3. Vlny za kačkou

Ak pozorujete vlny, ktoré vytvára kačka plávajúca po jazere, pripomínajú Machov kužeľ. Od akých parametrov závisí obrazec vytváraný vlnami?

Jozef Brestenský, Tomáš Šoltis, FMFI Katedra astronómie, fyziky Zeme a meteorológie

Potrebné základné pojmy pre vlny v tekutinách

- povrchové vlny (surface waves)

- gravitačné vlny (gravity waves) v priblížení hlbokej vody

- disperzia

- fázová a grupová rýchlosť vĺn

- interferencia

- metóda stacionárnej fázy

Odvodenie tvaru vĺn nájdením podmienok pre body, kde prebieha konštruktívna interferencia

Na obr. je jeden z možných systémov vĺn, ktorých vrcholy zvierajú so smerom pohybu

lode ľubovoľný uhol 90 ,90 . Fázové rýchlosti vĺn odpovedajú rýchlosti lode

a zrejme súvisia s ich smerovaním podľ

U

a sin . (1)

Disperzný vzťah pre povrchové gravitačné vlny pri 90 je

. 2

c U

g gc

k k

(2)

2 2

Potom vlnové čísla závisia od takto

. (3)sin

Fáza vlny je (pre čas 0 a pr

k

gk

U

t t

k r e uhol )

sin( ). (4)

Konštruktívnu interferenciu v zmysle Kelvinovej metódy stacionárnej fázy

predpokla

k r

k r

dáme v tých bodoch P, u ktorých fáza sa mení veľmi slabo, t. j. v okolí

d ( , )bodov, kde 0. Teda pri

d

d d sin( ) cos( ) = 0

d d

k

k

r k rk k

(5)

a ďalej pri

d cos d d 1 2 , teda tg (6, 7)

sin d 2

kk

k k

2

0

máme vzťah

tg tg , (8)

2 tg

dávajúci závislosť ( ), ktorá je vyjadrená na obrázk

o

o

u dole. Vidieť, že extremné hodnoty

1 1 arctg 2 54,7 a arctg arcsin 19,5 (9, 10)

32 2

veľmi pekne korešpondujú pozorovaniam. Uhly 19,5 určujú hranicu Kelvinov

o

ho

klinu stopy lode.

0 0

Na obrázku dole z vybraných bodov čiarkovanej čiary vystupujú vrcholy dvoch vĺn

priečnych a vejárovitých s rovnakou dotyčnicou s 54,7 (hore) a 54,7 (dole).

Ak je 19,5 , tak uhlu odpove

0dajú dva rôzne , t.j. sklony vrcholu vlny priečnej

a vrcholu vlny vejárovitej. Pri 19,5 je interferenčný obraz zosilnený na kline aj preto,

lebo sa na ňom stretávajú oba systémy vĺn priečne a ve

járovité.

Námety pre pozorovanie a experimenty

1/ 2

2

klinový obrazec vĺn nezávisí na rýchlosti lode; určite klinu 39

amplitúda vĺn v čase klesá ako

vlnové dĺžky vznikajúcich vĺn závisia od rýchlosti lode ako

t t

U U

Použitá (odporúčaná) literatúra

1.) J. Lighthill: Waves in Fluids, CUP, Cambridge, 1978

2.) T. E. Faber: Fluid Dynamics For Physicists, CUP, Cambridge, 1995

3.) J. Billingham & A. C. King: Wave Motion, CUP, Cambridge, 2000

4.) J. Walker: Stopa pohybujúcej sa lode predstavuje zložitý interferenčný obraz, Scientific American (ruská verzia: V mire nauki), Apríl 1988

5.) J. J. Stoker: Water waves, Interscience publishers, 1957

Existuje množstvo www stránok. Pri hľadaní v Google použite slovné spojenie „ship waves“