Prof. dr STEV AN HAD2IVUKOVIC

STATISTIKATrece, izmenjeno i dopWljeno izdanje

Privredni pregled -- Beograd1989.

3. INDEKSNI BROJEVI I ANALIZA VREMENSKIH SERIJA

3.1. INDEKSNI BROJEVI

U prouCavanju promena u vremenu indeksni brojevi imaju veliku primenuU principu indeksni broj se dobija iz odnosa veliCina jedne pojave u dva razlicitaperioda. U brojitelju je tekuca vrednost a u imenitelju bazna vrednost. Tako, akoimamo podatke 0 proizvodnji u 1982. i 1983.godini, indeks cemo dobiti iz odnosapodataka 0 proizvodnji u 1983. sa proizvodnjom u 1982. godini. Indeksni brojevise izraZavaju u procentima te je kolienik potrebno pomnoziti sa 100. Ako je cenanekog artilda iznosila L860 dinara u 1982. godini, a 2.320 dinara u 1983. godini,indeks je 2.320' 1O0/l.8~0 = 130,1. To znaCi da se cena toga artiklau 1983. pove-Cala za 30,1% u odnosu na 1982. godinu. UopSt:e, indeks ispod 100 znaCi opadanjeobima pojave u odnosu na bazni period, a preko 100 njen porast.

Kod vremenske serije do indeksa mozemo da dodemo uzimanjem za bazujednog perioda sa kojim se uporeduju vrednosti svih drugih perioda. To su indeksisa stalnom bazom. Kao baza moze da sluzi i vrednost svakog prethodnog perioda.To su lanlani indeksi. U tabeli 3.1. prikazana je vremenska serija za koju su izra-eunati indeksi sa stalnom bazom i 1aneani indeksi. Za osnovu izraeunavanja indeksasa stalnom bazom UZetaje 1975. godina, a mogla je &abude i bilo~oja druga godina.

Izbor baze uporedenja je vaZno pitanje jer od nje zavise izraeunati indeksi.Obieno to treba da bude onaj vremenski period koji se smatra kao "normalan" udinamici posmatrane pojave. Vremensko razdoblje u kome je ispoljen nenoqnalnonizak ili visok obim pojave po pravilu ne bi trebalo uzimati za bazu uporedenja.Da bi se osigurala normalnost baze uporedenja, ponekad se uzima prosek od neko-liko uzastopnih perioda. Na primer, prosek proizvodnje od 1950--1955. godine i s1.

Indeksi se primenjuju i kod uporedenja iste pojave dva razliCita geografskapodrucja i uopste na podatke geografskih serija. Na primer, cene u dva razliCitagrada mogu da se izraze preko indeksnog broja, gde cena jednog od njih sluzi kaobaza uporedenja.

Ovo su individualni indeksi. Pored toga, kao sinteticki pokazatelji upotreblja-vaju se grupni indeksi pomocu kojih se izraZava dinamikaproizvodnje grupe razli-Citih proizvoda, njihovih cena, itd. .

Indeksni brojevi su od velikog znacaja u sagledavanju dinamike, posebno kodanalize razlicitih ekonomskih aktivnosti. U t1i svrhu se izracunavaju razliCiti indeksi,kao industrijske i poljoprivredne proizvodnje, cena na veliko i malo, indeks vred-nosti uvoza, izvoza, produktivnosti rada itd.

48

1

[ndeksi sa stalnom bazom i lancani indeksi na osnovu podataka 0 proizvodnji rudebakra u Jugoslaviji od 1980-1987. godine

Tabela 3.1. eu hiljadama tona)

Izvor: Statisticki godi§njak Jugoslavije, SZS, str. 267 i 270.

3.2. GRUPNI INDEKSI

Putem grupnih indeksa se preko jedinstvenog pokazatelja za vise proizvoda,usluga ili cena, koji na izvestan nacin predstavljaju jednu celinu, sagledavaju njihovepromene u vremenu. Grupni indeksi su normalno ponderisani. Kod izraeunavanjaindeksa cena za pondere se uzimaju koliCine proizvoda, dok obratno kod ind{.ksafiziCkog obima za pondere sluze cene pojedinih proizvoda. Ako bismo, 11aprimer,kod indeksa cena kao pondere uzeli koliCine proizvedenih Hi prodatih artikala utekucem i baznom periodu ne bismo mogli dobiti pravu predstavu promep.a cenaposmatrane grupe proizvoda, posto bi tako izracunati inde.ks odrazavao i te pro-mene. Zbog toga, da bi se doslo do jednog skupnog pokazatelja koji odraZava pro-mene sarno u cenama, nuzno je da se pode od istih vrednosti pondera, odnosnokolicina i za bazni i tekuCi period. Tom prilikom se moze postupiti dvojako: da seza pondere uzmu koliCine baznog perioda ili, pak, koliCine tekuceg perioda. Sastav-ljanje grupnog indeksa cena sa ponderima baznog perioda vezano je za ime nema-ckog statisticara Laspejresa. Izracunavanje toga indeksa izrazeno je formulom

I pL = "'2:.PI qo ,"'2:.Po qo

(3.1)

gde su PI cene tekuceg perioda, po cene baznog perioda, a qo koliCina baznog pe-rioda. Nesto docnije, drugi nemacki statistiCal', Pase je u izracunavanju indeksacena za pondere uzeo kolicine tekuceg perioda (qI). Obrazac toga indeksa glasi

Ipp= "'2:.PI qI ."'2:.POqI

Primena Laspejresovog i Paseovog obrasca na iste cene iz dva perioda, dovodipo pravilu do vece ili manje razlike u rezultatu. Nairne, kod indeksa cena sa pon-derima baznog perioda polazi se od jednog konstantnog sastava kolicina uz pretpo-stavku nepromenjenosti toga sastava i u tekucem periodu. U drugom sluCaju polazise od pretpostavke da je nepromenjen sastav koliCina,ali da je to sastav tekucegperioda. Ni jedna formula nije idealno resenje jer pretpostavlja nepromenjenu struk-turu prometa proizvoda. Kako cene tako i koliCine se menjaju i upravo od promenestrukture koliCina zavisi razlika u primeni jednog ili drugQg obrasca. Sa praktienetacke gledista, podesniji je indeks cena izracunat prema Laspejresovoj formuli,

(3.2)

4 Sta tistika - III 49

Godina Proizvodnja Indeks Lancanirude bakra Baza 1980= 100 indeksi-

1980 19.559 100,0 -1981 18.337 93,7 93,71982 19.733 100,9 107,61983 23.443 119,9 118,81984 25.2'79 129,2 107,81985 26.166 133,8 103,51986 27.864 142,5 106,51987 27.745 141,9 99,6

po§to ona ne zahteva stalnu promenu strukture od jednog do drugog perioda. Po§toutvrdivanje pondera obicno nije jednostavno, najveCi broj indeksa cena uzima koli-Cine baznog perioda. Medutim, treba imati na .umu da se primena nepromenjenestrukture pondera za duZe vreme ne preporucuje, jer se ona takode menja i akose 0 tome ne bi vodilo racuna, izracunati indeksi ne bi bili realni.

1;)a bi se otklonile nezgodne strane i jedne i druge formule, neki autori sma-traju dii se za pondere treba da uzmu strukture koliCina oba perioda. U tom slucajuformula glasi

11>1<= ~PI qO+~PI qi~ Po qo + ~ Po qi

Ova formula je u stvari aritmetickasredina iz indeksa dobijenog po Laspej-resovom i Pa§eovom obrascu. Preporucuje se i primena Fi§erove tzV. "idealne"foi:mulepo kojoj se grupni indeks cena izracunava kao geometrijskasredina dvaindeksa

(3.3)

I1>F= V ~PIqO .~PIql . (3.4)~ Poqo ~ Poqi

Izraeunavanje ponderisanih indeksa izvcleemo na primeru tabele 3.2.

Prema Laspejresovom obrascu indeks cena je

I1>L=~P1qO= (2.690.1.000)+(2.650.1.500)+(37.150.2.000) =~ Poqo (1.990. 1.000)+ (1.730. 1.500)+ (30.180..~.000)

= 1,2466, odnosno 124,66.

Pa§eovobrazac daje sledeci indeks

11>;=~ PI qi = (2.690.2.000) + (2.650. 1.850)+ (37.150. 1.250)l:.PoqI (1.990.2.000) + (1.730. 1.850)+ (30.180. 1.250)

= 1,2631 odnosno 126,31.

PonderiJanje grupnog indeksa jizickog obima proizvodnje izvodi se po istomprincipu kao i grupnog indeksa cena s tom razlikom sto se za pondere ovde uzimajucene u baznom Hi tekueem periodu. Sa cenama baznog perioda kao ponderima,indeks na osnovu podataka tabele 3.2. je

IIlL= ~ ql Po (2.000. 1.990)+ (1.850' 1.730)+ (1.250. 30.180) =~ qoPo (1.000.1.990)+(1.500.1.730)+(2.000.30.180)

=0,6914, odnosno 69,14. (3.5)

50

j

I

a sa cenama tekuceg perioda

Illp= ~ qi PI = (2.000.2.690)+ (1.850.2.650)+(1.250.37.150) -~ qOPI (1.000.2.690)+(1.500.2.650)+(2.000.37.150)

= 0,7005, odnosno 70,05. (3.6)

U praksi se <::estoizracunava i grup'1i indeks vrednosti proizvodnje ili prometaprema obrascu

1 - ~ qi PI - 56.720.000 - 0 8733 d 87 33t>- - - -" 0 nosno , .~ qoPo 64.945.000

Ovaj indeks zavisi kako od promena u cenama tako i od promena u fizickom obimu.U praksi se upotrebljavaju i postupci za obracun srednjih indeksa. Do njih .

se dolazi, na osnovu ,Ponderisanja individualnih indeksa sa odgovarajucim vrednos-tima koje neposredno treba da odraZavaju vrednosnu strukturu proizvodnje i1ipro-meta, pq-:Ovi ponderi mogu da se utvrde po cetiri osnove (Poqo,PIq!, PIqo i Poql)i iz njih proizlaze eetiri razliCite formule za izracunavanje srednjeg indeksa. Akoza ponder uzmemo umnoZak cena i kolicina baznog perioda, tj. pogo,tada je srednjiindeks cena

(3.7)

'" PI (Po qo)I ~Po1>S= ~ '

""Poqo

a srednji indeks fizickog obirna

'" qi (qoPo)Lqo

Ills = .~ qoPo

Srednji indeks cena po 3.8. se svodi na formulu Laspejresovoggrupnog indeksacena (3.1), a srednji indeks fizickogobima po 3.9. se svodi na formulu grupnog in-deksa fiziCkogobima po obrascu 3.2. U tabeli 3.3,na bazi podataka tabele :3~2.datisu elementi za izracunavanjesrednjeg indeksa cena. .

(3.8)

(3.9)

2: PI (Poqo) 80,899.650 = 1,2456, odnosno 124,56.Ips = l;o qo = 64,945.000

4* 51

Dobijanje grupnih indeksa cena i fizickog obimaTabela 3.2. . Cena KolilineNaziv Jedinica 1983. 1984. 1983.artikla mere 1984.

Po PI qo qi

A t 1.990 2.690 1.000 2.000B t 1.730 2.650 1.500 1.850C t 30.180 37.150 2.000 1.250

Izralunavanje srednjeg indeksa unaTabela 3.3.

Naziv PI PIartik1a

- Poqo - Po qoPo Po

A 1,35 1,990.000 2,686.500B 1,53 2,595.000 3,970.350C 1,23 60,360.000 74,242.800

Ukupno 64,945.000 80,899.650

3.3. UZROCI KOLEBANJA VREMENSKIH SERIJA

Analiza vremenske serije moze da se izvede pomoCu jednostavne ili vrio kom-pleksne tehnike. Prvi korak se norrnalno svodi na graficki prikaz da bi se dobilagruba predstava 0 kretanju pojav.e i ta predstava u velikoj meri utiee na izbor daljegpravca analize. Ide se obien9 na sagledavanje faktora kolebanja serije. Sva ta brojnakolebanja statistika svrstava !J eetiri kategorije: dugoroenakolebanja ili trend, ciklicna,sezonska i neregularna kolebanja. OdgovarajuCim metodama statistie!;;e analize izdva-jaju se i posmatraju ova kolebanja i tako utvrduje njihov uticaj na kretanje nekevremenske serije. .

Trend ili dugoroena kolebanja ispoljavaju se nakon duzih vremenskih razdoblja,10-15 pa i vise godina. Tako, ako na duzi rok pratimo kretanje prinosa neke poljo-privredne kulture, bez obzira na nejednake godisnje oscilacije koje ta kultura obicnoispoljava, najeesce ce se uoeiti tendencija porasta. Ispitivanje trenda treba da ukazena opstU tendenciju razvitka pojave uz zanemarivanje kolebanja kratkorocnijegkaraktera. Kako su tendencije razvitka raznovrsne, odgovarajuCi statistieki metodtreba da ih osvetli.

Trend se prouCava iz dva prakticna razloga. Prvo, ispitUje se u cilju ekstra-polacije ili pre,dvidanja buduceg kretanja ,D!:kepoj!!ve. Polazi se 00. utvrdivanja nje-nog kretanja u proteklom perioau z:!lkdji imamo' podatke. Cilj istrilzivanJa trendarnoze da bude sagledavanje pravca razvitka u proteklom periodu ili interpolacija,81:0je od posebnog znaeaja u raznim komparativnim analizama. Ekstrapolacija seformalno izvodi uz pretpostavku da ce se pojava ubuduce kretati kao i u proslosti,pri cemu se dopusta moguCnost da se vodi raeuna 0 nekom momentu za koji seocenjuje da ce delovati u buduCnosti, a ranije nije bio prisutan. Svaka ekstrapolacija,narocito u drustveno-ekonomskim kretanjima, skopeana je sa veCim ili manjimrizikom~ .JJopste uzevsi, ekstrapolacija je realnija na kraCi nego na duzi rok. Drugo,trend se prouCava da bi se njegovim odstranjivanjem iz neke vremenske serije moglesagledati druge vrste kolebanja, na primer, sezonski uticaji.

Cikliena kretanja su povratna, a ne i striktno periodiena, kolebanja oko trendasa neujednacenom duZinom trajanja i karakterisu ekonomska kretanjazerna1ja trZiSneprivrede. Njihovom ispitivanju se posle velike svetske ekonomske krize 1929. godineu kapitalistiCkim zemljama pridaje veliki maCaj. Cilj je da se predvidi nastUpanjei intenzitet ciklicnih kolebanja pri cemu su statisticki podaci i metodi obilato ko-risceni. Nije se pronaSao jedan adekvatan matematieko-statistiCki metod koji bina zadovoljavajuci nacin predvideo nastupanje ciklusa, jer oni zavise 00. niza unu-trasnjih i spolji1,ihfaktora kojima su podlozne nacionalne ekonomije. KIasiena ana-liza vremenskih~lserija je dosta neprecizna za sagledavanje cikliCnih kretanja. Taanaliza poCiva mtirezidualnoj osnovi; iz vremenske serije eliminisu se uticaji drugihkolebanja i po de,finiciji ostatak se pripisuje ciklicnim i neregularnim uticajima.Posto se neregulama kolebanja tesko mogu da predvide, to se pri postavljanju pro-gnoza ne pokusava sa njihovim izdvajanjem iz cikliCnih kretanja. Treba ipak istaCiosnovanost ovakvog postupka u analizi cikliCnih kretanja, jer se i sluCajna kolebanja,ako ne dode do nekih nepredvidljivih dogadaja, mogu postaviti u izvesne okvire,polazeci 00. ranijih saznanja.

Sezonska kolebanja dolaze do izrazaja periodieno u toku kalendarske godine.Osnove njihove analize su uglavnom meseene ili kvartalne vremenske serije. Oveserije iz godine u godinu, kod brojnih pojava, sistematski ispciljavaju veti obim ujednom delu godine, a izrazito manji u drugom. Na primer, prodaja osveZavajuCih

52

I.I,1

napitaka je znatno veca u letnjim nego u zimskim mesecima. Da bi se mogle utvrditizakonitosti u sezonskim kolebanjima potrebne su serije za vise godina.

Neregularna kolebanja kao sto su suse, poplave, zemljotresi, a u njih spadaju itehnoloski i tehnieki pronalasci, ne mogu se predvideti unapred, niti se ispoljavajuu jednom odredenom pravcu.Pri analizi, neregularna kolebanja su obieno ostatakvarijacija u seriji nakon iskljueenja uticaja sezone, trenda i ciklusa.

Od posebnog znaeaja je analiza stacionarnih vremenskihserija kod kojihnemasistematskihpromena u srednjoj vrednosti (nema trenda), niti promena u varija-bilitetu (ista varijansa). Probabilistieka teorija vremenskih serija ima prvenstvenou vidu ovu vrstu serija. Zbog toga se analiza eesto uslovljava eliminisanjem uticajatrenda i sezone iz podataka, a zatim se utvrduje model varijacije sluCajnih kolebanja(reziduala) putem stacionarnih stohastickih procesa.

ZnaCajni indikatori svojstva neke vremenske serije su prosti koeficijenti au-tokorelacije ili koeficiienti serijske korelacije. Oni pruZaju meru korelacije izmeduposmatranih vredno~ti u seriji na razlieitim distancama podataka (prvi, drugi i vecired). Oni mogu da' pomognu u utvrdivanju probabilistickog modela koji generisupodaci.' .

" Velikupomo~.u analizi.~erijskekor~lacijepruZajukor.e~ogra"!ikoji.predstav-IJaJugrafikon koeficlJenata senJske korelaclJe u odnosu na vehelDu distance; odnosnokorelaciju prvog, drugog, treceg i veceg reda.

3.4. ISTRA:lIVANJE TRENDA

U istrazivanju trenda primenjuje se vise metoda. Po jednom uproscenommetodu, na linijski grafikon originalnih podataka slobodno se :.lcrta prava ili krivalinija koja treba da je sto bolje prilagodena originaJnim podacima. Ovakav metod,iako neprecizan, cesto zadovoljava potrebe analize. Medutim, on se ne upotrebljavakod kompleksnijih istraZivanja vremenskih serija kojima je cilj da se utvrde i drugiuzrod kolebanja.

Bolje je da se trend utvrdi na osnovu izraeunavanja. U praksi se najeeSceprimenjuju metod pokrernih proseka i metod najmanjih kvadrata. Metod pokretnihproseka ublaza'la kratkoroene oscilacije i omogucava da se istakne sarno osnovnarendencija razvitka. Pokretni prosed se izraeunavaju na osnovu podataka za 3, 4,5 ili vise godina.. Ti se podad sukcesivno sabiraju i dele sa brojem godina. IIustra-ciju i~racunavanja pokretnih trogodisnjih proseka izveli smo na podacima iz tabele3.4, gde su prvo izraeunati trogodisnji pOkretni totali i na njihovoj osnovi pokretniproseci. Za prvu i poslednju godinu nema pokretnih proseka jer nedostaju podaciza njihovo izractmavanje. Grafieki prikaz te serije dat je na slici 3.1.

Ublazavanje oscilacija na slid 3.1. bilo bi vece da su ti prosed izraeunati naosnovu vise godina. Da bi se 81:0vise istakao relativni znacaj godine za koju se izra-eunava pokretni prosek, ponekad se vrednost za tu godinu uzima duplo, tako dase pokretni total deli sa eetiri. IIi, ako se prosed izraeunavaju na osnovu pokretnihtotala 00. po pet godina, onda se centralna godina moze da uzme tri puta, dye po-boene godine dva puta i sledece jedanput. Tada se pokretni totali dele sa 9, a nesa 5 itd.

Pokretni proseci mogu ponekad da dovedu do pogreSnog zakljucka 0 trendupojave. Tako, oni lako mogu da prikriju da je pre ree 0 eksponencijalnom trendu

53

Izvor: Statisticki godi§njaci Jugoslavije 1979, 1983, 1986. i 1988, SZS, str. 316, 320, 326 i 320-

54

1976 1977 1981 1982

GODINA

1978 1979 1980 1983 1984 1985 1986 1987

SI. 3.1. Linija originalnih podataka i pokretnih proseka na osnovu tabele 3.4.'

~

II~I

I.~~

~,Ii

nego 0 linearnom, naroCito ako nisu ponderisani. Trogodisnji pokretni proseci sene mogu da izraeunaju za prvu i poslednju godinu u seriji, petogodisnji za dye prvei dye poslednje itd. Treba dodati da pokretni prosed nisu dobijeni na osnovu mate-matiekih jednaeina pa se smatraju primitivnijim oblikom analize trenda.

Bolje resenje za sagledavanje trenda je pomoCu matematieke funkcije kojase prilagodavapodacima posmatrane serije. Najcesce primenjivani oblik su jedna-Cin~prvog i kvadratnog stepena. Jednacina prvog stepena odgovara pravolinijskomtrendu i glasi

"f = a + bX, '"" (3.10)

gde je X vremenski period uzet kao nezavisnapromenljiva; "f pokazuje proseenuili oeekivanu vrednost posmatrane pojave u datom periodu; a i b su pararnetri.

Jednaeina drugog stepena glasi"f = a + bX + cX2. (3.11)

U raeunskom postupku potrebno je primenom metoda najmanjih kvadrata doti doparametara a i b u prvoj jednacini i pararnetara a, b i c u drugoj. Ovaj se metodmoze koristiti i za izraeunavanje jednacine veceg stepena, ukoliko bi se ona boljeprilagodavala podacima vremenske serije.

JednaCina prvog stepena primenice se ha vremensku seriju 'sa neprekidnomrastucom ili opad,ajucom tendencijom razvoja. Jednacina drugog stepena odgovarapodacima kod kojih se tendencija razvitka u meduvremenu promenila. Ako trendpokazuje da su relativne promene jednake, tj. ako je porast takav da je proporcijauvek ista u poredenju sa vec dostignutim nivoom iz prethodnog perioda, onda jeovakav odnos bolje izraren preko eksponencijalne jednaeine

"f = abx, (3.12)

Ako se za promenljivu Y uzmu logaritmi, jednaeina 3.12. se svodi na sledecu jedna-einu prvog stepena

log "f = A + EX. (3.13)

Kod grafiekog prikaza ove jednaCine, skala na ordinatnoj osi za Y je logaritamska.f Ponekad se primenjuju logaritarnske jednaCine koje poeivaju sarno na logaritmima

za XiIi na logaritmima za X i Y. Za neka specifiena istrazivanja primenjuju sejednaeine poznate kao Gompercova i logistieka kriva.

U ispitivanju trenda primenjuje se metod najmanjih kvadrata, jer se pomocunjega dobija linija najbolje prilagodena stvarnim podacima serije. Taj metod imadva svojstva: I) suma odstupanja stvarnih podataka serije od interpolisane linijeili Iinije trenda jednaka je nuli ~ (Y - "f)= 0 i 2) suma kvadrata tih odstupanja~ (Y - "f)2= minimum, te otuda i njegov naziv.

U produzetku cemo na primeru datom u tabeli 3.5. prikazati izraeunavanjejednaeine pravolinijskog trenda. Da bismo dosli do pararnetara a i b, potrebno jena uobicajeni naein resiti sistem od dye jednacine

~Y=na+b~X

~ XY = a ~ X + b ~ X2

(3.14)

(3.15)

gde je n broj vremenskih perioda.

55

Izracunavanje trogodiInjihpokretnih i roseka na osnovu podataka0 iz'lJOZUvina iz Jugoslavije

Tabela 3.4. (u hil;adama tona)

Kolicina 3-godi§nji 3-godi§njiGodina vina pokretni pokretni

total prosek

1976 73,2 -1977 77,8 233,4 77,81978 82,4 267,3 89,11979 107,1 301,9 100,61980 1124 352,1 117,41981 132,6 398,4 132,81982 153,4 426,7 142,21983 140,7 421,7 140,61984 127,6 393,6 131,21985 125,3 377,3 125,81986 124,4 358,8 119,61987 109,1

160

150

140

130

120

110f20

g 100:::>

90

80

70

I, -j/ ,J.

ORIGINALNI PODACIf'\ '--'-

---- POKRETNI PROSECI/ 1", '\

/ 'l \/?"

j.

/1/ V/

/v

bvor: Stausticki godisnjak Jugoslavije 1983. i 1988, izd. SZS, str. 266 i 280.

Izraeunavanje se moze pojedno3taviti akQ se uzm~ da je :EX = 0 na naCinpokazanu tabeli3..5.Dakle za godinu u sredini serije X! je nula, a godine koje jojprethode imaju za X : - 1,- 2, . . . a koje slede imaju za X! : 1, 2, . . .. U tomslueaju jednacina 3.14. se svodi na

:E Y = na, (3.16)

a jednaCina3.15. na:EXY = b :E X2. (3.17)

Pararnf'.tar a se dobija iz jednacine 3.16, a parametar b iz jednaCine 3.17. U nasemprimfru njihove vrcdnosti su

:E Y 609 :E XY ]00 -:-a=-=-= 6766' b=-=--=3,33..

n 9 ,. :EX:! 60

Prcma tome, jednaCina trenda je

? = 67,66 + 3,33x.

Vrednost trenda za 1979. godinu je Y79 = 67,66 + 3,33 (-4) = 54,34. G,'dficki,prikaz podataka iz tabele 3.5. i njihovog trcnda dat je na slici 3.2. Vred.11osttrenda'za svaku godinu sadrzi tabcla 3.5. u kojoj su u poslednje dye kolone, isto tako,prikazana odstupanja originalnih podataka od trenda i njihovi kvadrati. Da bise povukla linija trenda, dovoljno je da se utvrdc njegove vrednosti za dye godinei zatim se pomocu lenjira izvodi interpolacija za ceo posmatrani period i even-tualno ekstrapolacija. Tako, ekstrapolacija za 1988. godinu daje vrednost trendaYss= 67,66+3.33 (5) = 84,31.

56

~

80

8

~.

75

70.J::.~~ 6500

0 60:;)

55

50L lr I I I I I I I I 1""-

1979 1980 1981 1982 1983 1981. 1985 1986 1987GODINA'

SI. 3.2. Linearni trend na osnovu podataka tabele 3.5.

3.5. ANALIZA CIKLICNIH KOLEBANJA

Ako se neka vremenska serija ~toji od godisnjih podataka, onda na njeneoscilacije uticu trend, cikliena i neregulama kolebanja, ali ne i sezonska koja seispoljavaju sarno u toku godine. Kad se izraeuna trend, onda je normalno da sevarijacije od njegove linije pripisu ciklienim i neregulamirn kolebanjima. Ukolikonije bi10 naglaSenih slueajnih ko1ebanja, logieno je pretpostaviti da su cikliena kre-

~ 100 100Y

104

102

98

96

1979 1980 1981 1982 'SB3 1981.GODINA

SI. 3.3. Odnos prema trendu na osnovu tabele 3.5.

1985 1986 1987

57

Iz:racunavanje pravolinijskog trenda 0 proizvodnji elektricne energijeu Jugoslaviji od 1979-1987. godine

Tabcla 3.5. (u hiljadama MWh)

Godina ProizvodnjaX y XY XS

1979 -4 55 -220 161980 -3 59 -177 91981 -2 60 -120 41982 -1 62 - 62 11983 0 67 0 01984 1 73 73 11985 2 74 148 41986 3 78 234 91987 4 81 324 16

Ukupno 0 609 200 60

tanja njihov glavni uzrok. Odstupanja od trenda se obieno sagledavaju na osnovuprocenta iz odnosa podataka date godine prema vrednosti njenog trenda

Y.IOO

Y .

Na ovaj naCin je eIiminisan uticaj trenda, tako da su ciklicna i neregularnakolebanjaizraiena u procentima od odgovarajuce vrednosti trenda. Taj odnos postaje jasnijiako se izrazi na sledeci nacin

Y T.G.N-= =G.N,r- T

gde su T, C i N uticaji trenda, cikIicnih i neregularnih kolebanja. Ponekad se pra-ktikuje izracunavanje relativne cikIicne rezidualne vrednosti prema obrascu:(Y - r-). loo/r-. Ove vrednosti su pozitivne Hi negativne, zavisnoda Ii je obimpojave date godine ispod ili iznad trenda.

3.6. SEZONSKA KOLEBANJA

Statisticki problem analize sezonskih uticaja se sastoji u trazenjunaCina dase ona izmere i da se primenom odgovarajuceg metoda analize iz njih iskljuce drugiuzroci kolebanja. CHj, medutim, moze da bude da se utvrde, a zatim odstrane sezon-ska kolebanja u cilju sagledavanja nekih drugih uticaja, cikIicnih na primer. Da bise doslo do preciscenih Uticaja izrazenih putem sezonskih indeksa, primenjuje sevise metoda. Ako raspolazemo sa mesecnim ili kvartalnim podacima sarno za jednugodinu, do sezonskih indeksa se dolazi tako da se mesecni Hikvartalni prosek uzimaza bazu uporedenja i podaci svakog meseca iIi kvartala stavljaju u odnos prematom proseku. Na primer, neka je proizvodnja po kvartalima iznosiIa 70, 90, 160,

120. Opsti kvartalni prosek je-.!.. (70 + 90+ 160-+- 120)= IlO. Sezonski indeksi4

su prema tome: za prvi kvartaI~. 100=63,6; za drugi 90. .100=81,8; zaIlO IlO

treCi: 160 .100 = 145,4 i za cetvrti kvartal: 120. 100 = 109,1.Kadase analiza110 110

oslanja na mesecne serije, trebalo bi. voditi racuna i 0 uticaju kalendarskog faktoras obzirom na nejednak broj dana po mesecima.

Problem u analizi sezonskih varijacija je da se iz originainih podataka iskIjucesvi drugi uzroci kolebanja izuzev sezonskih. Za to se upotrebljavaju podaci za visegodina iz kojih ce se eliminisati uticaj trenda, cikIusa i neregularnih kolebanja. Odvise razliCitih postupaka ovde cemo ukazati na dva. Metod prostih sredina ili Boulijevmetod se sastoji u tome da se prvo izracunavaju proseci za svaki mesec Hi kvartal.Ako je to bila osmogodisnja serija, svaki takav prosek je dobijen na osnovu osampodataka za svaki mesec ili kvartaI. Ovim se postupkom iz sezonskih vrednostiiskIjueuje uticaj dkIicnih i neregularnih kolebanja. Medutim, uticaj trenda je i daijeprisutan. Da bi se i on odstranio, izracunava se trend za celu seriju, a za korekturuuzimaju njegove mesecne ili kvartalne vrednosti u sredisnoj godini. Uticaj trendase iskIjucuje stavljanjem u odnos meseCnih ili kvartalnih sredina prema vrednostima

u5B

njihovog trenda. Rezultati su precisceni sezonski indeksi. Ovaj je metod prikIadankod pravoIinijskog trenda.

Metod odnosaprernapokretnim prosecima ima ceScuprimenu. Kod ovog metodapostupa se suprotno od prethodnog. Naime, prvo se eliminiSe uticaj trenda i do-nekIe cikIicnih i neregulamih varijadja. Tu se prvo izraeunaju pokretni prosed.Zatim se stavljaju u odnos podaci serije svakog perioda sa pokretnim prosedma.lndeksi dobijeni iz ovog odnosa mogu se izraziti na osnovu sledece formuIe

Y - T.G.S.N=S.NP - T.G

gde je P pokretni prosek, a S sezonski uticaj. Da bi se iz tako dobijenih indeksaodstranio uticaj preostaIih, prvenstveno nereguIamih kolebanja, izracunavaju senjihovi prosed za sv!iki mesec ili kvartal i tako dolazi do sezonskih indeksa.

IIustradju izraeunavanja sezonskih indeksa po metodu odnosa prema pokret- .nim prosecima izvescemona kvartainim podacima prikazanim u tabeli 3..6. Po-kretni prosed na bazi cetiri kvartala prikazani su u tabeli 3,7, a odnosi prema po-kretnim prosecima u tabeli 3.8, gde poslednji red sadrli sezonske indekse koji suproste aritmeticke. sredine podataka za svaki kvartal.

c.1I

Izvor: Indeksi od 1983-1988. godine, izd. SZS, Beograd

Tabela 3.7.Pokrerni trokvartalni proseci na osnovu podataka iz tabele 3.6.

Godina Kvar"tali

198219831984198519861987

59

Proizvodnja benzina po kvartalima u.JugoslavijiTabela 3.6. (u hiljadama t)

Godina Kvartali SvegaII .III IV

1982 592 707 769 513 2.5811983 673 574 658 664 2.4781984 723 763 1.025 1.276 3.7871985 769 837 886 933 3.4051986 1.042 837 1.033 977 3.8891987 1.092 1.057 924 936 4.009

II III IV689 663 652

587 635 632 682717 837 1.021 1.023961 831 885 954937 971 949 1.034

1.042 1.024 972

Tabela 3.8.

Odnos prema pokretnim prosecima i sezonski indeksi(00 osnovu tabela 3.6. i 3.7.)

Kvartali

Priroda,podataka je jedan znacajan momenat 0 kome mora da se vodi racunaprilikom predvidanja. Tako, sa vise izvesnosti moze da se predvidi buduce pri-rodno kretanje stanovnistva nego, recimo, visina padavina u toku vegetacionogperioda. Cesto se izvode paralclna' predvidanja na bazi vise hipoteza, ponekad uzprimenu razliCitih metoda.

Ponekad, u predvidanju moze da se koristi i neki subjektivni kriterijum. Naprimer, neko preduzece je na reklamu svojih proizvoda trosilo odredeni procenatsvoga dohotka uz realizaciju koju pokazuje vremenska serija. Ako se to preduzeceu meduvremenu reSilo da u narednom periodu znatno poveea izdatke za reklamu,predvidanje buduce prodaje treba da uzme u obzir i taj momenat.

Ekstrapolacija trenqa metodom najmanjih kvadrata pociva u celini na rezulta-tima prethodnih posmatranja ispitivane pojave. Medutim, kod predvidanja moguda'se uzmu u obzir i podaci drugih promenljivih, na primer, potrosnja u zavisnostiod dohotka. Tada se radi 0 regresionimili multivarijacionim modelima koji su u osnoviekonometrijskih mod~la.

Ekonometrijskl modeli se tdko konstruisu usled niza nepredvidljivih cinilacate nije redak slucaj da model na bazi jedne promenljive pruza bolji rezultat negomultivarijacioni model.

I u ovom domenu je u poslednje vreme bilo pokusaja sa Boks-Dzenkinsovomprocedurom koja moze da se primeni i na multivarijaciona predyidanja. Pored toga,najveCi broj univarijacionih predvidanja su potpuno formalizovana i za odredenuvrstu podataka on.a su automatska. Boks-Dzenkinsov postupak ima, medutim, isubjektivan akcenat, jer prliZa mogucnost izbora iz skupa od veceg broja modela.Ovo predstavlja kako dobru tako i losu stranu ovog postupka, za Ciju je primenu

potrebno dobro poznavanje teorije i prakticno iskustvo. ~

Godina

198219831984198519861987

Sezonskiindeksi

U analizi vremenskih serija sve se vise ide na utvrdivanjc probabilistickogmodela. Metodi analize na ovoj osnovinazivaju se stohastii5kiprocesi.NajveCibrojautora pod stohastiekim procesom podrazumeva slucajnu ili stohasticku kompo-nentu u vremenskoj seriji koja je sastavni deo njene fizicke vrednosti, ali istovre-menD i matematicki model koji karakterise kretanje te serije. Matematicki, stoha-stieki p,roces moze da se definise kao skup, T, slucajnih promenljivih u vremenu[X(t), t E T], gde je X(t) slueajna prom~nljiva u vrem~nu t. Ako je skup T nepre-kidan. onda je -00 < t <- + 00, a ako je prekidan: t = 0, :f: 1, :f: 2, . . .. Zasvaku slueajnu promenljivu za jedan ishoi procesa imamo jedno posmatranje i tasu posmatranja hronoloska i krecu se prema zakonu verovatnoce.

Treba ukazati na specificnost statisticke analize vremenskih serija postavljenena probabilistickim osnovama. U strukturalnoj analizi ispituje se uzorak na baziveceg broja jedinica i donosi zakljucak 0 celom skupu. Kod vremenskih serija imamosarno jedno posmatranje slueajne promenljive u vremenu t. Konceptualno, jednavremenska serija moze da se smatra kao jedan clan iz beskonai5nogskupa vremenskihserija. Svaki ovaj clan je moguca i posebna realizacija stohastiekog procesa. Postoje ree 0 sarno pojmovnom skupu, analiza serije poCiva na probabjlistiekom modelu.

Problem amilize vremenskih serija na ovim osnovama je pronalaZenje ade-kvatnog modela. Njegov izbor zavisi od svojstva serije, odnosno ispoljene tendencijeu njenom kretanju, pri eemu njen graficki prikaz moze da bude posebno koristan.Taj izbor cesto zavisi od velicine serije, kao i od naeina na koji ce se taj model daupotrebi. Tehnika koju preporueuju Boks i Dzenkins ima danas znatan broj pri-stalica. Ona je u osnovi kompleksna i njena primena je olaksana zahvaljujuCi raeuna-rima. Treba imati u vidu da komplikovana tehnika ne mora uvek da znaci i boljuanalizu. Cesto jednostavniji postupak moze da pruzi zadovoljavajuci rezultat. Zbogtoga se izbor metoda na bazi modela treba dobro da prouei pre nego sto se donesekonaena odluka.

Poslednjih godina teorija stohastickih procesa se, na toj osnovi, veoma razvilai predstavlja siroko podrucje na kome rade brojni, prvenst'leno, teorijski statisticari.

Slican se problem postavlja kada se vrSi predvidanje ili ekstrapolacija pricemu treba imati u vidu cilj predvidanja, njegovu dliZinu, duzinu serije itd. Lo-gieno je da podaci prethodnog perioda slliZe kao oslonac za predvidanje, i kod kra-ceg perioda se moze ocekivati veca izvesnost. /'

60 61

II III IV

1,026 1,160 0,7871,146 0,904 1,041 0,9741,008 0,912 1,004 1,2470,800 1,007 1,001 0,9781,112 0,862 1,088 0,9451,048 1,032 0,951

1,02 0,96 1,04 0,98 /

3.7. MODELl VREMENSKIH SERI]A i/