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Control Inteligente
Modelado con sistemas fuzzy
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Contenido
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Aproximaciones para la construcción de modelos
Aproximaciones para la construcción de modelos Fuzzy
Un procedimiento: modelado de caja gris
Ajuste de funciones con modelos fuzzy
Desarrollo de modelos dinamicos a partir de datos
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APROXIMACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS
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Construccion de sistemas Fuzzy
Fuentes de conocimiento
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1. Consulta a expertos humanos
Historicamente, el primer metodo para desarrollar un sistema fuzzy.
Desventaja: Falta de un metodo sistematico para diseñar un sistema fuzzy usando el conocimiento humano
datos linguisticos
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2. Modelado por observacion
Aprendizaje a partir de ejemplos.
El modelo se construye usando los datos de entrada-salida.
datos numericos
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2. Metodos de optimizacion automaticos
El diseño del sistema fuzzy es un problema de busqueda y optimizacion
Metodos: Algoritmos Geneticos, Programacion Genetica, etc.
El problema de optimizacion busca la mejor solucion (el sistema fuzzy) que maximiza una funcion de adaptacion
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El modelado fuzzy
El sistema fuzzy debera reproducir la conducta del sistema a modelar
El sistema fuzzy se basa en el conocimiento previo de la conducta del sistema a modelar
El problema:
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Cuando y por que aplicar sistemas fuzzy
Conocimiento linguistico estructurado disponible
Modelo matematico desconocido o imposible de obtener
Proceso substancialmente no lineal
Falta de informacion precisa de los sensores
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Cuando y por que aplicar sistemas fuzzy
Capacidades de extrapolacion.
Captura de ciertas caracteristicas no-estructurales del sistema.
Validacion del modelo basada en expertos humanos.
En los niveles mas altos de la jerarquia de los sistemas de control
En procesos de toma de decision genericos
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Ejemplos de modelos fuzzy
Modelo fuzzy:
» Obtener el modelo de una ducha
Controlador fuzzy:
» Remplazar el operador humano que regula y controla una ducha
Sistema experto:
» El sistema objetivo, el diagnostico medico
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APROXIMACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS FUZZY
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Modelado neuro-difuso
1. Modelado neuro-difuso
El conocimiento experto se traduce en una colección de reglas
La sintonia fina de los parámetros se hace usando los datos disponibles.
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Extraccion de reglas
2. Extraccion de reglas
El modelo se construye usando los datos de entrada-salida
Se espera que las reglas extraídas proporcionen una interpretación a posteriori de la conducta del sistema
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Extraccion de reglas
2. Extracion de reglas
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Integración de conocimiento y datos
¿Otra aproximacion para construir un modelo fuzzy para una aplicación especifica?
Mediante la integración de conocimiento y datos
Hibrido entre la aproximacion basada en conocimiento y la basada en datos
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UN PROCEDIMIENTO: INTEGRACION DE CONOCIMIENTO Y DATOS
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 1: Definicion del problema
» Seleccion de los propositos del modelo
» Seleccion de las variables de entrada y salida
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 2: Identificacion de la estructura superficial
» Seleccionar el tipo de sistema fuzzy especifico (Mamdani, Sugeno)
» Determinar el numero de terminos asociados con cada variable de entrada y salida
» Obtener la base de reglas que describe la conducta del sistema
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 3: Identificacion de la estructura profunda
» Determinar el significado cada termino linguistico seleccionando sus MFs. (Seleccionar una familia apropiada de MFs parametrizadas)
» Consultar a los expertos familiarizados con el sistema para determinar los parametros de las MFs
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 4: Identificacion de los parametros
» Determinar restricciones en los parametros a partir del conocimiento previo del sistema
» Sintonia de los parametros de las MFs usando tecnicas de optimizacion y regresion. (Se asumen unos datos de entrada-salida disponibles)
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 5: Validacion del modelo
Paso 6. Implementacion y prueba
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AJUSTE DE FUNCIONES CON MODELOS FUZZY
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Ajuste de funciones a datos
El procedimiento estandar del ajuste de curvas da como resultado una solucion mas o menos aceptable
Solucion
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Modelo fuzzy para el ajuste
Sistema desconocido
Sistema fuzzy
y
y*
x1
xn
. . .
Dados unos pares de datos de entrada-salida de la forma
Construir un sistema fuzzy que reproduzca los pares de entrada-salida dados
(x1, ..., xn; y), (datos de entrenamiento)
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Ajuste Fuzzy de funciones
Los datos de entrada pertenecen a subespacios o clases
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Ajuste Fuzzy de funciones
Los datos de entrada pertenecen a subespacios o clases
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Granularidad baja en las reglas fuzzy
Menos reglas – Regiones mas grandes, y una aproximacion pobre
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Granularidad alta en las reglas fuzzy
Mas reglas – Regiones mas pequeñas, y mejor la aproximacion
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El dilema que se presenta
Situacion: Existe un compromiso entre:
» Menos reglas: la precision de la aproximacion decrece
– Imprecision e incertidumbre– Bajo costo de la solucion, tratabilidad y robustez
» Mas reglas: aumenta el costo computacional
– Mayor complejidad
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Ejemplo: modelado de dos funciones
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Ejemplo: modelado de dos funciones
Tres grandes regiones rectangulares definen tres reglas
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DESARROLLO DE MODELOS DINAMICOS A PARTIR DE DATOS
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¿Qué es un Sistema dinamico?
Input u(t) Output y(t)
System
ˆ( ) ( ( ), ( 1),..., ( ), ( 1), ( 2),..., ( ))y t f y t y t y t n u t u t u t m
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El modelo ARX
En el analisis de los sistemas dinamicos, la variable independiente es a menudo el tiempo (k)
» A menudo se usa el modelo ARX (AutoRegressive with eXogenous input model) donde
1 11 1P My k a y k a y k P b u k b u k M
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El modelo ARX
( ) 1 , , , 1 , ,T
k y k y k P u k u k M
1 1, , , , ,T
P Ma a b b
Definiendo
El vector de regresion
El vector de parametros
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El modelo ARX como un regresor lineal
La relacion de entrada-salida puede tomar la forma
» donde
vector de regresion
vector de parametros a estimar
( ) ( )Ty k k
( )k
MD p
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Estimacion del error de prediccion
El problema
» Asuma los datos de entrada-salida
» Construir el predictor
» Tal que minimiza
1( ), ( )
N
ku k y k
ˆ | 1, Ty k k k
Tk y k k Error de prediccion
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Estimacion del error de prediccion
Que es el criterio de los minimos cuadrados
2
1
1( ) ( ) ( )
NT
Nk
V y k kN
2
1
1 N
Nk
V kN
El modelo se ajusta a los datos para minimizar la funcion de criterio
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Estimacion del error de prediccion
Solucion
» Equacion Normal
» Estimados
1 1
1 1N NT
Nk k
k k k y kN N
1
1 1
ˆ arg min ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N
LS TN N
k n
V k k k y k
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Estimacion del error de prediccion
1ˆ TN y
En la forma matricial, la solucion es la formula estandar de los minimos cuadrados lineal
1
NT
k
k k
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Ejemplo: Modelado del nivel de un tanque
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Modelado del nivel de un tanque
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Modelado del nivel de un tanque
Proposito de la identificacion
» Explicar cómo el voltaje u(t) (la entrada) afecta el nivel del agua h(t) (la salida) del tanque
Datos experimetales
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Un primer intento de identificacion plausible es tratar con un simple modelo de regresion lineal
» Los parametros pueden ser estimados facilmente usando minimos cuadrados lineal, resultando en
Modelado con un ARX simple
1 2 3ˆ( 1) ( 1) ( 1)h t t h t u t
1 0.9063 2 1.2064 3 5.1611
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Resultados con el modelo ARX
» El nivel de agua simulado sigue al nivel verdadero pero a niveles cercanos a cero el modelo lineal produce niveles negativos.
niveles negativos
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Modelado semi-físico
La ecuacion del modelo se basa en la conservacion dinamica de la masa
– La acumulacion de masa en el tanque es igual a:
el flujo de masa hacia el tanque
el flujo de salida de masa
menos
i o
dhA q q
dt
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Modelado semi-físico
En tanto que el flujo de entrada es proporcional a u(t), el flujo de salida puede ser aproximado usando la ley de Bernoulli
» Los parametros pueden ser estimados facilmente usando minimos cuadrados lineal, resultando en
1 2 3 4ˆ( 1) ( 1) 1 ( 1)h t t h t h t u t
1 0.9634
3 1.2297
2 0.4571
4 4.4617
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Resultados del modelado semi-físico
El error RMS de este modelo es menor y mucho mas importante ninguna salida simulada es negativa lo cual indica que el modelo es fisicamente razonable
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Hacia el modelado fuzzy
Comparando el modelo ARX con el modelo semi-físico vemos que este:
» da una respuesta fisicamente razonable
» se comporta mejor, excepto a niveles mayores
Sin embargo, no existe garantia que las salidas del modelo sean físicamente razonables para otros valores de entrada.
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Hacia el modelado fuzzy
¿Qué conocemos del proceso?
» Primero que todo que, a flujos de entrada mayores el nivel de liquido aumenta. Es decir, la respuesta en estado estable es monotonica creciente
» Segundo, los datos de la entrada varian entre 3.5 y 7.5 V., lo cual indica que siempre existe un flujo a traves de tanque.
– Aunque los datos de estimacion sean de alta calidad presenta ciertos vacios. Un buen modelo deberia estar equipado con capacidad de extrapolacion (tanque vacio)
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Modelado fuzzy La entrada el modelo fuzzy:
» Los modelos ARX y semi-fisico estudiados indican que u(t – 1) y h(t – 1) son señales de regresion utiles
Las variables linguisticas
» Deseando un modelo de complejidad baja es importante describir cada variable lingüística con pocos valores linguisticos construccion de las reglas
La base de reglas
» Tomando como punto de partida el modelo ARX y notando su buen comportamiento a niveles altos, es razonable poner mayor esfuerzo en donde es bajo
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Estructura del modelo fuzzy
Modelo singleton fuzzy
1u t
1h t h t
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El modelo singleton
Recordemos la expresion para la salida del modelo singleton
Es un modelo lineal en bi
1
K
i ii
y x b
1, ,T
Kb b ( ) ( )Ty k k
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Estimacion de los parametros
Para la estimacion de los parametros del consecuente un metodo posible es el metodo de los minimos cuadrados lineales
¿Cómo estimar los parametros del antecedente?
Algoritmos de optimizacion
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Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy
and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.
J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995.
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.
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Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising
Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999
René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994
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Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory,
http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001
J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002?
Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001
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Fuentes Djamel Bouchaffra, Soft Computing (Lecture Notes). Oakland
University. Fall 2005
K. Ahmad, B. Vrusias, M. Casey, Artificial Intelligence (Lecture Notes). Center for Knowledge Management. Department of Computing. University of Surrey. September 2004
