2第五章第 讲 1

§4 §4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换查表法查表法部分分式展开法部分分式展开法留数法留数法应用拉氏变换的性质应用拉氏变换的性质

2第五章第 讲 2

返回返回部分分式展开法部分分式展开法

用部分分式展开法求拉普拉斯反变换， 一般为有理函数。

单极点： D(s)=0的根也称为的极点。

)(

)()(

sD

sNsF

n

i i

i

ps

KsF

1

)(FF(s)(s) 可展开成可展开成

)2,1( nipi 为 为 nn 个不相等的单根个不相等的单根。。

ipsii sFpsK )()(

n

i

tpi teKtf i

1

)()(

2第五章第 讲 3

例 例 5.165.16 反变换公式反变换公式

已知 ，求 f (t)。)12)(65(

162)(

2

2

sss

ssF

解：1232)12)(3)(2(

162)( 321

2

s

K

s

K

s

K

sss

ssF

4.210

24

)12)(3(

1622

2

1

sss

sK

9

34

)12)(2(

1623

2

2

sss

sK

45

152

90

304

)3)(2(

16212

2

3

sss

sK

)(45

152

9

344.2)( 1232 teeetf ttt

2第五章第 讲 4

返回返回部分分式展开法部分分式展开法

多重极点： 若 D(s)=(s – p1)n, 令 n=3

FF(s)(s) 可展开成可展开成1

32

1

23

1

1

)()()(

ps

K

ps

K

ps

KsF

1)()( 3

11 pssFpsK 1

)]()[( 312 pssFps

ds

dK

1)]()[(

2

1 312

2

3 pssFpsds

dK

)(2

)( 11132

21 teKetKetK

tf tptptp

2第五章第 讲 5

例 例 5.175.17 反变换公式反变换公式

已知 ，求 f (t)。

解：

)1(

1)(

23

sssF

11)1)(1(

1)( 543

22

31

3

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

ssssF

11

10

21

ss

K 0)1(

20

222

ss

sK

1)1(

2)1(4)1(2

2

10

42

222

3

ss

ssssK

2

1

)1(

11

34

sss

K

2

1

)1(

11

35

sss

K

)(2

1

2

11

2

1)( 2 teettf tt

－

2第五章第 讲 6

返回返回部分分式展开法部分分式展开法 复数极点： 若 D(s)=(s –-j )(s –+j ) ,

其根为 p1,2= j

FF(s)(s) 可展开成可展开成

2221

)()(

s

NMs

js

K

js

KsF

jBAKsFjsK js 11 ||)()( １

由于 F(s)是 S的实系数有理函数，应有

jBAKKK 1112 ||

2第五章第 讲 7

部分分式展开法 部分分式展开法 复数极点

原函数的形式之一原函数的形式之一

tjjtjj

tjtj

eeKeeK

eKeKtf)(

1)(

1

)(2

)(1

11 ||||

)(

)()cos(||2

][||

11

)()(1

11

tteK

eeeKt

tjtjt

js

K

js

KsF

21)(

11 || KK１

2第五章第 讲 8

部分分式展开法 部分分式展开法 复数极点

原函数的形式之二原函数的形式之二

js

K

js

KsF

21)( jBAK １

tjtj

tjtj

ejBAejBA

eKeKtf)()(

)(2

)(1

)()(

)(

)(]sincos[2

)]()([

ttBtAe

eejBeeAet

tjtjtjtjt

2第五章第 讲 9

部分分式展开法 部分分式展开法 复数极点

原函数的形式之三原函数的形式之三

22)()(

s

NMssF

)(cos)( 22

ttes

s t

)(sin)( 22

ttes

t

2222 )()(

)(

s

NM

s

sM

)()sincos()( tteNM

tMetf tt

2第五章第 讲 10

例 例 5.185.18 反变换公式反变换公式

已知 ，求 f (t)。)52(

1)(

2

ssssF

解一： 解得：0522 ss 212,1 js

2121)( 221

js

K

js

K

s

KsF

5

1

52

10

21

sss

K

4.153

20

5290

54

1

4)21(

1

)21(

1 1

212 tg

jjjssK

js

)()4.1532cos(10

5

5

1)( ttetf t

2第五章第 讲 11

例 例 5.185.18 反变换公式反变换公式

已知 ，求 f (t)。)52(

1)(

2

ssssF

解二： 解得：0522 ss 212,1 js

2121)( 221

js

K

js

K

s

KsF

5

1

52

10

21

sss

K

20

1

10

1

48

1

4)21(

1

)21(

121

2 jjjjjss

Kjs

)(2sin10

12cos

5

1

5

1)( ttetetf tt

2第五章第 讲 12

例 例 5.185.18 反变换公式反变换公式

已知 ，求 f (t)。)52(

1)(

2

ssssF

解三： 221

2)1()(

s

NMs

s

KsF

5

1

52

10

21

sss

K

)(2sin10

12cos

5

1

5

1)( ttetetf tt

)52(

)52(

)52(

1)(

2

2251

2

sss

NsMsss

ssssF

可得：5

2,

5

1 NM

22101

2251

51

2)1(

2

2)1(

)1()(

ss

s

ssF

2第五章第 讲 13

留数法留数法

j

j

ts dsesFj

tf

)(

2

1)(

0])([Res1

j

tABesF tsm

j

以右的极点在

0])([Res1

i

tABesF tsn

i

以左的极点在

若若 sskk 为单极点，则留数为：为单极点，则留数为：kSS

tsk esFss ])()[(Resk

若若 sskk 为为 pp 重极点，则留数为：重极点，则留数为：kSS

tspkp

p

esFssds

d

p

)()(

)!1(

1Res

1

1

k

j

00

A

B

C

j

00

A

B

C

t<0封闭积分路线 t>0封闭积分路线

返回返回

2第五章第 讲 14

留数法的特点留数法的特点 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一

致。致。 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、

双边拉普拉斯变换等。双边拉普拉斯变换等。 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及

其导数不符合约当引理，因此当原函数 其导数不符合约当引理，因此当原函数 f f ((tt))中包含有中包含有冲激函数及其导数时，需先将冲激函数及其导数时，需先将 FF((ss))分解为多项式与真分解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项。真分式求留数决定其它各项。

2第五章第 讲 15

例 例 5.195.19 留数法公式留数法公式

解：用留数法，在ＡＢ以左围线包含的极点的留数为：

已知 ，求 f (t)。asas

sF

]Re[1

)(

j

a0

A

B

C 00 t

0te ta)(tf

kSSts

k esFss ])()[(Resk

2第五章第 讲 16

例 例 5.205.20

已知 ，求 f (t)。asas

sF

]Re[1

)(

解：用留数法，在ＡＢ以右围线包含的极点的留数为：

j

a0

A

B

C 00 t

0 te ta)(tf

kSSts

k esFss ])()[(Resk

2第五章第 讲 17

例 例 5.215.21 留数法公式留数法公式

解：用留数法，在ＡＢ以左和以右围线各包含一个极点。原函数为：

已知 ，求 f (t)。

0te tb

0 te ta)(tf

bsasbas

sF

]Re[11

)(

j

a- 0 b

或 )()()( tetetf tatb

2第五章第 讲 18

例 例 5.225.22 留数法公式留数法公式

解一：部分分式展开法

已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。)2()1(

3)(

2

ss

ssF

2

1

1

1

)1(

2

)2()1(

3)(

22

sssss

ssF

)(2)( 2 teeettf ttt

22

31

1

ss

sK 1

)2(

11

22

ss

K 1)1(

32

23

ss

sK

2第五章第 讲 19

例 例 5.225.22

解二：留数法 F(s)的一阶极点 p1=-2，二阶极点 p2=-1。t

Sts eesFs 2

2)()2( 故 Res(p1)=

tt

S

tsts

S

ts

eetets

se

s

esFsds

d

22

3

)2(

1

)()1(

12

1

2Res(p2)

故有 )(2)( 2 teeettf ttt

已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。)2()1(

3)(

2

ss

ssF

2第五章第 讲 20

拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质序号 时域 f(t) 复频域 F(s)

1 线性性 a f1 (t)+b f2 (t) aF1 (s)+bF2 (s)

2 尺度性 f (at) a>0

3 时移性 f (t-t0) (t-t0) t0>0

4 频移性 f (t) e-a t F(s+a)

5 时域微分 sF(s)－f (0-)

6 时域积分

7 复频域微分 (-1)n t n f(t)

8 复频域积分

9 时域卷积 f1 (t)* f2 (t) F1(s)F2(s)

10 复频域卷积 f1 (t) f2 (t)

11 初值定理

12 终值定理

a

sF

a

1

)(0 sFe ts

td

tfd )(

s

sF )(

tdf

0)(

n

n

ds

sFd )(

t

tf )(

sdssF )(

)()(2

121 sFsF

j

)(lim)(lim)0(0

ssFtffst

)(lim)(lim)(0

ssFtffst

返回返回

2第五章第 讲 21

应用拉氏变换的性质求反变换应用拉氏变换的性质求反变换 查看性质查看性质

解：

应用时移性质：

例 5.23：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。65

)(2

ss

essF

S

Ses

K

s

KsF

)

32()( 21

23 2

1

ss

sK 3

2 32

ss

sK

)1(3)1(2)( )1(3)1(2 tetetf tt

2第五章第 讲 22

例 例 5.245.24

已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。2

1)(

s

esF

S

解： SSSS

es

esss

eesF 2

2222

2 12121)(

应用时移性质：

)2()2()1()1(2)()( tttttttf

2第五章第 讲 23

例 例 5.255.25 查看性质查看性质

解：

应用时域微分性质：

已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。2)(

)(as

ssF

2)(

1

aset ta

02)()(

ttatata et

as

saete

)()1()( ttaetf ta

2第五章第 讲 24

例 例 5.265.26

已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。)1)(1(

1)(

2

)1(

S

S

es

esF

解：令 已知1

1)(

)1(

1

s

esF

S

)1()(1

tts

e S

根据频移特性： )()]1()([1

1)( 1

)1(

1 tfetts

esF t

S

根据周期函数的拉普拉斯变换： Se

sFsF

21

1

)()(

)]3()2([)]1()([)( )2( ttettetf tt )(tf

t1

1

2 30

te

查看性质查看性质

2第五章第 讲 25

初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用

初值定理的应用条件：初值定理的应用条件： FF(s)(s) 必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将将 FF(s)(s) 化成一个整式与一个真分式化成一个整式与一个真分式 FF00(s)(s) 之和。之和。

函数函数 ff (t)(t) 初值初值 ff (0(0++))应等于应等于 ff 0 0(0(0++))的初值。的初值。 终值定理的应用条件：终值定理的应用条件：

FF(s)(s) 的极点必须位于的极点必须位于 SS平面的左半平面；平面的左半平面； FF(s)(s)在在 s=0s=0处若有极点，也只能有一阶极点。处若有极点，也只能有一阶极点。

)(lim)(lim)0(0

ssFtffst

)(lim)(lim)(0

ssFtffst

初值定理：初值定理： 终值定理：终值定理：

2第五章第 讲 26

初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用求下列各象函数反变换的初值与终值。求下列各象函数反变换的初值与终值。

sss

ssF

23

12)(

23

023

12lim)(lim)0(

230

sss

sstff

st

2

1

23

12lim)(lim)(

230

sss

sstff

st

2第五章第 讲 27

初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用

)4(

1)(

2

2

ss

esF

s

0)4(

1lim)(lim)0(

2

2

0

ss

estff

s

st

由于在由于在 SS 平面的平面的 jj 轴上有一对共轭极点，轴上有一对共轭极点，故 故 ff (t)(t) 不存在终值。不存在终值。

求下列各象函数反变换的初值与终值。求下列各象函数反变换的初值与终值。

2第五章第 讲 28

初值定理和终值定理的应用初值定理和终值定理的应用

)3)(2)(1(

12

6116

12)(

23

23

23

sss

sss

sss

ssssF

6116

)595(1)(

23

2

sss

sssF

56116

)595(lim)(lim)0(

23

2

0

sss

ssstff

st

0)(lim)(lim)(0

sFstffst

求下列各象函数反变换的初值与终值。求下列各象函数反变换的初值与终值。

2第五章第 讲 29

课堂练习题课堂练习题求下列象函数的拉普拉斯反变换。

)2)(1(

24)(

2

ss

sssF(1)

)2)(1(

1)(

2

ss

essF

s

(2) 3)2)(1(

4)(

sssF

(3)

)()(2)()( 2 tetettf tt

)()()2(]2[)( 2)2()2(2 teeteetf tttt

)(]4424[)( 2222 teteetetf tttt

2第五章第 讲 30

课堂练习题课堂练习题求 F(s)拉普拉斯反变换 f (t),并画出它的波形。

)1(

1)(

22 s

s

es

essF

sesss

sF 221

111)( )1()1()()()(1 ttttttf

0 1 2 3 4

)(tf

t