1

3. AKIŞKANLARIN KĐNEMATĐĞĐ

Kinematik: Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler, hızlar ve

ivmeler cinsinden ifade eder.

3.1 Akışkan Hareketinin Matematiksel Tanımı

Akışkan hareketinin matematiksel olarak tanımlanmasındaki zorluklar akışkan parçacıklarının

rölatif hareketlerinin zaman göre değişiminden kaynaklanmaktadır. Akım alanı içinde her bir

parçacık yere ve zamana göre değişen hız ve ivmeye sahip olabilir. Ayrıca akışkan

parçacıkları bir noktadan diğer bir noktaya giderken deforme olur ve/veya dönmeye maruz

kalabilir.

Akışkan hareketinin tanımlanmasında iki yol mevcuttur:

- Lagrange Tanımlama Yöntemi

- Euler Tanımlama Yöntemi

3.1.1 Lagrange Tanımlama Yöntemi

Lagrange tanımlamasına göre akım alanındaki her bir parçacığın bir zaman başlangıcındaki

yer koordinatları (x0, y0, z0) belirlenir ve parçacıkların yörünge, yoğunluk, hız ve diğer

karakteristikleri başlangıç koordinatları ve zamanın fonksiyonu cinsinden ifade edilir.

t0 zamanında bir parçacığın başlangıç koordinatı (x0, y0, z0) olsun. Buna göre parçacığın

herhangi bir t anındaki koordinatları:

x = x(x0, y0, z0, t), y = y(x0, y0, z0, t) , z = z(x0, y0, z0, t)

2

3.1.2 Euler Tanımlama Yöntemi

Euler tanımlamasına göre akım alanında hız, ivme ve diğer değişkenler, yerin ve zamanın

fonksiyonu olarak ifade edilir. Örnek olarak hız alanının bileşenleri aşağıdaki gibi yazılır:

u = u (x,y,z,t)

v = v (x,y,z,t)

w = w (x,y,z,t)

Akışkan hareketinin tanımlanmasında Euler yöntemi daha fazla tercih edilen bir tanımlama

biçimidir. Bu derste de Euler yöntemi esas alınmıştır.

FARK: Lagrange bakış açısı, akışkan parçacıklarının teker teker hareketini inceliyor. Eulerde

akışkan parçacığının akım alanının her noktasında hızın, basıncın yere ve zamana göre

değişimini inceliyor.

3.2 Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Akım

Bir noktada akımlarla ilgili büyüklükler (hız) zamanla değişmiyorsa, bir başka noktada da

yine aynı durum var ise böyle bir akıma Zamanla Değişmeyen Akım (permenant akım)

denir. Eğer akımla ilgili büyüklükler zamanla değişiyorsa, böyle bir akıma da Zamanla

Değişen (permanan olmayan) Akım denir.

3.3 Akım Çizgisi ve Akım Borusu Akım Çizgisi: Herhangi bir anda akışkan parçacıklarının hız vektörlerine teğet olan hayali

çizgilerdir. Bu şekilde akım alanını, herhangi bir andaki akış yönünü göstermek üzere sınırsız

sayıda akım çizgileri ile temsil etmek mümkündür.

3

xyz uzayında akım çizgilerinin denklemi : w

dz

v

dy

u

dx==

Akım alanındaki sınır yüzeyler birer akım çizgisidir.

Akım Yolu (Yörünge): Akım alanı içinde bir akışkan parçacığının belirli bir zaman

aralığında takip ettiği yoldur. Aşağıdaki şekilde akışkanın A’dan B’ye giderken üzerinden

geçtiği yörüngedir.

Yörünge denklemi: dt

dz w,

dt

dy v,

dt

dx u ===

4

Akım çizgisi ile yörünge çakışır mı?

Bu akımın zamanla değişip değişmemesine bağlıdır.

- Eğer akım permanant ise akım çizgisi ile yörünge üst üste düşer.

- Zamanla değişen akım durumunda bunlar farklı farklı şeylerdir.

Akım Borusu (akım tüpü): akımda kapalı bir eğri üzerinden geçen akım çizgilerinin

oluşturduğu borudur. Akım çizgileri hız vektörlerine teğettir. O halde bu yüzeyde dışarıdan

içeriye, içeriden dışarıya geçiş yoktur. Bu borunun çeperi akım çizgilerinden oluşmuştur.

Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu bir akım çizgisi gibi düşünülebilir.

5

3.4 Bir, Đki ve Üç Boyutlu Akımlar

Bir boyutlu akımda hız, basınç vb. akım özellikleri, akım borusunun kesiti içinde konumdan

konuma değişmez; değişiklik ancak tek boyutta, yani akım borusu boyunca olur. Akım

özelliklerinin değişimi bir boyutta olduğu için, bu akımlara bir boyutlu akımlar denir.

Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu içerisindeki akım, tam anlamı ile bir boyutlu akımdır.

Akım borusunun kesit alanı o kadar küçüktür ki hız, basınç vb. akım özelliklerinin kesit

içerisindeki değişimi ihmal edilebilir.

Hidrolikte herhangi bir boru hattındaki hız dağılımında ortalama hız kullanılır.

Đki boyutlu akımlarda hız, basınç gibi akım özellikleri, şekil düzlemi üzerinde konumdan

konuma değişir. Akım özellikleri sadece iki boyutta değiştiği için bu akımlara iki boyutlu

akımlar denir.

Üç boyutlu akımda hız basınç gibi akım özellikleri uzay içerisinde konumdan konuma üç

boyutta değişir.

6

4. BĐR BOYUTLU AKIMLARIN TEMEL DENKLEMLERĐ

4.1 Süreklilik Denklemi

Akım borusunun 1-1 kesitindeki kesit alanı dA1,

2-2 kesitindeki kesit alanı dA2 olsun.

Kesit alanı sonsuz küçük ise hız ve basınç gibi akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi

ihmal edilebilir, dolayısı ile akım borusunun bir kesiti için, bir tek hızdan ve bir tek basınçtan

söz edilir.

Akım borusunun 1-1 kesiti için hız u1, basınç p1 ve

2-2 kesiti için hız u2, basınç p2 olsun.

Hareket sırasında, bir t anında 1221 hacmini işgal eden akışkan t+dt anında 1’2’2’1’ hacmini

işgal edecektir.

Kabuller: 1. Sıkışmayan akışkan (ρ=sbt) 2. Permanan hareket (hız zamanla değişmiyor) 3. Akım borusu sonsuz küçük (akım ipçiği)

7

Kütlenin korunumu ifadesine göre;

t anındaki akışkanın kütlesi = (t+dt) anındaki akışkanın kütlesi (4.1)

m11’ + m1’2 = m1’2 + m2’2 (4.2)

ρ.dA1.ds1 = ρ.dA2.ds2 (4.3)

ds1 = u1.dt ve ds2 = u2.dt ise u1.dA1.dt = u2.dA2.dt

u1.dA1 = u2.dA2 (4.4)

Bu denklem sıkışmayan akışkanlar için süreklilik denklemidir.

4.2 Enerji Denklemi

t anında 1221 hacmini işgal eden akışkanın yüzeylerine etkiyen gerilmeler:

- dA1 ve dA2 kesitlerine etkiyen p1 ve p2 basınç gerilmeleri

- akım borusunun yanal yüzeylerine etkiyen sürtünme gerilmeleridir.

t anında 1221 konumunda bulunan akışkan, t+dt anındaki 1’2’2’1’ konumuna gelirken, bu

gerilmeler birer iş yapacaktır.

Enerjinin korunumu ilkesine göre,

t anında + dt zaman aralığında = (t+dt) anında

sistemin enerjisi yapılan iş sistemin enerjisi

Et + Basınç gerilmelerinin + Sürtünme gerilmelerinin = Et+dt

yaptığı iş yaptığı iş

dB: dt zaman zarfında basınç gerilmelerinin yaptığı iş

dS: Sürtünme gerilmelerinin yaptığı iş

Et + dB - dS = Et+dt (4.5)

E11’ + E1’2 + dB - dS = E1’2 + E2’2 (4.6)

4342143421

443442143421

EnerjiPotansiyel

1

m

11

EnerjiKinetik

21

m

1111 gzdAρds2

udAρdsE +=′ (4.7)

111 dsdAρdB = (4.8)

443442143421

443442143421

EnerjiPotansiyel

2

m

22

EnerjiKinetik

22

m

2222' gzdAρds2

udAρdsE += (4.9)

8

dSdsdApgzdAρds2

udAρdsdsdApgzdAρds

2

udAρds 222222

22

22111111

21

11 +++=++ (4.10)

Bütün terimler γdt’ye bölünürse:

γdt = ρ.g.dt

γdt

dSpdAuzdAu

2g

udAu

pdAuzdAu

2g

udAu 2

22222

22

221

11111

21

11 +++=++γγ

(4.11)

Bu ifadedeki bütün terimlerde u.dA’ya bölünürse:

.dtudA.

dS

γ

pz

2g

u

γ

pz

2g

u 22

221

1

21

γ+++=++ ENERJĐ DENKLEMĐ (4.12)

Enerji kaybı (ısıya harcanan enerji)

2g

u,

2g

u 22

21 : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın kinetik enerjisi

z1, z2 : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın potansiyel enerjisi

γγ21 p

,p

: 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın basınç enerjisi

4.3 Đmpuls – Momentum Denklemi

Momentumun korunumu denklemi (Newton’un ikinci denklemi):

)v(mdt

dFΣ

rr= (4.13)

Momentumda birim zamandaki değişim dış kuvvetlere eşittir.

FΣr

: m kütlesine etkiyen kuvvetlerin toplamı

vr

: m kütlesinin hızı

vmr

: momentum

dtFΣr

: impuls

9

t anındaki sistemin momentumu = t + dt anındaki sistemin momentumu

'11Mr

+ 2'1Mr

= 2'1Mr

+ '22Mr

(4.14)

111 udAρdsr

= 222 udAρdsr

(4.15)

Momentumdaki değişim : 111222 udAρds - udAρds Mdrrr

= (4.16)

Bu ifadenin zamana göre değişimi dış kuvvetleri verir.

111222 udAρu - udAρu dt

MdFΣ

rrr

r== ĐMPULS – MOMENTUM DENKLEMĐ (4.17)

10

5. ĐDEAL AKIŞKANLARIN BĐR BOYUTLU AKIMLARI

Đdeal Akışkan : Sürtünmesiz akışkan, dolayısı ile viskozitesi sıfırdır(µ=0), kayma gerilmeleri

(τ=0) oluşmaz. “Mükemmel akışkan” da denir. Hız enkesit içinde değişmiyor, sabittir.

(du/dy= 0)

Kabuller:

1. Sonlu kestili bir akım borusu

2. Đdeal akışkan

5.1 Süreklilik Denklemi

u1.dA1 = u2.dA2 (sonsuz küçük kesitli akım borusu)

∫∫ =

21

2211

AA

dAudAu (5.1)

1-1 kesitin de u1 = v1 = sabit (ideal akışkan, sürtünme yok) (5.2)

2-2 kesitin de u2 = v2 = sabit (5.3)

bu ifadeler (5.1) bağıntısında yerine konursa ∫∫ =

21

2211

AA

dAvdAv

11

v1.A1 = v2.A2 (5.4)

Debi Tanımı: 1-1 kesitinden birim zamanda geçen akışkanın hacmi

Q = A1ds1 = A1(v1.1) = v1.A1 (5.5)

(5.4) ve (5.5) denklemelerinden

Q = v1.A1 = v2.A2 (5.6)

Debi, bir kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmidir.

5.2 Enerji Denklemi

5.2.1 Denklem (Bernoulli Denklemi)

Sonsuz küçük kesitli akım borusu için enerji denklemi

γdt

dSpdAuzdAu

2g

udAu

pdAuzdAu

2g

udAu 2

22222

2

222

111111

2

111 +++=++

γγ

ideal akışkan, sürtünme yok, (dS/γdt) = 0, enerji kaybı yoktur. Buna göre enerji denklemi

++=

++

γγ2

2

2

222

11

2

111

pz

2g

udAu

pz

2g

udAu (5.7)

u1.dA1 = u2.dA2 olduğuna göre

++=

++ 2

2

2

21

1

2

1 zp

2g

uz

p

2g

u

γγ (5.8)

Đdeal akışkanda hız kesit içerisinde değişmez. Yani;

1-1 kesitinde u1 = v1 =sabit (5.9)

2-2 kesitinde u2 = v2 =sabit (5.10)

Bu değerler (5.8) bağıntısında yerine konursa

12

++=

++ 2

2

2

21

1

2

1 zp

2g

vz

p

2g

v

γγ BERNOULLĐ DENKLEMĐ (5.11)

Bu (5.11) bağıntısına denir.

- Akışkan ideal, - ρ= sabit (sıkışmayan akışkan) - Akım permanan - Sonlu kesitli akım borusu

++=

++ 2

2

2

21

1

2

1 zp

2g

vz

p

2g

v

γγ

Bernoulli denkleminde görülen her bir terim uzunluk boyutundadır.

2g

v,

2g

v 2

2

2

1 : hız yüksekliği

γγ21 p

,p

: basınç yüksekliği

z1, z2 : geometrik kot adı verilir.

Bernoulli Denkleminin FĐZĐKSEL ANLAMI;

2g

v,

2g

v 2

2

2

1 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın KĐNETĐK enerjisi

γγ21 p

,p

: bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın BASINÇ enerjisi

z1, z2 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın POTANSĐYEL enerjisi

Bu koşullar altında elde edilen enerji denklemine

BERNOULLĐ DENKLEMĐ denir.

BERNOULLĐ DENKLEMĐNĐN

GEOMETRĐK ANLAMI

13

11

2

11 z

p

2g

vH ++=

γ (5.12)

H1 : 1-1 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisi

H2: 2-2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisidir.

5.2.2 Bernoulli Denkleminin Pratikteki Uygulamaları

5.2.2.1 Venturi Ölçeği (Venturimetre)

Venturi ölçeği, bir boru içerisindeki akımın debisini ölçmeye yarayan bir sistemdir. Çalışma

ilkesi Bernoulli Denklemine dayanır.

-1-1 ve 2-2 kesitleri birbirine çok yakın, sürtünmeler ve enerji kaybı ihmal, ideal akışkan

14

1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi

γγ2

2

21

2

1 p

2g

vp

2g

v+=+ (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0) (5.13)

Manometre ve hortum bağlantıları için akışkanlar statiği kanunları geçerlidir.

p1 = γ (h+z) , p2 = γ z ⇒ hpp 12 −=

−

γ (5.14)

Süreklilik denklemi : Q = v1.A1 = v2.A2 ⇒ 2

2

1

1 ,A

Qv

A

Qv == (5.15)

(5.14) ve (5.15) ifadeleri(5.13)’de yerine konacak olursa:

1

22

2

1

1

−

=

A

A

ghAQ (5.16)

bağıntısı elde edilir.A1 ve A2 belli, h ölçülür. Gerçek akışkanda enerji kaybı meydana

geleceğinden debi Cd (debi) katsayısı ile çarpılarak bulunur.

1

22

2

1

1

−

=

A

A

ghACQ d (5.17)

Cd katsayısı 1’e çok yakın fakat 1’den küçük bir sayıdır.

5.2.2.2 Bir Kabın Dibindeki Delikten Akış

- kab su seviyesi sabit

- Enerji kaybı ihmal, ideal akışkan

1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi

22

2

21

1

2

1 zp

2g

vz

p

2g

v++=++

γγ (5.18)

1-1 ve 2-2 kesitleri atmosfere açık

p1 = p2 = p0 = Atmosfer Basıncı , z1 – z2 = h, v1 = 0 (çünkü su seviyesi sabit)’dır.

Bu değerler (5.18) ifadesinde yerine konursa

15

gh2v2 = (5.19)

bağıntısı elde edilir. Bu (5.19) bağıntısı Toricelli Bağıntısı olarak bilinir. Gerçekte sürtünme

etkisi dolayısı ile φ < 1 olmak üzere gh2v2 φ= şeklindedir.

5.2.2.3 Kabarma Basıncı

Bir akım içerisine bir cisim konursa, cismin burnunda ikiye

ayrılan akım çizgisi görülür. 1 ve 2 noktası akım çizgisi üzerinde

iki nokta olsun. 1 noktası 2 noktasına oldukça yakın bir noktadır.

Dolayısı ile bu iki nokta arasında meydana gelen enerji kaybı

ihmal edilebilir.

O halde Bernoulli Denklemi:

γγ2

2

21

2

1 p

2g

vp

2g

v+=+ (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0) (5.20)

Tam 2 noktasında hız sıfırdır (v2 = 0) O halde (5.20) denklemi

2

ρvpp

2

112 += (5.21)

Bağıntısına dönüşür. Bu bağıntıya göre 2 noktasındaki basınç 1’e göre (ρv12/2) kadar

yükselmiştir. Buna kabarma basıncı denir. 2 noktasına kabarma noktası denir.

5.2.2.4 Pitot Borusu

Akımı değiştirmemesi için iki tane çok ince boru

akım ortamına daldırılıyor.

I.borunun ağzı : akıma dik

II.borunun ağzı : akıma paralel

Pitot borusunun burnu bir kabarma noktasıdır.

Buradaki basınç kabarma basıncına eşittir. Yani 2

ρvp

2

+ ’e eşittir.

I.boruda

v = 0 ⇒ 02g

v2

=

E.Ç = P.Ç

Su enerji çizgisine kadar yükselecek

II.boruda

v ≠ 0

su P.Ç’ne kadar yükselecek

16

Akışkanlar statiğinde biliyoruz ki bir nivo yüzeyi üzerinde basınç sabittir.

z)γ(h2

ρvp

2

+=+ (5.22)

p = γ.z (5.23)

γh2

ρv2

= ⇒ gh2v = (5.24)

Bu bağıntıdan yararlanarak manometre borularındaki seviye farkı, yani h ölçmke sureti ile bir

noktadaki v hesaplanır.

Pitot borusu, laboratuarda gerek su gerek hava akımlarında, noktasal hızları ölçmek amacı ile

kullanılan bir araçtır.

5.2.2.5 Bir Borunun Muhtelif Noktalarındaki Basınç