コ 講座　プラズマ理論の技法

3、特異点解析

　　　徳　田　伸　二

（日本原子力研究所那珂研究所）

Singular　Point　Analysis

　　　　　　　　　　　　　　　　TOKUDA　ShinjiNαたαFμsガon1～召s6α70h　Es∫αわ1∫sh〃38ηち／αPαn　A言o醜’o　En678y　R6s6α7ch　Zn31々泥16，1わαrαん’31！－0193，／αP召n

　　　　　　　　　　　　　　（Received．20Apri12002）

Abstract

An　introductory　reviewis　given　onrecent　developmentsin　the　methodsforstability　analysisofatoroidally

confined　plasma．Emphasis　is　put　on　the　perturbation　analysis　of　a　magnetohydrodynamic　system　that　has

themarginally　stablestateasateminalpointofcontinuousspectraWeaddressourselvestotheasymptoticmatching　method　pertinent　to　such　a　problem．The　Newcomb　equation　and　inner　layer　eq．uations　are　essen－

tial　ingredients　in　the　methods　and　the　numerical　methods　for　solving　them　are（iiscussed．

Keywords：

magnetohydrodynamic　stability，tokamak，spectral　analysis，eigenvalue　problem，asymptotic　matching，

outer　region，inner　region，Newcomb　equation，inner　layer　eqation，response　method

　特異点解析というのは相当幅が広いジャンルであり，

また，数学的に未解決な問題も残されているので，ここ

でその全てを解説することはできない．よって，実際に

私がMHD安定性解析において，どのように特異点解析

を用いているのかを中心にお話しする．

　まず，序論で簡単な例をもとに特異点解析の概要を述

べ，次にMHD安定性解析における接続問題，それから

理想MHD内部層間題やN’ewcomb間題に対する数値解

法について解説する．その後，少し系統は異なるが外部

モード問題への応用について述べ，さらに抵抗性MHD

内部層問題というのをお話しする．

3．1序論　MHD安定性解析というのは広い意味で「固有値解析」

であると言える［1－3］．そして，それを行なう際にしばし

ば現れるのが「漸近接続問題」［4］である．ここでは，こ

の二つのキーワードに対応する簡単な問題例として，井

戸型ポテンシャル問題とWKB法を紹介する［5］．

　以下のような，エネルギーEを固有値とする一次元

Schr6dinger方程式を考える．

慕＋争IE－uα）］ψ一・

境界条件：ψ（0）＝0，0＜冗＜・・

（1）

（2）

まず，ポテンシャルがない（U（％）＝0）場合は自由状態

なので，解は

ψ（％）＝sin伽 （3）

である．固有値Eは任意の定数をとれるので，α厩ho〆s6一配α’ゐ∫oん㍑4αs＠吻3∫on．nαんα．ノ磁紘80か

913 J．Piasma　Fuslon　Res．Vol．78，No．9（2002）913－924

Joumal　ofPlasma　an（i　Fusion　Research　Vo1．78，No．9　September2002

E＝（hπ）2／2別＞0は連続スペクトルである．これは，量

子力学的には散乱状態を意昧する．一方，

uα）一／謬濃 （4）

のような井戸型ポテンシャルを考えた場合，井戸の深さ

Uoが十分深ければ，そこに離散固有値（点スペクトル）が

存在する．それでは，このような束縛状態が存在するた

めに必要な，最小の深さUoを求めるという間題を考え

てみる．束縛状態の境界条件としては，

ψ（O）＝ψ（＋○○）＝0

y ア＝αx

’

ア＝Slnx

！

！

！

！

！！

’

！

！

！

ノ1

！

（5）

である．まず，井戸の外側の領域では波動関数は減衰し，

ψ（冗）＝o　exp（一翫），　（％＞α）

κ2一一2響　　　　万

（6）

（7）

、

、

、

、

、

π／2

、　　　　　　　　　　　　　　　！、　　　　　　　　　　　　 ’

ノ

ノ

　！　、

ノ　　、！　　　　、

、

、、

、 ’！

ノ

ノ

Fig．1　Condition　that　the　two　graphs　intersect．

　ノ

／X

や電流分布ということになり，例えば，プラズマの圧力

がある程度高くなれば，そこで束縛状態というのが

MHD方程式から出てきて，そのために閉じ込め圧力の

限界が決まるといったことである．このような問題の解

析方法として漸近接続法［4］が用いられる．

　漸近接続法のすべてを説明するのは大変なことだが，

簡単な問題で，例えば，

と表される．また，井戸の中の領域では

ψ（％）＝sin（たκ），（0＜％＜α）

h2一婆（E＋研））

　　充

（8）

（9）

d2ツ

欲2＋馴κ）y（冗）＝o

境界条件：y（0）＝y（π）＝0

　　　　　（？（％）＞0（0≦冗≦π）

（12）

（13）

（14）

と表される．ここで，κ＝αにおいてψ（％）とdψ／砒が連

続であるという接続条件から，雇＝獅／刎に対する方程式

蜘一±（2論）昭（㎞）・漁）＜・（1・）

が求まる．よって，Fig．1の交点から，束縛状態が存在す

るために必要な井戸の深さが

・一（，論）毘く多一砺＞謙 （11）

のように求まる．このように，固有値問題の一般的な性

質として，まずは自由状態（連続スペクトル）が存在し，

それに対してある程度深いポテンシャルが加えられる

と，東縛状態（点スペクトル）が現れるということが言

える．それが例えば水素の場合では可算無限個あり，中

性子と陽子の場合は一つだけ存在する．そこで，MHD

安定性解析というものを，「固有値問題が点スペクトル

をもつ条件」を求める事であるとみなす．すると，井戸

の深さに相当するものがプラズマの圧力勾配（ベータ値）

といった方程式の固有値Eを求める場合に，WKB法と

いうのが用いられる．この方法は，S，（冗）（乞＝O，1，…）と

いう未知関数と小さなパラメータδを用いて，解を

yα）一呵ま耳δ’　）1（15）

のように展開して表し，このS，（冗）を逐次的に決めてい

く手法である．方程式は

歩（薯）2＋蜘一・

ま（・薯薯＋撃）一・

のように各オーダごとに分解される．

メータδが

　　1δ＝一　厄

（16）

（17）

（18）

（16）式から，パラ

（19）

と決まり，最初の二つ（So（卑），S1（冗））までを解いた近似

914

Lecture　Note

解（WKB解）として

ツα）一・繍曲［可諏司

と求まる．境界条件を用いると固有値は

Singular　Point　Ana翌ysis

（20）

　　源一　朋　　（％一1，2，…）　　　（21）　　　　兀π煽砒’

という離散的な値に決まる．この結果は，％が大きいほ

どδが小さくなり，より厳密解に近くなることが言える．

　これで何も問題がなければここで終りだが，WKB解

で問題となるのは，もしQ（κ）＝0となる点があると，こ

の近似が破綻することである．これの対策としてはいろ

いろ方法があるが，ここでは漸近接続法を用いた手法を

紹介する．先程の方程式を改めて，

1d2y7評＋ρ（冗）y（冗）＝o （22）

と書き直し，9（O）＝0であるとする（E；1／ε2とおい

た）．∬＝0の近傍でQ（x）＝砿という直線で近似できる

とした場合，その近傍では

1d2y7評＝一鰐（κ） （23）

S．Tokuda

霧 2霧z

Rcgloll　IH’

’

アm（x）is・scillat・ry， 穿　0ノ

ノバ

慨

κ

RcgiQllIア1（x）isexponential三ydecreas1

　　　　　　　　　　　’　　　　　　　　　’職　鴨　聯巴　叩　ぜ

　イ彰 蒙Reglonll　IxIく〆く1

という方程式で表され，この％＝0は特異点ではない．つ

まり，先程の問題は近似が悪いのであって，もとの方程

式は悪さをしていない．よって，π＝0の近傍で別な良い

近似解を見つけて，WKB解とつなげてやればよいこと

になる．これが接続問題である．接続の仕方を簡単に説

明すると，例えばFig．2のようにQ（x）がゼロ点をもって

いた場合，領域皿では振動的な解

ym（％）一F卜Q（冗）r1／4

　　　　　　　・s㎞［証o緬欲1＋9］

が得られ，領域1では指数関数的に減少する解

煎）一6［ρα）1一拠exp［一諾爾d冗1

（24）

（25）

が得られる．ここで，領域Hの解yII（卑）を見つけて

yl（冗），ylil（卑）とつなげてやれば，未知定数F，g，Cの問

の関係が求まり，WKB問題が解けたことになる．そこ

で，領域Hについてはx；厩（α《1）と変換し，％＝0

の近傍で引き延ばされた変数オを用いてyII（％）の方程式

x

Fig、2　Three　regions　for　the　case　when　Q（x）is　increasing　and

　　　Q（0）＝0．

を導く．冗＝0におけるρ（冗）の傾きがαであるとき，

α≡ε2／3α一1／3と定義してやれば，（23）は

d2yII

dオ2＝砂II（オ） （26）

というAiryの微分方程式［4］になる．この解はAiry関数

ん（オ），β（オ）を用いて，

ツII（オ）＝z）ん（渉）＋Eβ（オ）

で表されるが，Airy関数はオ→・○において

州一嘉1／4expチオ3／2

Bf（オ）一が1／4exp暑渉3／2

（27）

（28）

（29）

という形に漸近することが知られている．まず，yII（オ）

のオ→＋・・とyl（冗）のκ→0とを接続することで，

D＝2冴（αε）一1〆66，E＝0 （30）

が求まり，さらに，ッII（オ）のオ→一・・とyIII（κ）の

％→0とを接続することで，

　　（αε）1／6　　　πF＝海P＝26・9＝π

（31）

が求まる．このように，ッ（冗）のWKB近似であるッ1（ヱ）とyII王（劣）の両方が適切な領域が存在しない場合に，

ッII（∬）を用いることで二つの領域を漸近接続することが

できた．MHD理論では領域1，皿を外部領域，領域∬を

内部領域（または内部層）と呼ぶ．内部領域では，特殊

関数の漸近展開がしばしば活躍する．

3．2　MHD安定性解析における接続問題

　それでは，これまでの話がどのようにMHD安定性解

析につながるのかを説明する．ここでは方程式系は一流

915

Joumal　ofPlasma　and　Fusion　Research　Vol．78，No．9　September2002

体を考える［6，7］．

∂ρ

一十▽・（ρ∂）＝0∂ピ

　Dρ可u＝一▽カ＋ノ×B

携（カρ一「）一・

E＋u×．B；ηブ

ただし，

D　　∂一＝一十u・▽Dオ　∂オ

（32）

（33）

（34）

（35）

（36）

また，変位電流を無視した準定常なマクスウェル方程式

を用いる．

▽×B＝μoブ

▽・B＝0

∂B

一＋▽×E＝0∂オ

▽プー0

プラズマの平衡条件は，∂／∂オ＝0とu＝0より，

▽ρ＝ノ×B

（37）

（38）

（39）

（40）

（41）

であり，これらを基礎方程式とする．幾何学的な配位は

トカマクに代表されるような軸対称配位を考える［8］

（Fig．3）．軸対称系（プ，～，φ）における平衡磁場は

B＝▽φ×▽ψ＋F▽φ （42）

で表され，ψ（7，z）；collstは磁気面（B・▽ψ＝0）に相当

し，Fはトロイダル磁場を与える関数である．平衡条件

から，F＝F（ψ），ρ一ρ（ψ）のようにψだけの関数で表さ

れることがわかる．さらにトカマク配位の特徴として，

トロイダル磁場凧耽FI▽φ1はポロイダル磁場β1，＝1▽φ

×▽ψ1より十分大きい状況を想定する（Bt》Bi，）．

　実際にMHD方程式を取り扱うときには，磁気面関数

ψを座標系に用いるのが便利であり，磁束座標系（ψ，θ，φ）がよく使われる．ここで二つの回転角を用いて

いるが，トロイダル角φは先程の軸対称系と同じであ

り，厳密に定義できるのに対し，ポロイダル角θの定義

には任意性がある．例えば，θを

Z

Φ醸議

鼠

認

獺

裟慧

慧難

顯

難難螺警

蒙

難嚢鍵馨

灘

瞬

Fig．3　Axisymmetric（tokamak）configuration

　　　B・▽φ9（ψ）二B．▽θ

r

（43）

となる（磁力線を直線にみる）ように定義することは常

に可能ではあるが，これの力学的アナロジーを議論する

ときりがないので，ここでは深く立ち入らない．このよ

うなトーラス上のベクトル場の特徴として，有理面とい

うのがある．これは，

9（ψ，，，／，、）一塾L

　　　　％

（44）

のように安全係数g（ψ）が有理数となるような磁気面

ψ，珈のことであり，この面上では磁力線がポロイダル方

向に％回，トロイダル方向に窺回廻って閉じている．

　MHD理論ではこの有理面が重要で，しばしば問題と

なる、ある物理量を表すスカラー関数∫（ψ，θ，φ）はθ，φ

の二重周期関数であり，一般に

∫（ψ，θ，φ）一Σ痴（ψ）exp［i（漉θ一％φ）］

　　　　　”’，”

（45）

のように展開される．ある別，％の成分に着目する（ヘリ

シティを決める）と，

916

Lecture　Note SingularPolntAnalysis S．Tokuda

B・▽万1～，n＝i（吻B・▽θ一ア2B・▽φ）ガ，1，、，

　　　＝i［（B・▽θ）（窺一アη（ψ））］ガ，，，，、

（46）

（47）

より，磁力線に沿ったガ，，，“の変化はψ刀，／，、という有理面上

でゼロになることがわかる．つまり，磁力線とヘリシ

テイが一致している物理量は，磁力線に沿って一定であ

ることがわかる．ある意味当たり前のことを表してはい

るが，このことが現実に様々な問題を引き起こす．例え

ば有理面のために方程式が解けなかったり，物理的には

磁場の弾性がそこで消失したりする．

　また，具体的に運動方程式をみてみると，中性流体と

は異なるMHDの特徴として，．渦が発生しやすいことが

挙げられる．オイラー方程式の場合はヘルムホルツの渦

定理（渦の不生不滅）が流体力学の教科書［9］に必ず書か

れているが，MHD方程式の場合にはあまりそういうこ

とは書かれていない．それは，平衡状態でない限り，一

般には

▽×（ノ×B）≠0 （48）

であり，渦が発生しやすいからである．もう一つMHD

において重要なのは準中性条件▽ゴニ0であり，これを

用いると渦度に対する方程式（Shear－Alfv6n則）［8］が得

られる．

Bく▽×霧）一B惣・▽（台）＋2κB・▽ρ（49）

これによると，渦を生成する項は二つあって，一つは磁

場に平行方向の電流の湾曲による項であり，もう一つは

磁場の曲率（κ）と圧力勾配による項である．圧力が低

い場合や，曲率のないスラブ形状の場合は第二項はゼロ

であり，第一項が効いてくる．しかし，ここで大事なの

は，第一項は有理面においてゼロになることで，これが

方程式に特異性を出す原因となる．

　以上は渦度の磁場に平行な成分に対する方程式の話で

あるが，運動方程式だけでもまだ解くべき方程式が二つ

残されている．これらをなるべく簡約化して扱いやすく

する方法，すなわち，簡約化されたMHD方程式（re－

ducedMHD　equation）の導出法としては色々提案されて

いるが，考え方としては二通りに分けられる［7，8］．一つ

は，方程式にグローバルに適用されるパラメータ（例え

ばアスペクト比）が非常に小さい（または非常に大きい）

として，簡約化する方法である．もう一つは，そのよう

なことができない場合に，特定の領域，あるいは特定の

モードだけを解析の対象にする考え方である．ここでは

一番簡単な簡約化方法として，アスペクト比が1より十

分大きく（アスペクト比展開），ベータ値が有限でありな

がら，低いという近似を用いる．7本のMHD方程式を

線形化し，1本にまとめると，静電ポテンシャルψに関

する固有値間題は

哉｛［γ2＋∫（冗）］割＋P（劣）ψ（％）一・

という形で表される［8］．

のため固定境界条件

ψ（0）＝ψ（1）＝0

（50）

領域は区間（0，1）とし，簡単

（51）

を考える．ここで，γ2が固有値であり，関数八x）は区間

（0，1）において∫（x）≧0を満たす．つまり，固有値γ2

が正（不安定側）であれば，その固有関数はeXI）（γオ）で

成長することに相当する．また，γ2が負（安定側〉であ

るときは，

ヨ冗A∈（0，1），γ2十∫（冗A）＝0 （52）

であるため，γ2は連続スペクトルに属することがわか

る．また，八％o）＝0を満たす点κoが存在することが問題

となり，すなわち，そこが有理面に相当する．

　我々の目的は，ポテンシャルV（κ）がベータ値βに依

存して変化する際に，最初に不安定固有値γが現れる

ベータ限界β、，を求めることである．これは安定性解析

における一つの課題である．もう一つは，そのγが現れ

るときのγのβ依存性を求めることであり，つまりβ。，

の近傍で

γ＝6（β一βcr）α （53）

としたときの，指数αを求めることである（Fig．4）．こ

の二番目の課題については，かつて議論されたことも

あったが，単純に方程式を解くだけでは求まらないた

め，不可能であろうと思われていた．この間題について

は後で述べるように，また別の手法を必要とする．

　私がこの研究を始めたころは，理想MHD方程式を解

く数値計算が世界中で行なわれ［10，11］，このβ、，を求め

ようとしたが，数値的には求まっても，なかなか厳密と

はいえなかった．なぜなら，β。，の近傍ではγ2は非常に小

さく，1γ2＋∫（冗）1の所が有理面においてゼロに近づ

き，方程式自身が特異になるためである．このような困

難を解決する自然な方法として用いられるようになった

のが接続問題である．

　まず，有理面（∫（卑o）一〇）近傍を内部層，その外側を

917

Joumal　ofPlasma　an（i　Fusion　Research　Vo1．78，No．9　September2002

γ

↓

β67

βFig、4　Critical　betaβcrl　unstable　modes　appearforβ＞βGr．

外部領域と見なす．いま，問題としている不安定固有値

γ2が現れ始めるところ（β＝βcr）では，成長率に相当す

るγ2がアルヴェン周波数よりもずっと低いので，∫（冗）

がゼロでない外部領域ではγ2（プラズマの慣性）は無視

できる．すると，

計（冗）劇＋7（冗）ψ一・ （54）

が外部領域に対する方程式となり，これはNewcomb方

程式と呼ばれている．この方程式において有理面は確定

特異点［！2］となっている．

　一方，内部層においては∫（π）がゼロになるため，プラ

ズマの慣性γはいくら小さくても無視できない．そこで，

∫（冗）の冗＝万o近傍の振る舞いを，

∫（％）一（冗一％。）2あ，あ＞0 （55）

としよう．ここで，定数ズ）は磁場のシアに関係する量で

ある．独立変数の引き延ばしを

　　　　　　　γκ一κo＝ε2，ε＝一《1　　　　　　　孫

のように行なえば，内部層方程式は

晶［（1＋～2）讐レ伽一・

（56）

（57）

で表される（P＝7（％o）贋））．これはWKBでいうところ

の特殊関数で記述される部分になっており，これならば

解析的に解くことができる（解は引数が虚数のルジャン

ドル関数になる）．

　「なぜ，元の方程式をそのまま解かずに，このような

接続問題を用いるのか」と疑問に思われるかも知れない．

確かにそういう側面もあるが，接続間題を解くことには

いくつかの利点がある．第一に，物理モデルの拡張性が

挙げられる．物理モデルが理想MHDであろうと抵抗性

MHDであろうと，外部領域の方程式はN’ewcomb方程式

のままであり，変わるのは内部層方程式だけである．っ

まり，Newcomb方程式を解析的，数値的に解く手法が

すでに得られていれば，後は物理モデルに敏感な内部層

方程式を有理面においてのみ解くだけで良い．実際には

様々な問題を含んでいるが，このような意味で接続問題

は拡張性の良い手法である．第二に，数値計算の有利性

というのがある．元の方程式をそのまま解くよりも，接

続問題を用いた方が，数値計算の高速性，高分解能が期

待できる．第三は，結果の解析性である．すなわち，接

続問題は物理について見通しの良い解析的な結果を得る

ことができる．

　ここで，理想MHD安定性における変分原理について

言及する［！，6，8］．プラズマの変位ξによる全エネルギー

変化は

確一劫IQ＋ξ圃2＋酬▽・ξ12＋・1るi2｝dτ

で表される．ここで，

Q一▽×（ξ×B）

　　▽ψnレ＝　　　　　ξn＝ξ・π　　1▽ψド

（58）

（59）

（60）

0＝21▽ヵe，1［κ、、一σ2B2＋σ（B×π）・▽×（B×π）　　（61）

　ノ・Bσ＝　　B2

（62）

積分の中の第一項は磁場によるポテンシャルエネルギー

で，compressionalAlfv6n項とshearAlfv6n項を含む．第

二項は圧縮性の項である．0には閉じ込めプラズマの圧

力からの寄与と磁力線に平行な電流からの寄与の両方が

含まれている．境界条件を満たし，2乗可積分な任意の

変位ξを代入した時，四が負になるものが存在すれ

ば，プラズマは不安定である．よって，第三項が不安定

性を引き起こす原因であることがわかり，例えば，磁力

線が曲率をもたず，一様な平衡は常に0＝0であり，安

定であることがわかる．また，この躍を停留にするよう

なξを求めるEuler方程式が，先程のNewcomb方程式

918

Lecture　Note SlngularPoint　Analysis S．Tokuda

と一致する．

それでは，N’ewcomb方程式

蜘一計（冗）劇＋照）ψ一・ （63）

を解いてみる．f（冗o）＝0となる点物は確定特異点であ

り，その近傍では

昔（オ・審）一Pψ一・

D－7（κ・），オーレ％。

　　あ

（64）

（65）

と表される．よって，確定特異点のまわりのFrobenius角皐［12］壱よ

ψ（万）＝団レ，［劣「レー1

ンー一音＋μ・μ一（青＋P）翅

（66）

（67）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1と求まる．ここで，μが実数であるための条件P＞一一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4は，Suydam安定条件と呼ばれる．もし，この条件が破れ

ると，N’ewcomb方程式の解は有理面の近傍で無限回振

動し，不安定側に可算無限個（ゼロに収束する）の固有

値が存在することが証明されている．トカマクにおいて

も，このSuydam条件を使ってプラズマ閉じ込めの安定

性のチェックが行なわれている（SuydamMercier条件

と呼ばれる）［6］．以下では，Suydam条件は満たされて

いるとし，レは実数とする．すると，1球は二乗可積分な

解，囲一レー1は二乗可積分でない解となり，プラズマの分

野では前者を「小さい解」，後者を「大きい解」と呼んで

いる．

　以上は特異点近傍における解の振る舞いであるが，外

部領域全体については

魚）＝（炉冗。）2

照）一（μ2一去）一β2（岡2

境界条件：ψ（0）＝ψ（1）＝0

（68）

（69）

（70）

のように，∫や7が2次関数の場合において解析解が求

まっている．このとき，左側（κ＜冗o）の解は

ψα）一｛轡）＋締）1淵

ψセ（κ）一（会）μr（・一μ）lzr一㌦（β1～1）

（71）

（72）

ψ£（x）一（書）一μF（1＋μ）［～1｝毘卿）（73）

で表される．ただし，z＝冗一冗oであり，Bessel関数

　　　　　　　綱一（着鳳諾黙） （74）

を用いている．接続するために必要な情報は冗→掬一〇

の極限における解の挙動であり，今の場合は

ψ1！（x）㏄lzr1！2一μ

ψ£（％）㏄12r1〆2＋μ

（75）

（76）

である．ここで，姥（冗）は二乗可積分でないので「大きい

解」，輔（κ）は二乗可積分なので「小さい解」だとわかる．

未定係数姥とぺについては，境界条件ψ（0）＝0より，両

者の間の比だけが求まる．

∠一1一豊一ψ£（o）

L6£　ψセ（o）

一一（書）　F（㍑牝（農1）（77）

この』ジは歴史的な意味で一1をつけているが，これは二

乗可積分な解に対する二乗可積分でない解の割合であ

り，接続データと呼ばれる．Newcomb問題を解くとい

うことは，要は境界値間題Nψ＝0を解いて，接続データ

を求めることに帰着される．

　また，右側の解（x＞％o）についても同様に接続データ

が存在する．外部領域を解いた結果を整理すると，以下

のようになる．

卿）一／紗）＋姥α）

卿）一臨α）＋嬬α）

（ズく劣o）

（卑＞κG）

（％＜πo）

（％＞πo）

一般解：ψ（冗）＝OI、ψL（％）＋6RψR（冗）

（78）

（79）

（80）

ここで行なったことは別の見方をすれば，境界点κ＝0

から境界条件を満たす解で出発し，確定特異点x＝掬

まで解析接続したときの，小さい解と大きい解の比を求

めたと解釈できる［12コ．こう考えると，有理面が複数あ

る場合でも，境界点から確定特異点へ，確定特異点から

確定特異点へと次々に解析接続を行うことによって，接

続データを求めることができる．

　次にNewcomb間題に随伴する固有値問題というもの

919

Jouma夏of　Plasma　an（l　Fusion　Research　VoL78，No．9　September2002

を導入する［13，14］．Newcomb方程式ノ〉ψ＝0は同次方

程式であるので，通常は二乗可積分な解はもたず，確定

特異点のまわりで二乗可積分でない成分が含まれる．し

かし，これがたまたま二乗可積分な自明でない解をもつ

ことがあり（刀ガ＝0），このときは臨界安定状態と解釈

される．なぜそう言えるのかを理解するために，New－

comb方程式に随伴する固有値問題

ノ〉ψ（冗）＝一λρ（％）9（％）

ρ（π）一（炉劣。）2ρ。，ρ。＞0

（81）

（82）

を考える．ここで，確定特異点でゼロになる2次関数

ρ（冗）を用いたのは，数学的には重み関数を意味する．つ

まり，関数空間における内積を

γ，λo

、

、

、

、

、

、

、

、

γ

　　、β，，　＼

、

　、、

λo、、

β

（ξζ）一垢1ξ（冗）ζ（冗）ρ（冗）砒（83）

Fig．5　βcristhezeropointofbothγandλo．

で定義する．さらに，双線形形式

騰ζ）一五1←器一％ζ）砒 （84）

を考える（これは理想MHDのポテンシャルエネルギー

に対応する）．随伴固有値問題において，固有値λに対応

する固有関数をξλとすると，λ＝W（ξλ，ξλ）より，λは

ちょうど仮想変位ξλによるエネルギー変化に相当し，負

のλが存在することは不安定であることを意味してい

る．ちなみに，この固有値間題は数学的にSturm－

Liouville型［1］に分類され，固有値λはすべて離散固有

値で，最小固有値λoが存在する．また，異なる固有値に

属する固有関数ξ，ζが互いに直交することも知られてい

る（（ξ，ζ）＝O）．

　このような随伴固有値問題を考える利点は大きい．も

との固有値間題と随伴固有値問題を比較してみる．

毒｛［γ2＋∫（κ）］幕｝諏β）ψ（％）一・

計（x）盤｝＋［vα；β）＋λρα）1ρα）一・

（85）

（86）

まず，随伴固有値問題の最小固有値λoの符合が正から負

へ変わる時のβの値が，もとの固有値間題に対する臨界

ベータ値β，，を与えている（Fig．5）．さらに，もとの固有

値問題を解くのは困難であるのに対し，随伴固有値間題

の最小固有値は数値的に容易に求まる．さらに，前にも

述べたγのβ依存性を調べるのにも役立つ．ポテンシャ

ルU（絹β）がβに関して滑らかな関数とすると，最小固

有値λ0はβの正則関数であることが期待でき，β。，近傍

で

λo＝oβ（β一βcr），　6β＜O （87）

と近似できる．後は，γとλoの関係を求めたいわけだが，

それは内部層方程式の解と接続することによって決ま

る．

　内部層方程式は物理モデルによって敏感に形を変える

が，理想MHDに限れば現在までに二つしか提案されて

いない．一つは圧縮性を無視したゼロ・ベータモデル

で，

蓋［（1＋z・）糾Pψ一・

という比較的簡単な方程式である．

デルで，

（88）

もう一つは圧縮性モ

器［（1＋z・）讐HP＋（、＋無釦・］ψ一・（89）

であり，β，は比熱比をいれた圧力と磁場の比である．ち

なみに，内部層方程式に現れる物理量はすべて有理面に

おける値（定数）を用いればよい．これらの解は一般的

に，

9（～）＝6eψe（Z）＋6（）ψ，）（Z） （90）

のような，偶関数ψ，（一Z）＝ψ。（～）と奇関数ψ。（一2）＝

一ψ、、（Z）の線形結合で表せる．どちらのモデルを採用し

920

Lecture　Note Singular　Point　ARalysis S．Tokuda

たにせよ，接続に関わるZ→・・の極限では，内部層方程

式はNewcomb方程式に近づくので，先程のFrobenius

解と同様な

ψe（2）～4nメー1／2一μ＋2－1／2＋μ

ψ（）（2）～4監㍉（）Z－1／2一μ＋2－1／2＋μ

（91）

（92）

という振舞いを示す（ズ1〆2＋μは二乗非可積分，ズ1／2ツ

は二乗可積分）．つまり，内部層間題とは内部領域の接続

データ4、，，．，4、，，。を求めることに帰着される．

　それでは実際に接続を行なう［15］．外部のNewcomb

方程式は左側の解と右側の解を用いて，

ψ（冗）＝OLψL（劣）＋ORψR（冗）

内部層方程式は偶関数解と奇関数解を用いて，

ψ（9）＝6eψe（2）＋6。ψ。（Z）

（93）

（94）

と解ける．手続きとしては，Z→一・・での内部の解と

冗→κo－0での外部の解を接続し，z→＋・・での内部の

解と劣→κ〇＋Oでの外部の解を接続すればよい．この結

果，係数CR，6L，Ce，C・に対する4つの一次方程式を得

る．この連立一次方程式が自明でない解をもつ条件か

ら，いわゆる分散関係式が得られる，結果だけ示すと，

γ一伝転）　） （95）

である．ここでλGは負なので，4．，，＋4i，、，。＜0が成立す

ることが必要である．実際に理想MHDの内部層方程式

を解くと，数値計算の結果はこの条件を常に満たしてい

る．しかし，解析的な証明は，まだ，できておらず，今

後の課題である．さて，これによってγとあの関係が求

まったので，かねてからの目的であった成長率γのβ

依存性は，

γ㏄（β一βc，）1／（2μ） （96）

は，加＝Oの解を二乗可積分な関数X（z）と二乗可積分

でない関数Y（Z）の和として，

9（z）＝X（9）＋y（z） （99）

で表されるときに，｝7（z）を解析的に与えて，X（2）に関

する境界値問題

五X＝一Ly （100）

に変換する．これは二乗可積分な間題なので，有限要素

法なり差分法なりで数値的に解くことができる．境界条

件は，～→・・でX（～）～4、，z剛一1であることがわかって

いるので，これを満たすような条件を与えなければなら

ない．しかし，ここでは，数値計算の都合上，計算領域

を一2R＜2く2Rに限定し，十分大きな2＝娠において，

（L￥　　レ＋1一＝　　　Xd2　　　zR

（101）

という条件を課する．次に，内部層問題で我々が求めた

いのは接続データであるので，X（～）から』i，，を抽出しな

ければならない．その方法の一つは，X（之）の漸近形か

ら評価する方法で，もとの方程式は

澱一嬢μ一1（・＋象＋舞＋…）（102）

という振る舞いをすることがわかっているので，数値計

算結果の比をとって

　＿X（～R）411

　　　XR（103）

のように求める．これは2＝娠という点だけにおけ

る，ゼロに近いもの同士の比をとるので，あまり精度の

よいものではない．そこで，もう一つの方法はGreen

の公式を用いたもので，全領域の積分が境界値によって

決まるという性質を利用して，

と求まる．

3．3　理想MHD内部層問題の数値解法　内部層問題

P［綱一五二［y（α）一x（酬dg

　　　　　14、1＝一　　　　　P［X，｝／1　　　2（2レ＋1）

（104）

Lψ一器［（1＋22）糾Pψ一・

　　　　　　　　1Z）＝レ（レ＋1），レ＞一一

　　　　　　　　2

（99）

（98）

（105〉

のように求める［16］．どちらの方法が収束性が良いか

は，状況によって異なるが，2次元のNewcomb間題で

はGreenの公式の方法しか使えない．

の数値解法としては応答法［16，1］が用いられる．これ

921

Joumal　ofP圭asma　and　Fusion　Research　Vo1．78，No．9　September2002

3．4Newcomb問題の数値解法　Newcomb間題の方も同じく応答法が使われるが，若

干ややこしくなる［13，14］．Newcomb方程式の解

ψL（κ）を，臨界安定から少しずれたλoに対応する固有関

数ξLO（κ）を用いて，

　　　　　　　　　　　　　　ハ　　　ψL（x）一ξL。（冗）＋λ。［ηL（κ）＋ΩLξL（％）］　（106）

　　　　　　　　　　　　へひのように表現する．ここで，ξム（％）は二乗可積分でない

Frobenius級数であり，すでに与えられているとする．

これによって，二乗可積分な部分死（κ）に対する方程式

は

　　　　　　　へ　砺L＝ρξLO一ΩL腰L

ηL（0）＝η1．（1）＝0

（107）

（108）

となり，これを数値解法で解く．具体的にはこれを変分

形式で表して，確定特異点を自然境界条件とした有限要

素法を用いる．

　しかし，Fig．6のような現実に近いトーラス配位の安

定解析を行なうためには（7，θ）の二次元で解かなければ

ならない．ここではポロイダル角θをフーリエ展開に

よって

　　　　ぴξ（角θ）一Σξ、（7）exp（i1θ）

　　　　1＝一ル1

のように離散化するが，互いに独立ではないので，

ξ（7）＝［ξ一“（7），…，ξM（7）γ

（109）

（110）

として，すべての変数を同時に解かなければならな

い．2次元のNewcomb方程式は

腰一一諺（乙幕）一番（腔）＋Mll＋κξ一・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（111）

Q．4

0，3

0．2

O．1

Z　　O一〇。1

・0，2

一〇．3

一〇、4

　　　　　　　　　　　　　　（a）

’丁皆川響糟　　……醒劉ぎビ川γ雪へPワ傑「　　　　　i　　　　l

襟夢　　　　　　　　　華

0・60・7α80・9ポ」1・21・3t4

Fig．6　Toroidal　configuration　used　in　the　MARG2D　code．

のように表され，有理面筋（解＝切（7，。））における境界

条件はξ，，，に対しては自然境界条件，ξ1（伊別）に対し

ては連続条件とする．このような拡張をすることで1次

元の場合と同様な方法が適用できる．

　これらの手法を用いたMARG2Dの結果と従来のERATOJ（ERATOコード［11］の原研改良版）の結果を

Fig．7に示す．ERATOJでは不安定状態（λ＜o）のみ同

定できるため，十分に不安定なβ」の値から固有値を求

め，順次，β」の低い値へ外挿して，β・・を推測していた。

一方，MARG2Dでは，不安定状態も安定状態（λ＞0）も

同定できるので，β，，が綺麗に求まっている．また，ERA－

TOJで行っていたβ，，の推測も真の値に近かったことが，

初めて確認できた．

という形になるが，L，M，κといった行列はここには書

ききれない程，複雑な式になる．この方程式の特徴とし

ては，確定特異点となる有理面が複数存在しており，

2M＋1個の一次独立な解のうち，「大きい解」と「小さい

解」が一つずつ存在し，残りはすべて正則解であること

が知られている．2次元Newcomb方程式に対する随伴

固有値問題は

Nξ＝一λRξ

齢（響一％）2

（112）

（113）

3、5外部モード問題への応用　ここでは，トーラスの外部境界（7＝α）において非同

次な境界条件が与えられた場合を考える．変分原理のあ

まり知られていない性質［17］として，Newcomb方程式

を満たす関数の集合をS＝｛ξ瞬ξ＝0｝とすると，

ξ（7），η（7）∈Sならば作用積分は

w［ξηH購1衡＞＋音〈◎ILl讐＞

　　　　　　　　　　　＋去く讐1乙の（・14）

922

Lecture　Note

　　　　　dξ。　ξξα＝ξ（α）rr一薔（α）・etc・

　　1怖一喜（M＋納

Singular　Point　Ana王ysis

（115）

（116）

のように境界値での値のみによって決まるという性質が

ある．

　ポロイダルモード数（1＝0，±1，…，±ハ4）に対して，

▽2（α）＝0（1ヂ吻），ylll2（α）＝1

という境界条件を与えたときの解

（117）

1．5

λ

0

一1．5

　　1『1【　　し掴ARG2D

　　l　　l　　三く　　　ゆき

　　｝

　　l　　l　　　　＄

　　1

コ1　　”

ERATOJ

》

S．Toku（1a

61σ5λ

41σ5

210魑5

．0

一21σ5

一41α5

yln（粥）＝1理転（7），…，瑠（7）γ（窺二〇，±1，…7±M）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（118）

は基底関数である．すなわち，任意の自由境界モードに

対する一般解は，ある係数物を用いて，

ξ（7）一Σ物y籾（7）

　　　7n

（119）

という線形結合で表される．先程の変分原理の性質よ

り，変位ξによるポテンシャルエネルギーの変化W［ξ，ξ］は表面の変位ベクトル劣＝（荒M，…，勘ソで表さ

れるため，

叫ξ，ξ1＝倒川め （120）

であり，行列ハは基底関数｛y刀2（7）｝によって与えられ

る．そして，沌の最小固有値が負であれば，外部キンク

モードは不安定である．

　このような基底関数の計算方法においても，やはり応

答法が使える．基底関数を

y刀～（7）＝Xア72（7）＋Hフ77（7） （121）

のように表し，π”～（7）に非同次境界条件を満たすベク

トル関数を与えれば，X’π（7）は通常の同次境界値問題

〈収177（り＝一く四η7（γ），X刀～（α）＝0 （122）

の解として解くことができる．

　しかし，このような手法で外部キンクモードを解くζ

とにあまり利点はないが（非同次境界の安定性を解けば

それで済むため），抵抗性壁モードの安定性解析におい

てフィードバック制御を行なうような場合は，唯一の有

効な解析手法となる［18］．

3．6　抵抗性MHD内部層問題　理想MHD的にプラズマが安定であるということは，

0 0．2　　0．4　　0．6　　0、8　　　1

　　　　　　β」

一61α5

1．2

Fig．7　Graphsofλo　by　MARG2Dand　ERATOJ．Thepointwhere　　　ノしo　crosses　theβJ　line　isβcr。

スペクトルの複素平面の不安定側に固有値が存在しない

ことである．非理想MHD効果によって不安定固有値γ

が現れたとする．この時，理想MHDの安定スペクトル

であるアルヴェン周波数ωAに比べて，γの絶対値が十分

小さい（γ《のA）と仮定すれば，これまでと同様にプラズ

マを外部領域と内部層に分けることができる．つまり，

外部領域は理想MHD（Newcomb方程式）で記述され，内

部層では非理想効果が支配的になるので，要はこれらの

接続問題に帰着される．

　抵抗性MHD内部層方程式で最も簡単な（圧縮性のな

い）モデルは

d2ψ　　＿

γdz2＝z二

　　　d2　　　d2εγE＝一評（～ψ）＋d22

（123）

（124）

であり，ここでψは静電ポテンシャル，8は磁力線に平

行な電場である．無限遠（Z→・・）における境界条件は

Newcomb方程式の解から与えられ，

i（z）＝0

ψ（2）㏄！＋立

　　　　2

（125）

（126）

であり，ここでは6が接続データに相当する．これに対

しては応答法が適用できるが，解析的に固有値γに対す

る6（γ）は

ビ1（γ弓蕃1畿ll斜 （127）

923

Joumal　ofPlasma　an（l　Fusion　Research　Vo1．78，No．9　September2002

と求めることができる．

　また，γを時問微分∂／∂渉に戻し，境界条件を

卿）一ψ・・（オ）（1＋妾）（128）

とおくことで，初期値問題を数値的に解くこともできる

［19］．これは強制磁気再結合のように，外部境界が時間

的に変動する場合に有効な解析手法となる．

3．7　まとめ

　磁場閉じ込めにおけるプラズマのMHD不安定性と

は，スペクトルの一部が，安定側にある連続スペクトル

から不安定側へ「こぼれ落ちる」ことと捉えることがで

きる．不安定側にこぼれ落ちたスペクトルは点スペクト

ル（固有値）として観測される．漸近接続法はこのよう

な観点からの安定性解析の理論的な技法であり，理想

MHDベータ値限界の解析を例にして，この手法を紹介

した．MHD安定性理論における漸近接続法では：New－

comb方程式と内部層方程式が活躍し，したがって，これ

らの方程式の数値計算法も議論した．

　連続スペクトルに対する摂動として，方程式のエル

ミート性を壊さない摂動（ベータ値限界の場合）と壊す

摂動一特異摂動と呼ばれる一とがある．電気抵抗が重要

な役割を果す抵抗性壁モードや抵抗性MHDモードは後

者の場合である．これについては簡単に触れるにとど

まった．エルミート性を壊す摂動の他の例はプラズマ回

転である．このような場合にも漸近接続法は有効であろ

うと思われる．

　この方法が関心をもたれるのは，数学的な面白さだけ

でなく，トカマクの安定性解析に役立つ実用的な方法と

なりえるからである．しかしながら，漸近接続法にもと

づく実際的な解析はまだまだ不十分であり，今後の一層

の発展が期待される．

　　　　　　　　参考文献［1］R．クーラント，D．ヒルベルト：数理物理学の方法

　　（2），（東京図書，1984）．

［2］B．フリードマン＝新しい応用数学　原理とテクニッ

　　ク　（地人書館，1971）．

［3］吉田善章：集団現象の数理（岩波書店，1995）．

［4］C．M．Bender，S．A．Orszag，A4vαnc64ハ伽h61篇∫6α1ハ4ε孟h－

　　04sカ7Sc∫61π醜sαn4Eη8∫η6α5（SpringeL　New　York，

　　1999）．

［5］ランダウ・リフシッツ＝量子力学一非相対論的理論

　　一（東京図書，1983）．

［6］J．P．Frei（1berg，146αzル勉8nαohly4704ynαnπos（Plenum

　　Press，New　York，1987）．

［7］D．Biskamp，ノ〉on伽6αrル勉gη6オohy4ro4ynα履os（Cam－

　　bridge　Univ．Press．，Cambridge，1993）．

［8］R．D．Hazeltine　and　J．D．Meiss，Pzαs耀αco瞬n61η傭

　　（Addison－Wesley，Redwood，1992）．

［9］巽　友正：流体力学（培風館，1982）．

［10］R．C．Grimm，J．M．GreeneandJLJohnson，Computation

　　ofthe　Magnetohydrodynamics　Spectmm　in　Axisym－

　　metric　Toroidal　Confinement　Systems，inル蹴ho4s融

　　Co溺躍嬬∫onαl　Phys∫03Vo1．16（Academic　Press，New

　　York，1976）．

［11］R．Gruber　an（l　J．RapPaz，F腕舵El召n¢8彫s〃召∫ho4s∫n　L碗一

　　θα7148αZ〃α8ηαohy4roめ7ηαnπcs（Springer，Berlin，1985）．

［12］福原満洲雄：常微分方程式（岩波書店，1980）．

［13］S．Tokuda　andT．Watanabe，J．PlasmaFusionRes．73，

　　1141（1997）．

［14］S．Tokuda　and　T．Watanabe，Phys．Plasmas6，3012

　　（1999）．

［15］S．Toku（la，Nuclear　Fusion41，1037（2001）．

［16］A，Pletzer　an（1R．L．Dewar，J．Plasma　Phys．45，427

　　（1991）．

［17］RP。ファインマン，A．R．ヒッブス＝ファインマン経路

　　積分と量子力学（マグロウヒル，1990）．

［18］A．H．Boozer，Phys．Plasmas5，3350（1998）．

［19］S，Tokuda，J。Plasma　Fusion　Re＄77，276（2001）．

＝｝　　　　　　心小＝ンぶ／ぶ際記ひ＝ひ號畷小P層ぶる心イ窟〉瞭く冶心ひ離卒繋小物、財ぶ箪

き1漁稔由罷　　！1馨日本原子力研究所主任＿大阪大学工1

縄論翻難毒論灘蕪鼎灘笛弩／の私．作．た，諜欝懲雛締幽輸1妓週末は，東海村村民から都民に変わつて・ひたすら者吋

懇鍵難璽黛懸＿＿＿、＿＿＿＿、＿藩

924