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(3-7). 3.2 对称共焦腔内外的光场分布. 回顾 —— 讨论自再现模积分方程解的物理意义 , 建立了 激光模式的概念. 前瞻 —— 求解对称开腔中的自再现模积分方程 , 求出 本征值和本征函数 ， 了解输出激光的具体场的分布， 从而 决定开 腔自 再现模的全部特征 。. 求解本征积分方程可得. 镜面上场的振幅分布； 镜面上场的位相分布； 模的衰减； 模的相移； 模的谐振频率。. 3.2.1 共焦腔镜面上的场分布. 一 . 方形镜面对称共焦腔. - PowerPoint PPT Presentation
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3.2 对称共焦腔内外的光场分布
回顾 ——讨论自再现模积分方程解的物理意义 , 建立了 激光模式的概念 .
前瞻 —— 求解对称开腔中的自再现模积分方程 , 求出本征值和本征函数，了解输出激光的具体场的分布，从而决定开腔自再现模的全部特征。
''''' ),(),,,(),( dsyxuyxyxKyxu mmmnmn
),,,(),,,('' ''''
2),,,( yxyxikyxyxik e
L
ie
L
ikyxyxK
(3-7)
求解本征积分方程可得求解本征积分方程可得
镜面上场的振幅分布；
镜面上场的位相分布；
模的衰减；
模的相移；
模的谐振频率。
fLRR 221 22
)(
,
a
L
L
a
aL
3.2.1 共焦腔镜面上的场分布一 . 方形镜面对称共焦腔
设方镜每边长为 2a ，共焦腔的腔长为 L ，光波波长为 λ ，并把 x ， y 坐标的原点选在镜面中心 , 而以 (x ， y) 来表示镜面上的任意点以方型镜面的对称共焦腔为例 , 求解 (3-7)式方程
1 、本征函数的近似解：
二 . 近轴情况下自再现模积分方程的解析解
LyY
LxX
2
,2
其中
Hm(X) 和 Hn(Y) 均为厄密多项式
2
22 YX
e
——高斯型函数mnC —— 常系数
镜面上的场分布是厄米多项式与高斯函数函数的乘积——厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓
2
22
)()(YX
nmmnmn eYHXHCu
（ 3-18 ）
2 、本征值的近似解：]
2)1((exp[ nmkLi
mn （ 3-19 ）
''''' ),(),,,(),( dsyxuyxyxKyxu mmmnmn
3. 场分布
L
yx
nmmnmn eyL
HxL
HCyxu
22
)2
()2
(),(
几个低阶厄米多项式的值
124816)(
128)(
24)(
2)( 1)(
244
33
22
10
H
H
H
HH
2
d
d)1()(
2
eeH
m
mm
m
本征函数描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布。
三 . 镜面上自再现模场的特征 1. 厄米—高斯近似共焦腔方型镜上场的振幅（强度）分布
L
yx
nmmnmn eyL
HxL
HCyxu
22
)2
()2
(),(
（ 3-18 ）
① 基模 : 取（ 3-18）式中 m=n=0 ，得到共焦腔方型镜上基模
TEM00 场的分布 1)(0 H因为
Lyx
eCyxu
22
0000 ),(
所以
可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜
中心（ x=y=0 ）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为
处场的振幅降落为中心处的 1/e。
L
yxr 22
L
s 0②定义基模光斑半径为基模振幅最基模振幅最大值的大值的 1/e1/e处处
基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内 . 上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。
L
yx
eCyxu
22
0000 ),(
数值例： L=1m ,λ=10.6μm,
共焦腔的 CO2 激光器 ω0s≈1.84mm
L=30cm , λ=0.6328μm, 共焦腔的 He—Ne 激光器
ω0s≈0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。
L
s 0由 可知 , 增大镜面宽度 , 只减少衍射损耗 , 对光斑
尺寸并无影响 .
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
③③ 镜面上场的振幅和强度分布镜面上场的振幅和强度分布——高阶横模高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：
当 m 、 n 取不同时为零的一系列整数时 , 由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布
，出现一条暗线时当 00
)exp(
)exp(22
10
0
22'10
22
01010
ux
yxxC
Lyx
xCu
s
s
2)(1 H因为 故 1)(0 H
，出现一条暗线时当 00
)exp(
)exp(22
01
0
22'01
22
00101
uy
yxyC
Lyx
yCu
s
s
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
2)(1 H因为 故 1)(0 H
方向出现两条暗线
时
x
ux
yxxC
Lyxx
Cu
s
ss
s
0 2
)exp()4(
)exp(]22
4[
200
20
2220
2'20
22
20
2
2020
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
1)( 24)( 02
2 HH因为 故
TEM20
方向出现两条暗线
时
y
uy
yxyC
Lyxy
Cu
s
ss
s
0 2
)exp()4(
)exp(]22
4[
020
20
2220
2'02
22
20
2
0202
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
1)( 24)( 02
2 HH因为 故
方向各出现一条暗线、在
时时当
yx
uy
ux
yxxyC
yxxyCu
s
ss
0 0
0 0
)exp(
)exp(2
4
11
11
20
22'11
20
22
021111
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
2)(1 H因为 故
TEM11
方向各出现三条暗线在
时和当
x
u
xx
yxxxCu
s
sss
0
2
3 0
)exp()212216
(
30
0
20
22
0
330
3030
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
1)( 128)( 03
3 HH因为 故
可以看出， TEMmn 模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米
多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，
厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着 x 、 y 的增大而单
调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
④高阶模的光斑尺寸与基模的关系
sns
sms
n
m
0
0
12
12
可见 , 阶次越高 , 光斑半径越大 , 光强分布越偏离中心 .
图 (3-5) 的变化曲线及相应的光强分布YYFXXF nm )()( 及
2.镜面上场位相分布 : 共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。
由于 为实函数 ,说明镜面上各点的光场相位相同 ,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面
),( yxumn
L
yx
sn
smmnmn eyHxHCyxu
22
)2
()2
(),(00
①由自在现模 umn(x, y) 的辐角决定。
注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面上不同相。
3.单程相移与谐振频率：
]2
)1([
arg
nmkLi
mn
mnmn
e
kL
mnmnq
mn
L
c
L
qcν
nm
22
2)1(
)]1(2
1[
2nmq
L
cνmnq
而当 q 一定时，若 m 、 n 改变，则横模的频率也将发生变化
qmnqqnmn
qmnqnqmm
vL
cvvv
vL
cvvv
2
1
22
1
2
1
22
1
,1,
,1
由以上两式可得共焦腔的振荡频率图
图 (3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱
)]1(2
1[
2 nmq
L
cvmnq
从上式可以看见，共焦腔在频率上是高度简并的，
（ 2q+m+n ）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。
如： TEMmnq ， TEMm-1 ， n+1 ， qTEMm ， n-2 ， q+1 ， TEMm-2 ， n ， q+1 ，
TEMm+1 ， n-3 ， q+1 等都有相同的频率。这种现象会对激光器的工作状态产生不良影响 . 因为所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处 , 从而彼此间产生强烈的竞争作用 , 导致多模振荡 , 使输出激光光束质量变坏 .
普通激光器的输出都是多模的
激光多横模振荡示意图
3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 一、方形镜对称共焦腔的行波场 － 厄米 - 高斯光束
1 、推导方法 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式
腔内、外任一点的场镜面上的场2 、腔中的场分布——由镜面 M1 上的场分布在腔内造 成的行波求得Lz2定义 得腔中场分布
zyxiw
yx
yw
Hxw
HCzyxu
s
sn
smmnmn
,,exp1
2exp
2
1
22
1
2,,
2
22
2
22
图 3-7 计算腔内外光场分布的示意图上式表示 TEMmn 模在腔内任意点 (x,y,z) 处的电场强度。其中 , 实部代表振幅 , 虚部代表相位
2 2
2( , , ) (1 ) ( 1)( )
2 1 2
L x yx y z k m n
L
1 2
1 2
L zarctg arctg
L z
zyxiw
yx
yw
Hxw
HCzyxu
s
sn
smmnmn
,,exp1
2exp
2
1
22
1
2,,
2
22
2
22
描述了波阵面上的相位分布，称为相位因子
（ 1 ） Hm ， Hn—— m 阶、 n 阶厄米多项式 , 确定了场在 x 、
y 方向的大小及节线数目
Hm : 有 m 个零点 , x 方向有 m 条节线 ;
Hn : 有 n 个零点 , y 方向有 n 条节线 .
(2) 高斯函数 , 随 增大而变小 ,
确定了场的收敛性 ( 集中于 z 轴附近 ).
]1
2exp[
2
22
2s
yx
22 yxr
考虑到镜的适当透过率后， umn(x, y, z ) 也适用于腔外的场。
3 、腔外的场分布
