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为. 的有理函数时，一般形式可表示为. §3.3 拉普拉斯反变换. 拉普拉斯反变换是将象函数. 变换为原函数. 的运. 算。可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求. 反变换。但当象函数为有理函数时，更简便的是代数方. 法，这种方法称为“部分分式法”。. 式中. 为正整数。. 为实常数，. 部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，即先将. 分解为若干如表 3-1 所示的简单函数之和，再分别对. 这些简单象函数求原函数。. 将分母多项式表示为便于分解的形式. 式中. 是. 的根，也称. 的极点。. 同样分子多项式也可以表示为. 式中. 是. - PowerPoint PPT Presentation
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§3.3 拉普拉斯反变换
sF tf拉普拉斯反变换是将象函数 变换为原函数 的运
算。可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换。但当象函数为有理函数时，更简便的是代数方
法，这种方法称为“部分分式法”。的有理函数时，一般形式可表示为 sF s为
01
11
011
1
asasas
bsbsbsb
sA
sBsF
nn
n
mm
mm
ii ba , mn, 为正整数。为实常数，式中
分解为若干如表 3-1 所示的简单函数之和，再分别对
npspspssA 21
将分母多项式表示为便于分解的形式
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，即先将
这些简单象函数求原函数。
sF
nppp ,, 21 0sA sF 式中 是 的根，也称 的极点。同样分子多项式也可以表示为
mzszszssB 21
mzzz ,,, 21 0sB sF式中 是 的根，也称 的零点。
nppp ,, 21
有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于既可以是各不相同的单极点，也可能出现
分子多项式 nm nm
sF
，但也有可能
几种具体情况讨论
。下面分
分解的不同形式。
nm sF1. 均为单极点
npspsps
sBsF
21
nppp ,, 21 为不同数值的单极点。式中
sF 可分解为
n
i i
i
n
n
ps
k
ps
k
ps
k
ps
ksF
12
2
1
1
01
2121
tekekekektfn
i
tpi
tpn
tptp in
nkkk ,, 21
1ps
则
现在的任务就是要快速、准确地确定系数
在 (3-32) 式两边乘以
（ 3-32)
n
n
ps
k
ps
k
ps
kpssFps
2
2
1
111
n
n
ps
kps
ps
kpsk
1
2
211
(3-34)
1ps 1k
1k
再令 ，则 (3-34) 式右边除 外，其余各项均为
零，由此得到第一个系数
111 pssFpsk
2ps 2ps 同样 , 在 (3-34) 式两边同乘
可得第二个系数
，然后令
222 pssFpsk
ip ik
ipsii sFpsk
以此类推，任一极点 对应的系数 为
sss
sssF
34
100701023
2
例 3-9 ：已知象函数 ，求原函数。
解 3131
5210 321
s
k
s
k
s
k
sss
sssF
3
100
31
5210
01
s
ssFk
20
3
52101
112
ss ss
sssFsk
3
10
1
52103
333
ss ss
sssFsk
tueetf tt
3
3
1020
3
100
nm sF
nm
nm rs
mmr 0
t1
ts
ts 2
2. 均为单极点
当 时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的 部分处理同上。对提取的 部分（ ），利用微分性质：
…
23
7952
23
ss
ssssF例 3-10 已知象函数 ，求原函数。
解 21
322 1
ss
sssFssF
212
311
111
s
sFsk
112
322
212
s
sFsk
tueetttf tt 222
212 21
s
k
s
ks
522
ss
ssF tf例 3-11 已知象函数 ，求原函数 。
解： 一般共轭复根可将分母配成二次项的平方，作为整体考虑。
2222 21
11
4152
s
s
s
s
ss
s
222
1
22 21
2
21
1
ss
s
tutte t
2sin
2
12cos
sDps
sB
sA
sBsF
k1
1ps sF k
sD
sE
ps
k
ps
k
ps
ksF k
kk
1
11
1
12
1
11
nm sF3. 有重极点
设：
其中 是 的 阶极点。
sF 可展开为
sD
sE1p 式中 是展开式中与极点 无关的部分。
kkk 111 ,,
kps 1
sD
sEpspskpskksFps kk
kk
11
11112111
1
111ps
k sFpsk
面对 (3.3-13) 式，现在的任务是如何确定系数
sF与前面求系数的方法相同，先在 等式两边同乘，有
1ps 11k 当 时，右边只剩 项，其余各项为零。所以
12k
sD
sEpspskk
ps
ksFps kk
kk 1
12
11121
1111
1ps 1
11
ps
k
其余各项系数是否还能如法炮制？例如我们求
当 时，等式右边第一项 ，所以剩下的
数，引入函数
1k 1k个系数不能再用此法，为了求解剩下的 个系
sFpssF k11
sD
sEpspskpskk kk
k 11
1111211
对上式两边求导
sD
sEpspskkpskk
ds
sdF kkk 1
21111312
1 12
1ps
1
112ps
sFds
dk
再令 ，上式右边除了第一项外，其余各项均为 0 ，
所以：
同理对上式再求导，可得
sD
sEpspskkkk
ds
sdF
ds
d kkk 1
31113
1 212
sD
sEpspskkkk
ds
sdF
ds
d kkk 1
31113
1 212
1ps
1
21
2
13 2
1
psds
sFdk
再令上式的 得：
类推一般项系数
1
11
1
1 !1
1
psi
i
i ds
sFd
ik
1p sD
sE
的处理方法展开，如还有重极点可用上面的方法处理。
与极点 无关的 若均为单极点，用前面单极点
重极点反变换式中一般项为
L tpk
ket
k
k
ps
k11
1
1
!1
所以最后
L sF1
tuektktk
kt
k
k tpkk
kk 1111
212111
!2!1
sD
sE1
L+
ssss
ssF
234 33
2 tf例 3.3-4 已知 ，求原函数 。
s
k
s
k
s
k
s
k
ss
ssF 413
212
311
3 1111
2
20
4 s
ssFk
32
111
311
ss s
ssFsk
11
11
312
21
sss s
s
ds
dsF
ds
dsFs
ds
dk
解：
2
2
12
ss
ss
ssssss
ssF
2
1
2
1
2
1
3
1
2233
tuetttf t
222
2
3
222
14
1213
ss s
s
sds
dk
利用 MATLAB 程序可以减少计算，例 3-10MATLAB 程序及结果为b=[1 5 9 7];% 分子系数
a=[0 1 3 2];% 分母系数
[r,p,k]=residue(b,a)%r 是系数， p 是极点， k 是直接项
r =-1 2答案
p =-2 -1
k =1 2
例 3-12 MATLAB 程序及结果为b=[0 0 0 1 -2]; % 分子系数a=[1 3 3 1 0]; % 分母系数
[r,p,k]=residue(b,a) %r 是系数， p 是极点， k 是直接项
r = 2.0000 2.0000 3.0000 -2.0000
答案
p =-1.0000 -1.0000 -1.0000 0
§3.4 线性系统的拉氏变换分析法一、用拉氏变换求解线性微分方程
再经拉氏反变换得到响应的时域解。
方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程，
用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分
032 tydt
tdy 20 y ，求例 3-13 ：已知 ， ty 。
解：对方程两边取 L ( 注意单边的 ) ，且 0yssYdt
tdy
值，合并同类项
L
其中：
03
20 ssYyssY 0y代入
s
sYs3
22
22
32
2
/32 21
s
k
s
k
ss
s
s
ssY
2
3
02
321
ss
sk
2
7
2
322
ss
sk
ty tuesY t
2
3
2
7 21
由解此题过程可见
(1) 时域中的微分方程求解在复频域中为代数方程求解。
(2) 初始条件在变换中自动引入 , 其解为微分方程的完全解。
用拉氏变换求解线性微分方程的具体步骤：
1) 由具体电路列出微积分方程 ( 组 ) ；
2) 对微积分方程 ( 组 ) 取拉氏变换；
3) 用代数方法解出 sY sY
4) 求出 L ty sY1
或 ；
例 3-14 ：已知
解：
且
02
2
22
1
211
tydt
tdyty
tftytydt
tdy
1tf 201 y 102 y， ， ，求响应 ty1 ty2 。、
020
/120
2221
2111
sYyssYsY
ssYsYyssY
12
/122
21
21
sYssY
ssYsYs
34
262
12
/262
21
12
21
1/12
2
2
21
sss
ss
s
ss
s
s
s
s
sY
31321
s
k
s
k
s
k
3
2
034
2622
2
1
sss
ssk
113
262 2
2
sss
ssk
3
1
31
262 2
3
sss
ssk
所以 tueety tt
3
1 3
1
3
2
34
14
12
/122
21
1211
/122
2
2
22
sss
ss
s
ss
s
s
ss
sY
3
1
3
1
1
11
3
1
sss
tueety tt
3
2 3
1
3
1
或：
tutydt
tdyty 1
12 2
tutueetuee tttt
33
3
1
3
22
tuee tt
3
3
1
3
1
2 、 S 域的网路模型——运算电路法
根据元件上的电压、电流关系列写电路系统的微 , 积分
型法或运算电路法。充分体现拉氏变换优越性，这种方法称为 S 域的网路模
网络拉氏变换方程的过程 , 并且将初始条件“自动”引入，
不便之处 , 我们可以用类似频域电路的方法，简化获得
及对初始条件的处理（需要标准化或等效）还有许多
有许多优点 , 但是对比较复杂的网络 ( 多网孔、节点 ), 以
方程 , 然后对方程取拉氏变换的方法 , 在分析电路响应时
(1) 元件的域模型
首先讨论无初始条件电阻、电感、电容的域模型。此时
分别对上式进行拉氏变换，得到
元件的时域电压电流关系为
tiRtv RR
dt
tdiLtv L
L
diC
tv C
t
C 0
1
sIRsV RR （ 3.4-4）
sILssV LL （ 3.4-5）
sICs
sV CC 1
算关系变为代数运算关系。以上三式所表示的电压电流
关系，可以用如图 3-7 所示的 s域网络模型表示。
CsLsR /1、、由上三式可见，如果认为 是复频域阻抗，
CsLsR /1、、则在 s 域对 的电压电流关系满足复频域
（广义）的欧姆定律。这样就可以将原来的微、积分运
+ - sVR
sI R R-+
sVC
sIC C
-+ sVL
sILL
+
再考虑电感、电容具有初始条件的 s 域模型，此时时域
分别对上式进行拉氏变换，得到
模型如图 3-8 所示。
-+
tvC tiC C -
+ sVL
tiLL
0Cv
-
0Li
其电压电流关系为
dt
tdiLtv L
L
diC
tv C
t
C
1
上式所表示的电压电流关系，可以用如图 3.4-3 所示的 s
分别对上式进行拉氏变换，得到
0LLL LisILssV
s
VsI
CssV c
cc
01
域网络模型表示。
-+
sVC
sICC
+ -
sVC /0
-+ sVL
sIL L
+- 0LLi
由上两式还可解出：
所对应的 s 域网络模型如图 3.4-4 所示
s
isV
sLsI L
LL
01
0ccc CvsCsVsI
-+ sVL
sILL
siL /0
sVC
sICC
+ -
0CCV
2 、网络域等效模型及其响应求解
将网络中激励、响应以及所有元件用以上 s 域等效模型表
说明用 s域等效模型求解系统响应的方法。
响应问题，最后再经反变换得到所需的时域结果。举例
域等效模型，可以用与解直流电路相似的方法求解 s域的
示后，得到网络 s域等效模型 ( 运算电路 ) 。利用网络的 s
0Cu
+
-
+
-
0Li
C ti
L
te
R
te ti例 3-15 电路如图 3-11 所示，激励为 ，响应为 ，
求 s 域等效模型及响应的 s 域方程。
+- R
+
+
--
suC /0
sL 0LLi
sC/1
sI sE
解： s域等效模型（运算等效电路）如图 3-12 所示。
列网孔方程 :
suLisEsICsRLs CL /00/1
解出 CsRLs
suLisEsI CL
/1
/00
为 s 域等效阻抗 CsRLssZ /1其中 :
由此例可见 , 应用广义电路定律 , 列 s 域电路方程与直流
初始条件标准化。
用微分方程求解相比，初始条件自动引入，不必再将
电路类似，使得求解响应的过程大大简化。尤其是与
sZ
suLisE CL /00
例 3-16 已知电路如图 3-13 所示 , 求 tizi
2.01R 12R FC 1 HL 5.0
VvC 2.00 AiL 10
0Cu
+
-
+-
0Li
C ti
L te 1R
2R
。
其中：
s/2.0
+
-
+-
2/10 LLi
Cs/1
sI
s5.0 sE 1R
2R
+
-
sI2
sI1
解 s 域等效模型如图 3-14 所示。
列网孔方程式：
ssIssI
sIsIs
/2.0/12.02.0
2/12.05.02.1
21
21
由行列式求解 sI1 为
04.024.01.0/2.15.0
/04.01.0/5.0
/12.02.0
2.02.15.0
/12.0/2.0
2.05.0
1
ss
ss
s
s
sssIsI
43127
6.4
7.01.0/2.1
/46.01.0 212
s
k
s
k
ss
s
ss
s
6.134
6.41
ss
sk 6.0
43
6.42
ss
sk
当激励为零时 tizi ti1
等于此时的 ，所以
tueeti ttzi
34 6.16.0
例 3-17 电路如图 3-15 ，已知。
Vte 10 VvC 50
AiL 40 ti1
， ，
求；
- + 0Cv
+
-
0Li2.0
ti1H5.0 te
1
F1
+
-
- +s/5
+
- 20 LLi2.0
s5.0 sE
1
sI1
s/1
sI2
解：例 3-17 电路的 s 域等效模型如图 3-16 所示。
列网孔方程式：
22.15.02.0
/15/52.0/12.0
21
21
sIssI
sssEsIsIs
是全响应
43127
18079
2.15.02.0
2.0/12.0
2.15.02
2.0/15
2121
s
k
s
k
ss
s
s
s
s
s
sI
5734
180791
ss
sk
13643
180792
ss
sk
tueeti tt 431 13657
若要分别计算零状态、零输入响应，可以分别绘出与输
由图列出方程。入及初始状态有关的 s 域等效模型如图 3-17a 、 b 所示，
a
+
- 2.0
s5.0 sE
1
sI1
s/1
sI2
(1) 零状态情况如图 3-17a 所示。 000 LC iu
02.15.02.0
/102.0/12.0
21
21
sIssI
ssEsIsIs
zszs
zszs
43127
12050
2.15.02.0
2.0/12.0
2.15.00
2.0/10
2121
s
k
s
k
ss
s
s
s
s
s
sI zs
3034
120501
ss
sk 80
43
120502
ss
sk
tueeti ttzs
431 8030
(2) 零输入情况如图 3-17b 所示。
+
-
- +s/5
20 LLi2.0
s5.0
1
sI1
s/1
sI2
0sE
22.15.02.0
/52.0/12.0
21
21
sIssI
ssIsIs
zizi
zizi
b
43127
6029
2.15.02.0
2.0/12.0
2.15.02
2.0/5
2121
s
k
s
k
ss
s
s
s
s
s
sI zi
2734
60291
ss
sk
5643
60292
ss
sk
tueeti ttzi
431 6027
§3.5 系统函数与零极点分析法
输入、输出关系是系统分析的重要组成部分，系统函数
（仿真）。
的频率响应特性、系统稳定等实际问题以及作系统模拟
自然、受迫、瞬态、稳态响应分量外；还可以分析系统
域与频域特性；它除了可以分析系统的时域特性；划分
举足轻重，由它确定的零、极点集中的反映了系统的时
体现的正是这种关系。在 s 域分析中，系统函数的作用
1 、系统函数
系统函数在零状态下定义为
系统函数也称转移函数、传输函数、传递函数。
由上式可得系统零状态响应象函数为
得到系统的零状态响应
sF
sYsH zs
sHsFsYzs
ty zs
=L
sYzsL
thtfsHsF 1
sH
特别的，激励为
上式表明系统函数与单位冲激响应
t
1 sFttf thsH
时，系统零状态响应是单位冲激响应
th 是一对拉氏变换对。
式，也可以得到系统函数。
th除了由 可以求得系统函数外，由系统的不同表示形
1 、由微分方程n 阶系统微分方程的一般形式为
tyatydt
daty
dt
daty
dt
dn
n
nn
n
011
1
1
tfbtfdt
dbtf
dt
dbtf
dt
db
m
m
mm
m
m 011
1
1
可得：
系统为零状态且为 tf 因果信号时，对方程两边取变换，
sYasasas nn
n01
11
sFbsbsbsb mm
mm 01
11
01
11
011
1
asasas
bsbsbsb
sF
sYsH
nn
n
mm
mm
(2) 电路系统
举例说明用 s 域等效模型，可以得到网络的系统函数。
例 3-18 如图 3-18 所示电路系统，输入为
试求系统函数。
tv1 tv2，输出为
+
tv1
-
+
-
F25.0
2
tv2
解：
6
2
1/4
/42
1/4
/4
1
2
s
s
ss
s
V
VsH
域（运算）导纳，电压、电流传输函数等。如例 3-18 的
sFsY 、 tfty 、由 所处的端口，以及 所含的物理意
sH义， 有不同的含义，可以是 s 域（运算）阻抗， s
系统函数就是电压传输函数。
(3) 转移算子
统函数。 一般 n 阶系统的转移算子为
已知系统的转移算子，将其中的 p 用 s替代，可以得到系
01
11
011
1
apapap
bpbpbpbpH
nn
n
mm
mm
sHpH sp 则由
可得系统函数为
01
11
011
1
asasas
bsbsbsbsH
nn
n
mm
mm
2 、分解系统函数的两个多项式，可得
上式中分母多项式的根是
多项式的根是
极点，以及共轭成对的复数零、极点。
sH 的零、极点
n
m
pspsps
zszszsK
sD
sNsH
21
21
in
i
j
m
j
ps
zs
K
1
1
的极点，有 n 个；分子 sH
sH
的零点，有 m 个。
一般 sH 是实系数的有理函数，所以只有实数零、
例 3-19 已知某系统的系统函数如下，求系统的零、极点。
解
，极点为
，零点为
4852
22234
23
ssss
sss
sD
sNsH
41
1122
2
ss
sssH
4n 11 p
23 jp 24 jp
3m 01 z
jz 12jz 13
（二阶）、
、
、
、
-j
j-1
j2
1
-j2
2
o
o
j
当系统函数的阶数较高时，通过因式分解的方法找到零、
到系统函数的零、极点图。
极点有时并不容易，借助MATLAB 程序，可以方便的得
将系统函数的零、极点准确地标在 s 平面上，这样的图
称极、零点图或零、极图，其中“ o” 表示零点， “ ×” 表示
极点。如例 3-18 的零、
极点如图 3-19 所示。
例 3-20 已知某系统的系统函数
系统的零、极点并绘出零、极点图。
12116
2518523
2
sss
sssH ，求
b=[0 5 18 25];% 分子多项式系数
pzmap(b,a) % 系统的零、极点图r2=roots(b) % 求零点
解 MATLAB 程序及结果如下a=[1 6 11 12];% 分母多项式系数
r1=roots(a) % 求极点
答案r1 = -4.0000 -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i
r2 = -1.8000 + 1.3266i -1.8000 - 1.3266i
零、极点如图 3.-20 所示
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Ima
g A
xis
Pole zero map
3 、极、零点分布与时域特性
sH th与 sH是一对拉氏变换对，所以只要知道在 s 平面 th上的零、极点分布情况 , 就可以知道系统的冲激响应
利用部分分式展开
的所有极点均为单极点且变化规律。假设 sH nm ，
i
in
ii
n
i
j
m
j
ps
A
ps
zs
KsH
1
1
1
式中 iii jp
上式对应的单位冲激响应为
thtueAth i
n
i
tpi
n
i
i
11
以虚轴为界，我们将 s 平面分为左半平面与右半平面。
表示式，不难得出 th由 th thi 的变化规律。与
(1)
，极点在 s 平面的右半平面，
iii jp 为一阶极点
0i若 随时间增长； thi
thi
，极点在 s 平面的左半平面， thi0i 随时间衰减。
，极点在 s 平面的原点或虚轴上，对应于阶跃或0i
等幅振荡。
(2)
或
时，对应于 t 的正幂函数或增幅振荡。
iii jp 为高阶（二阶以上）极点
0i 0i
0i
时， 随时间变化的趋势同一阶情况；
(3) 系统函数的全部极点在左半平面，
增长而消失。
从以上分析可知，由系统函数极点在 s 平面上的位置，
随时间衰减趋 th
于零。 th系统函数有极点在虚轴及右半平面， 不随时间
如图 3-21 所示。
（或不衰减）的信号，还是一个随时间消失的信号，
便可确定的模式，判断单位冲激响应是随时间增长
0
0
0
00
0
0
thi
thi thi
thi
thi
thi
4 、零、极点与各响应分量
零状态响应中的自然、受迫、瞬态、稳态分量等概念。
研究零状态响应象函数在 s 平面的零，极点分布，可以
L
可分别表示为
sF sH下面从 s 域出发，由激励的象函数 和系统函数 讨论
预见在给定激励下 , 零状态系统响应的时域模式。因为
ty zs sYzs
1 sHsF1L
sF sH sY显然 的零极点由 、 的零、极点共同决定，
sF sH、而
极点且均为单极点，则将
kv
k
l
u
l
ps
zsAsF
1
1
in
i
j
m
j
ps
zs
KsH
1
1
KA、为讨论方便 , 我们假设 系数 sF sH、 均为 1 ，无相同
部分分式展开为 sY
换，响应为
上式右边第一项是由系统极点决定的响应称为自然响应；
k
kv
ki
in
izs ps
k
ps
ksY
11
sY由上式不难看出， 的极点由两部分组成，一部分是系
统极点 ip kp，另一部分是激励的极点 ，对上式取反变
tuektuekty tpk
v
k
tpi
n
izs
ki
11
响应。
右边第二项是由激励极点决定的响应称为强迫（受迫）
自然响应的模式由系统函数极点所确定 , 与激励形式无关。
应的为自然响应，高阶的为受迫响应。
同样地，强迫响应的时间模式只取决于的极点。
sF sH、 sH当 有相同极点时，一般规定与 极点相对
响应的一般模式取决于系统的特征根。比较 (1-78) 式与
应也是自然响应。不过当有零、极点相抵消时 ,被消去极
sH
在 §1.9 用时域分析法求系统零输入响应时，已知零输入
(3-65) 式可知特征根就是系统函数的极点，所以由
的极点，可以确定零输入响应的模式。显然，零输入响
所有极点。
全部信息。求零输入响应时，可借助算子方程得到系统
点后的只反映了零状态响应的信息 ,而不是零输入响应的
由对极、零点分布与时域特性讨论，可判断： S左半平面
图 3-22给出了稳定系统各响应之间的关系系统的稳态响应。
极点对应系统的瞬态响应，虚轴及 S 右半平面的极点对应
全响应
零输入响应 零状态响应
自然响应
瞬态响应
强迫响应
稳态响应
例 3-21 已知
解
并指出各响应分量。
， as
ssH
assF
1 ty，求响应 ，
asas
a
as
ssHsFsY
1
22
tueatety atat
自然强迫
瞬态响应
5 、系统的零、极点分布与系统频响特性
也可以定性了解系统的频响特性。因为由稳定系统的
sH在 s 平面上零、极点图，可以大致地描绘出系统的
由系统的零、极点分布不但可知系统时域响应的模式，
频响特性 。 ~H ~和
in
i
j
m
j
n
m
ps
zs
Kpsps
zszsKsH
1
1
1
1
，即在 s 复平面中令 s沿虚轴移动，得到取 js
n
m
pjpj
zjzjK
jssHjH
1
1
可以表示为零点与极点矢量
对于任意零点 jz ip和极点 ，相应的复数因子 (矢量 )都
jjjj eNzj ij
ii eMpj
in
i
j
m
j
pj
zj
K
1
1
分别是零、极点矢量的模；
分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。
jjjj eNzj
ijii eMpj
其中： jN iM
ij 、
、
0
o
j
1M
1N1p
11
1z
如图 3-223 所示
式中 : i
n
i
j
m
j
M
N
KH
1
1
i
n
ij
m
j
11
则 : nmj
n
m eMMM
NNNKjH
2121
21
21
j
j
i
n
i
j
m
j eHeM
N
Ki
n
ij
m
j 11
1
1
相应的
当系统函数零、极点数目不是很多，利用零、极点矢
由图 3-23 可见 ,随着 MN、 、
~0
~H ~
0~
变化， 长短会变化；
也会变化。当 从 逐点由矢量图解法，可以得到
的幅频及相频特性。
， 曲线，再由对称性可得到
量作定性的频谱分析还是有其方便之处的。
例 3-22 用矢量作图法求如图 3-24 所示高通滤波器的幅频、
解：
式中 ，
零点
相频特性。
s
s
sCR
R
sV
sVsH
/11
2
RC
1
+
tv1
-
+
-
CR tv2
，零点与极点矢量如01 z RCp /11
，极点
图 3-22 所示。
幅频特性
时，
时，
时
0o
j
1M1N
1p 1 1
1zRC
1
1
1
M
NH
0 01 N 01
1 M
NH
HMN 11 、
11 MN 1 H
当 ，所以 ；
当
当
；
。
相频特性
其中：
时，
时，
时，
0
当
当
当
；
11
2/1 12 ，所以
01 2
1 2
21
0
，
；
。，
由 3 分贝截止频率定义
或
得
解出：
dBH c 3lg20
dBH c
31
lg20
222
1
c
cc M
NH
c
442
1tan2
tan2
11
cc
幅频、相频特性如图 3-26 所示。
0
0.707
1
RC
1
1
2
V
V
0RC
1
o90
o45
在实际应用中 , 用逐点矢量作图法准确地求幅频、相频特
函数的频响特性。
大。我们利用 MATLAB 程序，可以很方便得到一般系统
是很不容易的。尤其当零、极点数量较多，工作量就很
* 例 3-23 已知例 3-19四阶系统的系统函数为
4852
22
41
11234
23
22
2
ssss
sss
ss
sssH
要求画出其频响特性。
解 计算例 3.5-6 频响特性的 MATLAB 程序a=[1 2 5 8 4];% 分母多项式系数b=[0 1 -2 2 0]; % 分子多项式系数h=freqs(b,a,w);% 系统频响
Hmag=abs(h);%振幅特性Hpah=angle(h);% 相位特性
subplot(2,1,1);% 作振幅图
plot(w,Hmag); title('H(s) 频响 ');
xlabel(' 频率 '); ylabel(' 系统振幅 ');
subplot(2,1,2); % 作相位图 plot(w,Hpah);
xlabel(' 频率 '); ylabel(' 系统相位 ');
结果如图 3-27 所示。
0 2 4 6 8 100
5
10
15
20H(s)频响
频率
系统
振幅
0 2 4 6 8 10-3
-2
-1
0
1
2
频率
系统
相位
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