www.belajar-matematika.com - 1

BAB IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Persamaan Linear: 1. Persamaan linear satu variabel : ax + b = 0 dengan a 0≠ 2. Persamaan linear dua variabel ax + by = c dengan a dan b 0≠ Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) a 1 x + b1 y = c1 a 2 x + b 2 y = c 2 dengan a1 , a 2 , b1 , b 2 , c1 , c 2 ∈ R Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan: 1. Metoda Grafik a. Menggambar grafik dengan metoda titik potong sumbu b. Bila kedua garis berpotongan pada satu titik didapat sebuah anggota yaitu (x,y) c. Bila kedua garis sejajar (tidak berpotongan maka) maka tidak didapat angota himpunan penyelesaian d. Bila kedua garis berimpit maka didapat himpunan penyelesaian yang tak terhingga 2. Metoda Substitusi Menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain 3. Metoda Eliminasi Menghilangkan salah satu variabel 4. Metoda Eliminasi – Substitusi Menggabungkan metoda Eliminasi dan Substitusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) a 1 x + b1 y + c1 z = d1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

Cara penyelesaian SPLTV lebih mudah dengan menggunakan metoda gabungan (eliminasi dan substitusi) Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) y = ax + b bentuk linear y = px 2 + qx + r bentuk kuadrat Sistem Persamaan Kuadrat (SPK) y = ax2 + bx + c y = px 2 + qx + r Cara penyelesaian SPLKDV dan SPK lebih mudah dengan menggunakan metoda substitusi yaitu mensubtitusi persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya.

www.belajar-matematika.com - 1

4. SOAL-SOAL PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

247

2136

yx

yx adalah {(x 0 , y 0 ) }

Nilai 6. x 0 . y 0 = …..

A. 61 B.

51 C. 1 D. 6 E. 36

jawab: Soal-soal seperti ini pemecahannya menggunakan metoda substitusi dan eliminasi. eliminasi y :

2136=+

yx | x 4 | 841224

=+yx

247=−

yx | x 3 | 61221

=−yx

+

x

45 + 0 = 90

bisa + atau – (agar bisa mengeliminasi)

x45 = 90

⇔ 45 = 90 .x

x = 21

Substitusikan ke persamaan 2136=+

yx

213

216

=+y

⇔ 21312 =+y

⇔ y3 = 9

⇔ y = 93 =

31

sehingga 6. x 0 . y 0 = 6 . 21 .

31 = 1

jawabannya adalah C

EBTANAS 2002 2. Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6 2ax +3by = 2 mempunyai penyelesaian x = 2 dan y =- 1, maka a 2 + b 2 = … A. 200 B.174 C. 265 D.164 E.110 jawab: Substitusikan nilai x=2 dan y=1 ke dalam persamaan: a. 2 - b.1 = 6 2. a. 2 - 3.b.1 = 2 eliminasi a 2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24 4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 - 2b = 20 b = 10 substitusikan nilai b = 10 2.a - b = 6 2a – 10 = 6 2a = 16 a = 8 sehingga a 2 + b 2 = 8 2 + 10 2 = 164 jawabannya adalah D EBTANAS2002 3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−

−=+−

=−+

1346

622

34

723

zyx

zyx

zyx

adalah {x,y,z}

Nilai x – y – z = …. A. 7 B. 5 C. -1 D. -7 E. -13

www.belajar-matematika.com - 2

jawab:

723

=−+ zyx x 6 ⇒ 2x +3y – 6z = 42 …(1)

622

34

−=+−zyx x8 ⇒ 2x – 12y + 4z = -48 ….(2)

1346=−−

zyx x 24 ⇒ 4x – 6y – 8z = 24 ….(3)

Pers (1) dan (2) eliminasi x (kebetulan bisa langsung dikurang karena nilai x sama) 2x +3y – 6z = 42 2x – 12y + 4z = -48 15y – 10z = 90 ….(4) Pers (1) dan (3) eliminasi x 2x +3y – 6z = 42 x 4 ⇒ 8x + 12y – 24z = 168 4x – 6y – 8z = 24 x 2⇒ 8x - 12y – 16z = 48 24y - 8z = 120 24y - 8z = 120 :8 ⇒ 6y – z = 30 ….(5) Pers (4) dan (5) eliminasi y 15y – 10z = 90 x6 ⇒ 90y - 60z = 540 6y - z = 30 x15⇒ 90y - 30z = 450 -

- 30z = 90 z = -3 substitusikan z = -3 ke pers (4) 15y – 10z = 90 ⇒ 15y +30 = 90 15y = 60 y = 4 substitusikan y=4 dan z=-3 ke pers (1) 2x +3y – 6z = 42 ⇒ 2x + 12 +18 = 42 2x = 12 x = 6 Sehingga x – y – z = 6 – 4 –(-3) = 5 Jawabannya adalah B

EBTANAS1998 4. Jika x 0 , y 0 , z 0 penyelesaian sistem persamaan

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=−

=+

132

52

yxzyzx

maka x 0 + y 0 + z 0 = ….

A. -4 B. -1 C. 2 D. 4 E. 6

jawab:

2x + z = 5 ….(1) y – 2z = -3 …(2) x + y =1 …(3) Pers (1) dan (2) (eliminasi z) 2x + z = 5 x2 ⇒ 4x + 2z = 10

x 0 , y 0 y – 2z = -3 x1 ⇒ y - 2z = -3 + x 0 , y

4x + y = 7 ….(4) pers (3) dan (4) (eliminasi y) (bisa langsung dikurang) x + y = 1 4x + y = 7 - -3x = -6 x = 2 masukkan nilai x =2 ke pers (1) 2x + z = 5 ⇒ 4 + z =5 z =1 Masukkan nilai z=1 ke pers (2) y – 2z = -3 ⇒ y – 2 = -3 y = -1 didapat x = 2, y = -1 dan z =1 maka x 0 + y 0 + z 0 = 2 – 1 + 1 = 2 jawabannya adalah C EBTANAS2002 SMK 5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y = x 2 + 2x + 1 dan y = 6x – 2 adalah: A. {(1,-4), (3,-16)} D. {(2,3), (3,16)} B. {(-1,-4), (-3,-16)} E. {(0,1), (0,-2)} C. {(1,4), (3,16)} Jawab: Substitusikan y = 6x – 2 ke da;am persamaan kuadrat: 6x – 2 = x 2 + 2x + 1 ⇔ x 2 + 2x + 1-6x + 2 = 0 ⇔ x 2 - 4x + 3 = 0

www.belajar-matematika.com - 3

⇔ (x - 3 ) (x – 1 ) = 0 x = 3 atau x = 1 Masukkan nilai x ke salah satu persamaan: Jika x = 1 maka y = 6x -2 = 6-2 = 4 jika x = 3 maka y = 6.3 – 2 = 16 didapat himpunan penyelesaian {(1,4), (3,16)} Jawabannya adalah C EBTANAS 2003 SMK 6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

⎩⎨⎧

=+=+

175

22 yxyx

adalah

A. {(-3,2), (-2,3)} D. {(-4,1), (2,3)} B. {(1,-4), (4,-1)} E. {(4,1), (1,4)} C. {(-4,1), (-1,4)} Jawab:

5=+ yx ..(1) 1722 =+ yx …(2)

Dari (1) y = 5 –x …(3) substitusikan ke (2)

17)5( 22 =−+ xx ⇔ 171025 22 =+−+ xxx 2 08102 =+− xx (2x - 2 ) (x – 4) = 0 didapat x = 1 atau x = 4 Masukkan ke (3) jika x=1 maka y = 5 –x = 5 – 1 = 4 jika x = 4 maka y = 5-4 = 1 Himpunan penyelesaiannya adalah {(1,4), (4,1)} Jawabannya adalah E

UN2005 7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−

=−+

=++

7213

3122

6111

zyx

zyx

zyx

adalah {(x,y,z)}, Nilai dari (x+2y+3z)=…

A. 14 B.12 C. 3 D.1 E.0 jawab:

6111=++

zyx ….(1)

=−+zyx122 3 ….(2)

7213=+−

zyx ….(3)

Pers (1) dan (2) eliminasi x

6111=++

zyx x2 ⇒ 12222

=++zyx

=−+zyx122 3 x1 ⇒ =−+

zyx122 3

z3 = 9

z = 93 =

31

(kebetulan y juga ikut tereliminasi) pers (1) dan (3)

6111=++

zyx x 3 ⇒ 18333

=++zyx

7213=+−

zyx x 1 ⇒ 7213

=+−zyx

-

zy14

+ = 11 …(4)

Masuikkan nilai z ke (4)

zy14

+ = 11 ⇔ 3/1

14+

y = 11

www.belajar-matematika.com - 4

34+

y = 11

y4 = 8 ⇒ y =

21

Masukkan nilai y dan z ke (1)

6111=++

zyx ⇒ 6

3/11

2/111

=++x

6321=++

x

651=+

x

11=

x ⇒ x = 1

sehingga (x+2y+3z)= 1 + 2. 21 + 3.

31 = 3

jawabannya adalah C

UN2006 8. Jika (x 0 , y 0 , z 0 ) memenuhi sistem persamaan linear berikut 2x + y – 3x = -11 x + 2y + z = 4 3x – 3y + 2z = 25 maka nilai x 0 adalah: A. -6 B. -3 C.1 D. 3 E. 6 jawab: 2x + y – 3z = -11 …..(1) x + 2y + z = 4 …..(2) 3x – 3y + 2z = 25 …..(3) Pers (1) dan (2) eliminasi x 2x + y – 3z = -11 x1 ⇒ 2x + y – 3z = -11 x + 2y + z = 4 x2 ⇒ 2x + 4y +2z = 8 - -3y -5z = -19 3y + 5z = 19 ..(4) Pers (1) dan (3) eliminasi x 2x + y – 3z = -11 x3 ⇒ 6x +3y – 9z = -33

3x – 3y + 2z = 25 x2 ⇒6x – 6y +4z = 50 - 9y – 13 z = -83 ..(5) pers (4) dan (5) eliminasi y 3y + 5z = 19 x9 ⇒ 27y + 45z = 171 9y – 13 z = -83 x3 ⇒27y - 39z = -249 - 84z = 420 z = 5 Masukkan nilai z ke (4) 3y + 5z = 19 ⇒ 3y + 25 = 19 3y = -6 y = -2 masukkan nikai y dan z ke (1) 2x + y – 3z = -11 ⇒ 2x – 2 – 15 = -11 2x = -11 + 17 2x = 6 x = 3 jawabannya adalah D

UN2005 9.Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah… A. 39 tahun D. 54 tahun B. 43 tahun E. 78 tahun C. 49 tahun jawab: perhatikan kata-katanya dengan teliti !! misal umur ayah = x umur Budi = y x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒2x +8 = 5y+20 +9 x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ….(1) 2x +8 = 5y+20 +9 ⇒2x – 5y = 21 ….(2)

www.belajar-matematika.com - 5

pers (1) dan (2) eliminasi x x – 6y = -35 x2 ⇒ 2x – 12y = -70 2x – 5y = 21 x1 ⇒ 2x - 5y = 21 - - 7y = -91 y = 13 masukkan nilai y ke (1) x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35 x = 78 -35 = 43 jawabannya adalah B catatan: x – 7 = 6 (y-7) kondisi 7 tahun yang lalu antara umur ayah dan Budi (masing-masing umur dikurang 7 tahun) 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun

EBTANAS1999 10. Lia membeli 2 buah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp.1400. Pada tempat yang sama Mety membeli 3 buah kue A san 4 kue B dengan harga Rp.1950. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 kue B kemudaian ia membayar dengan selembar uang Rp.1000, maka uang yang dikembalikan adalah… A. Rp.250 C. Rp. 350 E. 550 B. Rp.300 D. Rp. 450 jawab: Dari soal dapat dibuat persamaan linearnya: 2A + 3B = 1400 ….(1) 3A + 4B = 1950 (2) Pers (1) dan (2) 2A + 3B = 1400 x 3 ⇒ 6A + 9B = 4200 3A + 4B = 1950 x 2 ⇒6A + 8B = 3900 - B = 300 masukkan nilai B ke (1)

2A + 3B = 1400 ⇒ 2A + 3 . 300 = 1400 2A = 1400 – 900 2A = 500 A = 250 Yang ditanyakan: A + B = 1000 – kembalian kembalian = 1000 – (300+250) = 1000 – 550 = Rp.. 450 Jawabannya adalah D