1

1

Statika apsolutno krutog tijela

3.dio

- u ravninu- u prostoru

2

Komplanarne sile:

– konkurentne komplanarne sile– pravci sila ne sijeku se u jednoj to�ci– paralelne sile– antiparalelne sile– spreg sila– kolinearne

3

Komplanarne sile

4

1. Rezultanta silaa) grafi�ki

b) analiti�ki

2. Ravnoteža silaa) grafi�ki

b) analiti�ki

5

1. Rezultanta sila u ravnini

6

a) Grafi�ko rješenje:

2

7

a1) Parcijalni paralelogrami sila

Sila na kruto tijelo je klizni vektor.

A

B

D

C

8

Rezultanta sila

Parcijalni paralelogrami sila ??!Sjecišta pravaca sila izvan papira

9

A gdje se nalazi rezultanta FR?

Poligon sila nam nije više dovoljan prelazimo na verižni poligon10

a 2) Verižni poligon

Položajni nacrt Plan sila

- Sila FA u sjecištu zraka 1 i 2

Sila FA������u zrake 1 i 2

11

a 2) Verižni poligonPoložajni nacrt Plan sila

Rezultanta FR u sjecištu

prve i zadnje zrake

verižnog poligona (1 i 5)

Sila FR u sjecištu zraka 1 i 5

12

Rezultanta paralelnih sila FR!?!

3

13

Koji je pravac rezultante?- hvatište

ABR FFF +=

FB > FA

Poligon sila

14

Verižni poligon – paralelne sile

BAR FF F +=

FB > FA

15

Anti-paralelne sile – rezultanta ?FA > FB

16

Hvatište rezultante ?

BAR FF F +=

17

Verižni poligon – anti-paralelne sile

BAR FF F +=

FA > FB

18

Rezultanta anti-paralelnih silaima smjer ve�e sile i nalazi se na strani ve�e sile.

FA > FB

4

19

Verižni poligon – antiparalelne sile FB> FA

BAR FF F +=

20

Spreg (par) siladvije po iznosu jednake anti-paralelne sile

21

Rezultanta sprega sila

Prva i zadnja zrakaverižnog poligonasijeku se u beskona�nosti !!

Rezultanta?!

22

Verižni poligon – spreg sila

0=+= FF FR

Sile F ne leže na istom pravcu –

to nije ravnoteža sila

23

Spreg sila karakterizira

FhM ⋅=FdM ⋅=

moment sprega sila M (slobodan vektor)

24

Rezultanta komplanarnih sila

5

25

Poligon sila

Položaj rezultante FR = R ….. ?

4321 FFFFRF R +++==

26

Verižni poligonPoložajni nacrt Plan sila

27

Zraka 2

28

Položaj rezultante R u sjecištu prve i zadnje zrake

verižnog poligona

29

Odre�en položaj rezultante FR!

4321 FFFFR FR +++==30

Statika apsolutno krutog tijela

1. Rezultanta silab) Analiti�ki

Varignonov teorem

6

31

Uvodimo pojam:

Stati�ki moment sile

32

STATI�KI MOMENT SILE

Arhimed: Zakon poluge (3. st. prije Krista)

33

ba

ba

FF

ba

bFaF

<<

>>

⋅=⋅

Mala sila na velikom krakuuravnotežuje veliku silu na malom kraku !!

34

Kliješta – sklop dviju poluga

35

Stati�ki moment sile obzirom na to�ku (pol)

FrM O ×=

36

1. Hvatište: To�ka O

2. Pravac (smjer) djelovanja:Pravilo desne ruke: Iz pola O prstima desne ruke idemo u smjeru radijus vektora, a zatimu smjeru sile i palac desne ruke nam pokazuje smjer vektora momenta

Pravac momenta okomit je na ravninu i

FrM O ×=

r F

Vektor:

7

37

3. Iznos stati�kog momenta sile:

( )

α=α−Π

α⋅=�α−π⋅=

=α−Π

sin)sin(

sinrdsinrd

rd

)sin(

FdM

sinFrM

O

O

⋅=⋅⋅= α

FrM O ×=

Iznos stati�kog momenta sile jednak je umnošku intenziteta sile i udaljenosti sile od pola.

38

Stati�ki moment sile prostorne sile:

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

Fr)F(M =×=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzyO

xyyxxzzxyzzyO

FrFrkFrFrjFrFri)F(M

FrFrkFrFrjFrFri)F(M

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=

39

Komplanarna sila F (Oxy)

Sila F i njezine projekcije Fx i Fy (komponente)

(m) jrirr

(kN) jFiFF

yx

yx

⋅+⋅=

⋅+⋅=

ry

rx 40

( )xyyx

yx

yxO FrFrk

FF

rr

kji

Fr)F(M ⋅−⋅⋅==×=00

ry

rx

41

FrFM O ×=)(

)()()( xOyOO FMFMFM +=

ry

rx

42

FeM O ⋅=

FM

e O=ry

rx

8

43

Odsje�ci na koordinatnim osima

44

xyxO FFeM ⋅−⋅= 0

y

ox F

Me =

xyyO FeFM ⋅−⋅= 0

x

Oy F

M e −=

45

xyyxO

xOyOO

FrFr)F(M

)F(M)F(MFr)F(M

⋅−⋅=

+=×=

ry

rx

46

Varignon-ov teorem

Stati�ki moment rezultante obzirom na neki pol jednak je sumi stati�kih momenata komponenata obzirom na taj isti pol.

�=

×=×=n

iiiRRRO FrFrFM

1

)(

)F(M)F(M)F(M

)FrFr(k)F(M

xOyOO

xyyxO

+=

⋅−⋅=

47

Primjer: Rezultanta sila FR = R

48

Varignon-ov teorem

( ) ( )332211R

iORO

hFhFhFhRhF

FM FM

⋅+⋅+⋅=⋅=⋅= Σ

321R FFFRF ++==

sila Rezultanta

9

49

Rezultanta komplanarnih sila

- analiti�ko rješenje

• Paralelne sile• Antiparalelne sile• Par ili spreg sila

50

Rezultanta paralelnih sila

BbAaRR FxFxFx ⋅+⋅=⋅

BA

BbAaR FF

FxFxx

+⋅+⋅= ⋅

BAR FFF +=

Pol to�ka O

51

Rezultanta antiparalelnih sila

BbRR FxFx ⋅=⋅

BAR FFF −=

BA

BbR FF

Fxx

−⋅=

Pol to�ka O

52

Da li se rezultanta antiparalelnih����������izme�u sila FA i FB ?

BA

BbR FF

Fxx

−⋅−=

BbRR FxFx ⋅=⋅−

BAR FFF −=

Predznak – zna�i da se rezultanta FR nalazi s druge, lijeve strane sile FA

53

Rezultanta paralelnih i antiparalelnih sila - vježbe

54

Rezultanta sprega sila

−∞=−=⋅−=00kFd

xR

0=RxF

0=−= FFFRy

0=RF

FdFx RR ⋅=⋅

Rezultanta FR je jednaka nuli.

Kod grafi�kog rješenja smo isto dobili sjecište prve i zadnje zrake verižnog poligona u beskona�nosti.

10

55

Spreg sila karakterizira

FhM ⋅=FdM ⋅=

moment sprega sila M (slobodan vektor)

56

57

Varignon-ov teorem

Koristimo osim za odre�ivanje rezultantekomplanarnog� ����������������������odre�ivanje:

• Koordinata težišta likova i tijela

58

Težište – paralelne sile

59

Težište – lik s otvorom antiparalelne sile

A = Aa - Ab

cm2

cm2

60

11

61 62

Vježbe

63

Doma�a zada�a

64

Težišta ravnih likova

Na osi simetrije uvijek se nalazi težište!

65

Varignonov�����������������ivanje koodinata težišta

�

� ⋅=

i

TiT A

yAy i

�

� ⋅=

i

TiT A

zAz i

66

Statika apsolutno krutog tijela

1. Rezultanta silab) analiti�ki

12

67

Uvodimo pojam:

• Redukcija sile F na pol O

• Dinama sila koja nastaje pri redukciji sile na pol a sastoji se od dva vektora:

– vektora sile

– vektora momenta OM

P

68

Redukcija sile F na pol O

Paralelan pomak sile F iz to�ke A u to�ku O

To�ka O ne nalazi se na pravcu djelovanja sile F

69

Redukcija sile na pol O

70

U to�ci O dodajemo sustav sila u ravnoteži

71 72

Spreg sila

FrMO ×=

13

73

Spreg sila

FhM ⋅=

74

Dinama sila (dva vektora)

Vektor sile Vektor momenta redukcije

FOM

75

1. b) Analiti�ko odre�ivanje rezultante komplanarnih sila FR

FR =?

76

1. Redukcija sustava sila na pol O

2. Zbrajamo vektore

U polu redukcije O dobivamo dinamu sila:

- glavni vektor sila i- vektor momenta redukcije

iFP Σ= ( )iOO FM M Σ=78

Položaj rezultante FR?!

Kako ?

14

79

3. U to�ci R dodajemo sustav sila u ravnoteži

80

4. Moment sprega sila MO= d.F

81

5. Rezultanta !

Ovako !

82

Slu�ajevi koji se mogu javiti priredukciji sustava sila na pol

1. 3.

2. 4.

0

0

=

≠

M

P

0

0

≠

≠

OM

P

0

0

=

=

OM

P

0

0

≠

=

OM

P

83

Redukcija sustava sila na pol

1. slu�aj: Dinama sila

0

0

≠

≠

OM

P

84

Redukcija sustava sila na pol

2. slu�aj: Rezultanta sustava sila- pol redukcije R odabran je

na pravcu djelovanja rezultante0

0

=

≠

M

P

M

F P

R

R

0

0

=

�≠

RF

15

85

Redukcija sustava sila na pol

3. slu�aj: zadani sustav sila svodi se na spreg sila

Poligon sila jezatvoren, ali setri sile ne sijekuu jednoj to�ci!

0

0

≠

=

OM

P

86

Redukcija sustava sila na pol4. slu�aj: Ravnoteža sila (stanje mirovanja)

nema gibanja: niti translacijeniti rotacije

0

0

=

=

OM

P

87

Invarijante diname sila:

1. Glavni vektor sila neovisan je o polu redukcije

2. Projekcija vektora glavnog momenta na pravac glavnog vektora sila konstantna je veli�ina.

P

P

OM

88

Redukcija komplanarnog sustava sila na pol

Kod redukcije komplanarnog� �������������

������������������������������� ����usobno okomiti pa je

projekcija jednaka nuli (konstantna)!

OMP

89

Rezultante komplanarnih sila FR

Zadano:

Tražimo FR:

90

1. Projekcije sila na koordinatne osi

16

91

�==

n

1iixx FP .1

�==

n

1iiyy FP .2

x

y

P

Ptg =α

2y

2x PPP +=

PP

cos x=α

αα =

==

=

R

yRy

xRx

R

PF

PF

PFRezultanta:

Ali pravac rezultante ?

92

Redukcija sustava sila Pi na pol O:

93

Dinama sila: - Glavni vektor sila P -Vektor glavnog momenta MO

Pravac rezultante ?94

Ekscentricitet rezultante e

( ) Ri

n

iOO FePeFMM ⋅=⋅==�

=1

( )

R

n

iiO

F

FMe�

=

95 96

e = ?

PM

e O=

17

97 98

Odre�en je pravac rezultante FR!

Ry

ox F

Me =

Rx

Oy F

Me −=

Odsje�ci na koordinatnim osima:

ex = ?

ey = ?

99

xyxO FFeM ⋅−⋅= 0

y

ox F

Me =

xYyO FeFM ⋅−⋅= 0

x

Oy F

M e −=

Sila F(podsjetnik)

100

( )�=⋅−⋅=n

iiORxRyxO FMF0FeM

( )

Ry

n

iiO

x F

FMe

�=

( )�=⋅−⋅=n

iiORxYRyO FMFeF0M

( )

Rx

n

iiO

y F

FM e�

−=

Varignonov teorem: Moment rezultante obzirom na ishodište jednak je sumi stati�kih momenata komponenata obzirom na ishodište.

101

Ry

ox F

Me =

Rx

Oy F

Me −=

( )

Ry

n

iiO

x F

FMe

�=

( )

Rx

n

iiO

y F

FM e�

−=