเวกเตอรนน อาจใชอกษรเพยงตวเดยวแทนชอของเวกเตอรกไดดงรป AB อานวา "เวกเตอรเอบ" CD อานวา "เวกเตอรเอบ" u อานวา "เวกเตอรย" v อานวา "เวกเตอรว"

ส าหรบความยาวของเวกเตอรใดๆ อาจเขยนแทนดวย ไดเชน AB แทนความยาวของเวกเตอร AB

u แทนความยาวของเวกเตอร u เวกเตอรศนย ( Zero Vector ) คอเวกเตอรทมขนาดเทากบ 0 และมทศใดๆ กได เขยนแทนดวยสญลกษณ 0

ฝกท า. จงเตมค าลงในชองวางตอไปนใหถกตอง 1) PQ อานวา ..............................................

PQ คอ ..............................................

2) u อานวา .............................................. u คอ ..............................................

P

Q

u

A

B C

D u

v


3

นยามเบองตนของเวกเตอร นยาม 1 u และ v จะขนานกนกตอเมอ u และ v มทศเดยวกนหรอตรงกนขาม

นยาม 2 u และ v จะเทากนกตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากนและมทศเดยวกน นยาม 3 นเสธของ u คอเวกเตอรทม ขนาดเทากบขนาดของ u แตมทศทางตรงกน ขามกบขนาดของ u เขยนแทนดวย – u

โปรดสงเกต 1) u จะขนานกบ – u เสมอ 2) ปกตแลว u – u ยกเวน u = 0 จะไดวา u = – u

3) – AB = BA – DC = CD PQ = – QP

ST = – TS

2. u จะขนานกบ v กตอเมอ 1. u และ v มความยาวเทากน 2. u และ v มทศเดยวกน 3. u และ v มทศตรงกนขาม 4. ขอ 2. และขอ 3. ถก 3. ขอใดตอไปนถกตอง 1. ถา u ขนานกบ v แลว u = v 2. ถา u มทศเดยวกบ v แลว u = v 3. ถา u ยาวเทากบ v แลว u = v 4. ถา u = v แลว u มทศเดยวกบ v และ u ยาวเทากบ v


4

4. ขอใดตอไปนถกตอง 1. u มทศเดยวกบ – u 2. u มทศตงฉากกบ – u 3. u – u เสมอ 4. AB = – BA

ฝกท า. ให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน ดงรป

จงหาเวกเตอรทเทากบเวกเตอรทให ตอไปน (1) AB (2) BC (3) AE

(4) ED (5) – BC (6) – AE การบวกเวกเตอร

นยาม ถาจดปลายของ u เปนจดเดยวกบจดตงตนของ v แลว u + v คอเวกเตอรซงมจดตงตนเปนจดเดยวกบจดตงตนของ u และมจดสนสดเปนจดจดเดยวกบจดสนสดของ v ตวอยาง คณสมบตของการบวกเวกเตอร

ให u , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ แลว (1) u + v เปนเวกเตอรในระนาบเดยวกบ u , v

(2) u + v = v + u (3) ( u + v ) + w = u + ( v + w )

(4) 0 + u = u และ u + 0 = u (5) u + (– u ) = 0 และ (– u ) + u = 0 (6) ถา u = v แลวจะได u + w = v + w (7) u k ไมมความหมาย เมอ k เปนสเกลลาร เชน u + 8 ไมมความหมาย


5

การลบเวกเตอร นยาม ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ แลว u – v และ u + (– v ) จะเหนวาการลบเวกเตอร กคอการบวกดวยนเสธของ เวกเตอรนนๆ นนเอง

ฝกท า. จงเขยนเวกเตอร PQ ใหอยในรปผลบวก ลบ ของเวกเตอร a , b หรอ c 1. 2. 3. 4.

PQ =................ PQ =................ PQ =................ PQ =................

ฝกท า. จากรปจงเขยนเวกเตอรตอไปนในรปของ เวกเตอร a , b , c , d , e หรอ f BD = CA = DB = AF = FA = AE = EA =

5. จากรปหกเหลยมดานเทามมเทา ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AB + BC = AC 2. AE + ED = AB + BD 3. AF + FE + ED = AC + CD 4. AC + CD + DE = AF + FD

P

Q

a

b a

b

c a

b

c

P

Q

a

b P

Q

P Q

F C

E D

A B


6

6. ก าหนดจด A , B , C , D , E และ F บนระนาบ จงพจารณาขอความตอไปน (ก) DC + BA + CB + AD = 0 (ข) AB + DE + BC + EF + CA + FD = 0 (ค) AB – DC + BC – FE + DE – AF 0

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอความ (ก) – (ค) ถกเพยง 1 ขอ 2. ขอความ (ก) – (ค) ถกเพยง 2 ขอ 3. ขอความ (ก) – (ค) ถกทกขอ 4. ขอความ (ก) – (ค) ผดทกขอ

การคณเวกเตอรดวยสเกลลาร

นยาม ให a เปนจ านวนจรงและ u เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง a และ u เปนเวกเตอรทเขยนแทนดวย a u โดยท

1) ถา a > 0 แลว a u จะมขนาดเทากบ a u และมทศทางเดยวกบ u

2) ถา a < 0 แลว a u จะมขนาดเทากบ a u และมทศตรงกนขามกบ u

3) ถา a = 0 แลว a u = 0

คณสมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลาร ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ a และ b เปนจ านวนจรง แลว (1) a u เปนเวกเตอร

(2) a (b u ) = ( a b) u = b (a u ) (3) (a + b) u = a u + b u

(4) a ( u + v ) = a u + a v (5) 1 u = u


7

ฝกท า. ก าหนด u ดงรป จงหาเวกเตอรตอไปน

1. 2 u 2. –3 u 3. 0 u

ค าชแจง จงใชขอมลตอไปนส าหรบ ตอบค าถาม 3 ขอถดไป

จากรป ก าหนด PR = 3 u RS = v 7. QR เทากบขอใดตอไปน 1. –3 u 2. –2 u 3. 2 u 4. 3 u

8. PS เทากบขอใดตอไปน 1. 3 u + v 2. 2 u + v 3. –3 u – v 4. –2 u – v

9. SQ เทากบขอใดตอไปน 1. 3 u + v 2. 2 u + v 3. –3 u – v 4. –2 u – v

u

v

P

3 u

S Q

R


8

10. ในรป ABC เสน AD เปนเสนมธยฐาน BA = a และ BD = b จงหาวา CA คอขอใดตอไปน 1. a 2. a – b 3. a – 2 b 4. a + 2 b ค าชแจง จงใชขอมลตอไปนส าหรบตอบค าถาม 6 ขอถดไป จากรป ก าหนดให AB = u , AC = v P และ Q เปนจดซง AP = 3 u , AQ = 2 v

11. BC เทากบขอใดตอไปน 1. u + v 2. u – v 3. v – u 4. –2 u

12. PB เทากบขอใดตอไปน 1. u + v 2. u – v 3. v – u 4. –2 u

13. PQ เทากบขอใดตอไปน 1. 3 u + 2 v 2. 3 u – 2 v 3. –3 u + 2 v 4. –3 u – 2 v


9

14. PC เทากบขอใดตอไปน 1. 3 u + v 2. 3 u – v 3. –3 u + v 4. –3 u – v 15. BD + DC + CQ เทากบขอใดตอไปน 1. u + 2 v 2. u – 2 v 3. – u + 2 v 4. – u – 2 v 16. AM , M เปนจดกงกลางของดาน BC คอเวกเตอรในขอใดตอไปน

1. u + v 2. u – v 3. 2 uv 4. 2

uv

ค าชแจง จงใชขอมลตอไปนส าหรบตอบค าถาม 2 ขอถดไป จากรป ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน O เปนจดกงกลางของเสนทแยงมม BD ก าหนด AB = u , AD = v 17. AO เทากบขอใดตอไปน

1. u + v 2. u – v 3. 2 uv 4. 2

uv

O

D C

A B


10

18. BO เทากบขอใดตอไปน

1. u + v 2. u – v 3. 2 uv 4. 2

uv

19. จากรป DC : BD = 1 : 2 แลว AD คอเวกเตอรในขอใดตอไปน

1. 3 2 vu 2. 3

2 vu

3. 2 uv 4. 2

uv

20. ก าหนดให C เปนจดบน AB และ C อยหางจากจด A เปนระยะทาง 3

2 ของระยะ AB แลว w คอเวกเตอร ในขอใดตอไปน 1. w = u + 3

2 v 2. w = 31 u + 3

2 v 3. w = 3

2 u – 31 v 4. w = – 3

2 u – 31 v

21. AB เปนสวนของเสนตรง P เปนจดใดๆ ทไมอยบน สวนของ AB แบงครง AB ทจด C ลาก PA , PC และ PB ขอความตอไปนขอทถกคอขอใด 1. PC = 4 ( PA – PB ) 2. PC = 2 ( PA + PB ) 3. 2 PC = ( PA + PB ) 4. 4 PC = ( PA + PB )


11

22. ก าหนด ABCD เปนรปสเหลยมดานขนานเสนทแยงมม AC และ BD ตดกนทสด O ลาก OE แบง AB ท E ออกเปน AE : EB = 2 : 3 และ AB = u , AD = v แลว OE คอเวกเตอรใน ขอใดตอไปน 1. 10

1 u + 21 v 2. 10

1 u – 21 v

3. – 101 u + 2

1 v 4. – 101 u – 2

1 v

9.3 เวกเตอรในระบบพกดฉาก 9.3.1 เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

ในระบบพกดฉากสองมตนน เราอาจเขยนสญลกษณแทนเวกเตอรใดๆ ในรป

y

x

โดยท x คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวนอน ถา x มคาเปนบวกแสดงวามทศไปทางขวามอ ถามคาเปนลบแสดงวามทศไปทางซายมอ และ y คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวดง ถา y มคาเปนบวกแสดงวามทศขนไปดานบน ถามคาเปนลบแสดงวามทศลงไปทางดานลาง ตวอยาง

D C

B

O

E A


12

ถาเวกเตอร AB มจดเรมตนอยทจด A (x1 , y1) และจดสดทายอยท B (x2 , y2) จะไดวา

AB =

1 y2y1x2x

ฝกท า. จงวาดรปคราวๆ ของเวกเตอรตอไปน

1.

3

2 2.

1

4 3.

4

2 4.

5

2

23. ก าหนดจด A (1 , 2) และ B (3 , 4) แลว AB เทากบขอใดตอไปน

1.

3

2 2.

1

4 3.

2

2 4.

2

2

24. ก าหนดจด C (–2 , –3) และ D (5 , 6) แลว CD และ DC เทากบขอใดตอไปนตามล าดบ

1.

9

7 ,

9

7 2.

9

7 ,

9

7 3.

9

7 ,

9

7 4.

9

7 ,

9

7

25. ก าหนดจด A (1 , 2) , B (2 , 3) และ C (5 , 6) แลว AB + BC เทากบขอใดตอไปน

1.

4

2 2.

4

4 3.

4

4 4.

2

4

A (x1 , y1)

B (x2 , y2)


13

26(แนว มช) เวกเตอรทมจดเรมตนท (0 , 0) มความยาว 4 หนวย และท ามม –30o กบแกน X คอขอใด

1.

2

2 2.

2

32 3.

32

2 4.

2

32

9.3.2 เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต จะเขยนอยในรป

z

y

x

เมอ x คอความยาวตามแนวแกน X จากจดเรมตน

y คอความยาวตามแนวแกน Y จากจดเรมตน

z คอความยาวตามแนวแกน Z จากจดเรมตน

ถา A ( x1 , y1 , z1) และ B ( x2 , y2 , z2) เปนจดตงตนและจดปลายของ AB ใดๆ แลว

จะไดวา AB =

1z2z1y2y1x2x

27. ให P มพกดเปน (3 , 4 , –4 ) และ Q มพกดเปน (5 , 0 , 7 ) แลว PQ คอขอใดตอไปน

1.

11

4

2

2.

11

4

2

3.

11

4

2

4.

11

4

2


14

บทนยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน

d

c

b

a

กตอเมอ a = c และ b = d

f

e

d

c

b

a

กตอเมอ a = d , b = e และ c = f การบวกเวกเตอร

db

ca

d

c

b

a

fc

eb

da

f

e

d

c

b

a

การลบเวกเตอร

db

ca

d

c

b

a

fc

eb

da

f

e

d

c

b

a

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

b

a

b

a

เมอ เปนจ านวนจรงใดๆ

c

b

a

c

b

a

เวกเตอรศนย

เวกเตอรศนยคอ

0

0 เวกเตอรศนยคอ

0

0

0

28. เวกเตอรทก าหนดตอไปน เทากบเวกเกตอรในตวเลอกใด

ก)

32 +

54 ข)

89 –

87 ค)

43 + 2

43

1. ก)

86 ข)

1616 ค)

00 2. ก)

86 ข)

02 ค)

43

3. ก)

86 ข)

1616 ค)

00 4. ก)

86 ข)

0

2 ค)

43


15

29. ก าหนดให

2

4

3

b ,

4

2

1

a แลว a + 2 b เทากบเวกเตอรขอใดตอไปน

1.

8

10

7

2.

6

6

4

3.

8

10

7

4.

6

6

4

30. ก าหนดให CD =

1

3

และ C (2 , 3) แลวพกดของจด D เทากบขอใดตอไปน

1. (1 , 4) 2. (–1 , 4) 3. (1 , –4) 4. (–1 , –4)

31. ก าหนดให EF =

52 และ F (3 , –4) แลวพกดของจด E เทากบขอใดตอไปน

1. (5 , 1) 2. (–5 , 1) 3. (5 , –1) 4. (–5 , –1)

32. ก าหนดให A(–1 , 3) , B (x , y) , C (4 , 6) และ AB =

45

แลว BC เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน

1. BC = 1

10

2. BC =

110

3. BC =

110 4. BC =

110


16

33(แนว มช) ถา A (4 , –1) , B (m , m) และ C(1 , 2) เปนจด 3 จด ในระบบแกนมมฉาก และ ACa AB เมอ a เปนจ านวนจรง ซง a 0 แลว m เทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 2. 43 3. 3

2 4. 23

9.3.3 เวกเตอรหนงหนวย

เวกเตอรหนงหนวย คอเวกเตอรทมความยาวหนงหนวยไมวาจะมทศใดกตาม

ในระบบพกดฉากสองมตเวกเตอรหนงหนวยทควรรจกไดแก i =

01 และ j =

10

ควรทราบวา

ba = a i + b j

ในระบบพกดฉากสามมต เวกเตอรหนงหนวยทควรรจกไดแก

i =

0

0

1

, j =

0

1

0

และ k =

1

0

0

ควรทราบวา

c

b

a

= a i + b j + c k

ฝกท า. ก าหนด i =

01 และ j =

10 จงเขยนเวกเตอรตอไปนในรป i และ j

1)

32 = 2)

4 3

= 3)

5 4 =

4)

03 = 5)

20 = 6)

4321

=


17

34. AB มจดเรมตนท A (1 , 2 , 0) และ จดปลายท B (–2 , 3 , 1) แลว AB เทากบเวกเตอร ขอใดตอไปน 1. –3 i + j + k 2. 3 i – j – k 3. –3 i + j – k 4. 3 i – j + k

35. OA =

41 , OB =

23 , O เปนจดก าเนดในระบบแกนมมฉาก แลว AB เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน 1. –2 i + 2 j 2. 2 i – 2 j 3. 2 i + 2 j 4. –2 i – 2 j 36. ก าหนดให (b i + 4 j ) + (5 i + 6 j ) = a (4 i + 5 j ) ดงนน a และ b มคาเทากบขอใด

1. a = 2 , b = 3 2. a = 3 , b = 2 3. a = 3 , b = 5 4. a = 5 , b = 3

37. ให p = 2 i – 3 j , q = 1 i + 2 j และ a = 9 i + 4 j แลว a เทากบเวกเตอร ขอใดตอไปน 1. p + q 2. p + 5 q 3. 2 p + 5 q 4. 5 p + 2 q


18

38. ก าหนดให OA =

100 ; OB =

2218 และ P เปนจดๆ หนงบน AB และ

AP : PB = 1 : 3 แลว OP เทากบขอใดตอไปน

1. 12 i + 18 j 2 . j 715 i 7

54 3. 3 i + 17 j 4. j 13 i 29

9.3.4 เวกเตอรทขนานกน

ถา

ba ขนานกบ

dc จะไดวา b

a = dc

และ ถา

c

b

a

ขนานกบ

f

e

d

จะไดวา a : b : c = d : e : f

ฝกท า. เวกเตอรตอไปนเวกเตอรใดบางทขนานกน

21

,

12

,

48

,

39

,

31

,

07

,

08

,

42

ฝกท า. เวกเตอรตอไปนเวกเตอรใดบางทขนานกน

2

3

0

,

2

1

1

,

2

4

2

,

2

3

0

,

1

2

1


19

39. ก าหนดให u = a i – 2 j และ v = 2 i – 3 j ถา u ขนานกบ v แลว a มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 2. 43 3. 3

2 4. 23

40. ก าหนดให u = a i + 3 j + b k , v = 2 i – 2 j + k ถา u ขนานกบ v แลว 2 a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –6 2. – 2

15 3. 6 4.

9.3.5 ขนาดของเวกเตอร

ก าหนด ความยาวของ u เขยนแทนดวย u

และ ถา u =

ba แลว u =

b

a

= 2 b 2a

ถา u =

c

b

a

แลว u =

c

b

a

= 2c 2 b 2a

ฝกท า. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน

1.

31

12

65

43

, , ,

2. AB เมอพกดของ A และ B คอ (1 , 2) และ (5 ,7) ตามล าดบ


20

41. ขนาดของเวกเตอร

3

1

1


1. 5 2. 10 3. 11 4. 13

42. ถา u = a i + 12 j และ u = 13 แลว a เทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 5 3. 10 4. 10 43(แนว En) ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมม D เปนจดบนดาน AB ซงแบง AB เปนอตราสวน

AD : DB = 3 : 2 และ CA = 3 i – 2 j และ CB = 2 i + 3 j แลว 5 CD เทากบขอใดตอไปน

1. 9 2. 11 3. 13 4. 14

ควรทราบเพมเตม

เวกเตอรทมความยาว k หนวย = k u

u


u


u

และมทศทางเดยวกบ u

และมทศทางตรงขามกบ u

และขนานกบ u


21

44. ถาเวกเตอร AB มจดเรมตนท A (–2 , 1) และมจดสนสดท B (1 , 2) แลวเวกเตอรซงยาว 40 หนวย และมทศทางเดยวกบเวกเตอร AB คอขอใดตอไปน

1.

6

2 2.

6

2 3.

2

6 4.

2

6

45. เวกเตอรทมขนาด 3 หนวย และมทศตรงกนขามกบเวกเตอร

42

คอขอใดตอไปน

1. 206 i +

2012 j 2.

206 i –

2012 j

3. –206 i +

2012 j 4. –

206 i –

2012 j

46(แนว มช) เวกเตอรทมขนาด 4 หนวย และขนานกบผลบวกของเวกเตอร

a =

32

และ b =

0 1 คอเวกเตอรขอใดตอไปน

1.

322

2.

322

3.

322

4. ขอ 1 และ 2.

47. AB มจดเรมตนท A (1 , 2 , 0) และมจดปลายท B (–2 , 3 , 1) แลวเวกเตอรหนงหนวยทม ทศทางเดยวกบ AB คอขอใดตอไปน 1. 11

1 ( 3 i – j – k ) 2. 111 ( 3 i – j – k )

3. 111 ( –3 i + j + k ) 4. 11

1 ( –3 i + j + k )


22

9.3.6 โคไซนแสดงทศทาง

ถา u =

c

b

a

โคไซนแสดงทศทางของ u คอจ านวนสามจ านวนเรยงล าดบดงน

au

,

bu

,

bu

โดยท u 0

48. ก าหนดให a = 3 i + 4 j + 5 k โคไซนแสดงทศทางของ a คอขอใดตอไปน 1. 2

3 , 24 , 2

5 2. 53 , 54 , 1

3. 253 , 25

4 , 255 4. 2

3 , 2 , 25

เวกเตอรสองเวกเตอร จะมทศทางเดยวกน กตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศทางตรงกนขาม ตอเมอโคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจ านวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

ฝกท า. จงตรวจสอบวาเวกเตอรตอไปน คใดมทศเดยวกน ก. เวกเตอร PQ มจดเรมตนท P ( 1 , 2 , 3 ) และ จดสนสดท Q (2 , –3 , 5) ข. เวกเตอร OR ซงมจดเรมตนทจดก าเนดและจดสนสดท R (–3 , 15 , –6 ) ค. a = 2 i – 10 j + 4 k

9.4 ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงสเกลลารของ u และ v เขยนแทนดวย v u

ถา u =

b

a และ v =

y

x

จะไดวา u v = a x + b y

ถา u =

c

b

a

และ v =

z

y

x

จะไดวา u v = a x + b y + c z


23

49. ถา u = j 3 i 2 และ v = j 4 i 3 แลว u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

50. ก าหนดให

2

1

4

a และ

3

2

1

b แลว a . b เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

ฝกท า. ให u =

43

, v =

12

และ w =

31

จงหาคาของ

1) v u 2) u u 3) w v u 4) w v u 5) w v u

สมบตทส าคญของผลคณเชงสเกลาร 1. ให u , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในสองมต หรอสามมต และ a เปนสเกลารจะไดวา 1.1 u . v = v . u

1.2 w. uv. u )wv( . u 1.3 )v.(a u v . )u(a )v . ua( 1.4 0 u 0 .

1.5 2 u u . u 1.6 k . kj . ji . i = 1 0 k . jk . ij . i

2. ถา เปนมมระหวาง u และ v ซง 0 180o แลว u . v = vu cos ( มมระหวางเวกเตอร หมายถงมมทไมใชมมกลบ ซงมแขนของมมเปนรงสทขนาน และม

ทศทางเดยวกนกบเวกเตอรทงสอง) 3. ถา u และ v เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย u ตงฉากกบ v กตอเมอ u . v = 0


24

51. ก าหนดให u เปนเวกเตอรทมความยาว 12 หนวย และ v เปนเวกเตอรซงยาวหนง หนวย และ v ท ามม 60o กบ u แลว u v เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10 52(แนว มช) ก าหนดให A (2 ,–1) , B (–2 , 2) เปนจด 2 จด และ C เปนอกจดหนงทท าให AC เปนเวกเตอรหนงหนวย AC ท ามม 60o กบ AB แลว AC AB เทากบขอใด 1. 0 2. 2.5 3. 5 4. 10

53. ก าหนดให u = i + 3 j และ v = – i + 2 j แลวมมระหวาง u กบ v เทากบขอใด 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o

54. มมระหวางเวกเตอรตอไปน u = 3 i + 2 j และ v = 9 i + 6 j เทากบขอใดตอไปน 1. 0o 2. 30o 3. 60o 4. 90o

55. มมระหวางเวกเตอร k4j2 iv และ kji2 u เทากบขอใดตอไปน 1. 0o 2. 30o 3. 60o 4. 90o


25

56. เวกเตอรในขอใดตอไปน เปนเวกเตอรทตงฉากซงกนและกน

1.

2

3 ,

3

2 2.

3

1 ,

6

2 3.

2

2

1

,

1

2

2

4.

2

2

2

,

2

1

2

57. คา a ทท าใหเวกเตอร a1

ตงฉากกบเวกเตอร

6


1. 6 2. 61 3. –6 4. – 6

1

58(แนว มช) ก าหนดให j4 i3 A เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ A คอขอใดตอไปน

1.

3/54/5

2.

3/54/5 3.

3/54/5

4. ขอ 1. และขอ 2.

59(แนว En) ก าหนดให u = a i + b j โดย a > 0 ถา u ตงฉากกบเวกเตอร – i + 2 j แลว มมระหวางเวกเตอร u กบเวกเตอร j i3 (มมแหลม) คอขอใดตอไปน 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o


26

ควรทราบเพมเตม

1) 2vu = 2u + 2v + 2 u v

2) 2vu = 2u + 2v – 2 u v

3) 2vu + 2vu = 2 2u + 2 2v

4) 2vu – 2vu = 4 u v

5) ( u + v ) ( u – v ) = 2u – 2v

60. ก าหนดให u = 13 , v = 2 และ vu = 14 คาของ v u คอขอใดตอไปน 1. –26 2. 26 3. –11.5 4. 11.5 61. ก าหนดมมระหวาง u กบ v เปน 60o และ 5 u , 8 v แลว v u มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 13 3. 113 4. 129 62. ก าหนดมมระหวาง u กบ v เปน 60o และ 5 u , 8 v แลว v u ม คาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 13 3. 113 4. 129 63(แนว มช) ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอร ถา u = 2 , v = 3 และ vu = 7 มมระหวางเวกเตอร u และ v คอขอใดตอไปน 1. 30o 2. 60o 3. 120o 4. 150o


27

64. ก าหนดให u = a , v = b แลวคาของ 2 vu + 2 vu ตรงกบขอใด

1. 2 b 2a 2. 22b 22a 3. 2 b 2a 4. 22b 22a

65(แนว En) ถา vu = 5 2 และ vu = 26 แลว v u เทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 6 3. 8 4. 12 66. ก าหนดให u = 4 , v = 3 และ u ตงฉากกบ v แลว vu คอขอใดตอไปน 1. 3 2. 5 3. 10 4. 12

67. ก าหนดให u = 15 , v = 8 และ u ตงฉากกบ v แลว vu คอขอใดตอไปน 1. 13 2. 15 3. 17 4. 23


28

9.5 ผลคณเชงเวกเตอร

บทนยาม ผลคณเชงเวกเตอรของเขยนแทนดวย u x v อานวาเวกเตอรยครอสเวกเตอรว

ถา

3a2a1a

u และ

3b2b1b

v

แลว u x v =

1b2a2b1a3b1a1b3a2b3a3b2a

หรอ u x v = k 2b1b2a1a

j 3b1b3a1a

i 3b2b3a2a

ทศทางของ u x v สามารถหาไดจาก กฎมอขวา โดยแบมอขวาแลวกางหวแมมอออก ใชนวทงสชไปตามทศของ u แบหนามอไป ตามทศของ v แลวนวหวแมมอจะชไปตามทศ ของ u x v ดงรป

68. ก าหนดให k4 j3 iv , k 3i u แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9 i + 7 j – 3 k 2. –9 i + 7 j – 3 k

3. 9 i – 7 j – 3 k 4. –9 i – 7 j – 3 k

69. ก าหนดให j5 iv , j3i2 u แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 i 2. –7 i 3. –7 j 4. –7 k

u

v

u x v


29

70. ก าหนดให k5 iv , k3i2 u แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 i 2. –7 i 3. –7 j 4. –7 k

สมบตทส าคญของผลคณเชงเวกเตอร 1. ก าหนด u , v , w เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต และ k เปนจ านวนจรงใด ๆ 1.1 u x v = – ( v x u )

1.2 ( u + v ) x w = ( u + w ) + ( v x w ) 1.3 u x ( v + w ) = ( u + v ) + ( u x w )

1.4 u x (k v ) = k( u x v ) 1.5 (k u ) x v = k( u x v )

1.6 u x u = 0 1.7 ji k , i k j , kj i xxx

2. ให u , v , w เปนเวกเตอรใด ๆ ในสามมต จะไดวา u .( v x w ) = ( u x v ). w 3. ถา u 0 และ v 0 จะไดวา v uvx u sin

เมอ เปนมมระหวาง u และ v , 0o 180 o 4. ให u และ v เปนเวกเตอรในสามมต ซงไมใชเวกเตอรศนยและไมขนานกน

จะไดวา u x v ตงฉากกบ u และ v

71. ถา u = 2 i + j – 3 k และ v = i – 2 j + k แลวเวกเตอรทมขนาด 3 หนวย และตงฉากกบกบทง u และ v คอเวกเตอรในขอใดตอไปน 1. 3 ( i + j + k ) 2. 3 ( i + j – k ) 3. 3 (– i – j + k ) 4. 3 ( i – j – k )


30

72. ก าหนดให kj i2b , ji2 a คา sine ของมมระหวาง a และ b คอขอใด ตอไปน 1. 0.50 2. 0.71 3. 0.84 4. 0.92

การใชเวกเตอรในการหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน

จากรป เปนมมระหวาง u กบ v u sin คอสวนสงของรปสเหลยมดานขนาน ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = v u sin = vx u

73. ก าหนดให AB = k4 j3 i และ AD = k j2 i3 แลวพนทของรปสเหลยม ดานขนาน ABCD มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 3 2. 11 3 3. 8 4. 10 74. พนทของรปสามเหลยมทมจดยอดเปน A (1 , –1 , 3) , B (2 , 3 , –2) และ C (1 , 1 , 5) มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 65 2. 83 3. 97 4. 117

sin v

u

v


31

การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน

จะไดวา ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน = | )rx v( . u | ขอสงเกต 1) )ux r( . v)vx u( . r)rx v( . u

2) ถา u , v และ r อยบนระนาบเดยวกน แลวจะไดวา u .( v x r ) = 0 3) จากเวกเตอร 3 เวกเตอรใดๆ ถาทราบวาเวกเตอรเทากนสองเวกเตอร

ผลคณของ u .( v x v ) = v .( r x r ) = r ( u x u ) = 0

75. ทรงสเหลยมดานขนานทม u = i + j , v = j+ k , r = i + k เปนดานจะมปรมาตรก ลกบาศกหนวย 1. 2.0 2. 4.0 3. 5.5 4. 6.07

ก ำหนดทรงสเหลยมดำนขนำนซงม r และ v, u เปนดำน ดงรป

v x r

u

h

v r


32

เฉลยบทท 9 เวกเตอรในสามมต

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 4. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 3. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 2. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 2. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 1. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 2. 66. ตอบขอ 2. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 2. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 3. 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 2. 74. ตอบขอ 2. 75. ตอบขอ 1.


33

ตะลยโจทยท วไป บทท 9 เวกเตอรในสามมต

9.1 ระบบพกดฉากสามมต

1. สามเหลยมทมจดยอดท A (1 , 2 , 1 ) , B (–3 , 7 , 9 ) และ C ( 11 , 4 , 2 ) จะเปนรปสาม เหลยมชนดใดตอไปน 1. สามเหลยมดานเทา 2. สามเหลยมมมฉาก 3. สามเหลยมนาจว 4. ไมมขอทถกตอง

9.2 เวกเตอร

2. ขอใดตอไปนถกตอง 1. ถา u ขนานกบ v แลว u = v 2. ถา u = v แลว u มทศเดยวกบ v และ u ยาวเทากบ v 3. u มทศเดยวกบ – u 4. u – u เสมอ 3. ABCDEF เปนหกเหลยมดานเทา และ FA = u FE = v ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AB = u + v 2. FB = 2 u + v 3. FC = 2 u + 2 v

4. AE = – u + v 4. จากรปเปนสเหลยมจตรส 3 รปวางตอกน

AB – BC + CD เทากบเวกเตอรขอใด ตอไปน

1. BF 2. AH 3. CF 4. AG

F

D C

A B E

G H

A B

C

D E

F O

v

u


34

5. ABCDEF เปนรปหกเหลยมดานเทา ทมเสนทแยงมม ตดกนทจด O ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AB + OE = AO 2. AF + BC = AE 3. AO + CD = AE 4. ED + AF = OB 6. ABCDEF เปนรปหกเหลยมดานเทา ทมเสนทแยงมม ตดกนทจด O ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AD – AF = FD 2. FE – BA = FD 3. AO – OF = FD 4. FD – DB = FD

7. จากรป PQRS เปนสเหลยมรปวาว มเสนทะแยงมม ตดกนท O ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. PQ + QR = PR 3. PQ + QS = PS 2. RO – SO = RS 4. PR – PS = RS

8. ก าหนด ABCD เปนสเหลยมจตรส MDC และ NAB

เปนรปสามเหลยมดานเทา ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. DM + MC = DC 2. NA – NB = BA 3. ( MD – MC ) + ( AN + NB ) = CB 4. ( AN – BN ) + AD + ( CM – DM ) = BC

O R P

Q

S

F

D

C

A B

E

O

F

D

C

A B

E

O

D

M

C

A B

N


35

9. จากรป ABCDEFGH เปนทรงสเหลยมมมฉาก ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. ( AD + CF ) – GF = GB 2. ( AB + BC ) + CD = GF 3. ( BC + CF ) + FG = DE 4. ( GF + FE ) – GH = – EH 10 จากรป ABCDEF เปนทรงสามเหลยม

ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AD + DC = w 2. BD – BA = u 3. AB – CB = w 4. AE – BE = v 11. ถา AC : CB = 5 : 2 แลว แลว OC เทา กบขอใดตอไปน

1. 3 5 2 vu 2. 3

2 vu

3. 7 5 2 vu 4. 7

2 vu

12. ถา BD : DC = m : n แลว แลว AD เทากบขอใดตอไปน

1. ( n u + m v ) 2. n1 ( n u + m v ) 3. m1 ( n u + m v ) 4. mn 1

( n u + m v )

F

D

C

A

B

E

w

u v

F

D

C

A

B E

G

H

A C B

O

5 2

u v

B D C m n

u v


36

13. จากรป ให AO : OD = 3 : 1 และ BD = DC = 3 : 2 ถา AB = u , AC = v แลว AO คอขอใดตอไปน 1. 4

1 (6 u – 9 v ) 2. 10

1 (6 u – 9 v ) 3. 51 (6 u – 9 v ) 4. 20

1 (6 u – 9 v )

14. เวกเตอรทมจดเรมตนทจดก าเนด และมจดสนสดไปยงจดทแบงสวนของเสน AB ออกเปน

อตราสวน 2 : 1 คอเวกเตอรในขอใด เมอ A , B มพกดเปน (1 , 3) และ (4 , –3) 1. –3 i + j 2. 3 i – j 3. –3 i + j 4. 3 i + j 15. จากรปก าหนดให ถา a = AB , b = AC AE : EB = 4 : 1 และ BD : DC = 3 : 1

แลว DE เทากบเวกเตอรในขอใดตอไปน 1. 4

3 ( a – b ) 2. 4

3 a – 2011 b )

3. 2011 a – 4

3 b 4. 20

11 ( a – b )

16. ให AB = u และ AC = v ถา AE : EB = 2 : 3 และ AF : FC = 5 : 4 แลว EF เทากบขอใดตอไปน 1. 9

5 v + 52 u

2. 95 v – 52 u

3. 95 v + 9

2 u

4. 95 v – 9

2 u

B C

E F

A 2 5

3 4

A E B

D

C

A C

B

D u

3 1 O

3

2

v


37

17. จากรปทก าหนด ถา AN : NC = 2 : 3 และดาน MN ขนานกบดาน BC แลว AM เทากบขอใดตอไปน 1. 52 ( AC + BC ) 2. 5

3 ( AC + BC ) 3. 52 ( AC + BC )

4. 53 ( AC – BC )

18. จากรปทก าหนดให ขอใดตอไปน

ถกตอง 1. DE = 3

2 ( u – v ) 2. DE = 3

2 ( u + v ) 3. BC = 3

2 DE

4. BC = 23 DE

19. จากรปให ED = u , BC = v , AB = 3 u AE = 2 v และ DC= w ถา F เปนจดกงกลาง

ของ CD แลว AF เทากบขอใดตอไปน 1. 2 u + 2

3 v 2. u + 23 v

3. 2 u – 23 v 4. u – 2

3 v

20. จากรปก าหนดให AC เทากบขอใดตอไปน 1. 2 a

2. 2 b 3. a + b 4. a – b

B C

A

M N

B C

D E u

v u32 v3

2

u31 v3

1

E D u

wF

C

B v

3 u A

v 2


38

21. จากรปก าหนดให CD เทากบขอใดตอไปน 1. 2 a

2. 2 b 3. a + b 4. a – b

9.3 เวกเตอรในระบบพกดฉาก

9.3.1 เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

22. ก าหนดจด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) แลว PQ เทากบขอใดตอไปน

1.

1

2 2.

1

2 3.

3

8 4.

3

8

23. ก าหนดจด A (1 , 5) , B (–2 , 4) , C (0 , 3) แลว AB + AC เทากบขอใดตอไปน

1.

1

3 2.

2

1 3.

1

2 4.

3

4

9.3.2 เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

24. ให A มพกดเปน (3 , 4 , –4 ) และ B มพกดเปน (5 , 0 , 7 ) แลว BA คอขอใดตอไปน

1.

11

4

2

2.

11

4

2

3.

11

4

2

4.

11

4

2

25. ก าหนดให v =

2

9 , w =

21

แลว u ทท าให 2 u + v –3 w = 0 ตรงกบขอใด

1.

4 3

2.

4

3 3.

43

4.

43


39

26. ก าหนดใหจด P มพกด (–2 , 3 , 1) และจด Q มทศ (a , b , c) เมอ a , b , c เปนคาคงทใดๆ

ถาเวกเตอร QP =

3

2

1

แลวคาของ a + b + c มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 6 2. 2 3. –2 4. –6 27. ก าหนดใหจด A มพกด (–2 , 4) จด B มพกด (a , b) เมอ a , b เปนคาคงทใดๆ ถา

AB =

3 4

แลวคาของ a + b ตรงกบขอใดตอไปน

1. 9 2. 5 3. –5 4. –9

28. ก าหนดให AB =

3

2 ถาพกดของ A = (–4 , 9) แลวพกดของจด B เทากบขอใดตอไปน

1. (2 , –6) 2. (–2 , 6) 3. (6 , 12) 4. (–6 , –12)

29. ก าหนดให AB =

14

ถาพกดของ B = (–3 , –7) แลวพกดของจด A เทากบขอใดตอไปน

1. (1 , –8) 2. (–1 , 8) 3. (7 , 6) 4. (–7 , –6)

30. ก าหนดให CD =

1

3

และ C (2 , 3) แลวพกดของจด D เทากบขอใดตอไปน

1. (1 , 4) 2. (–1 , 4) 3. (1 , –4) 4. (–1 , –4) 9.3.3 เวกเตอรหนงหนวย

31. OA =

23 , OB =

51 , O เปนจดก าเนดในระบบแกนมมฉาก แลว AB เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน 1. –2 i + 3 j 2. 2 i – 3 j 3. 2 i + 3 j 4. –2 i – 3 j


40

32. OA =

41 , OB =

23 , O เปนจดก าเนดในระบบแกนมมฉาก แลว BA เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน 1. –2 i + 2 j 2. 2 i – 2 j 3. 2 i + 2 j 4. –2 i – 2 j 33. ก าหนดให u = 3 i + 2 j และ A มพกดเปน (–1 , 2) พกดของจด B ทท าให u = AB คอขอใดตอไปน 1. (2 , 4) 2. (–2 , 4) 3. (2 , –4) 4. (–2 , –4) 34. ก าหนดให u = –2 i + j , v = 3 i – 2 j , w = 5 i – 4 j และ w = h u + k v

แลว h k มคาเทากบเทาใด 35. เวกเตอรคในขอใดตอไปน ขนานกน

1.

21

และ

4

2 2.

21

และ

105

3.

20

และ

11

4.

14

7 และ

2 6

9.3.5 ขนาดของเวกเตอร

36. เวกเตอรทมขนาด 4 หนวย และทศเดยวกบ

4


1.

4

351 2.

4

351 3.

16

1251 4.

16

1251

37. ก าหนดให u =

3 2

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอขอใดตอไปน

1.

3

2 3 2.

3

2 3 3.

3

23

1 4.

3

23

1


41


2

1 , v =

2

3 แลวเวกเตอร 2 หนวย และมทศทางเดยวกบ

u – 2 v คอขอใดตอไปน

1.

2

5292 2.

2

5292 3.

2

52

1 4.

2

52

1

39. ก าหนดให u = 3 i + 4 j และ v = 8 i + 6 j เวกเตอรทมทศทางเดยวกนกบ u และ มขนาดเทากบ v คอขอใดตอไปน 1. 6 i – 8 j 2. 6 i + 8 j 3. 4 i + 3 j 4. 4 i – 3 j

40. เวกเตอรทมขนาดเทากบเวกเตอร

6

2 และทศตรงขามกบเวกเตอร

11

คอขอใดตอไปน

1.

2

2 2.

2

2 3.

2

22

1 4.

2

22

1

41. ก าหนดให u = 2 i + 2 j , v = –4 i + 4 j และ w เปนเวกเตอรทมทศทาง เดยวกบ u แตมขนาดเทากบ v แลวคาของ u + v + w เทากบขอใดตอไปน

1. 8 2. 10 3. 104 4. 109 42. เวกเตอรทมขนาด 3 หนวย และมทศตรงขามกบเวกเตอร v = 2

1 i – 21 j – 2

1 k คอขอใด 1. 3 ( i – j – k ) 2. 3 ( i – j – k ) 3. 3 ( – i + j + k ) 4. 3 ( – i + j + k )

43. เวกเตอรทมทศทางเดยวกบ v = 7 i – 6 k แตมขนาดเปน 2 เทาของ v คอขอใด 1. 7 i – 6 k 2. –7 i + 6 k 3. 14 i – 12 k 4. –14 i + 12 k


42

9.3.6 โคไซนแสดงทศทาง

44. โคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรทมจดเรมตนท P (0 , 2 , 2) และสนสดท Q (–1 , 1 , –1) ตรงกบขอใดตอไปน 1. 11

1 , 111 , 11

3 2. 111 , 11

1 , 113

3. 112 , 11

1 , 113 4. 11

2 , 111 , 11

3

45. โคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรทมจดเรมตนท P (0 , 3 , 5) และสนสดท Q (–1 , 5 , 2) ตรงกบขอใดตอไปน 1. 10

1 (– i + 2 j – 3 k ) 2. 101 ( i – 2 j + 3 k )

3. 141 (– i + 2 j – 3 k ) 4. 14

1 ( i – 2 j + 3 k )

9.4 ผลคณเชงสเกลาร


2

3 , v =

7 4

, w =

10

6 แลว ( u + v ) . w เทากบขอใด

1. –52 2. –40 3. 8 4. 36


2

3 , v =

7 4

, w =

10

6 แลว u . ( v – w ) เทากบขอใด

1. –52 2. –40 3. 8 4. 36


2

3 , v =

7 4

, w =

10

6 แลว ( u . v ) + ( u . w ) เทากบ

ขอใดตอไปน 1. –52 2. –40 3. 8 4. 36

49. ให u = –3 i + j + 2 k และ v = 4 i + 2 j – 5 k แลวคาของ 2 u . v + v . u เทากบขอใดตอไปน 1. –60 2. –30 3. 30 4. 60


43

50. ก าหนดให u = 2 i – 5 j และ v = i + 2 j ถา u + w = –11 และ v w = 8 แลว w – v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 5 3. 11 4. 2 51. ก าหนดให u = 3 i + 4 j , v = 6 i + 8 j และมมระหวาง u กบ v มขนาด 60o แลวคาของ u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 5 3. 25 4. 50 52. ก าหนดให u = 3 i + 4 j , v = 6 i + 8 j และมมระหวาง u กบ v มขนาด 90o แลวคาของ u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 5 3. 25 4. 50

53. ก าหนดให u = 3 i + 4 j ถาเวกเตอร v เปนเวกเตอร 5 หนวย และมทศตรงขามกบ u แลวคาของ u . v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –25 2. 25 3. –24 4. 24

54. ก าหนดให a = i – j , b = 4 i ถา เปนมมระหวาง a และ b แลวคาของ คอขอใดตอไปน 1. 0o 2. 30o 3. 45o 4. 60o 55. ก าหนดให a = 3 i + 4 j และ a ( a – b ) = 23 ถา เปนมมระหวาง a และ b แลว b cos มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5

13 2. 59 3. 5

7 4. 52

56. ก าหนดให A (3 , 4) , B (1 , 2) , C (6 , 1) เปนจดยอด ABC แลวมม A มขนาดกองศา 57. ก าหนดให u . v = 5 , u = 2 และมมระหวาง u กบ v เปน 60o แลว u + v มคาเทาใด


44

58. ก าหนดให u = (1 + m) i + 3 j และ v = (1 – m) i + 5 j แลวคา m ทท าให u ตงฉากกบ v อยในชวงใดตอไปน 1. [–5 , 5] 2. [0 , 6] 3. [–5 , 0] 4. [–3 , 3] 59. ก าหนด u . w = 1 และ w ตงฉากกบ v ถา u = 4 i – 5 j และ v = – i + j แลว w คอเวกเตอรในขอใดตอไปน 1. i + j 2. i – j 3. – i – j 4. – i + j 60. ก าหนดให u = a i – b j , v = i + 2 j โดย u ตงฉากกบ v ถา w = 2 i + j และ u . w = 6 ถา เปนมมระหวาง u กบ w แลว cos คอขอใดตอไปน 1. 6

5 2. 87 3. 54 4. 5

3

61(แนว มช) ก าหนดให j4 i3 A เวกเตอรซงยาว 10 หนวย ทตงฉากกบ A คอขอใด

1.

68 2.

34 3.

34 4. ขอ 2. และขอ 3.

62. ถา u = 10 , v = 6 , u + v = 14 แลว u . v มคาเทากบขอใด 1. 30 2. 60 3. 80 4. 90

63. ถา u = 7 , v = 5 และ u – v = 4 แลว u . v มคาเทาใด

64. ก าหนดให u = 6 , v = 8 และ u – v = 2 37 ถา เปนมมระหวาง u และ v แลวขอใดตอไปนถกตอง 1. = 90o 2. = 120o 3. = 135o 4. = 150o

65. ก าหนดให u = 4 , v = 3 และ u + v = 31225 ถา เปนมม ระหวาง u กบ v แลว มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 30o 2. 60o 3. 90o 4. 120o


45

66. ถา u + v + w = 0 และ u = 5 , v = 12 และ w = 13 แลวมม ระหวาง u กบ v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 30o 2. 60o 3. 90o 4. 120o

67. ก าหนดให u – v – w = 0 และ u = 10 , v = 6 , w = 14 มมระหวางเวกเตอร u และ v คอขอใดตอไปน 1. 6

2. 4 3. 3

4. 3 2

68. ถา u + v = 4 แลว u – v = 1 แลว u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 19 2. 15 3. 4

19 4. 415

69. ถา u = 3 , v = 5 และ u + v = 4 แลว u – v เทากบขอใด 1. 1 2. 3 3. 2 3 4. 10 70. ถา a และ b เปนเวกเตอรทม a = 10 , b = 7 และ a + b = 13 แลว a – b 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 119 2. 129 3. 139 4. 149 71. ก าหนดให u = a i + b j โดยท a , b > 0 และ u (5 i – 2 j ) = 14 ถา u ท า มม กบ i และ cos = 5

3 แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 14 3. 21 4. 28

9.5 ผลคณเชงเวกเตอร

72. ก าหนดให u = 2 i + 3 k และ v = i + 5 k แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 i 2. –7 i 3. –7 j 4. –7 k


46


3

0

1

, v =

4

3

1

แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –9 i + 7 j – 3 k 2. 9 i – 7 j + 3 k 3. i – k 4. i + 5 j 74. ถา u = 2 i – j –3 k , v = i – 2 j + 4 k แลว ( u + v ) x ( u – v ) เทากบขอใด 1. –20 i + 22 j – 6 k 2. 20 i + 22 j + 6 k 3. 20 i + 6 k 4. 22 i + 20 j 75. ให u = 2 i + j –3 k , v = –2 i + j – 2 k , w = 2 i – k แลว w . ( u x v ) มคา เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 0 4. 2 76. ก าหนดให u = 4 i –3 j + k และ v = 2 i + j –3 k เปนดานประกอบของสเหลยม ดานขนาน แลวพนทของรปสเหลยมดานขนานนมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 103 2. 106 3. 15 4. 30 77. ก าหนดให u = 4 i – j +3 k และ v = –2 i + j –2 k เปนเสนทะแยงมมของสเหลยม ดานขนาน แลวพนทของรปสเหลยมดานขนานนมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2

3 2. 25 3. 3 4. 5

78. พนทสามเหลยมทมจดยอดเปน P (–1 , 1 , 1) , Q (1 , 2 , 3) , R (1 , –1 , –1) จะมพนท เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2 2. 26 3. 2 13 4. 13

79. ก าหนดให a = 2 i – 6 j + 2 k , b = 4 j – 2 k , c = 2 i + 2 j – 4 k ปรมาตร ของรปทรงสเหลยมดานขนานทม a , b , c เปนดานของรป มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 16 3. 36 4. 64


47

80. ปรมาตรของกลองสเหลยมดานขนานทม AB , AC , AD เปนดานขอบ และมพกดคอ A (1 , –1 , 1) , B (3 , –1 , 2) , C (2 , –2 , 2) , D (4 , –2 , 1) เทากบขอใดตอไปน 1. 16 2. 8 3. 4 4. 2

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 9 เวกเตอรในสามมต

1. ตอบขอ 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบ 1. DC 2. BA 3. 0 4. BC 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบ 6 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 1. 50. ตอบ ขอ 4. 51. ตอบขอ 3. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 3. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบ 90 57. ตอบ 7 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 3. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 1. 63. ตอบ 29 64. ตอบขอ 2. 65. ตอบ 30o 66. ตอบขอ 3. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 2. 71. ตอบขอ 2. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 2. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 1. 78. ตอบขอ 2. 79. ตอบขอ 2. 80. ตอบขอ 3.

Documents

3 7 บทที่ 7 ฟงกั์ชนัเอกซ์ ... · 2019-08-20 · 1 บทที่ 7 ฟงกั์ชนัเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชนัลอการิทมึ