Θεώρημα Bolzano

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [α , β]. Αν Η f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α)f(β) < 0

τότε υπάρχει x0 (α , β) τέτοιο ώστε f(x0) = 0Δηλαδή, υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f στο ανοικτό (α ,

β)

ΠΡΟΣΟΧΗ ! ! ! Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει

Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Bolzano

Θεώρημα Μέσης τιμής

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [α , β]. Αν Η f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α) ≠ f(β)

τότε υπάρχει x0 (α , β) τέτοιο ώστε f(x0) = η

Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης τιμής

Η ευθεία y = η τέμνει την Cf σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β (βλ. σχήμα)

Θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] τότε παίρνει στο [α, β] μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη m.Δηλαδή αν m = f(x1) και M = f(x2) τότε : m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M για κάθε x[α,β]

Επίλυση ασκήσεων με το θ. Bolzano

1_ Ασκήσεις που ζητούν να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε κάποιο διάστημα.

Για την επίλυση : Θεωρούμε συνάρτηση ίδια με την εξίσωση, ερευνούμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του

θ.Bolzano, και το εφαρμόζουμε.

2_ Ασκήσεις που ζητούν να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός ξ σε ένα διάστημα (α , β), ώστε να ισχύει μία ιδιότητα.

Για την επίλυση : α) Θέτουμε στην ζητούμε νη σχέση όπου ξ το x

και φέρνουμε όλους τους όρους στο α΄ μέρος

β) Θεωρούμε το πρώτο μέρος σαν συνάρτηση f

γ) εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος Bolzano, και το εφαρμόζουμε.δ) Αν η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο

από τα άκρα α ή β , τότε απαλείφουμε τους

παρονομαστές.

3_ Ασκήσεις που ζητούν την ύπαρξη περισσότερων σημείων ξ που να

ικανοποιούν κάποια ιδιότητα.

Για την επίλυση : Εφαρμόζουμε ν φορές το θ.Bolzano σε ν διαστήματα, που δεν έχουν κοινά

σημεία. Τα ν διαστήματα, είτε θα δίνονται, είτε θα τα ορίζουμε εμείς.

Τι πρέπει να γνωρίζουμε επί πλέον ότι :

1_ Αν κατά την εφαρμογή του θ. Bolzano προκύψει f(α)f(β) ≤ 0, τότε

διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία η κανονική εφαρμογή του θεωρήματος για το «μικρότερο», και μία η περίπτωση

f(α)f(β)=0 από την οποία συμπεραίνουμε ότι ή f(α)=0 ή f(β)=0 οπότε ή ξ = α ή ξ = β

2_ Αν μία συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα Δ (δηλαδή f(α)f(β) > 0), τότε αυτή είναι είτε θετική, είτε αρνητική. Δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο.

3_ Μία συνεχής συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο, πάντοτε, ανάμεσα στις ρίζες της