3 chapter 3 ELC v01 - tex.unipi.gr 3_ELC... · ηλεκτρικών κυκλωμάτων, Νίκος

Κεφάλαιο Κεφάλαιο 33φφ

Αλέξανδρος Αλέξανδρος ΦλάμοςΦλάμος, , ΕπΕπ. Καθηγητής. Καθηγητήςee--mail: [email protected]: [email protected]

33οςος όροφος, Γραφείοόροφος, Γραφείο 304304, , κτίριο κτίριο Γρηγορίου Λαμπράκη 126Γρηγορίου Λαμπράκη 126

*Σημειώσεις *Σημειώσεις -- ασκήσεις από ανάλυση ασκήσεις από ανάλυση

ηλεκτρικών κυκλωμάτων, Νίκος ηλεκτρικών κυκλωμάτων, Νίκος

ΜάργαρηςΜάργαρης εκδόσειςεκδόσεις ΤζιόλαΤζιόλαΜάργαρηςΜάργαρης, εκδόσεις , εκδόσεις ΤζιόλαΤζιόλα

33 22Κύκλωμα δύο ακροδεκτώνΚύκλωμα δύο ακροδεκτών

3.3.22

Μεταβλητές κυκλωμάτων: Μεταβλητές κυκλωμάτων: Ρεύματα ακροδεκτώνΡεύματα ακροδεκτών

Τά δ ώΤά δ ώii

++

Τάσεις ακροδεκτώνΤάσεις ακροδεκτών

Τα κυκλώματα 2 ακροδεκτώνΤα κυκλώματα 2 ακροδεκτών

ΚΚvv

++ Τα κυκλώματα 2 ακροδεκτών Τα κυκλώματα 2 ακροδεκτών χαρακτηρίζονται από την σχέση: χαρακτηρίζονται από την σχέση: Τάσης (Τάσης (VV)) –– ΡεύματοςΡεύματος (I)(I) ακροδεκτώνακροδεκτώνvv Τάσης (Τάσης (VV) ) –– ΡεύματοςΡεύματος (I)(I) ακροδεκτώνακροδεκτών

--Ισοδύναμα κυκλώματα: οι τάσεις και Ισοδύναμα κυκλώματα: οι τάσεις και

τα ρεύματα των ακροδεκτών τουςτα ρεύματα των ακροδεκτών τουςΑκροδέκτες του κυκλώματος (Κ)Ακροδέκτες του κυκλώματος (Κ)

τα ρεύματα των ακροδεκτών τους τα ρεύματα των ακροδεκτών τους

είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα μεταξύ είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα μεταξύ

Μάθημα: Στοιχεία Ηλεκτροτεχνίας

τους τους

33 33Σύνδεση αντιστατών εν σειράΣύνδεση αντιστατών εν σειρά

33..33

11οο βήμαβήμα:: ΕφαρμόζουμεΕφαρμόζουμε τοντον νόμονόμο τωντων ρευμάτωνρευμάτων στουςστους κόμβουςκόμβους 11,, 22,,

33:: ii(t)(t) == ii11(t)(t) == ii22(t)(t)

ii 1

22οο βήμαβήμα:: ΕφαρμόζουμεΕφαρμόζουμε τοντον νόμονόμο

τωντων τάσεωντάσεων στονστον βρόχοβρόχο::++

RR11vv11

++ ii11τωντων τάσεωντάσεων στονστον βρόχοβρόχο::

v(t)v(t) == vv11(t)(t) ++ vv22(t)(t)

ii(t)*(t)*RR ii (t)*R(t)*R ++ ii (t)(t) RR ΚΚ

vv

1111--

2

ii

ii(t)*(t)*RReqeq== ii11(t)*R(t)*R11 ++ ii22(t)(t) RR22

RR RR + R+ RRR22vv22

++

--

ii22 RReqeq= R= R11 + R+ R22

ii ----

3RReqeq= ∑= ∑ii=1=1k k RRii


33 44Σύνδεση ιδανικών πηγών τάσης εν σειράΣύνδεση ιδανικών πηγών τάσης εν σειρά

3.3.44

i + i +ΕφαρμόζουμεΕφαρμόζουμε τοντον νόμονόμο τωντων

-+Vs1

i i τάσεωντάσεων καικαι προκύπτειπροκύπτει ότιότι ηη

τάσητάση τηςτης ισοδύναμηςισοδύναμης πηγήςπηγής

τάσηςτάσης είναιείναι ίσηίση μεμε τοτο

άθροισμαάθροισμα τωντων τάσεωντάσεων τωντων

-+Vs

άθροισμαάθροισμα τωντων τάσεωντάσεων τωντων

πηγώνπηγών πουπου αποτελούναποτελούν τοντον

δ όδ ό

+Vsk

συνδυασμόσυνδυασμό::

-Vsk

- - VVss(t)= ∑(t)= ∑ii=1=1k k VVsisi


33 55Σύνδεση ιδανικών πηγών ρεύματος εν σειράΣύνδεση ιδανικών πηγών ρεύματος εν σειρά

3.3.55

i + i +ΕφαρμόζουμεΕφαρμόζουμε τοντον νόμονόμο τωντων

is1

i i ρευμάτωνρευμάτων καικαι προκύπτειπροκύπτει ότιότι

ηη ενεν σειράσειρά σύνδεσησύνδεση

διαφορετικώνδιαφορετικών ιδανικώνιδανικών

πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος είναιείναιis

πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος είναιείναι

αδύνατηαδύνατη..

iskisk

- -iiss= i= is1s1 (t)= i(t)= is2s2(t)= …= (t)= …= iisksk(t)(t)


33 66Σύνδεση αντιστατών εν παραλλήλωΣύνδεση αντιστατών εν παραλλήλω

33..66

ΕφαρμόζουμεΕφαρμόζουμε τοντον νόμονόμο τωντων ρευμάτωνρευμάτων στουςστους ii(t)(t) == ii11(t)(t) ++ ii22(t)(t) (a)(a)(t)(t) (t)(t) (t)(t)GG 1/1/RR

ii 1

v(t)v(t) == vv11(t)(t) == vv22(t)(t)

ii(t)*(t)*RReqeq== ii11(t)*R(t)*R11 == ii22(t)(t) RR22

GGeqeq =1/=1/RReqeq

++ ii11 ii22 V(t)V(t) == ii(t)*(t)*RReqeq ii(t)=(t)= V(t)V(t) // RReqeq

V(t)V(t) // RReqeq == vv11(t)(t) // RR11 ++ vv22(t)(t) /R/R22

ΚΚvv RR11 RR22

vv11

++

--vv22

++

--

( )( ) eqeq 11( )( ) 11 22( )( ) 22

1/1/RR 1/R1/R + 1/R+ 1/R-- 1/1/RReqeq= 1/R= 1/R11 + 1/R+ 1/R22

--3

1/1/RReqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/1/RRii


Σύνδεση ιδανικών πηγών τάσης παράλληλαΣύνδεση ιδανικών πηγών τάσης παράλληλα33 77

i + i +

33..77

ΟΟ νόμοςνόμος τωντων τάσεωντάσεωνi i μ ςμ ς

απαιτείαπαιτεί::

+ Vs1 +Vsk

Vsvvss (t)= v(t)= vs1s1(t)= …= (t)= …= vvsksk(t)(t)

- --+

s

ΗΗ παράλληληπαράλληλη

σύνδεσησύνδεση διαφορετικώνδιαφορετικών

ιδανικώνιδανικών πηγώνπηγών τάσηςτάσης

- -ιδανικώνιδανικών πηγώνπηγών τάσηςτάσης

είναιείναι αδύνατηαδύνατη..


33 88Σύνδεση ιδανικών πηγών ρεύματος παράλληλαΣύνδεση ιδανικών πηγών ρεύματος παράλληλα

3.3.88

i + i +ΕφαρμόζονταςΕφαρμόζοντας νόμονόμο

i i ρευμάτωνρευμάτων προκύπτειπροκύπτει::

ii (t)= ∑(t)= ∑ iiis1

isk

is

iiss(t)= ∑(t)= ∑ii=1=1k k iisisi

ΣτηνΣτην παράλληληπαράλληλη σύνδεσησύνδεσηs ΣτηνΣτην παράλληληπαράλληλη σύνδεσησύνδεση

διαφορετικώνδιαφορετικών ιδανικώνιδανικών

πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος τοτο ρεύμαρεύμα

τηςτης ισοδύναμηςισοδύναμης πηγήςπηγής

- -είναιείναι ίσοίσο μεμε τοτο άθροισμαάθροισμα

τωντων ρευμάτωνρευμάτων..


τωντων ρευμάτωνρευμάτων..

33 99Σύνδεση πυκνωτώνΣύνδεση πυκνωτών & & πηνίωνπηνίων

3.3.99

ΠυκνωτέςΠυκνωτές::

ΣεΣε σειράσειρά:: 1/1/CCeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/1/CCii

ΠαράλληλαΠαράλληλα:: CCeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k CCii

ΠηνίαΠηνία::∆υαδικότητα∆υαδικότητα

ΣεΣε σειράσειρά:: LLeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k LLii

ΠαράλληλαΠαράλληλα:: 1/1/LLeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/L1/Lii


33 1010Πραγματικές πηγές Η. Ε.Πραγματικές πηγές Η. Ε.

3.3.1010

Συσσωρευτές διαφόρων τύπωνΣυσσωρευτές διαφόρων τύπων

Γεννήτριες συνεχούς (Γεννήτριες συνεχούς (DCDC)) και εναλλασσομένου ρεύματος και εναλλασσομένου ρεύματος (AC)(AC), κ.α., κ.α.

Έ δύ ύ λ δ έ ό δ όΈ δύ ύ λ δ έ ό δ ό Έχουν ισοδύναμο κύκλωμα που διαφέρει από το ιδανικό Έχουν ισοδύναμο κύκλωμα που διαφέρει από το ιδανικό κύκλωμα μιας ανεξάρτητης πηγής τάσεως ή ρεύματος.κύκλωμα μιας ανεξάρτητης πηγής τάσεως ή ρεύματος.

Υπεισέρχεται πάντοτε μια εσωτερική αντίσταση (στην Υπεισέρχεται πάντοτε μια εσωτερική αντίσταση (στην απλούστερη περίπτωση ωμικού τύπου απλούστερη περίπτωση ωμικού τύπου RRss))


33 1111Πραγματική πηγή τάσηςΠραγματική πηγή τάσης

3.3.1111

εσωτερική αντίσταση πηγήςεσωτερική αντίσταση πηγής

RRssΗλεκτρική κατανάλωση ή Ηλεκτρική κατανάλωση ή φορτίο της πηγήςφορτίο της πηγής

++i vvιδανική πηγή

vv-+

vvss

RRLLιδανική πηγήVVss

ss

-- iiVVss /R/RssΧαρακτηριστική πραγματικής Χαρακτηριστική πραγματικής


ρ ηρ ή ρ γμ ήςρ ηρ ή ρ γμ ήςπηγής τάσηςπηγής τάσης

33 1212Πραγματική πηγή τάσηςΠραγματική πηγή τάσης

3.3.1212

Η τάση μιας πηγής τάσης είναι συνάρτηση του ρεύματος που Η τάση μιας πηγής τάσης είναι συνάρτηση του ρεύματος που έ ήέ ή

Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής τάσης:Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής τάσης:

παρέχει μια πηγή. παρέχει μια πηγή.

Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής τάσης: Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής τάσης:

v(t)= v(t)= vvss(t)(t) –– RRss ii(t)(t)

Το ρεύμα που παρέχει η πηγή είναι ίσο με: Το ρεύμα που παρέχει η πηγή είναι ίσο με:

ii(t)= (t)= vvss(t) / ((t) / (RRss+R+RLL)) συνεπώς συνεπώς v(t) = v(t) = vvss(t)(t) -- vvss(t) * R(t) * Rss/ (/ (RRss+R+RLL) )

v(t) = v(t) = vvss(t) * 1(t) * 1-- [R[Rss/ (/ (RRss+R+RLL)] )] v(t) = v(t) = vvss(t) * [R(t) * [RLL/ (/ (RRss+R+RLL)] )] ΠόΠό (t)(t) (t)(t) ??Πότε Πότε v(t) v(t) vvss(t)(t) ??

Γενικά ισχύει Γενικά ισχύει RRLL>>>>>R>RSS

33 1313Πραγματική πηγή ρεύματοςΠραγματική πηγή ρεύματος

3.3.1313

εσωτερική αντίσταση πηγήςεσωτερική αντίσταση πηγής

Ηλεκτρική κατανάλωση ή Ηλεκτρική κατανάλωση ή φορτίο της πηγήςφορτίο της πηγής

++ivv

ιδανική πηγήRR ii

vviissRRLL

ιδανική πηγήRRssiissRRss

ss

-- iiiissΧαρακτηριστική πραγματικής Χαρακτηριστική πραγματικής


ρ ηρ ή ρ γμ ήςρ ηρ ή ρ γμ ήςπηγής ρεύματοςπηγής ρεύματος

33 1414Πραγματική πηγή ρεύματοςΠραγματική πηγή ρεύματος

3.3.1414

Το ρεύμα μιας πηγής ρεύματος είναι συνάρτηση της τάσης Το ρεύμα μιας πηγής ρεύματος είναι συνάρτηση της τάσης ύ ά ήύ ά ή

Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής Εξίσωση της χαρακτηριστικής της πραγματικής πηγής ύύ

που αναπτύσσεται στα άκρα της πηγής. που αναπτύσσεται στα άκρα της πηγής.

ρεύματος: ρεύματος: ii(t)= i(t)= iss(t)(t) –– (1/R(1/Rss)*v(t))*v(t)

Η τάση στα άκρα της πηγής είναι ίση με: Η τάση στα άκρα της πηγής είναι ίση με:

v(t) = iv(t) = iss(t) * [(t) * [RRssRRLL/ (/ (RRss+R+RLL)] )]

συνεπώς συνεπώς ii(t) = i(t) = iss(t) * R(t) * Rss/ (/ (RRss+R+RLL) ) Πότε Πότε ii(t) (t) iiss(t)(t) ??


Γενικά ισχύει Γενικά ισχύει RRss>>>>>R>RLL

33 1515Ισοδυναμία πραγματικών πηγών Ισοδυναμία πραγματικών πηγών v & v & ii

3.3.1515

Μετατροπή μιας πραγματικής πηγής τάσης σε Μετατροπή μιας πραγματικής πηγής τάσης σε ρεύματος και αντίστροφα:ρεύματος και αντίστροφα:

RRss

ρεύματος και αντίστροφα:ρεύματος και αντίστροφα:

++i ++i

-+

vvss vvVVss//RRss

RRss

vvss VVss//RRss

-- --


33 1616Πρακτική μετατροπή πηγής τάσης σε ρεύματοςΠρακτική μετατροπή πηγής τάσης σε ρεύματος

3.3.1616

RRss RRGGΑρκεί να συνδεθεί Αρκεί να συνδεθεί

++i εν σειρά με την εν σειρά με την

πηγή τάσης μιαπηγή τάσης μια-+

vvss vvπηγή τάσης μια πηγή τάσης μια

πολύ μεγάληπολύ μεγάληss πολύ μεγάλη πολύ μεγάλη

αντίσταση αντίσταση RRGG >>>> RRss

--


33 1717

Σύνδεση ιδανικής πηγής τάσης με στοιχείο δύο Σύνδεση ιδανικής πηγής τάσης με στοιχείο δύο ακροδεκτών εν παραλλήλωακροδεκτών εν παραλλήλω 3.3.1717ρ ρ ήρ ρ ή

++iisvv

ιδανική πηγήVVssi

RR++

s ιδανική πηγήss

vvVVss--

--ii

νόμος τάσεων νόμος τάσεων v(t) = v(t) = vvss(t) ((t) (τάση ακροδεκτών ίση με την τάση τάση ακροδεκτών ίση με την τάση δ ή ήδ ή ή )) λλήλ δ ό δ ή ήλλήλ δ ό δ ή ήιδανικής πηγήςιδανικής πηγής)) ο εν παραλλήλω συνδυασμός ιδανικής πηγής ο εν παραλλήλω συνδυασμός ιδανικής πηγής τάσης και αντίστασης ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή τάσης.τάσης και αντίστασης ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή τάσης.

ύ ί άθ ί ύ ώύ ί άθ ί ύ ώ


Ισχύει η γενίκευση για κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτώνΙσχύει η γενίκευση για κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτών

33 181833 1818

Σύνδεση ιδανικής πηγής ρεύματος με στοιχείο Σύνδεση ιδανικής πηγής ρεύματος με στοιχείο δύο ακροδεκτών εν σειράδύο ακροδεκτών εν σειρά 3.3.18183.3.1818ρ ρρ ρ

vvιδανική ++i

RR

πηγή

++i

iiss vviiiiss

--

νόμος ρευμάτων νόμος ρευμάτων ii(t) = i(t) = iss(t) ((t) (ρεύμα ακροδεκτών ίσο με το ρεύμα ακροδεκτών ίσο με το ρεύμα της πηγής ρεύματοςρεύμα της πηγής ρεύματος)) ο εν σειρά συνδυασμός ιδανικής ο εν σειρά συνδυασμός ιδανικής πηγής ρεύματος και αντίστασης ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή πηγής ρεύματος και αντίστασης ισοδυναμεί με την ιδανική πηγή ρεύματος.ρεύματος.

Ισχύει η γενίκευση για κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτώνΙσχύει η γενίκευση για κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτών

Μάθημα: Στοιχεία ΗλεκτροτεχνίαςΜάθημα: Στοιχεία Ηλεκτροτεχνίας

χ η γ η γ χ ρχ η γ η γ χ ρ

33 1919Θεώρημα του Θεώρημα του MillmanMillman (1/4)(1/4)

3.3.1919

Σύνδεση πραγματικών πηγών τάσης εν παραλλήλωΣύνδεση πραγματικών πηγών τάσης εν παραλλήλω::η ρ γμ ηγ ης ρ ήη ρ γμ ηγ ης ρ ή

Υλοποιείται συχνά για την αύξηση της παρεχόμενης Υλοποιείται συχνά για την αύξηση της παρεχόμενης ύ έ ύ λύ έ ύ λισχύος σε ένα κύκλωμαισχύος σε ένα κύκλωμα

Σε αυτή την περίπτωση:Σε αυτή την περίπτωση:Σε αυτή την περίπτωση:Σε αυτή την περίπτωση:

Θεωρώντας Θεωρώντας k k πραγματικές πηγές τάσης πραγματικές πηγές τάσης vvsisi(t) (t) ςς ς ς ςς ς ς sisi( )( )εσωτερικής αντίστασης εσωτερικής αντίστασης RRjj

Υ λ ίζ δύ ή ή άΥ λ ίζ δύ ή ή άΥπολογίζουμε την ισοδύναμη πραγματική πηγή τάσης.Υπολογίζουμε την ισοδύναμη πραγματική πηγή τάσης.



3.3.2020

11οο βήμαβήμα:: ΑντικαθιστούμεΑντικαθιστούμε τιςτις πραγματικέςπραγματικές πηγέςπηγές τάσειςτάσεις ((σχσχ..αα)) μεμε

ισοδύναμεςισοδύναμες πηγέςπηγές ρεύματοςρεύματος ((σχσχ..ββ))..

++i++i

RR RRRR11

RR11 RRkkRRkk

-+

vviis1s1vv-+

iis1s1

---vvss11

---vvsksk

Σχ αΣχ α Σχ βΣχ β


Σχ.αΣχ.α Σχ.βΣχ.β


3.3.2121

22οο βήμαβήμα:: απόαπό σχσχ.. ββ ισχύειισχύει ii(t)(t) == iiss11(t)+i(t)+iss22(t)+(t)+ …… ++ iisksk(t)(t)

ii(t)(t) == ∑∑ii==11kk iisisi(t)(t)ΙσχύειΙσχύει …… iisisi(t)(t) == vvsisi // RRii

++i

iiss(t)(t) == ∑∑ii==11kk vvsisi // RRii RR

ΚαιΚαι 1/1/RReqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/1/RRiivviiss

--Σχ.γΣχ.γ



3.3.2222

33οο βήμαβήμα:: μετασχηματίζουμεμετασχηματίζουμε τηντην πηγήπηγή ρεύματοςρεύματος τουτου σχήματοςσχήματος γγ σεσε

πηγήπηγή τάσηςτάσης::ΌπουΌπου::

++i

RRvvss(t) = (t) = RReqeq*i*iss(t) =(t) =RReqeq ∑∑ii=1=1k k vvsisi / / RRiiRR

ΗΗ ισοδυναμίαισοδυναμία (α)(α) && (δ)(δ) ισχύειισχύει μόνομόνο γιαγια

-+

vv τιςτις τάσειςτάσεις καικαι τατα ρεύματαρεύματα ακροδεκτώνακροδεκτών..

ΤαΤα ισοδύναμαισοδύναμα κυκλώματακυκλώματα δενδεν είναιείναι

---vvss

Σχ δΣχ δ

μμ μμ

ενεργειακάενεργειακά ισοδύναμαισοδύναμα..


Σχ.δΣχ.δ

33 2323Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--1 (1/1 (1/33))

3.3.2323ΣτοΣτο κύκλωμακύκλωμα τουτου ΣχΣχ..αα μιαμια ιδανικήιδανική δίοδοςδίοδος DD συνδέεταισυνδέεται ενεν σειράσειρά μεμε

μιαμια ομικήομική αντίστασηαντίσταση RR ΟιΟι χαρακτηριστικέςχαρακτηριστικές τωντων δύοδύο στοιχείωνστοιχείωνμιαμια ομικήομική αντίστασηαντίσταση RR.. ΟιΟι χαρακτηριστικέςχαρακτηριστικές τωντων δύοδύο στοιχείωνστοιχείων

δίνονταιδίνονται στοστο ΣχΣχ..ββ.. ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηη χαρακτηριστικήχαρακτηριστική τουτου ισοδύναμουισοδύναμου

κυκλώματοςκυκλώματος δύοδύο ακροδεκτώνακροδεκτών.. vvRR++

RRii RR

ΚΚvv iiDD

--DD

Σχ αΣχ αΣχ.βΣχ.β


Σχ.αΣχ.α


3.3.2424

++ii iiRR++ ΕνΕν σειράσειρά σύνδεσησύνδεση στοιχείωνστοιχείων RR DD::

ΚΚ vv

++

RRii iiRR

vvRR

++

--

ΕνΕν σειράσειρά σύνδεσησύνδεση στοιχείωνστοιχείων R,R, DD::

ii == iiRR == iiDD καικαι v=v= vvRR+v+vDD

vv

ΚΚ vvDD

iiDDvvDD

++ Ομικήαντίσταση

vv--DD

--RR

ii

ΌτανΌταν ηη δίοδοςδίοδος άγειάγει ((vvDD==00))

ii == iiRR καικαι v=v= vvRR τατα δύοδύο ενεν σειράσειρά iiDD

RR RR

στοιχείαστοιχεία έχουνέχουν συμπεριφοράσυμπεριφορά ομικήςομικής

αντίστασηςαντίστασηςΑνοικτό κύκλωμα

αντίστασηςαντίστασης..


3.3.2525

ΌτανΌταν ηη δίοδοςδίοδος δενδεν άγειάγει ((iiDD==00))

vvΟμικήαντίσταση

ii == iiRR == iiDD ==00 τατα δύοδύο ενεν σειράσειρά

στοιχείαστοιχεία έχουνέχουν συμπεριφοράσυμπεριφορά vvRR

στοιχείαστοιχεία έχουνέχουν συμπεριφοράσυμπεριφορά

ανοικτούανοικτού κυκλώματοςκυκλώματος..

iiΧαρακτηριστικήΧαρακτηριστική (V(V--I)I) τουτου συνδυασμούσυνδυασμού

iiDD

τωντων δύοδύο στοιχείωνστοιχείων:: R,R, DD

Ανοικτό κύκλωμα

33 2626Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--22 ((11/3)/3)

3.3.2626ΣτοΣτο κύκλωμακύκλωμα τουτου ΣχΣχ..αα μιαμια ιδανικήιδανική δίοδοςδίοδος DD συνδέεταισυνδέεται παράλληλαπαράλληλα

μεμε μιαμια ομικήομική αντίστασηαντίσταση RR ΟιΟι χαρακτηριστικέςχαρακτηριστικές τωντων δύοδύο στοιχείωνστοιχείωνμεμε μιαμια ομικήομική αντίστασηαντίσταση RR.. ΟιΟι χαρακτηριστικέςχαρακτηριστικές τωντων δύοδύο στοιχείωνστοιχείων

δίνονταιδίνονται στοστο ΣχΣχ..ββ.. ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηη χαρακτηριστικήχαρακτηριστική τουτου ισοδύναμουισοδύναμου

κυκλώματοςκυκλώματος δύοδύο ακροδεκτώνακροδεκτών..vv

++

RR DD

iiRRDD

ΚΚvv

DD

ii--

Σχ αΣχ αΣχ.βΣχ.β


Σχ.αΣχ.α


3.3.2727

ΕνΕν παραλλήλωπαραλλήλω σύνδεσησύνδεση++

RR DD

ii iiRR iiDD++ ++

ΕνΕν παραλλήλωπαραλλήλω σύνδεσησύνδεση

στοιχείωνστοιχείων R,R, DD:: ii == iiRR ++ iiDD

ΚΚvv

vvRR--

vvDD

++

--καικαι v=v= vvRR == vvDD

--

ΌτανΌταν ηη δίοδοςδίοδος άγειάγει ((vvDD==00)) vv== vvDD == vvRR == 00 τατα δύοδύο ενεν παραλλήλωπαραλλήλω

στοιχείαστοιχεία έχουνέχουν συμπεριφοράσυμπεριφορά διόδουδιόδου..



3.3.2828

ΌΌ δί δδί δ δδ άά ((ii 00)) ii ii ii *R*R δύδύΌτανΌταν ηη δίοδοςδίοδος δενδεν άγειάγει ((iiDD ==00)) ii== iiRR vv== vvDD == vvRR == iiRR*R*R τατα δύοδύο

ενεν παραλλήλωπαραλλήλω στοιχείαστοιχεία έχουνέχουν συμπεριφοράσυμπεριφορά ομικήςομικής αντίστασηςαντίστασης..

vv ΑνοικτόvvDD

Ανοικτό κύκλωμα

iiiiRRΟμική

αντίσταση



3.3.2929ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηη χαρακτηριστικήχαρακτηριστική τουτου ισοδύναμουισοδύναμου κυκλώματοςκυκλώματος δύοδύο

ακροδεκτώνακροδεκτών τουτου σχσχ ααακροδεκτώνακροδεκτών τουτου σχσχ.. αα

++

RRii

vvRR

vvRRVoVo

ΚΚ DD iiDD++vv

--Σχ αΣχ α

Σχ.βΣχ.β

-- vvοο


Σχ.αΣχ.α


3.3.3030

ΙσχύουνΙσχύουν οιοι σχέσειςσχέσεις::++ii ++χχ χ ςχ ς

vv== vvDD ++ vvRR ++ vvοο

ii== ii == ii

RRvvRR

++

-- ii== iiDD == iiRR

ΌΌ άά δί δδί δΚΚ vv

DDvvDD

++

ΌτανΌταν άγειάγει ηη δίοδοςδίοδος:: vv== vvRR++ vvοο

(συμπεριφορά(συμπεριφορά αντίστασηαντίσταση ++ πηγήπηγή))++-- vvοο

--

ΌτανΌταν δενδεν άγειάγει ηη δίοδοςδίοδος ((v<v<vvoo)):: ii== iiDD==iiRR ==00--

οο

((συμπεριφοράσυμπεριφορά ανοικτούανοικτού κυκλώματοςκυκλώματος))



3.3.3131

Ομικήαντίσταση

vvRRVoVo

η

ii

VoVo

iiDDΑνοικτό κύκλωμα


33 3232Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--4 (1/2)4 (1/2)

3.3.3232

ΝαΝα υπολογισθείυπολογισθεί ηη ισοδύναμηισοδύναμη αντίστασηαντίσταση τουτου κυκλώματοςκυκλώματος δύοδύοδ ώδ ώακροδεκτώνακροδεκτών τουτου σχσχ.. αα..

RR RR RRs s εν σειρά με εν σειρά με RReqeq’ ’ όπουόπουRR ’’ RR //// (R(R RR )) Ι ύΙ ύRRss RRss RReqeq’’ = = RRρ ρ // // (R(Rss ++RRρρ) ….. ) ….. Ισχύει:Ισχύει:

RRρρ RRρρ1/1/RReqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/1/RRii

RReqeq’’ = [= [RRρ ρ **(R(Rss ++RRρρ))]] //(R(Rss +2+2RRρρ))

Σχ αΣχ αΚαι … Και … RReqeq = = RRss + + RReqeq’’


Σχ. αΣχ. α


3.3.3333

ΠοιαΠοια είναιείναι ηη ισοδύναμηισοδύναμη αντίστασηαντίσταση τουτου κυκλώματοςκυκλώματος δύοδύοδ ώδ ώ ββ ??ακροδεκτώνακροδεκτών τουτου σχσχ.. ββ.. ??

RR RR RR RRRReqeq’’ = [= [RRρ ρ **(R(Rss ++RRρρ))]]//(R(Rss +2+2RRρρ))RRss RRss RRss RRss(( ss ρρ))

RReqeq’’ ’’ = = RRss + + RReqeq’’

RRρρ RRρρ RRρρ RRρρRReqeq’’ ’’ = = RRss + + RReqeq’’

RReqeq == RReqeq’’’’ ++ RReqeq’’ ’’

Σ βΣ βΜάθημα: Στοιχεία Ηλεκτροτεχνίας

Σχ. βΣχ. β


3.3.3434

Να βρεθούν τα ισοδύναμα των κυκλωμάτων δύο ακροδεκτών των Να βρεθούν τα ισοδύναμα των κυκλωμάτων δύο ακροδεκτών των σχ. α καισχ. α και σχ.βσχ.β..

LL11 LL22 CC11 CC22

σχ. α και σχ. α και σχ.βσχ.β..

LL33 LL44 CC33 CC44

Σχ. αΣχ. α Σχ. βΣχ. β


χχ Σχ. βΣχ. β


3.3.3535

ΠυκνωτέςΠυκνωτές::

ΣεΣε σειράσειρά:: 1/1/CCeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/1/CCii

ΠαράλληλαΠαράλληλα:: CCeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k CCii

ΠηνίαΠηνία::

ΣεΣε σειράσειρά:: LLeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k LLii

ΠαράλληλαΠαράλληλα:: 1/1/LLeqeq= ∑= ∑ii=1=1k k 1/L1/Lii


33 3636Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--5 (5 (33/3)/3)

3.3.3636

LL11 εν σειρά με εν σειρά με LLeqeq’ ’ όπουόπου1 1 ρ μρ μ eqeqLLeqeq’’ = = LL33 // // (L(L22 σε σειρά με σε σειρά με LL44))

Όμοια για την περίπτωση του κυκλώματος των Όμοια για την περίπτωση του κυκλώματος των πυκνωτών:πυκνωτών:πυκνωτών:πυκνωτών:CC1 1 εν σειρά με εν σειρά με CCeqeq’ ’ όπουόπουCCeqeq’’ == CC33 //// (C(C22 σε σειρά μεσε σειρά με CC44))CCeqeq CC33 // // (C(C22 σε σειρά με σε σειρά με CC44))


33 3737Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--77 ((11//33))

3.3.3737

∆ιαιρέτης∆ιαιρέτης ήή καταμεριστήςκαταμεριστής τάσηςτάσης..ii

++ ii11ΣτοΣτο κύκλωμακύκλωμα τουτου ΣχΣχ..αα μιαμια πηγήπηγή

άά δ ίδ ί έέ δ όδ όvv11

++

--++

τάσηςτάσης τροφοδοτείτροφοδοτεί ένανέναν συνδυασμόσυνδυασμό

αντιστάσεωναντιστάσεων ενεν σειράσειρά.. ΝαΝα βρεθείβρεθεί ηηRR11

vvssvv++ ii22

--πτώσηπτώση τάσηςτάσης σεσε κάθεκάθε αντίστασηαντίσταση..

ΝΝ ίί άά vv22--

ΝαΝα γενικευτείγενικευτεί ηη απάντησηαπάντηση γιαγια nn

αντιστάσειςαντιστάσεις..RR22

Σχ.αΣχ.α



3.3.3838

ΟιΟι αντιστάσειςαντιστάσεις είναιείναι ενεν σειράσειρά συνεπώςσυνεπώς ισχύουνισχύουν οιοι σχέσειςσχέσεις::

vvss== vvRR11 ++ vvRR22

ii== ii == ii ∆ιαιρέτης ή∆ιαιρέτης ήii== iiRR11 == iiRR22

ΣυνεπάγεταιΣυνεπάγεται ……..

∆ιαιρέτης ή ∆ιαιρέτης ή καταμεριστήςκαταμεριστής τάσηςτάσης

γγ

vvss== RR11**ii ++ RR22**ii == ii ** (R(R11++ RR22))

ii // (R(R ++ RR )) ii == vvss // (R(R11 ++ RR22))

ΥπολογίζουμεΥπολογίζουμε τιςτις πτώσειςπτώσεις τάσειςτάσεις::vvRR11== RR11**ii && vvRR22 == RR22**ii

vvRR11== vvss ** [[RR11 // (R(R11 ++ RR22)])] && vvRR22== vvss ** [[RR22 // (R(R11 ++ RR22)])]



3.3.3939

ΓενίκευσηΓενίκευση (περίπτωση(περίπτωση nn ενεν σειράσειρά αντιστάσεων)αντιστάσεων)::

vvss== vvRR11 ++ vvRR22 ++ ……..++ vvRRnn

ii== iiRR11 == iiRR22 == …………....== iiRRnn

Σ άΣ ά ……..ΣυνεπάγεταιΣυνεπάγεται ……..vvss== RR11**ii ++ RR22**ii ++ RRnn**ii == ii ** (R(R11++ RR22 ++……++ RRnn)) == ii ** RReqeq

ii == vvss // RReqeq

ΥπολογίζουμεΥπολογίζουμε τιςτις πτώσειςπτώσεις τάσειςτάσεις::vvRR11== RR11**ii && vvRR22 == RR22**ii ……....ο ογ ζουμεο ογ ζουμε ςς ώσε ςώσε ς άσε ςάσε ς RR11 11 && RR22 22

vvRnRn== vvss ** [[RRnn // RReqeq]] όπουόπου ReqReq==∑∑ii==11nn RRii


qq ii


3.3.4040

∆ιαιρέτης∆ιαιρέτης ήή καταμεριστήςκαταμεριστής ρεύματοςρεύματος..

++ ii11 ii22ΣτοΣτο κύκλωμακύκλωμα τουτου ΣχΣχ..αα μιαμια πηγήπηγή

ύύ δ ίδ ί έέ

RR RRvv11

++vv22

++iissρεύματοςρεύματος τροφοδοτείτροφοδοτεί ένανέναν

συνδυασμόσυνδυασμό αντιστάσεωναντιστάσεων ενενvv RR11 RR22

vv11

--vv22--παραλλήλωπαραλλήλω.. ΝαΝα βρεθείβρεθεί τοτο ρεύμαρεύμα

δ έδ έ άθάθ ίί ΝΝ

--πουπου διαρρέειδιαρρέει κάθεκάθε αντίστασηαντίσταση.. ΝαΝα

γενικευτείγενικευτεί ηη απάντησηαπάντηση γιαγια nn

αντιστάσειςαντιστάσεις.. Σχ.αΣχ.α



3.3.4141

ΟιΟι αντιστάσειςαντιστάσεις είναιείναι ενεν παραλλήλωπαραλλήλω συνεπώςσυνεπώς ισχύουνισχύουν οιοι

σχέσειςσχέσεις::

vv == vvRR11 == vvRR22RR11 RR22

iiss== iiRR11 ++ iiRR22

ΣυνεπάγεταιΣυνεπάγεται ……..vv== RR *i*i == RR *i*ivv== RR11*i*iRR11 == RR22*i*iRR22

iiRR11 == vv // RR11 && iiRR22 == vv // RR22

iiss == vv // RReqeq όπουόπου:: RReqeq== (R(R11*R*R22)) // (R(R11 ++ RR22))

vv == ii ** (R(R11*R*R22)) // (R(R11 ++ RR22))


vv == iiss (R(R11 RR22)) // (R(R11 ++ RR22))


3.3.4242

ΥπολογίζουμεΥπολογίζουμε τατα ρεύματαρεύματα πουπου διαρρέουνδιαρρέουν τιςτις αντιστάσειςαντιστάσεις::

iiRR11 == vv // RR11 == iiss ** RR22 // (R(R11 ++ RR22))

iiRR22 == vv // RR22 == iiss ** RR11 // (R(R11 ++ RR22))

∆ιαιρέτης ή ∆ιαιρέτης ή

RR22 22 ss 11 (( 11 22))

α ρέ ης ήα ρέ ης ήκαταμεριστήςκαταμεριστής ρεύματοςρεύματος

ΓενίκευσηΓενίκευση (περίπτωση(περίπτωση nn ενεν παραλλήλωπαραλλήλω αντιστάσεων)αντιστάσεων)::

vvss== vvRR11 == vvRR22 ==……..== vvRnRn

ii == iiRR11 ++ iiRR22 ++ ++ iiRRΜάθημα: Στοιχεία Ηλεκτροτεχνίας

iiss iiRR11 ++ iiRR22 ++ …………....++ iiRnRn


3.3.4343

ισχύειισχύει……..

vv== RReqeq*i*iss μεμε 11//RReqeq== GGeqeq ==∑∑ii==11nn 11//RRii

ΣυνεπώςΣυνεπώς γιαγια τοτο ρεύμαρεύμα iinn πουπου διαρρέειδιαρρέει τηντην RRnn

ΙσχύειΙσχύει iinn== vv //RRnn == iiss [[RReqeq//RRnn]] όπουόπου ReqReq==∑∑ii==11nn 11//RRii

………………………………....καικαι iinn== iiss [[GGnn//GGeqeq]]


33 4444Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--99--α (α (11/1/188))

3.3.4444

ΘεώρημαΘεώρημα μέγιστηςμέγιστης μεταφοράςμεταφοράς ισχύοςισχύος.. ΣτοΣτο σχέδιοσχέδιο αα μιαμια

πραγματικήπραγματική πηγήπηγή τάσηςτάσης μεμε εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση RRss τροφοδοτείτροφοδοτεί

μιανμιαν αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου RRLL.. ΖητείταιΖητείται νανα βρεθείβρεθεί ηη ισχύςισχύς πουπουμιανμιαν αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου RRLL.. ΖητείταιΖητείται νανα βρεθείβρεθεί ηη ισχύςισχύς πουπου

μεταφέρεταιμεταφέρεται στηνστην αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου καικαι ηη ισχύςισχύς πουπου

καταναλώνεταικαταναλώνεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτης πηγήςπηγής.. ΓιαΓια ποιαποια

τιμήτιμή τηςτης αντίστασηςαντίστασης φορτίουφορτίου ηη μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύςισχύς γίνεταιγίνεταιμήμή ηςης α σ ασηςα σ ασης φορ ουφορ ου ηη με αφερόμε ημε αφερόμε η σχύςσχύς γ ε αγ ε α

μέγιστη?μέγιστη? ΠόσηΠόση είναιείναι ηη μέγιστημέγιστη μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύς?ισχύς? ΌτανΌταν ηη

μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύςισχύς είναιείναι μέγιστη,μέγιστη, πόσηπόση είναιείναι ηη καταναλισκόμενηκαταναλισκόμενη

στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση ισχύς?ισχύς?


ηη ρ ήρ ή ηη χ ςχ ς


3.3.4545

ΟιΟι αντιστάσειςαντιστάσεις είναιείναι ενεν σειράσειράiivvRsRs

++RRss

συνεπώςσυνεπώς ισχύουνισχύουν οιοι σχέσειςσχέσεις::

vv == vv ++ vvvvRRLL

++-- RR

vvss== vvRsRs ++ vvRRLL

ii== iiRsRs == iiRRLLvvssRRLLvv RsRs RRLL

ΣυνεπάγεταιΣυνεπάγεται ……..

--vvss== RRSS**ii ++ RRLL**ii == ii ** (R(RSS++ RRLL))

ii == vvss // (R(Rss ++ RRLL))Σχ.αΣχ.α

ss (( ss LL))



3.3.4646HH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

PP == RR ** ii22 == RR ** [v[v 22 // (R(R ++ RR ))22]] ((ii))PPLL == RRLL ** ii22 == RRLL ** [v[vss22 // (R(Rss ++ RRLL))22]] ((ii))

HH ύύ έέ ήή ίί ήήHH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτης πηγήςπηγής

υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

PPss == RRss ** ii22 == RRss ** [v[vss22 // (R(Rss ++ RRLL))22]] (ii)(ii)

ΗΗ παραγώγισηπαραγώγιση χρησιμοποιείταιχρησιμοποιείται προκειμένουπροκειμένου νανα εντοπισθούνεντοπισθούν καικαι

νανα υπολογισθούνυπολογισθούν τατα ακρόταταακρότατα μιαςμιας συνάρτησηςσυνάρτησης..γγ ρρ μ ςμ ς ρ η ηςρ η ης

ΜέγιστοΜέγιστο:: dfdf//dxdx == 00 ((11ηη παράγωγοςπαράγωγος 00)) && dd22f/dxf/dx22 << 00 (δεύτερη(δεύτερη

παράγωγοςπαράγωγος αρνητική)αρνητική)




3.3.4747

ΠαραγωγίζουμεΠαραγωγίζουμε τηντην PPLL=v=vss22

** [[RRLL // (R(Rss ++ RRLL))22 ]] ωςως προςπρος RRLL γιαγια ναναρ γ γ ζ μρ γ γ ζ μ ηη LL ss [[ LL (( ss LL)) ]] ςς ρ ςρ ς LL γγ

υπολογίσουμευπολογίσουμε τηντην άκραάκρα τιμήτιμή (ως(ως προςπρος RRLL))..

dPdP // dRdR == dd RR ** [v[v 22 // (R(R ++ RR ))22]] //dRdR == ** && ****dPdPLL // dRdRLL == dd RRLL ** [v[vss22 // (R(Rss ++ RRLL))22]] //dRdRLL == ** && ****

** dd (k* )(k* ) // dd kk ** d /d /dd ** dkdk//dd** dd (k*u)(k*u) // dxdx == kk ** du/du/dxdx +u+u ** dkdk//dxdx

**** dd xxmm //dxdx == m*xm*xmm--11

=1=1 =1=1

=v=vss22

** RRLL ((--22)) (R(Rss ++ RRLL))--33 dd (R(Rss ++ RRLL)/)/ dRdRLL ++ vvss22 (R(Rss ++ RRLL))--22 dRdRLL// dRdRLL ==



3.3.4848

=v=v 22 RR (( 22)) (R(R ++ RR ))--33 ++ vv 22 (R(R ++ RR ))--22 ===v=vss22

** RRLL ((--22)) (R(Rss ++ RRLL)) 33 ++ vvss22 (R(Rss ++ RRLL)) 22 ==

== vv 22 (R(R ++ RR ))--22 [[ 22 RR (R(R ++ RR ))--11 ++11 ]] ==== vvss22

** (R(Rss ++ RRLL))--22 [[ --22 RRLL(R(Rss ++ RRLL))--11 ++11 ]] ==

== vvss22

** (R(Rss ++ RRLL))--22 [[ --22 RRLL(R(Rss ++ RRLL))--11 ++11 ]] ==

πολλαπλασιάζουμεπολλαπλασιάζουμε μεμε ((RR ++ RR )) 22 // ((RR ++ RR ))22………….. πολλαπλασιάζουμεπολλαπλασιάζουμε μεμε ((RRss ++ RRLL)) 22 // ((RRss ++ RRLL))22



3.3.4949

…………....== vvss22

** (R(Rss ++ RRLL))--44 [[ --22 RRLL(R(Rss ++ RRLL)) ++ (R(Rss ++ RRLL))22 ]] ==

== vvss22

** (R(Rss ++ RRLL))--44 [[ --22 RRLLRRss --22RRLL22 ++ RRss

22 ++ RRLL22 ++22RRLLRRss ==

== vvss22

** (R(Rss22 ––RRLL

22)) // (R(Rss ++ RRLL))--44 ==

== vvss22

** (R(Rss ––RRLL))** (R(Rss ++RRLL)) // (R(Rss ++ RRLL))--44 ==

dPdPLL // dRdRLL == vvss22

** (R(Rss ––RRLL)) // (R(Rss ++ RRLL))--33



3.3.5050

για να έχουμε μέγιστο για να έχουμε μέγιστο dPdPLL / / dRdRLL =0 =0

vvss22

* * (R(Rs s ––RRLL) ) / / (R(Rs s ++ RRLL))--3 3 =0 =0 RRss == RRLLs s LL

για να έχουμε μέγιστο για να έχουμε μέγιστο dd22PPLL / d/ d22RRLL <0 <0 LL L L

vvss22

* * (R(Rs s ––RRLL) d) d (R(Rs s ++ RRLL))--3 3 dRdRLL + v+ vss22

* * (R(Rs s +R+RLL)) --3 3 dd (R(Rs s -- RRLL)) dRdRLL ==

== --33 vvss22

** (R(Rss ––RRLL) /) / (R(Rss ++ RRLL))44 -- vvss22

** (R(Rss +R+RLL)) --3 3 = ….. *= ….. * RRss == RRL …L …

=0=0ss s s LL s s LL ss s s LL s s L … L …

dd22PPLL / d/ d22RRL L = = -- vvss2 2 /2R/2Rss

3 3 <0 <0 … η δεύτερη παράγωγος … η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητικήείναι αρνητική


είναι αρνητική είναι αρνητική ……


3.3.5151

dd22PPLL / d/ d22RRLL == -- vv 2 2 /2R/2R 3 3 <0<0 συνεπώς η δεύτερησυνεπώς η δεύτερηdd PPLL / d/ d RRL L vvss /2R/2Rss <0 <0 συνεπώς … η δεύτερη συνεπώς … η δεύτερη

παράγωγος είναι αρνητική παράγωγος είναι αρνητική η ισχύς που μεταφέρεται στην η ισχύς που μεταφέρεται στην

αντίσταση φορτίου γίνεται μέγιστη για αντίσταση φορτίου γίνεται μέγιστη για RRs s == RRLL

Αυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στηνΑυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στηνΑυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στην Αυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στην

πηγή.πηγή.

PPLmaxLmax=v=vss22

** [[RRLL / (R/ (Rss ++ RRLL))22 ]]….…. RRss == RRLL ….. ….. LmaxLmax ss LL (( s s LL)) s s LL

PPLmaxLmax=v=vss22

* * [[RRss / 4R/ 4Rss22]] = v= vss

22 / 4R/ 4Rss



3.3.5252

PPLmaxLmax= v= vss22 / 4R/ 4RssLmaxLmax ss ss

PP ΗΗ μέγιστη ισχύςμέγιστη ισχύς που είναι δυνατόν να παρασχεθείπου είναι δυνατόν να παρασχεθείPPLmaxLmax : : Η Η μέγιστη ισχύςμέγιστη ισχύς που είναι δυνατόν να παρασχεθεί που είναι δυνατόν να παρασχεθεί

από μία πραγματική πηγή τάσης (λέγεται: από μία πραγματική πηγή τάσης (λέγεται: ∆ιαθέσιμη∆ιαθέσιμη ισχύς ισχύς

τηςτης πηγήςπηγής). ).

Όταν η μεταφερόμενη ισχύς είναι μέγιστη, πόση είναι η καταναλισκόμενη Όταν η μεταφερόμενη ισχύς είναι μέγιστη, πόση είναι η καταναλισκόμενη

ή ί ύ ?ή ί ύ ?στην εσωτερική αντίσταση ισχύς?στην εσωτερική αντίσταση ισχύς?



3.3.5353

HH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτηςχ ςχ ς ρ χρ χ ηη ρ ήρ ή ηη ηςης

πηγήςπηγής υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

ΤύΤύ (ii)(ii)PP RR ** ii22 RR ** [[ 22 // (R(R RR ))22]]ΤύποςΤύπος (ii)(ii)PPss == RRss ** ii22 == RRss ** [v[vss22 // (R(Rss ++ RRLL))22]]

PPss== vvss22 // 44RRss PPss vvss // 44RRss

ΌτανΌταν στοστο φορτίοφορτίο μεταφέρεταιμεταφέρεται ηη μέγιστημέγιστη ισχύςισχύς HH

καταναλισκόμενηκαταναλισκόμενη στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση ισχύςισχύς είναιείναι ίσηίση

μεμε αυτήαυτή πουπου μεταφέρεταιμεταφέρεται στοστο φορτίοφορτίο..μεμε αυτήαυτή πουπου μεταφέρεταιμεταφέρεται στοστο φορτίοφορτίο..


33 5454Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--9 (19 (111/1/188))

3.3.5454

ΘεώρημαΘεώρημα μέγιστηςμέγιστης μεταφοράςμεταφοράς ισχύοςισχύος.. ΣτοΣτο σχέδιοσχέδιο ββ μιαμια

πραγματικήπραγματική πηγήπηγή ρεύματοςρεύματος μεμε εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση RRss

τροφοδοτείτροφοδοτεί μιανμιαν αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου RRLL.. ΖητείταιΖητείται νανα βρεθείβρεθεί ηη ισχύςισχύςτροφοδοτείτροφοδοτεί μιανμιαν αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου RRLL.. ΖητείταιΖητείται νανα βρεθείβρεθεί ηη ισχύςισχύς

πουπου μεταφέρεταιμεταφέρεται στηνστην αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου καικαι ηη ισχύςισχύς πουπου

καταναλώνεταικαταναλώνεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτης πηγήςπηγής.. ΓιαΓια ποιαποια

τιμήτιμή τηςτης αντίστασηςαντίστασης φορτίουφορτίου ηη μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύςισχύς γίνεταιγίνεταιμήμή ηςης α σ ασηςα σ ασης φορ ουφορ ου ηη με αφερόμε ημε αφερόμε η σχύςσχύς γ ε αγ ε α

μέγιστη?μέγιστη? ΠόσηΠόση είναιείναι ηη μέγιστημέγιστη μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύς?ισχύς? ΌτανΌταν ηη

μεταφερόμενημεταφερόμενη ισχύςισχύς είναιείναι μέγιστη,μέγιστη, πόσηπόση είναιείναι ηη καταναλισκόμενηκαταναλισκόμενη

στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση ισχύς?ισχύς?


ηη ρ ήρ ή ηη χ ςχ ς


3.3.5555

++ iRL

ΟιΟι αντιστάσειςαντιστάσεις είναιείναι συνδεδεμένεςσυνδεδεμένες

παράλληλαπαράλληλα::iRs

RsRs

iivvRRLL

RR

vv== vvRsRs == vvRRLL

iRs

vvRR vviissRRLL iiss== iiRsRs ++ iiRRLL

Σ άΣ ά

vvRsRs

--ΣυνεπάγεταιΣυνεπάγεται ……..iiss== GGSS*v*v ++ GGLL*v*v == vv ** (G(GSS++ GGLL))

vv == iiss // (G(Gss ++ GGLL))



3.3.5656HH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην αντίστασηαντίσταση φορτίουφορτίου υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

PP == GG ** 22 == GG ** [i[i 22 // (G(G ++ GG ))22]] ((ii))PPLL == GGLL ** vv22 == GGLL ** [i[iss22 // (G(Gss ++ GGLL))22]] ((ii))

HH ύύ έέ ήή ίί ήήHH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτης πηγήςπηγής

υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

PPss == RRss ** vv22 == GGss ** [i[iss22 // (G(Gss ++ GGLL))22]] (ii)(ii)

ΗΗ παραγώγισηπαραγώγιση χρησιμοποιείταιχρησιμοποιείται προκειμένουπροκειμένου νανα εντοπισθούνεντοπισθούν καικαι

νανα υπολογισθούνυπολογισθούν τατα ακρόταταακρότατα μιαςμιας συνάρτησηςσυνάρτησης..γγ ρρ μ ςμ ς ρ η ηςρ η ης

ΜέγιστοΜέγιστο:: dfdf//dxdx == 00 ((11ηη παράγωγοςπαράγωγος 00)) && dd22f/dxf/dx22 << 00 (δεύτερη(δεύτερη





3.3.5757

ΠαραγωγίζουμεΠαραγωγίζουμε τηντην PPLL=i=iss22** [[GGLL // (G(Gss ++ GGLL))22 ]] ωςως προςπρος GGLL γιαγια ναναρ γ γ ζ μρ γ γ ζ μ ηη LL ss [[ LL (( ss LL)) ]] ςς ρ ςρ ς LL γγ

υπολογίσουμευπολογίσουμε τηντην άκραάκρα τιμήτιμή (ως(ως προςπρος GGLL))..

dPdP // dGdG == dd GG ** [v[v 22 // (G(G ++ GG ))22]] //dGdG == ** && ****dPdPLL // dGdGLL == dd GGLL ** [v[vss22 // (G(Gss ++ GGLL))22]] //dGdGLL == ** && ****

** dd (k* )(k* ) // dd kk ** d /d /dd ** dkdk//dd** dd (k*u)(k*u) // dxdx == kk ** du/du/dxdx +u+u ** dkdk//dxdx

**** dd xxmm //dxdx == m*xm*xmm--11

dPdP // dGdG == ii 22 (G(G GG )) // (G(G ++ GG ))--33dPdPLL // dGdGLL == iiss22** (G(Gss ––GGLL)) // (G(Gss ++ GGLL))--33



3.3.5858

για να έχουμε μέγιστο για να έχουμε μέγιστο dPdPLL / / dRdRLL =0 =0

iiss22* * (G(Gs s ––GGLL) ) / / (G(Gs s ++ GGLL))--3 3 =0 =0 GGss == GGLLs s LL

για να έχουμε μέγιστο για να έχουμε μέγιστο dd22PPLL / d/ d22GGLL <0 <0 LL L L

iiss22* * (G(Gs s ––GGLL) d) d (G(Gs s ++ GGLL))--3 3 dGdGLL + i+ iss22

* * (G(Gs s +G+GLL)) --3 3 dd (G(Gs s -- GGLL)) dGdGLL ==

== --33 iiss22** (G(Gss ––GGLL) /) / (G(Gss ++ GGLL))44 -- vvss

22** (G(Gss +G+GLL)) --3 3 = ….. *= ….. * GGss == GGL …L …ss s s LL s s LL ss s s LL s s L … L …

dd22PPLL / d/ d22GGL L = = -- iiss2 2 /2G/2Gss3 3 <0 <0 … η δεύτερη παράγωγος … η δεύτερη παράγωγος

είναι αρνητικήείναι αρνητική


είναι αρνητική είναι αρνητική ……


3.3.5959

dd22PPLL / d/ d22GGLL == -- vv 2 2 /2G/2G 3 3 <0<0 συνεπώς η δεύτερησυνεπώς η δεύτερηdd PPLL / d/ d GGL L vvss /2G/2Gss <0 <0 συνεπώς … η δεύτερη συνεπώς … η δεύτερη

παράγωγος είναι αρνητική παράγωγος είναι αρνητική η ισχύς που μεταφέρεται στην η ισχύς που μεταφέρεται στην

αντίσταση φορτίου γίνεται μέγιστη για αντίσταση φορτίου γίνεται μέγιστη για GGs s == GGLL

Αυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στηνΑυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στηνΑυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στην Αυτή είναι η συνθήκη προσαρμογής του φορτίου στην

πηγή.πηγή.

PPLmaxLmax=i=iss22** [[GGLL / (G/ (Gss ++ GGLL))22 ]]….…. GGss == GGLL ….. ….. LmaxLmax ss LL (( s s LL)) s s LL

PPLmaxLmax=i=iss22* * [[GGss / 4G/ 4Gss

22]] = i= iss22 / 4G/ 4Gss



3.3.6060

PPLmaxLmax= i= iss22 / 4G/ 4GssLmaxLmax ss ss

PP ΗΗ μέγιστη ισχύςμέγιστη ισχύς που είναι δυνατόν να παρασχεθείπου είναι δυνατόν να παρασχεθείPPLmaxLmax : : Η Η μέγιστη ισχύςμέγιστη ισχύς που είναι δυνατόν να παρασχεθεί που είναι δυνατόν να παρασχεθεί

από μία πραγματική πηγή ρεύματος (λέγεται: από μία πραγματική πηγή ρεύματος (λέγεται: ∆ιαθέσιμη∆ιαθέσιμη

ισχύς τηςισχύς της πηγήςπηγής). ).

Όταν η μεταφερόμενη ισχύς είναι μέγιστη, πόση είναι η καταναλισκόμενη Όταν η μεταφερόμενη ισχύς είναι μέγιστη, πόση είναι η καταναλισκόμενη

ή ί ύ ?ή ί ύ ?στην εσωτερική αντίσταση ισχύς?στην εσωτερική αντίσταση ισχύς?


33 6161Πρόβλημα 3.5Πρόβλημα 3.5--9 (9 (118/18)8/18)

3.3.6161

HH ισχύςισχύς πουπου παρέχεταιπαρέχεται στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση τηςτηςχ ςχ ς ρ χρ χ ηη ρ ήρ ή ηη ηςης

πηγήςπηγής υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως::

ΤύποςΤύπος (ii)(ii) PPss== iiss22 // 44GGss

ΌτανΌταν στοστο φορτίοφορτίο μεταφέρεταιμεταφέρεται ηη μέγιστημέγιστη ισχύςισχύς HHΌτανΌταν στοστο φορτίοφορτίο μεταφέρεταιμεταφέρεται ηη μέγιστημέγιστη ισχύςισχύς HH

καταναλισκόμενηκαταναλισκόμενη στηνστην εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση ισχύςισχύς είναιείναι ίσηίση

μεμε αυτήαυτή πουπου μεταφέρεταιμεταφέρεται στοστο φορτίοφορτίο..



3.3.6262

ΜεΜε τηντην βοήθειαβοήθεια τουτου θεωρήματοςθεωρήματος τουτου MillmanMillman,, νανα υπολογιστείυπολογιστεί

ύύ ύύ ύύ ώώ ώώτοτο ισοδύναμοισοδύναμο κύκλωμακύκλωμα δύοδύο ακροδεκτώνακροδεκτών τουτου κυκλώματοςκυκλώματος..

∆ίνονται∆ίνονται:: R=R=100100ΩΩ,, vv11(t)=(t)=1010V,V, vv22(t)=(t)=2020ημωημωtt V,V, vv33(t)=(t)=55συνωσυνωtt VV &&

++ivv55(t)=(t)=22ee--t t V V

2R2R RR 2R2R3R3R 4R4R

+vv

+ + +-+vvss11

-+vvs2s2-+vvs3s3

-+ vvs5s5


--


3.3.6363

ΣύμφωναΣύμφωνα μεμε τοτο θεώρημαθεώρημα τουτου MillmanMillman ηη εσωτερικήεσωτερική αντίστασηαντίσταση

τηςτης ισοδύναμηςισοδύναμης πηγήςπηγής τάσηςτάσης δίνεταιδίνεται απόαπό τηντην σχέσησχέση::

11//ReqReq== 11//200200 ++ 11//100100 ++ 11//300300 ++ 11//200200 ++ 11//400400 ==

== 55**1010--33 ++ 1010**1010--33 ++ 33,,3333**1010--33 ++ 55**1010--33 ++ 22,,55**1010--33 ==

== 2525,,8383 **1010--33 ReqReq==3838,,77ΩΩ,,88 qq 88,,



3.3.6464

ΗΗ τάσητάση τηςτης ισοδύναμηςισοδύναμης πηγήςπηγής τάσηςτάσης δίνεταιδίνεται απόαπό τηντην σχέσησχέση::

vvss(t) =(t) =RReqeq ∑∑ii=1=1k k vvsisi / / RRii ==

==38,738,7 [[1010/200+(/200+(2020ημωημωtt)/100+()/100+(55συνωσυνωtt)) /300+0+ 2/300+0+ 2ee--t t /400] /400]

vvss(t) (t) = 1,935 + 7,74ημω= 1,935 + 7,74ημωtt + 0,645συνω+ 0,645συνωtt + 0,193+ 0,193 ee--tt



3.3.6565

++iΝαΝα βρεθείβρεθεί τοτο ισοδύναμοισοδύναμο κύκλωμακύκλωμα

RR

kk πραγματικώνπραγματικών πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος

((ii jj RR jj (j=(j=11 22 k)k))) τουτου σχσχ αα

vvRR11iis1s1

((iisjsj,, RRsjsj (j=(j=11,,22,,……k)k))) τουτου σχσχ..αα

συνδεδεμένωνσυνδεδεμένων ενεν σειράσειρά..

ΟΟ ενεν σειράσειρά συνδυασμόςσυνδυασμός kk πραγματικώνπραγματικών

RRkkii kk

πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος τουτου σχσχ..αα

μετασχηματίζεταιμετασχηματίζεται στονστον ενεν σειράσειρά

--

iisksk

σχ.ασχ.α

ζζ

συνδυασμόσυνδυασμό kk πηγώνπηγών τάσηςτάσης (σχήμα(σχήμα β)β)..


χχ


3.3.6666

++i ++i ΟΟ ενεν σειράσειρά συνδυασμόςσυνδυασμός kk

RR

RR11πραγματικώνπραγματικών πηγώνπηγών ρεύματοςρεύματος

τουτου σχσχ..αα μετασχηματίζεταιμετασχηματίζεται στονστον

vvRR11iis1s1

vv-+vvss11ενεν σειράσειρά συνδυασμόσυνδυασμό kk πηγώνπηγών

τάσηςτάσης (σχήμα(σχήμα β)β)..ςς (( ))

ΓιαΓια τηντην ισοδυναμίαισοδυναμία ισχύειισχύει::

RR iiRRkkii kk

RRkk vvsjsj = = RRjj iisjsj

όό j 1 2 kj 1 2 k--

iisksk-+vvsksk --

όπου: όπου: j=1, 2,…kj=1, 2,…k


σχ.βσχ.β


3.3.6767

Η ισοδύναμη αντίσταση του συνδυασμού είναι:Η ισοδύναμη αντίσταση του συνδυασμού είναι:

RReqeq= ∑= ∑j=1j=1k k RRjj

ΗΗ ισοδύναμηισοδύναμη τάσητάση τουτου συνδυασμούσυνδυασμού::

vvss==∑∑j=j=11kk vvsjsj == ∑∑j=j=11kk RRjj iisjsj

καικαι γιαγια τοτο ρεύμαρεύμα τηςτης ισοδύναμηςισοδύναμης πηγήςπηγής ρεύματοςρεύματος::

∑∑ iiss== vvss // RReqeq == ((11//RReqeq )*)*∑∑j=j=11kk RRjj iisjsj


Documents

3 chapter 3 ELC v01 - tex.unipi.gr 3_ELC... · ηλεκτρικών κυκλωμάτων, Νίκος