4. Introduzione alla fisica moderna

Introduzione alla fisica moderna

CAPITOLO 3

1 POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli



Chapter 1. Relativity I pag. 1 1.1 1.2 1.4 1.6 Chapter 2. Relativity II pag. 41 2.1 2.2 2.3 Chapter 3. The Quantum Theory of light pag. 65 3.1 3.4 3.5 3.6

Chapter 4. The Particle Nature of Matter pag. 106 4.1 4.2 from pag. 119 to page 125 4.3 Chapter 5. Matter Waves pag 151 5.1 5.3 5.5 5.6 5.7

MODERN PHYSICS Third Edition By SERWAY/MOSES/MOYER

Introduzione alla fisica moderna La relatività


La relatività Galileiana

Sistemi di riferimento in moto relativo uniforme (sistemi inerziali)

Le velocità istantanee nei due sistemi di riferimento sono legati dalla relazione

Stessa accelerazione

x ' = x − vty ' = yz ' = zt ' = t

dx 'dt

= dxdt

− v

′ux = ux − v

d ′uxdt

= ′ax = ax


Esperimento di Michelson Morley (1887) La velocità della luce è invariante

Nel 1905 Einstein sviluppa la Relatività Ristretta basta su due postulati fondamentali

La velocità della luce è costante Le leggi della fisica devono essere invarianti in due sistemi inerziali



Analisi del concetto di simultaneità

Due eventi simultanei per l’osservatore nel sistema in moto O’ riposo, non lo sono per l’osservatore nel sistema in quiete O



Le trasformazioni di Lorentz


x ' = x − vt1− (v2 c2 )

y ' = yz ' = z

t ' = 11− (v2 c2 )

(t − vxc2)

′ux =ux − v

1− (uxv c2 )Le velocità istantanee nei due sistemi di riferimento sono legati dalla relazione


Contrazione delle lunghezze


Sbarra in quiete nel sistema S’ ′L = ′xB − ′xA

Lunghezza della sbarra nel sistema S

L = xB − xA

Utilizzando le trasformazioni di Lorentz si ottiene

L = ′L 1− (v2 c2 ) L’osservatore in S (in quiete) vede la sbarra in moto con una lunghezza minore

′xA =xA − vt1− (v2 c2 )

′xB =xB − vt1− (v2 c2 )




Dilatazione dei tempi


Misuriamo nel sistema S’ la distanza temporale fra due eventi nello stesso punto x’

′T = ′tb − ′ta

Un osservatore nel sistema S misura un intervallo di tempo

Utilizzando le trasformazioni inverse di Lorentz si ottiene

T = ′T1− (v2 c2 )

L’osservatore in S (in quiete) misura un tempo più lungo

ta =′ta + v ′x c2

1− (v2 c2 )

tb =′tb + v ′x c2

1− (v2 c2 )

T = tb − ta


La quantità di moto di una particella che si muove a velocità molto grandi deve essere ridefinita come

m è la massa riposo, cioè la massa misurata dall’osservatore in cui la massa stessa è a riposo

Possiamo scrivere la forza come

e si trova Se la velocita si avvicina a c, l’accelerazione tende a zero

!p = m!u1− (u2 c2 )

= γ m!u γ = 11− (u2 c2 )

!F = d

!pdt

= ddt(γ m!u)

a = dudt

= Fm(1− u2 c2 )

32



Calcoliamo il lavoro fatto da una forza



Questo lavoro si trasforma in energia cinetica

A basse velocità e sviluppando in serie

E quindi

=

Si ritrova il risultato classico non relativistico




La velocità della luce è una velocità limite


Se scriviamo l’energia cinetica come.

possiamo dedurre che alla particella è associata un’energia totale

Energia cinetica

Energia a riposo

Equivalenza massa energia di Einstein

K = γ mc2 −mc2 γ = 11− (u2 c2 )

E = γ mc2 = K +mc2

In assenza di energia cinetica E = mc2



Per particelle in moto a velocità relativistiche si preferisce utilizzare la quantità di moto piuttosto che la velocità !p = γ m!u E = γ mc2

Dalle relazioni precedenti si trova

E 2 = p2c2 + (mc2 )2

Nuovamente, per particelle a riposo E = mc2

Per particelle con massa a riposo nulla

E = pc


E 2 − p2c2 = (γ mc2 )2 − (γ muc)2 = γ 2m2c4 (1− (u2 c2 ) = (mc2 )2


Unità of energia usata nella fisica atomica

-e

1 Volt 1 electron-volt (eV)= energia trasferita ad un elettrone accelerato da una d.d.p di 1 volt

1 electron-volt = 1 eV = (1.6.10-19C) x (1V)= 1.6.10-19 J


Massa dell’elettrone me = 9.11 10-31 kg

mec2 = 8.20 10-14 Joule

Se convertiamo in electron-volt

mec2 = 0.511 MeV

Possiamo esprimere al massa dell’elettrone come

me = 0.511 MeV/c2

La relatività



Protone mp= 0.938 GeV/c2 = 1.6710-27 kg Neutrone mn= 0.939 GeV/c2 = 1.6740-27 kg

La relatività

Elettrone me= 0.511 MeV/c2 = 9.1-31 kg

E 2 = p2c2 + (mc2 )2Inoltre dalle relazione

Possiamo esprimere la quanità di moto come

p = 1c

E 2 − (mc2 )2

Misureremo quindi la quantità di moto come

p[ ] = eVc

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥



Estensione della legge di conservazione dell’energia In un urto fra particelle relativistiche si conserva l’energia totale, includendo anche le energie associate alle masse

Consideriamo un urto completamente inelastico fra particelle uguali nel sistema del Centro di Massa

E = γ mc2 = mc2

1− (u2 c2 )

mc2

1− (u2 c2 )+ mc2

1− (u2 c2 )= Mc2

R i c o r d i a m o l ’ e s p r e s s i o n e dell’energia

Conservazione energia

Mu uprima dopo

U = 0



M = 2m1− (u2 c2 )

M > 2m !!!

Inoltre ΔM = M − 2m = 2c2( mc2

1− (u2 c2 )−mc2 ) = 2K

c2

L’energia cineteca delle due particelle viene trasformata in energia di massa

Un caso particolarmente interessante si presenta quando una particella ferma si disintegra in due o più particelle di massa minore che si allontanano con velocità diversa da zero (decadimento)



Mc2 = m1c2

1− (u12 c2 )

+ m2c2

1− (u22 c2 )

<1Quindi M > m1 + m2 e la differenza di massa si trasforma in energia cineteca

Si definisce Q rappresenta l’energia rilasciata nel processo di decadimento

Q = (M −m1 −m2 )c2

Effetto fotoelettrico

Colpendo con la luce la superficie di un metallo si può avere emissione di elettroni.

L’energia cinetica con cui vengono emessi gli elettroni non dipende dall'intensità della radiazione ma dipende linearmente dalla frequenza. Esiste una frequenza di soglia f0 al di sotto della quale non si osserva emissione di elettroni. Al di sopra della frequenza di soglia, aumentando l'intensità della luce si aumenta il numero di elettroni emessi ma non la loro energia cinetica.




22

Si misura corrente anche con potenziali negativi perché gli elettroni vengono emessi con una certa energia cinetica Ek. Il potenziale a cui la corrente si arresta prende il nome di “potenziale di arresto V0”.

Alla frequenza di soglia

Ek, Max = e V0

Intensità radiazione incidente

POLIBA Laurea in Ingegneria dei Sistemi Medicali Interazione della radiazione con la materia biologica Prof. G. Iaselli



23

Inoltre per un dato materiale il valore del potenziale di arresto varia linearmente con la frequenza

Frequenza di soglia

f0 f

L’energia cinetica massima degli elettroni emessi dipende dalla frequenza della radiazione




24

Il modello di Einstein

La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E che viaggiano alla velocità c

E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank

Nobel Prize 1905

Detto We il lavoro necessario per estrarre l’elettrone dal metallo, si può scrivere

Ek,Max = hf −We eV0 = hf −We

V0 =1e(hf −We ) hf ≥We f0 =

We

h frequenza di soglia




25

E = hf h = 6.62 ⋅10−34 JsCostante di Plank

f = We

h frequenza di soglia

Gli elettroni vengono emessi se il fotone ha una energia uguale o maggiore all’energia di estrazione

f



V0 =1e(hf −We )

26

Unità of energia usata nella fisica atomica

-e

1 Volt 1 electron-volt = energia trasferita ad un elettrone accelerato da una d.d.p di 1 volt

1 electron-volt = 1 eV = (1.6.10-19C) x (1V)= 1.6.10-19 J

Per un fotone con λ= 500 nm

E = hf = hcλ

=6.634 ⋅10−34 Js( ) × 3⋅108m / s( )

500 ⋅10−9m= 4 ⋅10−19 J

Oppure E = (4.10−19 J ) × (1 eV /1.602.10−19 J ) = 2.5 eV




h = 6.634 ⋅10−34 Js( ), h = 4.15 ⋅10−15eVs( ),

27

La radiazione è composta di fotoni

I = EΣΔt

= (# fotoni) hfΣΔt

Potenza = (# fotoni) hfΔt

L’energia della radiazione è quantizzata e dipende dalla frequenza





28

Fotocellule

Fotovoltaico

+ -

Altre applicazioni




29

-

Il sensore è formato da milioni di minuscoli fotodiodi (pixel) i quali a c c u m u l a n o u n a c a r i c a proporzionale all'intensità luminosa di origine.

I fotodiodi pur essendo sensibili alla luce, non sono sensibili al colore. Per sopperire a questo problema sulla superficie del sensore viene applicato un filtro che ha il compito di far passare solo determinate frequenze di luce, scomponendo i tre colori primari: il rosso, il verde e il blu. Questo particolare filtro viene chiamato CFA (color filter array) o filtro RGB.

CCD ( Charge Coupled Device)



Effetto Compton

30

La radiazione elettromagnetica è composta da quanti di energia detti fotoni, ciascuno di energia E=hf che viaggiano alla velocità c. Ciascun fotone trasporta anche una quantità di moto p = E/c

p = Ec

= hλ

E = hf

Fenomeni di urto tra fotoni ed elettroni

Se il fotone si comporta come una particella, darà anche luogo a fenomeni di urto

Durante l’urto il fotone non può cambiare velocità e poiché la sua massa è nulla, può perdere energia soltanto cambiando frequenza.



Effetto Compton

31

In teoria della relatività E = p2c2 +m2c4

Primo dell’urto Dopo l’urto

Fotone

Elettrone

E0, f = hf = hcλ0

p0, f =hλ0

E0,e = mc2 po,e = 0

E1, f = hcλ1

p1, f =hλ1

E1,e p1,e

p0, f c +mc2 = p1, f c + p1,e

2 c2 +m2c4Conservazione dell’energia

p1,e2 = p0, f − p1, f( )2 + 2 p0, f − p1, f( )mc



Effetto Compton

32

Conservazione della quantità di moto

Eo, f = hf0

p1,e2 = p0, f

2 + p1, f2 − 2p0, f p1, f cosθ

!p1,e =!p0, f −

!p1, f

p1,e2 = p0, f − p1, f( )2 + 2 p0, f − p1, f( )mc

p1,e2 = p0, f

2 + p1, f2 − 2p0, f p1, f cosθ

p0, f − p1, f =p0, f p1, fmc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1− cosθ( )

( )θλλ cos101 −=−mch

p0, f = hλ 0

p1, f = hλ 1

p1,e



Effetto Compton

33

( )θλλ cos101 −=−mch

Un fascio di raggi x, con energia dei singoli fotoni dell’ordine di 20 KeV, veniva inviato su un bersaglio di grafite e si misuravano a diversi angoli l’intensità e la lunghezza d’onda dei raggi X diffusi. Compton scoprì che i raggi X diffusi ad angolo diverso da zero rispetto alla direzione incidente avevano lunghezza d’onda maggiore, tanto maggiore quanto più grande era l’angolo di diffusione.

Prima Dopo



34

-


Il dualismo onda corpuscolo

Fenomeni di interferenza tra onde

Formazione di pattern di interferenza. La posizione delle righe chiare e scure dipende dalla lunghezza d’onda (colore) e dalla geometria del sistema



Il dualismo onda corpuscolo Introduzione alla fisica moderna


36

Effettuiamo un esperimento di interferenza con un fascio di bassissima intensità in maniera da avere un singolo fotone alla volta. Vista la natura corpuscolare del fotone ci aspetteremmo …..

100 sec exposure

… invece si forma una figura di interferenza

I l f o t o n e h a a n c h e u n comportamento ondulatorio, come ci s a r e m m o a s p e t t a t i , e s s e n d o radiazione elettromagnetica



37

Si forma una figura di interferenza!

Un fascio di elettroni da 54 eV viene indirizzato su un cristallo di nickel

Davisson

Nobel Prize 1937

Esperimento di Davisson-Germer




Onde di materia

38

de Broglie postula che ad ogni particella di quantità di moto p sia associata un’onda con lunghezza chiamata “lunghezza d’onda di de Broglie”

λ = hp

Nobel prize 1929

Ogni particella presenta sia aspetti ondulatori che aspetti corpuscolari. Ad esempio ad un pallone di massa m = 0.5 kg e velocità v = 30 m/s può essere associata un’onda

λ = hp= hmv

= 5.5 ⋅10−26 nm




39

Elettrone mc2 ~ 0.5 MeV Protone mc2 ~ 940 MeV Neutrone mc2 ~ 940 MeV

In generale per una particella non relativistica di massa m e quantità di moto p Ek =

p2

2mp = 2mEk

λ = hp= h

2mEk

= hc2mc2Ek

Massa a riposo

Per un elettrone con EK = 25 eV

λ = 1240 eV ⋅nm2 × 0.5 MeV

1Ek

= 0.25 nm


Il dualismo onda corpuscolo Introduzione alla fisica moderna

40

Ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde

L’onda si estende da -∞ a +∞….… dove è la particella?

x

λ = hp

440 Hz + 439 Hz

440 Hz + 439 Hz + 438 Hz

440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz


Più lunghezze d’onda s o m m i a m o i n s i e m e , meglio definiamo la posizione, ma perdiamo i n f o r m a z i o n e s u l l a quantità di moto

Δx

Δx

Δx



Principio di indeterminazione



Similmente, ad ogni particella può essere associato un pacchetto di onde

Δk ⋅ Δx = 2π, Δω ⋅ Δt = 2π

-8

-4

0

4

8

-15 -10 -5 0 5 10 15J

Δx

Dall’analisi di Fourier

Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 ! = h / 2π (h tagliato)





Δx ⋅ Δpx ~ ! / 2, Δω ⋅ Δt ~ ! / 2 Nobel Prize 1932

E’ impossibile determinare simultaneamente con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella

L’osservazione e la misura della posizione (o della quantità di moto) di un elettrone richiedono l’uso di almeno un fotone. Durante la misura l’elettrone viene disturbato.

Principio di indeterminazione di Heisemberg

Equazione di Schrodinger



Nella fisica quantistica i concetti di traiettoria, moto e quindi posizione e velocità, perdono sostanza, in virtù del principio di indeterminazione.

Si usa un nuovo formalismo che consenta di ottenere informazioni sull’onda di de Broglie associata al sistema fisico. Tale onda permette di calcolare l’ampiezza di probabilità delle grandezze fisiche di interesse.

Funzione d’onda di un sistema

ψψ ∗ψ = ψ 2

Si introduce la funzione d’onda complessa

La quantità rappresenta la probabilità per unità di

volume di trovare la particella ad un dato tempo

Ad esempio, in una dimensione, la probabilità P(x) che una particella si trovi in un intervallo dx è

dP(x) = ψ (x, t) 2 dx



Probabilità che la particella si trovi in un intervallo (a, b) è:

P(x) = ψ (x, t) 2 dxa

b

∫Ed ovviamente deve essere P(x) = ψ (x, t) 2

−∞

+∞

∫ =1

x

λ = hp


Per una particella libera (e quindi con la posizione x non determinata), ma di quantità di moto nota:



x


E = 12p2

mλ = h

p⇒ k = p

!, ω = 2π f = E

!

Per una particella non relativistica libera

E = 12(k!)2

m

ψ (x, t) = Aei(kx−ωt )



Una particella vincolata in una regione Δx è rappresentata dalla sovrapposizione di onde con differenti numeri d’onda (pacchetto)

Utilizzando l’analisi di Fourier si ottiene

Δx

ψ (x, t) = a(k)−∞

+∞

∫ ei(kx−ωt )dk

E la velocita della particella corrisponde alla velocità di gruppo del pacchetto

vg =dωdk

Si ottiene

k0 = k

k = p!

, ω = E!

dk = dp!

, dω = dE!

dωdk

= dEdp

= v




L’esperimento delle due fenditure rivisto in meccanica quantistica

Fenditura singola Fenditura doppia ψ 2

2

ψ 12

ψ 12 + ψ 2

2

ψ 1 +ψ 22

ψ 1 +ψ 22 = ψ 1

2 + ψ 22 + 2ψ 1 ψ 2 cosΦ

Termine di interferenza




Nobel Prize 1932

− !2

2md 2ψdx2

+Uψ = EψU energia potenziale della particella

E energia totale della particella

Possiamo immaginare la scatola come una “buca di potenziale” di altezza infinita all’interno della quale la particela con U= 0 è confinata

− !2

2md 2ψdx2

= Eψ d 2ψdx2

= − 2mE!2

ψ

k2 = 2mE!2

Se ricordiamo che d 2ψdx2

+ k2ψ = 0 Equazione del moto armonico




Soluzione ψ = Asen(kx)

Poiché ψ (L) = Asen(kL) = 0kL = nπ, n =1, 2,3....

k2 = 2mE!2

Si ottiene

En =h2

8mL2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n2

ψ (x) = Asen(nπ xL)

Quantizzazione dell’energia


d 2ψdx2

+ k2ψ = 0



Soluzione più generale

k2 = 2mE!2

Sovrapposizione di onde progressive e regressive che produce onde stazionarie confinate nella regione di interesse


d 2ψdx2

+ k2ψ = 0

ψ = cost eikx + e−ikx( )

La funzione d’onda è confinata alla regione 0 < x < L



Consideriamo ora una “buca di potenziale” di altezza finita U al cui interno è confinata una particella con energia E

Per la meccanica quantistica esiste una certa probabilità non nulla che la particella si trovi nelle regioni I o III

Regione II d 2ψdx2

= − 2mE!2

ψ

Regione I e III d 2ψdx2

= 2m(U − E)!2

ψ

ψ = cost eikx + e−ikx( )

ψ = AeCx + Be−Cx

k2

C2


C2



Regione I ψ = AeCx

Regione III ψ = Be−Cx

Esiste una probabilità finita di trovare la particella anche nelle regioni II e III




In meccanica quantistica una particella ha una certa probabilità di superare una ostacolo anche se la sua energia è minore dell’energia potenziale della barriera

Una parte dell’onda associata alla particella viene riflessa, ma una parte viene trasmessa al di la della barriera

Coefficiente di trasmissione T

U

L

T ≈ e−2CL C2 = 2m(U − E)!2


Effetto Tunnel

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