%LDJLR�3DOXPER��

$33817,�68//(�(48$=,21,�',))(5(1=,$/,�

25',1$5,(��YHUVLRQH�DJJLRUQDWD�DO����JHQQDLR�������

�aaaaaaaaaaaaaa�

����,QWURGX]LRQH��La più generica HTXD]LRQH�GLIIHUHQ]LDOH (nel seguito indicata brevemente con (') ordinaria(1)

di ordine Q appare nella forma

0),...,,,,( )( =′′′�\\\\[) . (1.1)

Si tratta cioè di una relazione nota tra la variabile [, la funzione incognita \ (che è funzione di

[), e le sue derivate fino all'ordine Q, relazione che nel caso generale è scritta in forma implicita. Se è possibile risolvere la (1.1) rispetto alla derivata di ordine più elevato \(� ), allora

l'equazione assume la forma

),...,,,,( )1()( −′′′=�� \\\\[*\ , (1.2)

e in tal caso si dice che l'equazione è scritta LQ�IRUPD�QRUPDOH(2).

Se ad esempio poniamo Q = 1, possiamo affermare che la più generica ED del primo ordine si può scrivere come 0),,( =′\\[) , (1.3) oppure anche in forma normale ),( \[*\ =′ , (1.4) 1 L’aggettivo "ordinaria" si riferisce al fatto che nell’ED la \ incognita è funzione di una sola variabile (di solito indicata con [); si possono però considerare anche le HTXD]LRQL� GLIIHUHQ]LDOL� DOOH� GHULYDWH� SDU]LDOL (di solito brevemente indicate con la sigla EDP), nelle quali l'incognita è funzione di Q variabili. Nel seguito ometteremo la precisazione "ordinaria", visto che non verranno trattate le EDP. 2 Va osservato che il termine "equazione in forma normale, riferito alle ED lineari del secondo ordine, assume secondo alcuni Autori un diverso significato.

qualora la (1.3) sia esplicitabile rispetto ad \.

In modo analogo, la più generica ED del secondo ordine si scriverà come 0),,,( =′′′ \\\[) , (1.5) oppure, se possibile, in forma normale ),,( \\[*\ ′=′′ . (1.6)

Non è possibile dare un metodo generale per la risoluzione di una generica equazione come

la (1.1) o la (1.2), neppure nei casi apparentemente "semplici" (1.3), (1.4), (1.5) e (1.6); si possono tuttavia descrivere alcuni metodi che consentono di risolvere classi particolari di ED. È possibile inoltre dimostrare dei teoremi che assicurano, sotto opportune condizioni, l'esistenza oppure l'unicità della soluzione: in altre parole, è possibile in alcuni casi VDSHUH che una certa ED, con l'aggiunta di alcune condizioni, ammette una soluzione, e magari anche poter dire che essa è unica, pur non avendo a disposizione un metodo per determinarla esplicitamente.

���('�ULVROXELOL�PHGLDQWH�LQWHJUD]LRQL�GLUHWWH��In alcuni casi la risoluzione di un'ED è molto semplice, in quanto essa si effettua calcolando

uno o più integrali indefiniti. È il caso dell'equazione differenziale

)([I\ =′ , (2.1) oppure, più in generale,

)()( [I\ � = , (2.2) cioè i casi in cui nell'ED appare XQD�sola derivata di \, uguagliata ad una funzione nota I([), che supponiamo continua in un intervallo , ⊆ 5.

La (2.1) si risolve direttamente individuando una qualsiasi primitiva di I nell'intervallo , (cosa che è sempre possibile), e quindi sommando alla funzione trovata una generica costante F: si ottiene in questo modo la famiglia di tutte le soluzioni dell'ED, ovvero, come si dice, l'LQWHJUDOH�JHQHUDOH dell'equazione data. Analogamente, la (2.2) si risolve attraverso Q integrazioni indefinite.

(6(03,2 ��$� Risolvere l'ED 13 +=′ [\ . SOLUZIONE. In mancanza di indicazioni in contrario, risolviamo il problema in tutto 5,

dato che la funzione I([) a secondo membro dell'ED data è continua in tutto 5. Tramite una semplice integrazione indefinita troviamo immediatamente l'integrale generale F[[\ ++=

4

4

.

(6(03,2 ��%� Risolvere nell'intervallo

ππ−=

2,

2, l'ED [

[\3cos

sen=′′ , con le condizioni

\(0) = 1 e \(0) = 2.

SOLUZIONE. Determiniamo dapprima l’integrale generale dell’ED data, ignorando le

condizioni aggiuntive. Potendosi scrivere ( ) 33

cossencos

sen −⋅= [[[[

, si ha facilmente

[G[[[

23 2cos

1

cos

sen −=∫ . Perciò una prima integrazione dell'ED data porta alla nuova equazione

122cos

1 F[\ +−=′ . (2.3) Integrando ulteriormente la (2.3), troviamo l'integrale generale

212

tg F[F[\ ++−= . (2.4)

Ora applichiamo le condizioni specificate nel testo del problema. Dovendo essere \(0) = 1, sostituiamo nella (2.4) 0 al posto di [ e 1 al posto di \, ottenendo così F2 = 1. Per imporre invece la condizione \(0) = 2, sostituiamo 0 al posto di [ e 2 al posto di \ nella (2.3), da cui

2

51 =F . In

conclusione, la funzione \ che soddisfa l'ED data e le due condizioni suddette è:

12

5

2

tg ++−= [[\ .

Gli esempi appena svolti, sebbene semplici, ci forniscono lo spunto per alcune osservazioni di carattere generale. In primo luogo, abbiamo osservato che l'integrale generale di un'ED è sempre una famiglia di LQILQLWH funzioni, ovvero è dato da un'espressione in cui appaiono una o più costanti che possono assumere un qualunque valore reale. Più esattamente, dobbiamo aspettarci che l'integrale generale di un'ED di ordine Q sia una famiglia di funzioni dipendente da Q parametri. In secondo luogo, osserviamo che l'aggiunta di opportune condizioni consente (almeno in alcuni casi) di trovare XQD sola funzione che soddisfa l'ED e tali condizioni. In effetti, il testo dell'esempio 2.B si poteva anche scrivere sotto forma di un sistema, cioè:

=′=

=′′

,2)0(

1)0(cos

sen3

\\ [

[\ (2.5)

la cui risoluzione consiste appunto nel trovare una funzione \ che sia soluzione dell'ED, ma per la quale la \ e la \ abbiano dei valori fissati in un dato punto [0 dell'intervallo , (nel nostro caso [0 = 0). Un sistema come quello scritto in (2.5) è un esempio di SUREOHPD�GL�&DXFK\ del secondo ordine. Più in generale, un problema di Cauchy di ordine Q (per un'equazione differenziale scritta in forma normale) è un sistema del tipo

=

=′=

′=

−−

−

,)(

)(

)(

),,,,(

10)1(

10

00

)1()(

�

�

��

N[\

N[\N[\

\\\[I\

�

�

(2.5)

nel quale si ha un’ED di ordine Q unita con Q "condizioni iniziali", cioè condizioni in cui si assegna il valore della funzione incognita \ e delle sue derivate (fino all'ordine Q − 1) in un fissato punto [0 appartenente all'intervallo ,�in cui varia [.

Va osservato che se le condizioni sono date in modo diverso dalla (2.5), allora non si può più parlare di problema di Cauchy, ma si ha un altro tipo di problema differenziale. Ad esempio, un sistema come

=

π

==+′′

,22

1)0(

0

\\

\\

nel quale si assegna il valore di \�in due punti GLVWLQWL�di ,�viene detto SUREOHPD�GL�'LULFKOHW (del secondo ordine). Nelle applicazioni è possibile imbattersi in vari tipi di problemi differenziali, ma certamente il problema di Cauchy è uno dei più importanti, e ciò per due motivi: in primo luogo, per il problema di Cauchy (2.5) è possibile dare dei teoremi che garantiscono l'esistenza e l'unicità della soluzione, sotto opportune ipotesi sulla funzione I; in secondo luogo, il problema di Cauchy del secondo ordine ha un importante significato fisico, in quanto, se \ rappresenta la "funzione di posizione" (cioè la posizione di un punto materiale in funzione del tempo), le condizioni \([0) = N0 e \([0) = N1 si interpretano come "posizione" e "velocità" in un fissato istante di tempo [0.

(6(03,2 ��&� Risolvere il problema di Cauchy

−=′=

+=′′

.2)0(

3)0(14

3

\\

[[\

SOLUZIONE. Procedendo come sopra, abbiamo 14 1

2

1 F[\ ++=′ . Quando però tentiamo di eseguire la successiva integrazione, ci troviamo di fronte ad un integrale non elementarmente

risolubile, nel senso che la famiglia della primitive di 14 +[ non è esprimibile tramite le "comuni" funzioni algebriche o trascendenti. Per esprimere la soluzione, definiamo una generica

primitiva tramite un'opportuna funzione integrale: precisamente poniamo ∫ +=�

GWW[$0

4 1)( (la

scelta del punto iniziale teoricamente sarebbe arbitraria nell'intervallo ,, ma visto che le condizioni iniziali sono date in 0, conviene definire così la funzione $). Troviamo così l'integrale generale

21)(2

1 F[F[$\ ++= ; applicando infine le condizioni iniziali, troviamo 14 1021

2 F++=− , da

cui 2

51 −=F , e 202

50

2

13 F+⋅−⋅= , quindi F2 = 3 (dato che $(0) = 0). In conclusione, la soluzione

del problema di Cauchy è 32

5)(

2

1 +−= [[$\ , ovviamente definita in tutto 5. ���(TXD]LRQH�GLIIHUHQ]LDOH�DYHQWH�LQWHJUDOH�JHQHUDOH�DVVHJQDWR�� Come abbiamo osservato, dobbiamo aspettarci che l'integrale generale di un'ED di ordine Q

sia una famiglia di funzioni contenente Q parametri indipendenti (cioè, come si dice, una famiglia di ∞

�

funzioni). Si può anche affrontare il problema inverso, cioè la determinazione dell'equazione differenziale avente come integrale generale un'assegnata famiglia di funzioni.

(6(03,2 ��$� Determinare l'ED il cui integrale generale è [[F\ ++

=92

.

SOLUZIONE. Visto che nella famiglia data appare il solo parametro F, deriviamo una volta e

mettiamo a sistema l'equazione data con quella che si ottiene derivando:

++

−=′

++

=

.1)9(

29

22

2

[F[\

[[F\

A questo punto occorre HOLPLQDUH�il parametro F tra le due equazioni date. Ammesso che ciò

sia algebricamente possibile, troviamo una relazione tra \ e \ che costituisce l'equazione richiesta. Dalla prima equazione ricaviamo F = ([2 + 9)(\ − [), espressione che sostituita nella seconda

equazione dà:

1)9(

))(9(222

2

++

−+−=′ [[[\[\ ,

cioè 932)9( 22 +=+′+ [[\\[ .

(6(03,2 ��%� Determinare l'ED il cui integrale generale è ( )5 33 1

1

++=

[FH\

�

.

SOLUZIONE. Il procedimento è simile a quello dell'esempio precedente. Essendo

( ) 533 1 −++= [FH\ � , derivando abbiamo il sistema

( )

( )

+++−=′

++=−

−

5

833

5

33

1)13(5

31

[FHFH\[FH\

��

�

Dalla prima equazione abbiamo 35

3 1−

=++ \[FH � , perciò 135

3 −−=− [\FH � . Sostituendo

nella seconda equazione troviamo 5

8

3

5

3

5

)233(5

3−

−−

−−−=′ \[\\ , da cui l'ED

38

)23(395 \[\\ +=+′ . (6(03,2 ��&� Determinare l'ED il cui integrale generale è �� HE[DH\ 222 += . SOLUZIONE. Siccome i parametri sono due, deriviamo due volte e mettiamo a sistema

l'equazione data con quelle che si ottengono derivando:

+++=′′++=′

+=

.48)24(

2222222

2222

222

���

���

��

HE[E[HHED\HE[E[HDH\

HE[DH\

Come nei casi precedenti, occorre eliminare i parametri D e E tra le tre equazioni. A tale

scopo, in primo luogo dalla prima equazione ricaviamo �� HE[\DH 222 −= (non conviene scrivere

esplicitamente D, dato che sia D che E appaiono sempre moltiplicate per H2� ). Sostituendo nella seconda equazione, troviamo

�E[H\\ 222 +=′ , da cui [\

[\EH � −′=2

2 . Perciò è anche

\[\[[\

[\[\DH � ′−+=

−

′−=

2)1(

222 . Infine, sostituendo nella terza equazione, abbiamo

−

′+

−

′+

−

′+

′−+=′′ [

\[\[[

\[\[[

\[\\[\[\

24

28

22

2)1(4 2 , da cui infine l'ED

0)24()14( =++′+−′′ \[\[\[ . �(6(03,2 ��'� Determinare l'ED il cui integrale generale è 42 −++= F[E[D\ . SOLUZIONE. Il procedimento è del tutto analogo a quello degli esempi precedenti, con la

differenza che occorre derivare tre volte e quindi si ottiene un sistema di quattro equazioni tra le quali occorre eliminare tre parametri:

−=′′′+=′′−=′

++=

−

−

−

−

.120

202

42

7

6

5

42

F[\F[E\F[E[\F[E[D\

Dalla quarta equazione otteniamo 120

7 \[F ′′′−= ; la terza equazione diventa

62

76 \[[E\ ′′′−=′′ − , da cui

122

\[\E ′′′+′′= . Osserviamo poi che il parametro D appare solo nella prima equazione, perciò eliminando E e F� tra le ultime tre equazioni otteniamo direttamente una relazione tra le tre derivate, che costituisce l'ED cercata (nella quale quindi non apparirà esplicitamente \). In effetti, sostituendo le due espressioni fin qui trovate nella seconda equazione, troviamo

′′′−−

′′′+

′′=′

120

4

1222

7

5

\[[

\[\[\ , da cui infine l'ED 0552 =′−′′+′′′ \\[\[ . �2VVHUYD]LRQH� Come si è visto dagli esempi precedenti, il procedimento si applica a tutti i

casi in cui sia assegnata una famiglia di funzioni ),,,,( 21 �FFF[)\ �= : basta derivare Q volte e poi eliminare tra le Q + 1 equazioni così trovate gli Q parametri �FFF ,,, 21 � (sempre che ciò sia "praticamente" possibile), allo scopo di trovare una relazione tra \, \, ..., \(� ) nella quale non appaiano più i parametri. Tuttavia, se l'integrale generale dato appare nella forma

)()()( 2211 [IF[IF[IF\ ��+++= � ,

cioè come una combinazione lineare di Q funzioni note, allora è possibile scrivere l'ED corrispondente semplicemente uguagliando a zero un opportuno determinante di ordine Q + 1; precisamente, si scrive:

0

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(2222

)(1111

)(

=

′′′

′′′′′′′′′

[I[I[I[I

[I[I[I[I[I[I[I[I

\\\\

�����

�

�

�

�

�����

�

�

�

.

Ad esempio, se è dato l'integrale generale [HF[HFHF\ ��� 2sen2cos 3231 ++= , basta scrivere

.0

)2cos22sen11()2cos42sen3()2cos22sen(2sen

)2sen22cos11()2sen42cos3()2sen22(cos2cos

2793 3333=

−−+−++−−−−

′′′′′′

����

����

����

H[[H[[H[[[HH[[H[[H[[[H

HHHH\\\\

Per semplificare il calcolo, osserviamo che nella seconda riga si può mettere in evidenza (e

poi eliminare) il fattore H3� , e lo stesso si può fare nelle ultime due righe con il fattore H� . Così il determinante diventa

.0

2cos22sen112cos42sen32cos22sen2sen

2sen22cos112sen42cos32sen22cos2cos

27931=

−−+−++−−−−

′′′′′′

[[[[[[[[[[[[[[

\\\\

Possiamo naturalmente sviluppare il determinante secondo la prima riga (in modo da ottenere

direttamente i coefficienti di \, \, ecc.); tuttavia osserviamo che il determinante si può ulteriormente semplificare sottraendo dalla seconda colonna la prima moltiplicata per 3:

.0

2cos22sen112cos42sen32cos222sen-2sen

2sen22cos112sen42cos32sen22cos22cos

27901

3

=

−−+−++−−−−−

′′′′′−′

[[[[[[[[[[[[[[

\\\\\

Analogamente, sottraiamo dalla terza colonna la prima moltiplicata per 9 e dalla quarta

colonna la prima moltiplicata per 27:

.0

2cos22sen382cos42sen122cos222sen-2sen

2sen22cos382sen42cos122sen22cos22cos

0001

2793

=

−−+−++−−−−−

−′′′−′′−′

[[[[[[[[[[[[[[

\\\\\\\

Perciò otteniamo l'equazione

,0

2cos22sen382cos42sen122cos222sen

2sen22cos382sen42cos122sen22cos2

2793

=−−+−+−+−−−−−

−′′′−′′−′

[[[[[[[[[[[[

\\\\\\

cioè

( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]

( )( )( ) ( )( )[ ] .02sen42cos122cos222sen2cos42sen122sen22cos2272sen22cos382cos222sen2cos22sen382sen22cos2)9(

2sen22cos382cos42sen122cos22sen382sen42cos12)3(

=−−+−−+−−−−′′′+++−+−−−−−−−′′−++−+−−−−−−−′

[[[[[[[[\\[[[[[[[[\\[[[[[[[[\\

Il coefficiente di \� − 3\ è 456sen2[cos2[ + 24cos22[ + 152sen22[ + 8sen2[cos2[ + − 456sen2[cos2[ + 24sen22[ + 152cos22[ - 8sen2[cos2[ = 176; analogamente, il coefficiente che appare tra parentesi quadre nella seconda riga è 80 e quello che appare nella terza riga è 16. Perciò si ha l'ED

176(\�− 3\) − 80(\� − 9\) + 16(\

− 27\) = 0,

cioè .015115 =−′+′′−′′′ \\\\ �� ���('�OD�FXL�VROX]LRQH�q�HVSULPLELOH�WUDPLWH�XQ�HVSRQHQ]LDOH Vediamo qui alcuni semplici equazioni differenziali la cui soluzione può essere calcolata

tramite un opportuno esponenziale. Cominciamo con il semplice caso dell'equazione

\\ =′ , (4.1) nella quale si chiede di individuare la famiglia di tutte le funzioni \ la cui derivata \ coincide con la \ stessa. Sappiamo che una funzione che soddisfa la (4.1) è \ = H� , e d'altra parte è chiaro che ogni funzione della famiglia \ = FH� è soluzione della (4.1), in quanto '(FH� ) = FH� . Si osservi che questa famiglia di funzioni comprende anche la funzione identicamente nulla (che si ottiene assegnando il valore 0 alla costante arbitraria F). Tuttavia è chiaro che queste considerazioni non garantiscono che WXWWH le soluzioni della (4.1) siano del tipo FH� ; per dimostrare allora che l'integrale generale è proprio questo, supponiamo che \ sia una generica funzione definita e derivabile in 5,�soluzione della (4.1), e definiamo la funzione �\H[J −=)( . Ora, calcolando J([) per ogni [ ∈ 5, troviamo ( ) ��� H\\\HH\[J −−− −′=−′=′ )( . Ma per ipotesi \ soddisfa la (4.1), perciò abbiamo J([) = 0 per ogni [ in 5. Per un noto teorema del calcolo differenziale, concludiamo che deve essere F\H[J � == −)( per ogni [�∈ 5�(3), da cui appunto \ = FH� .

In modo analogo si risolve l'ED

\[N\ )(=′ , (4.2) dove N([) è una qualsiasi funzione continua in un intervallo , ⊆ 5. Supponiamo anche in questo caso che la soluzione sia espressa da un esponenziale, diciamo \ = H� (� ), dove 3 è un'opportuna funzione derivabile in ,. Essendo \[3H[3\ �� ⋅′=′=′ )()( )( , è chiaro che la (4.2) è soddisfatta se poniamo )()( [N[3 =′ , ovvero se 3 è una primitiva di N sull'intervallo ,. Perciò, possiamo dire che una famiglia di funzioni che soddisfa la (4.2) è data dall'espressione

\ = FH� (� ), (4.3)

dove 3([) è una TXDOVLDVL primitiva di N([) sull'intervallo ,. Per accertarci che la (4.3) è effettivamente l'integrale generale della (4.2), ragioniamo come

sopra, definendo )()(��\H[J −= , dove \ è una generica funzione che soddisfa la (4.2). Per ogni

[ ∈ ,, abbiamo ( ) )()()( )()()( ������ H\[N\H[\NH\[J −−− −′=−′=′ ,

che è ancora identicamente nulla in ,, dato che per ipotesi \[N\ )(−′ è zero. Ciò prova che F\H =− )( in tutto ,, cioè che \ è proprio FH� (� ).

Ovviamente, nell'esprimere la soluzione della (4.2) tramite la formula (4.3), ci si può trovare

di fronte allo stesso ostacolo visto nel par. 2, cioè un integrale che non si può calcolare

3 Si faccia molta attenzione all’applicazione di questo teorema! Esso afferma che se una funzione ha derivata nulla LQ�XQ�LQWHUYDOOR, allora essa è costante su tale intervallo (si può anche supporre che I sia continua in un intervallo [D , E] e derivabile in (D , E), anche se di fatto l'ipotesi I([) = 0 in tutto (D , E) porta alla conclusione che I è anche derivabile a destra in D e derivabile a sinistra in E). In ogni caso, il teorema è falso se il dominio ' di I si divide in più intervalli "staccati": in questo caso si può affermare che I è costante VHSDUDWDPHQWH in ciascuno degli intervalli che costituiscono ', ma tali costanti possono essere diverse da intervallo a intervallo.

esplicitamente. In un caso semplice come [\\ −=′ si ha N([) = −[, da cui 2

)(2[[3 −= , e quindi si

trova subito l’integrale generale 22�

FH\ −= . Se invece è dato ad esempio il problema di Cauchy

=

=′

,3)2(log

\[

\\

osserviamo dapprima che la funzione [[N log1

)( = è continua nei due intervalli aperti (0 , 1) e

(1 , +∞), per cui l'integrale generale andrebbe determinato separatamente in ciascuno di questi due intervalli. In realtà, possiamo limitarci al solo intervallo , = (1 , +∞), dato che la condizione iniziale è assegnata in [0 = 2. Siccome però la primitiva di N([) in , non è elementarmente calcolabile, poniamo ∫=

�

WGW[3

2 log)( per ogni [ > 1 (la scelta dell'estremo inferiore di integrazione è

dettata dal fatto che la condizione iniziale è data nel punto 2), e scriviamo l'integrale generale come \�= FH� (� ), con [ ∈ ,. Infine, nell'applicare la condizione iniziale teniamo conto del fatto che 3(2) = = 0, perciò troviamo F = 3, da cui la soluzione del problema proposto ∫==

���

WGWH\

2

)(

logexp33 . (4)

���('�D�YDULDELOL�VHSDUDELOL� Un altro tipo di ED che si integra tramite integrazioni indefinite è costituito dalle ED� D�

YDULDELOL�VHSDUDELOL. Si tratta delle ED del primo ordine del tipo )()( \4[3\ =′ , (5.1)

cioè un caso particolare della (1.4), dove la funzione *([ , \) è data dal prodotto di una funzione 3 dipendente solo da [ ed un'altra funzione 4 dipendente solo da \. Supponiamo naturalmente che 3 sia continua al variare di [�in un certo intervallo , e che 4�sia continua al variare di \ in un certo intervallo -.

La (5.1) si può risolvere con il seguente procedimento: utilizzando la notazione di Leibniz,

scriviamo dapprima G[G\\ =′ ; quindi moltiplichiamo i due membri dell'equazione per G[ e

dividiamo per 4(\), ottenendo così l'uguaglianza

G[[3\4G\

)()(

= . (5.2)

Infine integriamo il primo membro rispetto ad \ ed il secondo rispetto ad [ (naturalmente

aggiungiamo la costante arbitraria solo a uno dei due membri), ottenendo così un'uguaglianza che

4 Si usa a volte la scrittura exp(I([)) al posto di H

�(� ), soprattutto quando I([) ha un’espressione "scomoda" da scrivere

come esponente.

in generale definisce solo implicitamente l'integrale generale, in quanto non sempre è possibile esplicitare l'uguaglianza trovata rispetto ad \. (5)

Occorre però anche osservare che nel primo passaggio si e' diviso tutto per 4(\), perciò il procedimento è lecito solo laddove la funzione 4(\) non si annulla. Supponiamo ora che 4(\) si annulli in un certo insieme di punti nell'intervallo -: se \0 è uno di questi, è chiaro che la funzione costante \ = \0 è una particolare soluzione della (5.1), dato che la sua derivata è identicamente nulla. Perciò in generale occorrerà precisare che l'integrale generale va "completato" con un certo insieme (eventualmente infinito) di funzioni costanti, ciascuna corrispondente ad uno zero di 4(\). Chiariamo tutto ciò con alcuni esempi.

(6(03,2���$��Risolvere l'equazione differenziale 42 2 +=′ \[\ . SOLUZIONE. Procedendo come descritto sopra, abbiamo subito

[G[\G\

242

=+

,

da cui, integrando:

F[\ += 22

settsenh

Poiché settsenh è invertibile in tutto il suo dominio, troviamo facilmente l'integrale generale

)(senh2 2 F[\ += , funzione derivabile in tutto 5 comunque si fissi la costante F. In questo caso la funzione 4(\) non ha zeri reali, per cui non si hanno soluzioni costanti in

aggiunta alle funzioni dell'integrale generale.

(6(03,2���%��Risolvere il problema di Cauchy

=−=′

.1)2(

)9(3 22

\\[\

SOLUZIONE. Supponiamo inizialmente 092 ≠−\ , cioè 3±≠\ . Separando le variabili

come sopra, troviamo

G[[\G\ 22

39

=−

,

da cui, integrando:

F[\\ +=

+− 3

3

3log

2

1.

5 Il procedimento qui illustrato va inteso nel senso che "formalmente" si interpreta G\�G[ come se fosse un vero "quoziente". In effetti, esiste un teorema che assicura la correttezza del risultato, ottenuto apparentemente con un procedimento non accettabile.

Moltiplicando per 2, possiamo scrivere F[\\ +=

+− 32

3

3log ; non c'è bisogno di scrivere 2F,

dato che il doppio di una costante reale arbitraria è ancora un generico numero reale. Passando

all'esponenziale, scriviamo ��H\

\ +=+− 32

3

3, ovvero anche

32

3

3 �� HH\\ ⋅=

+−

. Possiamo porre 1FH�

=

(costante positiva), ma cambiando ancora nome alla costante possiamo anche scrivere 32

3

3 �FH\\ =

+−

. In altre parole, ad ogni passaggio possiamo, all'occorrenza, cambiare la costante e

continuare a chiamarla F, eventualmente precisando l'intervallo in cui essa può essere fissata. Ora, siccome l'equazione |$| = E (con E positivo fissato) ha le due soluzioni $ = E e $ = −E, possiamo scrivere

32

3

3 �FH\\ ±=

+−

con F > 0, che è come dire 323

3 �FH\\ =

+−

con F costante non nulla. Infine,

da questa ricaviamo facilmente 3

3

2

2

1

13 �

�

FHFH\

−+= , dove SHU�LO�PRPHQWR la costante F può assumere un

qualsiasi valore diverso da 0. Occorre fare a questo punto alcune osservazioni. In primo luogo, abbiamo in questo caso

4(\) = \2 − 9 = 0 per \ = 3 e per \ = −3; per quanto detto sopra, ciò implica che due particolari soluzioni dell'ED data sono le due funzioni costanti \ = 3 e \ = −3. Ma si nota che la soluzione \ = 3 si ottiene dall'integrale generale ponendo F = 0. Perciò possiamo concludere che l'integrale generale è dato dalla famiglia di funzioni 3

3

2

2

1

13 �

�

FHFH\

−+= con F costante reale qualsiasi, e inoltre

dalla funzione costante \ = −3. (6) Applichiamo ora la condizione iniziale \(2) = 1: utilizzando l'equazione 32

3

3 �FH\\ =

+−

(che è

più semplice, in quanto in essa F appare una sola volta), abbiamo 1631

31 FH=+−

, da cui 162

1

HF −= . Sostituendo tale valore nell'integrale generale, troviamo infine la soluzione

162

162

16

2

16

2

3

3

3

3

2

23

21

21

3−

−

+−=

+

−=

HH

HHHH

\ .

Un'altra importante osservazione riguarda il campo di esistenza della soluzione. In questo

caso abbiamo trovato una funzione definita su tutto 5 (dato che il denominatore 162 32 −+ H non si annulla mai in 5), ma è chiaro che se F è positivo si trova una funzione che non è definita in tutto 5. Si consideri infatti lo stesso problema di Cauchy, ma con la condizione iniziale \(0) = 5. Si ha allora 0

35

35 FH=+−

, da cui 4

1=F ; si ha così la funzione 33

2

2

4

43 �

�

HH\

−+= , che è definita per

3 2log≠[ . Essendo 3 2log0 < , possiamo dire di aver trovato una soluzione del problema nell'intervallo ( )3 2log,∞− . 6 In realtà si può osservare che la soluzione \ = −3 rientra anch'essa nel suddetto integrale generale, purché si ammetta di dare il valore�+∞ (oppure −∞) alla costante F. Ci sono però casi in cui una particolare funzione soluzione dell'ED non si può ottenere dall'integrale generale per QHVVXQ valore della costante (o delle costanti), né finito né infinito. Una tale soluzione viene detta LQWHJUDOH�VLQJRODUH dell'ED data.

Vediamo ancora due casi particolari del problema di Cauchy per la stessa ED: se la condizione iniziale è ad esempio \(4) = 3, vediamo subito che la soluzione è la costante \ = 3. Se invece la condizione iniziale è \(−1) = (−3), l'equazione in F diventa assurda; in effetti, in questo caso la soluzione è la costante \ = −3 che prima era stata considerata a parte.

(6(03,2���&��Risolvere il problema di Cauchy

==′

.0)1(

5 2

\\\

SOLUZIONE. La separazione delle variabili dà G[\G\ =

5 2, da cui F[\ +=5

3

3

5, ovvero

3

5

5

3

+= F[\ . Ma, essendo 4(\) = 0 per \ = 0, si ha anche la soluzione \ = 0. Ora, ponendo

nell'integrale generale la condizione \(1) = 0, troviamo F = −3, da cui la soluzione 35

5

33

−= [\ .

Ma anche la funzione \ = 0 soddisfa la condizione iniziale, perciò in questo caso il problema di Cauchy ammette GXH soluzioni distinte.

(6(03,2���'��Risolvere l'equazione differenziale 2)( \[\ +−=′ . SOLUZIONE. L'ED data non è a variabili separabili, in quanto è impossibile scrivere il

secondo membro nella forma 3([)4(\). In effetti, l'equazione proposta rientra nel tipo \ = I(D[ + E\), (5.3)

dove la I è una generica funzione della variabile D[ + E\ (con D e E costanti reali). La (5.3) si riconduce facilmente ad una ED a variabili separabili, tramite la sostituzione X = D[ + E\, da cui X = D + E\. Nel nostro caso abbiamo X = [ + \, quindi X = 1 + \, per cui sostituendo si ha l'equazione 21 XX −=−′ , che è appunto a variabili separabili.

La separazione delle variabili porta all'uguaglianza F[XGX +=− 21

, da cui successivamente:

F[XX +=

−+

1

1log

2

1;

�FHX

X 21

1 =−+

;

�FHXX 2)1(1 −=+ ;

1

12

2

+−= �

�

FHFHX .

Infine, essendo X = [ + \, si ottiene esplicitamente l'integrale generale [FHFH\ �

�

−+−=

1

12

2

.

Come al solito, va considerato che l'equazione in X ammette le due soluzioni X = 1 ed X = −1, da cui le due soluzioni particolari X = 1 − [ ed X = −1 − [ (in realtà quest'ultima si ottiene dall'integrale generale ponendo F = 0).

Naturalmente può accadere che l'uguaglianza ottenuta integrando definisca solo implicitamente \ in termini di [, in quanto si può trovare un'equazione non esplicitabile rispetto ad \; ciò accade ad esempio nel caso dell'equazione \[\[\ +++=′ . (7)

���('�OLQHDUL�GHO�SULPR�RUGLQH��In un paragrafo successivo daremo alcune indicazioni sulle ED lineari di ordine qualsiasi. Per

il momento, vediamo un metodo concreto per risolvere le ED lineari del primo ordine in forma normale, cioè quelle

)()( [E\[D\ =+′ , (6.1)

dove D([) e E([) sono due funzioni continue in uno stesso intervallo ,. Come vedremo subito, non solo è possibile dare un'espressione esplicita dell'integrale generale della (6.1) (eventualmente espresso tramite opportune funzioni integrali non elementarmente calcolabili), ma si può anche determinare la soluzione del problema di Cauchy

==+′

,)(

)()(

0 N[\[E\[D\

(6.2)

dove [0 è un punto fissato in , e N un numero reale qualsiasi. Tale soluzione esiste sempre ed è unica (non si possono cioè verificare circostanze come quelle dell'esempio 5.C), ed inoltre il problema (6.2) è risolubile LQ�JUDQGH, cioè la soluzione è definita in tutto l'intervallo ,.

Per risolvere la (6.1), cominciamo col definire la funzione 3([) come una qualsiasi primitiva di D([) nell'intervallo ,. Quindi moltiplichiamo ambo i membri della (6.1) per il fattore H� (� ), così da ottenere

)()()( )()(

������ H[E\H[DH\ =+′ . (6.3) Ora osserviamo che il primo membro della (6.3) è la derivata di un prodotto, precisamente è

la derivata di )( ��\H . Allora, integrando i due membri dell'uguaglianza

)()( )(���� H[E\HG[

G = , (6.4)

otteniamo FGWHWE\H�

�

�

+= ∫0

)()( )( , (8) da cui infine l'integrale generale

∫−− +=�

�

��� GWHWEHFH\0

)()()( )( . (6.5)

7 Per altri tipi di ED riconducibili alle ED a variabili separabili, vedi ad esempio A. Ghizzetti, F. Rosati, $QDOLVL�0DWHPDWLFD, vol. II, Ed. Masson, 1992. 8 Come al solito, per scrivere una qualsiasi primitiva del secondo membro della (6.4) avremmo potuto scegliere come estremo inferiore di integrazione un qualsiasi altro punto di ,.

Osserviamo poi che nella (6.5) la costante F appare al primo grado, ed inoltre moltiplicata per un fattore certamente non nullo in ,. Ciò implica che, ponendo la condizione \([0) = N, si troverà sempre un ben preciso valore per F, il che ci consente di determinare in modo univoco la soluzione del problema (6.2). È ovvio poi che la soluzione così trovata esiste in tutto ,.

Nella pratica, non è conveniente imparare a memoria formule "dirette" che consentano di trovare l'integrale generale o addirittura la soluzione del problema di Cauchy; è molto meglio invece ripetere il procedimento generale appena visto.

(6(03,2���$��Risolvere l'equazione differenziale 32 [[\\ =+′ . SOLUZIONE. In questo caso l'intervallo , coincide con tutto 5. Essendo [2 una primitiva di

2[ in tutto 5, moltiplichiamo i due membri dell'equazione data per 2�H e otteniamo

222 32

��� H[\[HH\ =+′ ,

cioè ( ) 22 3 �� H[\HG[G = . Essendo poi FH[G[H[ �� +−=∫

22

2

123 , abbiamo

FH[\H �� +−= 222

12,

da cui infine l'integrale generale 2

122 −+= − [FH\ � .

(6(03,2���%��Risolvere il problema di Cauchy

=

π

=−′

.2

1

2

sen

\

[[\\

SOLUZIONE. Osserviamo in primo luogo che l'intersezione tra i domini di D([) e di E([) è

costituita dai due intervalli (−∞ , 0) e (0 , +∞). Ma la condizione iniziale è data in 20π=[ , per cui

il problema viene risolto in (0 , +∞). Essendo [[D1

)( −= , abbiamo 3([) = −log [, da cui [H�� 1)( = .

Si ha quindi [[

[\

[\ sen

2=−

′, ovvero [

[[\

G[G sen=

. Purtroppo l'integrale indefinito ∫ G[[

[sen

non è elementarmente calcolabile, perciò la soluzione andrà espressa tramite un'opportuna

funzione integrale. Ponendo per semplicità ∫π

=�

GWWW[$

2

sen)( , abbiamo l'uguaglianza

F[$[\ += )( , da cui l’integrale generale \ = F[ + [$([). Ora, essendo 0

2=

π$ , l’applicazione

della condizione iniziale dà 022

1 +π= F , da cui π

= 1F . In conclusione, la soluzione del problema proposto è

)([[$[\ +π

= .

���/HTXD]LRQH�GL�%HUQRXOOL��Si tratta di un caso particolare di ED del primo ordine non lineare, facilmente risolubile in

quanto si riconduce con una opportuna sostituzione ad un'ED lineare. L'equazione di Bernoulli ha la forma α=+′ \[E\[D\ )()( , (7.1)

che è del tutto simile alla (7.1), a parte il fattore \α. Anche in questo caso D([) e E([) sono due funzioni continue in uno stesso intervallo ,. Supponiamo che α sia un TXDOVLDVL numero reale, ma per evitare di ricadere in casi già noti escludiamo i due valori particolari α = 0 ed α = 1.

Per risolvere la (7.1) si pone la sostituzione X = \1−α, cioè α−= 11

X\ . In questo modo, si può vedere in generale che la (7.1) diventa dello stesso tipo della (6.1), eventualmente previa eliminazione di un fattore del tipo Xβ (che può dar luogo ad un integrale singolare).

(6(03,2���$��Risolvere l'equazione differenziale 2

3 \[\\ =+′ .

SOLUZIONE. Si tratta di un'equazione di Bernoulli, in cui l'intervallo , coincide con 5 e

l'esponente α vale −2. Posto X = \1− (−2) = \3, si ha 3 X\ = , da cui (ricordando che la derivata si calcola rispetto alla variabile [),

3 23 XX\ ′=′ . Perciò l'equazione data diventa:

3 2

3

3 23

3 X[X

XX =+′ ,

cioè ( ) 0393

13 2

=−+′ [XXX

. In questo caso il fattore da eliminare per ricondurre l'equazione a

lineare è 3 23

1

X, che non può annullarsi, ma se si avesse invece un fattore del tipo Xβ con β

positivo, dovremmo considerare a parte anche la soluzione X�= 0. A questo punto, l'equazione [XX 39 =+′ si risolve come visto sopra: moltiplicando per H9� si

ha ��� [HXHHX 999 39 =+′ , cioè ( ) �� [HXHG[

G 99 3= . Si ha quindi FH[XH �� +−= 9927

19, che si può

anche scrivere (cambiando la costante) 27

199 −+=− [FHX

�

. Infine, si ottiene l’integrale generale

3

193 9 −+=− [FH\

�

.

(6(03,2���%��Risolvere il problema di Cauchy ( )

==+′

.03\\[\\

SOLUZIONE. Di nuovo , coincide con 5; tuttavia si noti che una qualsiasi soluzione dell’ED

deve avere codominio contenuto in [0 , +∞), altrimenti il secondo membro non ha senso (ciò significa tra l'altro che non si può dare una condizione iniziale \(D) = E con E < 0).

Essendo 2

1=α , poniamo \\X == − 21

1, da cui \ = X2 e quindi \ = 2X⋅X. Pertanto

l'equazione diventa 2XX + X2 − [X = 0, cioè X(2X + X − [) = 0. Questa volta, a differenza di quanto accadeva nell'esempio precedente, si raccoglie un fattore X, per cui eliminandolo occorre tener conto della soluzione X = 0, da cui \ = 0. La rimanente ED lineare dà 22 −+= − [FHX

�

, da cui 2

2 2

−+=

− [FH\�

. Perciò l'integrale generale dell'equazione proposta è

2

2 2

−+=

− [FH\�

, ma

a parte va considerato l'integrale singolare \ = 0. Ponendo infine la condizione iniziale, troviamo

2

2

3

230

−+=

−FH , da cui 23

HF −= , e da ciò

otteniamo la soluzione

2

2

3

2

−−=

− �

H[\ . Ma osserviamo che anche \ = 0 soddisfa la condizione iniziale, per cui in questo caso il problema di Cauchy ammette due soluzioni distinte.

���('�OLQHDUL�GL�RUGLQH�TXDOVLDVL��La più generica equazione differenziale lineare di ordine Q in forma normale si scrive come

)()(’)()( 1)1(

1)( [I\[D\[D\[D\ ���� =++++ −− � , (8.1)

dove le funzioni D1([), D2([), …, D� ([), I([) sono continue in uno stesso intervallo , ⊆ 5. Si osservi che tali funzioni possono essere di tipo qualsiasi, ad esempio possono essere funzioni trascendenti. L'aggettivo "lineare" si riferisce al fatto che il primo membro della (8.1) è lineare ULVSHWWR�DOOH�\��\��\´�� \(� ), cioè che esso è una combinazione lineare delle \(� ) (N = 0, 1, ..., Q) con coefficienti in generale dipendenti da [. In altre parole, la presenza di termini del tipo \\, (\)2, sen([ + \),

( ) 12 +′′\ , ecc., renderebbe l'ED non lineare. Se il termine noto I([) è la funzione identicamente nulla in ,, l'equazione si dice RPRJHQHD;

invece nel caso generale, rappresentato dalla (8.1), l'equazione si dice QRQ�RPRJHQHD. Non esiste alcun metodo generale per determinare tutte le soluzioni della (8.1) quando l'ordine

è maggiore o uguale a 2, neanche nel caso dell'equazione omogenea, anche se è possibile dare dei metodi per casi particolari della (8.1); nonostante ciò, le ED lineari sono di grande importanza, a livello sia teorico sia applicativo. Infatti vi sono alcuni importanti teoremi validi per le ED lineari,

per cui si conoscono molte proprietà delle soluzioni di tali equazioni (anche se non sempre tali teoremi danno indicazioni su FRPH�risolvere l'equazione); inoltre, le ED lineari, pur rappresentando una classe "ristretta" di equazioni, tuttavia appaiono in molti problemi applicativi, per cui il loro studio è importante sotto diversi aspetti.

Vediamo dapprima cosa dice la teoria delle ED lineari in relazione al problema di Cauchy. Fissato un punto [0 in ,, si consideri il sistema

=

=′=

=+++

−−

−

,)(

)(

)(

)()()(

10)1(

10

00

)1(1

)(

��

���

N[\

N[\N[\

[I\[D\[D\

�

�

(8.2)

dove N0, N1, ..., N � −1 sono Q numeri reali fissati. Ebbene, un importante teorema afferma che il problema (8.2) ammette sempre una soluzione, e che tale soluzione è unica. Non solo: essa è definita LQ�JUDQGH, cioè in tutto l'intervallo ,. (9)

Per quanto riguarda invece la struttura dell'insieme delle soluzioni della (8.1), possiamo enunciare un importante teorema valido per le ED lineari omogenee; successivamente, vedremo come si scrive l'integrale generale della (8.1) una volta che sia noto l'integrale generale della corrispondente equazione omogenea. In altre parole, l'effettiva difficoltà nella risoluzione della (8.1) consiste nel risolvere l'equazione omogenea che si ottiene sostituendo I([) con 0; se si riesce a risolvere questo problema, è sempre possibile (eventualmente tramite l'introduzione di opportune funzioni integrali) risolvere la (8.1).

7(25(0$� ',0(16,21$/(� 'DWD� XQ('� OLQHDUH� RPRJHQHD� GL� RUGLQH� Q� LQ� IRUPD�

QRUPDOH�

0)(’)()( 1)1(

1)( =++++ −

− \[D\[D\[D\ ���� � , (8.3) GRYH� L� FRHIILFLHQWL� D � �[��� D� �[��� «�� D � �[�� VRQR� FRQWLQXL� LQ� XQ� LQWHUYDOOR� ,� ⊆�5�� LO� VXR� LQWHJUDOH�JHQHUDOH�q�XQR�VSD]LR�YHWWRULDOH�GL�GLPHQVLRQH�Q���

Questo teorema ci dice in primo luogo che se \1 e \2 sono due soluzioni della (8.3), allora anche la loro somma \1 + \2 lo è. Inoltre se \ soddisfa la (8.3) ciò vale anche per α\, con α reale fissato. Perciò possiamo affermare che se \1 e \2 sono due soluzioni dell'ED lineare omogenea (8.3), allora ogni loro combinazione lineare α\1 + β\2 (α , β ∈ 5) è ancora soluzione della stessa equazione. Non solo: se riusciamo a trovare Q funzioni X1([), X2([), ..., X� ([) che siano soluzioni della (8.3) e che siano OLQHDUPHQWH� LQGLSHQGHQWL, allora l'integrale generale della (8.3) si può esprimere nella forma

)()()( 2211 [XF[XF[XF\ ��+++= � ,

9 Se l'equazione non è lineare, in generale il teorema così enunciato non è valido. Tuttavia, si può dimostrare che, sotto opportune ipotesi, esiste ancora una soluzione unica al problema di Cauchy, ma che di solito è una soluzione LQ�SLFFROR, cioè è definita in un opportuno intorno di [0 contenuto in ,.

cioè ogni soluzione della (8.1) si può scrivere (in modo unico) come combinazione lineare delle Q funzioni X1, X2, ..., X� : esse infatti costituiscono una EDVH dello spazio vettoriale di tutte le soluzioni della (8.1).

Purtroppo questo teorema non dà alcuna informazione utile per LQGLYLGXDUH una base dello spazio in questione. Vedremo in seguito che il problema è risolubile almeno in alcuni casi particolari, ad esempio quando i coefficienti sono costanti.

Enunciamo un altro importante teorema che utilizzeremo nel seguito. Esso mette in relazione l'integrale generale di una generica ED lineare nella forma (8.1) con quello della corrispondente equazione omogenea (8.3).

7(25(0$��LQWHJUDOH�JHQHUDOH�GL�XQ('�OLQHDUH�QRQ�RPRJHQHD�LQ�IRUPD�QRUPDOH�� 'DWD�

O('��������VL�FRQVLGHUL�GDSSULPD�OD�FRUULVSRQGHQWH�('�RPRJHQHD��������H�VL�VXSSRQJD�GL�FRQRVFHUH�XQD� EDVH� GHOOR� VSD]LR� GHOOH� VROX]LRQL�� 6LD� LQROWUH� )([\ XQD� VROX]LRQH� SDUWLFRODUH� GHOOHTXD]LRQH�FRPSOHWD��������$OORUD�OLQWHJUDOH�JHQHUDOH�GL�WDOH�HTXD]LRQH�q�GDWR�GDOOD�IRUPXOD�

��� )()()()( 2211 [\[XF[XF[XF\ �� ++++= � . In altre parole, l'integrale dell'equazione non omogenea si ottiene sommando all'integrale

generale dell'omogenea una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Si pone quindi il problema di determinare una tale soluzione particolare \ , una volta che siano note le funzioni X1, X2, ..., X� . Questo problema sarà risolto in paragrafi successivi.

����('�OLQHDUL�RPRJHQHH�GL�RUGLQH�Q�D�FRHIILFLHQWL�FRVWDQWL�

Come già accennato sopra, questo è uno dei pochi casi in cui è possibile (a parte difficoltà

"algebriche") determinare esplicitamente Q� soluzioni indipendenti dell'ED lineare omogenea, e perciò scriverne l'integrale generale.

Sia data un'ED lineare omogenea a coefficienti costanti, cioè un'equazione del tipo

0’1)1(

1)( =++++ −

− \D\D\D\ ���� � , (9.1)

dove D1, D2, ..., D� sono Q costanti assegnate (perciò è ancora un'equazione del tipo (8.3), dove però i coefficienti sono funzioni costanti su tutto 5). Per determinare una base dello spazio delle sue soluzioni, cominciamo col vedere se essa ammette qualche soluzione del tipo \ = Hα� . Essendo \ = αHα� ,�\

= α2Hα� ,�ed in generale \(

�) = α

�

Hα� , sostituendo nella (9.1) si trova

( ) 0111 =+α++α+α α−− ����� HDDD � , che, essendo Hα� ≠ 0, equivale all'equazione algebrica

011

1 =+α++α+α −− ��

��DDD � , (9.2)

che si può scrivere 3(α) = 0, se si indica con 3(α) il polinomio ����� HDDD α−− +α++α+α 111 � , ottenuto sostituendo nel primo membro della (9.1) le derivate di \ con le rispettive potenze di α. Esso viene chiamato SROLQRPLR� FDUDWWHULVWLFR dell'equazione (9.1), mentre la (9.2) viene detta HTXD]LRQH�FDUDWWHULVWLFD dell'equazione differenziale (9.1).

Dunque la funzione Hα� è soluzione della (9.1) se il numero α è una delle radici dell'equazione caratteristica (9.2); osserviamo inoltre che se α ≠ β le due funzioni Hα� ed Hβ� sono linearmente indipendenti, e più in generale se i numeri α1, α2, ..., α� sono tutti distinti allora le funzioni

�H 1α , �H 2α , ..., ��Hα sono linearmente indipendenti. Questo ci consente di scrivere l'integrale generale

della (9.1) nel caso particolare in cui le radici dell'equazione (9.2) sono tutte reali e distinte: in tal

caso le Q funzioni �H[X 1)(1 α= , �H[X 2)(2 α= , ...,

��

�H[X α=)( sono Q soluzioni indipendenti dell'equazione (9.1), per cui l'integrale generale della (9.1 è:

�

�� HFHFHF\ ααα +++= �21 21 .

Tuttavia, solo in casi particolari l'equazione caratteristica presenterà Q radici reali e distinte. In

generale, dobbiamo aspettarci che essa presenti U radici reali distinte, di cui la prima α1 appare con molteplicità λ1, la seconda α2 appare con molteplicità λ2, ..., l'ultima α� con molteplicità λ� , e che inoltre vi siano V coppie distinte di radici complesse coniugate, diciamo β1 ± Lγ1 con molteplicità µ1, β2 ± Lγ2 con molteplicità µ2, ..., infine β� ± Lγ� con molteplicità µs. In altre parole, l'equazione caratteristica si può scrivere nella forma

( ) ( ) ( ) ⋅α−αα−αα−α λλλ ��21 21 ( ) ( ) ( ) 0)(2(2(2 222222222212112 21 =γ+β+αβ−αγ+β+αβ−αγ+β+αβ−α⋅ µµµ �����

In questo caso è ancora possibile determinare Q soluzioni indipendenti della (9.1), con le

regole riportate di seguito. Vediamo dapprima il caso dell'equazione del secondo ordine, cioè $\� + %\ + &\ = 0. (9.3) In questo caso l'equazione caratteristica assume la forma $α2 + %α + & = 0, (9.4)

e quindi si hanno i seguenti casi: 1) %2 − 4$& > 0, perciò due radici α1 e α2 reali e distinte. Le funzioni esponenziali �H 1α e �H 2α sono

due soluzioni indipendenti della (9.3), per cui l'integrale generale è

�� HFHF\ 21 21 αα += . 2) %2 − 4$& = 0, perciò la (9.4) ammette una sola radice reale α, di molteplicità 2. Una soluzione è

senz'altro �Hα , mentre un'altra soluzione indipendente da questa è �[Hα . Perciò l'integrale

generale è

��� H[FF[HFHF\ ααα +=+= )( 2121 .

3) %2 − 4$& < 0, perciò la (9.4) ammette le due radici complesse β + γL e β − γL. Essendo questi numeri complessi distinti, si potrebbe ancora utilizzare uno schema simile a quello del primo caso e scrivere le due soluzioni della base come

��H )( γ+β e ��H )( γ−β , cioè rispettivamente � �� HH γβ ed

� �� HH γ−β . Tuttavia è possibile evitare di scrivere esponenziali complessi, in quanto esistono

due funzioni reali linearmente indipendenti che soddisfano la (9.3), cioè [H � γβ cos ed [H � γβ sen (10). In conclusione, l'integrale generale è

)sencos(sencos 2121 [F[FH[HF[HF\

���

γ+γ=γ+γ= βββ . Nel caso particolare che le radici siano immaginarie pure, ovvero β = 0, l'espressione precedente si riduce a [F[F\ γ+γ= sencos 21 . (6(03,2���$��Risolvere l'equazione differenziale 02 =−′+′′ \\\ . SOLUZIONE. L'equazione caratteristica è α2 + α − 2 = 0, le cui radici sono α1 = −2 e α2 = 1.

Perciò l'integrale generale è �� HFHF\ 221 −+= .

(6(03,2���%��Risolvere il problema di Cauchy ( )

−=′=

=+′−′′

.5)0(

10

044

\\

\\\

SOLUZIONE. L'equazione caratteristica è 4α2 − 4α + 1 = 0, da cui 2

121 =α=α . Perciò

l'integrale generale è 222

1

��

[HFHF\ += . Siccome poi è 22221 22��

[HFHFF\ +

+=′ , imponendo le

condizioni iniziali troviamo il sistema

+=−

=

,2

5

1

21

1

FFF

da cui F1 = 1 e 2

112 −=F . In conclusione, la

soluzione è 2222

112

2

11���

H[[HH\ −=−= .

(6(03,2���&��Risolvere il problema di Cauchy ( )

=′=

=+′+′′

.2)0(

00

074

\\

\\\

SOLUZIONE. L'equazione caratteristica è α2 + 4α + 7 = 0, per cui abbiamo le due radici

complesse 321 L−−=α e 322 L+−=α . Perciò l'integrale generale è )3(sen)3cos( 22

21 [HF[HF\

�� −− += . Siccome poi è ( ) +−=′ − )3cos(23 212 [HFF\ � ( ) )3cos(23 221 [HFF −+− , imponendo le condizioni iniziali troviamo il sistema

−==

,232

0

12

1

FFF

da cui F1 = 0 e 3

22 =F . In conclusione, la soluzione è )3(sen

3

2 2 [H\ −= . Ora consideriamo il caso dell'ED lineare a coefficienti costanti (9.1) di ordine qualsiasi, la cui

equazione caratteristica è la (9.2). Supponiamo di conoscere tutte le radici reali e complesse di tale

10 Il legame tra esponenziali complessi e funzioni goniometriche è dovuto al fatto che l'esponenziale nel campo complesso si può definire (e conserva le stesse proprietà formali) proprio utilizzando le funzioni seno e coseno. Si pone infatti H� = H� + � = H� (cos \ + Lsen \).

equazione caratteristica con le loro molteplicità, come detto sopra. Possiamo allora dare le seguenti regola per l'individuazione delle Q soluzioni indipendenti della (9.1) che ci consentono di scriverne esplicitamente l'integrale generale:

• per ogni radice reale α semplice si consideri la funzione Hα� ; • per ogni radice reale α di molteplicità U ≥ 2 si considerino le U funzioni Hα� , [Hα� , [2Hα� , ...,

[� -1eα� . • per ogni coppia di radici complesse coniugate β + γL e β − γL di molteplicità 1, si considerino

le due funzioni [H � γβ cos ed [H � γβ sen ; nel caso particolare β = 0 tali funzioni si riducono a [γcos e [γsen ;

• per ogni coppia di radici complesse coniugate β + γL e β − γL di molteplicità U ≥ 2 si considerino le 2U funzioni

,cos,,cos,cos 1 [H[[[H[H ���� γγγ β−ββ � [H[[[H[H ���� γγγ β−ββ sen,,sen,sen 1� ,

funzioni che nel caso particolare β = 0 si riducono a [[[[[ � γγγ − cos,,cos,cos 1� e [[[[[ γγγ − sen,,sen,sen 1� .

(6(03,2���'��Risolvere l'equazione differenziale 0514122 =−′−′′−′′′− \\\\\ � . SOLUZIONE. L'equazione caratteristica in questo caso è α4 − 2α3 − 12α2 − 14α − 5 = 0, le

cui radici sono α1 = α2 = α3 = −1 e α4 = 5. Alla radice tripla −1 corrispondono le tre funzioni �HX −=1 ,

[HX −=2 e �H[X −= 23 , mentre alla radice semplice 5 corrisponde la funzione

HX 54 = . Perciò l'integrale generale dell'equazione proposta è

( ) ������ HFH[F[FFHFH[F[HFHF\ 542321542321 +++=+++= −−−− .

(6(03,2���(��Risolvere il problema di Cauchy

==′′′=′′

−=′−=

=−′+′′−′′′+−

.2)0(

1)0(

0)0(

1)0(

2)0(

0161688

)4(

)4()5(

\\\\\

\\\\\\

SOLUZIONE. L'equazione caratteristica è α5 − α4 + 8α3 − 8α2 + 16α − 16 = 0, cioè

(α − 1)(α2 + 4)2 =0; si hanno quindi la radice reale 1 (semplice) e le radici complesse ±2L (di molteplicità 2). Applicando le regole enunciate sopra, troviamo l'integrale generale

[[F[[F[F[FHF\ � 2sen2cos2sen2cos 54321 ++++= ,

che si può anche scrivere come [[FF[[FFHF\ � 2sen)(2cos)( 53421 ++++= .

Per imporre le condizioni iniziali, deriviamo quattro volte: ;2sen)22(2cos)22( 4255431 [[FFF[[FFFHF\

�−−++++=′

;2sen)444(2cos)444( 5434251 [[FFF[[FFFHF\�

++−−−+=′′ ;2sen)8128(2cos)8128( 4525431 [[FFF[[FFFHF\

�+−+++−=′′′

[[FFF[[FFFHF\ � 2sen)163216(2cos)163216( 5434521)4( ++++−+= . Abbiamo quindi il sistema

−+=−−=−+=

++=−+=−

,32162

1281

440

21

2

521

431

251

431

21

FFFFFFFFFFFF

FF

la cui soluzione è 5

61 −=F , 5

42 −=F , 80

233 =F , 8

34 −=F , 2

15 −=F . Perciò la soluzione del

problema di Cauchy è [[[[H\ � 2sen2

1

80

232cos

8

3

5

4

5

6

−+

+−−= .

(6(03,2���)��Determinare l'ED il cui integrale generale è ��� [HFHFHF\ 43421 ++= − . SOLUZIONE. Naturalmente, il problema si può risolvere uguagliando a 0 un opportuno

determinante, come si è visto alla fine del par. 3. Ma in questo caso la soluzione può essere trovata in modo ancora più sbrigativo, osservando che le funzioni che appaiono nell'integrale generale dato sono proprio quelle che si ottengono risolvendo un'ED lineare omogenea a coefficienti costanti. Precisamente, l'equazione caratteristica deve avere in questo caso la radice −1 di molteplicità 1 e la radice 4 di molteplicità 2, perciò è 0)4)(1( 2 =−α+α , cioè

01687 23 =+α+α−α . Quindi l'ED cercata è 01687 =+′+′′−′′′ \\\\ . (6(03,2� ��*�� Determinare l'ED il cui integrale generale è

[[HF[[HF[HF[HF[FF\ ���� 3sen3cos3sen3cos 654321 +++++= . SOLUZIONE. Si procede come nell'esempio precedente: l'equazione caratteristica deve

avere la radice 0 di molteplicità 2 e la coppia di radici 1 ± 3L di molteplicità 2. Perciò l'equazione caratteristica è [ ] 0)31)(31( 22 =+−α−−αα LL , ovvero 0)102( 222 =+α−αα , che svolta dà

010040244 23456 =α+α−α+α−α . Da ciò l'ED 010040244 )4()5()6( =′′+′′′−+− \\\\\ . 2VVHUYD]LRQH� Si noti bene che è possibile applicare il procedimento visto negli ultimi due

esempi solo quando l'integrale generale dato è quello di un'ED lineare a coefficienti costanti. Perché ciò sia vero, è necessario non solo che esso sia la combinazione lineare di funzioni esponenziali o goniometriche dei tipi visti sopra, ma anche che, qualora vi sia una funzione del tipo [ � Hα� , appaiano anche le funzioni Hα� , [Hα� , ..., [� -1Hα� . Per quanto riguarda poi le funzioni goniometriche, è chiaro che ogni funzione dell'integrale generale del tipo Hβ� cosγ[ (eventualmente con β = 0) deve essere accompagnata dalla corrispondente Hβ� senγ[, e che inoltre se vi sono

funzioni [� Hβ� cosγ[ ed [� Hβ� senγ[, siano presenti anche le funzioni [� Hβ� cosγ[ ed [� Hβ� senγ[ per WXWWL gli esponenti N compresi tra 0 e S − 1. Se queste condizioni non sono verificate, l’ED che ha come integrale generale una combinazione lineare di Q funzioni date sarà ancora lineare omogenea, ma D�FRHIILFLHQWL� YDULDELOL, e per individuarla converrà uguagliare a zero un determinante, come si è visto alla fine del par. 3. Ad esempio, l'integrale generale

���� HFH[F[HFHF\ 242321 +++= è quello di un'ED lineare omogenea del quarto ordine a coefficienti costanti (basta imporre che l'equazione caratteristica ammetta la radice 1 tripla e la radice 2 semplice), mentre l'integrale generale

��� HFH[FHF\ 23221 ++= è quello di un'ED lineare omogenea, ma QRQ a coefficienti costanti, perché se così fosse dovrebbe apparire nell'integrale generale anche la funzione [H� . Per determinare l'ED richiesta occorre allora procedere come si è visto nel par. 3, e quindi scrivere

0

842

)66()24()2(2222

2222 =+++++

′′′′′′

����

����

����

HHHHH[[H[[H[[H[

HHHH\\\\

.

Analogamente, l'integrale generale [HF[HF\ �� 3sen2cos 21 += non può essere quello di

un'ED a coefficienti costanti, perché mancano le funzioni [H � 2sen ed [H � 3cos . Anche in questo caso è possibile trovare l'ED richiesta, risolvendo un opportuno determinante del terzo ordine: si troverà così un'ED lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti variabili.

����6ROX]LRQH�GL�XQ('�OLQHDUH�QRQ�RPRJHQHD��PHWRGR�GHL�FRHIILFLHQWL�LQGHWHUPLQDWL��Secondo quanto è stato enunciato alla fine del par. 8, per risolvere un'ED lineare non

omogenea è necessario sommare all'integrale generale della corrispondente equazione omogenea una soluzione particolare dell'ED data. Si pone quindi il problema, una volta noto l'integrale generale dell'equazione omogenea, di determinare una soluzione particolare dell'equazione "completa".

In questo paragrafo vediamo alcune tecniche che consentono di risolvere il problema per un'ED lineare a coefficienti costanti, quando il secondo membro I([) appartiene ad alcune particolari classi di funzioni. Questo metodo viene chiamato PHWRGR�GHL�FRHIILFLHQWL�LQGHWHUPLQDWL.

(6(03,2����$� Determinare l'integrale generale dell'ED �H\\\ 422 −=−′−′′ . SOLUZIONE. Applicando i procedimenti visti nel paragrafo precedente, vediamo

immediatamente che l'integrale generale della corrispondente ED omogenea (cioè 02 =−′−′′ \\\ ) è HFHF 221 +− . Ora, per quanto riguarda la ricerca di una particolare funzione \

che sia soluzione dell'equazione omogenea data, osserviamo che le derivate successive della funzione H-4 sono (a meno di fattori costanti) ancora H-4 . Perciò l'idea più semplice è quella di considerare come soluzione particolare la funzione

�$H\ 4−= , dove $� è una costante da determinare. Risulta

�$H\ 44 −−=′ e �$H\ 416 −=′′ , per cui, sostituendo nell'ED data, si trova

H$H$H$H 4444 22416 −−−− =−+ ,

da cui 9

1=$ . Dunque la soluzione particolare cercata è 9

4 �H\−

= , e di conseguenza l'integrale

generale dell'ED data è 9

42

21

��� HHFHF\

−− ++= .

(6(03,2����%� Determinare l'integrale generale dell'ED 18126 2 −=+′+′′+′′′ [\\\\ . SOLUZIONE. L'integrale generale dell'ED omogenea è

��� H[F[HFHF 2232221 −−− ++ . Dato che le derivate successive di un polinomio danno polinomi di grado via via decrescente, questa volta poniamo come soluzione particolare &%[$[\ ++= 2 , con $, %, & costanti da determinare. Risulta %$[\ +=′ 2 , $\ 2=′′ e 0=′′′\ , per cui, sostituendo nell'ED data, si trova

1)(8)2(1226 22 −=+++++⋅ [&%[$[%$[$ ,

il che dà luogo al sistema

−=++=+

=

.181212

0824

18

&%$%$

$ Essendo la soluzione di tale sistema

8

1=$ ,

8

3−=% , 4

1=& , la soluzione particolare è 8

232 +−= [[\ , perciò l'integrale generale è

8

232223

22

21

+−+++= −−− [[H[F[HFHF\ ��� .

(6(03,2����&� Risolvere il problema di Cauchy

=′

==+′+′′

.2

7)1(

8)1(

65 2

H\H\

H[\\\ �.

SOLUZIONE. L'integrale generale dell'ED omogenea è

�� HFHF 3221 −− + . Questa volta il secondo membro è del tipo S([)Hα� , dove S([) è un polinomio di secondo grado. Scegliamo allora come \ una funzione dello stesso tipo, dato che le derivate successive di T([)�Hα� , con T polinomio di grado Q, sono ancora funzioni dello stesso tipo. Posto allora �H&%[$[\ )( 2 ++= , abbiamo

�H&%[$%$[\ ))()2(( 2 ++++=′ e H&%$[%$$[\ ))22()4(( 2 +++++=′′ ; sostituendo,

troviamo il sistema

=++=+

=

,01272

01214

112

&%$%$

$ la cui soluzione è

12

1=$ , 72

7−=% , 864

37=& . Si ha

quindi la soluzione particolare

H[[\

864

378472 2 +−= , ed infine l'integrale generale

��� H[[HFHF\864

378472 232

21

+−++= −− .

La derivata di questa generica soluzione è ��� H[[HFHF\

864

47607232

23

22

1

−++−−=′ −− ,

perciò le condizioni iniziali danno luogo al sistema

=+−−

=++

,2

7

864

8532

8864

25

32

21

32

21

HHHF

HF

HHHF

HF

la cui soluzione è

31 54

1475 HF = , 42 32619 HF −= . In conclusione, la soluzione del problema di Cauchy è

��� H[[HH\

864

378472

32

619

54

1475 23423 +−+−= −− .

(6(03,2����'� Determinare l'integrale generale dell'ED [[\\\ 3sen5cos2312 −=−′+′′ . SOLUZIONE. L'integrale generale dell'ED omogenea è

�� HFHF 4231 −+ . Ora, considerando che il secondo membro è una combinazione lineare di sen3[ e di cos3[, e che le derivate di tale funzioni danno ancora combinazioni di sen3[ e cos3[, poniamo [%[$\ 3sen3cos += . Derivando due volte abbiamo [%[$\ 3cos33sen3 +−=′ e [%[$\ 3sen93cos9 −−=′′ , e sostituendo nell'ED:

( ) ( ) ( ) [[[%[$[%[$[%[$ 3sen53cos23sen3cos123cos33sen33sen93cos9 −=+−+−+−− ,

cioè ( ) [[[$%[%$ 3sen53cos23sen)321(3cos321 −=−−++− , da cui il sistema

−=−−=+−

.5213

2321

%$%$

(11) Troviamo così 50

3−=$ e 150

37=% , da cui l'integrale generale

[[HFHF\ �� 3sen150

373cos

50

342

31 +−+=

− .

Per concludere questo esempio, notiamo che se il secondo membro avesse presentato solo una

delle due funzioni cos3[ e sen3[, avremmo FRPXQTXH dovuto considerare come \ una combinazione lineare delle due funzioni, cioè la stessa \ considerata in questo esempio.

Gli esempi precedenti suggeriscono che quando I([) si presenta in una forma "semplice",

come un esponenziale Hα� , eventualmente moltiplicato per un polinomio, oppure una combinazione lineare di funzioni goniometriche con argomenti lineari, o altre funzioni simili (cioè dello stesso tipo di quelle che costituiscono gli integrali generali di ED lineari omogenee a coefficienti costanti), possiamo cercare una soluzione particolare dello stesso tipo. Più avanti daremo uno schema completo per la ricerca di \ in tutti questi casi; nel frattempo però notiamo che non sempre la risoluzione è così semplice, perché talvolta non è possibile trovare una \ del tipo cercato.

(6(03,2����(� Determinare l'integrale generale dell'ED �H\\\ 22 =−′−′′ .

11 Il fatto che le due funzioni I([) = sen3[ e J([) = cos3[ sono linearmente indipendenti in tutto 5 implica che due loro combinazioni lineari 0I([) + 1J([) e 3I([) + 4J([) siano identiche se e solo se 0 = 3 ed 1 = 4.

SOLUZIONE. L'ED omogenea è la stessa dell'esempio 10.A, perciò già sappiamo che il suo integrale generale è

�� HFHF 221 +− . Possiamo pensare di procedere come sopra, ovvero porre �$H\ 2= . Essendo �$H\ 22=′ e �$H\ 24=′′ , troviamo

���� H$H$H$H 2222 224 =−− ,

che però è un'equazione assurda, in quanto il primo membro è identicamente nullo. La differenza rispetto all'esempio 10.A è che in quel caso il secondo membro era

�H 42 − , mentre questa volta è �H2 , funzione che già fa parte dell'integrale generale dell'omogenea. Il problema si risolve ponendo

�$[H\ 2= , da cui �H[$\ 2)21( +=′ e H[$\ 2)44( +=′′ . Sostituendo nell'ED data, troviamo:

H$[HH[$H[$ 2222 2)21()44( =−+−+

Eliminando il fattore �H2 , dobbiamo uguagliare un binomio di primo grado ad un numero,

cosicché può sembrare di avere un sistema sovradeterminato. In realtà, se i calcoli sono eseguiti correttamente, il coefficiente di [ deve risultare 0, perciò si deve ottenere una sola equazione nell'incognita $. Infatti si ha 3$ = 1, da cui

3

1=$ , e quindi la soluzione particolare è 3

2 �[H\ = . In

conclusione, l'integrale generale è 3

22

21

��� [HHFHF\ ++= − .

(6(03,2����)� Determinare l'integrale generale dell'ED H[[\\\ )5(2 45 −=+′−′′ . SOLUZIONE. L'integrale generale dell'omogenea è

�� [HFHF 21 + . Nell'esempio 10.C si è visto che quando I([) è del tipo S([)Hα� , con S([) polinomio di grado P, occorre scegliere come \ una funzione dello stesso tipo. Perciò nel nostro caso si può pensare di porre

�H)(['[&[%[$[\ )( 2345 +++++= . Ma qui abbiamo una difficoltà simile a quella dell'esempio precedente: le funzioni

�H ed �[H rientrano nell'integrale generale dell'omogenea, perciò non possono apparire nella \ . Il problema si risolve moltiplicando tutto per [2 (perché 2 è la molteplicità della radice α = 1 nell'equazione caratteristica). Abbiamo allora:

�H)[(['[&[%[$[\ )( 234567 +++++= ; �H)[[)([('['&[&%[%$$[\ )2)3()4()5()6()7(( 234567 +++++++++++=′ ;

+++++++++=′′ 4567 )1030()1242()14(( ['&%[&%$[%$$[\

�H)[)([)('[('& )2)46()612()820( 23 +++++++++ . Perciò sostituendo nell'ED abbiamo

++++++++++++ 34567 )820()1030()1242()14(( [('&['&%[&%$[%$$[ ++++++++++++ 34567 )820()1030()1242()14(( [('&['&%[&%$[%$$[

++−+−+−−++++++ 45672 )210()212()214(22)46()612( ['&[&%[%$$[)[)([)(' 4523456723 54)26()28( [[)[(['[&[%[$[)[[)([(' −=++++++−+−+− .

Anche qui osserviamo che nel primo membro i termini in [7 e in [6 si eliminano, cosicché

otteniamo il sistema

====

−==

,02

06

012

020

530

142

)('&%$

dal quale otteniamo immediatamente la soluzione particolare �H[[\

−=

642

67

, e quindi l’integrale

generale �H[[[FF\

−++=

642

67

21 .

(6(03,2����*� Determinare l’integrale generale dell’ED [[[\\ 4sen4cos16 +=+′′ . SOLUZIONE. L'integrale generale dell'omogenea è [F[F 4sen4cos 21 + . In questo caso

abbiamo una combinazione lineare di cos 4[ e di sen 4[, con coefficienti polinomiali di grado 1 (in realtà il coefficiente di sen 4[ sarebbe di grado 0, ma prevale il grado più alto). In generale dovremmo scrivere ['&[[%$[\ 4sen)(4cos)( +++= , ma qui la coppia di radici ±4L� appare nell'equazione caratteristica con molteplicità 1, perciò la forma corretta di \ si ottiene moltiplicando tutto per [. Abbiamo quindi:

['[&[[%[$[\ 4sen)(4cos)( 22 +++= ; ( ) ( ) ['[%&$[[%['$&[\ 4sen)42(44cos)42(4 22 +−+−++++=′ ;

[%&['$&[['$[%&$[\ 4sen)82)1616(16(4cos)82)1616(16( 22 −++−−+++−+−=′′ . Sostituendo nell'ED abbiamo

+−++−−+++−+− [%&['$&[['$[%&$[ 4sen)82)1616(16(4cos)82)1616(16( 22 [[[['[&[[%[$[ 4sen4cos4sen)(164cos)(16 22 +=++++ .

Anche qui i termini di secondo grado si cancellano, per cui siamo condotti all'uguaglianza

[[[[%&$[['$&[ 4sen4cos4sen)8216(4cos)8216( +=−+−+++ ,

che è identicamente verificata per $ = ' = 0, 64

7−=% , 16

1=& . Si ha così l'integrale generale

[[F[[F\ 4sen16

4cos64

7 221

++

−= .

(6(03,2����+� Determinare l'integrale generale dell'ED [H\\\ � 3sen134 =+′−′′ . SOLUZIONE. L'integrale generale dell'omogenea è [HF[HF\ �� 3sen3cos 2221 += . Ora, se il

secondo membro è dato da un esponenziale Hβ� moltiplicato per una combinazione lineare di sen γ[

e di cosγ[, in generale occorre cercare una \ della stessa forma; perciò in questo caso poniamo )3sen3cos( [%[$H\ � += . Essendo poi )3sen)3(3cos)3(( [$%[%$H\ � −++=′ e

)3sen)86(3cos)86(( [%$[$%H\ � +−−=′′ , sostituendo abbiamo

=++−++−+−− )3sen3cos(13)3sen)3(3cos)3((43sen)86(3cos)86( [%[$[$%[%$[%$[$% [3sen= ,

il che porta al sistema

=+−=−

.1918

06

%$%$

Troviamo così 33

2−=$ e 99

1−=% , da cui l'integrale

generale )3sen3cos6(99

)3sen3cos( 212 [[H[F[FH\

��

+−+= .

Per completare quest'ultimo esempio, osserviamo che se l'ED è [H\\\ � 3sen134 2=+′−′′ , ci

troviamo di fronte ad una difficoltà analoga a quella vista negli ultimi esempi, in quanto la funzione a secondo membro fa parte dell'integrale generale dell'equazione omogenea. In tal caso si sceglierà )3sen3cos( [%[[$[H\ � += . In generale, se il secondo membro è dato da un esponenziale Hβ� moltiplicato per una combinazione lineare di sen γ[ e di cosγ[, occorre controllare se la coppia di radici complesse β ± γL appare tra le radici dell'equazione caratteristica; se ciò QRQ si verifica, allora si pone )sencos( [%[$H\ � γ+γ= β , se invece i numeri suddetti sono radici di molteplicità U�dell'equazione caratteristica, si dovrà porre )sencos( [%[$H[\ � γ+γ= β . In modo analogo ci si regola se I([) è del tipo )sen)(cos)(( [[T[[SH γ+γβ , dove S([) e T([) sono due polinomi. Lo schema seguente riassume tutti i casi in cui è applicabile il metodo dei coefficienti indeterminati.

• I([) = S([), polinomio di grado P (eventualmente P = 0).

Se 0 non è radice dell'e.c., allora \ = polinomio di grado P (perciò P�+ 1 coeffic. indet.); se 0 è radice dell'e.c. di molteplicità U, allora \ = [ � ⋅ polinomio di grado P.

• I([) = Hα� . Se α non è radice dell'e.c., allora

�$H\ α= ; se α è radice dell'e.c. di molteplicità U, allora � H$[\ α= .

• I([) = S([)Hα� (S polinomio di grado P). Se α non è radice dell'e.c., allora

�H\ α= ⋅ polinomio di grado P. se α è radice dell'e.c. di molteplicità U, allora �� H[\ α= ⋅ polinomio di grado P.

• I([) = 3cosγ[ + 4senγ[ (3, 4 costanti, eventualmente una delle due nulla); Se ±γL non sono radici dell'e.c., allora [%[$\ γ+γ= sencos ; se ±γL sono radici dell'e.c. di molteplicità U, allora )sencos( [%[$[\ � γ+γ= .

• I([) = Hβ� (3cosγ[ + 4senγ[); Se β±γL non sono radici dell'e.c., allora )sencos( [%[$H\ � γ+γ= β ; se β±γL sono radici dell'e.c. di molteplicità U, allora )sencos( [%[$H[\ �� γ+γ= β .

• I([) = S([)cosγ[ + T([)senγ[ (S, T polinomi il cui massimo grado è P); Se ±γL non sono radici dell'e.c., allora [[0[[/\ γ+γ= sen)(cos)( , dove /([) e 0([) sono due

polinomi ciascuno di grado P; se ±γL sono radici dell'e.c. di molteplicità U, allora )sen)(cos)(( [[0[[/[\ � γ+γ= , /([) ed

0([) come sopra.

• I([) = Hβ� (S([)cosγ[ + T([)senγ[) (S, T polinomi il cui massimo grado è P); Se β±γL non sono radici dell'e.c., allora )sen)(cos)(( [[0[[/H\ � γ+γ= β , con /([) e 0([)

polinomi di grado P; se β±γL sono radici dell'e.c. di molteplicità U, allora )sen)(cos)(( [[0[[/H[\ �� γ+γ= β ,

/([) ed 0([) come sopra.

Occorre però osservare che nei casi più complessi (come ad esempio l'ultimo), il metodo dei coefficienti indeterminati, per quanto applicabile, può non essere conveniente a causa del gran numero di calcoli che occorre eseguire. Ad esempio, si consideri l'ED

2sen)21(2cos)1(1116112 332 [H[[H[\\\\ �� −++=+′+′′−′′′ ;

si vede facilmente che le radici dell'equazione caratteristica sono 2

1− e 23 L± , per cui l'integrale

generale dell'omogenea è 2sen2cos 333

22

1 [HF[HFHF��

�

++−

. Ora, il termine noto I([) ricade nel caso più generale, quello in cui appaiono insieme polinomi, esponenziali e funzioni goniometriche.

Considerando poi che i numeri 23 L± sono radici (di molteplicità 1) dell'equazione caratteristica, dovremmo cercare una soluzione particolare del tipo

]2sen)(2cos)[( 23233 [&[%[$[[&[%[$[H\ � +++++= , ma è chiaro che il calcolo delle prime tre derivate di questa funzione e la successiva sostituzione nell'ED data risultano oltremodo faticosi. In un caso come questo è senz'altro più conveniente il metodo che sarà descritto nel paragrafo successivo.

����6ROX]LRQH�GL�XQ('�OLQHDUH�QRQ�RPRJHQHD��PHWRGR�GHOOD�YDULD]LRQH�GHOOH�FRVWDQWL��A parte le difficoltà di calcolo, il procedimento visto nel paragrafo precedente presenta un

sostanziale limite: in primo luogo, si può applicare solo alle ED lineari a coefficienti costanti; inoltre, esso funziona solo se il secondo membro assume una delle forma particolari viste sopra (o una somma di esse).

In questo paragrafo diamo un metodo più generale per determinare una soluzione particolare di un'ED lineare non omogenea in forma normale a coefficienti qualsiasi, nell'ipotesi che sia noto l'integrale generale della corrispondente equazione omogenea.

Premettiamo una definizione importante. Date Q funzioni X1([), X2([), …, X� ([), derivabili Q�− 1 volte in un intervallo ,, si può definire su , la seguente funzione:

′′′

=

−−− )()()(

)()()(

)()()(

)(

)1()1(2

)1(1

21

21

[X[X[X

[X[X[X[X[X[X

[:�

�

��

�

�

�

����

�

�

, (11.1)

che viene chiamata PDWULFH� ZURQVNLDQD relativa alle Q funzioni date. Si osservi che la matrice wronskiana è una "funzione matriciale", nel senso che è una matrice quadrata di ordine Q� i cui elementi non sono numeri ma funzioni di [ (si potrebbe anche dire che :([) associa a ciascun [ in , una certa matrice Q × Q).

La funzione det :([), ovvero il determinante di :([) (anch’esso in generale dipendente da [) verrà chiamato GHWHUPLQDQWH�ZURQVNLDQR (o semplicemente "wronskiano") delle Q funzioni date, ed indicato con il simbolo Z([).

In particolare, per Q = 2 la matrice wronskiana assume la semplice forma

′′

=)()(

)()()(

21

21

[X[X[X[X[: ,

e si ha in tal caso )()()()()( 2121 [X[X[X[X[Z ′−′= .

Come abbiamo osservato, per definire :([), e quindi Z([), basta considerare Q funzioni derivabili Q − 1 volte in ,; se però le funzioni X1([), X2([), …, X� ([) sono Q soluzioni indipendenti di un'ED lineare omogenea a coefficienti costanti, allora un teorema ci assicura che LO�GHWHUPLQDQWH�ZURQVNLDQR� Z�[�� QRQ� q�PDL� QXOOR� LQ� ,� (cioè che la matrice :([) è non singolare comunque si scelga [ in ,). Ciò è molto importante, perché nel seguito si considereranno sistemi lineari in cui la matrice dei coefficienti è proprio :([).

Cominciamo ora ad illustrare il metodo della variazione delle costanti, considerando dapprima

per semplicità il caso Q = 2. Sia allora )()()( [I\[E\[D\ =+′+′′ (11.2)

una generica equazione lineare non omogenea in forma normale, con D, E, I funzioni continue in ,. Supponiamo di conoscere l'integrale generale dell'equazione omogenea 0)()( =+′+′′ \[E\[D\ , espresso nella forma \ = F1X1([) + F2X2([); per quanto osservato sopra, il wronskiano di X1([) e X2([) è sempre diverso da zero in ,.

L'idea è la seguente: cerchiamo una soluzione \ dell'equazione (11.2) nella forma

)()()()( 2211 [X[Y[X[Y\ += , (11.3) dove i coefficienti Y1([) e Y2([) sono due funzioni da determinare. In altre parole, si sostituiscono le costanti dell'integrale generale con due quantità variabili con [ (perciò si parla di "variazione delle costanti).

Supponendo che Y1 e Y2 siano derivabili in ,, possiamo scrivere

)()()()()()()()( 22112211 [X[Y[X[Y[X[Y[X[Y\ ′+′+′+′=′ . (11.4)

Ora, i coefficienti da determinare sono due, perciò oltre ad imporre che la (11.3) sia una soluzione particolare della (11.2), possiamo imporre un'ulteriore condizione restrittiva, allo scopo di semplificare i calcoli successivi. Precisamente, poniamo

0)()()()( 2211 =′+′ [X[Y[X[Y , (11.5) cosicché la (11.4) diventa )()()()( 2211 [X[Y[X[Y\ ′+′=′ . (11.6)

Ora deriviamo la (11.6):

)()()()()()()()( 22112211 [X[Y[X[Y[X[Y[X[Y\ ′′+′′+′′+′′=′′ , (11.7) ma questa volta imponiamo la condizione )()()()()( 2211 [I[X[Y[X[Y =′′+′′ , (11.8) cosicché la (11.7) diventa )()()()()( 2211 [X[Y[X[Y[I\ ′′+′′+=′′ . (11.9)

Ora, utilizzando le formule (11.3), (11.6) e (11.9), si vede facilmente che in effetti \ è una soluzione particolare della (11.2). Infatti, sostituendo nel primo membro della (11.2), si trova:

( ) ( )=++′+′+′′+′′+ )()()()()()()()()()()()()()()( 221122112211 [X[Y[X[Y[E[X[Y[X[Y[D[X[Y[X[Y[I

[ ] [ ])()()()()()()()()()()()()( 22221111 [X[E[X[D[X[Y[X[E[X[D[X[Y[I +′+′′++′+′′+= .

Ma per ipotesi X1 e X2 sono due soluzioni dell'equazione omogenea associata alla (11.2), perciò le espressioni tra quadre sono entrambe nulle. Ciò significa che il risultato è I([), cioè appunto che \ è una soluzione particolare della (11.2).

Rimangono allora da determinare esplicitamente le funzioni Y1 e Y2 che appaiono come coefficienti nella (11.3). Ricordiamo a tale scopo che nel corso del procedimento abbiamo posto due condizioni, che ora riscriviamo come un sistema:

=′′+′′=′+′

).()()()()(

0)()()()(

2211

2211

[I[X[Y[X[Y[X[Y[X[Y

(11.10)

Visto che conosciamo X1 e X2, possiamo dire che (11.10) è un sistema lineare nelle incognite

)(1 [Y′ e )(2 [Y′ . In questo sistema la matrice dei coefficienti è proprio la :([) definita sopra, il cui determinante Z([) è sempre diverso da 0 in ,.

Possiamo allora risolvere il sistema (11.10) applicando il metodo di Cramer: sostituendo alla

prima colonna i termini noti troviamo il determinante )()(

)(0

2

2

[X[I[X

′, che vale −I([)X2([), perciò

abbiamo )(

)()()( 21 [Z

[X[I[Y −=′ ; analogamente, sostituendo alla seconda colonna di :([) i termini

noti abbiamo )()(

0)(

1

1

[I[X[X

′ = I([)X1([), perciò

)(

)()()( 12 [Z

[X[I[Y =′ . In conclusione, possiamo dare per Y1([) e Y2([) le seguenti formule:

∫−= G[[Z[I[X[Y

)(

)()()( 21 ; ∫= G[[Z

[I[X[Y)(

)()()( 12 ,

dove con il simbolo di integrale indefinito indichiamo XQD qualsiasi primitiva della funzione in questione.

Riassumendo, nel caso Q�= 2, se è noto l'integrale generale F1X1([) + F2X2([) dell'equazione omogenea associata, il procedimento per individuare una soluzione particolare dell'ED non omogenea (in forma normale!) si articola nei seguenti passaggi:

- si calcola il determinante wronskiano Z([); - si calcolano i due integrali ∫−= G[[Z

[I[X[Y)(

)()()( 21 e ∫= G[[Z

[I[X[Y)(

)()()( 12 , scegliendo in

ciascuno dei due casi nel modo più semplice la costante arbitraria; - si combinano linearmente le funzioni così trovate con X1([) e X2([), così da trovare la

soluzione particolare \ .

(6(03,2� ���$�� Determinare l'integrale generale dell'ED [\\ cos1=+′′ nell'intervallo

.2

,2

ππ−=,

SOLUZIONE. L'integrale generale dell'omogenea è [F[F sencos 21 + , cosicché si trova

immediatamente 1cossen

sencos)( =

−= [[

[[[Z . Possiamo quindi effettuare il calcolo di Y1 e Y2:

[G[[[[Y coslogcos1

sen)(1 =−= ∫ ;

;cos

1cos)(2 [G[[[[Y == ∫

da ciò risulta [[[[\ sencoslogcos +⋅= . Perciò l'integrale generale è: [[[[[F[F\ sencoslogcossencos 21 +++= .

(6(03,2����%��Risolvere il problema di Cauchy

=′=

=+′−′′

.2)1(

1)1(

232

\\ [

H\\\�

SOLUZIONE. Visto il campo di esistenza di I([) e le condizioni iniziali, è chiaro che sarà , =

= (0 , +∞). L'integrale generale dell'omogenea è 2x21 eFHF�

+ , perciò �

��

��

HHHHH[Z 3

2

2

2)( == .

Abbiamo allora:

∫∫ −=−= G[[HG[H

[HH

[Y�

�

�

�

3

22

1 )( ;

[G[[G[H[HH

[Y �

�

�

log1

)(3

2

2 === ∫∫ . Il primo integrale non è elementarmente esprimibile, perciò introduciamo la funzione

∫=���

GWWH[(

1

)( , grazie alla quale possiamo scegliere come )(1 [Y la funzione −(([). Troviamo così

[HH[(\ �� log)( 2+−= , da cui l'integrale generale [HH[(HFHF\ ���� log)( 2221 +−+= . Il calcolo di \ dà [HH[(HFHF\ ���� log2)(2 2221 +−+=′ , cosicché l'applicazione delle

condizioni iniziali porta al sistema

+=+=

,22

12

21

221

HFHFHFHF

la cui soluzione è 01 =F , 221

HF = . In

conclusione, la soluzione del problema di Cauchy è [HH[(H\ ��� log2)(2 222 +−=′ − . (6(03,2����&��Determinare l'integrale generale dell'ED [[H\\\ � 3cos134 2=+′−′′ . SOLUZIONE. Questo è un caso in cui il metodo dei coefficienti indeterminati è teoricamente

applicabile, ma con calcoli molto lunghi. Infatti l'integrale generale dell'omogenea è [HF[HF 3sen3cos 2221 + . Perciò bisognerebbe cercare una soluzione particolare del tipo

( ) ( )[ ]['[&[[%[$[H\ 3sen3cos 222 +++= .

Volendo evitare calcoli eccessivamente lunghi, possiamo applicare il metodo della variazione

delle costanti. Abbiamo infatti �

��

��

H[[H[[H[H[H[Z 4

22

22

3)3cos33sen2()3sen33cos2(

3sen3cos)( =

+−= , per

cui:

∫∫ −=⋅−= [G[[[G[H

[[H[H[Y ���

3cos3sen3

1

3

3cos3sen)(

4

22

1 ;

∫∫ =⋅= [G[[G[H

[[H[H[Y

3cos3

1

3

3cos3cos)( 2

4

22

2 ;

Il primo integrale si calcola facilmente scrivendo [[[ 6sen2

13cos3sen = ; integrando per

parti, si trova [[[[Y 6sen216

16cos

36)(1 −= . Per il secondo, scriviamo 2

6cos13cos2

[[ += , da cui,

integrando ancora per parti, troviamo [[[[[Y 6cos216

16sen

3612)(

2

2 ++= . Perciò:

+++

−= [[[[[H[[[[H\ �� 6cos

216

16sen

36123sen6sen

216

16cos

363cos

222 =

++−+= [[[[[[[[[[[[H � 3sen6cos

216

13sen6sen

363cos6sen

216

13cos6cos

363sen

12

22 .

Il risultato può essere lasciato in questa forma, ma si può anche notare che

[[[[ 3sen6sen3cos6cos + è uguale a cos(6[ − 3[) = cos 3[, e che [[[[ 3sen6cos3cos6sen − è sen(6[ − 3[) = sen 3[. Perciò si può scrivere

−+= [[[[[H\ � 3sen

216

13cos

363sen

12

22 . Ma

osserviamo ulteriormente che è inutile inserire nella soluzione particolare funzioni che già fanno

parte dell'integrale generale. In altre parole, si può anche scegliere

+= [[[[H\ � 3cos

363sen

12

22 ,

per cui l'integrale generale è

+++= [[[[[F[FH\ � 3cos

363sen

123sen3cos

2

212 .

Concludiamo questo paragrafo osservando che il metodo della variazione delle costanti si può

estendere alle ED lineari di ordine Q ≥ 3. Il procedimento è il seguente: in primo luogo è conveniente scrivere esplicitamente la matrice wronskiana come definita dalla (11.1), e calcolarne il determinante Z([). Si scrive quindi la matrice inversa :-1([), utilizzando la nota regola per la quale occorre scrivere al posto di ciascun termine il suo complemento algebrico, dividere ciascun termine per il determinante, infine trasporre la matrice così trovata. In realtà, nel nostro caso n