เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา การสืบเสาะหาความรู้และการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์

รหัสวิชา ว31261 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 *******************************************************************************************

เรื่อง บทน า

จุดประสงค์การเรียนรู้ : 1. อธิบายความหมายของวิชาฟิสิกส์ได้ 2. สามรถค านวณการเปลี่ยนหน่วยปริมาณทางฟิสิกส์ได้

วิชาฟิสิกส์คืออะไร วิชาวิทยาศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาความจริงในธรรมชาติที่อยู่รอบตัวเราทั้งสิ่งที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต การศึกษาเก่ียวกับสิ่งมีชีวิต เรียกว่า วิทยาศาสตร์ชีวภาพ (Biological Science) การศึกษาเกี่ยวกับสิ่งไม่มีชีวิต เรียกว่า วิทยาศาสตร์กายภาพ (Physical Science) วิทยาศาสตร์กายภาพแบ่งเป็นแขนงต่างๆ ได้มากมาย เช่น เคมี ฟิสิกส์ ธรณีวิทยา อุตุนิยมวิทยา ดาราศาสตร์ สมุทรศาสตร์ ดังนั้นวิชาฟิสิกส์ คือ วิทยาศาสตร์กายภาพแขนงหนึ่ง ซึ่งว่าด้วยสิ่งไม่มีชีวิตในธรรมชาติ โดยเน้นหนักถึงกิจกรรมการค้นคว้าหาความจริงจาธรรมชาติ การแบ่งวิชาวิทยาศาสตร์ออกเป็นวิทยาการแขนงต่างๆ

รูป แรงระหว่างอนุภาคท่ีมีประจุไฟฟ้า

2

ปริมาณทางฟิสิกส์และหน่วยการวัด ปริมาณทางฟิสิกส์หมายถึง สิ่งที่เราสามารถวัดค่า บอกค่าได้แน่นอน และใช้แสดงกฎเกณฑ์ต่างๆ ได้ ซึ่งความหมายในทางฟิสิกส์อาจจะแตกต่างไปจากความหมายที่เราใช้อยู่ในชีวิตประจ าวันปริมาณในทางฟิสิกส์อาจแบ่งออกได้เป็น 2 พวก คือ ปริมาณหลักมูลหรือปริมาณมูลฐาน (Fundamental Quantities) และปริมาณอนุพันธ์ (Derived Quantities)

1. ปริมาณหลักมูล หมายถึง ปริมาณเบื้องต้นที่จ าเป็นต่อการอธิบายปรากฏการณ์ทาง ฟิสิกส์ ปริมาณหลักมูลหรือปริมาณมูลฐาน มีทั้งหมด 7 ปริมาณ

1. ความยาว (Length) 2. มวล (Mass) 3. เวลา (Time) 4. กระแสไฟฟ้า (Electric Current) 5. อุณหภูมิทางเทอร์โมไดนามิกส์ (Thermodynamic Temperature) 6. ความเข้มของการส่องสว่าง (Luminous intensity) 7. ปริมาณของสาร (Amount of Substance)

2. ปริมาณอนุพันธ์ หมายถึง ปริมาณที่เกิดจากปริมาณหลักมูลหลายๆ ปริมาณประกอบกัน ทั้งนี้แล้วแต่ความสัมพันธ์ตามความหมายของปริมาณนั้นๆ เช่น แรงเป็นปริมาณอนุพันธ์ที่เกิดจากความสัมพันธ์ของปริมาณหลักมูล คือ มวล ความยาว และเวลา หรือ ความเร็ว เป็นปริมาณอนุพันธ์ที่เกิดจากความสัมพันธ์ของปริมาณหลักมูล คือ ความยาว และเวลา ปริมาณอ่ืนๆ ที่นอกเหนือจากปริมาณหลักมูลทั้ง 7 ปริมาณ ถือว่าเป็นปริมาณอนุพันธ์ทั้งสิ้น ปริมาณทั้งหมดในทางฟิสิกส์ยังแบ่งได้อีกวิธีหนึ่ง โดยแบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด เช่นเดียวกันคือ

1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantities) คือ ปริมาณที่มีแต่ขนาด แสดงเฉพาะขนาดอย่าง เดียวก็ได้ความหมาย เช่น มวล (Mass) ระยะทาง (Distance) เวลา (Time) พ้ืนที่ (Area) ปริมาตร (Volume) ความหนาแน่น (Density)

2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantities) คือ ปริมาณที่มีท้ังขนาดและทิศทาง เมื่อจะบอก ค่าต้องแสดงทั้งขนาดและทิศทาง โดยใช้สัญลักษณ์หัวลูกศรแสดงทิศทางความยาวลูกศรแทนขนาด เช่น การกระจัด (Displacement) ความเร็ว (Velocity) แรง (Force) ความเร่ง (Acceleration) โมเมนต์ (Moment) โมเมนต์ต้ม (Momentum) หน่วย (Unit) แต่เดิมหน่วยที่ใช้ในการวัดปริมาณต่างๆ ใช้อยู่ด้วยกันหลายระบบที่ใช้กันแพร่หลาย คือ ระบบอังกฤษ และระบบเมตริกของฝรั่งเศส (ปัจจุบันนี้ในชีวิตประจ าวันอาจมีใช้กันอยู่) แต่เนื่องจากระบบอังกฤษไม่สะดวกมีความยุ่งยากในการตัดทอนหรือการกระจายหน่วย ปัจจุบันจึงนิยมใช้หน่วยตามข้อเสนอขององค์การระหว่างประเทศว่าด้วยหน่วยมาตรฐานเรียกว่า ระบบหน่วยระหว่างชาติ (International System of Units) หรือเรียกโดยย่อว่าหน่วยในระบบ SI

3

หลักการเปลี่ยนหน่วยระบบ SI 1. เปลี่ยนจากหน่วยใหญ่เป็นหน่วยเล็กคูณด้วย 10x (10 ก าลังเป็นบวก) 2. เปลี่ยนจากหน่วยเล็กเป็นหน่วยใหญ่คูณด้วย 10-x ( 10 ก าลังเป็นลบ) 3. x คือ ระยะห่างของเลขยกก าลังของหน่วยนั้นๆ

เช่น ถ้าต้องการเปลี่ยนหน่วยระหว่างหน่วยกิโล กับ ไมโคร x = 6-(-3) = 9 (ก าลังของหน่วยใหญ่ลบด้วยก าลังของหน่วยเล็ก) ดังนั้นถ้าจะเปลี่ยนหน่วยกิโลให้เป็นหน่วยไมโคร (ใหญ่ -----> เล็ก) คูณด้วย 109 ถ้าจะเปลี่ยนหน่วยไมโครให้เป็นหน่วยกิโล (เล็ก -----> ใหญ)่ คูณด้วย 10-9

4

ตัวอย่าง 1 จงเปลี่ยน 1.5 km ให้เป็น m 750 nm ให้เป็น Mm

25 nm ให้เป็น km หลักการคิด เปลี่ยน 1.5 km เป็น m เป็นการเปลี่ยนจากหน่วยใหญ่ไปหน่วยเล็ก

คูณด้วย 10x x = 3 – (–6) = 9

1.5 km = 1.5 x 109 m เปลี่ยน 750 nm เป็น Mm เป็นการเปลี่ยนจากหน่วยเล็กไปหน่วยใหญ่ คูณด้วย 10-x

x = 6 – (–9) = 15 (ค่าระยะห่าง x เท่ากับก าลังหน่วยใหญ่ลบด้วยก าลังหน่วยเล็กเสมอ)

750 nm = 750 x 10-15 Mm เปลี่ยน 25 cm เป็น km เป็นการเปลี่ยนจากหน่วยเล็กไปหน่วยใหญ่ คูณด้วย 10-x

x = 3 – (–2) = 5 25 cm = 25 x 10-5 km

5

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 1 เรื่อง ฟิสิกส์ ปริมาณทางฟิสิกส์ และการเปลี่ยนหน่วย

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้

1. วิชาฟิสิกส์ คือ …………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ปริมาณทางฟิสิกส์ หมายถึง ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. ปริมาณในทางฟิสิกส์อาจแบ่งออกได้เป็น 2 พวก คือ …………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar Quantities) คือ ………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantities) คือ ………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. จงเปลี่ยนความเร็วแสง 3 x 1011 ไมโครเมตร/มิลลิเมตรวินาทีให้เป็น เมตร/วินาที ......................................................................... ............................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. ....

7. จงเปลี่ยน 2.5 ไมโครวัตต์/ตร.กม. ให้เป็น เมกะวัตต์/ตร.ซม. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ....................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ..........................

6

8. จงเปลี่ยนค่าความหนาแน่น 500 กิโลกรัม/ลบ.เมตร ให้เป็น กรัม/ลบ.ซม. ............................................................................................................................. ......................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................... .................................

9. จงเปลี่ยนระยะทาง 60 กิโลเมตรให้เป็นหน่วยมิลลิเมตร และ ไมโครเมตร ............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ...................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................... ..........................

10. จงเปลี่ยนเวลา 30 ชั่วโมงให้เป็นมิลลิวินาที ............................................................................................................................. ................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ..........................

11. จงเปลี่ยน 400 วัตต์/ตารางเมตร ให้เป็นไมโครวัตต์/ตารางเซนติเมตร .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ .................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. .

12. จงเปลี่ยน 5 ไมโครวินาที ให้เป็นพิโควินาที ....................................................................................... .............................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ .......................................................................................................................... ........................................................

7

13. จงเปลี่ยน 5 ลูกบาศก์เซนติเมตร ให้เป็นลูกบาศก์เมตร ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ ..................

14. ระยะทาง 5,600,000,000 เมตร มีค่าก่ีเมกะเมตร .................................................................... ................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ....................................................................................................... .......................................................................... .

15. เส้นผมมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 0.0005 เมตร มีค่าก่ีมิลลิเมตร ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ ..................

8

หน่วยมาตรฐานที่ใช้กับปริมาณต่างๆ การหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณหลักมูลด้วยกัน หรือการค านวณหาค่าการแก้ปัญหาโจทย์จะต้องจัดให้ ปริมาณเหล่านั้นมีหน่วยที่ใช้เป็นหน่วยมาตรฐานกลางในระบบ SI เสมอ หน่วยมาตรฐานของปริมาณหลักมูล มีดังนี้

9

ความไม่แน่นอนของการวัด ความผิดพลาด (Error) ของการวัดขึ้นอยู่กับองค์ประกอบที่ส าคัญ คือ

1. ผู้วัด ซึ่งได้แก่ ความละเอียดความตั้งใจ และความช านาญของตัวผู้วัด 2. เครื่องมือที่ใช้วัด ซึ่งได้แก่ ประสิทธิภาพและความละเอียดของเครื่องมือชนิด

นั้นๆ 3. วิธีการวัด ซึ่งได้แก่ หลักเกณฑ์ในการวัดและกรรมวิธีในการวัด 4. วัตถุที่ถูกวัด ถ้าสิ่งที่ถูกน ามาวัดมีรูปทรงสัณฐานที่แน่นอน สามารถวัดได้ด้วย

กรรมวิธีง่ายๆ การวัดย่อมมีความแม่นย ามาก 5. สิ่งแวดล้อมในขณะท าการวัด ซึ่งได้แก่ สถานที่อุณหภูมิ และสิ่งรบกวนอ่ืนๆ

การบันทึกค่าที่วัดได้ ในการบันทึกค่าตัวเลขที่ได้จากการวัดให้บันทึกต าแหน่งที่ได้จากการ คาดคะเน ตัวเลขที่คาดคะเนให้คาดคะเนได้เพียง 1

10 ของสเกลที่แบ่งไว้ เช่น เส้นตรงหนึ่งวัดได้ยาว 2.45 0.02 ซม. เลข 5 เป็นค่าที่ได้จากการคาดคะเนของการวัด

การบวกลบจ านวนที่มีความไม่แน่นอน ค่าความไม่แน่นอนของผลลัพธ์จะมีค่าเท่ากับ ผลบวกของความไม่แน่นอนทั้งสอง เช่น ถ้ามีจ านวน x x และ y y ผลบวกมีค่า = (x + y) (x + y) ผลต่างมีค่า = (x - y) (x + y)

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลบวกและผลต่างของ 4.75 0.03 ซม. และ 3.46 0.02 ซม. วิธีท า ผลบวก = (4.75 + 3.46) (0.03 + 0.02) ซม. = 8.21 0.05 ซม. ตอบ ผลต่าง = (4.75 – 3.46) (0.03 + 0.02) ซม. = 1.29 0.05 ซม. ตอบ

ทั้งการบวกและการลบความ ไม่แน่นอนบวกกันเสมอ

10

การคูณและการหารจ านวนที่มีความไม่แน่นอน ค่าความไม่แน่นอนของผลลัพธ์มีค่าเท่ากับ ผลบวก ของเปอร์เซ็นต์ของความไม่แน่นอนของแต่ละปริมาณรวมกัน เช่น ถ้ามีจ านวน x x และ y y ผลคูณของปริมาณท้ังสองหาได้ดังนี้ ความไม่แน่นอนของจ านวนแรก = x

x x 100%

ความไม่แน่นอนของจ านวนหลัง = yy x 100%

% ความไม่แน่นอนทั้งหมด = ( xx x 100) + (y

y x 100)

= (xx + y

y ) x 100

ผลคูณของจ านวนทั้งสอง = (x . y) {(xx + y

y ) x 100} ผลหารของจ านวนทั้งสอง = (

xy ) {(x

x + yy ) x 100}

ตัวอย่างท่ี 2 กระดาษแผ่นหนึ่งกว้าง 18.2 0.1 ซม. ยาว 26.8 0.2 ซม. กระดาษแผ่นนี้มีพ้ืนที่ เท่าไร

วิธีท า พื้นที่กระดาษ = (x . y) {(xx + y

y ) x 100} = (18.2 x 26.8) {( 0.1

18.2 + 0.226.8) x 100} ซม.2

= 487.76 {(0.0055 + 0.0074) x 100} ซม.2 = 487.76 12.90 ซม. ตอบ

11

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 2 เรื่อง ฟิสิกส์ ปริมาณทางฟิสิกส์ และการเปลี่ยนหน่วย

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้

1. เชือกเส้นแรกยาว 16.32 0.02 เซนติเมตร เชือกเส้นที่สองยาว 20.68 0.01 เซนติเมตร จงตอบค าถามต่อไปนี้ (1) เชือกเส้นแรกยาวมากที่สุดเท่ากับ ……………………………………………………………… เซนติเมตร (2) เชือกเส้นแรกยาวน้อยที่สุดเท่ากับ ……………………………………………………………… เซนติเมตร (3) เชือกเส้นที่สองยาวมากท่ีสุดเท่ากับ ……………………………………………………………. เซนติเมตร (4) เชือกเส้นที่สองยาวน้อยที่สุดเท่ากับ ……………………………………………………………. เซนติเมตร (5) ผลบวกมากท่ีสุดของเชือก 2 เส้น นี้เท่ากับ ………………………………………………….. เซนติเมตร (6) ผลบวกน้อยที่สุดของเชือก 2 เส้น นี้เท่ากับ …………………………………………………. เซนติเมตร (7) ผลต่างมากที่สุดของเชือก 2 เส้นนี้เท่ากับ ……………………………………………………. เซนติเมตร (8) ผลต่างน้อยที่สุดของเชือก 2 เส้นนี้เท่ากับ ……………………………………………………. เซนติเมตร

แนวคิด ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

12

2. ผลบวกและผลต่างของจ านวน (6.4 0.1) กับ (3.6 0.2) มีค่าเท่าใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. ในการวัดความยาวของดินสอแท่งหนึ่งมีค่า 10.0 24 เซนติเมตร ถ้าผู้วัดเห็นว่าตัวเลขตัวสุดท้ายอาจเป็น 2 หรือ 6 ก็ได้ เขาควรบันทึกผลการวัดเป็นเท่าไร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. แผ่นกระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้านกว้าง 36.20 0.05 เซนติเมตร และมีด้านยาว 96.45 0.05 เซนติเมตร แผ่นกระดาษแผ่นนี้จะมีพ้ืนที่เป็นเท่าไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. โต๊ะสี่เหลี่ยมตัวหนึ่งมีด้านกว้าง 40.5 0.1 เซนติเมตร มีด้านยาว 115.2 0.2 เซนติเมตร อยากทราบว่าโต๊ะตัวนี้มีพ้ืนที่มากที่สุดเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

13

เลขนัยส าคัญ เป็นตัวเลขซึ่งใช้บอกค่าของปริมาณท่ีวัดได้อย่างแน่นอนเชื่อถือได้ ไม่คลาดเคลื่อน การนับจ านวนตัวเลขนัยส าคัญ

1. เลขที่เป็นจ านวนเต็มเพียงอย่างเดียว ให้นับตัวเลขทุกตัว ยกเว้นเลข 0 ที่อยู่หลังจ านวนเต็มนั้นๆ เช่น 7500 มีเลขนัยส าคัญสองตัว คือ 7 และ 5 หรือ 20700 มีเลขนัยส าคัญสามตัว คือ 2, 0 และ 7

2. เลขที่เป็นทศนิยมเพียงอย่างเดียว เลข 0 ที่อยู่ข้างหน้าทั้งหมดไม่ต้องนับ เช่น 0.00540 เลข 0 สามตัวหน้าไม่นับเป็นเลขนัยส าคัญ ดังนั้นเลขนัยส าคัญมี 3 ตัว คือ 5, 4 และ 0 ตัวหลัง หรือ 0.09020 มีเลขนัยส าคัญ 4 ตัว คือ 9, 0, 2 และ 0

3. ถ้าข้างหน้าทศนิยมเป็นเลขจ านวนเต็ม ให้นับเลขทุกตัวทั้งจ านวนเต็มและทศนิยม เช่น 1.025 มีเลขนัยส าคัญ 4 ตัว หรือ 30.060 มีเลขนัยส าคัญ 5 ตัว

4. เลข 10 ยกก าลังที่น ามาคูณกับเลขอ่ืนๆ ไม่ต้องน ามาคิด เช่น 5.0740 x 103 มีเลขนัยส าคัญ 5 ตัว หรือ 0.04050 x 105 มีเลขนัยส าคัญ 4 ตัว

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาเลขนัยส าคัญของจ านวนต่อไปนี้ ก. 3000 ข. 61 x 10-3 ค. 4.00 ง. 2.060 จ. 0.05800

ตอบ ก. 3000 มีเลขนัยส าคัญ 1 ตัว ข. 61 x 10-3 มีเลขนัยส าคัญ 2 ตัว ค. 4.00 มีเลขนัยส าคัญ 3 ตัว ง. 2.060 มีเลขนัยส าคัญ 4 ตัว จ. 0.05800 มีเลขนัยส าคัญ 5 ตัว

การบวกและการลบเลขนัยส าคัญ ให้บวกลบแบบวิธีทางคณิตศาสตร์ก่อนแล้ว พิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ โดยผลลัพธ์ของเลขนัยส าคัญท่ีได้ต้องมีต าแหน่งทศนิยมละเอียดเท่ากับปริมาณที่มีความละเอียดน้อยที่สุด เช่น

(1) 2.12 + 3.895 + 5.4236 = 11.4386 ปริมาณ 2.12 มีความละเอียดถึงทศนิยมต าแหน่งที่ 2 3.895 มีความละเอียดถึงทศนิยมต าแหน่งที่ 3 5.4236 มีความละเอียดถึงทศนิยมต าแหน่งที่ 4 ผลลัพธ์ 11.4386 มีความละเอียดถึงทศนิยมต าแหน่งที่ 4 ละเอียดมากกว่า

เครื่องมือวัดที่อ่านได้ 2.12, 3.895 ดังนั้นผลลัพธ์ของเลขนัยส าคัญต้องมีความละเอียดไม่เกินทศนิยมต าแหน่งที่ 2 แต่ให้พิจารณาเลยไปถึงทศนิยมต าแหน่งที่ 3 ว่าถึง 5 หรือไม่ ถ้าถึงให้เพ่ิมค่าทศนิยมต าแหน่งที่ 2 อีก 1 ดังนั้น ผลลัพธ์ คือ 11.44

14

(2) 15.7962 + 6.31 – 16.8 = 5.3062 ผลลัพธ์ คือ 5.3

การคูณและหารเลขนัยส าคัญ ให้ใช้วิธีการคูณและหารเหมือนทางคณิตศาสตร์ก่อนแล้วพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ โดยผลลัพธ์จะต้องมีจ านวนเลขนัยส าคัญเท่ากับจ านวนเลขนัยส าคัญของตัวคูณหรือตัวหารที่น้อยท่ีสุด เช่น

(3) 432.10 x 5.5 = 2376.55 ปริมาณ 432.10 มีจ านวนเลขนัยส าคัญ 5 ตัว 5.5 มีจ านวนเลขนัยส าคัญ 2 ตัว ผลลัพธ์ 2376.55 มีจ านวนเลขนัยส าคัญ 6 ตัว แต่ผลลัพธ์ที่ได้ จะมีจ านวนเลขนัยส าคัญได้เพียง 2 ตัว เท่านั้น ก็คือ 2 และ 3 แต่ตัวที่สามถัดจาก 3 เป็นเลข 7 ให้เพิ่มค่าตัวหน้าคือ 3 อีก 1 เป็น 4 ดังนั้นค าตอบควรได้ 2400 แต่ต้องจัดให้มีเลขนัยส าคัญเพียง 2 ตัว จึงจัดได้เป็น 2.4 x 103

(4) 0.6214 4.52 = 0.1374778 ผลลัพธ์ คือ 0.137

15

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 3 เรื่อง ฟิสิกส์ ปริมาณทางฟิสิกส์ และการเปลี่ยนหน่วย

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้

1. ปริมาณต่อไปนี้มีเลขนัยส าคัญก่ีตัว ก. 454 กรัม ข. 3.2 นิวตัน ค. 3.306 นิวตัน ง. 0.3875 เมตร จ. 0.0452 เมตร ฉ. 2.0090 กิโลกรัม ช. 15.0 มิลลิเมตร ซ. 9.8 x 107 บาท ฌ. 2.326 x 10-3 กรัม ญ. 2,060 กรัม/เมตร3 ฎ. 23,000 กรัม ฏ. 0.00004 วินาที

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16

2. จงหาผลรวมของปริมาณต่อไปนี้ตามหลักเลขนัยส าคัญ ก. 703 + 8 +0.87 ข. 28.326 + 8.97 + 3.0 ค. 826.25 + 3.21 – 6.4 ง. 562.9 – 328.26 จ. 12.46 x 84.2 ฉ. 72.4 x 0.084 ช. 14.28 0.714 ซ. 0.032 0.004

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาผลลัพธ์ของค่าต่อไปนี้ตามหลักเลขนัยส าคัญ

ก. 2.0 x 102 x 5.1

3.45 x 4 ข. 9.8

9.3 + 2.10 – 1.125

ค. 23 + 5 – 1.00 ง. 0.005 – 1.5

2 + 43

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ในการวัดท่อนไม้สองท่อนได้ความยาว 7.86 0.02 เซนติเมตร และ 9.46 0.03 เซนติเมตร ถ้าน ามาต่อกันจะได้ความยาวเท่าใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

17

คณิตศาสตร์ส าหรับฟิสิกส์ วิชาคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจ าเป็นอย่างมากส าหรับผู้เรียนวิชาฟิสิกส์ เพราะการบันทึกปริมาณทางฟิสิกส์จะต้องเก่ียวข้องกับการค านวณตัวเลข ดังนั้นการศึกษาวิชาฟิสิกส์ผู้เรียนจึงจ าเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ดีพอสอควร ความจริงแล้วฟิสิกส์ต้องอาศัยคณิตศาสตร์ทุกสาขาและน าไปใช้มากมาย แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะคณิตศาสตร์เบื้องต้นที่จ าเป็นต้องน าไปใช้กับวิชาฟิสิกส์

1. สูตรและสมการทั่วไป 1.1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1.2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 1.3 a2 - b2 = (a + b) (a – b) 1.4 (a + b)n = an + nan-1 b + n(n – 1)an-2 b2 ……bn 1.5 ผลบวกของอนุกรมอนันต์ S = a

1 - r

a = พจน์ต้น r = อัตราส่วนร่วม = พจน์หลังพจน์หน้า

1.6 ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต

Sn = n2 {2a + (n – 1) d} a = พจน์ต้น n = จ านวนพจน์ d = ผลต่างร่วม = พจน์หลัง - พจน์หน้า

1.7 การแก้สมการก าลังสองของตัวแปรค่า 1 ตัว ถ้า ax2 + bx + c = 0

x = - b ± b2 - 4ac

2a

1.8 ถ้า เป็นมุมที่ศูนย์กลางวงกลม และเป็นมุมขนาดเล็กมีหน่วยเป็นเรเดียน

= ส่วนโค้งที่รองรับมุม

รัศมี

= ar

18

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 4 เรื่อง คณิตศาสตร์ส าหรับฟิสิกส์

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้

1. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 10x + 6 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 12x - 9 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 24x + 140 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

19

4. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 26x - 155 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 8x - 10 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 2x - 10 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3x2 - 8x - 35 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20

8. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3x2 + 19x - 14 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 15x2 - 77x + 10 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม -2x2 - 12x + 4 โดยใช้วิธีท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

21

การบวกและการลบเวกเตอร์ การบวกและการลบปริมาณที่เป็นเวกเตอร์มีส่วนที่แตกต่างจากการบวกและการลบปริมาณ สเกลาร์ที่มีการบวกลบกันแบบธรรมดาที่ใช้กันอยู่ทั่งๆ ไป แต่การบวกหรือการลบปริมาณเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้มีทั้งผลลัพธ์ของขนาด และผลลัพธ์ของทิศทางผลลัพธ์ของขนาดจะมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับทิศของเวกเตอร์ย่อย เช่น ปริมาณสเกลาร์สองจ านวนมีขนาด 4 และ 3 ผลบวกของปริมาณทั้งสองคือ 4 + 3 = 7 ผลต่างคือ 4 – 3 = 1 ถ้า 4 และ 3 เป็นปริมาณเวกเตอร์ เมื่อบวกกันจะได้ผลลัพธ์เป็น 7 แสดงว่า 4 และ 3 เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่อยู่ในทิศเดียวกัน หรือ ถ้าปริมาณเวกเตอร์ 4 และ 3 บวกกันได้ 1 แสดงว่า 4 และ 3 เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศตรงกันข้าม แต่ถ้าหากว่า 4 และ 3 เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศเป็นอย่างอ่ืน เช่น ทีทิศท ามุม 90 ต่อกัน ผลบวกของเวกเตอร์ทั้งสอง คือ R = 42+ 32 = 5 ซึ่งแสดงว่า 4 + 3 = 5 ปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาด 4 และ 3 เมื่อบวกกัน ผลลัพธ์ของขนาดมีค่าได้ตั้งแต่ 1 ถึง 7 ทั้งนี้แล้วแต่ทิศของเวกเตอร์ทั้งสอง ส่วนการลบก็เช่นเดียวกัน หลักการเขียนเส้นตรงแทนเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ทุกชนิดเราเขียนแทนได้ด้วยเส้นตรง โดยใช้ความยาวของเส้นตรงแทนขนาดและเขียนหัวลูกศรแทนทิศทาง การเขียนเส้นตรงแทนขนาดให้เขียนตามอัตราส่วนของความยาว เช่น แรงขนาด 4 และ 3 นิวตัน ถ้าเราใช้เส้นตรง 4 ซม. แทนแรง 4 นิวตัน แรง 3 นิวตัน เราต้องแทนด้วยเส้นตรง 3 ซม. คือ ให้ใช้อัตราส่วนของเส้นตรงในหน่วยเดียวกัน หรือจะใช้ความยาวเส้นตรงเป็นอย่างอ่ืนก็ได้แต่ต้องให้เป็นไปตามอัตราส่วนของปริมาณเวกเตอร์นั้นๆ หลังจากนั้นจึงเขียนหัวลูกศรแทนทิศทางก ากับไว้

การบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ท าได้โดย 1. โดยการค านวณ ใช้สูตรส าเร็จรูปหาทั้งขนาดและทิศทาง ถ้า P และ Q มีขนาดและ

ทิศทางดังรูป ประกอบสี่เหลี่ยมด้านขนานจากเวกเตอร์ทั้งสอง ความยาวของเส้นทะแยงที่ลากจุดกระท าร่วมกัน จะแทนขนาดและทิศของเวกเตอร์ผลลัพธ์

22

R = เวกเตอร์ผลลัพธ์ของ P และ Q = มุมระหว่าง P และ Q = มุมระหว่าง R และ P = ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ลาก CE ตั้งฉากกับส่วนต่อของ AB ที่ E

จากรูป AB = DC = P, AD = BC = Q และ AC = R จาก ACE AC2 = AE2 + CE2 = (AB + BE)2 + CE2 = AB2 + 2AB.BE + BE2 + CE2

= AB2 + 2AB.BE + BC2 (BC2 = BE2 + CE2) R2 = P2 + 2P.BE + Q2

cos = BEBC BE = BC cos

R2 = P2 + 2.P.BC + cos + Q2

R2 = P2 + Q2 + 2 PQcos

การหาทิศ (มุม ) ของเวกเตอร์ลัพธ์ R จาก ACE tan = CE

AE

= CEAB + BE

CE = BC sin = Q sin BE = BC cos = Q cos

ten = BC sinAB + BC cos

ten = Q sinP + Q cos

23

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 5 เรื่อง การบวกและการลบเวกเตอร์

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้

1. จาก R2 = P2 + Q2 + 2 PQcos 1.1 ถ้า P และ Q ตั้งฉากต่อกัน ( = 90) จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.2 ถ้า P และ Q มีทิศทางเดียวกัน ( = 0) จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 ถ้า P และ Q มีทิศทางตรงกันข้าม ( = 180) จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 6 เรื่อง การบวกและการลบเวกเตอร์

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้ 1. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ขนาด 6 และ 8 หน่วย เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองท ามุม

ก) 0 ข) 30 ค) 45 ง) 90 จ) 180 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

25

2. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ขนาด 10 และ 12 หน่วย เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองท ามุม 60 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. เวกเตอร์ขนาด 20 หน่วยเท่ากัน 2 เวกเตอร์ ท ามุม 120 ต่อกันจะมีเวกเตอร์ลัพธ์เท่าใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

26

เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยมากกว่า 2 เวกเตอร์ จากหลักการรวมเวกเตอร์ เมื่อมีเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ สามารถรวมแล้วได้เวกเตอร์ลัพธ์ 1 เวกเตอร์ ในท านองกลับกัน ถ้ามีเวกเตอร์ 1 เวกเตอร์ ก็สามารถแยกออกเป็นเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ ซึ่งเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ อาจมีทิศทางหรือขนาดเท่าใดก็ได้ โดยอาศัยหลักการทางตรีโกณมิติ ซึ่งแบ่งได้ 2 ลักษณะ

1. การแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ตั้งฉากกัน การแยกเวกเตอร์ R ออกเป็นเวกเตอร์ A และ B ซึ่งตั้งฉากกัน

จาก cos = AR A = Rcos และ sin = BR B = Rsin จาก cos = BR B = Rcos และ sin = AR B = Rsin จาก cos = BR B = Rcos และ sin = AR A = Rsin

สรุปขั้นตอนการแยกเวกเตอร์ 1. พิจารณาเวกเตอร์ที่ต้องการแยกว่าอยู่ระหว่างแกนตั้งฉาก 2 แกนใด 2. หามุมท่ีเวกเตอร์กระท ากับแกนใดแกนหนึ่ง 3. เวกเตอร์ที่แยกถ้าอยู่บนแกนใกล้มุมได้ เวกเตอร์นั้นตามด้วย cos ของมุมนั้น

และเวกเตอร์ที่แยกถ้าอยู่บนแกนไกลมุมได้เวกเตอร์นั้นตามด้วย sin ของมุมนั้น

27

2. การแยกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ ซึ่งไม่ตั้งฉากกัน การแยกเวกเตอร์ R ออกเป็นเวกเตอร์ A , B ซึ่ง A ท า มุม กับ R , B ท ามุม กับ R จะได้ว่า

A = Rsin β

sin(θ + β)

B = Rsin θ

sin(θ + β)

ข้อควรจ า เวกเตอร์ที่ได้ = เวกเตอร์เดิม x sin ของมุมไกล

sin ผลบวกของมุมท้ังสอง

28

ใบงาน : แบบฝึกเสริมประสบการณ์ 7 เรื่อง การแยกเวกเตอร์

ค าสั่ง : ให้นักเรียนตอบคาถาม และแสดงวิธีท า ต่อไปนี้ 1. จากรูป จงหาเวกเตอร์ย่อยเวกเตอร์ A และ B

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. จากรูป จงหาเวกเตอร์ย่อยตามแกน x และแกน y ของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

29

3. จากรูป จงหาเวกเตอร์ย่อย A และ B ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ย่อยๆ ดังรูป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

30

5. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ย่อย ดังรูป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………