§3.4 基本不等式

赵爽弦图赵爽弦图

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABCD 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2 ；中间的小正方形边长为 b-a ，则面积为 (b-a)2 。于是便可得如下的式子：4×(ab/2 ） +(b-a)2=c2

化简后便可得： a2+b2=c2

一 、探究

左图是在北京召开的第 24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗 ?

ba

比较大正方形的面积与 4 个直角三角形的面积和 ,你会得到怎样的不等式？

1.思考：

一 、探究

( 当且仅当 a=b时 , 等号成立 )

正方形 ABCD 的面积 > 4 个直角三角形面积之和 2 2a b 2ab

a=b

A

D

C

B

c2 2a b

2. 得到结论：

3. 思考 :你能给出它的证明吗？

证明 :因为 2 2 22 ( )a b ab a b

所以 即

2 2 2( ) 0 2a b a b ab ，

二、新课讲解

2 2, 2a b a b ab 一般地 ,对于任意实数 , 我们有

当且仅当 时，等号成立。a b

2 2 ( ) 0 ( ) 0,a b a b a b a b 当 时， 当 时，

a b

E

D

BOA C2. 几何意义： 半弦长小于等于半径长

( 0, 0)2

a bab a b

（当且仅当 a=b时，等号成立）

二、新课讲解

ab2

a b

1. 思考 :如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论 ? 必须要满足什么条件 ?

,a b2 2 2 ,a b ab a b

,a b

3. 代数意义： 几何平均数小于等于算术平均数

算术平均数几何平均数

构造条件

三、应用0, 0

2

a bab a b

（ ） 2 0, 0a b ab a b （ ）

例 1 、若 , 求 的最小值 .

10 x y x

x

变 3: 若 , 求 的最小值 .

13

3x y x

x

变 1: 若 求 的最小值

120, 3x y x

x

变 2: 若 , 求 的最小值 .

0, 0 b a

a b ya b

发现运算结构，应用不等式

问 : 在结论成立的基础上 , 条件“ a>0,b>0”可以变化吗？

0, 02

a bab a b

（ ） 0, 0

2

a bab a b

2

（ ）

三、应用

例 2 、已知 , 求函数 的最大值 .

0 1 (1 )x y x x

变式 : 已知 , 求函数 的最大值 .

10 (1 2 )

2x y x x

发现运算结构，应用不等式

四、课堂练习 1. 已知 x>2, 求函数 2

1

x

xy

A.有最大值 -4 B.有最小值 4 C. 有最大值 -2 D.有最小值 2 2. 设 a,b为实数，且 a+b=3,则 2a+2b的最小值 3. 已知 0<x<3,求函数 y=x(9-3x)的最大值

四、课堂练习 1. 已知 x>2, 求函数

A.有最大值 -4 B.有最小值 4 C. 有最大值 -2 D.有最小值 2 2. 设 a,b为实数，且 a+b=3,则 2a+2b的最小值 3. 已知 0<x<3,求函数 y=x(9-3x)的最大值

• 1. 一个定理：基本不等式的内容 ① 公式 ②变形公式 ③ 公式的使用条件 : 一正，二定，三相等 ④ 公式的拓广

2. 两个概念：①算术平均数 ②几何平均数 3. 四类运用：基本不等式的应用 ① 求函数最大值：和为定值 , 积有最小值 ② 求函数最小值：积为定值 , 和有最小值 ③ 证明不等式 : 下节课时讲解 ④ 实际应用：下节课时讲解