Upload
rene-andreescu
View
18
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Curentul electric
Michaela LOGOFTU
EElleeccttrriicciittaattee ii eelleeccttrrootteehhnniicc
Curent electric continuu
Michaela Logoftu
Curentul electric
Dedic aceast carte celor care mi-au fost PROFESORI i COLEGI n Catedra de Electricitate, ncepnd cu anul 1970, cnd am avut ansa de a deveni membr a acesteia.
Michaela Logoftu
Michaela Logoftu
Curentul electric
CURENTUL ELECTRIC..................................................................................... 7 1.1. Definiie, mrimi caracteristice .................................................................... 7 1.2. Expresia densitii de curent ..................................................................... 12 1.3. Ecuaia de continuitate .............................................................................. 14 1.4. Tensiunea electromotoare......................................................................... 17
CURENTUL CONTINUU N CONDUCTORII METALICI................................. 21 2.1. Purttorii de sarcin n metale................................................................... 23 2.2. Legile conduciei electrice ......................................................................... 24
2.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit ........................................................................24 2.2.2. Legea lui Joule...............................................................................................................28 2.2.3. Legea Wiedeman-Franz.................................................................................................30 2.2.4. Probleme rezolvate ........................................................................................................32 2.2.5. Legea Ohm generalizat ................................................................................................48
2.3. Generatoare i receptoare ........................................................................ 51 2.3.1. Probleme rezolvate ........................................................................................................53
2.4.Transferul de putere de la surs la receptor .............................................. 55
NCLZIREA CONDUCTORILOR I A BOBINAJELOR ............................... 67 3.1. Pierderi de energie termic ....................................................................... 69 3.2. Viteza de nclzire ..................................................................................... 71 3.3. nclzirea maxim a unui conductor parcurs de curent............................. 74 3.4. Legea exponenial a nclzirii .................................................................. 77 3.5. Probleme rezolvate ................................................................................... 82
FORE ELECTROMOTOARE DE CONTACT. EFECTE TERMOELECTRICE......................................................................................................................... 89 4.1. Efectul Peltier ............................................................................................ 91
4.1.1. Prezentare fenomenologic............................................................................................91 4.1.2. Interpretare, discuii .......................................................................................................93
4.2. Lanul metalic izoterm; legea lui Volta....................................................... 94 4.3. Efectul Thomson ....................................................................................... 95
4.3.1.Prezentare fenomenologic.............................................................................................95 4.3.2 Descriere cantitativ .......................................................................................................97
Michaela Logoftu
4.3.3 Legea lui Magnus ...........................................................................................................98 4.4. Aplicaii.......................................................................................................99
4.4.1. Termocuplul ..................................................................................................................99 4.4.2. Pile i generatori termoelectrici...................................................................................107 4.4.3. Msurarea temperaturii................................................................................................108 4.4.4 Alte aplicaii ................................................................................................................. 110
REELE ELECTRICE ....................................................................................113 5.1. Noiuni fundamentale ...............................................................................115 5.2. Metode de rezolvare a reelelor liniare.....................................................118
5.2.1. Transfigurarea circuitelor. Teoremele Kennelly pentru transformrile stea-triunghi. .118 5.2.2. Teoremele lui Kirchhoff .............................................................................................. 124 5.2.3. Metoda curenilor ciclici..............................................................................................128
5.3 Probleme rezolvate ...................................................................................132
APLICAII ......................................................................................................135 6.1. untul.......................................................................................................137 6.2. Rezistena adiional................................................................................139 6.3. Divizorul de tensiune................................................................................141 6.4. Divizorul de curent ...................................................................................143
MODUL SUPLIMENTAR................................................................................145 1. Supraconductibilitatea.................................................................................147 2. Variaia rezistivitii cu diveri factori ..........................................................155 3. Caracteristici curent tensiune ale unor dipoli pasivi .................................167
ANEXE............................................................................................................179 BIBLIOGRAFIE ..............................................................................................185
Curentul electric
1 CURENTUL ELECTRIC
Michaela Logoftu
1.1 Definiie, mrimi caracteristice
1.2 Expresia densitii de curent
1.3 Ecuaia de continuitate
1.4 Tensiunea electromotoare
Curentul electric
7
1.1. Definiie, mrimi caracteristice
Deplasarea ordonat a sarcinilor electrice genereaz un curent electric, pus
n eviden prin efectele sale:
9 termice, 9 chimice, 9 magnetice i 9 fiziologice.
Sarcinile electrice mobile (purttorii de sarcin) pot fi orice particule cu
sarcin electric nenul, ca de exemplu:
9 electroni, protoni, particule ; 9 ioni pozitivi, ioni negativi;
Un mediu material care conine purttori de sarcin mobili, capabili s
se deplaseze n interiorul acestuia genernd un curent electric se
numete conductor. Antagonic, prin izolator se denumete un mediu
lipsit de purttori capabili s se mite cu un anume grad de libertate n
interiorul su.
Tipul purttorilor de sarcin difer de la un conductor la altul, putnd exista
simultan,n acelai conductor mai multe tipuri de purttori, aflai fie:
9 n concentraii egale; 9 n concentraii diferite, unii fiind majoritari (cei n concentraie mai
mare), alii fiind minoritari (cei n concentraie mai mic).
De exemplu:
9 n metale, exist un singur tip de purttori, electronii; 9 n electrolii, exist ioni pozitivi i ioni negativi, n concentraii egale; 9 n gaze ionizate, exist ioni atomici sau moleculari, cu sarcini pozitive
i electroni liberi, cu sarcini negative;
9 n semiconductori, exist dou tipuri de purttori, electroni i goluri, care pot fi n cantiti (concentraii) egale n semiconductorii
Michaela Logoftu
8
intrinseci sau n concentraii diferite, n semiconductorii dopai n
(electroni majoritari) i, respectiv p (goluri majoritare).
La temperaturi T 0, purttorii de sarcin, n micare termic, aleatorie, nu
genereaz un curent electric, n lipsa unui cmp electric aplicat. Datorit micrii termice, absolut dezordonat, printr-o suprafa oarecare din interiorul
conductorului, sarcina electric transportat ntr-un sens va fi egal cu sarcina electric transportat n sens opus, n orice moment, neexistnd un transport net de
sarcin n vreo direcie.
Pentru a se obine curent electric printr-o suprafa din interiorul
conductorului, este necesar s se acioneze cu o for orientat
unidirecional, asupra purttorilor de sarcin mobili, fapt realizabil prin
aplicarea unui cmp electric nenul
0E
Curentul electric de conducie este generat prin deplasarea ordonat
(dirijat) a purttorilor microscopici de sarcin ntr-un mediu macroscopic
conductor fix.
Curentul electric de convecie rezult prin deplasarea unui corp
macroscopic ncrcat cu sarcin electric (mediu macroscopic conductor n
micare).
Cantitativ, curentul electric se caracterizeaz prin o serie de mrimi
caracteristice: sens, intensitate, densitate.
SENS - convenional este considerat pozitiv sensul de deplasare a sarcinilor pozitive n conductorul considerat. ntr-o exprimare
echivalent, sensul curentului electric coincide cu sensul cmpului
electric n conductor.
INTENSITATE mrime scalar egal cu sarcina net transportat n unitatea de timp prin suprafa seciunii transversale a conductorului.
Curentul electric
9
dtdq
tQ
I lim0t
==
(1)
n SI, se msoar n amper, simbol A, unitatea definit pe baza forei
electromagnetice, astfel:
1A este intensitatea unui curent electric constant care, trecnd prin
dou conductoare rectilinii, paralele, foarte lungi, aezate n vid la
distan de 1m, face ca ntre ele s se exercite o for de 2.10-7 N/m.
Din relaia de definiie, se vede c:
s1C1
A1 =
Un curent electric se numete staionar atunci cnd transport, prin
orice seciune a unui conductor, sarcini egale n intervale de timp egale
(I=ct).
DENSITATE- mrime vectorial local. n orice punct din interiorul unui conductor n care exist un curent electric, se poate defini un
vector j numit densitate de curent, cu orientarea determinat de micarea sarcinilor pozitive n conductor i cu modulul
ndsdI
j = (2) unde (dsn) este elementul de suprafa normal pe direcia de deplasare a
sarcinilor, centrat n punctul considerat, iar (dI) este intensitatea curentului
prin elementul de suprafa dsn.
Din (2) rezult ca unitate de msur n SI pentru densitatea de curent
[j]SI = A/m2
Noiuni utile pentru reprezentri grafice:
LINIA DE CURENT- se construiete astfel nct, n fiecare punct al ei este tangent la vectorul j asociat acelui punct.
Michaela Logoftu
10
TUB DE CURENT- un fascicul de linii de curent care traverseaz un element de suprafa dsn (fig.1).
Fig. 1
n figura 2 se prezint regula prin care se asociaz un vector ds unui element
de suprafa ds:
Se definete vectorul ds avnd modulul egal cu
aria seciunii ds i direcia perpendicular pe
suprafaa ds (sau de-a lungul normalei la ds). Sensul
vectorului ds este stabilit cu regula burghiului, n
funcie de un sens de parcurs arbitrar ales pe
conturul care delimiteaz aria sa.
Fig. 2 dsnds = , unde n este versorul normalei. (3)
Relaii de baz ntre mrimile caracteristice
S considerm un conductor n care s-a stabilit un
curent electric; fie un element de suprafa ds,
orientat arbitrar fa de j (fig.3),element att de mic,
nct n limitele sale, densitatea curentului este
constant n modul, ca i n orientare.
Din (2) se poate scrie: Fig. 3 === cosjdsdsjjdsdI n (4)
nct printr-o suprafa finit S, intensitatea curentului este:
dsnjdsjdIIsSS
=== (5)
Curentul electric
11
Fig. 4
Raportndu-ne la figura 4, se poate
da i o interpretare echivalent
pentru intensitatea curentului ca
fiind fluxul densitii de curent prin
aria seciunii conductorului.
Dac j = ct prin ntreaga arie a seciunii conductorului i este perpendicular
pe acesta ( dsjdsj = ), atunci se poate scrie relaia simplificat: jSdsjdsjI
Ss
=== (5)
Observaii:
densitatea de curent fiind o mrime local, asociat fiecrui punct (x,y,z) din conductorul parcurs de curent, se fac remarcate unele
particulariti pentru conductorii omogeni i izotropi, pentru cei
neomogeni ca i pentru cei anizotopi. Astfel:
se poate afirma c j = ct n orice punct al seciunii conductorului,
numai pentru conductorii omogeni i izotropi;
ntr-un conductor neomogen, modulul vectorului j difer de la un
punct la altul;
ntr-un conductor anizotrop, orientarea vectorului j poate diferi de la
punct la punct i poate fi diferit de orientarea cmpului electric
aplicat n punctul respectiv.
Michaela Logoftu
12
1.2. Expresia densitii de curent Fie un conductor omogen i izotrop, avnd aria seciunii a, n care exist un
singur tip de purttori, cu sarcina electric q i avnd concentraia (numrul
de purttori din unitatea de volum) n.
Admitem c ntre extremitile conductorului exist i se menine o diferen
de potenial (A)- (B), astfel nct, n interiorul acestuia se stabilete un cmp electric 0E . Fora cmpului electric imprim purttorilor o micare orientat unidirecional (de drift), suprapus agitaiei termice, de valoare
medie (fig. 5).
Fig.5
Considerm ca moment zero (originea
timpului), momentul n care purttorii
prsesc aria seciunii A i t timpul n
care ajung n seciunea B.
Deci, n intervalul t, toi purttorii de sarcin din volumul V al cilindrului
cu aria bazei a i generatoarea t, n numr
N=nV=na dv t (6) transport o sarcin
Q= q N = qna t (7) care genereaz un curent de intensitate
>
Curentul electric
13
>
Michaela Logoftu
14
1.3. Ecuaia de continuitate
Considerm un conductor masiv, n care s-a stabilit un curent electric (un
transport dirijat, ordonat, de sarcini electrice).Fie un volum V din acest
conductor, limitat de o suprafa (fig.6).
Fig. 6
Normala la suprafaa nchis este orientat ctre exterior, nct intensitatea curentului
dsnjdsjI
== (13) este, conform definiiei, egal cu sarcina electric care iese din suprafaa ntr-un timp oarecare.
Dar, conform cu principiul conservrii sarcinii, sarcina care iese din interiorul
suprafeei ntr-un interval de timp este egal cu viteza de scdere a sarcinii
din interiorul acesteia, n acelai interval de timp. Deci:
dtdQ
dsj =
(14)
Fluxul densitii de curent prin suprafaa n intervalul de timp dt este egal cu viteza de scdere sarcinii din interiorul suprafeei , n acelai interval de timp.
Dac densitatea volumic a purttorilor de sarcin n punctul (x,y,z) este
(x,y,z), atunci sarcina Q a purttorilor din volumul V nchis se suprafaa este
=V
dV)z,y,x(Q (15)
nct
dVdtd
dsjV =
(16)
Curentul electric
15
dar
tdtd
= (17)
(derivat parial, n raport numai cu timpul, a funciei de coordonate (x,y,z)).
Aplicnd teorema Gauss-Ostrogradski
=VS
dVAdivdsA
se obine:
=V
dVjdivdsj
comparnd cu (16) i innd seama de (17) rezult:
dVjdivdsjV
= dV
tdsj
V =
=
VV
dVt
dVjdiv (19)
Deoarece este vorba de acelai volum V, egalitatea este adevrat pentru
orice punct din conductor:
tjdiv
= (20) sau, echivalent
tj
= (21)
Michaela Logoftu
16
Ecuaia (20) sau echivalent (21) se numete ecuaia de continuitate pentru densitatea de curent.
Deoarece att densitatea de curent j ct i densitatea de sarcin sunt
mrimi locale, definite n fiecare punct al conductorului, ecuaia de
continuitate este ecuaia diferenial (local) fundamental a
electrocineticii.
O interpretare echivalent pentru ecuaia de continuitate, poate fi
exprimat astfel: n punctele din conductor care sunt surse pentru densitatea
de curent, densitatea sarcinii electrice scade n timp.
Comentarii:
Pentru curenii staionari, care transport sarcini egale n intervale de timp egale, condiia
0t=
(22)
impune
0jdiv = sau j (23) Din analiza vectorial se tie c mrimea divergen
caracterizeaz productivitatea surselor, deci (23) indic faptul c
nu exist puncte din care izvorte densitatea de curent.
Pe baza teoremei Gauss-Ostrogradski se poate afirma c fluxul liniilor densitii de curent printr-o suprafa nchis din conductor
este nul pentru curenii staionari.
Echivalent, se poate spune:
Sarcina electric intrnd ntr-un volum oarecare dintr-un conductor
n unitatea de timp, este egal cu sarcina electric ieind din acel
volum, n unitatea de timp.
Curentul electric
17
Se mai poate spune i c nu exist puncte de acumulare sau de
distrugere (absorbire) a sarcinii electrice n conductorii parcuri de
cureni staionari. Pentru curenii nestaionari, acest flux nu se mai anuleaz.
1.4. Tensiunea electromotoare Pentru generarea i meninerea curentului electric de conducie, este necesar
ca purttorii mobili de sarcin dintr-un conductor s fie acionai de fore
care s asigure deplasarea lor ordonat de-a lungul circuitului nchis cruia
aparine conductorul respectiv.
Astfel de fore pot fi aplicate purttorilor de sarcin numai prin intermediul unui cmp electric de natur nonelectrostatic (cmp
neconservativ).
Sarcinile n micare ordonat, dirijat, transfer n mod continuu i ireversibil, energie reelei cristaline (efect Joule). Deci, pentru ca
micarea s nu nceteze, este necesar o surs extern de energie care
s suplineasc energia pierdut (disipat) la interacia cu reeaua.
n concluzie:
Pentru a menine curentul ntr-un circuit, este necesar ca asupra
purttorilor de sarcin s acioneze, pe lng forele de natur
electrostatic i fore de natur nonelectrostatic, numite imprimate
sau induse. Aceste fore sunt generate de un dispozitiv numit surs de
tensiune electromotoare, care transform diverse forme de energie n
energie electric.
Ca surse se pot meniona cele care transform n energie electric, energia
asociat:
{ unor reacii chimice, dispozitivele respective numindu-se acumulatoare sau pile galvanice;
{ inducerii unui cmp electric neconservativ prin variaia n timp a unui cmp magnetic, dispozitivele respective fiind generatoarele electrice
convenionale.
Michaela Logoftu
18
Fora imprimat (aplicat) acioneaz asupra unui purttor de sarcin q
printr-un cmp electric imprimat, de intensitate:
qF
E ii
= (24)
n conductor, va exista deci un cmp total, totalE
imprimatticelectrostatotal EEE += (25)
S considerm o sarcin pozitiv, unitate, ca sarcin test, q0; scriem lucrul
mecanic efectuat de cmpul electric total asupra ei, pentru deplasarea ntre
dou puncte oarecare 1 i 2 ale circuitului:
+= dlEqdlEqW 21
i0
2
1
e012 (26)
Primul termen, prin definiie este diferena de potenial ntre punctele 1 i 2;
al doilea termen, se noteaz 12E i definete tensiunea electromotoare (t.e.m.)
12021012 q)(qW E+= (27) = dlE2
1
i12E
n cazul unui circuit nchis, (n care deci punctele 1 i 2 se confund) primul
termen din (26) se anuleaz, (cmpul electrostatic fiind conservativ are
circulaie nul pe orice drum nchis), nct se poate renuna la indicii 1 i 2 i
(26) se scrie:
+= dlEqdlEqW i00 (28)
Curentul electric
19
+= dlEq0qW i0 (28)
Se noteaz == dlEqW i0E (29)
i se numete tensiune electromotoare(t.e.m.).
Tensiunea electromotoare a sursei este lucrul mecanic efectuat de fora
imprimat de surs pentru a deplasa unitatea de sarcin pozitiv de-a
lungul ntregului circuit. Se msoar n volt (V).
Revenind la (26) i (27) se poate defini cderea de tensiune ntre punctele 1 i
2 ale circuitului ca fiind lucrul total asupra sarcinii pozitive unitate.
1221o
1212 q
WU E+== (30)
n concluzie:
Cderea de tensiune pe o poriune a circuitului, ntre punctele 1 i 2, este
egal cu suma algebric a diferenelor de potenial existente ntre punctele
1 i 2 [(1-2)] i tensiunea electromotoare a surselor existente pe poriunea respectiv de circuit, 12E . Dac i numai dac, pe poriunea respectiv nu exist surse de tensiune ( 12E =0), atunci cderea de tensiune U12 este egal cu diferena de potenial ( 1 - 2).
De reinut:
Diferena de potenial, cderea de tensiune i tensiunea electromotoare
fiind mrimi fizice de aceeai natur, se msoar n aceleai uniti; n SI,
unitatea este voltul, cu simbolul V.
Michaela Logoftu
20
Curentul electric
2 CURENTUL CONTINUU
N CONDUCTORII
METALICI
Michaela Logoftu
22
2.1 Purttorii de sarcin n metale
2.2 Legile conduciei electrice 2.2.1 Legea Ohm pentru o poriune de circuit
2.2.2 Legea lui Joule
2.2.3 Legea Wiedeman-Franz
2.2.4 Legea Ohm generalizat
2.3 Generatoare i receptoare
2.4 Transferul de putere de la surs la receptor
Curentul electric
23
2.1. Purttorii de sarcin n metale
Experimental, s-a stabilit c purttorii de sarcin n metale sunt electronii
liberi.
Electroni liberi sunt considerai acei electroni care nu sunt legai (nu aparin)
de nici unul dintre atomii constituieni ai reelei i sunt capabili s se
deplaseze n metal, pe distane mari comparativ cu constanta reelei. Provin
din nivele exterioare (de valen) ale atomilor constitutivi ai metalului.
Concludente n a stabili natura purttorilor de sarcin n metale sunt
experimentele efectuate de
RIEKIE, 1901: Meninnd timp ndelungat, aproximativ 1 an, un curent electric de
0,1A ntr-un circuit cilindric format din trei cilindri identici, unul din
Al i doi din Cu (cel din Al fiind strns fixat ntre cei doi de Cu), se
constat c, dei sarcina electric transportat este foarte mare (de
ordinul 3 milioane coulomb), totui nu se observ nici transport de
substan dintr-un cilindru n altul i nici transformri chimice.
Concluzia este c purttorii de sarcin sunt aceiai n ambele metale,
masa lor fiind neglijabil.
STEWART I TOLMAN, 1917: Determinnd experimental sarcina specific (q/m) a purttorilor de
sarcin dintr-un conductor metalic oprit brusc din micare, valoarea
gsit coincide, n limita admis a preciziei experimentelor, cu
valoarea cunoscut a sarcinii specifice a electronului, (e/m).
Reunind concluziile celor dou experimente prezentate, se poate afirma c n
metale purttorii de sarcin sunt electronii liberi.
Michaela Logoftu
24
2.2. Legile conduciei electrice
2.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit
2.2.2. Legea lui Joule
2.2.3. Legea Wiedeman-Franz
2.2.4 Legea Ohm generalizat
2.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit
Considerm un conductor metalic
9 omogen; 9 izotrop; 9 meninut la temperatur constant i avnd form cilindric, de
lungime (l) i arie a seciunii transversale (S) (figura 1).
Fig. 1
Aplicnd la extremitile acestui conductor
o diferen de potenial constant,
V2-V1=ct (fig.1), n conductor se stabilete
un curent de intensitate I constant n
timp, i de aceeai valoare n orice
seciune transversal a conductorului,
numit curent continuu.
Experimental, s-a stabilit o relaie de proporionalitate ntre intensitatea
curentului prin conductor i diferena de potenial aplicat la bornele
(extremitile) acestuia, descris prin legea lui Ohm:
RVV
I 12= (1)
unde R este un factor de proporionalitate, care depinde de:
9 proprietile intrinseci ale conductorului; 9 dimensiunile i geometria acestuia; 9 condiii exterioare (factori exteriori).
Curentul electric
25
R se numete rezisten electric a conductorului sau pe scurt, rezisten i
se reprezint prin simbolurile grafice din fig.2.
Fig.2
Pentru conductorul cilindric menionat, rezistena R se poate exprima prin:
Sl
R = (2)
unde este rezistivitatea i depinde att de natura materialului (proprieti intrinseci ale materialului), ct i de condiiile exterioare (mai ales de
modificarea temperaturii) (vezi n Modulul suplimentar,
Superconductibilitata).
[ ] ohmR SI = , cu simbolul ; [ ] metruohmSI = , cu simbolul ( m). Se mai folosete i unitatea
practic .mm2/m, rezultat din (2), n care S se exprim n mm2, iar l n m.
Mrimea definit prin inversul rezistiviti se numete conductivitate i se
noteaz prin :
=1
[ ] ( ) 1SI metruohm = cu simbolul (m)-1;
Unitatea ()-1 se mai numete i siemens, cu simbol S, astfel nct unitatea pentru conductivitate (m)-1=S/m se numete siemens/metru.
Legea lui Ohm constituie un criteriu de clasificare a conductorilor n
9 ohmici (liniari), cei care respect (1); 9 neohmici (neliniari), cei care nu respect (1).
Michaela Logoftu
26
n general, se reprezint grafic dependena intensitii curentului printr-un
conductor de tensiunea aplicat la bornele acestuia, caracterul liniar sau
neliniar observndu-se direct (fig.3.b).
Curba I=f(V) se numete caracteristica volt-amperic sau caracteristica
curent-tensiune a conductorului.
a) Conductor ohmic b) Conductori neohmici
Fig.3.
O comportare liniar prezint i fotorezistorii (FR), cu particularitatea
existenei a dou caracteristici I V ale acestora, la lumin (iluminare) i la
ntuneric. (Vezi problema rezolvat nr. 6 la sfritul paragrafului 2.2.4.).
Elementul de circuit caracterizat prin rezisten ohmic se numete
REZISTOR. n vorbirea curent, se face referire la rezisten, cnd de fapt
trebuie menionat rezistorul (elementul fizic, real).
Pentru a evita orice confuzie, este recomandabil s se foloseasc termenii:
9 rezistor, pentru elementul de circuit; 9 rezisten, pentru mrimea fizic ce l caracterizeaz.
Revenind la (1) i introducnd (2), prin cteva transformri simple, se obine:
SESlU1
SlVV
SlVV
RVV
I 211212 =
=
=
==
(3)
Din definiia densitii de curent, j, aceasta este constant n orice punct din
interiorul conductorului considerat omogen i izotrop, astfel nct se poate
nlocui I prin jS i (3) devine
Curentul electric
27
jS=ES (4) de unde
j=E (5)
fiind un scalar pentru mediul omogen i izotrop. Vectorial: = Ej (5)
Relaiile (5) i echivalent (5) exprim legea lui Ohm n forma local
(microscopic), corelnd n fiecare punct din conductor densitatea de curent
i cmpul electric asociat.
De observat c, aa cum:
rezistena conductorului este independent de I i U, la nivel macroscopic,
tot aa
rezistivitatea este independent de j i E , la nivel microscopic (local).
Legea lui Ohm este specific unei categorii de materiale conductoare
- conductoarele ohmice -, nefiind o lege general a
Electromagnetismului. Din acest motiv se mai numete i lege de
material.
Michaela Logoftu
28
2.2.2. Legea lui Joule
Experimental, s-a observat degajarea unei cantiti de cldur la trecerea
curentului electric printr-un rezistor (efectul termic al curentului electric).
Matematic, cldura degajat Q se scrie:
Q=RI2 (6) n funcie de rezistena conductorului R, intensitatea curentului I prin
conductor i - intervalul de timp n care trece curent prin conductor.
Se definete densitatea puterii termice ca fiind cldura degajat n unitatea
de timp n unitatea de volum a conductorului:
22
22
2
jSI
lS
ISl
VRI
VQ
w =
=
===
(7)
Dar din legea lui Ohm n forma local
j=E rezult, introducnd (5) n (7):
( ) 22 EE1w == (8) Relaia (8) poart numele de legea lui Joule n forma local (microscopic) i
i se asociaz o interpretare fizic n cadrul modelului gazului electronic
(modelul Drude-Lorentz) elaborat la nceputul secolului XX pentru explicare
unor particulariti ale conduciei electrice n metale.
Efectul Joule are numeroase aplicaii practice industriale (cuptoare electrice,
usctoare), n metrologie (ampermetre i voltmetre termice), sigurane
fuzibile n distribuia energiei electrice, n domeniul casnic (nclzitoare,
cuptoare, fier de clcat, plite), etc.
De asemenea, datorit energiei termice (cldurii) disipate la trecerea
curenilor electrici prin conductori izolai cu diverse materiale (textile, PVC,
Curentul electric
29
etc.), intensitile acestora trebuie limitate, pentru a nu deteriora izolaiile
care, de regul suport temperaturi ntre 120-180C. Despre pierderile de energie n liniile de transport a energiei electrice se va
vorbi ntr-un paragraf ulterior.
Un calcul numeric va completa cunotinele referitoare la variaia rezistenei
conductorilor metalici cu temperatura, mai ales atunci cnd, n timpul
funcionrii diferitelor aparate sau circuite electrice se ating temperaturi
considerabile (vezi Problema rezolvat urmtoare).
La 20oC rezistena filamentului unui bec electric este de 13, n stare de incandescen fiind de 144. tiind valoarea coeficientului de temperatur al rezistenei 1grd005,0 = , vom calcula temperatura pe care o atinge filamentul n timpul funcionrii.
)t1(RR 101 +=
)t1(RR 202 +=
)t1(R)t1(R
RR
20
10
2
1
++=
)t1(R)t1(R 1221 +=+
11221 R)t1(RtR +=
+=
1
1122 R
R)t1(Rt
C223710513
13)201051(144t o
3
3
2 +=
Michaela Logoftu
30
Datorit acestor valori mari ale temperaturii atinse de filamentele becurilor
n stare de funcionare, acestea se confecioneaz din metale greu fuzibile
(temperaturi de topire ridicate), ca de exemple: tungsten (3380oC), osmiu
(5500oC).
2.2.3. Legea Wiedeman-Franz
Experimental s-a constatat c metalele sunt buni conductori electrici i
termici i, mai mult, raportul dintre conductivitatea termic i conductivitatea electric , pentru un metal dat este proporional cu temperatura absolut a acestuia.
T~
(9)
La o temperatur dat, pentru toate metalele, valoarea raportului este
constant i egal cu 2
ek
3
, unde k este constanta Boltzmann
(k=1,3810-23 J/K) i e este sarcina electronului. Aceast constatare experimental se numete legea Wiedeman-Franz i are o importan aparte
n teoria clasic a metalelor.
Tek
32
= (10)
Comentarii:
n cadrul teoriei cuantice a metalelor se gsete valoarea raportului dintre conductivitatea termic i conductivitatea electric puin
diferit de valoarea prezentat mai nainte n teoria clasic: 22
0 ek
3TL
=
=
Curentul electric
31
28,33
32
= . Constanta L0 se numete numrul lui Lorentz i la temperatura camerei
are valoarea
28
0 kW
1045,2L=
n compararea datelor experimentale cu cele teoretice trebuie avut n vedere i faptul c, pe lng fluxul termic transportul de electroni mai
exist i fluxul termic asociat reelei metalului
La metalele normale care nu prezint fenomenul de supraconductibilitate, conductivitatea termic a reelei este foarte
mic n comparaie cu conductivitatea termic a electronilor de
conducie:
fiind cu aproximativ dou ordine de mrime mai mic, aceasta se
neglijeaz.
n Tabelul 1 sunt date valorile experimentale ale mrimii
T
pentru cteva
metale uzuale, valorile temperaturii absolute fiind ntr-o coloan separat.
Tabelul 1: Raportul dintre conductivitatea termic i conductivitatea electric a
metalelor.
Metal T(K) 810
T
(W)/K2 Metal T(K)
810T
(W)/K2 Aluminiu
291,2
373,2
2,81
2,27 Plumb
273,2
373.2
2,47
2,56
Argint 273,2
373,2
2,31
2,37 Staniu
291,2
373,2
2,52
2,49
Cupru 273,2
374,8
2,23
2,23 Zinc
293,2
83,2
2,56
2,04
Fier 273,2 2,47 Nichel 373,2 2,28
Vom ncheia acest paragraf prin cteva exerciii exerciii cu rol de fixare a
cunotinelor referitoare la:
Michaela Logoftu
32
9 interpretarea conduciei electrice a metalelor n modelul Drude Lorentz;
9 ordinul de mrime al concentraiei electronilor n metale ca i 9 la conductori neliniari (neohmici).
2.2.4. Probleme rezolvate
1. La extremitile unui conductor din cupru, cu lungimea de 1m i seciunea
S=1mm2 se aplic o tensiune de 40 mV.
Intensitatea curentului care se stabilete este I =2A. Calculai:
a) intensitatea cmpului electric n conductor; b) viteza de drift a electronilor de conducie; c) rezistivitatea cuprului, presupunnd c toi atomii de cupru au cedat cte
2 electroni, transformndu-se n reea, n ioni bivaleni, Cu2+.
Se cunosc:
- densitatea cuprului, dCu=8,9103 Kg/m3; - masa molar MCu=63,5 Kg / Kmol; - numrul lui Avogado NA= 6,021026 molec/Kmol
Rezolvare:
a) Intensitatea cmpului electric n conductor
lU
E =
m/mV40m/V1040m1
V1040E 3
3
===
(1)
b) n expresia densitii de curent pentru metale j = nev (2)
Curentul electric
33
unde v este tocmai viteza de drift cerut, intervine i n,concentraia
electronilor, adic numrul de electroni din unitatea de volum, mrime care
se calculeaz n felul urmtor:
1 kmol de cupru conine NA atomi------- care
elibereaz (2 NA) electroni:
m (masa conductorului) conine )Mm
(Cu
Kmoli i elibereaz 2 )Mm
(NCu
A electroni
N numrul total de electroni este deci N =2 )Mm
(NCu
A (3)
Dar acest numr total de electroni N din masa conductorului se poate exprima
prin concentraia n i volumul V al conductorului
N= nV (4)
Egalnd (4) i (3) se obine :
ACu
NMm
2nV = (5)
unde m - masa conductorului se exprim prin densitatea d a materialului din
care este confecionat i volumul acestuia.
m =dCuV (6) Introducnd n (5) rezult:
ACu NM
Vd2nV
= (7)
MNd2
n ACu= (8)
329
263
3
m1068,1
Kmolkg
5,63
Kmolatomi
1002,6mkg
109,82n =
=
Michaela Logoftu
34
Din (2) rezult:
sm
104,7C106,1m1068,1m10
A2v
SneI
neSI
nej
v
51932926
==
=== (9)
c) Din expresia local a legii Ohm j = E (10)
rezult conductivitatea :
Ej= (11)
=1
(12)
nct
IES
SIE
jE ===
(13)
Numeric:
18
8
263
)m(105,0
m102A2
m10mV
1040
==
=
Se impune discutarea acestor valori numerice:
n tabelele de valori ale rezistivitii se gsete pentru Cu, = 1,75 107 (m)-1, o valoare relativ apropiat de aceasta.
viteza termic medie a electronilor n conductor, calculat pe baza teoriei cinetico- moleculare aplicat gazuluide electroni liberi este
(la T= 300K)
s/m1017,1mkT3
u 5e
=
Curentul electric
35
viteza imprimat de cmp, v = vdrift=7,410-5m /s
Aparent este un paradox: cum se explic propagarea instantanee a
curentului electric prin conductori, dac viteza electronilor este att
de mic? De reinut c, viteza electronilor nu este viteza de propagare
a curentului electric: la conectarea unei surse, n conductor se
stabilete un cmp electric care se propag cu vitez comparabil cu
viteza luminii, punnd n micare toi electronii din conductor.
Conductibilitatea mare a metalelor se explic prin numrul mare de electroni liberi din unitatea de volum (1028-1029)m-3 i nu prin viteza
acestora.
Pentru comparaie, vom da i valorile concentraiilor de purttori din
alte medii conductoare:
electrolii foarte buni (NaCl, soluie 1N, =0,1) n += n = 61025m-3
1,2(m)-1 - grad de disociere
aer natural ionizat: n + =(5108-109)m-3;
n = (4-8)108m-3;
10-14(m)-1.
Din acest motiv, al conductivitii slabe, aerul natural este considerat
izolator.
Ionizarea sa poate fi mrit, deci implicit i conductivitatea, prin
iluminare cu radiaii ultraviolete (UV).
2. n modelul Drude - Lorentz al conduciei electrice n metale (elaborat
ntre anii 1902-1907), se face ipoteza c micarea electronilor este guvernat
de legile gazului ideal. Rezultatele obinute explic unele particulariti ale
Michaela Logoftu
36
conduciei electrice n metale, diferenele aprnd la comparaii cantitative
(ordine de mrime).
Vom calcula conductivitatea electric n cadrul acestui model. n micarea n conductor, electronii sunt supui aciunii cmpului electric i micrii
termice. Astfel, electronii de conducie sufer ciocniri cu impuritile (atomii
strini) prezente n reeaua de baz, dar i cu ionii acesteia, ioni care
particip i ei la micarea termic, prin oscilaii.
Se noteaz prin
vt viteza termic medie a electronilor;
- drumul liber mediu ntre dou ciocniri succesive.
Rezult c, n aproximaia fizicii clasice, timpul ntre dou ciocniri se poate scrie
tv= (1)
La aplicarea unui cmp electric E, electronii capt o acceleraie
ma = eE
Eme
a = (2)
n ipoteza c la fiecare ciocnire electronul i pierde complet viteza i
procesul de accelerare se reia, rezult c viteza medie pe un parcurs egal cu
drumul liber mediu este calculabil prin
=+= Eme
21
)a0(21
v (3)
Dar, aceast valoare a vitezei este tocmai viteza de drift a electronilor,
dedus din legea Ohm
j = E (4) j = nev (5)
Curentul electric
37
nev = E (6)
Egalnd (6) i (3)
= Eme
21
Ene
rezult
mne
21 2= (7)
unde timpul se exprim prin (1) i se obine, n final
t
2
vmne
21 = (8)
Formula (8) se mai numete i formula Drude.
S aplicm aceast formul n cazul unui conductor din Cu, n care
presupunem c fiecare atom, devenit, n reea, un ion monovalent, cedeaz
acesteia un electron liber. Aplicnd metoda de calcul din problema
anterioar, rezult pentru numrul de electroni liberi din unitatea de volum,
valoarea
n = 8,4510-28 atomi/m3 (9)
De reinut c ordinul de mrime al concentraiei de electroni liberi n
metalele uzual folosite n electrotehnic este cel de mai sus.
Pentru calculul drumului liber mediu ntre ciocniri succesive cu ionii reelei, se ine seama c ree aua cristalin a cuprului este de tip cubic, cu o distan
medie ntre ioni a calculabil din urmtorul raionament:
dac n atomi corespund unui volum de 1m3
atunci 1 atom ocup un volum Vx
n1
Vx = (10) Dar, conform celor de mai sus
Vx =a3, a = 3/1
xV ; a = n-1/3
Michaela Logoftu
38
i deci
a = n-1/3 (11)
Numeric
m103,2)1045,8( 1031
28 = (12)
Viteza termic medie, la temperatura camerei T = 300K calculat n problema
rezolvat anterioar, au valoarea
vt = 1,17105 m/s (13)
nct timpul ntre ciocniri sucesive este = 210-15 s (14) Introducnd n (8) valorile date de (9), (12) i (14) rezult
1631
1521928
)m(1037,21011,92
102)106,1(1045,821
= (15)
unde m0 este masa de repaus a electronului = 9,1110-31Kg.
n tabelele de valori pentru rezistivitate (conductivitate), valoarea medie
uzual pentru Cu este de 5,81107 ( m)-1.
Compar tabel i calculat 20
)m(1037,2)m(1081,5
16
17
calculat
tabel =
Deci, datorit ipotezelor (electronii n micare n reeaua cristalin a
metalului se comport ca molecule de gaz ideal) i aproximaiilor fcute,
calculat pe baza modelului este de 20 de ori mai mic dect valoarea dedus experimental. Putem afirma c, pe baza modelului Drude Lorentz se pot
face numai nite evaluri estimative ale mrimilor care intervin.
Curentul electric
39
n fizica corpului solid se definete mrimea numit mobilitatea unui purttor
notat , ca fiind viteza acelui purttor cptat n unitatea de cmp electric, deci
Ev= ;
sVm
mVsm
][2
SI == (16)
Comparnd cu relaia (6) rezult c pentru electron, purttorul de sarcin din
metale,
ne= (17)
nct, din (7)
me
21 = (18)
Observaii
Rezultatele obinute pe baza modelului Drude Lorentz au permis explicare unor particulariti ale conduciei electrice n metale, dar
nu au putut explica altele (clduri specifice, supraconductibilitatea).
Interpretarea complet i coerent a tuturor proprietilor solidelor,
n particular ale metalelor, se face n cadrul fizicii corpului solid, pe
baza efectelor cuantice asociate sistemelor cu numr mare de
particule (ioni, electroni) n interacie.
n unele situaii bine definite din punct de vedere fizic, formulele deduse n modelul Drude Lorentz sunt aplicabile att la metale, ct
i la alte categorii de conductori (semiconductori; gaze ionizate,
electrolii). n cazul existenei mai multor tipuri de purttori de
sarcin mobili se pot scrie formulele urmtoare care, n multe situaii
concrete, ofer dac nu soluii precise, cel puin estimative ale
diferitelor mrimi fizice.
Michaela Logoftu
40
Ev
,Ev
qnqn
22
11
222111
==+=
222111 qnqn11
+== unde ni, qi, i (i = 1,2) sunt concentraia, sarcina electric i mobilitatea purttorului i (electron, gol, ion pozitiv, ion negativ).
3. n interiorul unui conductor din cupru parcurs de curent intensitatea
cmpului electric este E. Dup un interval de timp t, conductorul se nclzete cu T. S se calculeze timpul mediu dintre dou ciocniri succesive ale electronilor de conducie.
Se cunosc: sarcina electronului e, masa electronului m0, concentraia
electronilor de conducie n, cldura specific a cuprului c i densitatea
masic a cuprului d.
Aplicaie numeric:
E = 0,1 V/m; t = 1,5 minute; T = 15 grd; e = 1,6 10-19C; m0 = 9,1 10-31Kg; n = 8,5 1028 m-3;
c = 390 J/Kg grd; d = 8,93 103 Kg/m.
Rezolvare:
n ipoteza c primul conductor din Cu este izolat termic, energia disipat prin
effect Joule n timplul t RI2t (1) este preluat integral de ctre conductor, ducnd la nclzirea acestuia. La
nivel macroscopic, experimental, se constat o cretere T a temperaturii conductorului, cldura preluat de acesta fiind
mcT (2)
Curentul electric
41
n condiia de transfer integral de energie
RI2t = mcT (3) Se poate explicita fiecare membru
2
0
2
22
222
Em2
netls
Ene tlsne
)Ene(tls)nev(t)ls(
1t)sj(
sl
TRI
=
=====
(4)
mcT = dslcT (5) si egalnd (4) i (5) rezult:
TdlscEm2
neTls 2
0
2
= (6)
de unde, timpul mediu ntre dou ciocniri succesive ale electronilor de
conducie cu reeaua
tEne
Tdcm222
0
= (7)
Numeric
s1085,4
s605,1mV
10)C106,1(m1
105,8
mZKg
1093,8grd15grdKgj
390Kg101,9214
21219
328
3331
=
=
Varian
Energia transferat reelei n urma ciocnirilor dintre electronii de conducie i
ionii reelei
W = wVt (8) unde
w este densitatea de energie transmis reelei n unitatea de timp i unitatea
de volum;
V este volumul conductorulului
V = l s
t intervalul de timp n care conductorul este parcur de curent
Din expresia legii lui Joule scris sub forma microscopic (local)
w = E2 (8)
Michaela Logoftu
42
se calculeaz i apoi .
Considernd conductorul izolat termic (fr pierderi de cldur n mediul
exterior), condiia de transfer integral de energie (rel 3) se scrie
W = mcT wVt = mcT E2Vt = mcT (12) E2lst = dlsT rezult
tETdc
2= (13)
Dar
= ne (14) si
0m2e= (15)
ncat din (13) rezult
tETdc
m2ne
20
2
=
tEne
Tdcm222
0
= (16)
relatie identic cu (7).
De observat c n modelul clasic al gazului de electroni, masa electronului se consider m0, valoarea masei de repaus a acestuia, n
vid. ntr-un metal, datorit interaciilor cu reeaua cristalin a
acestuia, electronul se mic cu o mas efectiv, notat
convenional m*.
4. Folsind datele din Tabelul 1 calculai conductivitatea termic a cuprului
la 0oC.
Curentul electric
43
Rezolvare: Din tabel se gsete c la 0oC (273,15 K 273,2K) raportul ntre conductivitatea termic i conductivitatea electric a cuprului este
28
KW
1023,2=
de unde
= 2,23 10-8 T 117
Cu m107,5==
mKW
355K2,273m107,5
KW
1023,27
28
=
5. n figur, este prezentat schema unui montaj electric care, ntre
punctele A i B conine o lamp cu neon, caracteristica curent-tensiune a
acesteia fiind descris matematic prin relaia u = 2,8i1/3.
Se cunosc valorile rezistenelor rezistorilor R1= 0,865 i R2= 8; intensitatea
curentului prin lampa cu neon este i=64 mA. Calculai valoarea tensiunii
aplicate la bornele montajului.
Rezolvare:
Tensiunea total U se repartizeaz la
bornele montajului AB i pe
rezistorul R2
U = UAB + UR2
UAB = u = 2,8i1/3
2RU = IR2
I = I1+i;
11
AB1 R
uRU
I ==
Michaela Logoftu
44
21
R)iRu
(uU ++=
u = 2,8i1/3=2,8(64 10-3)1/3=2,8641/310-3 (1/3)=2,8(26)1/310-1
64=416=26
u=2,82210-1V=1,12V
I1=1,295A
I=(1,295+0,064)A=1,359A
2RU =10,872V
U=(1,12+10,872)V=11,992V12V
Observaie: Rezistorul R2 este un element liniar (ohmic), tensiunea la
bornele sale fiind dat de 2R
U = IR2 (dependen liniar de I), n timp ce
lampa cu neon este un element neliniar de circuit (neohmic), tensiunea la
bornele sale fiind descris prin relaia din enunul problemei.
6. Fotorezistorii (FR) sunt elemente liniare de circuit, confecionai din
materiale a cror rezistivitate scade atunci cnd sunt supui iluminrii; ei
prezint o rezistivitate i deci o rezisten la ntuneric i o alta, la lumin. n
figur sunt reprezentate caracteristicile curent-tensiune ale unui fotorezistor
din CdS (sulfur de cadmiu) la ntuneric ( = 0) i la lumin ( 0).
Curentul electric
45
S se calculeze rezistenele fotorezistorului la ntuneric R0 i respectiv, la
lumin Rf.
Rezolvare:
Din panta graficului se deduc valorile rezistenelor
0IU
R=
=
0o I
UR
=
= ; ==
43o 102A105,1
V30R
0f I
UR
= ; ==
33f 105,7A104
V30R .
7. n paragraful referitor la legea lui Ohm pentru conductori metalici s-au
prezentat cazuri de conductori cu caracteristica I=f(U) liniar i neliniar
(figura 3).
n cele ce urmeaz, vom determina i apoi vom reprezenta grafic
caracteristica curent-tensiune pentru dou elemente oarecare de circuit
nseriate.
Se conecteaz n serie (ca n figura 1) dou elemente de circuit notate D1 i
D2, n care D1 este un rezistor metalic avnd rezistena R1=20, iar D2 este un rezistor cu rezisten variabil cu tensiunea, tip VDR (Voltage Dependant
Resistor). Presupunnd c intensitatea curentului ia valori ntre 0 i 800mA s
se traseze caracteristica i(u) pentru ansamblul D1 i D2.
Se cunoate caracteristica i(u) a elementului D2 (VDR), valorile i i u fiind
date n Tabelul 1 (respectiv i i u2).
Michaela Logoftu
46
Vom nota u i i valorile tensiunii i
curentului prin circuit, pentru a
marca faptul ca este vorba de
valori instantanee ale mrimilor
respective.
Tabelul 1 u2(V) 0 4 6 8 10 12
i(mA) 0 50 140 300 530 800
Pentru D1 alctuim un tabel de valori ale tensiunii u1 la valorile intensitii i a
curentului (din Tabelul 1) innd seama de faptul c acesta este un element
liniar de circuit, rezistor metalic, deci respectnd legea lui Ohm
Ru
i = n care R = R1=20. Rezult valorile u1 din Tabelul 2.
Tabelul 2 i(mA) 0 50 140 300 530 800
u1(V) 0 1 2,8 6,0 10,6 16
Cu valorile din cele dou tabele se alctuiete un tabel global pentru
21 uuu += . Rezult datele centralizate n Tabelul 3
Tabelul 3
i(mA) 0 50 140 300 530 800
u(V) 0 5 8,8 14 20,6 28
Cu datele din tabelele 1,2 i 3 se traseaz dependenele i=f(u1); i=f(u2) i
i=f(u) pe aceleai grafic(vezi figura 2).
Curentul electric
47
Fig.2
Dependenele i=f(u) pentru dipolii D1, D2 i D1+D2 i=f(u1) pentru D1 ; i=f(u2) pentru D2, x; i=f(u) pentru D1 i D2, o
Problem propus:
Calculai numrul mediu de electroni liberi din unitatea de volum pentru
metalele pure specificate n tabelul urmtor i comparai cu valorile din
coloana n (m-3).
Se cunoate numrul lui Avogadro NA = 6,021026 Kmol-1.
Metalul
Densitatea
masic
d [Kg/m3]
Masa molar
M [Kg/Kmol]
Concentraia
electronilor liberi
n [m-3]
6,021028 (monovalent)
1,201029 (bivalent) Aluminiu (Ag) 2,70103 26,98
1,811029 (trivalent)
Argint (Al) 10,50103 107,87 5,851028 (monovalent)
8,461028(monovalent) Cupru (Cu) 8,93103 63,54
16,921028 (bivalent)
Fier (Fe) 7,90103 55,85 8,511028 (monovalent)
Michaela Logoftu
48
De reinut ordinul de mrime al concentraiei electronilor n metale folosite
n mod uzual n electrotehnic.
La absorbia energiei radiaiilor luminoase incidente pe fotorezistor unii
electroni din material pot devenii liberi n reea, mrind astfel numrul
purttorilor de sarcin mobili n reea.
2.2.5. Legea Ohm generalizat
n paragraful 2.2. a fost prezentat legea Ohm pentru un conductor pasiv: o
poriune pasiv de circuit absoarbe energie, fiind reprezentat prin
receptoare (impedane, rezistoare).
Elementele de circuit active sunt acele elemente capabile s furnizeze
energie la bornele lor i sunt denumite generic surse, indiferent de natura
energiei pe care o transform n energie electric (chimic,
electromagnetic).
n cazul cel mai general, un circuit conine att elemente active ct i
elemente pasive; n expresia local a legii lui Ohm = Ej (11)
cmpul E este cmpul total (relai (25) din paragraful 1.4.)
E =
E electrostatic+
E imprimat
(12)
S considerm o poriune dintr-un circuit, delimitat de punctele A i B
(fig. 3).
Fig. 3
ntre punctele A i B circulaia cmpului total E se va scrie:
Curentul electric
49
=
B
A
B
A
dljdlE (13)
Explicitm fiecare membru al acestei ecuaii:
===
B
AAB
B
A nn
n
IRsdl
Idl
sI
sI
j
(14)
44 344 2144 344 21ABAB
dlEdlEdlE
U
B
A
B
A
B
A
imprimatticelectrosta
E
+=
(15)
n care UAB este diferena de potenial ntre punctele A i B ale unui circuit
parcurs de curentul I, iar E AB este tensiunea electromotoare asociat poriunii respective.
Din (14) i (15) rezult:
ABABAB UIR E+= (16)
i diferena de potenial UAB se va scrie
ABABAB IRU E= (17)
RAB este rezistena total ntre A i B, inclusiv rezistenele interne ale
surselor; EAB este suma algebric a tensiunilor electromotoare (t.e.m.) acionnd ntre A i B.
Generaliznd, ntre A i B pot exista mai multe ramuri (laturi) de circuit,
fiecare avnd rezistena total Rk i fiind parcurs de un curent de intensitate
Ik, caz n care, (17) se scrie sub forma mai general:
Michaela Logoftu
50
BA
p
1ii
n
1kkkAB IRU
==
= E (18)
De reinut ordinea de scriere a indicilor A i B, deoarece indic sensul n care
se msoar diferena de potenial i anume, aici, de la A ctre B; de
asemenea, simbolul AB indic sensul de parcurs al poriunii de circuit ; aici, de la A ctre B.
Relaiile (17) i (18) se pot interpreta astfel :
Diferena de potenial ntre extremitile unei poriuni de circuit parcurs de curent electric este egal cu suma algebric a cderilor de
tensiune de pe acea poriune, din care se scade suma algebric a
tensiunilor electromotoare ce acioneaz n poriunea respectiv.
n cazul unui circuit nchis UAB =0, din (17) se obine
==
=
+= p
1ii
n
1kk
p
1ii
rRI
E
(19)
Fig. 4
unde ri sunt rezistenele interne respective ale surselor.
Pentru mrimile care intervin n (17) i (18), se stabilesc convenii de semn, utile mai ales, n activitatea de proiectare i de producie n
domeniul electrotehnic. Astfel:
9 produsul (RkIk) se consider pozitiv dac sensul de parcurs (de la A la B) coincide cu sensul curentului n latura k considerat, i
negativ, dac sensul curentului n latura respectiv este opus
sensului de parcurs de la A la B;
9 t.e.m. (E i) se consider pozitive, dac sensul de parcurs (A ctre B) trece prin surs de la polul (-) la polul (+); dac sensul de
parcurs strbate sursa prin interiorul acesteia de la polul (+) la
polul (-), t.e.m. respectiv se consider negativ.
Curentul electric
51
n exemplele ilustrative de la paragraful Generatoare i receptoare (ex. 1 i
2, fig. 7 i 8) se vor aplica aceste convenii de semn.
2.3. Generatoare i receptoare
Generatorul (sursa) electric este un dispozitiv care menine un curent electric
ntr-un circuit prin fore de natur neelectrostatic (numite i induse sau
imprimate). Simbolic se reprezint ca n figura 5:
Fig. 5
Convenional, sensul pozitiv al curentului debitat este :
9 n interiorul sursei, de la polul (-) ctre polul (+); 9 n exteriorul sursei, de la polul (+) ctre polul (-).
Schema unui circuit electric, orict de complex ar fi, poate fi redus la :
9 surs (generator); 9 receptori (consumatori); 9 fire de conexiune.
i este reprezentat n figura 6, n care
Fig. 6
G - generator, caracterizat prin t.e.m. E i rezistena interioar r;
Re rezistori (consumatori) exteriori
Din legea lui Ohm generalizat (relaia 19 din paragraful anterior), pentru
acest circuit nchis se poate scrie:
eRrI +=
E (19)
Michaela Logoftu
52
Sursa de energie electric se caracterizeaz prin:
puterea electric total produs de surs: IPE E= (20)
puterea electric pierdut n surs prin efect Joule: 2
J rIP = (21)
puterea electric la borne, care poate fi cedat n exterior: UIP = (22)
Bilanul puterilor pentru o surs se scrie:
PPP JE += (23)
nlocuind n (23) expresiile (20), (21) i (22) rezult:
UIrII 2 +=E (24) UrI +=E (25)
relaie care poate fi interpretat astfel:
Sursa (generatorul) de t.e.m. E asigur la bornele sale o tensiune U i
acoper i pierderile (interne) de tensiune pe rezistena interioar, rI.
Randamentul sursei
( ) ( )R,rfRrR
IRrRIU
IUI
PP
PP
Econsumat
util =+=+===== EE (26)
Deoarece, ntotdeauna R
Curentul electric
53
conform crora un element de circuit poate fi considerat activ sau, respectiv,
pasiv. Altfel spus cnd se comport ca surs i cnd ca receptor.
Un element de circuit este considerat ACTIV, deci surs de energie electric,
atunci cnd puterea la bornele sale poate fi cedat unui circuit exterior,
P>0.
Atunci cnd puterea la bornele unui element de circuit este absorbit (P
Michaela Logoftu
54
E= rIUAB (I>0, circul de la A la B, n sensul de interes A-B; E >0, sensul A-B coincide cu sensul de la (-) la (+) prin surs);
UAB=-5V
P = UI = (-5V)(2A) = -10W 0
n montajul dat, sursa E funcioneaz ca generator (element activ).
Curentul electric
55
2.4.Transferul de putere de la surs la receptor
n paragraful anterior s-a calculat randamentul sursei de tensiune i s-a
stabilit c depinde att de rezistena intern a sursei, ct i de rezistena
total a circuitului receptor,pe care aceast surs debiteaz.
n cele ce urmeaz, vom analiza dependenele Pexterior (R) i (R) i vom stabili condiiile n care puterea debitat n circuitul exterior de ctre o surs, este
maxim. Cu alte cuvinte, vom stabili condiiile n care are loc transferul
maxim de putere de la o surs la un circuit exterior.
Puterea electric total produs de surs
e
2
eE RrRr
IP +=
+==EEEE (27)
Re=0 (scurtcircuit); ;r
II scE== max
2
E PrP == E
,rRe = ,r2IE= max
2
P21
r2P == E
Re (circuitul deschis, n gol):
I0; P0.
Puterea n rezistena circuitului exterior
)R(f)Rr(
RRr
RIRP e2e
e22
ee
2eext =+=
+== EE
(28)
,R,0R
e
e
=
0Pext = 0Pext
Deci, pentru R[0,), puterea Pext variaz de la 0 la 0, trecnd printr-un extremum. Calculm derivata funciei Pext (Re)
Michaela Logoftu
56
3e
e2ext )Rr(
RrP +
= E (29) Pext=0 pentru Re=r (extremum)
Pext>0, pentru r>Re
Pext
Curentul electric
57
p=Rf I2 (32)
n firele de transport de rezisten total Rf, nct, la receptor intr numai
diferena
P=P-p (33)
Se poate defini un randament al liniei de transport
PIR
1P
IRPP
pPP'P
P
P 2f2
f
generator iesire
receptor rareint1 ===== (34)
Dar, din
P=UI rezult UP
I = (35)
i introducnd (35) n (34) rezult:
2f
1 UR
P1= (36)
Se vede c randamentul crete cnd:
Rf scade, deci pentru conductoare (fire) de transport groase; n general, foarte scumpe;
U crete, deci transportul energiei electrice s se fac la tensiuni nalte (uzual, ntre 15000V i 200000V). Acesta este motivul pentru
care, la surs se ataeaz un transformator ridictor de tensiune, pn
la valoarea optim pentru transport; la receptor, pentru utilizare, se
ataeaz un transformator cobortor de tensiune, pn la valorile de
ntrebuinare.
Michaela Logoftu
58
Problem rezolvat O surs de tensiune disip ntr-un circuit exterior aceeai putere P atunci
cnd la bornele sale este conectat fie un rezistor cu rezistena R1,fie un
rezistor cu rezistena R2.
S se calculeze:
a) tensiunea electromotoare E a sursei i rezistena intern r a acesteia; b) valorile randamentului transportului de putere de la surs la circuitul
exterior pentru valorile rezistenelor R1 i R2;
c) valoarea randamentului cu care sursa transfer puterea maxim Pmax.
Aplicaie numeric:
R1 = 5; R2 = 20; P = 80W.
Rezolvare:
a) Calculul t.e.m. E i a rezistenei interne r ale sursei
Schemele echivalente ale circuitelor sunt prezentate n fig. 1.a i respectiv,
fig. 1.b
Fig. 1.a
Fig. 1.b
Puterea debitat de surs pe circuitul exterior de rezisten R atunci cnd
este parcurs de un curent cu intensitatea I.
Pe= RI2 (1)
se exprim, n cazurile R1 i R2 prin 211e IRP 1 = (2)
i respectiv, prin
Curentul electric
59
222e IRP 2 = (3)
unde , din fig. 1.a i 1.b se poate scrie
11 RrI +=
E (4)
22 RrI +=
E (5)
Explicitnd condiia ca puterea P debitat n circuitul exterior s fie aceeai
indiferent de valoarea rezistenei acestui circuit rezult:
21 eePP = (6)
222
211 IRIR = (7)
2
22
2
11 Rr
RRr
R
+=
+EE
(8)
22
22
1
1
)Rr(R
)Rr(R
+=+ (9) R1(r2+2rR2+R22) = R2(r2+2rR1+R12) (10)
R1r2 + 2rR1R2 + R1R22 = R2r2 + 2rR1R2 + R12R2 r2(R1 - R2) = R12R2 - R1R22
r2(R1 - R2) = R1R2(R1 - R2) (11)
Dac (R1 - R2) 0 relaia (11) devine r2 = R1R2,
21RRr = (12) Numeric
== 10205r Din (2) se poate determina I1
2/1
1
e1 R
PI 1
= (13)
Michaela Logoftu
60
A4A16A580
I1 === Cunoscnd valoarea rezistenei r a sursei, din (4) rezult E. E = I1(r+R1) E = 4(10+5)V = 60V
Deci sursa prezint E= 60V i r = 10.
b) Calculul randamentului transmisiei puterii de la surs la circuitul exterior.
Randamentul transmisiei se definete prin
RrR
R)(rRRI
IRI
PP 2
sursa
transmisa
+=+====E
EEE (14)
Unde R este rezistena circuitului exterior parcurs de curentul cu intensitatea
I.
Pentru rezistorii R1 i R2 din (14) se obine
1
11 Rr
R+=
2
22 Rr
R+=
(15)
Numeric
%3,33%100155
1 ==
%6,66%1003020
1 ==
c) Calculul randamentului n condiiile transferului maxim
O surs (E,r) transfer puterea maxim, ntr-un circuit exterior n care rezistena acestuia este egal cu rezistena intern a sursei (teorema
transferului puterii maxime).
Deci
Rexterior = R r nct din (14) se obine
Curentul electric
61
%505,021
r2r
rrr ====+=
Randamentul transmisiei puterii n condiiile transferului maxim este de 50%.
Discuii, interpretri
n (12) s-a ales numai rdcina pozitiv
21RRr = deoarece soluia negativ pentru r nu are sens fizic
Comentarii
n stare pur, metalele se folosesc n special n laboratoarele de cercetate; pentru aplicaii n domeniul electrotehnicii se folosesc
aliaje metalice. Aliajele metalice prezint proprieti specifice
(variaie slab cu temperatura a rezistivitii electrice, coeficieni
de dilatare liniar mai mici dect ai metalelor pure, etc.), n
general, diferite de cele ale metalelor componente. Aceste
proprieti le fac utilizabile n diverse scopuri bine determinate.
Analiznd datele din tabelele 1, 2 i 3 din Anex Tabele, se observ diferenele mari care apar ntre valorile rezistivitii i
coeficientul de variaie termic a acesteia la metalele pure i la
aliajele acestora dar i modificarea acestor valori la aliajul
acelorai metale, n funcie de compoziia metalului.
De exemplu, la bronzul pe baz de aluminiu se vede c
modificarea compoziiei de aluminiu de la 30% la 10%, conduce la o
modificare a coeficientului de la 10210-5 grd-1 la 30210-5 grd-1.
Probele de constantan i de magneziu prezint, la temperatura
camerei, cel mai mic coeficient de variaie a rezistivitii cu temperatura.
constantan = 210-5 grd-1; magneziu = (1,0-1,5)10-5 grd-1. Din acest motiv, aceste aliaje se folosesc la construirea de
Michaela Logoftu
62
etaloane de rezisten electric: rezistena acestora nu se
modific cu temperatura, n domeniul temperaturilor uzuale de
lucru. Valorile coeficienilor devin semnificative n domeniul de temperaturi ridicate. Astfel, la temperaturi peste 500oC
constantan = 2,710-5 grd-1; magneziu = 1110-5 grd-1.
Rezistena electric a metalelor se poate modifica sensibil la variaia presiunii, n acord cu formula urmtoare.
Stabilit experimental:
R = R(Ap+Bp2) unde
R este rezistena metalului la presiune normal;
p este presiunea executat;
A i B coeficieni constani specifici fiecrui metal n parte.
De exemplu: AMn = 7,01210-6; BMn = 5,610-11
ACr = 5,810-7p; BCr = 0
nct , variaia relativ a rezistenei electrice a unui conductor din
mangan (Mn) i respectiv din crom (Cr) se pot exprima
pentru Mn
2116 p1063,5p10012,7RR +=
i respectiv, pentru Cr
p108,5RR 7=
Exist i materiale cu, coeficient negativ de variaie a rezistivitii cu temperatura; adic, la creterea temperaturii; rezistivitatea i
implicit, rezistena scade. De exemplu, carbonul amorf (grafitul)
cu o rezistivitate variind ntre 3,510-5 m i 6,010-5 m la 20oC, prezint un coeficient de temperatur al rezistivitii constantan = 510-5 grd-1. Acest fenomen se constat i la semiconductori. n
unele situaii, fizice, pentru a se asigura o valoare constant
(independent de temperatur) a rezistenei electrice a unui
Curentul electric
63
element de circuit, se asambleaz n acesta, componente din
materiale a cror variaie cu temperatura a rezistivitii s se
compenseze reciproc (vezi problema rezolvat urmtoare).
Problem rezolvat
Pentru a realiza un element de circuit cu rezisten constant, independent
de modificarea temperaturii ntr-un interval larg de valori ale acesteia, se
conecteaz n serie un fir (bastona) de grafit (crbune) pentru lamp
electric cu un fir cilindric de aluminiu, de aceeai seciune. Cunoscnd
rezistivitile i coeficienii de temperatur ai celor dou materiale (1,1) i (2,2), s se calculeze raportul lungimilor celor dou fire pentru ca rezistena ansamblului s nu se modifice cu temperatura.
Aplicaie numeric:
m100,6 5C1 == ; 14C1 grd105 == m1082,2 6Al2 == ; 13Al21 grd109,3 ==
Rezolvare:
Variaia rezistenei cu temperatura este descris pentru fiecare conductor de
o lege de forma
R = R0(1+t) (1) unde R0 este rezistena conductorului la 0oC, R fiind rezistena aceluiai
conductor la temperatura t.
Condiia ca rezistena electric a ansamblului Ra s fie independent de
temperatur se exprim prin egalitatea
0t aaRR = (2)
unde
taR = R1+R2 (3)
este rezistena ansamblului la temperatura t i
Michaela Logoftu
64
0aR = R01+R02 (4)
este rezistena ansamblului la 0oC.
Explicitnd (2) pe baza (3) i (4) rezult
R1+R2 = R01+R02 (5)
unde
R1 = R01(1+1t) (6) R2 = R02(1+2t) (7) Introducnd (6) i (7) n (5) rezult
R01(1+1t)+ R02(1+2t) = R01+ R02 (8) Pentru t0, (8) devine R011 = - R022 (9) Rezistena unui conductor cilindric se exprim prin
sl
R = (10) nct (9) devine
22
221
1
11 s
lsl = (11)
i deoarece
s1 = s2
relaia (11) se mai scrie
222111 ll = (12) de unde
1
2
1
2
2
1
ll
= (13)
Dar
1 = Carbon = C ; 2 = Al 1 = Carbon = C ; 2 = Al
C
Al
C
Al
Al
C
ll
= (14)
Curentul electric
65
Numeric
367,0m106)grd105(
m1082,2grd109,3ll
514
613
Al
C ==
Deci, bastonaul (firul) din grafit trebuie s aib lungimea mai mic dect cea
a firului de aluminiu
lC = 0,367lAl
Michaela Logoftu
66
Curentul electric
3 NCLZIREA
CONDUCTORILOR I A
BOBINAJELOR
Michaela Logoftu
68
3.1 Pierderi de energie temic
3.2 Viteza de nclzire
3.3 nclzirea maxim a unui conductor parcurs de curent
electric
3.4 Legea exponenial a nclzirii
3.5 Probleme rezolvate
Curentul electric
69
3.1. Pierderi de energie termic
CONVECIE S considerm un fir conductor, neizolat termic, poziionat ntre
dou borne metalice masive, A i B, n circuitul unui generator
G (fig.1).
Fig. 1
Prin nchiderea ntreruptorului K, n circuit se stabilete un
curent electric; ca urmare, att firul ct i bornele se
nclzesc, n mod diferit ns. Moleculele de aer vecine
acestora se vor nclzi la rndul lor; prin ciocniri cu alte
molecule de aer, ele vor ceda din cldura primit. n acest
mod, aerul nclzit urc, n timp ce alte molecule n
ciocnirea cu sistemul vor contribui la rcirea acestuia.
Acest mod de rcire n care cldura este transportat de
ctre substan (molecule de aer) se numete rcire prin
convecie.
Convecia poate fi activat prin ventilaie.
Pierderile de cldur prin convecie sunt direct
proporionale cu
9 suprafaa corpului cald;
Michaela Logoftu
70
9 diferena de temperatur dintre acesta i mediul ambiant.
De asemenea, depind de natura gazului din mediul ambiant
(aerul, n cazul prezentat), ca i de presiunea sa. Ca
exemplu, se citeaz faptul c hidrogenul rcete cu mult
mai mult dect orice alt gaz, aflat la aceeai presiune.
CONDUCIE La trecerea curentului electric prin circuitul prezentat
schematizat n figura 1, bornele A i B se nclzesc mai puin
dect firul conductor i totodat se rcesc mai mult,
datorit suprafeei lor mai mari. Astfel, se stabilete un
gradient de temperatur ntre firul conductor (mai cald) i
bornele AB (mai reci). Ca rezultat, apare un nou tip de
transfer de cldur, prin conducie, dinspre mijlocul M al
firului ctre borne, aa cum se reprezint schematizat n
figura 2.
Fig.2
n cazul unui n cazul
unui fir foarte lung,
aceste pierderi prin
conducie nu
influeneaz n mod
sensibil asupra
temperaturii n zona
median a firului.
RADIAIE Aeznd un termometru n apropierea firului (la civa
centimetri de acesta), se constat o cretere a temperaturii,
deci termometrul primete cldur. Aceast cldur nu se
propag prin convecie, pentru c aerul cald se ridic;
propagarea se face prin radiaie. De exemplu: cldura
solar traverseaz spaii vide imense nainte de a penetra
Curentul electric
71
atmosfera terestr. Pierderile de energie prin iradiaie sunt
proporionale cu suprafaa conductorului i depind esenial
de starea acestei suprafee. Suprafeele metalice polisate
emit puin cldur: din acest motiv, aparatele electrice
care nu trebuie s disipe n mod ineficient cldura se confecioneaz din metal bine lefuit (fierbtoarele
electrice, fierul de clcat, etc.).
3.2. Viteza de nclzire
n limitele de nclzire admisibile, pentru conductorii electrici izolai din
punct de vedere termic, se consider c puterea total pierdut (convecie i
radiaie) prin unitatea de suprafa este proporional cu diferena de
temperatur fa de mediul ambiant.
Pentru o suprafa S i o diferen de temperatur puterea total pierdut va fi
= KSPp (1)
unde K este un coeficient dependent de natura materialului, de starea
suprafeei acestuia, etc.
Considerm creterea de temperatur ( d ) a conductorului ntr-un interval corespunztor de timp, dt. Se poate scrie bilanul energetic ntre
9 energia furnizat de curent
dtRIW 21 = (2) i
Michaela Logoftu
72
9 energia nmagazinat de conductor
= mcdW2 (3)
unde
c este cldura specific (J/Kg grd)
d este densitatea masic (Kg/m3)
ale materialului din care este confecionat conductorul
= mcddtRI2 (4)
Exprimnd rezistena electric a firului
sl
R = (5)
i masa sa
m = dV = dls (6)
ecuaia (4) se va rescrie sub forma
= dlscddtIsl 2 (7)
de unde
22
2
jcds
Icdcsld
Isl
dtd
=
=
= (8)
unde j este densitatea curentului. Dar, pe baza legii Ohm n conductorii
metalici
Curentul electric
73
Ej = (9)
ecuaia (8) devine
dcE
dtd 2
=
(10)
Viteza de nclzire a unui conductor metalic
dtd
depinde de
9 cmpul electric E din acesta (relaia 10) sau de 9 densitatea curentului care l strbate (relaia 8) 9 caracteristicile materialului din care este confecionat acesta (parametrii de material d, , c).
Din (8) se poate calcula densitatea curentului care, trecnd printr-un
conductor, determin o anume vitez (rat) de nclzire:
dtddc
j2
= (11)
TEM
a) Calculai densitatea curentului electric care trebuie s treac un timp
scurt printr-un conductor din constantan, izolat termic, pentru ca
temperatura sa s creasc cu 1C n fiecare secund. Pentru simplificarea calculelor, se va considera temperatura iniial a conductorului de 0C i c, n timpul nclzirii ntr-un interval relativ mic de temperatur, , c i d rmn constante i egale cu valorile lor de la 0C.
b) Calculai valoarea cmpului electric n interiorul conductorului
Michaela Logoftu
74
Aplicaie numeric:
m1049 8= ; c=335 J/Kggrd; d=8500 Kg/m3
Rspuns: j=2,41 A/mm2; E=1,181 V/m
3.3. nclzirea maxim a unui conductor parcurs de
curent
S considerm un conductor metalic cilindric, omogen, avnd urmtoarele
caracteristici geometrice
l lungime;
s seciune;
S - suprafaa disipant (S=pl unde p este perimetrul seciunii).
Dac conductorul nu este izolat termic, va pierde cldur, temperatura
ridicndu-se pn cnd puterea pierdut devine egal cu puterea disipat de
ctre curent.
Puterea pierdut Pp se exprim prin (1), n care K este un coeficient
constant care depinde de natura conductorului i de starea suprafeei
acestuia, coeficient care poate fi determinat numai experimental n condiii
prestabilite pentru o anumit cretere a temperaturii deasupra temperaturii mediului ambiant.
Puterea disipat de curent se exprim prin legea lui Joule
2IRP = (12)
n timp, sistemul evolueaz ctre o stare de echilibru: puterea pierdut
egaleaz puterea disipat prin efect Joule. n acest moment, se atinge
nclzirea maxim a sistemului (fir conductor parcurs de curent electric
Curentul electric
75
continuu staionar); n continuare, temperatura se menine constant i egal
cu valoarea atins.
Din ecuaia de echilibru
PPp = (13)
2RIKS =
se determin temperatura maxim atins, :
kpsI
kplI
sl
KSI
sl
kSRI 2222 ==== (14)
Comentarii
u n cazul n care temperatura maxim este impus de anumite necesiti, intensitatea curentului maxim atins se poate determina din (14)
psbKps
I == (15)
unde pentru un anume conductor
== KKb (16)
fiind conductivitatea electric a materialului din care este confecionat conductorul.
Rezult c pentru a economisi material, trebuie folosii conductori plai
(sub form de band) care prezint un perimetru mai mare n comparaie cu
firele cilindrice, pentru o aceeai arie a seciunii parcurse de curent.
Michaela Logoftu
76
n urma nclzirii determinate de trecerea curentului, conductorii pot atinge
temperatura de topire a metalelor din care sunt confecionai. Pentru a
determina ordinele de mrime ale intensitilor curenilor care determin
topirea, se aplic formulele stabilite mai sus pentru , egalnd temperatura de topire, t .
Exemplu numeric: Calculnd valoarea minim a curentului care
determin topirea unui conductor din fier, cu diametrul de 2 mm,
temperatura de topire a fierului fiind C1535to= , se gsete
A 71I .
u De reinut c pentru conductorii izolai, indiferent de natura izolantului (cauciuc, policlorur de vinil, etc.) formulele stabilite mai sus nu sunt
aplicabile, deoarece condiiile de rcire depind de natura i grosimea
izolantului. Pentru majoritatea izolanilor, pentru o bun conservare a
proprietilor acestora, temperatura nu trebuie s depeasc 60C. n calcularea curentului maxim admisibil se va ine seama de temperatura
maxim posibil a mediului ambiant n care va funciona izolantul respectiv.
Exist tabele cu valorile intensitilor curenilor care pot fi suportate de
ctre conductorii electrici n condiii de funcionare prestabilite, fiind
precizate seciunile conductorilor i modalitile de asamblare a acestora:
monofilar (cablu cu un singur conductor), polifilar (cablu cu mai muli
conductori) ca i izolantul (cauciuc, PVC, etc.).
u Temperaturile maxime admise de diveri izolani sunt tabelate; pentru a avea o imagine asupra ordinului de mrime a acestora, vom da cteva
exemple numerice. Astfel:
9 bumbac, mtase, hrtie, prepan, 90C dac se afl n aer i 105C, dac sunt impregnai cu un lac izolator sau scufundai ntr-un lichid izolant;
9 compui pe baz de mic, 130C;
Curentul electric
77
9 mic, sticl special, cuar, porelan, >180C.
u O atenie special se acord n practica industrial nclzirii aparatelor i mainilor electrice.
nclzirea acestora n timpul funcionrii este n general, mic, de ordinul
50C i aerul nconjurtor constituie mediul natural de disipare a cldurii. n unele situaii, este necesar rcirea: prin ventilare sau prin circulaia unui
fluid de rcire: n cazul unor bobinaje nchise n carcase metalice, un sistem
de mici conducte de rcire prin care circul n mod uzual ap este ataat
carcasei respective.
3.4. Legea exponenial a nclzirii
Pentru a deduce modul n care variaz (crete) n timp temperatura unui
conductor parcurs de curent, s considerm un conductor
9 omogen; 9 bun conductor termic; 9 plasat ntr-un mediu a crui temperatur este uniform i constant
parcurs de un curent electric de intensitate constant.
Vom demonstra c dependena de timp a diferenei de temperatur dintre suprafaa disipant a corpului i mediul exterior variaz (crete) exponenial
n timp. Pentru aceasta vom utiliza urmtoarele notaii:
m - masa corpului (Kg);
c - cldura specific (J / Kggrd); p - puterea transformat n cldur (watt);
S - suprafaa disipant (m2), n care se ine seama i de viteza
Michaela Logoftu
78
relativ a aerului, dac conductorul este plasat n aer;
'p - puterea termic pierdut n exterior (watt);
- diferena ntre temperatura corpului i temperatura mediului exterior;
K - o constant care depinde de natura i de starea suprafeei
disipante.
Presupunem c n intervalul foarte mic de timp dt
9 creterea corespunztoare a temperaturii este d ; 9 energia acumulat de corp este ( d mc ); 9 puterea termic pierdut n exterior = KS'p .
Principiul conservrii energiei aplicat acestui interval de timp dt se scrie
+= mcddt'ppdt (17)
+= mcddtKSpdt
de unde rezult o ecuaie diferenial cu variabile separabile:
mcKSp
dtd = (18)
Separm variabilele:
mcdt
KSpd =
(19)
i integrm n ambii membri
Curentul electric
79
dtmc1
dKSp1 = (20)
Dar produsul (mc) nu depinde de timp, nct (20) devine
= dtmc1dKSp 1 (21)
Michaela Logoftu
80
Dar
( ) KSKSp ' =
= dtmcKSdkSP KS
Integrnd, rezult
( ) tmcKS
KSpln = (22)
Trecnd la exponeniale se obine
AeKSpt
mcKS
+= (23)
tmcKS
AtmcKS
BeeeKSp == (24)
unde B este o constant pe care o vom determina din condiiile iniiale:
presupunem c la momentul iniial de timp t=0, temperatura este 0 i deci
1e ,BkSp ,0t 00 === (25)
nct (24) devine
( ) tmcKS 0 eKSpKSp = (26)
de unde
Curentul electric
81
( ) tmcKS 0 eKSppKS = (27)
se obine n final
tmcKS
0 eKSp
KSp
= (28)
relaia care exprim creterea temperaturii n funcie de timp, n cazul cel
mai general. Verificm aceast soluie n cazurile particulare t=0 i t=; se
obine:
t=0, 0= t=, mKS
p == unde m este valoarea maxim pentru . Cu notaia
amcKS = (29)
ecuaia (28) se va scrie
( ) at0mm e = (30)
n cazul particular, frecvent n practic, n care la momentul iniial corpul se
afl la temperatura ambiant, deci 00 = din (30) se obine
( )atm e1 = (31)
Introducnd notaia
=a1
Michaela Logoftu
82
se obine forma final a ecuaiei (31)
=
t
m e-1 (32)
n care se numete constanta de timp a funciei i se exprim n secunde.
3.5. Probleme rezolvate 1. Un fir aerian din cupru, cilindric, neizolat, avnd un diametru de 5 mm
este parcurs de un curent electric constant, cmpul electric n interiorul
conductorului fiind de 0,082 V/m. n ipoteza c puterea disipat (pierdut) n
aer este proporional cu diferena de temperatur ntre fir i aerul
nconjurtor, calculai temperatura de echilibru a firului n serviciu.
Se cunosc:
rezistivitatea la 0C a cuprului, 0 ; coeficientul de temperatur , constanta de disipaie K, temperatura aerului nconjurtor, t.
Aplicaie numeric:
;m106,1 80 = ;grd104 13 = grdm/W 10K 2 = ; t=25C ; m105mm5d 3 ==
Rezolvare:
Considerm o poriune din conductor de lungime l, de rezisten R, ntre
extremitile creia se aplic diferena de potenial U.
n timpul funcionrii, cnd este atins temperatura de echilibru, se
stabilete o egalitate ntre puterea furnizat firului prin trecerea curentului i
Curentul electric
83
puterea pierdut (disipat) n aer de ctre acesta. Aplicnd (13) din
paragraful 3, rezult:
( )ttKSRI x2 = (1)
unde
ttx = (2)
i tx este temperatura maxim cerut.
Conform legii Ohm pentru o poriune de conductor
RU
I = (3)
condiia de echilibru (1) se rescrie sub forma
( )ttKSRU
x
2
= (4)
unde
sl
R =
( )x0 t1 +=
4d
s2=
d - diametrul firului, s-seciunea acestuia;
S - suprafaa disipant a conductorului, egal cu aria lateral a cilindrului.
Michaela Logoftu
84
dlS =
Deci (4) se rescrie sub forma
( ) ( )ttdlKt1l4dU
xx0
22
=+
(5)
adic o ecuaie de gradul 2 n tx:
( )K4
dlU
ttt1t0
2
x2x
+ (6)
cu rdcinile
( )
+++
=2
lU
Kd
t1t1
t
2
0
2
x 2,1
Numeric:
( ) ( )3
28
3233
x 108
082,010106,1
104251041251041
t2,1
+++=
C5,66C49,66t1x
oo +=
0t2x<
Rdcina 2x
t negativ nu are sens fizic, deoarece prin trecerea curentului
electric conductorul se nclzete pn la atingerea unei temperaturi de
echilibru.
Curentul electric
85
2. Un conductor din maillechort (un aliaj special cu compoziia 62% Cu, 15%
Ni i 23% Zn), neizolat termic este aezat orizontal, n aer. Temperatura
aerului este considerat constant n timpul experimentului. Iniial,
temperatura conductorului este egal cu temperatura mediului ambiant.
Conductorul este parcurs de un curent continuu staionar cu intensitatea de
4A; admind c puterea pierdut (disipat) prin rcire, prin suprafaa
lateral a conductorului este cunoscut, s se calculeze:
9 valoarea temperaturii maxime atinse de conductor; 9 constanta de timp a curbei de nclzire; 9 dup ct timp conductorul va atinge (0,999) din nclzirea sa
maxim.
Exemplu numeric:
lungimea conductorului, l=10m; diametrul d=1mm; rezistivitatea materialului
m1034 80 = ; coeficientul de temperatur 14 grd105,2 = ; temperatura aerului ambiant C200
o= ; intensitatea curentului constant I=4A; constanta de disipaie a conductorului gradm/W10K 2 = ; densitatea masic 3m m/Kg8400d = ; cldura specific grdKg/J39c = . Se consider
87,92 =
Rezolvare:
a) Calculul temperaturii maxime atinse de conductorul parcurs de curent
n paragraful 4 s-a dedus legea exponenial dup care variaz temperatura
unui conductor parcurs de curent pn la atingerea unei temperaturi maxime
m (ecuaia 32)
=
t
m e1 (1)
Michaela Logoftu
86
conductorul fiind presupus iniial, la temperatura mediului ambiant, 00 = . Din paragraful 3, nclzirea maxim m se exprim prin ecuaia (13)
KSp
m = (2)
iar constanta de timp caracteristic curbei de nclzire se exprim prin
KSmc
a1 == (3)
unde
p - puterea disipat n conductor 2RIp = ; K - constanta de disipaie a conductorului, adic puterea pierdut (disipat)
prin unitatea de suprafa lateral pentru fiecare unitate de temperatur
deasupra temperaturii ambiante ( grdm/W 2 ); S - suprafaa lateral a conductorului prin care se realizeaz disiparea
cldurii n aer.
innd seama de
22
22
22 Id
l4I
4dl
Isl
RIp ==== (4)
dlS = (5)
rezult
nclzirea maxim
dlKI
dl4
KSp 2
2m == (6)
Curentul electric
87
C5,220C47,220moo =
Temperatura maxim atins de conductor, innd seama c temperatura
ambiant este C200o= , este deci
C5,240t m0mo=+= (7)
b) Calculul constantei de timp a curbei de nclzire.
Explicitnd n (3) mrimile care intervin, rezult
K4cdd
dlK
cd4d
l
dlKcVd
KSmc mm
2
m =
===
(8)
s 9,814
grdmW
