1 Úvod

Obrázok na titulnej strane našej práce znázorňuje päť brán do matematiky a cesty,

ktoré k nim vedú sa nazývajú: umenie počítať, umenie vidieť, umenie dokazovať,

umenie zostrojovať a umenie abstrahovať. Tento obrázok ako aj knižka „Umenie

vidieť v matematike“ a na prvý pohľad zaujímavé, pekné a názorné priestorové

obrázky spolu s komplikovanými algebrickými vzorcami v holandskom časopise, nás

inšpirovali k spracovaniu práce SOČ.

V živote sa veľmi často stretávame s rôznymi schémami, grafmi, technickými

výkresmi, ktoré nám pomáhajú pri práci a môžu nám ju zjednodušiť. Podobnú úlohu

zohrávajú v matematike geometrické znázornenia a úvahy geometrického typu.

Slúžia na lepšie pochopenie výkladu a nových pojmov, ale taktiež majú veľký význam

pri riešení rozličných zložitejších úloh. Geometriu nemáme brať ako niečo zložité.

Práve naopak, prostredníctvom nej sa máme naučiť vidieť a zjednodušovať si

komplikované pojmy a situácie. Veríme, že aj v umení vidieť v matematike sa každý

z nás môže zdokonaľovať a naša práca môže pomôcť žiakom i učiteľom pri tomto

procese.

Prácu sme rozčlenili na niekoľko častí. V kapitole Názornosť v matematike sa

stručne zaoberáme touto témou z teoretického didaktického hľadiska.

Aké sú názory žiakov kežmarského gymnázia na nami študovanú

problematiku ako aj čo konkrétne vidia na niekoľkých predložených obrázkoch, sme

zisťovali anketou. Na otázky ankety odpovedalo spolu 209 respondentov a jej

výsledky sme spracovali v ďalšej časti práce,

Rozsahom najobsiahlejšou je kapitola Umenie vidieť v rôznych úlohách. Túto

časť sme spracovali tak, že sa môže využiť na hodinách matematiky ako zbierka

zaujímavých úloh s bohatou obrázkovou prílohou. Medzi úlohami je aj niekoľko

typických geometrických úloh, pri ktorých sa bez obrázku určite nikto nezaobíde, ale

našim cieľom bolo najmä ukázať, ako umenie vidieť pomôže aj pri riešení úloh

v iných častiach matematiky.

Matematickým jadrom práce je kapitola Geometrické modely algebrických

vzťahov pre súčty mocnín, v ktorej sa podrobne zaoberáme jednou konkrétnou

témou a predkladáme viac prístupov k jej skúmaniu – od dôkazov matematickou

indukciou, cez rôzne konkrétne geometrické modely, modely vo viacrozmerných

priestoroch, až po kombinatorické úvahy pri všeobecnom odvodzovaní vzťahov.

1

2 Metodika

Východiskom pre našu prácu bolo zhromažďovanie informácií k zvolenej

problematike z odbornej slovenskej i cudzojazyčnej literatúry a časopisov. Bolo nutné

naštudovať si potrebné matematické poznatky, aby sme mohli dokázať uvedené

geometrické a algebrické zákonitosti.

V teoretickej časti sme do našej práce zaradili úlohy z rôznych častí

matematiky, na ktorých sme chceli ukázať, ako môžu obrázky, modely, grafy,

schémy pomôcť lepšie vidieť riešenie a často aj zjednodušiť riešenie úlohy.

V počítačových programoch Cabri, Skicár a Graphmatika sme k nim nakreslili aj

niekoľko potrebných obrázkov, grafov a schém. Niektoré obrázky sme naskenovali

z časopisov alebo skopírovali z internetových stránok .

Podrobne sme sa zaoberali geometrickými modelmi algebrických vzťahov pre

súčty mocnín. Keďže išlo o náročnejšiu matematickú tému a geometrické

znázorňovanie prechádzalo aj do štvorrozmerného a viacrozmerných priestorov, pri

spracovaní tejto časti sme museli riešiť najviac matematických i technických

problémov.

Ďalším krokom našej práce bolo vytvorenie konkrétnych priestorových

modelov na názorné priblíženie skúmanej problematiky. Ako materiál sme použili

plastové kocky, ktoré boli v 80-tych rokoch dodávané na základné školy ako učebná

pomôcka (Soubor krychlí – Komenium), lepidlo a lepiacu pásku.

Aby sme spoznali situáciu týkajúcu sa rozoberanej témy na našej škole

a potvrdili, resp. vyvrátili naše hypotézy, pripravili sme anketu pozostávajúcu

z teoretických i praktických otázok. Na hodinách matematiky ju vyplnili študenti

ôsmich tried našej školy. Anketu sme vyhodnocovali podľa veku i pohlavia

respondentov a k slovnému hodnoteniu sme kvôli prehľadnosti vytvorili v programe

Word grafy.

V poslednej fáze sme upravili jednotlivé kapitoly a zostavili prílohy. Z dôvodu

nadmerného množstva strán bolo potrebné niektoré príklady z práce vynechať

a texty skracovať.

2

3 Názornosť v matematike

Matematika sa všeobecne považuje za abstraktnú vedu. Charakteristickým znakom

matematickej činnosti je myslenie v pojmoch, matematika študuje špeciálne

abstraktné logické štruktúry. Aj v školskej matematike sa stretávame s množstvom

definícii rôznych pojmov, všeobecne sformulovaných a dokazovaných viet, vzorcov

a ich formálnych úprav, všeobecných vyjadrení, s precvičovaním algoritmov riešenia

typových úloh,...

Podľa I. Stewarta však len niektorí matematici, snáď 10 zo 100, myslia vo

vzorcoch – taká je ich intuícia, ostatní myslia v obrazoch - ich intuícia je geometrická.

Z vlastných skúseností i podľa názorov našich spolužiakov (viď výsledky ankety)

vieme, že aj väčšine žiakov obrázky pomáhajú pri pochopení učiva i pri riešení úloh.

Dobrý obrázok, nemá byť len grafickým záznamom toho, čo vyjadrujeme slovami, ale

má výrazne pomáhať pri zavádzaní pojmov, pri popise postupov a pri riešení úloh.

Geometrické predstavy, ktoré sa dajú zvyčajne jednoducho graficky znázorniť, môžu

byť efektívnejšími nositeľmi informácií než verbálny alebo symbolický zápis.

Didaktický princíp názornosti zastával už vynikajúci český pedagóg J. A. Komenský,

keď žiadal, aby vyučovanie vychádzalo od vecí a nie od slov a aby učiteľ pri výklade

učiva využíval, pokiaľ možno, všetky zmysly. Aj vo vyučovaní matematiky, ktorého

obsahom sú prevažne abstraktné predstavy a pojmy, je správne volená názornosť

veľmi dôležitá. Bežnými prostriedkami názornosti vo vyučovaní matematiky sú

najrôznejšie obrázky, náčrty, grafy, schémy, tabuľky a modely. V dnešnej dobe, keď

sa aj v školách ako tak udomácnilo využívanie počítačovej techniky a internetu,

pribudol ďalší pútavý a pre žiakov atraktívny prostriedok názornosti – dynamické

a interaktívne modelovanie rôznych pojmov, javov a vzťahov medzi nimi pomocou

počítača.

M. Hejný a F. Kuřina ([4] – s. 20, s. 156) používajú pri charakteristike ciest,

ktoré vedú k matematickým výsledkom dosť neobvyklý termín

„umenie“ a päť brán, ktoré vedú do matematiky nazývajú: umenie počítať, umenie

vidieť, umenie konštruovať, umenie dokazovať a umenie abstrahovať. Termínom

umenie chcú vyjadriť, že ide o viac ako o jednoduché zručnosti v počítaní, čítaní

textov, obrázkov, grafov,..., rysovaní, dokazovaní a schopnosti abstrahovať.

V matematike ako vede i v školskej matematike sú zaiste potrebné všetky

spomínané zložky.

3

V našej práci sa venujeme „umeniu“ vidieť v matematike. Aj keď chodíme do

normálnej školy a nemáme spolužiakov s vážnym zrakovým postihnutím, často sme

si všimli, že niekto „vidí“ v matematike lepšie a niekto nevidí skoro nič. (Potvrdzujú to

aj výsledky ankety.) Pri preberaní geometrie a najmä pri stereometrii sa v triede

objavili žiaci, ktorí doteraz v matematike zvlášť nevynikali a odrazu sú schopní riešiť

úlohy metódou „pozriem a vidím“ – majú jednoducho dobrú priestorovú

predstavivosť. A na druhej strane sú žiaci, ktorí ani na hotovom obrázku

a popísanom postupe riešenia nevidia ani jednoduché súvislosti a už vôbec nevedia

situáciu samostatne znázorniť a pomocou obrázka hľadať riešenie úlohy.

Spomíname si na situáciu v triede, keď spolužiak nakreslil graf zložitej funkcie, ale

nevedel z neho vyčítať definičný obor a obor hodnôt funkcie, nevedel na základe

grafu vyriešiť rovnicu alebo nerovnicu, lebo na grafe „nevidel“, pre ktoré hodnoty x

má funkcia kladné, nulové, či záporné funkčné hodnoty. Inokedy nevidíme pri úprave

výrazu do oči bijúci vzorec, nevidíme súvislosti medzi danými a hľadanými prvkami

pri riešení slovnej úlohy, nevieme si reálne predstaviť a znázorniť situáciu pri riešení

kombinatorických úloh. Obrázky, náčrty a presné konštrukcie sa vyskytujú v školskej

matematike najmä pri preberaní geometrie. Umenie vidieť v matematike však

chápeme v našej práci v širšom význame ako ukazujú aj vyššie uvedené príklady.

Hoci každý z nás má iné schopnosti a inú predstavivosť, sme presvedčení, že keď

budeme viac pri riešení úloh kresliť obrázky, náčrty, grafy, schémy, tabuľky,...,

môžeme sa v umení vidieť v matematike zlepšiť.

4

4 Anketa

Súčasťou našej práce je anketa (príloha č.1). V otázkach 1. – 9. sme zisťovali názory

respondentov na používanie obrázkov v matematike, v otázkach 10.- 13. sme chceli

zistiť, čo sú schopní respondenti vidieť na konkrétnych obrázkoch a či im predložené

obrázky pomôžu vyriešiť úlohy. Anketa mala potvrdiť alebo vyvrátiť naše hypotézy:

1. obrázky sa v školskej matematike využívajú najviac v geometrii

2. v stredoškolských učebniciach je málo obrázkov

3. chlapci majú lepšiu geometrickú predstavivosť ako dievčatá, t.j. vyššie %

chlapcov bude uvádzať stereometriu a planimetriu ako obľúbenú časť matematiky

4. s vekom žiakov sa bude úspešnosť riešenia úloh 10. – 13. zvyšovať

5. v geometrických úlohách (otázka 11. a 12.) obrázky viac pomôžu pri riešení úloh

ako v aritmetických a algebrických úlohách (otázka 10. a 13.) t.j. úlohu o veku

bude väčšina respondentov riešiť algebricky pomocou sústavy rovníc, hoci na

obrázku možno hneď vidieť riešenie, problémy budú mať s obrázkom v úlohe 10.

Anketu sme zadali na Gymnáziu P. O. Hviezdoslava v ôsmich triedach – v sekunde,

tercii, septime, oktáve, 1. A, 2. A, 2. B a 4. A. Na pätnásť otázok ankety odpovedalo

spolu 209 študentov, z toho bolo 114 dievčat a 95 chlapcov; 30 žiakov malo na

poslednom vysvedčení z matematiky jednotku, 89 dvojku, 63 trojku a 27 štvorku.

Respondentov sme podľa veku rozdelili do troch skupín – prvú skupinu tvoria žiaci

sekundy a tercie (52 žiakov), do druhej patria prváci a druháci (78 žiakov) a do tretej

sme zaradili štvrtákov, oktavánov a septimánov (79 žiakov). V dvoch triedach (1.A,

oktáva) vpisovali študenti svoje odpovede priamo k otázkam v ankete, pre ostatné

triedy sme pripravili odpoveďové hárky, do ktorých zapisovali svoje odpovede

(príloha č. 2). Anketu sme vzhodnotili v tabuľke, slovne aj pomocou grafov (príloha č.

3). Z tabuliek, grafov i slovného vyhodnotenia ankety vyplýva, že naše hypotézy 1.,

4. a  5. sa úplne potvrdili, hypotézy 2. a 3. sa potvrdili len čiastočne. Názor, že

v učebniciach matematiky nie je dostatok obrázkov, prezentovalo len 55,7 %

opýtaných prvákov a druhákov, zo štvrtákov, oktávanov a septimánov si to myslí už

61,5 % opýtaných. Porovnanie chlapcov a dievčat vyšlo podľa ich vlasného

vyjadrenia lepšie pre chlapcov (viac chlapcov ako dievčat uviedlo medzi obľúbenými

časťami matematiky planimetriu a stereometriu, viac chlapcov uviedlo, že obrázky im

pri riešení úloh pomáhajú), ale v konkrétnych úlohách (otázka 10. – 13.) dopadli

lepšie dievčatá ako chlapci.

5

5 Umenie vidieť v rôznych úlohách

Možno si to ani neuvedomujeme, no jeden z našich zmyslov – zrak využívame aj pri

riešení úloh v matematike, fyzike alebo iných prírodovedných predmetoch. Pomáhajú

nám pri tom rôzne grafické zobrazenia, či už sú to geometrické konštrukcie, náčrty

situácií, ale takisto tabuľky, grafy, číselné osi. Vybrali sme niekoľko úloh rôznych

typov, aby sme ukázali, že tomu, kto má dobrú predstavivosť a dokáže správne

vidieť, riešenie zdanlivo náročných príkladov nebude trvať dlho.

5.1 Pytagorova veta a Euklidove vety Asi najznámejšou matematickou vetou, ktorú vraj ako prvý vyslovil grécky matematik

Pytagoras, no pravdepodobne bola známa už dávno pred ním, je Pytagorova veta:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou ľubovoľného pravouhlého trojuholníka sa

rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad oboma jeho odvesnami.

Geometrický význam Pytagorovej vety sa najčastejšie znázorňuje graficky (príloha č.

4, obr. 1).

Veľká časť matematiky vychádza práve z tejto vety. Pytagorova veta má niečo

spoločného nielen s geometriou, ale aj s aritmetikou a algebrou. Tento fakt však nie

je ničím vzácny; je veľmi častým zjavom, že sa tieto odbory stretávajú.

Existuje viac ako 100 dôkazov tejto vety. Jedným z najznámejších je Perigalov

dôkaz. Podstata tohto praktického dôkazu tkvie v tom, že jedna z deliacich čiar

štvorcov nad oboma odvesnami je rovnobežná a druhá kolmá na preponu, pričom sa

pretínajú v strede štvorcov. Po rozrezaní sa štvoruholníky premiestnia na preponu,

kde sa z nich zloží štvorec. Pri premiestňovaní ich možno posúvať, ale nie otáčať

(príloha č. 4, obr. 2).

Platnosť Pytagorovej vety dokazujú aj rôzne podobné skladačky. Žiakom

základnej školy alebo nižšieho stupňa osemročného gymnázia, ktorí sa práve túto

vetu učia, skladačky prakticky ukážu, že naozaj funguje, a tak sa im aj ľahšie vryje do

pamäti. Jedna z týchto skladačiek je na mnohých školách aj ako drevená pomôcka.

Mnoho skladačkových dôkazov Pytagorovej vety môžeme nájsť na internete vo

forme apletov, na ktorých je potrebné premiestniť útvary zo štvorcov nad odvesnami

do štvorca nad preponou.

6

Jednoduchý, veľmi názorný a pritom na rysovanie technicky nenáročný dôkaz

Pytagorovej vety, pri ktorom na vyučovacej hodine vystačíme aj s náčrtom urobeným

voľnou rukou, je dôkaz založený na rozdelení dvoch rovnakých štvorcov dvojakým

spôsobom na niekoľko častí (príloha č. 4, obr. 3).

V pravouhlých trojuholníkoch platia okrem Pytagorovej vety aj vety Euklidove

– o výške a o odvesnách. Ak v pravouhlom trojuholníku narysujeme výšku na jeho

preponu c, prepona sa tak rozdelí na dve úsečky. Úsečka, oproti ktorej leží odvesna

b, sa označí ako cb a úsečka oproti odvesne a sa označí ca. Podľa Euklidovej vety

o   výške platí, že obsah štvorca zostrojeného nad výškou na preponu pravouhlého

trojuholníka je rovný obsahu obdĺžnika so stranami dĺžky úsečiek, na ktoré výška

rozdeľuje preponu (príloha č. 5, obr. 1). Algebricky to možno zapísať:

Euklidova veta o   odvesne hovorí, že obsah štvorca zostrojeného nad

odvesnou pravouhlého trojuholníka má rovnakú veľkosť ako obsah obdĺžnika so

stranami dĺžky prepony a úseku prepony prislúchajúcej k danej odvesne (príloha č. 5,

obr. 2). Teda:

Dôkazy Euklidových viet vychádzajú z podobnosti trojuholníkov. (príloha č.5 –

dôkaz)

5.2 Algebrické a aritmetické vzorceSkutočnosť, že grafické znázorňovanie aritmetických vzťahov historicky

predchádzalo ich algebrickému vyjadrovaniu, oprávňuje k domnienke, že aspoň

niektorým žiakom môže grafická ilustrácia aritmetických zákonitostí pomôcť pri ich

štúdiu. Známy vzorec (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 sa dá jednoducho znázorniť obrázkom

(príloha č. 6, obr. 1).

Takisto je možné obrázkom znázorniť ďalší jednoduchý vzorec na

roznásobenie zátvorky a(b + c)= ab + ac (príloha č. 6, obr. 2).

Podobne sa dá znázorniť aj pravidlo pre násobenie mnohočlenov. Tak sa dá

žiakom priblížiť známy kombinatorický princíp „každý s každým“ a na začiatku

algebry je možné násobenie mnohočlenom zapisovať do tabuľky. Platí:

(a + b + c) . (d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce. (príloha č. 6, obr. 3)

Od Pytagorovej doby sú známe znázornenia párnych čísel ako obdĺžniky,

pričom jeden ich rozmer je dva a druhý je ľubovoľné prirodzené číslo. Nepárne čísla

7

sa znázorňujú ako šesťuholníky. Takéto znázornenie je užitočné, pretože podobne

ako algebrické vyjadrenia „pracujú za nás“. Pomocou nich sa dá napríklad overiť

platnosť viet:

Súčet ľubovoľných dvoch párnych čísel je párne číslo. (príloha č. 7, obr. 1)

Súčet ľubovoľných dvoch nepárnych čísel je párne číslo. (príloha č. 7, obr. 2)

Súčet ľubovoľného párneho a nepárneho čísla je nepárne číslo. (príloha č. 7, obr.3)

Tento príklad ukazuje, ako možno aj súčet nekonečne veľa čísel vyjadriť veľmi

jednoduchým, názorným a presvedčivým obrázkom.

Zo štvorca s obsahom 1, postupne oddeľujeme obdĺžnik s obsahom 1/2, štvorec

s obsahom 1/4, obdĺžnik s obsahom 1/8,... až do nekonečna. (príloha č. 8) Súčet

obsahov takto vzniknutých útvarov sa musí rovnať obsahu pôvodného štvorca, čím je

názorne ukázaná zaujímavá rovnosť.

5.3 Geometrické úlohyNajtypickejšími úlohami, ktorých riešenia sa bez náčrtov, príp. presných konštrukcií

nezaobídu, sú príklady z geometrie. Pri náročnejších úlohách si často riešenie ani

nevieme predstaviť. V obrázku však môžeme vidieť aj to, čo zo zdania priamo

nevyplýva, a tak za pomoci známych viet a zákonitostí ľahko prídeme k výsledku.

Je daný trojuholník ABC s bodmi M, N, P, ktoré delia jeho strany BC, CA, AB

v pomere 2 : 1 (príloha č. 9, obr. 1). Akú časť obsahu trojuholníka ABC zaberá

trojuholník XYZ, ktorého vrcholy sú priesečníkmi priečok AM, BN a CP

v trojuholníka ABC?

Najprv budeme úlohu riešiť pre rovnostranný trojuholník ABC (príloha č. 9, obr. 2 - 3).

Od riešenia úlohy v špeciálnom prípade pre rovnostranný trojuholník prejdeme teraz

k riešeniu pôvodnej úlohy pre všeobecný trojuholník ABC (príloha č. 9, obr. 4 - 6).

Daný je rovnostranný trojuholník ABC s obsahom S a jeho vnútorný bod M.

Označme postupne A1, B1, C1 tie body strán BC, CA a AB, pre ktoré platí MA1 ||

AB, MB1 || BC a MC1 || CA. Priesečníky osí úsečiek MA1, MB1 a MC1 tvoria vrcholy

trojuholníka s obsahom T. Dokážte, že platí S = 3T.

Táto úloha bola úlohou klauzúrnej časti 55. ročníka matematickej olympiády

v kategórii A. Uvádzame jej autorské riešenie. (príloha č. 10)

8

Nech M je ľubovoľný vnútorný bod kratšieho oblúka CD kružnice opísanej štvorcu

ABCD. Označme P, R priesečníky priamky AM postupne s úsečkami BD, CD

a podobne Q, S priesečníky priamky BM s úsečkami AC, DC. Dokážte, že

priamky PS a QR sú navzájom kolmé.

Táto úloha bola úlohou domácej časti 54. ročníka matematickej olympiády v kategórii

A. Uvádzame jej autorské riešenie. (príloha č. 11)

V kocke ABCDEFGH určte uhol priamok BH a DM, kde M je stred hrany BC a

dĺžka hrany kocky a = 1 .

Zobrazíme kocku a v nej dané priamky. Priamky BH a DM sú mimobežné, preto ich

uhol určíme ako uhol rôznobežných priamok BH a HM`. Priamka HM` je rovnobežná

s priamkou DM. Hľadaný uhol je . Uvádzame 4 spôsoby riešenia tejto

úlohy. (príloha č. 12)

5.4 Slovné úlohyV bežnom živote sa často stretávame so situáciami, keď potrebujeme vypočítať napr.

šírku jazera, výšku stromu a pod. Len ťažko by sa to dalo bez náčrtu, ktorý nám hneď

napovie, ktoré matematické poznatky pri výpočte treba využiť. Nákresy a grafické

znázornenia žiakom pomáhajú aj pri riešení slovných úloh zameraných na pohyb,

rýchlosť, spoločnú dráhu a pod. Hoci si tieto úlohy väčšinou obrázky nevyžadujú,

žiakom môžu slúžiť na lepšie predstavenie si situácie plynúcej zo zadania.

Drôt s dĺžkou 2, 5 m pripevníme k vlajkovej žrdi vo výške 2 m. Druhý koniec drôtu

pripevníme na zemi tak, aby bol napnutý. Aká je vzdialenosť medzi bodom,

v ktorom je drôt pripevnený a medzi bodom, v ktorom je žrď zasadená do zeme?

Riešenie vychádza z obrázka. (príloha č. 13)

Osem metrov dlhý rebrík je opretý o stenu, pričom jeho spodný koniec zviera

s terénom 65 – stupňový uhol. Ako vysoko je horný koniec rebríka? Ako ďaleko je

jeho spodný koniec od steny? BC predstavuje výšku horného konca rebríka a AC

vzdialenosť dolného konca od steny.

Riešenie vychádza z obrázka. (príloha č. 14)

V africkej savane gepard naháňa antilopu. Antilopa beží rýchlosťou 72 km/h a

vzdialenosť medzi gepardom a antilopou je 120 m. Gepard dobehne antilopu za

12 s. Akou rýchlosťou sa gepard pohybuje?

Úlohu riešime grafickým znázornením. (príloha č. 15)

9

Mama je taká stará ako Tomáš a Lucia dohromady. Pritom Tomáš je od Lucie o 3

roky mladší a mama je od Lucie o 20 rokov staršia. Aký starý je Tomáš?

Uvádzame numerické riešenie pomocou sústavy rovníc aj jednoduché riešenie

vychádzajúce z obrázka. (príloha č. 16)

5.5 Rovnice a nerovnicePri riešení lineárnych či kvadratických rovníc a nerovníc sa často stretávame

s geometriou, hoci v trochu netradičnej podobe. Grafy a číselné osi môžu žiakom

podstatne uľahčiť ich riešenie. Ako príklad uvádzame tieto nerovnice:

v R: (x + 3) (x – 4) (x + 5) < 0

Uvádzame numerické riešenie metódou nulových bodov aj grafické riešenie

pomocou grafu funkcie. (príloha č. 17)

v R: | x + 5 | > 3

Uvádzame numerické riešenie aj grafické riešenie s využitím geometrického

významu absolútnej hodnoty. (príloha č. 18)

V R riešte nerovnicu

Uvádzame numerické riešenie aj grafické riešenie. (príloha č. 19)

Určte všetky prirodzené čísla x, y , pre ktoré platí xy=2(x+y).

Uvádzame tri spôsoby riešenia tejto úlohy. (príloha č. 20)

Túto úlohu uvádzame aj preto, že jej riešenia ukazujú tri celkom odlišné pohľady na

zadaný problém. 1. a 3. spôsob riešenia úlohy sú schopní pochopiť aj žiaci základnej

školy, naopak 2. spôsob riešenia vyžaduje pomerne hlboké znalosti z oblasti funkcií.

Určte všetky hodnoty reálneho parametra m, pre ktoré má sústava rovníc

x2 + y2 = 4 , (x + m)2 + ( y – m)2 = 1

s neznámymi x, y práve jedno riešenie.

Aj túto úlohu možno riešiť viacerými spôsobmi. Numerické riešenia sústavy rovníc

s parametrom dosadzovacou ako aj sčítacou metódou sú komplikované a vedú

dokonca až k rovnici štvrtého stupňa, ktorú treba riešiť zavedením substitúcie.

Uvádzame len grafické riešenie. (príloha č. 21)

Nájdite všetky dvojice celých čísel a, b, pre ktoré žiadna z rovníc

x2+ax+b=0 , y2+by+a=0 nemá dva rôzne reálne korene.

Táto úloha bola úlohou klauzúrnej časti 55. ročníka matematickej olympiády

v kategórii B. Uvádzame jedno z jej autorských riešení. (príloha č. 22)

10

6 Geometrické modely algebrických vzťahov pre súčty mocnín

6. 1 Základné pojmyV stredoškolskej matematike sa stretávame s mnohými súčtovými algebrickými

vzťahmi, ktoré pre každé prirodzené číslo n vyjadrujú, ako závisí súčet n členov

utvorených podľa určitého pravidla od počtu členov v súčte. Takéto vzorce na

hodinách matematiky zvyčajne uvedie učiteľ v tvare matematickej vety a slúžia najmä

na precvičovanie dôkazu matematickou indukciou. Väčšinou sa žiaci ani učitelia

vôbec nezamýšľajú nad tým, ako sa dajú takéto vzorce vymyslieť, načo vlastne tieto

vzorce potrebujeme a či ich možno nejakým spôsobom aj názorne interpretovať

a tým aj lepšie objasniť ich význam. Väčšinou sa uspokojíme s tým, že formálne

dokážeme správnosť predloženého vzorca.

Ďalej sa zaoberáme súčtami mocnín prirodzených čísel a okrem klasických

dôkazov týchto vzorcov predkladáme aj ich rôzne geometrické interpretácie.

Ukážeme napríklad, že súčet druhých mocnín 12+22+...+n2 môžeme modelovať

kockou rozdelenou na niekoľko častí alebo pyramídou. Pre n=4 sme vyrobili aj

konkrétny priestorový model z kociek.

Súčty, ktorými sa budeme zaoberať môžeme všeobecne vyjadriť v tvare:

, kde k je konštanta, ktorá môže nadobúdať

hodnoty k = 0, 1, 2, 3, ... Keďže v ďalšom texte vždy pôjde o súčet n sčítancov,

budeme dolný index n vynechávať

Ukážeme si tri spôsoby ako pracovať s týmto súčtom.

A: Dôkazy matematickou indukciou

Pri nižších exponentoch mocnín ( k = 0, 1, 2 ) ide o známe vety, ktoré sa na strednej

škole bežne dokazujú matematickou indukciou. Tieto sú žiaľ mnohokrát len naučené

algoritmy, pričom žiaci nemajú predstavu o tom, čo počítajú. Pre vyššie exponenty

mocnín ( k = 3, 4, 5 , .... ) sú vzorce a najmä ich dôkazy matematickou indukciou

oveľa zložitejšie, sú však vhodné na získanie lepších zručností a pochopenie

princípu pri dôkazoch matematickou indukciou.

B: Grafické znázornenie - rozdelenie geometrického útvaru na určité „rozumné“ časti

Súčty S(k) budeme interpretovať geometricky ako útvary s mierou (dĺžkou, obsahom,

objemom, ... ) S(k) a z určitého počtu útvarov s mierou S(k), S(k-1), S(k-2), ... S(3),

S(2), S(1), S(0) zložíme útvar s mierou (n+1)k+1. Pre k=0, 1, 2 ide o pomerne

11

jednoduché modely. Pre k=3, 4, 5,… sa však dostávame do švorrozmerného,

päťrozmerného, šesťrozmerného, ... priestoru, kde už nevystačíme s bežnou

geometrickou predstavivosťou. Budeme pracovať s pojmami ako hyperkocka,

hyperpyramída, hypertrojuholník, hyperstrana,...

C: Grafické znázornenie – pyramídy

Ide opäť o geometrický model súčtov S(k). Budeme ich interpretovať ako rovinné,

priestorové aj viacdimenzionálne pyramídy. Na rozdiel od predchádzajúcich modelov

sa pokúsime aj pri vyšších dimenziách uložiť jednotlivé stavebné kamene pyramíd do

roviny a tak geometricky znázorniť aj komplikovanejšie vzorce.

6.2 Odvodenie vzorcov a modely pre k = 0, 1, 2Urobíme výpočty pre niekoľko prvých konkrétnych čísel k.

Ak k=0 Výpočet je jednoduchý: S(0) = 10+20+...+(n-1)0+n0 = 1+1+...+1+1 = n

Ak k=1 Pre súčet n za sebou idúcich prirodzených čísel platí veta:

A: Dôkaz matematickou indukciou:

2.

Odvodenie vzorca podľa B: Štvorec so stranou dĺžky n+1, ktorého obsah je (n+1)2

zložíme z 2 útvarov s obsahom S(1), jedného útvaru s obsahom S(0) a jedného

jednotkového štvorca. (príloha č. 23, obr. 1).

Znázornenie vzorca podľa C: Máme n poschodovú rovinnú pyramídu, v ktorej sa na

každom ďalšom poschodí nachádza o jednu guľôčku menej. V tejto pyramíde sa

12

nachádza 1+2+3+…+n guľôčok. Pomocou grafického znázornenia si to ukážeme na

príklade, keď n=4. (príloha č. 23, obr. 2) V matematickom ponímaní ide o súčet

1+2+3+4+5=15 guľôčok. Vyššie uvedenú pyramídu môžeme prekresliť do tvaru

trojuholníka. Tento trojuholník nakreslíme 2-krát. Po vzájomnom spojení vznikne

obdĺžnik s obsahom n.(n+1). Celý súčet sa tam nachádza 2-krát, preto platí rovnosť:

(príloha č. 23, obr. 3)

Po trojakom odvodení vzorca pre súčet n po sebe idúcich prirodzených čísel ešte

dodajme historku, ktorá sa viaže k tomuto súčtu. Hovorí sa, že keď chodil Gauss do

základnej školy, jeho učiteľ zadal žiakom úlohu nájsť súčet prvých 100 prirodzených

čísel. Nato začali všetci úmorne sčitovať, len Gauss sedel v lavici a premýšľal.

Učiteľovi sa zdalo, že sníva, a tak ho napomenul. Gauss odvetil, že už pozná

výsledok. Išiel k tabuli a názorne svoj postup vysvetlil. Gauss sčítal prvé číslo

s posledným, druhé s predposledným,... Zistil, že 1+100=101, 2+99=101,

3+98=101,... a vypočítal, že takýchto dvojíc je 50. Takže výsledná suma je

50.101=5 050. Zovšeobecnením tohto postupu, môžeme ďalším spôsobom odvodiť

aj všeobecný vzťah pre S(1).

Ak k=2Pre súčet druhých mocnín n za sebou idúcich prirodzených čísel platí veta:

A: Dôkaz matematickou indukciou:

2.

13

Odvodenie vzorca podľa B: Kocku s hranou dĺžky n+1, ktorej objem je (n+1)3 zložíme

z 3 útvarov s objemom S(2), troch útvarov s objemom S(1), jedného útvaru

s obsahom S(0) a jednej jednotkovej kocky. (príloha č. 23, obr. 4, obr. 5) V prílohe je

situácia znázornená pre n=4.

Znázornenie vzorca podľa C: Zatiaľ sme uvažovali len o rovinných, t.j.

dvojrozmerných pyramídach. V skutočnosti však existujú aj priestorové pyramídy tak

ako v Egypte. Na spodnej časti pyramídy sú poukladané kvádre do tvaru štvorca,

čiže spolu n2 kvádrov. O poschodie vyššie je v každom smere o jeden kváder menej,

čiže (n-1)2 kvádrov, atď. Na vrchu je už len jeden kváder. Čiže pyramída obsahuje

12+22+...+(n-1)2+n2 kvádrov. Čomu sa rovná súčet členov tejto postupnosti?

Uvažujme ak n=4. Tieto druhé mocniny môžeme znázornime ako pyramídy z

guľôčok. (príloha č. 23, obr. 6)

Tieto pyramídy sú zaujímavé tým, že každá nasledujúca sa zväčší oproti

predchádzajúcej o dve guľôčky v spodnom riadku. Ak to všetko rozumne

poukladáme na seba vznikne nová pyramída. Po oboch stranách prikreslíme ešte

ďalšie guľôčky a tieto dokreslené guľôčky vytvárajú z oboch strán štvorce

12+22+32+42+52. Z toho vyplýva, že postupnosť 12+22+32+42+52 sa nachádza na

obrázku trikrát. (príloha č. 23, obr. 7)

6. 3 Odvodenie vzorcov a hypermodely pre k = 3, 4, 5

Súhrnom všetkých predchádzajúcich poznatkov sa pokúsime dokázať vzťah aj pre

súčet tretích, štvrtých, piatych mocnín n za sebou idúcich prirodzených čísel. V tomto

prípade uvažujeme už o 4-rozmernej hyperkocke s hranou (n+1), prípadne aj

o telesách vo viacrozmerných priestoroch.

Ak k=3Odvodenie vzorca podľa B: Keď pracujeme so 4 dimenziami a chceme zložiť

štvorrozmernú hyherkocku s hyperhranou dĺžky n+1 potrebujeme 4 hyperpyramídy

S(3). Medzi každými dvoma „S(3) kúskami“ je jeden S(2) hypertrojuholník. Zo štyroch

S(3) kúskov môžeme vytvoriť dvojice =6 rozdielnymi spôsobmi. Takže

v hyperkocke budeme mať 6 „S(2) kúskov“. Ďalej má každý hypertrojuholník S(3) s

hyperpyramídou spoločné S(1) hyperstrany. Je ich =4. Takže tam budú 4 S(1)

14

kúsky. A ešte podobne ako v predchádzajúcich prípadoch pridáme ešte jeden útvar

S(0) a jednu jednotkovú kocku. To všetko spolu zapíšeme rovnicou:

=(n+1)4- - - -1 = (n+1)4 -

1.n-1=

=(n+1).( (n+1)3-n(2n+1) -2n –1) = (n+1).( n3+3n2+3n+1-2n2-n-2n–1) =(n+1).( n3+n2)=

=n2(n+1)2

=

Znázornenie vzorca podľa C: Ide o štvorrozmerné teleso, ktoré už nie je možné

graficky znázorniť. Ale predsa sme sa o to pokúsili a to znázornením do roviny

pomocou guľôčkových modelov. Keď n=3, vznikne obdĺžnik s rozmermi 6 x 24

guľôčok teda spolu je v obdĺžniku 144 guľôčok, čo je práve 4.S(3), lebo

S(3)=13+23+33=36 a  4.S(3)=4.36=144. (príloha č. 23, obr. 8)

Všeobecne pre n guľôčok platí: Vychádzame zo vzťahu pre obsah obdĺžnika

a z vedomia, že na obrázku sa plocha s obsahom S(3) nachádza práve 4 krát.

(príloha č. 23, obr. 9)

Pre prípad, keď k=3 pridáme ešte iný spôsob grafického znázornenia . Na

obrázku je nakreslená zodpovedajúca pyramída pre n=3. (príloha č. 23, obr. 12).

Táto pyramída sa skladá z 36 kociek.

Po prekreslení tejto pyramídy do roviny (namiesto kociek sú nakreslené len guľôčky)

dostávame nasledovný štvorec. (príloha č. 23, obr. 13) Jeho obsah je

. Pre n=3 je to počet guľôčok v nakreslenom

štvorci 6.6=36 a to je práve .

Ak k=4

Odvodenie vzorca podľa B:

Po úpravách dostaneme

15

Znázornenie vzorca podľa C: Analogicky ako v prípade pre k=3 postupujeme aj keď

chceme zistiť súčet štvrtých mocnín. (príloha č.23, obr.10 a)

– v tomto prípade sa dá zostrojiť guľôčkový model len pre čísla, keď n -1 je deliteľné

troma, a preto uvádzame aj vzorec, ktorý platí pre všetky prirodzené čísla n (príloha

č.23, obr.10 b)

Ak k=5

Odvodenie vzorca podľa B:

Po úpravách

Znázornenie vzorca podľa C: Ak uvažujeme o súčte piatych mocnín prvých n členov

postupnosti, tak z obrázka (príloha č.23, obr.11) vyplýva:

6.4 ZovšeobecnenieZhrnieme vzťahy, ktoré sme odvodili pre súčty pre k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 a na

základe nich vyjadríme všeobecný vzťah pre spomínaný súčet k-tych mocnín prvých

n po sebe idúcich prirodzených čísel pre ľubovoľný prirodzený exponent k. Využijeme

pritom okrem geometrických modelov, všeobecné zápisy súčtov, kombinatorické

úvahy a ich zápis pomocou kombinačných čísel.

Podľa geometrických modelov B sme v predchádzajúcich kapitolách využili

nasledovné vzťahy:

Všeobecne môžeme rozdelenie (k+1)-rozmernej hyperkocky s hyperhranou dĺžky

(n+1) na útvary s nižším rozmerom vyjadriť nasledovne:

16

Upravujeme ľavú stranu tejto rovnosti, zapíšeme ju ako sumu, využijeme binomickú

vetu pre a ukážeme, že po úprave dostaneme

vzťah na pravej strane.

Tým sme odvodili všeobecnú vetu:

7 Diskusia a záver

17

Naša práca sa zaoberá problémom geometrickej predstavivosti pri riešení

geometrických, výpočtových, slovných a iných úloh, s ktorými sa väčšinou

stretávame na hodinách matematiky.

V práci sme ukázali, že veľké množstvo rozličných typov príkladov sa dá riešiť

aj bez zložitých matematických zápisov a k nim potrebných vedomostí. Dokonca i na

prvý pohľad zložité vzorce sa dajú veľmi jednoducho geometricky interpretovať, či už

ako schémy alebo priestorové, či viacrozmerné telesá. Na úlohách z rôznych častí

matematiky sme ukázali, ako môže grafické zobrazenie uľahčiť riešenie úlohy. Táto

časť práce môže slúžiť ako malá zbierka úloh, ktorá sa dá použiť na vyučovacích

hodinách alebo v matematických krúžkoch.

V časti o geometrických modeloch súčtov mocnín sme okrem zhrnutia

prístupu k téme z rôznych zdrojov vytvorili aj vlastné geometrické znázornenia

komplikovaných vzorcov a vyrobili sme dva priestorové modely z plastových kociek,

ktoré môžu škole slúžiť ako učebná pomôcka (príloha č.23, obr. 14 – 18).

Ako pomôcky na hodinách matematiky sa dajú využiť aj mnohé materiály

z internetových stránok. Niekoľko vhodných stránok s apletmi sme našli pri surfovaní

na internete a ich adresy uvádzame v prílohe (príloha č. 24). V našej práci by bolo

možné pokračovať práve v tomto smere – bolo by vhodné utriediť materiály

z internetu pre potreby školského vyučovania, prípadne preložiť niektoré texty zo

zahraničných www stránok, čo by určite tiež prispelo k zlepšeniu umenia vidieť

v matematike.

Vyčítať matematické zákonitosti z obrázkov nedokáže každý, častokrát práve

tí, ktorí v bežnej matematike nevynikajú, objavia v grafickom znázornení úlohy

riešenie oveľa skôr ako tí, ktorí inokedy excelujú. Túto schopnosť však možno získať,

resp. zlepšiť častým precvičovaním a hľadaním nových riešení úloh. Aj v umení vidieť

v matematike sa každý z nás môže zdokonaľovať, preto naša práca môže pomôcť

žiakom i učiteľom pri tomto procese. Veríme, že naša práca prispeje k využívaniu

predstavivosti a videnia vo väčšej miere nielen na hodinách matematiky

ale presvedčí čitateľov o jej dôležitosti a užitočnosti aj v praktickom živote.

V mnohých povolaniach (ako to vyplynulo aj z ankety) je totiž veľmi dôležité

geometrické videnie a priestorová predstavivosť.

18

Zoznam použitej literatúry

[1] Dományová M.: Pyramídy a čo s nimi, Rozledy matematicko-fyzikální, ročník

61, 1982/83, číslo 10

[2] Dományová M.: Ešte o pyramídach, Rozledy matematicko-fyzikální, ročník 62,

1983/84, číslo 10

[3] Frantíková Ľ., Hončarivová K., Kopanev O.: Didaktika matematiky,

Košice :Edičné stredisko UPJŠ 1983

[4] Guichelaar J.: Sommen van machten in hyperkubussen. Pythagoras, februari

2003, 42ste jaargang nummer ¾

[5] Hejný M., Kuřina F. : Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, 2001

[6] Kuřina, F.: Umění vidět v matematice. Praha: Státní pedagogické

nakladatelství, 1989

[7] Pappasová T.: Potešenie z matematiky. Bratislava, Nebojsa 1997

[8] Patriková, K., Reiterová, M.: Nová maturita Matematika 1. Bratislava: Príroda,

2005

[9] Wesley, R. a kol.: Matematika pre každého. Bratislava: Slovenské

vydavateľstvo technickej literatúry, 1967

[10] Winczerová M.: Prístup žiakov k riešeniu slovných úloh na porovnávanie.

Matematické obzory, 1993, zväzok 39

[11] http://matematika.webpark.sk

[12] http://www.ucmeradi.sk (databáza aktivít – matematika – prednáška –

pyramídy)

[13] http://www.gphmi.sk/pages/trojuholniky/euklid.html

[14] http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytha2/pytha2.html

[15] http://www.gphmi.sk/pages/trojuholniky/euklid.html

19

Zoznam príloh

Príloha číslo 1: Anketa

Príloha číslo 2: Odpoveďový hárok

Príloha číslo 3: Vyhodnotenie ankety

Príloha číslo 4: Pytagorova veta

Príloha číslo 5: Euklidove vety

Príloha číslo 6: Algebrické vzorce

Príloha číslo 7: Párne a nepárne čísla

Príloha číslo 8: Nekonečný súčet

Príloha číslo 9: Obsah trojuholníka XYZ

Príloha číslo 10: Obsah trojuholníka PQR

Príloha číslo 11: Dôkaz, že PS je kolmá na QR

Príloha číslo 12: Uhol priamok BH a DM

Príloha číslo 13: Vlajková žrď

Príloha číslo 14: Rebrík

Príloha číslo 15: Gepard a antilopa

Príloha číslo 16: Úloha o veku

Príloha číslo 17: (x + 3) (x – 4) (x + 5) < 0

Príloha číslo 18: | x + 5 | > 3

Príloha číslo 19:

Príloha číslo 20: xy=2 (x + y)

Príloha číslo 21: x2 + y2 = 4, (x + m)2 + ( y – m)2 = 1

Príloha číslo 22: x2+ax+b=0 , y2+by+a=0

Príloha číslo 23: Geometrické modely algebrických vzťahov pre súčty mocnín

Príloha číslo 24: Aplety na internetových stránkach

20