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geometria de Fatela Preuniversitarios
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Fatela PREUNIVERSITARIOS
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 1 -12
Matemática: Guía Nº 4 “GEOMETRÍA”
ÁNGULOS :
Un ángulo es un sector o región de plano limitado por dos semirrectas que parten desde un mismo punto llamado vértice.
Según su amplitud los ángulos se clasifican en:
Ángulos Opuestos por el Vértice :
Obtuso Llano
Nulo Agudo Recto
Cóncavo
°= 0α
°⟨⟨° 900 α °= 90α
°⟨⟨ 360180 α
°=180α °⟨⟨ 18090 α
Pleno °= 360α
Convexos
α β
α = β
Son de igual amplitud
Vértice
Ángulo Semirecta
Semirecta
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 2 -12
Suplementarios α + β = 180º
Complementarios α + β = 90º
Consecutivos Adyacentes, α + β = 180º
α
β
α
α
α
β
β
β
Ángulos entre paralelas α
β Correspondientes
Conjugados Alternos
α α
α α
β β
β β
α = β
Internos α = β
Externos α = β
α + β = 180º
α + β = 180º
Internos
Externos
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 3 -12
TRIÁNGULOS
Según sus lados se clasifican en:
Según sus ángulos interiores se clasifican en:
En todo triángulo equilátero, además de ser iguales sus tres lados
también son iguales sus tres ángulos interiores y por lo tanto igual a 60º cada uno.
En todo triángulo isósceles se cumple:
Equilátero Isósceles Escaleno
Rectángulo Un ángulo
interior recto
Acutángulo Todos sus ángulos
son agudos
Obtusángulo Un ángulo
interior obtuso
hipotenusa
cateto
cateto
En el vértice B : α' + β + γ’ = 180º
α
β
γ
α’
A
B
C
γ’ α + β + γ = 180º
Suma de los Angulos Interiores de un Triángulo:
α’ = α y γ’ = γ (por ser Alternos Internos entre paralelas)
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 4 -12
En los triángulos rectángulos se aplica el Teorema de Pitágoras, que
dice : “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
En los triángulos oblicuángulos, que son triángulos cualquiera (no rectángulos) se puede aplicar los teoremas del seno y coseno.
b
2
α
b/2 b/2
α 1) Tiene dos lados iguales y uno desigual. 2) Tiene dos ángulos interiores iguales y uno
desigual. 3) La altura correspondiente a la base desigual,
divide en dos partes iguales a dicha base. 4) Esta altura es también bisectriz del ángulo
desigual, o sea que divide en dos partes iguales a dicho ángulo.
2
α
a2 = b2 + c2 Se llaman catetos a los
lados que forman el ángulo recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo
recto. La hipotenusa es siempre el lado de mayor longitud
cateto c
cateto b a hipotenusa
c
αααα ββββ
γγγγ a b
Teorema del Seno
c
sen
b
sen
a
sen γβα==
Teorema del Coseno
αcos...2222 cbcba −+=
βcos...2222 cacab −+=
γcos...2222 babac −+=
Para que estos Teoremas tengan validez y sean fáciles de recordar,
debe llamarse “α” al ángulo opuesto al lado “a”, “β” al ángulo
opuesto al lado “b” y “γ” al ángulo opuesto al lado “c”.
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 5 -12
PERÍMETROS Y SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS
FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE
CUADRADO
P = l + l + l + l
P = 4 . l
Sup = l . l
Sup = l2
RECTÁNGULO
P = b +h +b +h
P = 2.b + 2.h
Sup = b . h
TRIÁNGULO
P = b + L + l 2
.hbSup =
TRIÁNGULO ISÓSCELES
P = l + l + b
P = 2.l + b 2
.hbSup =
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
P = b + h + l 2
.hbSup =
PARALELO- GRAMO
P = b + l + b + l
P = 2.b + 2.l
Sup = b . h
b
h l
b
l h
b
L l
h
l
b
h
l l
h
b
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 6 -12
FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE
ROMBO
P = l + l + l + l
P = 4 . l 2
.dDSup =
ROMBOIDE
P = l + l +L +L
P = 2.l + 2.L 2
.dDSup =
TRAPECIO
P = B + b + L + l ( )
hbB
Sup .2
+=
TRAPECIO ISÓSCELES
P = B + b + l + l
P = B + b + 2.l
( )h
bBSup .
2
+=
TRAPECIO RECTÁNGULO
P = B + b + h + l
( )h
bBSup .
2
+=
b
l h B
b
l
B
h l
D
l
d
l l
L L
d
D
b
B
h L l
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 7 -12
FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE
CÍRCULO
P = ππππ . D
P = 2 . ππππ . R
Sup = π . π . π . π . R2 2
2.
=
DSup π
4
. 2DSup
π=
POLÍGONO REGULAR de “n” lados
P = n . l
2
.. AplnSup =
2
.ApPSup =
SUPERFICIE Y VOLUMEN DE CUERPOS
CUERPO SUPERFICIE Lateral y total
VOLUMEN
CUBO
Sup lat= 4 . a2
Sup tot = 6 . a2
Vol = a3
Paralelepípedo
Sup lat.= 2.a.c + 2.b.c
St = 2ab + 2bc + 2ac
Vol = a.b.c
D
R
l
Ap
a a
a
a b
c
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 8 -12
CUERPO SUPERFICIE Lateral y total
VOLUMEN
PRISMA RECTO
V = Sup Base . h
CILINDRO
Vol =ππππ. . . . R2. h
CONO
hRVol ..3
1 2π=
ESFERA
Sup = 4.ππππ.R2 3.3
4RVol π=
PIRÁMIDE
hSupVol base .3
1)(=
2π.Rh
h
R St = 2π.R.h+2π.R2
R Sl = 2π.R.h
St = 2π.R(h+R)
h
R
h
R
g
R
g
Slat = π.R.g
St = π.R.g +π.R2
St = π.π.π.π.R.(g+R)
2π.R
R
h
h
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 9 -12
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO :
RECTAS SECANTES
RECTAS PARALELAS
Paralelas Disjuntas
Paralelas Coincidentes
R1
R2 R1 ≡ ≡ ≡ ≡ R2
R1 R2
R1
R2
Rectas Oblicuas
Rectas Perpendiculares
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 10 -12
Trabajo Práctico Nº 4: “Cálculos Geométricos”
4.1) Calcular el valor exacto (usando números irracionales cuando corresponda) del perímetro y el área de las siguientes figuras planas.
2 m
6 m
a)
2. 8 cm
3. 2 cm
b)
2. 3 m
c)
3 cm
12 cm
27 cm
d)
e)
2. 2 cm
3. 2 cm
3 5m
2. 5 m
5m
f)
8 cm
3 cm
9 cm
g) 18 m
50 m
8 m
h)
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 11 -12
4.2) Calcular las dimensiones (radio y altura) de un cilindro de 500 cm3, cuya altura es el doble del diámetro.
4.3) ¿Cuál es el radio (en cm) de una esfera cuya capacidad es de 6 800 cm3?
4.4) Se dispone de una pieza metálica de forma cilíndrica con 5 cm de radio y 12 cm de altura. Si dicha pieza se funde para formar una esfera: ¿Cuál será el radio de la esfera que podrá formarse con ese material, si no se pierde nada del mismo?
4.5) ¿Cuál es la superficie de una esfera de 12 cm de diámetro?
4.6) ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio y cuya superficie lateral es de 120 cm2?
4.7) Calcular la superficie de un triángulo isósceles rectángulo cuyo perímetro es igual a 48 m.
4.8) Calcular el volumen de un cono cuya base circular tiene un área de 25 cm2 y cuya altura es cinco veces su diámetro.
4.9) Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio es la mitad de la altura, si se sabe que su superficie lateral es de 55 cm2.
4.10) Calcular la generatriz de un cono de 630 cm3 si la razón entre el radio y la altura es 2 : 3.
4.11) ¿Cuál es el volumen de una esfera que tiene una superficie total de 45 cm2?
4.12) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es de 54 cm2?
4.13) Se dispone de un prisma recto con un volumen de 125 cm3. Si la base este prisma es un trapecio cuyas bases miden 8 y 12 cm con una altura de 4 cm: ¿Cuál es la altura del prisma?
4.14) Calcular la superficie de un triángulo isósceles cuya base desigual mide 8 m si su perímetro es de 18 m.
4.15) Calcular la superficie de un octógono regular cuyo perímetro es de 32 cm?
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MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 12 -12
Resultados del Trabajo Práctico N° 4: "Cálculos Geométricos"
4.1) a) P = 4 10m S = 6 m2
b) P = 14 2 cm S = 24 cm2
c) P =4 3 21,77m mπ ≅ S = 12 π m2 ≈ 37,70 m2
d) P = ( )3 7 3+ cm S = 15
32
cm2
e) P = 8 2 cm S = 4 2 cm2
f) P = ( )10 6 5+ m S = 30 m2
g) P = ( )10 4 13+ cm S = 36 cm2
h) P = ( )8 2 2 10+ m S = 16 m2
4.2) r = 3,41 cm h = 13,66 cm
4.3) r = 11,75 cm
4.4) r = 6,08 cm
4.5) r = 452,39 cm2
4.6) Vol = 151,39 cm3
4.7) Sup = 98,83 m2
4.8) Vol = 235,08 cm3
4.9) Vol = 57,53 cm3
4.10) g = 13,29 cm
4.11) Vol = 28,39 cm3
4.12) Vol = 27 cm3
4.13) h = 3,125 cm
4.14) Sup = 12 m2
4.15) Sup = 77,25 cm2