Embed Size (px)
Citation preview
4.1. TRIGONOMETRIA Y TRIANGULOS RECTANGULOS
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
La calculadora es una herramienta de gran utilidad para muchos aspectos de la trigonometria, tanto para
resolver problemas que requieren realizar mediciones como para entender las relaciones entre los angulos
ATENCIÓN
La ClassWiz, al igual que la mayoría de calculadoras científicas, permite trabajar la trigonometría en diferentes unidades de medida para los angulos: grados sexagesimales (D), radianes (R) y grados centesimales (G).
Mediante el acceso a CONFIG (qw) seleccionaremos la opcion de unidad angular que mas nos convenga.
Empezaremos trabajando con grados sexagesimales 1, que es la configuracion por defecto de la calculadora.
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
Las definiciones de las funciones trigonometricas se pueden basar en los triangulos rectangulos, tales como el que se muestra a continuacion, en el que es el angulo recto.
El conjunto de las razones trigonometricas conjuntamente con el teorema de Pitagoras nos permiten determinar todos los lados y los angulos de un triangulo rectangulo, incluso cuando solo se conoce parte de la informacion.
EJEMPLO
Sabemos que el angulo = 36° y que a = 4,2 m, podemos hallar la longitud de c usando la definicion del coseno:
Observa que no es necesario usar el signo de multiplicacion para encontrar que c ≈ 3,40 m. Dado que la medida original de a , que se utiliza en el calculo, se da solo con una cifra decimal, sería coherente mostrar tambien c con una sola cifra decimal: c ≈ 3,4 m.
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
Para hallar la longitud del otro lado, b, se podría emplear un proceso similar, usando seno de . Alternativamente, el teorema de Pitagoras se puede utilizar para ver que:
En consecuencia b ≈ 2,5 m.
EJEMPLO
En la siguiente figura, QR representa la altura de la Torre Eiffel, en Paris (324 m). P es un punto situado a un kilometro de la base de la torre, medido a nivel del suelo. ¿Cual es el angulo de elevacion desde P hasta lo alto de la torre?
La calculadora proporciona el resultado usando grados sexagesimales, para representar este angulo usando grados sexagesimales, minutos y segundos, pulsa la tecla x, tal como se muestra en la pantalla superior derecha.
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
OBSERVACIÓN
Al usar la calculadora en trigonometria, a veces es necesario introducir angulos en grados sexagesimales, minutos y segundos. Sin embargo, la calculadora trabaja con grados decimales.
Para ver la relacion entre estas dos formas de usar medidas sexagesimales, introduce un angulo en grados sexagesimales, minutos y segundos, a continuacion pulsa = para ver el resultado decimal. Para introducir el angulo, pulse la tecla x despues de entrar los grados sexagesimales, minutos y segundos; aunque se muestra un símbolo de grado cada vez, la calculadora interpreta el angulo correcto, como muestra la primera pantalla despues de pulsar =.
Toca la tecla x para ver el angulo en grados decimales.
Vuelve a pulsar la tecla x para ver el angulo en grados sexagesimales, minutos y segundos.
OBSERVACIÓN
Cuando la calculadora esta configurada en grados sexagesimales, puedes expresar en esta unidad angulos expresados en radianes. Para hacerlo, introduce en primer lugar el angulo. Seguidamente pulsa T y teclea 2 para acceder a las unidades angulares.
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
Valores exactos de algunas razones trigonometricas
Aunque las mediciones siempre implican aproximaciones (ya que ninguna medida es exacta), puede ser interesante estudiar los valores exactos de algunas razones trigonometricas. Puedes haber notado que la calculadora proporciona algunos de ellos, por ejemplo:
La calculadora tambien es de utilidad para ver como se repiten los valores trigonometricos. Por ejemplo, las pantallas siguientes muestran como se repiten valores de la funcion seno cada 360º.
Finalmente, pulsa 2 nuevamente para indicar que el angulo se expresa en radianes. La conversion de 1 radian en grados sexagesimales usando este proceso se muestra a continuacion:
Otros valores importantes usando qK{:
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
4.2. EL RADIAN Y EL GRADO CENTESIMAL. CONVERSIÓN DE UNIDADES ANGULARES
El radian
Si trabajamos con frecuencia con angulos expresados en radianes, conviene configurar la calculadora en dicha unidad (accediendo a CONFIG). Una vez configurada la calculadora en radianes, aparecera una R en la pantalla que recordara la actual configuracion. En las pantallas que se muestran a continuacion, las medidas angulares se expresan en radianes. En la primera pantalla se ha introducido el angulo en radianes. En la segunda pantalla se ha introducido el angulo en grados sexagesimales, ya que se ha anadido el símbolo del grado (usando el menu correspondiente a la unidad de angulo, T2) para anular temporalmente la configuracion en radianes. En la tercera pantalla la calculadora asume que el angulo se expresa en radianes y muestra el seno de 60 radianes:
Las funciones trigonometricas inversas nos expresaran su resultado en radianes:
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
El gradian o grado centesimal
El gradian, o grado centesimal, surgio para proporcionar una forma de medir angulos que fuera coherente con el sistema metrico decimal, que se basa en potencias y multiplos de 10 para tanto unidades de medida como numeros. El gradian, que no se utiliza en la actualidad, salvo en ciertos aspectos de la topografía, se define de manera que en un angulo recto haya 100 gradianes. En consecuencia, en un círculo completo hay 400 gradianes.
En las siguientes pantallas se muestran algunos ejemplos de como convertir medidas. Observa que la calculadora se encuentra en grados sexagesimales (como muestra el pequeno símbolo D):
OBSERVACIÓN
Si la calculadora esta configurada en el modo Radian (en CONFIG), puedes utilizar un procedimiento similar al descrito arriba para pasar de grados sexagesimales a radianes: consiste en introducir el angulo y utilizar el menu T para indicar que se mide en grados sexagesimales.
A continuacion se muestran dos ejemplos:
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
OBSERVACIÓN
Los valores y las relaciones entre funciones trigonometricas se mantienen con independencia de cual sea la forma en que se miden los angulos, como demuestran las siguientes pantallas. En cada caso, se esta determinando el seno del mismo angulo, aunque se utilizan diferentes unidades de medida:
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
4.3. COORDENADAS POLARES
Ademas de tratar con triangulos, la trigonometría tambien esta involucrado en la representacion de puntos en el plano. Las coordenadas rectangulares constituyen la forma mas comun de representar los puntos. Este sistema de coordenadas consiste en especificar cuan lejos esta un punto a la derecha del eje vertical y cuan lejos esta sobre el eje horizontal. Así, el punto (2, 3) esta 2 unidades a la derecha del eje vertical y 3 unidades arriba del horizontal.
En general, las coordenadas rectangulares se representan por (x, y). Las coordenadas rectangulares se denominan con frecuencia coordenadas cartesianas, en honor a su inventor, el matematico y filosofo Rene Descartes. Un sistema de coordenadas alternativo son las coordenadas polares, que se basan en medir la distancia de un punto al origen y el angulo de rotacion en el sentido anti horario que forma la horizontal con la línea que une el origen con el punto en cuestion. Las coordenadas polares se representan por (r,θ).
La ClassWiz incluye los comandos q+ (Pol) y qp (Rec), que permiten realizar conversiones entre los dos sistemas de coordenadas. Para utilizar dichos comandos, habras de introducir una coma, disponible a traves q).
EJEMPLO
Expresa en coordenadas polares:
MEDIDAS DE ÁNGULOS. TRIGONOMETRÍA
La segunda pantalla muestra el resultado escogiendo en la configuracion de entrada y salida lineal en CONFIG (qw).Si queremos mostrar el resultado en radianes, debemos configurar pues la calculadora en radianes (R):
EJEMPLO
Expresa en coordenadas cartesianas:
Si escogemos la configuracion de entrada y salida lineal en CONFIG (qw) no sera necesario desplazarnos con el cursor para ver el valor de la coordenada vertical y :
