Universidad del Valle de Mxico, Campus Villahermosa. II Modelos de solucin de lneas de espera

Elabor: MC. Marcel Ruiz Martnez 1

III. MODELOS DE OPTIMIZACIN DE LINEAS DE ESPERA

Objetivo de la unidad: El estudiante analizar los modelos de optimizacin de lneas de espera, examinando el ptimo de m para modelos M/M/1 y el ptimo de C para modelos M/M/C.

En la unidad anterior vimos las ecuaciones para el anlisis econmico de los sistemas de colas de espera, las ecuaciones son:

servidores n"" dedisponer por costo esperar por costo totalCosto +=

El costo por esperar representa el costo por tener a los clientes esperando en la fila; esto puede incluir la cantidad de clientes que el negocio pierde por que se van dados los altos tiempos de espera, o el costo de la insatisfaccin del cliente por estar esperando en una fila. Ntese que entre mas servidores se incluyan dicho costo disminuye por que los clientes esperan menos tiempo en la fila.

El costo de disponer de n servidores, representa el costo por la contratacin de esos n servidores en caso de que sean personas; o tambin los costos de mantenimiento y operacin de dichos servidores en caso de que sean mquinas, entre mas servidores instalemos este costo aumentar.

Cw = Costo por esperar una hora (generado por los clientes). Cs = Costo por disponer de un servidor una hora (generado por los servidores).

En una hora, el costo total quedara definido: CT = Costo por esperar + Costo de los servidores CT = Lq Cw + s Cs La idea es determinar el nmero de servidores s de forma tal que se minimice el costo total del proceso de colas.

Ntese que la unidad de tiempo puede definirse no solo en horas, tambin puede definirse en das, semanas o meses dependiendo de la naturaleza del problema.

Es decir, el costo por da, semana o mes tambin puede describirse con la ecuacin: CT = Lq Cw + s Cs

Solo que los valores de Cw y Cs deben tener unidades de dinero por cada da, semana o mes dependiendo del caso.

Una consideracin adicional: En caso de que los clientes sean personas en un negocio donde al ser atendidos no pueden retirarse se usa Lq, ya que se considera que si un cliente est siendo atendido en una caja es muy difcil que se retire en ese momento (por ejemplo en un supermercado o en un banco); los nicos clientes que pueden retirarse son los formados en la fila, por eso es que se usa Lq (clientes en la cola) como referencia en la ecuacin anterior.

Pero en caso de servicios como sistemas de atencin telefnica, el cliente podra retirarse colgando el telfono o suspender el servicio. Si la naturaleza del negocio permite que el cliente se retire en la fila o en el proceso de atencin; en lugar de Lq puede usarse Ls.

Quedando la ecuacin: CT = Ls Cw + s Cs

Con las ecuaciones anteriores resuelva el siguiente caso:

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Elabor: MC. Marcel Ruiz Martnez 2

CASO 1. KeenCo Publishing va a comprar una copiadora comercial de alta velocidad. Los proveedores le han propuesto cuatro modelos cuyas especificaciones se resumen a continuacin:

Modelo de la copiadora

Costo de operacin ($/hr)

Velocidad (hojas/min)

1 15 30 2 20 36 3 24 50 4 27 66

Los trabajos llegan a keenCo siguiendo una distribucin poisson, con promedio de 4 por da en 24 horas. El tamao del trabajo es aleatorio y el promedio es de 10,000 hojas por trabajo. Los contratos de los clientes se especifica una multa de $80 por trabajo y por da (los trabajos deben estar listos el mismo da). Determine cual copiadora debe comprar la empresa KeenCo.

Obtenido de: Hamdy A Taha. Investigacin de Operaciones. Pearson Eduacin.

Solucin. Dado que las multas se indican por cada da de retraso, conviene pasar los datos del problema a das; considerando que el negocio trabaja las 24 horas del da (ver redaccin del problema).

El costo total puede definirse como: CT = LsCw + s Cs Pero como se va a comprar solo una copiadora el nmero de servidores siempre ser s = 1.

La primera literal que requerimos Lq se alimenta de los datos de la tasa de llegadas () y la velocidad del servicio ().

Ls

=

Dado que en la redaccin del problema tenemos que Los trabajos llegan a keenCo siguiendo una distribucin poisson, con promedio de 4 por da en 24 horas. El tamao del trabajo es aleatorio y el promedio es de 10,000 hojas por trabajo

Dado que la multa est indicada en nmero de trabajos no podemos considerar la cantidad de hojas ni en la tasa de llegadas ni en la velocidad del servicio, todo lo debemos pasar a nmero de trabajos; quedando:

= 4 trabajos / da.

Y la velocidad del servicio debe quedar de la siguiente forma: (solo indicado para el primer modelo de la copiadora, el alumno debe obtener el resto):

Modelo de copiadora

Velocidad (hojas/min)

Velocidad del servicio

(trabajos/da)1 30 4.322 363 504 66

10000 Hojas por trabajo

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Con los datos anteriores podemos calcular la cantidad de trabajos en el sistema, para cada modelo de copiadora:

Modelo de copiadora

Velocidad (hojas/min)

Velocidad del servicio

(trabajos/da)

Ls (cantidad de trabajos)

1 30 4.32 12.52 363 504 66

10000 Hojas por trabajo

= 4 trabajos / dia

Entonces en la ecuacin del costo total tenemos: CT = LsCw + s Cs s = 1 Cw=$80 Cs=Costo de operacin/hora x 24 horas/dia

Mod Vel, cop

Cost Op ($/hr)

Vel servicio (trab/da)

Ls (cantidad de trabajos)

Costo Oper

($/dia)

Costo esp Cost total

1 30 $15 4.32 12.5 $360 $1,000 $1,3602 36 $203 50 $244 66 $27

Hojas por trabajo 10000

= 4 trabajos / diaCw = $80 trabajo

Calcule el resto de los datos de la tabla y determine el mejor modelo a comprar.

CASO 2. Metalco esta contratando un mecnico para un taller con 10 mquinas. Se esta examinando a dos candidatos. El primero puede reparar 5 mquinas por hora y gana $15 cada hora. El segundo, ms hbil, recibe $20 por hora y puede reparar 8 mquinas cada hora. Cada mquina descompuesta le cuesta a la empresa $50 cada hora por falta de produccin; suponiendo que las mquinas se descomponen siguiendo una distribucin de Poisson con una media de 3 cada hora y el tiempo reparacin tiene una distribucin exponencial Cul persona debe contratarse?

NOTA: Use las ecuaciones del modelo 3 indicadas en la unidad anterior.

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ACTIVIDAD 2. Optimizacin de lineas de espera. Realice el siguiente ejercicio.

Entre la 1:00 pm y 5:00 pm los clientes llegan a la oficina de boletos de la zona centro de Nueva York de la United Airlines a razn de 50 por hora. El tiempo promedio que un agente de boletos pasa con un cliente es de 6 minutos. Dichos agentes ganan $20 por hora en sueldos y prestaciones y United Airlines estima que el costo mercantil (o en prestigio) de que un cliente este esperando en el centro de atencin es de $25 por cada hora, mientras que el costo mercantil por que un cliente recibe atencin es de $5 por hora. Si los clientes llegan a una distribucin poisson y el tiempo de servicio sigue una distribucin exponencial. Determine el nmero ptimo de agentes que la aerolnea debe tener trabajando en su oficina en la zona centro entre la 1:00pm y 5:00pm.

Entrega tus resultados en forma de PRCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rbricas indicadas en la direccin: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm

Enviar el documento final por correo electrnico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelusoacademico@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx con copia a usted mismo.

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