3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

1/13

TURUNAN

3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

Garis Singgung

Anggaplah P adalah sebuah titik tetap pada suatu kurva dan andaikan Q adalah sebuah titik

berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Pandang garis yang melalui P dan

Q , garis itu disebut garis tali busur / secant line . Garis singgung / tanget line di P adalah posisi

pe batas (jika ada) dari tali busur itu bila Q bergerak ke arah P sepanjang kurva. Perhatikan

Gambar 1.

Gambar 1

Anggaplah kurva tersebut adalah grafik dengan persamaan y= f ( x) . Maka P mempunyai

koordinat (c , f (c ) ) , titik Q di dekatnya mempunyai koordinat (c + h , f (c + h )) , dan tali busur

yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan msec yang diberikan oleh Gambar .

Pada saat tertentu, suatu kurva pada titik tertentu tidakterdapat garis singgung.

!itik Q bergerak

menuju titik P , tetapi

titik Q tidak boleh

menempati posisi titik

P . "ah, garis

singgung merupakan

Anggaplah kurvaini adalah

y= f ( x) .

"ah, garis ini (garis singgung)

yang membatasi agar titik Q

tidak menempati titik P


2/13

Ga bar !

#emiringan dari garis tali busur diberikan

msec = f (c+

h)−

f (c )h

$engan menggunakan konsep limit, berikut diberikan definisi garis singgung.

"e#inisi Garis Singgung

Garis singgung kurva y= f ( x) pada titik P(c , f (c) ) adalah garis yang melalui P dengan

kemiringan

mtan = limh → 0

msec = limh→ 0

f (c+ h)− f (c )h

Menunjukkan bah%a limit ini ada dan bukan ∞ atau− ∞ .

&e%aktu &$, kalian mungkintelah mengetahui rumuskemiringan ' gradient, yakni

y2 − y1 x2 − x1

arak dari titik c ke titik

c + h sebesar h , yakni

(c + h)− c= h . ila h

Pada saat h → 0 ,

nilai limit akan tidakada'gagal ketikasemakin menuju

0 nilai limitnya

"ilai h ! $A# *+- / tapi M-"$-#A! '+ M ! /

*+- . #arena jika nol,bilangan

0 ! $A# $APA!


3/13

$%NT% 1

2arilah kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)= x2

di titik (2,4 ) .

Penyelesaian

Garis yang kemiringannya kita 3ari diperlihatkan pada Gambar 4.

Ga bar 3

Perhatikan bah%a garis singgung pada kurva y= x2

di titik(2,4 )

mempunyai kemiringan positif (kemiringan positif maksudnya ketika nilai peubah bebas atau variabel x naik, maka nilai peubah tak

bebas atau f ( x) juga ikut meningkat).

m tan = limh → 0

msec = limh→ 0

f (c+ h)− f (c )h

$iketahui c= 2 sehingga

mtan = limh→ 0

f (2 + h)− f (2 )h

¿ limh→ 0

(2 + h)2− 22

h

Akan kita 3ari kemiringan garis

singgung pada kurva y= x2

PA$A ! ! #(2,4 )

.erdasarkan penglihatan, nilai

kemiringannya sudah pastiP*& ! 5. #arena pada garissinggung tersebut, semakin

x meningkat, maka nilai

$iketahui

f ( x)= x2 , maka2


4/13

¿ limh→ 0

4 + 4 h+ h2− 4h

¿ limh→ 0

4 h+ h2

h

¿ limh→ 0

4 + h

4 + ¿ limh → 0

h

¿ limh→ 0

¿

¿ 4 + 0= 4

garis singgung pada kurva y= x2

di titik (2,4 ) mempunyai kemiringan positif bernilai 4 .

Apa artinya jika kemiringan dari garis singgung bernilai 4 6 Artinya adalah #A nilai x naik

sebesar satu (bergerak ke kanan sebesar 1) maka nilai y akan naik sebesar 7.

Persamaan garis singgungnya adalah

y− y1= m( x− x1 )

y− 4 = 4 ( x− 2 )

y− 4 = 4 x− 8

y= 4 x− 4

ika nilai x= 1 maka y

= 0

ika x= 2 maka y= 4

Perhatikan888 !itik x= 1 bergerak ke kanan &A!0 +A"G#A #- #A"A" menjadi x

= 2 , nilai

y M-" "G#A!'"A # sebesar 7.

$%NT% !


5/13

2arilah kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)=− x2 + 2 x+ 2 pada titik9titik dengan

koordinat x pada− 1,

12

, 2, dan 3 .

Penyelesaian

mtan = limh→ 0

f (c + h)− f (c )h

¿ limh→ 0

− (c+ h)2+ 2 (c+ h )+ 2− (− c 2+ 2 c+ 2 )h

¿ limh→ 0

− (c2

+ 2 ch + h2

)+ 2 (c+ h)+ 2− (− c2

+ 2 c + 2 )h

¿ limh→ 0

− c 2− 2 ch− h2+ 2 c + 2 h+ 2 + c 2− 2 c− 2h

¿ limh→ 0

− 2 ch − h2 + 2 hh

¿ limh→ 0

(− 2 c− h+ 2 )

− 2 c− ¿ limh → 0

h+ limh → 0

2

¿ limh → 0

¿

¿ − 2 c + 0 + 2= 2− 2 c

adi kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)=− x2 + 2 x+ 2 pada

:a; titik− 1 adalah 2

− 2 c= 2 − 2 (− 1 )= 4

:b; titik12 adalah

2− 2 c= 2 − 2(12)= 1


6/13

:3; titik 2 adalah 2− 2 c= 2 − 2 (2 )=− 2

:d; titik 3 adalah 2− 2 c= 2 − 2 (3 )=− 4

Grafiknya diperlihatkan pada gambar 7.

Ga bar '

$%NT% 3

2arilah persamaan garis singgung pada kurva y= 1 / x di titik (2, 12) . Perhatikan Gambar


7/13

mtan = limh → 0

msec = limh→ 0

f (c+ h)− f (c )h

$iketahui c= 2 sehingga

mtan = limh→ 0

f (2 + h)− f (2 )h

¿ limh→ 0

1(2 + h)

− 12

h

¿ limh→ 0

2 − 2− h

(2 + h) (2 )h

¿ limh→ 0

− h(2 + h) (2 ) (h )

¿ limh→ 0

− 1(2 + h) (2 )

¿ − 14

adi, kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)= 1

x di t itik (2, 12) adalah − 14 .Persamaan garis singgungnya adalah

y− y1= m( x− x1 )

y−12

=− 1

4 ( x− 2 )

y=− 1

4 x+

12

+ 12


8/13

y=− 1

4 x+ 1

Kecepatan Rata)rata dan Kecepatan Sesaat

ika kita mengendari mobil dari sebuah kota ke kota lain yang berjarak =/ km selama jam, makake3epatan rata9rata kita adalah 7/ km'jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi perta a keposisi kedua dibagi dengan *aktu te pu+ .

!etapi selama perjalanan speedometer sering tidak menunjukkan angka 7/ (bisa 7 meter dalam detik pertama dan >7 ( 16∗t 2= 16∗22= 64

) meter selama detik. PerhatikanGambar >.

Ga bar -

Pada saat detik nol (benda belum dijatuhkan) t = 0 maka nilai jarak tempuh

16 t 2 = 16 (0 )2= 0 meter

Perhatikan bah%a nilaikemiringan pada suatutitik (#-2-PA!A"&-AA!) juga semakin

tinggi ketika nilai x

#e3epatan MA# "-?!AM A seiring

%aktu'detik berlalu. &ehingga jarak tempuh per9detik pun&-MA# " M-" "G#A!dari detik pertama, detikkedua, dan seterusnya


9/13


10/13

vrata − rata =64 − 16

2− 1 = 48 meter / detik

&elama selang %aktu t = 1 sampai t = 1,5 benda jatuh sejauh 16 (1,5 )2− 16 = 20 meter.

#e3epatan rata9ratanya adalah

vrata − rata =16 (1,5 )2− 16

1,5 − 1 = 40 meter / detik

$emikian pula pada selang %aktu t = 1 sampai t

= 1,1 dan t = 1 sampai t

= 1,01 , kita

hitung ke3epatan rata9rata masing9masing adalah

vrata − rata =16 (1,1 )2 − 16

1,01−

1

= 33,6 meter / detik

vrata − rata =16 (1,01 )2 − 16

1,01 − 1 = 32,16 meter / detik

Apa yang telah dilakukan adalah menghitung ke3epatan rata9rata selama selang *aktu (interval %aktu)

yang semakin ke3il'diperke3il, masing9masing mulai pada t = 1 , semakin pendek selang %aktu,

semakin baik kita eng+a piri kecepatan sesaat pada t = 1 . $engan memperlihatkan bilangan9

bilangan48 ; 40 ; 33,6

dan32,16

, kita mungkin akan menerka bah%a32

meter per detik adalah kecepatan sesaatn a .

!etapi marilah kita menghitung lebih teliti. Andaikan bah%a sebuah benda P bergerak sepanjang garis

koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s= f (t ) . Pada saat c , benda berada dif (c ) @ pada saat yang berdekatan c + h , benda berada di f (c + h ) (Perhatikan Gambar ) .

Pada saat c posisi

bendanya s= f (c ) .

Pada saatc + h


11/13

Ga bar

jadi kecepatan rata)rata pada selang ini adalah

vrata − rata =f (c + h)− f (c )

h

erikut definisi dari kecepatan sesaat .

"e#inisi Kecepatan sesaat

ika sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat dengan fungsi kedudukan f (t ) , maka

kecepatan sesaatn a pada %aktu c adalah

v = limh→ 0

vrata − rata = limh→ 0

f (c + h)− f (c )h

Menunjukkan bah%a limitnya ada dan bukan ∞ atau − ∞ .

$alam kasus f (t )= 16 t 2

, ke3epatan sesaat pada t = 1 adalah

v sesaat = limh→ 0

f (1+

h)−

f (1 )h

¿ limh→ 0

16 (1+ h )2− 16 (1 )2

h

#edudukan ' posisi suatu benda dipengaruhi %aktu atau

t .


12/13

¿ limh→ 0

16 + 32 h+ h2 − 16h

¿ limh→ 0

32 h+ h2

h

¿ limh → 0

32 + h

¿ limh → 0

32 + limh → 0

h= 32 + 0= 32

adi ke3epatan sesaat pada saat %aktu atau t = 1 adalah 4 meter'detik.

$%NT% '

itunglah ke3epatan sesaat suatu benda ,atu+ beranjak dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada

t = 5,4 detik.

Penyelesaian

v sesaat = limh→ 0

f (c + h)− f (c )h

¿ limh→ 0

16 (c + h )2− 16 c 2

h

¿ limh→ 0

16 c 2+ 32 ch + 16 h2− 16 c 2

h

¿ limh→ 0

32 ch + 16 h2

h

¿ limh→ 0

(32 c + 16 h)= 32 c


13/13

adi ke3epatan sesaat pada saat %aktu atau t = 3,8 detik adalah 32 (3,8 )= 121,6 meter'detik dan

ke3epatan sesaat pada t = 5,4 detik adalah 32 (5,4 )= 172,8 meter'detik.

Documents

3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat