TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

Terminologie

Se consider o reea complet cu N noduri, L laturi (poriuni neramificate mrginite de noduri) i O ochiuri fundamentale. Laturile care conin surse se numesc laturi active, iar celelalte, laturi pasive. O poriune de reea se numete activ sau pasiv dup cum conine, respectiv nu conine laturi active.

O latur se numete pasivizat dac provine dintr-o latur sau poriune de reea activ prin anularea valorilor t.e.m.ale acestora, rezistenele interne ramnnd nemodificate.

O reea se numete complet (izolat) dac nu are borne de acces cu exteriorul. O reea incomplet se numete dipol dac are dou borne de acces cu exteriorul i multipol dac are mai multe borne de acces. Se numesc ochiuri succesiunea de laturi constituind o linie nchis.

Sistem de ochiuri fundamentale- ansamblul de ochiuri care cuprinde toate laturile reelei, astfel c existena unuia dintre ochiurile sistemului nu poate fi dedus din cunoaterea laturilor celorlalte ochiuri fundamentale, iar existena oricrui alt ochi al reelei (nefundamental) poate fi dedus din cunoaterea laturilor ochiurilor fundamentale ale sistemului. ntr-o reea dat exist mai multe sisteme de ochiuri fundamentale. Ochiurile fundamentale sunt independente, n sensul c oricare integral scris pentru unul din ele, este liniar independent de integralele scrise pentru celelalte ochiuri independente.

TEOREMA I KIRCHHOFF Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice n regim staionar, s-a demonstrat teorema continuitii:

0=i

Dac nconjoar nodul (r) al unei reele suma intensitilor curenilor care concur n nodul (r) este nul. Semnul pozitiv se alege dirijat dinspre nod spre exterior. Teorema 1 se enun:

Suma algebric a curenilor laturilor ce se ntlnesc ntr-un nod este nul. Teorema 1 se aplica de (N-1)ori.

TEOREMA II KIRCHHOFF

Scriind t.e.m. + sdEE i )( pe curba ce trece prin axa conductorilor ce formeaz ochiul

(p) se obine:

n regim staionar = 0sdE i deci, =

=

pn

kki EsdE

1 unde kE este t.e.m. a sursei

corspunztoare laturii k.

= =

==

n

k k

n

kkkk

p

RIAdsIsdJ

1 1 cu =kR rezultanta laturii k.

Cu aceasta se obine pentru ochiul p, relaia:

= =

=

p pn

k

n

kkkk IRE

1 1

Cu enunul: suma algebric a t.e.m. ale surselor n lungul unui ochi este egal cu suma cderilor de tensiune din laturile ochiurilor. Semnul (+) corespunde surselor sau laturilor pentru care sensul de debitare, respectiv sensul curenilor coincide cu sensul de integrare.

Numrul ochiurilor independente pentru care se va scrie ecuaia independent este

10 += nl .

CALCULUL TENSIUNII NTRE DOU NODURI

Se consider un ochi format dintr-un lan de laturi ale reelei cuprinse ntre cele dou noduri A i B, care se nchide prin aer.

B

AB RK IK

EK

=+ sdJsdEE i )(

A

Parcurgnd ochiul de la B la A prin laturi i de la A la B prin aer se obine ___ Teoremei II a lui Kirchhoff:

=

AB ABABkkk UlRE )( sau

==

AB BAkkkkkkAB ElRlREU )()(

TEOREMA CONSERVRII PUTERILOR

FORMA 1 Suma algebric a puterilor primite de toate laturile reelelor pe la bornele lor, este nul pentru o reea izolat.

FORMA 2 Suma algebric a puterilor debitate de sursele din reea este egal cu suma puterilor disipate n rezistenele laturilor:

= =

=l

k

l

kkkkk IRIE

1 1

2 0

DEMONSTRAIE Se consider o latur n general activ pentru care se scrie conform conveniei de la receptoare relaia:

bkkkk UlRE =*

Multiplicnd relaia anterioar cu Ik se obine relaia de bilan energetic a laturii: 2kkkbkkk IRIUIE =+

RK

EK

Vc

Ubk

IK Vb

unde: gkkk PlE = - puterea debitat de surs

bkkbk PlU = - puterea primit pe la borne

RKkk PlR =2

- puterea disipat n rezisten

Observaie Conform conveniei de la receptoare, pentru asocierea sensurilor de referin produsul UbI are semnificaia de putere primit algebric de latura respectiv.. Dac produsul UbI rezult negativ numeric, rezult c puterea este efectiv cedat de latur.

Dac s-ar fi folosit convenia de la generatore, pentru asocierea sensurilor de referin produsul UbI ar fi reprezentat puterea cedat de latura pe la borne. Dac produsul UbI ar fi rezultat negativ din calculul numeric, puterea ar fi fost efectiv primit de latur. Considerm, Teorema I Kirchhoff pentru un nod, i se multiplic ecuaia obinut cu potenialul Vb al acelui nod.

0)( = kb IV Se consider apoi suma tuturor ecuaiilor scrise pentru toate nodurile:

0)(1

==

N

bkb IV

n aceast sum dubl, fiecare curent Ik va aprea de dou ori fiind multiplicat pe rnd cu fiecare cele dou poteniale de la bornele laturii k, intervenind cu semnul (+) pentru curentul care iese i (-) pentru curentul care intr. Deci suma anterioar se poate transforma ntr-o sum pe laturi

=

=

L

kcbk VVl

10)( unde bccb UVV = tensiunea de la bornele laturilor k

deci =

=

L

kbkkUI

10 i 0)(

1=

=

k

L

kkkk IEIR deci, toerema conservrii puterilor sub forma

prezentat este o consecin a teoremelor lui Kirchhoff.

TEOREMA TRANSFERULUI MAXIM DE PUTERE Se consider circuitul din figur, considerndu-se cunoscute valorile t.e.m. E i a

rezistenei iR (interioar a sursei).

Se cere determinarea rezistenei receptorului R pentru care puterea dat de generator pe la bornele AB este maxim.

( ) 022

26 >

+===

ib RR

REIIUP

Funcia este continu, anulndu-se pentru = RsiR 0 i are un punct de extrem n

acest interval.

Maximul, se obine din condiia:

RRdRdP

ib

== 0

Deci: O sarcin conectat la bornele unei surse absoarbe putere maxim dac valoarea rezistenei ei este egal cu rezistena intern a sursei.

Puterea maxim debitat de generator la borne, este Ri

EP4

2

max =

Deoarece puterea debitat de surs este:

ig R

EEIP2

2

==

randamentul instalaiei este n acest caz n care iRR =

5,0==g

b

PP

Grafic, variaia puterii la borne n funcie de variaia rezistenei R se prezint:

A

B

Ri

R

E Ub

TEOREMA SUPERPOZIIEI Intensitatea curentului electric n oricare latur a unei reele electrice liniare complete

este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar stabili prin acea latur fiecare din surse, dac s-ar gsi singur n reea. Teorema rezult din caracterul liniar al ecuaiei lui Kirchhoff.

=

=

b

k 10 (pentru fiecare nod 1...2,1 = Nb )

=kE kk

IR (pentru fiecare ochi 0...2,1=p )

Rezolvnd prin regula lui Cramer sistemul de ecuaii se obine pentru curentul din latura j o expresie de forma:

=

=++++=1

2211......

kKKjLLjKKjjjj EGEGEGEGEGI

adic o funcie liniar i omogen n raport cu t.e.m. din laturi. =KjG conductana de transfer de

la latura K la j.

Relaia se poate scrie =

=

L

kjKj II

1

unde KJKjK EGI = este curentul din latura j cnd toate t.e.m. sunt nule n afar de Ek. Deci [ ]

hjEEjjk jKII

==

;0;0.

Deci, calculul unei reele cu teorema superpoziiei const din: - anularea t.e.m. a tuturor surselor din reea, afar de una singur (cu pastrarea rezistenei

interioare); - calculul curenilor reelei mai simple obinute astfel; - repetarea operaiei pentru numrul total de laturi active ale reelei;

Pb

R

Ri 3Ri 2Ri

Pbmax

- calculul curenilor reali fcnd suma algebric a curenilor obinui anterior n fiecare latur.

TEOREMELE GENERATORULUI ECHIVALENT

Se numete sarcin echivalent a unei reele neizolate date, schema unei reele fictive care ar putea nlocui reeaua dat n reeaua mai mare din care face parte, fr s se schimbe curenii care intr sau ies pe la bornele de acces sau diferenele de potenial dintre borne.

Se consider un dipol liniar activ, adic o reea liniar i activ cu bornele de acces A i B. Dac la aceste borne se leag o rezisten, va trece un curent IAB, iar ntre borne se va stabili o

tensiune RIU ABAB = .

Teoremele generatorului echivalent arat c un dipol liniar activ admite dou scheme echivalente, numite: schema generatorului de tensiune echnivalent (fig.1) i schema generaturului de curent echivalent (fig.2).

A

B

IAB

R UAB EK

A

B

IAB

Fig. 1

R

Fig. 2

RABO RABO

RABO

TEOREMA GENERATORULUI DE TENSIUNE ECHIVALENT (Thvenin - Helmholtz)

Curentul IAB debitat de o reea liniar ntr-o rezisten R legat la bornele (AB) este egal cu raportul ntre tensiunea UABO de mers n gol la bornele (AB) i suma ntre rezistena exterioar R i rezistena interioar a reelei pasivizate RABO.

Demonstraia se bazeaz pe teorema superpoziiei. Se presupune reeaua cu rezistena R provenind prin superpoziie din dou reele (a) i (b) ca n figur.

(a) are toate sursele cu t.e.m. din reeaua iniial i n plus o surs cu t.e.m. ABOUE = n latura de rezisten R, sensul ei fiind opus sensului de referin al curentului. n acest fel se poate menine UABO i nu trece nici un curent prin latura de rezisten R.

(b) are un singur generator cu t.e.m. ABOUE = care acioneaz n latura de rezisten R i al crui sens coincide cu sensul curentului.

Curentul ABO

ABO

ABOAB RR

URR

EI+

=

+

= , unde ABOR este rezistena reelei pasivizate ntre

bornele AB.

)0( ==+= ABABABABAB IIIII

deci ABO

ABOAB RR

UI

+=

Ek0

A

B

IAB

UAB

A

B

IAB=0

E=UABO

RABO Ek=0

IAB

E=UABO a b

unde UABO este tensiunea de la borne nainte de legarea rezistenei R; RABO este rezistena reelei pasivizate nainte de legarea rezistenei R. deoarece expresia coincide cu expresia curentului debitat de un generator cu t.e.m. UABO i rezistena interioar serie RABO pe o rezisten exterioar R, rezult c aceast teorem stabilete c o reea electric poate fi nlocuit

n raport cu dou borne printr-un generator echivalent de tensiune avnd t.e.m. ABOUE = i

ABOi RR = . Schema este convenabil n special cnd RRABO .

RU

I ABOAB

TEOREMA GENERATORULUI ECHIVALENT DE CURENT (NORTON)

Tensiunea ABU produs n sarcin de o reea liniar care alimenteaz o rezisten exterioar

R, este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit ABSI al reelei la acele borne i suma

ntre conductana reelei pasivizat 0

0

1AB

AB RG = i conductana reelei exterioare

RG 1=

Pentru demonstraie, considerm teorema precedent ABSI se obine legnd bornele

AB n scurtcircuit (rezistena exterioar R=0). Conform teoremei lui Thvenin-Helmholtz, el are valoarea

ABABAB

ABABS UGR

UI ==

0

0

0

Tensiunea ABU n sarcina este:

0

0

AB

ABABAB RR

URIRU

+==

Deoarece G

R 1= i 0

0

1AB

AB GR = ,

rezult:

GGI

UAB

ABAB

s

+=

0

Schema echivalent este cea din figura 2, deoarece din aceast teorem rezult c orice reea se poate nlocui n raport cu dou borne A,B cu un generator echivalent de curent care

debiteaz un curent constant sABq

II = i are o conductan interioar (n paralel) 0ABi

GG = .

n adevr, din fig.2 se deduce:

0

0

AB

ABAB

i

igAB RR

RI

RRR

IIs +

=

+=

i 0

0

AB

ABABABAB RR

RRIRIU

s +

==

i GG

IUAB

ABsAB+

=

0

1

Schema este convenabil n special cnd GGAB 0 .

TEOREMA CURENILOR DE OCHIURI (MAXWELL)

Teorema curenilor de ochiuri reprezint o metod de rezolvare a reelelor de L laturi i N noduri, ce const n alctuirea unui sistem de 1+= NLO ecuaii, corespunztor ochiurilor

fundamentale, mereu inferior numrului L de ecuaii n sistemul lui Kirchhoff. Curenii fictivi, nchii asociai ochiurilor fundamentale ndeplinesc urmtoarele condiii:

pentru fiecare latur a reelei, curentul real trebuie s fie suma algebric a curenilor de ochiuri care trec prin acea latur.

Exemplu:

Relaiile ntre cureni sunt:

I3

I

E

3215

423213

2311

IIIIIIIIIII

IIII

==

==

==

Aplicnd T II Kirchhoff, obinem:

4422

554433

225511

00

RIIRERIRIRIIRIRIR

+=

=

+=

nlocuind, obinem:

( )( )

( ) ( ) 42321352142332

21352111

)(0)(0

RIIRIIERIIRIIRI

RIIRIIRI

+=

=

+=

Grupnd, rezult:

( )( )

( ) 342241234254315

32251251

00

IRRIRIREIRIRRRIR

IRIRIRRR

++=

+++=

++=

La scrierea ecuaiei s-a inut cont:

=pE algebric a surselor aferente ochiului

>= 0lorrezistenteR pp

=pqR rezistenelor laturilor comune ochiurilor p,q. Dac qp IsiI au acelai sens prin

laturile comune, 0pqR ; dac au sensuri contrare 0pqR

Rezolvnd sistemul cu regula lui Cramer, se obin relaiile:

sistem

pEp

Ep

EI p

=

++

+

= ...2

21

1

pq se obine din prin eliminarea liniei q i coloanei p. Minomul se nmulete cu

( ) qp+1 . qppq =

TEOREMA RECIPROCITII Presupunem c ntr-o reea exist o singur t.e.m. E, situat pe latura k a ochiului p,

rezultnd pentru curentul de ochi qI expresia:

=pq

q EI

Dac t.e.m. se mut pe latura j a ochiului q se obine

=

pqp EI .

Se pot considera astfel curenii prin ochiuri nct numai ochiul q s treac prin latura j i numai ochiul p prin latura k.

( )( )

( ) ( )kjjkjkjp

kjkq

IIsiEEII

EEII

=

==

==

Deci:

Curentul produs ntr-o latur j a unei reele de o surs situat ntr-o alt latur k (fr alte surse) este egal cu curentul produs n latura k de aceeai surs legat n j.